પ્રવૃત્તિ ધ્યેય: પાઠના વિષય પર સામગ્રીનું સામાન્યીકરણ, માળખું અને વ્યવસ્થિત કરવાની વિદ્યાર્થીઓની ક્ષમતાઓ વિકસાવવી.

શૈક્ષણિક લક્ષ્ય:શૈક્ષણિક સામગ્રીને વ્યવસ્થિત બનાવો અને વિષયની સામગ્રી લાઇનના વિકાસના તર્કને ઓળખો, મુખ્ય અને વચ્ચેના જોડાણોને મજબૂત બનાવો વધારાનું શિક્ષણયુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં ઉચ્ચ સ્તરની જટિલતાની સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે વિદ્યાર્થીઓને તૈયાર કરવા માટે MIPT પર ZFTSH ઇલેક્ટિવના આધારે.

શૈક્ષણિક લક્ષ્ય:સ્વતંત્ર રીતે સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં રસ જાગૃત કરો, વિદ્યાર્થીઓને પ્રોત્સાહિત કરો સક્રિય શોધસમસ્યાઓ હલ કરવાની તર્કસંગત રીતો, ચર્ચામાં પોતાની સ્થિતિ વ્યક્ત કરવાની ક્ષમતા વિકસાવવી, પરિણામો પ્રાપ્ત કરવા તરફ આગળ વધવા માટે દરખાસ્તો ઘડવા અને દલીલ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવવી.

શૈક્ષણિક હેતુઓ:બિન-માનક સમસ્યાઓ હલ કરવાની જરૂરિયાતના અવરોધને દૂર કરવા; પરિમાણ સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમિક પદ્ધતિઓનો ડેટાબેઝ બનાવવો, અગાઉ અભ્યાસ કરેલી સામગ્રીના સામાન્યીકરણના આધારે સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ પસંદ કરવી, આ તબક્કે વ્યક્તિની સિદ્ધિઓનું મૂલ્યાંકન કરવું અને વધુ સ્વ-શિક્ષણ માટેની યોજનાઓ બનાવવી, હોમવર્ક સિસ્ટમને ઑપ્ટિમાઇઝ કરવી, તેનાથી પરિચિત થવું. શક્યતાઓ અંતર શિક્ષણપાઠના વિષય પર.

વિકાસલક્ષી કાર્યો:તાર્કિક વિચારસરણી, મેમરી, અવલોકનનો વિકાસ, ડેટાને યોગ્ય રીતે સારાંશ આપવાની અને તારણો કાઢવાની ક્ષમતા, હસ્તગત જ્ઞાનને લાગુ કરવાની કુશળતાના વિકાસને પ્રોત્સાહન આપવું. બિન-માનક પરિસ્થિતિઓ, કારણ-અને-અસર સંબંધો સ્થાપિત કરવા માટે કૌશલ્યોનો વિકાસ, વિકાસ જટિલ વિચાર.

શૈક્ષણિક કાર્યો:અભ્યાસ કરવામાં આવતા વિષયમાં સકારાત્મક રસને પોષવો, વિદ્યાર્થીઓને સમસ્યારૂપ અને સંશોધન સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમમાં નિપુણતા પ્રાપ્ત કરવા માટે, સામૂહિક સર્જનાત્મક વાતાવરણને મજબૂત કરવા, તેમના દૃષ્ટિકોણને વ્યક્ત કરવાની ક્ષમતા વિકસાવવા માટેની શરતો પ્રદાન કરવી.

સ્વરૂપો, પદ્ધતિઓ અને શિક્ષણશાસ્ત્રની તકનીકો.

• શિક્ષણ પદ્ધતિઓ: સમસ્યારૂપ રજૂઆત, સંશોધન.
• પૂર્વધારણા ઓળખ પરિણામની રચના, કાર્ય આયોજન.
• મુખ્ય ધ્યાન વિદ્યાર્થીઓની પ્રવૃત્તિઓને પ્રોત્સાહિત કરવા પર છે.
• સામૂહિક પદ્ધતિ સર્જનાત્મક પ્રવૃત્તિ, માહિતી અને સંચાર પદ્ધતિ, સમસ્યા-શોધ પદ્ધતિ.
• આગળની તપાસપાઠ માટે તૈયાર - એક મુશ્કેલ પ્રશ્ન તૈયાર કરો.
• વ્યક્તિગત મુશ્કેલીઓ અપડેટ અને રેકોર્ડિંગ.
• સમસ્યામાંથી બહાર આવવા માટે પ્રોજેક્ટ બનાવવો.
• શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓ પર પ્રતિબિંબ.

શીખવાના મોડલ.

• વાતચીત, શિક્ષણનું ચર્ચા મોડલ
• માહિતી અને સંચાર (માહિતી સંસાધનોનો ઉપયોગ).
• જૂથ અને આંતર-જૂથ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા, વિદ્યાર્થી પ્રવૃત્તિઓમાં ફેરફાર

જટિલ વિચારસરણીનો વિકાસ:પડકાર, સમજણ, પ્રતિબિંબ.

ચર્ચા પછી હોમવર્ક પૂર્ણ કરવાની શક્યતાઓ:

• સૂચિત સમસ્યાઓનો સંપૂર્ણ ઉકેલ.
• દ્વારા ક્લસ્ટરો બનાવી રહ્યા છે વ્યક્તિગત કાર્યોજૂથ અને તેના મૂલ્યાંકન માટે માપદંડોની પસંદગી.

હોમવર્કમાં સંભવિત ફેરફારો પાઠની પ્રગતિ પર આધાર રાખે છે. હકીકતમાં, વિદ્યાર્થીઓ આગળ વધ્યા છે ગૃહ કાર્યસ્વતંત્ર કાર્ય માટે.

સ્વાગત "સમસ્યાની સ્થિતિ"

માં તાલીમ આ વર્ગ"બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત" કોર્સ એસ.એમ.ની શિક્ષણ સામગ્રી અનુસાર થાય છે. નિકોલ્સ્કી, એમ.કે. પોટાપોવા, એન.એન. રેશેટનિકોવા, એ.વી. શેવકીના. આ કોર્સ "પેરામીટર્સ સાથે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા" વિષયનો અભ્યાસ કરવા માટે સમય ફાળવતો નથી. વર્ગમાં ઘણા વિદ્યાર્થીઓ માટે, સંબંધિત સમસ્યાઓનો સમૂહ ખૂબ જટિલ છે, અને તેઓ આ દરમિયાન આવી સમસ્યાઓ હલ કરવાની અપેક્ષા રાખતા નથી. અંતિમ પ્રમાણપત્ર. જો કે, યુનિવર્સિટી ઓલિમ્પિયાડ્સમાં ભાગ લેવાની તૈયારી કરતી વખતે, આ વિષયને ટાળી શકાતો નથી. આ પાઠપ્રાથમિક કાર્યોના આલેખ, ઉકેલ જેવા અભ્યાસક્રમના આવા મુખ્ય વિષયોના અભ્યાસમાં જોડાણના તબક્કાઓમાંથી એક છે. ચતુર્ભુજ સમીકરણોઅને અસમાનતાઓ અને સમસ્યાઓ કે જે તેમને ઘટાડી શકાય છે, અંતરાલોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, સમકક્ષ સંક્રમણોના આકૃતિઓ દોરવા.

