ધારો કે તમારે ત્રિકોણ ABC નો વિસ્તાર નક્કી કરવાની જરૂર છે. ચાલો તેના શિરોબિંદુઓ C અને B દ્વારા સીધી રેખાઓ દોરીએ, બાજુઓની સમાંતરએબી અને એસી.
આપણને સમાંતર ABC મળે છે. તેનું ક્ષેત્રફળ આધાર AB અને ઊંચાઈ CO ના ગુણાંક જેટલું છે. સમાંતર ABC બે સમાવે છે સમાન ત્રિકોણ ABC અને BCD, તેથી, ત્રિકોણ ABC નો વિસ્તાર સમાંતરગ્રામના અડધા વિસ્તાર જેટલો છે, એટલે કે S \(\Delta\)ABC = 1/2 AB CO.
અહીંથી: ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ તેના આધાર અને ઊંચાઈના અડધા ગુણાંક જેટલું છે.
S \(\Delta\) = \(\frac(a h)(2)\)
આ સૂત્રને નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય છે:
S \(\Delta\) = \(\frac(a)(2)\) h, અથવા S \(\Delta\) = a\(\frac(h)(2)\).
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટેના સૂત્રો
1. ભૂમિતિમાંથી, હેરોનનું સૂત્ર જાણીતું છે:
$$ S = \sqrt(р (р - a)(р - b) (р - с)),$$
(જ્યાં p = ( a + b + c) / 2 -સેમિપિરિમીટર), જે તમને તેની બાજુઓના આધારે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે.
2 . પ્રમેય. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બે બાજુઓના અડધા ગુણાંક અને તેમની વચ્ચેના કોણની સાઈન જેટલું છે:
એસ = 1/2 પૂર્વેપાપ એ.
પુરાવો.ભૂમિતિથી તે જાણીતું છે કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણની બાજુના ઉત્પાદનના અડધા જેટલું છે અને વિરુદ્ધ શિરોબિંદુથી આ બાજુની ઊંચાઈ ઓછી છે.
એસ = 1/2 b h b (1)
જો કોણ A તીવ્ર હોય, તો ત્રિકોણ ABN માંથી આપણને ВН = મળે છે h b = cપાપ એ.
જો કોણ A સ્થૂળ હોય, તો
VN = h b = cપાપ (π - A) = સાથેપાપ એ.
જો કોણ A સાચો હોય, તો પાપ A = 1 અને
h b= AB = સાથે = સાથેપાપ એ.
તેથી, બધા કિસ્સાઓમાં h b = c sin A. સમાનતા (1) માં અવેજીમાં, અમે સાબિત કરવા માટેનું સૂત્ર મેળવીએ છીએ.
એ જ રીતે આપણે સૂત્રો મેળવીએ છીએ: S = 1/2 ab sin C = 1/2 એસીપાપ બી
3. સાઈન પ્રમેયના આધારે:
$$ b = \frac(a sinB)(sinA); \;\; c = \frac(a sinC)(sinA) $$
આ અભિવ્યક્તિઓને સૂત્ર (1) માં બદલીને, આપણે મેળવીએ છીએ નીચેનું સૂત્ર:
$$ S = \frac(a^2 sinB sinC)(2sinA) $$
ચોરસ ત્રિકોણ ABC 198 ની બરાબર છે. દ્વિભાજક AL એ મધ્ય BM ને બિંદુ K પર છેદે છે. જો તે BL:CL=7:4 જાણીતું હોય તો MCLK ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
અમે સ્કેચ બનાવીએ છીએ:
સમસ્યાના ઉકેલની પ્રગતિને તરત જ જોવી ખૂબ મુશ્કેલ છે, પરંતુ આપણે હંમેશા પ્રશ્ન ઉભો કરી શકીએ છીએ: સ્થિતિ અને અમને જાણીતા ગુણધર્મોમાં ડેટાનો ઉપયોગ કરીને શું શોધી શકાય છે?
આપણે કેટલાક ત્રિકોણના ક્ષેત્રો નક્કી કરી શકીએ છીએ, ધ્યાનમાં લો:
AM=MC હોવાથી, આનો અર્થ એ છે કે ત્રિકોણના વિસ્તારો સમાન હશે, એટલે કે:
ત્રિકોણ ALB અને ALC ને ધ્યાનમાં લો. શરત કહે છે કે BL:CL=7:4. ચાલો પ્રમાણસરતા ગુણાંક "x" નો પરિચય કરીએ અને તેમના ક્ષેત્રો માટે સૂત્રો લખીએ:
વિસ્તાર ગુણોત્તર હશે:
અમે એ પણ જાણીએ છીએ કે S ALB + S ALC = 198. અમે વિસ્તારોની ગણતરી કરી શકીએ છીએ:
મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે સ્થિતિમાં અમને કોઈપણ ખૂણા અને રેખીય પરિમાણો (તત્વોની લંબાઈ) આપવામાં આવ્યાં નથી, તેથી ખૂણાઓ અને લંબાઈ (બાજુઓ, મધ્યક, દ્વિભાજકો, વગેરે) ની ગણતરી કરવામાં મહેનત બગાડવાની જરૂર નથી. શા માટે?
