A megoldás leírása. Egyenlet a teljes differenciálokban Az egyenlet definíciója a teljes differenciálokban

néhány funkciót. Ha visszaállítunk egy függvényt a teljes differenciáljából, akkor megtaláljuk a differenciálegyenlet általános integrálját. Az alábbiakban arról fogunk beszélni módszer a függvény teljes differenciáljából való visszaállítására.

A differenciálegyenlet bal oldala valamely függvény teljes differenciálja U(x, y) = 0, ha a feltétel teljesül.

Mert teljes differenciálmű U(x, y) = 0 Ez , ami azt jelenti, hogy a feltétel teljesülésekor ki van írva, hogy .

Akkor, .

A rendszer első egyenletéből kapjuk . A függvényt a rendszer második egyenletével találjuk meg:

Így megtaláljuk a kívánt függvényt U(x, y) = 0.

Példa.

Keressünk egy általános megoldást a DE-re .

Megoldás.

Példánkban. A feltétel teljesül, mert:

Ekkor a kezdeti differenciálegyenlet bal oldala valamely függvény teljes differenciálja U(x, y) = 0. Meg kell találnunk ezt a függvényt.

Mert a függvény teljes differenciája U(x, y) = 0, Jelentése:

.

által integrálunk x A rendszer 1. egyenlete, és differenciáld a rendszert y eredmény:

.

A rendszer 2. egyenletéből kapjuk. Eszközök:

Ahol VAL VEL- tetszőleges állandó.

Így az adott egyenlet általános integrálja az lesz .

Van egy második is egy függvény kiszámításának módszere a teljes differenciáljából. Egy fix pont egyenes integráljának felvételéből áll (x 0, y 0) változó koordinátájú ponthoz (x, y): . Ebben az esetben az integrál értéke független az integráció útjától. Kényelmes olyan szaggatott vonalat venni integrációs útnak, amelynek kapcsolatai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel.

Példa.

Keressünk egy általános megoldást a DE-re .

Megoldás.

Ellenőrizzük a feltétel teljesülését:

Így a differenciálegyenlet bal oldala valamely függvény teljes differenciálja U(x, y) = 0. Keressük meg ezt a függvényt a pont görbe integráljának kiszámításával (1; 1) előtt (x, y). Az integráció útjaként szaggatott vonalat veszünk: a szaggatott vonal első szakaszát egyenesen haladjuk át y = 1 pontból (1, 1) előtt (x, 1), az út második szakaszaként egy egyenes szakaszt veszünk a pontból (x, 1) előtt (x, y):

Tehát a távirányító általános megoldása így néz ki: .

Példa.

Határozzuk meg a DE általános megoldását.

Megoldás.

Mert , ami azt jelenti, hogy a feltétel nem teljesül, akkor a differenciálegyenlet bal oldala nem lesz a függvény teljes differenciája, és a második megoldási módot kell használni (ez az egyenlet elválasztható változókkal rendelkező differenciálegyenlet).

Differenciális formaegyenletnek nevezzük

P(x,y)dx + K(x,y)dy = 0 ,

ahol a bal oldal két változó bármely függvényének teljes differenciája.

Jelöljük két változó ismeretlen függvényét (ezt kell megtalálni az egyenletek teljes differenciálbeli megoldásánál) Fés hamarosan visszatérünk rá.

Az első dolog, amire figyelni kell, hogy az egyenlet jobb oldalán egy nullának kell lennie, a bal oldalon pedig a két tagot összekötő jelnek plusznak kell lennie.

Másodszor, bizonyos egyenlőséget kell megfigyelni, ami megerősíti, hogy ez a differenciálegyenlet a teljes differenciál egyenlete. Ez az ellenőrzés kötelező része a teljes differenciálegyenletek megoldására szolgáló algoritmusnak (a lecke második bekezdésében található), tehát a függvény keresésének folyamata F meglehetősen munkaigényes, és fontos, hogy a kezdeti szakaszban megbizonyosodjunk arról, hogy ne vesztegessük az időt.

Tehát az ismeretlen függvényt, amelyet meg kell találni, jelöli F. Az összes független változó részleges különbségeinek összege adja a teljes különbséget. Ezért, ha az egyenlet teljes differenciálegyenlet, akkor az egyenlet bal oldala a parciális differenciálok összege. Akkor definíció szerint

dF = P(x,y)dx + K(x,y)dy .