વિદ્યાર્થીઓને અગાઉથી 10 કાર્યોનો સમૂહ ઓફર કરવામાં આવે છે (પાઠના એક અઠવાડિયા પહેલા), જે તેઓ ઘરે પૂર્ણ કરે છે, 5-6 લોકોના જૂથોમાં વિભાજિત થાય છે. દરેક જૂથને ત્રણ સમસ્યાઓ પસંદ કરવાનું કહેવામાં આવે છે, જેનો ઉકેલ તેઓ તેમના સહપાઠીઓને બતાવી શકે છે (આ સમસ્યાઓની ડિઝાઇન પ્રસ્તુતિના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવી આવશ્યક છે) તેમાંથી એક આવશ્યકપણે ખોટો હોવો જોઈએ;

આ તકનીકના અમલીકરણમાં શામેલ છે:

• જાણીતા અને અજાણ્યા વચ્ચે વિરોધાભાસની પરિસ્થિતિનું નિર્માણ. સંશોધન અને ઉકેલના તમામ વ્યક્તિગત સંભવિત તબક્કાઓ જાણીતા છે.
• સોલ્યુશન એલ્ગોરિધમ બનાવવા માટે આ તબક્કાઓ વચ્ચે જોડાણો સ્થાપિત કરવાની શક્યતા શું છે તે અજ્ઞાત છે.
• મીની-જૂથોમાં વ્યક્તિગત સમસ્યાઓ ઉકેલવા અને પ્રસ્તુત કરવા માટે સ્વતંત્ર પસંદગી;
• પરિણામોની સામૂહિક ચકાસણી;
• આ વિષય પરના કાર્યોને હલ કરવાની તૈયારીના સ્તરના સ્વ-મૂલ્યાંકન સાથે પ્રતિબિંબ.

પાઠનો ઘડાયેલ ધ્યેય "ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા અને ત્રિકોણમિતિ કાર્યોનો અભ્યાસ કરવા માટેની પદ્ધતિઓ અને તકનીકોનું સામાન્યકરણ" છે.

વિદ્યાર્થીઓનો સંભવિત પ્રશ્ન: "પરિમાણોને તેની સાથે શું લેવાદેવા છે?" વિદ્યાર્થીઓને આ નિષ્કર્ષ પર લાવવાની સલાહ આપવામાં આવે છે: "જો તમે માત્ર એક સમસ્યા નહીં, પરંતુ સમસ્યાઓના સંપૂર્ણ બ્લોકને હલ કરી શકો, તો ભવિષ્યની પ્રવૃત્તિઓમાં તમારી તકો નોંધપાત્ર રીતે વિસ્તરે છે."

પાઠ માટેની તૈયારી તપાસી રહ્યા છીએ.

વિદ્યાર્થીઓ જૂથોમાં બેઠા છે જેમાં તેઓ તેમના હોમવર્ક પરિણામો રજૂ કરવા માટે તૈયાર છે.

પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, શિક્ષક જૂથોમાં કોષ્ટકોનું વિતરણ કરે છે અને સૂચિત વર્ગીકરણ અનુસાર કાર્ય નંબરો સોંપવાનું સૂચન કરે છે.

સૂચવેલ સોંપણીઓ.

કાર્ય 1. પરિમાણ a ના તમામ મૂલ્યો શોધો, જેમાંના દરેક માટે cos સમીકરણ 3 x –(4a+1)cos 2 x+(3a 2 +4a)cosx-3a 2 = 0 સેગમેન્ટ પર સમાન સંખ્યા ધરાવે છે.

કાર્ય 2. પરિમાણ a ના તમામ મૂલ્યો શોધો જેના માટે સમીકરણો (a+1)cos4x -26acos 2 x +14a +1= 0, 4sin 3 x +6sin 2 x – 2sinx -3 = 0 સમકક્ષ છે.

કાર્ય 3. પરિમાણ a ના તમામ મૂલ્યો શોધો જેના માટે સમીકરણ છે ઉકેલ છે.

કાર્ય 4. પરિમાણ a ના તમામ મૂલ્યો માટે સમીકરણ x 2 -2xcosa+1=0 ઉકેલો.

કાર્ય 5. પરિમાણ a ના તમામ મૂલ્યો માટે સમીકરણ 9cos4x -12acos2x +2a 2 +9= ઉકેલો.

કાર્ય 6. પેરામીટર a ના તમામ મૂલ્યો માટે અસમાનતા sin 4 x + cos 4 x a ઉકેલો.

કાર્ય 7. પરિમાણ a ના કયા મૂલ્યો માટે સમીકરણ cos 2 2x - (a 2 – 3)cos2x +a 2 – 4 =0 અંતરાલ પર બરાબર બે મૂળ ધરાવે છે

કાર્ય 8. પરિમાણ a ના તમામ મૂલ્યો શોધો, જેમાંના દરેક માટે ફંક્શનના મૂલ્યોનો સમૂહ સેગમેન્ટ સમાવે છે.

કાર્ય 9. પરિમાણ t ના કયા મૂલ્યો માટે સમીકરણ sinx + cosx – sinxcosx =t પાસે ઉકેલ છે?

કાર્ય 10. k પરિમાણના તમામ મૂલ્યો શોધો, જેમાંના દરેક સમીકરણ માટે અંતરાલ પર ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે

વર્ગીકરણ કાર્ય - સૂચિત કાર્યોનું વર્ગીકરણ કરો:

1) મુશ્કેલી સ્તર દ્વારા

2) ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોને કન્વર્ટ કરવા માટે વપરાતી પદ્ધતિઓ અનુસાર

3) ત્રિકોણમિતિ અભિવ્યક્તિઓની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્ર વિશે તેમના નિર્ણયની માહિતીનો ઉપયોગ કરીને

4) તેમના ઉકેલમાં ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂલ્યોના સમૂહ વિશેની માહિતીનો ઉપયોગ કરીને

5) ચતુર્ભુજ સમીકરણ અથવા અસમાનતાના ઉકેલોના સમૂહના અભ્યાસમાં ઘટાડો

6) અભિવ્યક્તિઓને પરિબળ કરવાની ક્ષમતાની જરૂર છે

7) સૂચન વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઉકેલો

8) કોઓર્ડિનેટ-પેરામેટ્રિક સોલ્યુશન પદ્ધતિ ધારી રહ્યા છીએ

9) "ચલ - મૂલ્ય" પ્લેનનો ઉપયોગ કરીને ભૌમિતિક અર્થઘટનનો ઉપયોગ સામેલ છે.

નોંધ: સમાન કાર્ય ઘણા વર્ગીકરણ શીર્ષકોમાં આવી શકે છે.

• તે કાર્યો પસંદ કરો કે જે તમારા દૃષ્ટિકોણથી, તમે હલ કરી શકો.
• તમારા દૃષ્ટિકોણથી, તમે હલ કરવા માંગો છો તે કાર્યો પસંદ કરો.
• તમારી પસંદગીને ન્યાયી ઠેરવવા દલીલો શોધવાનો પ્રયાસ કરો.

વર્ગીકરણ કરતા પહેલા, તમે તે "મુશ્કેલ" પ્રશ્નો પૂછી શકો છો જે જૂથોએ અગાઉથી તૈયાર કર્યા છે.

પાંચ જૂથોના વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા કાર્યોની રજૂઆતનો ક્રમ સંયુક્ત રીતે રચાયેલ છે.

વિદ્યાર્થીઓએ 2, 3, 4, 5, 7, 9 સમસ્યાઓ હલ કરવાનું પસંદ કર્યું હોવાથી, સમસ્યા નંબરને જૂથ તરીકે લોટ દ્વારા પસંદ કરવામાં આવ્યો હતો અને તેને હલ કરવા માટે એક અલ્ગોરિધમ રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું (વિદ્યાર્થીઓનું ધ્યાન વિખેરાઈ ન જાય તે માટે, વિગતો જો વિદ્યાર્થી જૂથોના જવાબો એકસરખા હતા તો ઉકેલની તપાસ કરવામાં આવી ન હતી).

શિક્ષકના વર્કસ્ટેશનનો ઉપયોગ કરીને વિદ્યાર્થીઓના ઉકેલોની પ્રસ્તુતિઓ સ્ક્રીન પર પ્રદર્શિત થાય છે.

ઉકેલોની ચર્ચા પર સંક્ષિપ્ત ટિપ્પણીઓ.

કાર્ય 2 ના જવાબોમાં વિરોધાભાસ, મુદ્દાઓ (-1) અને (0) ના સમાવેશ અને બાકાત વિશે ચર્ચા. શિક્ષક એલ્ગોરિધમના તમામ પરિણામોને ટ્રૅક કરવાની જરૂરિયાત તરફ વિદ્યાર્થીઓનું ધ્યાન દોરે છે.