જ્યારે સ્થિતિ સેગમેન્ટ્સ (કોણ) ના ગુણોત્તર આપે છે અને ત્યાં એક પણ વિશિષ્ટ મૂલ્ય નથી, તો મોટા ભાગે આવા ડેટા સાથે આકૃતિના ઘણા પ્રકારો બાંધવાનું શક્ય છે. *દરેક વિદ્યાર્થી આને તરત જ જોઈ શકતો નથી;
તેથી માં સમાન કેસોસંબંધોનો ઉપયોગ કરવાનો પ્રયત્ન કરો - એટલે કે: તત્વો, વિસ્તારો વચ્ચેના સંબંધો, જો શક્ય હોય તો ત્રિકોણની સમાનતાનો ઉપયોગ કરો.
અહીં આપણે ત્રિકોણની બાજુઓનો ગુણોત્તર શોધી શકીએ છીએ. ચાલો ત્રિકોણના ક્ષેત્રો વ્યક્ત કરીએ:
એ હકીકતના આધારે કે AM=MC તે તેને અનુસરે છે
હવે ધ્યાન આપો! અમે અંતની નજીક છીએ. ત્યાં એક વધુ સંબંધ છે જેમાંથી આપણે બે ત્રિકોણના ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર સ્થાપિત કરી શકીએ છીએ. ચાલો ત્રિકોણના વિસ્તારો વ્યક્ત કરીએ.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ABCની સમાન 12
. સીધી રેખા પર એસીપોઇન્ટ લેવામાં આવ્યો ડીતેથી
બિંદુ સીસેગમેન્ટનો મધ્યબિંદુ છે ઈ.સ. ડોટ કે- બાજુની મધ્યમાં એબી,
સીધા કેડીબાજુ પાર કરે છે બી.સી.બિંદુ પર એલ.
એ) સાબિત કરો BL:LC=2:1.
b) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો BLK.
સૌપ્રથમ, આપણે જઈએ તેમ સેગમેન્ટ્સની સમાનતાને ધ્યાનમાં રાખીને કાળજીપૂર્વક એક ડ્રોઈંગ બનાવીશું.
હવે બિંદુઓને કનેક્ટ કરીને તે જોવાનું સરળ છે INઅને ડી, આપણને ત્રિકોણ મળે છે એબીડી,
જેમાં ડીકેઅને સૂર્યવ્યાખ્યા પ્રમાણે મધ્યક છે (શું તમને તે યાદ છે?)
અને આંતરછેદ બિંદુ પરના મધ્યકોને ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે 2: 1
, ઉપરથી ગણતરી.
થઈ ગયું. લખો, શું તમે આ મિલકત જાતે સાબિત કરી શકો છો?
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો BLKતે અલગ અલગ રીતે કરી શકાય છે. દો AE- ત્રીજો મધ્યક
ત્રિકોણ એબીડી, તે બિંદુમાંથી પસાર થશે એલપ્રથમ બેનું આંતરછેદ.
મધ્યક સૂર્યત્રિકોણને વિભાજિત કરે છે એબીડીબે સમાન ત્રિકોણમાં.
તેથી વિસ્તાર એબીડીબમણું વધુ વિસ્તાર ABCઅને બરાબર છે 12 2 = 24.
ત્રણ મધ્યકો ત્રિકોણને છ સમાન ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરે છે.
અહીંથી ઇચ્છિત ત્રિકોણનો વિસ્તાર શોધવાનું સરળ છે BLK. 24:6 = 4
.
હું નોંધું છું કે આ બંને નિવેદનો પણ સાબિત કરવા સક્ષમ હોવા જોઈએ.
========================================
તમે ત્રિકોણના ક્ષેત્રોની તુલના કરી શકો છો BLKઅને ABCમધ્યને સ્પર્શ કર્યા વિના.
આ ત્રિકોણ હોય છે સામાન્ય કોણ IN, ચાલો આ હકીકતનો લાભ લઈએ.
ચાલો હવે વિસ્તાર ગુણોત્તર શોધીએ:
આમ, વિસ્તાર BLKત્રણ વખત ઓછો વિસ્તાર ABC.