Emlékezzünk vissza a képletre, amellyel két változó függvénye teljes differenciáját számíthatjuk ki:

Az utolsó két egyenlőség megoldásával írhatunk

.

Megkülönböztetjük az első egyenlőséget az „y” változóval, a másodikat az „x” változóval:

.

ami feltétele annak, hogy egy adott differenciálegyenlet valóban teljes differenciálegyenlet legyen.

Algoritmus differenciálegyenletek megoldására összdifferenciálokban

1. lépés. Győződjön meg arról, hogy az egyenlet teljes differenciálegyenlet. A kifejezés érdekében valamely funkció teljes különbsége volt F(x, y) szükséges és elégséges ahhoz, hogy . Más szóval, a részleges származékot kell figyelembe vennie xés a részleges származéka tekintetében y egy másik tag, és ha ezek a származékok egyenlőek, akkor az egyenlet egy teljes differenciálegyenlet.

2. lépés.Írja fel a függvényt alkotó parciális differenciálegyenlet-rendszert! F:

3. lépés Integrálja a rendszer első egyenletét - by x (y F:

,
y.

Egy alternatív lehetőség (ha így könnyebb megtalálni az integrált) a rendszer második egyenletének integrálása - y (xállandó marad, és kikerül az integráljelből). Ily módon a funkció is visszaáll F:

,
hol van egy még ismeretlen függvénye x.

4. lépés A 3. lépés eredményét (a talált általános integrált) a y(alternatíva - szerint x) és egyenlő a rendszer második egyenletével:

,

és egy alternatív változatban - a rendszer első egyenletéhez:

.

A kapott egyenletből meghatározzuk (alternatíva)

5. lépés. A 4. lépés eredménye az integrálás és a keresés (vagyis: find ).

6. lépés. Helyettesítse az 5. lépés eredményét a 3. lépés eredményére - a részleges integrációval visszaállított funkcióba F. Önkényes állandó C gyakran az egyenlőségjel után írják - az egyenlet jobb oldalán. Így kapunk egy általános megoldást a differenciálegyenletre a teljes differenciálokban. Mint már említettük, megvan a formája F(x, y) = C.

Példák differenciálegyenletek megoldására összdifferenciálokban

1. példa

1. lépés. egyenlet a teljes differenciálokban x egy kifejezést a kifejezés bal oldalán

és a részleges származéka tekintetében y másik kifejezés
egyenlet a teljes differenciálokban .

2. lépés. F:

3. lépésÁltal x (yállandó marad, és kikerül az integráljelből). Így visszaállítjuk a funkciót F:

hol van egy még ismeretlen függvénye y.

4. lépés y

.

.

5. lépés.

6. lépés. F. Önkényes állandó C :
.

Milyen hiba fordulhat elő itt leginkább? A leggyakoribb hibák az, hogy a függvények szorzatának szokásos integráljához tartozó változók egyikére parciális integrált vesznek, és megpróbálnak részenként vagy helyettesítő változónként integrálni, valamint két tényező parciális deriváltját veszik egy függvény deriváltjaként. függvények szorzata, és keresse meg a deriváltot a megfelelő képlet segítségével.

Emlékeztetni kell erre: ha az egyik változóhoz viszonyított parciális integrált számítunk ki, akkor a másik konstans, és kikerül az integrál előjeléből, az egyik változóra vonatkozó parciális derivált számításakor pedig a másik is konstans, és a kifejezés deriváltja a „ható” változó származékaként szorozva az állandóval.

Között egyenletek teljes differenciálokban Nem ritka, hogy exponenciális függvényt tartalmazó példákat találunk. Ez a következő példa. Figyelemre méltó az is, hogy megoldása alternatív lehetőséget használ.

2. példa Differenciálegyenlet megoldása

.

1. lépés. Győződjön meg arról, hogy az egyenlet igaz egyenlet a teljes differenciálokban . Ehhez megkeressük a parciális deriváltot x egy kifejezést a kifejezés bal oldalán

és a részleges származéka tekintetében y másik kifejezés
. Ezek a származékok egyenlőek, ami azt jelenti, hogy az egyenlet egyenlet a teljes differenciálokban .

2. lépés.Írjunk fel egy parciális differenciálegyenlet-rendszert, amelyek a függvényt alkotják F:

3. lépés Integráljuk a rendszer második egyenletét - by y (xállandó marad, és kikerül az integráljelből). Így visszaállítjuk a funkciót F:

hol van egy még ismeretlen függvénye x.