જૂથોમાંથી એક રજૂ કરે છે સમસ્યાનો ખોટો ઉકેલ 3. ઉકેલ શિક્ષક દ્વારા સૂચવવામાં આવેલા કરતાં અલગ છે અને તેમાં અતાર્કિકતાથી છૂટકારો મેળવવાનો સમાવેશ થાય છે. વિદ્યાર્થીઓ એ જરૂરિયાત વિશે ભૂલી જાય છે કે સમીકરણની જમણી બાજુ નકારાત્મક નથી.

એક પડકાર તરીકે, શિક્ષક “=” ચિહ્નને “” અથવા “” સાથે બદલીને સમીકરણોને બદલે અસમાનતા ઉકેલવાનું સૂચન કરે છે. અતાર્કિક અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે વિદ્યાર્થીઓને સમકક્ષ સંક્રમણોની પહેલેથી જ અભ્યાસ કરેલ યોજનાઓ દર્શાવવા માટે પ્રોત્સાહિત કરવામાં આવે છે.

પ્રતિભાવમાં પરિમાણ મૂલ્યો શામેલ કરવાના ભૂલભરેલા કેસનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું છે કાર્ય 7 માં.બે શાખાઓના ઉકેલોના સંયોગને એક ઉકેલ તરીકે ગણવામાં આવે છે. વિચારના ખોરાક તરીકે, તમે અસમાનતા (cos2x-1)(cos2x-a 2 +4) 0 રજૂ કરી શકો છો અને સમીકરણોના બહુવિધ મૂળના વિષય પર ચર્ચા શરૂ કરી શકો છો.

આ નિર્ણયે ભારે ચર્ચા જગાવી હતી કાર્યો 9.વિદ્યાર્થી જૂથોમાંથી એકે ડાબી બાજુના કાર્ય માટે એડવાન્સ્ડ ગ્રાફર પ્રોગ્રામમાં મેળવેલ ગ્રાફ રજૂ કર્યો મૂળ સમીકરણ, અને નિષ્કર્ષ પ્રાપ્ત કર્યો કે તેના મૂલ્યોનો સમૂહ સેગમેન્ટ છે [-2;1]. વિદ્યાર્થીઓના સ્પર્ધક જૂથે તરત જ અનુરૂપ આડી માર્ગદર્શિકાઓ સાથે આ ગ્રાફ બનાવ્યો, અને, સ્કેલ વધારતા, દર્શાવ્યું કે રેખા t = -2 સાથે કોઈ સ્પર્શકતા નથી. સ્કેલ વધારવાથી ઉપરની આડી રેખાને સ્પર્શવાથી પરિસ્થિતિમાં કોઈ ફેરફાર થયો ન હોવાથી, પ્રથમ જૂથે આગ્રહ કર્યો કે સમસ્યાના ઉકેલને ઓછામાં ઓછા આંશિક રીતે શ્રેય આપવામાં આવે.

સ્પર્ધકોની એકમાત્ર નોંધપાત્ર દલીલ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં કોઈપણ ગ્રાફ પ્લોટર્સનો ઉપયોગ કરવાની તકનો અભાવ હતો. જો કે, પ્રશ્ન ખુલ્લો રહ્યો કે કયા વાસ્તવિક સંજોગોમાં કોઈ સંખ્યાત્મક ગણતરીના પરિણામો પર આધાર રાખી શકે અને શા માટે, મોટાભાગે, પરીક્ષાઓમાં જવાબોમાં સંખ્યાત્મક મૂલ્યોને ગોળાકાર કરવાની મંજૂરી નથી.

ચિત્ર 1

આકૃતિ 2

કાર્ય 9 નો કોઈ સાચો ઉકેલ નથી. sinx + cosx = p ચલોને બદલવાની દરખાસ્ત કરવામાં આવી છે, વિદ્યાર્થીઓ "વિરોધાભાસ" અવાજ કરે છે: 1 + sin2x = p 2 .

t(x) = sqrt(1+sin(2x))-sin(2x)/2, t(x) નો રચાયેલ આલેખ ફંક્શન t માટે સંપૂર્ણપણે અલગ મૂલ્યોનો સમૂહ આપે છે.

આકૃતિ 3

સાવચેતીપૂર્વક બદલવાની જરૂરિયાત દ્વારા વિરોધાભાસ દૂર કરવામાં આવે છે: t(x) = sqrt(1+sin(2x))-sin(2x)/2 માત્ર sinx +cosx 0 માટે

પટ્ટાઓ કે જેમાં બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ અસમાનતાને સંતોષે છે તે હેચિંગ દ્વારા પ્રકાશિત થાય છે.

આકૃતિ 4

જ્યારે sinx + cosx<0:

t(x) = -sqrt(1+sin(2x))-sin(2x)/2.

પટ્ટાઓ કે જેની અંદર પોઈન્ટ k ના કોઓર્ડિનેટ્સ અસમાનતાને સંતોષે છે તે હેચિંગ દ્વારા પ્રકાશિત થાય છે

આકૃતિ 5

પાઠ ઝડપથી સમાપ્ત થઈ રહ્યો છે. કાર્યો 1, 6, 8, 10 તેમના પ્રશંસકો મળ્યા નથી. જૂથો દ્વારા પસંદ કરેલી સમસ્યાઓના નિરાકરણ માટે ગાણિતીક નિયમો રજૂ કરતી વખતે, શિક્ષકે પાઠની શરૂઆતમાં વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા હાથ ધરવામાં આવેલા કાર્યોના વર્ગીકરણની સમીક્ષા કરી. કોષ્ટકોમાંની માહિતીને આધારે, વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા કાર્યો 1, 8, 10 નું મૂલ્યાંકન ખાસ કરીને મુશ્કેલ તરીકે કરવામાં આવે છે અને તેમને હલ કરવા માટે કોઈ વિચાર આવતો નથી. કાર્ય 6 ને કારણે પ્રાથમિક તબક્કે જવાબોમાં વિસંગતતાઓ આવી, તેથી વિદ્યાર્થીઓએ તેને પ્રસ્તુતિ માટે પસંદ કરી ન હતી.

હોમવર્ક: ચર્ચા કરેલી સમસ્યાઓમાં ફેરફાર કરો અને તમારા પોતાના ઉકેલની ઓફર કરો. ફેરફારની સંભવિત રીતો: આપેલ સમીકરણોને અસમાનતામાં ફેરવો; સંખ્યાત્મક ગુણાંક બદલો, સમસ્યા નિવેદનમાં અન્ય પ્રશ્નોની રચના કરો.

શિક્ષક વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા પસંદ કરાયેલી સમસ્યાઓના તેના વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલને ધ્યાનમાં લેવા અને આગામી પાઠ માટે ઉકેલોના ફાયદા અને ગેરફાયદા પર ટિપ્પણી કરવાનું પણ સૂચન કરે છે.

પ્રતિબિંબ.

વિદ્યાર્થીઓને બાહ્ય લક્ષણ તરીકે પ્રતિબિંબની જરૂર છે "છ ટોપીઓ."

તે ઉપલબ્ધ ન હોવાથી, અમે સંમત છીએ કે 5 જૂથોમાંથી દરેક માનસિક રીતે ટોપીનો રંગ, કોઈપણ રંગ, લાલના અપવાદ સાથે પસંદ કરે છે (કારણ કે ચર્ચા દરમિયાન પૂરતી લાગણીઓ હતી), અને ભૂતકાળના પાઠ પ્રત્યે તેમનું વલણ વ્યક્ત કરે છે.

"વ્હાઇટ હેટ": સૂચિત દસ કાર્યોમાંથી, ફક્ત 6 કાર્યોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યા હતા જેમાં ઉકેલોમાં ખામીઓ હતી. તૈયારીના તબક્કામાં સહાયક તરીકે કોમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ ખોટા પુરાવા તરીકે વિકાસ પામ્યો છે. ત્રિકોણમિતિ અસમાનતાઓને કેવી રીતે હલ કરવી તે આપણે જાણતા નથી.

