Ekstrem f x y. Fungsi ekstrem

Meneruskan pertidaksamaan ini hingga batasnya di Δ X→ 0 dan memperhitungkan turunannya F "(X 0) ada, dan oleh karena itu limit di sebelah kiri tidak bergantung pada bagaimana Δ X→ 0, kita mendapatkan: di Δ X → 0 – 0 F"(X 0) ≥ 0 a pada Δ X → 0 + 0 F"(X 0) ≤ 0. Sejak F"(X 0) mendefinisikan suatu bilangan, maka kedua pertidaksamaan ini kompatibel hanya jika F"(X 0) = 0.

Teorema yang terbukti menyatakan bahwa titik maksimum dan minimum hanya dapat ditemukan di antara nilai argumen yang turunannya menjadi nol.

Kami mempertimbangkan kasus ketika suatu fungsi memiliki turunan di semua titik pada segmen tertentu. Bagaimana situasi jika turunannya tidak ada? Mari kita lihat contohnya.

Contoh.

1. kamu=|X|.

   Fungsi tersebut tidak mempunyai turunan pada titik tersebut X=0 (pada titik ini grafik fungsi tidak memiliki garis singgung tertentu), tetapi pada titik ini fungsi tersebut memiliki minimum, karena kamu(0)=0, dan untuk semua X≠ 0kamu > 0.



Fungsi tersebut tidak mempunyai turunan di X=0, karena ia menuju tak terhingga di X=0. Namun saat ini fungsinya sudah maksimal.



Fungsi tersebut tidak mempunyai turunan di X=0, sejak itu pada X→0. Pada titik ini fungsi tersebut tidak memiliki nilai maksimum dan minimum. Benar-benar, f(x)=0 dan pada X<0f(x)<0, а при X>0f(x)>0.



Jadi, dari contoh-contoh yang diberikan dan teorema yang dirumuskan, jelas bahwa suatu fungsi dapat mempunyai ekstrem hanya dalam dua kasus: 1) pada titik-titik di mana turunannya ada dan sama dengan nol; 2) pada titik dimana turunannya tidak ada.

Namun, jika suatu saat nanti X 0 kita tahu itu f "(x 0 ) =0, maka seseorang tidak dapat menyimpulkan bahwa pada intinya X 0 fungsinya memiliki ekstrem.

Misalnya. .



Tapi titik X=0 bukan merupakan titik ekstrem, karena di sebelah kiri titik ini nilai fungsi terletak di bawah sumbu Sapi, dan di kanan atas.

Nilai argumen dari domain suatu fungsi yang turunannya dari fungsi tersebut hilang atau tidak ada disebut poin kritis.




Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa titik ekstrem suatu fungsi termasuk titik kritis, namun tidak semua titik kritis merupakan titik ekstrem. Oleh karena itu, untuk mencari titik ekstrem suatu fungsi, Anda perlu mencari semua titik kritis fungsi tersebut, lalu memeriksa masing-masing titik tersebut secara terpisah untuk mengetahui nilai maksimum dan minimumnya. Teorema berikut memenuhi tujuan ini.

Teorema 2. (Kondisi yang cukup untuk keberadaan suatu ekstrem.) Biarkan fungsi tersebut kontinu pada suatu interval yang mengandung titik kritis X 0, dan terdiferensiasi di semua titik pada interval ini (kecuali, mungkin, titik itu sendiri X 0). Jika ketika bergerak dari kiri ke kanan melalui titik ini, turunannya berubah tanda dari plus ke minus, maka di titik tersebut X = X 0 fungsi memiliki maksimum. Jika, saat melewati X 0 dari kiri ke kanan, turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus, maka fungsinya mempunyai minimum pada titik ini.

Jadi, jika

Bukti. Mari kita asumsikan dulu ketika melewatinya X 0 turunannya berubah tanda dari plus ke minus, yaitu di depan semua orang X, dekat dengan intinya X 0 f "(x)> 0 untuk X< x 0 , f "(x)< 0 untuk x>x 0 . Mari kita terapkan teorema Lagrange pada perbedaannya f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), dimana C terletak di antara X Dan X 0 .