4. lépés Megkülönböztetjük a 3. lépés eredményét (a talált általános integrált) a -hoz képest x

és egyenlő a rendszer első egyenletével:

A kapott egyenletből meghatározzuk:
.

5. lépés. Integráljuk a 4. lépés eredményét, és megtaláljuk:
.

6. lépés. Az 5. lépés eredményét behelyettesítjük a 3. lépés eredményébe - a részleges integrációval visszaállított funkcióba F. Önkényes állandó Círd az egyenlőségjel mögé. Így megkapjuk a végösszeget differenciálegyenlet megoldása teljes differenciálokban :
.

A következő példában egy alternatív lehetőségről térünk vissza a fő opcióhoz.

3. példa Differenciálegyenlet megoldása

1. lépés. Győződjön meg arról, hogy az egyenlet igaz egyenlet a teljes differenciálokban . Ehhez megkeressük a parciális deriváltot y egy kifejezést a kifejezés bal oldalán

és a részleges származéka tekintetében x másik kifejezés
. Ezek a származékok egyenlőek, ami azt jelenti, hogy az egyenlet egyenlet a teljes differenciálokban .

2. lépés.Írjunk fel egy parciális differenciálegyenlet-rendszert, amelyek a függvényt alkotják F:

3. lépés Integráljuk a rendszer első egyenletét - Által x (yállandó marad, és kikerül az integráljelből). Így visszaállítjuk a funkciót F:

hol van egy még ismeretlen függvénye y.

4. lépés Megkülönböztetjük a 3. lépés eredményét (a talált általános integrált) a -hoz képest y

és egyenlő a rendszer második egyenletével:

A kapott egyenletből meghatározzuk:
.

5. lépés. Integráljuk a 4. lépés eredményét, és megtaláljuk:

6. lépés. Az 5. lépés eredményét behelyettesítjük a 3. lépés eredményébe - a részleges integrációval visszaállított funkcióba F. Önkényes állandó Círd az egyenlőségjel mögé. Így megkapjuk a végösszeget differenciálegyenlet megoldása teljes differenciálokban :
.

4. példa Differenciálegyenlet megoldása

1. lépés. Győződjön meg arról, hogy az egyenlet igaz egyenlet a teljes differenciálokban . Ehhez megkeressük a parciális deriváltot y egy kifejezést a kifejezés bal oldalán

és a részleges származéka tekintetében x másik kifejezés
. Ezek a deriváltak egyenlőek, ami azt jelenti, hogy az egyenlet egy teljes differenciálegyenlet.

2. lépés.Írjunk fel egy parciális differenciálegyenlet-rendszert, amelyek a függvényt alkotják F:

3. lépés Integráljuk a rendszer első egyenletét - Által x (yállandó marad, és kikerül az integráljelből). Így visszaállítjuk a funkciót F:

hol van egy még ismeretlen függvénye y.

4. lépés Megkülönböztetjük a 3. lépés eredményét (a talált általános integrált) a -hoz képest y

és egyenlő a rendszer második egyenletével:

A kapott egyenletből meghatározzuk:
.

5. lépés. Integráljuk a 4. lépés eredményét, és megtaláljuk:

6. lépés. Az 5. lépés eredményét behelyettesítjük a 3. lépés eredményébe - a részleges integrációval visszaállított funkcióba F. Önkényes állandó Círd az egyenlőségjel mögé. Így megkapjuk a végösszeget differenciálegyenlet megoldása teljes differenciálokban :
.

5. példa. Differenciálegyenlet megoldása

.

1. lépés. Győződjön meg arról, hogy az egyenlet igaz egyenlet a teljes differenciálokban . Ehhez megkeressük a parciális deriváltot y egy kifejezést a kifejezés bal oldalán

és a részleges származéka tekintetében x másik kifejezés
. Ezek a származékok egyenlőek, ami azt jelenti, hogy az egyenlet egyenlet a teljes differenciálokban .

Megmutatja, hogyan lehet felismerni egy differenciálegyenletet a teljes differenciálokban. Megoldási módszereket adunk meg. Példa a teljes differenciálegyenlet kétféle megoldására.

Bevezetés

Ha ilyen U függvényt találunk (x, y), akkor az egyenlet a következő alakot veszi fel:
dU (x, y) = 0.
Általános integrálja:
U (x, y) = C,
ahol C egy állandó.

Ha egy elsőrendű differenciálegyenletet a deriváltja szerint írunk fel:
,
akkor könnyű formába hozni (1) . Ehhez szorozzuk meg az egyenletet dx-el. Akkor . Ennek eredményeképpen egy differenciálegyenletet kapunk:
(1) .