"બ્લેક હેટ": કાર્યોનું સ્તર સ્પષ્ટપણે આપણી ક્ષમતાઓ કરતાં વધી જાય છે. યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામ પર, ત્રિકોણમિતિ એ સંપૂર્ણ ઉકેલ સાથેની સરળ સમસ્યામાં છે; અંતરાલ પર ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના મૂળને પસંદ કરવામાં અમારી ભૂલો છે; જૂથોની રચના અસમાન છે. લોટરીએ પ્રથમ જૂથોને સરળ કાર્યો પસંદ કરવાની મંજૂરી આપી હતી; આને ગ્રેડમાં ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યું ન હતું. ઇરાદાપૂર્વક નિર્ણયોમાં ભૂલો કરવાનું સૂચન કરવાની જરૂર નહોતી, અને આ વિના ઘણી બધી ભૂલો હતી.

"યલો હેટ" તે સારું છે કે હવે, અને 11મા ધોરણના અંતે નહીં, અમે મુશ્કેલ સમસ્યાઓ જોઈ. ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી સમસ્યાઓમાં તેમને હલ કરવા માટે અલ્ગોરિધમ્સ હોય છે, તમારે ફક્ત તમારા મગજને તેમની સાથે ટેવ પાડવાની જરૂર છે. પાઠ્યપુસ્તકમાં, ફકરા 11 ના તમામ પેટાફકરાઓ "પરિમાણો સાથેની સમસ્યાઓ" ના પરિવારોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, કારણ કે તેમનો ઉકેલ સમાન અલ્ગોરિધમ્સ પર આધારિત છે.

યોગ્યતાઓની "મર્યાદા" નક્કી કરવાનો સમય છે. અથવા કદાચ કોઈ સ્પર્ધાઓ અથવા ઓલિમ્પિયાડ્સમાં ભાગ લેવાનું પસંદ કરશે? અમે એમ માની શકીએ છીએ કે અમે તેમના માટેના માર્ગની શરૂઆત જોઈ લીધી છે.

"ગ્રીન હેટ" મને લાગે છે કે આવી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ પ્રોગ્રામરો માટે સૌથી યોગ્ય છે. તેઓએ શરતી કૂદકા કરવાની જરૂર છે, નિર્ણાયક મૂલ્યોને બાયપાસ કરવાની જરૂર છે જેથી પ્રોગ્રામ્સ અટકી ન જાય, સંભવતઃ પ્રોગ્રામ્સની એક બેંક છે જે ત્રિકોણમિતિના મુદ્દાઓને ધ્યાનમાં લે છે. તમારે ફક્ત પ્રોગ્રામરની સ્થિતિ સ્વીકારવાની જરૂર છે, અને વસ્તુઓ આગળ વધશે.

"બ્લુ હેટ" એક શિક્ષક છે. હું ખૂબ જ વ્યવહારિક મુદ્દાઓ સિવાય તમામ ટિપ્પણીઓ અને નિવેદનો સાથે સંમત થવા માંગુ છું. અને વ્યવહારવાદીઓએ ધ્યાનમાં રાખવું જોઈએ કે આપેલ પરિસ્થિતિમાં જીવનને તમારી શું જરૂર પડશે તે તમે ક્યારેય જાણી શકતા નથી.

બાકીની વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓના નિરાકરણ માટે પરામર્શ યોજવાની દરખાસ્ત છે, પરામર્શમાં સહભાગિતા સ્વૈચ્છિક છે, નજીકના ભવિષ્યમાં નિયંત્રણ અને ડાયગ્નોસ્ટિક કાર્યમાં આ સ્તરની જટિલતાના કોઈ કાર્યો હશે નહીં.

સારાંશ.

મિત્રો, આજે આપણે ત્રિકોણમિતિમાં ઉકેલો માટે સર્જનાત્મક શોધ તરફ, નાના હોવા છતાં, સાથે મળીને એક પગલું ભર્યું છે. મને ખાતરી છે કે તમે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો અને તેમને હલ કરવાની વિવિધ રીતોની વધુ સારી સમજ ધરાવો છો.

લેખિત મૂલ્યાંકન કાર્ય પૂર્ણ કરતી વખતે, તમારી પાસે ચોક્કસ પ્રકારની સોંપણી પસંદ કરવાની તક હશે. હું આશા રાખું છું કે પરિમાણો સાથેની સમસ્યાઓ તમારા ધ્યાન દ્વારા અવગણવામાં આવશે નહીં.

વર્ગમાં તમારા સક્રિય કાર્ય બદલ આભાર. પાઠ પૂરો થયો. આવજો!

IN પરિશિષ્ટ 1ટિપ્પણીઓ અને સૂચિત સમસ્યાઓના સંક્ષિપ્ત ઉકેલ સમાવે છે.

IN પરિશિષ્ટ 2પાઠના નિર્માણમાં ઉપયોગમાં લેવાતા સાહિત્યની સૂચિ અને જરૂરી સામગ્રી અને તકનીકી સાધનો પ્રદાન કરવામાં આવ્યા છે.

IN પરિશિષ્ટ 3અદ્યતન ગ્રાફર પ્રોગ્રામમાં બાંધવામાં આવેલા પાઠની તૈયારીમાં ઉપયોગમાં લેવાતા આલેખ રજૂ કરવામાં આવ્યા છે.

સેર્ગીવ પોસાડ, 2012

પરિચય

પરિમાણો સાથેની સમસ્યાઓ શાળાના બાળકોમાં તાર્કિક વિચારસરણી અને ગાણિતિક સંસ્કૃતિની રચનામાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે, પરંતુ તેમને હલ કરવાથી તેમને નોંધપાત્ર મુશ્કેલીઓ થાય છે. આ એ હકીકતને કારણે છે કે પરિમાણો સાથેનું દરેક સમીકરણ સામાન્ય સમીકરણોના સંપૂર્ણ વર્ગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જેમાંના દરેક માટે ઉકેલ મેળવવો આવશ્યક છે. આવા કાર્યો એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષા અને યુનિવર્સિટીઓમાં પ્રવેશ પરીક્ષાઓ પર આપવામાં આવે છે.

યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામ 2011 (કોષ્ટક 1) ના પરિણામોના આધારે, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવાથી વિદ્યાર્થીઓ માટે સૌથી વધુ મુશ્કેલી ઊભી થાય છે. લગભગ 87.9% આ પ્રકારનું કાર્ય પૂર્ણ કરવાનું શરૂ કરતા નથી, અને માત્ર 0.87% જ મહત્તમ સ્કોર મેળવે છે. આ એ હકીકતને કારણે છે કે માધ્યમિક શાળા ગણિત કાર્યક્રમ પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવા પર વધુ ધ્યાન આપતું નથી. પરિણામે, આવી સમસ્યાઓના નિરાકરણ માટે દરેક શિક્ષકે પાઠમાં સમય કાઢવો જોઈએ. આ સમસ્યાઓ કેવળ ગાણિતિક રસની છે, વિદ્યાર્થીઓના બૌદ્ધિક વિકાસમાં ફાળો આપે છે અને કુશળતા પ્રેક્ટિસ કરવા માટે સારી સામગ્રી તરીકે સેવા આપે છે.

કોષ્ટક 1. C1-C6 કાર્યો પૂર્ણ કરવા માટેના સરેરાશ પરિણામો

આ કાર્યમાં ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલા તમામ કાર્યોનો ઉદ્દેશ્ય વિદ્યાર્થીઓને પરિમાણો સાથેના ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોનો ખ્યાલ મેળવવામાં મદદ કરવાનો છે અને તેમની સાથે સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ શું છે. પરિમાણો સાથે પરિચયની શરૂઆતમાં, વિદ્યાર્થીઓ મનોવૈજ્ઞાનિક અવરોધ અનુભવે છે, જે તેની વિરોધાભાસી લાક્ષણિકતાઓને કારણે છે. એક તરફ, સમીકરણમાંના પરિમાણને જાણીતો જથ્થો ગણવો જોઈએ, પરંતુ બીજી તરફ, પરિમાણનું ચોક્કસ મૂલ્ય આપવામાં આવતું નથી. એક તરફ, પરિમાણ એક સ્થિર મૂલ્ય છે, પરંતુ બીજી બાજુ તે વિવિધ મૂલ્યો લઈ શકે છે. તે તારણ આપે છે કે સમીકરણમાં પરિમાણ એ "અજ્ઞાત જથ્થો", "સતત ચલ" છે. આ વિરોધાભાસી નિવેદનો વિદ્યાર્થીઓને જે મુશ્કેલીઓ દૂર કરવાની જરૂર છે તેના સારને ચોક્કસ રીતે પ્રતિબિંબિત કરે છે.