1. Membiarkan X< x 0 . Kemudian C< x 0 dan f "(c)> 0. Itu sebabnya f "(c)(x- x 0)< 0 dan karena itu

   f(x) - f(x 0 )< 0, yaitu f(x)< f(x 0 ).

2. Membiarkan x > x 0 . Kemudian c>x 0 dan f "(c)< 0. Cara f "(c)(x- x 0)< 0. Itu sebabnya f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

Jadi, untuk semua nilai X cukup dekat dengan X 0 f(x)< f(x 0 ) . Dan ini berarti pada intinya X 0 fungsi memiliki maksimum.

Bagian kedua dari teorema minimum dibuktikan dengan cara yang sama.



Mari kita ilustrasikan arti teorema ini pada gambar. Membiarkan f "(x 1 ) =0 dan untuk apa pun X, cukup dekat dengan X 1, ketidaksetaraan terpenuhi

f "(x)< 0 jam X< x 1 , f "(x)> 0 jam x>x 1 .

Lalu ke kiri titik X 1 fungsi bertambah dan berkurang di sebelah kanan, oleh karena itu, kapan X = X 1 fungsi berubah dari naik ke turun, yaitu maksimal.

Demikian pula, kita dapat mempertimbangkan poin-poinnya X 2 dan X 3 .


Semua hal di atas dapat digambarkan secara skematis pada gambar:

Aturan mempelajari fungsi y=f(x) untuk ekstrem

1. Temukan domain suatu fungsi f(x).
2. Temukan turunan pertama suatu fungsi f "(x).
3. Tentukan titik kritis untuk ini:
   1. carilah akar-akar persamaan yang sebenarnya f "(x)=0;
   2. temukan semua nilai X yang turunannya f "(x) tidak ada.
4. Tentukan tanda turunan di kiri dan kanan titik kritis. Karena tanda turunan tetap konstan antara dua titik kritis, maka cukup menentukan tanda turunan di satu titik di kiri dan satu titik di kanan titik kritis tersebut.
5. Hitung nilai fungsi pada titik ekstrem.

Contoh. Jelajahi fungsi minimum dan maksimum.




NILAI FUNGSI MAKSIMUM DAN TERKECIL PADA Suatu Segmen

Yang terbesar nilai suatu fungsi pada suatu interval adalah yang terbesar dari semua nilainya pada interval tersebut, dan yang terkecil– nilai terkecil dari semua nilainya.

Pertimbangkan fungsinya kamu=f(x) kontinu pada segmen [ a, b]. Sebagaimana diketahui, fungsi tersebut mencapai nilai maksimum dan minimumnya, baik pada batas segmen maupun di dalamnya. Jika nilai terbesar atau terkecil suatu fungsi dicapai pada titik dalam segmen tersebut, maka nilai tersebut merupakan maksimum atau minimum fungsi tersebut, yaitu dicapai pada titik kritis.

Jadi, kita mendapatkan yang berikut ini aturan mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada suatu segmen[ a, b] :

1. Temukan semua titik kritis fungsi dalam interval ( a, b) dan hitung nilai fungsi pada titik-titik tersebut.
2. Hitung nilai fungsi di ujung-ujung ruas kapan x = a, x = b.
3. Dari semua nilai yang didapat, pilih yang terbesar dan terkecil.

Carilah nilai terbesar dari fungsi y=(7x^2-56x+56)e^x pada interval [-3; 2].

Larutan

Mari kita cari turunan dari fungsi aslinya menggunakan rumus turunan perkalian kamu"=(7x^2-56x+56)"e^x\,+ (7x^2-56x+56)\kiri(e^x\kanan)"= (14x-56)e^x+(7x^2-56x+56)e^x= (7x^2-42x)e^x= 7x(x-6)e^x. Mari kita hitung angka nol dari turunannya: y"=0;

7x(x-6)e^x=0,

x_1=0, x_2=6.

Mari kita susun tanda-tanda turunannya dan tentukan interval monotonisitas fungsi asal pada segmen tertentu.

Dari gambar terlihat jelas bahwa pada ruas [-3; 0] fungsi aslinya bertambah, dan pada ruasnya berkurang. Dengan demikian, nilai terbesar pada segmen [-3; 2] dicapai pada x=0 dan sama dengan kamu(0)= 7\cdot 0^2-56\cdot 0+56=56.