Differenciálegyenlet tulajdonságai teljes differenciálokban

Annak érdekében, hogy az egyenlet (1) egyenlet volt a teljes differenciálokban, szükséges és elegendő ahhoz, hogy a reláció teljesüljön:
(2) .

Bizonyíték

Feltételezzük továbbá, hogy a bizonyításban használt összes függvény definiált, és megfelelő deriváltjaik vannak az x és y változók bizonyos értéktartományában. x pont 0, y 0 is ehhez a területhez tartozik.

Bizonyítsuk be a (2) feltétel szükségességét!.
Legyen az egyenlet bal oldala (1) valamilyen U függvény differenciálja (x, y):
.
Akkor
;
.
Mivel a második derivált nem függ a differenciálás sorrendjétől, akkor
;
.
Ebből következik, hogy . (2) Szükséges feltétel

igazolt..
Bizonyítsuk be a (2) feltétel elégségességét! (2) :
(2) .
A feltétel teljesüljön (x, y) Mutassuk meg, hogy lehetséges ilyen U függvényt találni
.
hogy a különbsége: (x, y) Ez azt jelenti, hogy van ilyen U függvény
(3) ;
(4) .
, amely kielégíti a következő egyenleteket: (3) Keressünk egy ilyen függvényt. Integráljuk az egyenletet 0 x-szel x-ből
;
;
(5) .
x-hez, feltételezve, hogy y konstans: (2) :

.
Megkülönböztetünk y-t, feltéve, hogy x konstans és érvényes (4) Az egyenlet
.
végrehajtásra kerül, ha 0 Integrálja y-t y-ból
;
;
.
y-nek: (5) :
(6) .
Csere be
.
Tehát találtunk egy függvényt, amelynek differenciálja

Az elégségesség bebizonyosodott. (6) A képletben ,U(x 0, y 0) (x, y) egy állandó - az U függvény értéke 0, y 0 x pontban

. Bármilyen értéket hozzá lehet rendelni.

Hogyan lehet felismerni egy differenciálegyenletet a teljes differenciálokban
(1) .
Tekintsük a differenciálegyenletet: (2) :
(2) .
Annak meghatározásához, hogy ez az egyenlet a teljes differenciálban szerepel-e, ellenőriznie kell a feltételt

Ha teljesül, akkor ez az egyenlet teljes differenciálban van. Ha nem, akkor ez nem egy teljes differenciálegyenlet.

Ellenőrizze, hogy az egyenlet teljes differenciálban van-e:
.

Itt
, .
Megkülönböztetünk y-t, figyelembe véve x állandót:


.
Tegyünk különbséget


.
Mert a:
,
akkor az adott egyenlet teljes differenciálokban van.

Differenciálegyenletek megoldási módszerei teljes differenciálokban

Szekvenciális differenciális extrakciós módszer

Az egyenlet teljes differenciálokban való megoldásának legegyszerűbb módja a differenciál szekvenciális elkülönítése. Ehhez differenciálformában írt differenciálképleteket használunk:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (UV);
;
.
Ezekben a képletekben u és v tetszőleges kifejezések, amelyek változók tetszőleges kombinációjából állnak.

1. példa

Oldja meg az egyenletet:
.

Korábban azt találtuk, hogy ez az egyenlet teljes differenciálban van. Alakítsuk át:
(P1) .
Az egyenletet a differenciál szekvenciális elkülönítésével oldjuk meg.
;
;
;
;

.
y-nek: (P1):
;
.

Egymást követő integrációs módszer

Ebben a módszerben az U függvényt keressük (x, y), kielégítve a következő egyenleteket:
(3) ;
(4) .

Integráljuk az egyenletet (3) x-ben, figyelembe véve y állandót:
.
Itt φ (y)- y tetszőleges függvénye, amelyet meg kell határozni. Ez az integráció állandója. Helyettesítsd be az egyenletbe (4) :
.
Innen:
.
Integrálva φ-t találunk (y)és így U (x, y).

2. példa

Oldja meg az egyenletet teljes differenciálokban:
.

Korábban azt találtuk, hogy ez az egyenlet teljes differenciálban van. Vezessük be a következő jelölést:
, .
U funkciót keresek (x, y), amelynek differenciálja az egyenlet bal oldala:
.
Akkor:
(3) ;
(4) .
Integráljuk az egyenletet (3) x-ben, figyelembe véve y állandót:
(P2)
.
Különbségtétel y szerint:

.
Cseréljük be (4) :
;
.
Integráljunk:
.
Cseréljük be (P2):

.
Az egyenlet általános integrálja:
U (x, y) = állandó.
Két állandót egyesítünk egybe.