1. પરિમાણો સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટે સૈદ્ધાંતિક પાયા

જો કોઈ સમીકરણમાં કેટલાક ગુણાંક ચોક્કસ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો દ્વારા આપવામાં આવતાં નથી, પરંતુ અક્ષરો દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે, તો તેને પરિમાણો કહેવામાં આવે છે, અને સમીકરણ પેરામેટ્રિક છે.

સ્વાભાવિક રીતે, સમસ્યાઓનો આ વર્ગ ઘણાને મુખ્ય વસ્તુને સમજવાની મંજૂરી આપતું નથી: પરિમાણ, એક નિશ્ચિત પરંતુ અજ્ઞાત સંખ્યા હોવાને કારણે, દ્વિ પ્રકૃતિ ધરાવે છે. પ્રથમ, માનવામાં આવતી ખ્યાતિ તમને સંખ્યા તરીકે પરિમાણ સાથે "સંચાર" કરવાની મંજૂરી આપે છે, અને બીજું, સંદેશાવ્યવહારની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી તેની અસ્પષ્ટતા દ્વારા મર્યાદિત છે. આમ, પરિમાણ ધરાવતી અભિવ્યક્તિ દ્વારા ભાગાકાર કરવા અને આવા અભિવ્યક્તિઓમાંથી એક સમાન ડિગ્રીના મૂળને કાઢવા માટે પ્રારંભિક સંશોધનની જરૂર છે. સામાન્ય રીતે, આ અભ્યાસોના પરિણામો નિર્ણય અને જવાબ બંનેને પ્રભાવિત કરે છે.

ચાલો એક ટીપ્પણી કરીએ. પરિમાણો સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટે એક આવશ્યક પગલું જવાબ લખવાનું છે. આ ખાસ કરીને એવા ઉદાહરણોને લાગુ પડે છે જ્યાં પેરામીટર મૂલ્યોના આધારે સોલ્યુશન "શાખા" જેવું લાગે છે. આવા કિસ્સાઓમાં, પ્રતિભાવ કંપોઝ કરવું એ અગાઉ મેળવેલ પરિણામોનો સંગ્રહ છે. અને અહીં તે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે કે ઉકેલના તમામ તબક્કાના જવાબમાં પ્રતિબિંબિત કરવાનું ભૂલશો નહીં.

આવી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કેવી રીતે શરૂ કરવું? સૌ પ્રથમ, પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, તમારે કોઈપણ સમીકરણ અથવા અસમાનતાને હલ કરતી વખતે શું કરવામાં આવે છે તે કરવાની જરૂર છે - આપેલ સમીકરણો અથવા અસમાનતાને સરળ સ્વરૂપમાં ઘટાડો, જો આ, અલબત્ત, શક્ય છે: તર્કસંગત અભિવ્યક્તિને પરિબળ કરો; ત્રિકોણમિતિ બહુપદીનું પરિબળ; મોડ્યુલો, લોગરીધમ્સ વગેરેથી છુટકારો મેળવો. પછી તમારે કાર્યને ફરીથી અને ફરીથી વાંચવાની જરૂર છે.

પરિમાણો સાથેના મુખ્ય પ્રકારનાં કાર્યો:

પ્રકાર 1. તમામ પેરામીટર મૂલ્યો માટે અથવા આપેલ અંતરાલથી પેરામીટર મૂલ્યો માટે હલ કરવાની જરૂર હોય તેવી સમસ્યાઓ.

પ્રકાર 2. સમસ્યાઓ જ્યાં તમારે પેરામીટરના મૂલ્યના આધારે ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની જરૂર છે.

પ્રકાર 3. સમસ્યાઓ જ્યાં પેરામીટર મૂલ્યો શોધવા માટે જરૂરી છે જેના માટે સમસ્યામાં આપેલ સંખ્યાબંધ ઉકેલો છે

પ્રકાર 4. સમસ્યાઓ કે જેમાં પેરામીટર મૂલ્યો શોધવાનું જરૂરી છે જેના માટે ઉકેલોનો સમૂહ ઉલ્લેખિત શરતોને સંતોષે છે.

આ કાર્ય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો અને ચોક્કસ ગાણિતીક નિયમો સાથે તપાસે છે જે આવા મુશ્કેલ કાર્યોને ઉકેલવામાં મદદ કરી શકે છે.

તો ચાલો સમીકરણને ધ્યાનમાં લઈએ

એફ ( x, y, ..., z; α,β, ..., γ) = 0 (F)

અજાણ્યા x, y, ..., z સાથે અને પરિમાણો α, β, ..., γ સાથે ; પરિમાણ મૂલ્યોની કોઈપણ સ્વીકાર્ય સિસ્ટમ માટે α 0 ,β 0 , ..., γ 0 સમીકરણ (F) સમીકરણ બને છે F(x, y, ..., z; α 0 ,β 0 , ..., γ 0 ) = 0 (F 0 )

અજાણ્યા સાથે x, y,..., z, જેમાં કોઈ પરિમાણો નથી. સમીકરણ (ફો ) પાસે ઉકેલોના કેટલાક સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત સેટ (કદાચ ખાલી) છે.

વ્યાખ્યા. પરિમાણો ધરાવતા સમીકરણ (અથવા સિસ્ટમ) ને ઉકેલવા માટે, આનો અર્થ છે, પરિમાણ મૂલ્યોની દરેક સ્વીકાર્ય સિસ્ટમ માટે, શોધો

આપેલ સમીકરણ (સિસ્ટમ) ના તમામ ઉકેલોનો સમૂહ.

પરિમાણો ધરાવતા સમીકરણ પર લાગુ સમાનતાનો ખ્યાલ નીચે પ્રમાણે સ્થાપિત થયેલ છે.

વ્યાખ્યા. બે સમીકરણો (સિસ્ટમ)

F(x, y, ..., z; α,β, ..., γ) = 0(F), Ф (x, y, ..., z; α, β, ..., γ) = 0 (F)

અજાણ્યા x, y,..., z સાથે અને પરિમાણો સાથે α, β, ..., γ સમકક્ષ કહેવાય છે જો બંને સમીકરણો (સિસ્ટમ) માટે પેરામીટર મૂલ્યોની સ્વીકાર્ય સિસ્ટમોનો સમૂહ સમાન હોય અને દરેક સ્વીકાર્ય માટે મૂલ્યોની સિસ્ટમ, પરિમાણો બંને સમીકરણો (સમીકરણોની સિસ્ટમો) સમાન છે.

તેથી, મૂલ્યોની કોઈપણ સ્વીકાર્ય સિસ્ટમ માટે સમકક્ષ સમીકરણો

પરિમાણોમાં ઉકેલોનો સમાન સમૂહ હોય છે.

સમીકરણનું પરિવર્તન જે પેરામીટર મૂલ્યોની સ્વીકાર્ય સિસ્ટમોના સમૂહને બદલે છે તે સમીકરણ તરફ દોરી જાય છે જે આપેલ સમીકરણની સમકક્ષ નથી.

અહીં સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટેના સૂત્રો છે:

1. પરિમાણો સાથે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટેના અભિગમો

ઉદાહરણ 1. (વધારાના ચલોનો પરિચય,)

પરિમાણ a ના તમામ મૂલ્યો શોધો, જેમાંના દરેક સમીકરણ માટે

ઉકેલ છે.

ઉકેલ.

ચાલો એક નવું ચલ રજૂ કરીએ: x, t . પછી આ સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે: t 2 – (a + 2)t – (a + 3) = 0.

ચલ t સાથે પરિણામી ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવા માટે, આપણે તેનો ભેદભાવ શોધીએ છીએ: D = a 2 + 4a + 4 + 4a + 12 = a 2 + 8a + 16 = (a + 4) 2 . D≥0 થી, ચતુર્ભુજ સમીકરણ પાસે ઉકેલ છે

t 1.2 = = ;

t 1 =

t 2 =

નંબર -1 અંતરાલ સાથે સંબંધિત નથીઆમ, પરિમાણ સાથે અમને આપેલ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ શરત હેઠળ ઉકેલ ધરાવે છે

0 ≤ a +3 ≤ 1, -3 ≤ a ≤ -2.

જવાબ આપો. સમીકરણમાટે ઉકેલ છે.

ઉદાહરણ 2. (વધારાના ચલોનો પરિચય,)

પેરામીટર p ના તમામ મૂલ્યો શોધો જેના માટે સમીકરણ છે

6sin 3 x = p – 10cos2x પાસે કોઈ મૂળ નથી.

ઉકેલ:

6sin 3 x = p – 10cos2x ;

6sin 3 x + 10cos2x = p;

6sin 3 x + 10(1 – 2sin 2 x) = p;

6sin 3 x – 20sin 2 x + 10 = p.

ચાલો એક નવું ચલ રજૂ કરીએ:,ટી પછી ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ 6t સ્વરૂપ લેશે 3 – 20t 2 + 10 = p.

કાર્ય y = 6t ધ્યાનમાં લો 3 - 20t 2 + 10 અને સેગમેન્ટ પરના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો માટે તેનું પરીક્ષણ કરો

વ્યુત્પન્ન શોધવું:

અમે કાર્યના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ નક્કી કરીએ છીએ:

નંબર 2 અંતરાલ સાથે સંબંધિત નથી, તેથી આપણે બિંદુ 0 પર અને સેગમેન્ટના છેડે ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ:

y(0) = 0 – 0 + 10 = 10,

y(-1) = -6 – 20 + 10 = -16,

y(1) = 6 – 20 + 10 = -4.

સેગમેન્ટ પર મહત્તમ y(t) = 10, મિનિટ y(t) = -16.

મતલબ કે જ્યારે પી મૂળ સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી.

જવાબ આપો. સમીકરણ 6sin 3 x=p–10Cos2x ને p પર કોઈ મૂળ નથી

ઉદાહરણ 3. (વધારાના ચલોનો પરિચય,)

પરિમાણ a ના કયા મૂલ્યો માટે x ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે 2 + cosx(3cosx + asinx) અભિવ્યક્તિ શૂન્યની બરાબર નથી?

ઉકેલ:

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પરિમાણ a ના તમામ મૂલ્યો શોધવા જરૂરી છે જેના માટે સમીકરણ 2 + cosx(3cosx + asinx)=0 ને કોઈ મૂળ નથી.

2+cosx(3cosx + asinx)=0;

2(cos 2 x + sin 2 x) + cosx(3cosx + asinx)=0;

2cos 2 x + 2sin 2 x + 3cos 2 x + asinxcosx = 0;

2sin 2 x + asinxcosx + 5cos 2 x = 0 એ બીજી ડિગ્રીનું સજાતીય સમીકરણ છે.

જો cosx = 0, તો sinx = 0, જે અશક્ય છે, કારણ કે cos 2 x + sin 2 x = 1, તેથી આપણે સજાતીય સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુઓને વિભાજીત કરીએ છીએ.

અમે ફોર્મ 2tg નું સમીકરણ મેળવીએ છીએ 2 x + atgx + 5 = 0. આ સમીકરણ ઉકેલવા માટે, અમે એક નવું ચલ રજૂ કરીએ છીએ: t = tgx, tપછી 2t 2 + at + 5 = 0.

પદ્ધતિ 1.

ચાલો પહેલા પરિમાણ a ના તમામ મૂલ્યોનો સમૂહ શોધીએ જેના માટે પરિણામી ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલી શકાય તેવું છે. R માં આ સમૂહનો ઉમેરો ઇચ્છિત જવાબ હશે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં મૂળ હોય છે જો અને માત્ર જો D≥0 હોય.

D = a 2 – 40, a 2 – 40 ≥ 0, a 2 ≥ 40,

એ] ; ).

R ના આ સમૂહનું પૂરક અંતરાલ છે (-2

પદ્ધતિ 2. એક ચતુર્ભુજ સમીકરણનું કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી જો અને માત્ર જો D હોય

D = a 2 – 40, a 2 – 40 a 2 40,

એ; ).

જવાબ આપો. અભિવ્યક્તિ 2+cosx(3cosx + asinx) x ની કોઈપણ કિંમત માટે શૂન્યની બરાબર નથી જો a; ).

ઉદાહરણ 4. (કાર્ય આ રીતે આપવામાં આવ્યું છે)

a અને b ના કયા મૂલ્યો માટે સમીકરણ કરે છે

એક જ ઉપાય છે?

ઉકેલ:

સમસ્યાનો ઉકેલ એ હકીકત પર આધારિત છે કે જો કાર્ય f સમાનતા દ્વારા આપવામાં આવે છે, પછી શરતો A=B, C=0 એ સમીકરણ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો છે f(x)=0 એક જ ઉપાય હતો. આમ, સમસ્યાનું નિરાકરણ સિસ્ટમના પરિમાણો a અને b ને લગતા ઉકેલમાં ઘટાડવામાં આવે છે:

સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણે તે શોધીએ છીએ

અને ત્યારથી

પછી આપણે સિસ્ટમો પર વિચાર કરીએ છીએ

જોવા માટે સરળ છે તેમ, બીજી સિસ્ટમના ઉકેલો પરિમાણના તમામ મૂલ્યો છેએ, સમાનતા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત

પ્રથમ સિસ્ટમ માટે, તે અસંગત હોવાનું બહાર આવ્યું છે. આથી, સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને ધ્યાનમાં લેતા, જરૂરી પરિમાણોની શોધ a અને b સિસ્ટમના ઉકેલો શોધવા માટે નીચે આવે છે:

અહીં જવાબ સ્પષ્ટ છે:

ઉદાહરણ 5. (શાસ્ત્રીય સૂત્રોનો ઉપયોગ)

પરિમાણનું સૌથી મોટું પૂર્ણાંક મૂલ્ય શોધોએ , જેના માટે સમીકરણ

cos2x + asinx = 2 a - 7 પાસે ઉકેલ છે.

ઉકેલ:

ચાલો આપેલ સમીકરણને બદલીએ:

cos2x + a sinx = 2 a – 7;

1 – 2sin 2 x + asinx = 2 a – 7;

sin 2 x - a sinx + a – 4 = 0;

સમીકરણ ઉકેલવું
આપે:

1. (sinх – 2) = 0;

sinx=2;

ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી, અથવા.

જ્યારે ≤ 1.

અસમાનતા ≤ 1 નો ઉકેલ 2 ≤ છેએ ≤ 6, જેનો અર્થ છે કે પરિમાણ a નું સૌથી મોટું પૂર્ણાંક મૂલ્ય 6 છે.

જવાબ: 6.

ઉદાહરણ 6. શાસ્ત્રીય સૂત્રોનો ઉપયોગ

સમીકરણ ઉકેલો

ઉકેલ:

સમીકરણ સરળતાથી આમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે:

તો પછી અને સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી.

જો છેલ્લું સમીકરણ જો મૂળ ધરાવે છે

પછી

જવાબ: ક્યારે

ત્યાં કોઈ મૂળ નથી.

ઉદાહરણ 7. (ચલો અને પરિમાણોના સંભવિત મૂલ્યોની શ્રેણીનું વિભાજન)

ઉકેલ:

મુ સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

મુ

જવાબ:

ઉદાહરણ 8. (ચલો અને પરિમાણોના સંભવિત મૂલ્યોની શ્રેણીનું વિભાજન)

સમીકરણ ઉકેલો

તેમના ઉકેલો માટે પરિમાણો અને પદ્ધતિઓ સાથેના ગુણાતીત સમીકરણો

સ્નાતક કાર્ય

2.4 પરિમાણો સાથે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ - એક અજ્ઞાત દલીલના ત્રિકોણમિતિ કાર્યો ધરાવતું સમીકરણ.

સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટેના સૂત્રો:

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, નીચેના સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે:

1. સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ ઉકેલતી વખતે, તેની દલીલ બદલીને તેની ડિગ્રી ઘટાડવાનું અનુકૂળ છે.