Görbe mentén történő integrálás módszere

U függvény, amelyet a reláció határoz meg:
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
Ezt az egyenletet a pontokat összekötő görbe mentén integrálva találhatjuk meg ,UÉs (x, y):
(7) .
Mert a
(8) ,
akkor az integrál csak az iniciálé koordinátáitól függ ,Ués végleges (x, y) pont, és nem függ a görbe alakjától. Tól től (7) És (8) találunk:
(9) .
Itt x 0 és y 0 - állandó. Ezért U ,U- állandó is.

Példát kaptunk U ilyen definíciójára a bizonyításban:
(6) .
Itt először az y tengellyel a ponttól induló szegmens mentén hajtjuk végre az integrációt (x 0, y 0) lényegre törő (x 0, y). Ezután az integrációt egy, az x tengellyel párhuzamos szakasz mentén hajtjuk végre a ponttól számítva (x 0, y) lényegre törő (x, y) .

Általánosabban fogalmazva, a pontokat összekötő görbe egyenletét kell ábrázolnia (x 0, y 0)És (x, y) paraméteres formában:
x 1 = s(t 1); y 1 = r(t 1);
x 0 = s(t 0); y 0 = r(t 0);
x = s (t); y = r (t);
és integráljuk t felett 1 a t 0 hogy t.

Az integráció legegyszerűbb módja egy szegmens összekötő pontokon keresztül (x 0, y 0)És (x, y). Ebben az esetben:
x 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 = y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Behelyettesítés után megkapjuk a t feletti integrált 0 előtt 1 .
Ez a módszer azonban meglehetősen nehézkes számításokhoz vezet.

Referenciák:
V.V. Stepanov, Differenciálegyenletek tanfolyama, "LKI", 2015.

Meghatározás 8.4. Az alak differenciálegyenlete

Ahol
teljes differenciálegyenletnek nevezzük.

Figyeljük meg, hogy egy ilyen egyenlet bal oldala valamely függvény teljes differenciája
.

Általában a (8.4) egyenlet a következőképpen ábrázolható

A (8.5) egyenlet helyett az egyenletet tekinthetjük

,

melynek megoldása a (8.4) egyenlet általános integrálja. Így a (8.4) egyenlet megoldásához meg kell találni a függvényt
. A (8.4) egyenlet definíciójával összhangban van

(8.6)

Funkció
olyan függvényt fogunk keresni, amely kielégíti a következő feltételek egyikét (8.6):

Ahol - től független tetszőleges függvény .

Funkció
úgy van definiálva, hogy a (8.6) kifejezés második feltétele teljesüljön

(8.7)

A (8.7) kifejezésből meghatározzuk a függvényt
. Behelyettesítve a kifejezésbe
és megkapjuk az eredeti egyenlet általános integrálját.

8.3. probléma. Integrálja az egyenletet

Itt
.

Ezért ez az egyenlet az összdifferenciálegyenletek típusához tartozik. Funkció
formában fogjuk keresni

.

A másik oldalon,

.

Egyes esetekben az állapot
nem teljesülhet.

Ezután az ilyen egyenleteket a vizsgált típusra redukáljuk úgy, hogy megszorozzuk az úgynevezett integráló tényezővel, amely általános esetben csak függvény. vagy .

Ha valamely egyenletnek van integráló tényezője, amely csak attól függ , akkor a képlet határozza meg

hol a kapcsolat csak funkciónak kell lennie .

Hasonlóképpen az integráló tényező csak attól függ , a képlet határozza meg

hol a kapcsolat
csak funkciónak kell lennie .

Az első esetben a változó hiánya az adott relációkban , a másodikban pedig a változó , egy adott egyenlethez tartozó integráló tényező meglétének a jele.

8.4. probléma. Redukáljuk ezt az egyenletet a teljes differenciál egyenletére.

.

Fontolja meg az összefüggést:

.

Téma 8.2. Lineáris differenciálegyenletek

Meghatározás 8.5. Differenciálegyenlet
lineárisnak nevezzük, ha a kívánt függvényhez képest lineáris , származéka és nem tartalmazza a kívánt függvény és származékának szorzatát.