2. જો ચકાસણી જરૂરી હોય, તો સમીકરણમાં મળેલ દલીલના મૂલ્યને નહીં, પરંતુ ઉકેલમાં વપરાતા ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના મૂલ્યોને બદલવાનું અનુકૂળ છે.

ઉદાહરણ 1. પરિમાણ a ના તમામ માન્ય મૂલ્યો માટે, સમીકરણ ઉકેલો

ચાલો સમીકરણ બદલીએ.

ઉપરોક્ત સિદ્ધાંત 1 અનુસાર, અમે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને બદલીએ છીએ:

તેની નોંધ લો.

આમ, સમીકરણ (1) સિસ્ટમની સમકક્ષ છે:

પરિણામે, સમીકરણ (1) પાસે કોઈ ઉકેલો ન હોવા માટે, તે અસમાનતાને સંતોષવા માટે પૂરતું છે.

હવે જ્યારે સિસ્ટમ (2) ના પ્રથમ સમીકરણમાં હંમેશા ઉકેલો હોય છે, તો આપણે તેની બીજી શરતની પરિપૂર્ણતાની કાળજી લેવાની જરૂર છે.

ઉપરોક્ત સિદ્ધાંતના આધારે, 2 સમકક્ષ પરિવર્તનો:

ચાલો સિસ્ટમ (2) ને ફોર્મમાં ઘટાડીએ:

આમ, પરિમાણને પ્રતિબંધિત કરતી વખતે, નીચેની વધારાની શરતો ઊભી થાય છે: સમીકરણ (1) માટે ઉકેલો ન હોવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે ચલ xનું કોઈપણ મૂલ્ય જેના માટે

સમીકરણોનો સમૂહ સંતુષ્ટ:

1) જો, તો.

જો કે, આવા માટે, સમીકરણ (3) ફોર્મ લે છે અને દરેક સોલ્યુશન સેટ (4) ને સંતોષતું નથી.

આમ, જ્યારે સમીકરણ (1) પાસે ચલ x ના તે મૂલ્યો ઉકેલો હોય છે જેના માટે, એટલે કે.

2) જો, તો, એટલે કે.

પરિમાણ a ના આવા મૂલ્યો માટે, સમીકરણ (3) ફોર્મ લે છે:

સમીકરણ માટે (1) ઉકેલ મેળવવા માટે, તે હોવું આવશ્યક છે

પછી જે બાકી રહે છે.

બાકીના માટે, સમીકરણમાં ફોર્મનો ઉકેલ છે

જવાબ: જ્યારે સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી; ખાતે; ખાતે; ખાતે

ઉદાહરણ 2. સમીકરણના મૂળની સંખ્યા નક્કી કરો

સેગમેન્ટ પર.

ચાલો ડાબી બાજુ પરિવર્તન કરીએ.

પછી મૂળ સમીકરણ સ્વરૂપ લેશે

ચાલો બધા પદોને ડાબી બાજુએ લઈ જઈએ અને સમીકરણને ફરીથી બદલીએ.

સેગમેન્ટ પરના પ્રથમ સમીકરણમાં ચાર મૂળ છે:

માટેના બીજા સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી. જો, તો દેખીતી રીતે સમીકરણ વિચારણા હેઠળના અંતરાલ પર અનન્ય ઉકેલ ધરાવે છે. જો, તો, એટલે કે. એક સેગમેન્ટ પર સમીકરણ બે મૂળ ધરાવે છે.

નોંધ કરો કે માટે, સમૂહના બીજા સમીકરણના મૂળ પ્રથમ સમીકરણના મૂળમાં સમાયેલ છે.

જવાબ: સમીકરણના ચાર મૂળ છે; જ્યારે સમીકરણમાં પાંચ મૂળ હોય છે; જ્યારે સમીકરણ છ મૂળ ધરાવે છે.

ઉદાહરણ 3. પરિમાણ a ના તમામ મૂલ્યો શોધો જેના માટે સમીકરણ છે

બરાબર સાત ઉકેલો છે.

કોઓર્ડિનેટ પ્લેન સીઓબી પર અમે તમામ પોઈન્ટ સંતોષકારક સિસ્ટમનો સમૂહ બનાવીએ છીએ (2).

પ્રથમ સમીકરણ રેખાની સમાંતર રેખાઓના કુટુંબનો ઉલ્લેખ કરે છે.

બીજું સમીકરણ મૂળ પર કેન્દ્રિત ત્રિજ્યાના વર્તુળોનું કુટુંબ છે.

પરંતુ જો શરતો પૂરી થાય, તો બીજું સમીકરણ એ પ્રથમ સંકલન ક્વાર્ટરમાં સ્થિત વર્તુળનો એક ક્વાર્ટર છે. c અને b એક જ સમયે શૂન્યની બરાબર હોઈ શકતા નથી, અન્યથા વર્તુળ એક બિંદુ.T માં અધોગતિ પામે છે. કારણ કે મૂળની સંખ્યા વિષમ હોવી જોઈએ, પછી સીધી રેખાઓમાંથી એક

બિંદુ Mn પર વર્તુળને સ્પર્શ કરવો આવશ્યક છે.

ચાલો આવા વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધીએ.

આમ, (3)

પરિમાણ a ઓન n ની અવલંબન વ્યક્ત કરે છે, જ્યાં.

આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે જેમ જેમ ક્વાર્ટર સર્કલની ત્રિજ્યા વધે છે તેમ તેમ સિસ્ટમ (2) ના ઉકેલોની સંખ્યા વધે છે અને તેથી મૂળ સમીકરણના મૂળની સંખ્યા વધે છે. જ્યારે વર્તુળનો એક ક્વાર્ટર સીધી રેખાઓને સ્પર્શે ત્યારે તેમાંથી બરાબર 7 હશે. આ કિસ્સામાં, સૂત્ર (3) પર આધારિત

જવાબ: સમીકરણમાં સાત ઉકેલો છે

નૉૅધ. પ્રથમ નજરમાં, એવું લાગે છે કે સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલી રેખાના વર્તુળ સ્પર્શકનો ક્વાર્ટર બિંદુઓમાંથી પસાર થશે અને. વાસ્તવમાં આવું નથી, કારણ કે આવા વર્તુળની ત્રિજ્યા છે

એ જ રીતે, એક સીધી રેખા તરફનો ક્વાર્ટર વર્તુળ સ્પર્શક બિંદુઓમાંથી પસાર થશે નહીં અને, કારણ કે આ વર્તુળની ત્રિજ્યા

ઉદાહરણ 4. પરિમાણ a ના તમામ મૂલ્યો શોધો જેના માટે નંબર 2 એ સમીકરણનું મૂળ છે

ચાલો તેને સમીકરણમાં મૂકીએ.

જવાબ: જ્યારે સમીકરણનું મૂળ છે.

ઉદાહરણ 5. પરિમાણ a ના તમામ માન્ય મૂલ્યો માટે, સમીકરણ ઉકેલો

ચાલો કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ. દેખીતી રીતે, .

ચાલો કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ.

અંકગણિત સરેરાશ અને બે હકારાત્મક સંખ્યાઓના ભૌમિતિક સરેરાશ (), તેમજ ફંક્શન g(x) ની વિચિત્રતા ગુણધર્મ વિશેની અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ.

આમ અમારી પાસે છે

પછી, પ્રમેય 7 દ્વારા, મૂળ સમીકરણ બે પ્રણાલીઓના સંગ્રહની સમકક્ષ છે

જવાબ: ક્યારે, ; ખાતે; જ્યારે કોઈ ઉકેલ નથી.

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉપરાંત, પરિમાણોની સમસ્યાઓમાં વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ વિધેયો ધરાવતા પરિમાણોમાં પણ સમસ્યાઓ છે.

ચાલો વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યોની વ્યાખ્યાઓ યાદ કરીએ:

1. એ અંતરાલ [-1;1] પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ ફંક્શન છે, ફંક્શનનો વ્યસ્ત. આમ,

2. એ અંતરાલ [-1;1] પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ ફંક્શન છે, ફંક્શનનો વ્યસ્ત. આમ,

સેગમેન્ટ [-1;1] માંથી કોઈપણ x માટે અમારી પાસે છે:

3. એક અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ કાર્ય છે, ફંક્શનનો વ્યસ્ત. આમ,

કોઈપણ x માટે અમારી પાસે છે:

4. એક અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ કાર્ય છે, ફંક્શનનો વ્યસ્ત. આમ,

કોઈપણ x માટે અમારી પાસે છે:

વિધેયોને વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ વિધેયો અથવા ચાપ કાર્યો કહેવામાં આવે છે. ચાલો કેટલીક મહત્વપૂર્ણ ઓળખો નોંધીએ

ઉદાહરણ 6. પરિમાણ a ના દરેક માન્ય મૂલ્ય માટે, સમીકરણ ઉકેલો

ચાલો ઓળખનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની ડાબી બાજુ બદલીએ

કોઓર્ડિનેટ પ્લેન tOb (ફિગ. 12) પર, તમામ બિંદુઓનો સમૂહ (t;b), સંકલન અને પરિમાણ મૂલ્યો જેમાંથી દરેક મિશ્રિત સિસ્ટમને સંતોષે છે (2), (3), પેરાબોલાના ભાગ છે સિસ્ટમ (2), (3) ની અસમાનતાઓ દ્વારા નિર્દિષ્ટ પ્રદેશમાં સ્થિત છે.

તેથી, જો

જવાબ: જો, તો પછી;

જો, તો પછી કોઈ ઉકેલો નથી.

ઉદાહરણ 7. પરિમાણ a ના તમામ મૂલ્યો શોધો, જેમાંના દરેક સમીકરણ માટે

બરાબર ત્રણ ઉકેલો છે.

ચાલો મૂળ સમીકરણને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ

કારણ કે સમાનતા તેની સમકક્ષ છે અને મૂળ સમીકરણ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણની સમકક્ષ છે

ચાલો સમીકરણ (1) હલ કરીએ.

જ્યારે સમૂહ, અને તેથી સમીકરણ (1), ફોર્મના અનંત ઘણા મૂળ ધરાવે છે: , જે સ્થિતિને સંતોષે છે (2). એટલે કે, તે કાર્યની જરૂરિયાતને સંતોષતું નથી.

જ્યારે સમીકરણ (1) ફોર્મના અનંત ઘણા મૂળ ધરાવે છે: .

તેમના માટે, સ્થિતિ (2) અસમાનતામાં ફેરવાય છે

પરિમાણ a જવાબમાં સમાવવામાં આવેલ છે જો અને માત્ર જો આ અસમાનતામાં બરાબર ત્રણ પૂર્ણાંક ઉકેલો હોય. બે સંખ્યાઓના તફાવતના મોડ્યુલસના ભૌમિતિક અર્થઘટનનો ઉપયોગ કરીને, તે સ્પષ્ટ છે કે આ અસમાનતાની સમકક્ષ છે.

શરત ધ્યાનમાં લેતા, અમે મેળવીએ છીએ

જો સમીકરણ (1) ના ઉકેલો બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, તો સ્થિતિ (2) સ્વરૂપ લે છે: , તેથી મૂળ સમીકરણના ઉકેલોનો સમૂહ એક અંતરાલ છે. આ સમૂહ અનંત હોવાથી, મૂલ્ય જવાબમાં સમાવેલ નથી.

જવાબ: જ્યારે સમીકરણમાં બરાબર ત્રણ ઉકેલો હોય.

ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલી તમામ સમસ્યાઓના આધારે, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે "બ્રાન્ચિંગ" પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ અને ચોથા પ્રકારનાં પરિમાણો સાથે અતીન્દ્રિય સમીકરણો ઉકેલવા શ્રેષ્ઠ છે, કારણ કે દરેક સંભવિત મૂલ્ય માટે ચલના તમામ મૂલ્યો શોધવા જરૂરી છે. પેરામીટર (અથવા આપેલ અંતરાલમાંથી પેરામીટર મૂલ્યો માટે) અથવા જેના હેઠળ ઉકેલોનો સમૂહ આપેલ શરતોને સંતોષે છે. જો કે, આ પદ્ધતિ હંમેશા ભરોસાપાત્ર હોતી નથી, કારણ કે ઉકેલની પ્રક્રિયા ખૂબ લાંબી અને જટિલ હોય છે, તેથી શરૂઆતમાં તે નક્કી કરવા માટે સલાહ આપવામાં આવે છે કે આપેલ સમીકરણ માટે કાર્યાત્મક અભિગમ લાગુ કરવો શક્ય છે કે કેમ, જે ઉકેલને નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવે છે.

પરંતુ ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બીજા અને ત્રીજા પ્રકારનાં પરિમાણો સાથે અતીન્દ્રિય સમીકરણો ઉકેલવા વધુ સરળ છે, કારણ કે સ્થિતિ માટે માત્ર પરિમાણના મૂલ્યના આધારે ઉકેલોની સંખ્યા અથવા તેનાથી વિપરીત, પરિમાણના મૂલ્યો નક્કી કરવાની જરૂર છે. જેમાં સમસ્યાના ઉકેલોની સંખ્યા આપવામાં આવી છે. જ્યારે ઉલ્લેખિત શરતો પૂરી થાય છે ત્યારે પ્લોટ કરેલા ગ્રાફ સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે.

જો કે, એક અથવા બીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો હંમેશા શક્ય નથી; કેટલીકવાર એવી સમસ્યાઓ હોય છે જેને એક નહીં, પરંતુ ઘણી ઉકેલ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર હોય છે.

આલેખ અને તેમના કાર્યો

શાળા અભ્યાસક્રમમાં ત્રિકોણમિતિ કાર્યોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે તે હકીકતને કારણે, નિબંધમાં તેમના પર ન્યૂનતમ ધ્યાન આપવામાં આવે છે. તમામ મુખ્ય જોગવાઈઓ કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ છે (જુઓ પરિશિષ્ટ 12), અને તેમના આલેખ નીચે આપેલા છે (પરિશિષ્ટ 13 જુઓ)...

અતાર્કિક કાર્યોનું એકીકરણ

અતાર્કિક કાર્યોના અવિભાજ્યમાં, ફોર્મના અભિન્ન ભાગોમાં ખૂબ જ વ્યવહારુ એપ્લિકેશન છે. આવા પૂર્ણાંકો ત્રિકોણમિતિ અવેજીનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે. ચાલો આમૂલ ચિહ્ન હેઠળ સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરીએ: , અને પછી બદલીએ...

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવાની વિદ્યાર્થીઓની ક્ષમતા વિકસાવવાની પ્રક્રિયામાં, ત્રણ તબક્કાઓને અલગ પાડવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે: 1. પ્રારંભિક, 2. સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવાની ક્ષમતા વિકસાવવી, 3...

સમીકરણ F(x,y,...,z;b,c,...,z)=0 (1) અજાણ્યા x, y, ..., z સાથે અને પરિમાણો b,c, .. સાથે ધ્યાનમાં લો. , g; પેરામીટર મૂલ્યોની કોઈપણ સ્વીકાર્ય સિસ્ટમ માટે, સમીકરણ F(x, y,..., z; b0, b0,...) , z0) = 0 (2) અજ્ઞાત સાથે x, y,..., z...

ઉદાહરણ 1: સમીકરણ (a 2 -4) сosh=a+2 માં ઉકેલો છે તે પરિમાણના કયા મૂલ્યો પર નિર્ધારિત કરો. ઉકેલ: a 2 -4=0 a 2 =4.a=±2. a) જો a=2, તો આ સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: 0 cos=4 0=4 – કોઈ ઉકેલ નથી. b) જો a = -2, તો આ સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: 0 cos = 0 0 = 0 - x R માટે સાચું. તેથી, a = -2 માટે, x કોઈપણ છે. c) જો a ±2 હોય, તો આપણે ત્યારથી ફોર્મમાં સમીકરણ લખીએ, તો સમીકરણમાં ઉકેલો હોય તો જવાબ: a (- ;1] )