A lineáris differenciálegyenlet általános formáját a következő összefüggés reprezentálja:

(8.8)

Ha a (8.8) relációban a jobb oldal
, akkor az ilyen egyenletet lineáris homogénnek nevezzük. Abban az esetben, ha a jobb oldalon
, akkor az ilyen egyenletet lineáris inhomogénnek nevezzük.

Mutassuk meg, hogy a (8.8) egyenlet integrálható kvadratúrákba.

Az első szakaszban egy lineáris homogén egyenletet veszünk figyelembe.

Egy ilyen egyenlet elválasztható változókkal rendelkező egyenlet. Igazán,

;

/

Az utolsó összefüggés egy lineáris homogén egyenlet általános megoldását határozza meg.

A lineáris inhomogén egyenlet általános megoldásának megtalálásához az állandó deriváltjának változtatásának módszerét használjuk. A módszer lényege, hogy egy lineáris inhomogén egyenlet általános megoldása ugyanolyan formában van, mint a megfelelő homogén egyenlet megoldása, de tetszőleges állandó helyettesíti valamilyen funkcióval
meg kell határozni. Tehát nekünk van:

(8.9)

A (8.8) relációba behelyettesítve a megfelelő kifejezéseket
És
, kapunk

Az utolsó kifejezést behelyettesítve a (8.9) relációba, megkapjuk a lineáris inhomogén egyenlet általános integrálját.

Így egy lineáris inhomogén egyenlet általános megoldását két kvadratúra határozza meg: egy lineáris homogén egyenlet általános megoldása és egy lineáris inhomogén egyenlet egyedi megoldása.

8.5. probléma. Integrálja az egyenletet

Így az eredeti egyenlet a lineáris inhomogén differenciálegyenletek típusába tartozik.

Az első szakaszban általános megoldást találunk egy lineáris homogén egyenletre.

;

A második lépésben meghatározzuk a lineáris inhomogén egyenlet általános megoldását, amely a formában található

,

Ahol
- meghatározandó funkció.

Tehát nekünk van:

A relációkat helyettesítve És az eredeti lineáris inhomogén egyenletbe kapjuk:

;

;

.

A lineáris inhomogén egyenlet általános megoldása a következő formában lesz:

.

Normál formában: $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, amelyben a bal oldal valamilyen $F függvény teljes differenciája A \left(x,y\right)$-t teljes differenciálegyenletnek nevezzük.

Az összes differenciálegyenlet mindig átírható $dF\left(x,y\right)=0$-ra, ahol a $F\left(x,y\right)$ egy olyan függvény, hogy $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Integráljuk a $dF\left(x,y\right)=0$ egyenlet mindkét oldalát: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; a nulla jobb oldal integrálja egyenlő egy tetszőleges $C$ állandóval. Így ennek az egyenletnek az általános megoldása implicit formában: $F\left(x,y\right)=C$.

Ahhoz, hogy egy adott differenciálegyenlet egyenlet legyen a teljes differenciálokban, szükséges és elegendő, hogy a $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ feltétel légy elégedett. Ha a megadott feltétel teljesül, akkor van egy $F\left(x,y\right)$ függvény, amelyre ezt írhatjuk: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, amelyből két relációt kapunk : $\frac(\ partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ és $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right )$.

Integráljuk a $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ első relációt $x$ fölé, és megkapjuk a $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, ahol a $U\left(y\right)$ a $y$ tetszőleges függvénye.

Válasszuk ki úgy, hogy a $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ második reláció teljesüljön. Ehhez megkülönböztetjük az eredményül kapott relációt a $F\left(x,y\right)$ függvényhez képest $y$-hoz, és az eredményt egyenlővé tesszük a $Q\left(x,y\right)$-val. A következőt kapjuk: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\jobbra)$.

A további megoldás a következő:

• az utolsó egyenlőségből $U"\left(y\right)$;
• integrálja $U"\left(y\right)$ és keresse meg a $U\left(y\right)$;
• cserélje be a $U\left(y\right)$ karakterláncot a $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) egyenlőségbe $ és végül megkapjuk a $F\left(x,y\right)$ függvényt.

Megtaláljuk a különbséget:

Integráljuk a $U"\left(y\right)$ értéket $y$ fölé, és megtaláljuk a $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$ értéket.

Keresse meg az eredményt: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Az általános megoldást $F\left(x,y\right)=C$ formában írjuk le, nevezetesen:

Keressen egy adott megoldást $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, ahol $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

A részmegoldás alakja: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.