Menjawab

Kondisi

Tentukan nilai terbesar fungsi y=12x-12tg x-18 pada ruas tersebut \kiri.

Larutan

kamu"= (12x)"-12(tg x)"-(18)"= 12-\frac(12)(\cos ^2x)= \frac(12\cos ^2x-12)(\cos ^2x)\leqslant0. Artinya fungsi asal tidak bertambah pada interval yang ditinjau dan mengambil nilai terbesar di ujung kiri interval, yaitu pada x=0. kamu(0)= Nilai terbesarnya adalah -18.

Menjawab

12\cdot 0-12 tg (0)-18=

Kondisi

Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F.F.Lysenko, S.Yu.Kulabukhova.

Larutan

Tentukan titik minimum dari fungsi y=(x+8)^2e^(x+52).

Kita akan mencari titik minimum suatu fungsi menggunakan turunannya. Mari kita cari turunan suatu fungsi menggunakan rumus turunan hasil kali, turunan dari x^\alpha dan e^x: kamu"(x)= \kiri((x+8)^2\kanan)"e^(x+52)+(x+8)^2\kiri(e^(x+52)\kanan)"= 2(x+8)e^(x+52)+(x+8)^2e^(x+52)= (x+8)e^(x+52)(2+x+8)=

(x+8)(x+10)e^(x+52). Mari kita susun tanda-tanda turunannya dan tentukan interval monotonisitas fungsi aslinya. e^(x+52)>0 untuk x apa pun. kamu"=0 pada x=-8,

x=-10.

Menjawab

12\cdot 0-12 tg (0)-18=

Kondisi

Gambar tersebut menunjukkan bahwa fungsi y=(x+8)^2e^(x+52) memiliki satu titik minimum x=-8. Temukan titik maksimum dari fungsi tersebut

Larutan

y=8x-\frac23x^\tfrac32-106.

ODZ: x \geqslant 0. Cari turunan dari fungsi aslinya:

y"=8-\frac23\cdot\frac32x^\tfrac12=8-\sqrt x.

Mari kita hitung angka nol dari turunannya:

8-\sqrt x=0;

\sqrt x=8;

x=64.

Mari kita susun tanda-tanda turunannya dan tentukan interval monotonisitas fungsi aslinya.

Menjawab

12\cdot 0-12 tg (0)-18=

Kondisi

Gambar tersebut menunjukkan bahwa titik x=64 adalah satu-satunya titik maksimum dari fungsi yang diberikan. Tentukan nilai terkecil dari fungsi y=5x^2-12x+2\ln x+37 pada ruas tersebut

Larutan

\kiri[\frac35; \frac75\kanan].

ODZ: x>0.

Kita akan mencari titik minimum suatu fungsi menggunakan turunannya. Mari kita cari turunan suatu fungsi menggunakan rumus turunan hasil kali, turunan dari x^\alpha dan e^x: Mari kita cari turunan dari fungsi aslinya: 10x-12+\frac(2)(x)=

\frac(10x^2-12x+2)(x).

Mari kita definisikan angka nol dari turunannya: y"(x)=0;

\frac(10x^2-12x+2)(x)=0,

5x^2-6x+1=0, x_(1,2)= \frac(3\pm\sqrt(3^2-5\cdot1))(5)=

\frac(3\pm2)(5),

x_1=\frac15\notin\kiri[\frac35; \frac75\kanan],

x_2=1\di\kiri[\frac35; \frac75\kanan].

Mari kita susun tanda-tanda turunannya dan tentukan interval monotonisitas fungsi asal pada interval yang ditinjau. Dari gambar tersebut terlihat jelas bahwa pada ruas tersebut\kiri[\frac35; 1\kanan] fungsi aslinya berkurang, dan pada segmen tersebut meningkat. Jadi, nilai terkecil pada segmen tersebut \kiri[\frac35; \frac75\kanan] dicapai pada x=1 dan sama dengan kamu(1)= 5\cdot 1^2-12\cdot 1+2 \ln 1+37= 30.

Menjawab

12\cdot 0-12 tg (0)-18=

Kondisi

Carilah nilai terbesar dari fungsi y=(x+4)^2(x+1)+19 pada ruas [-5; -3].

Larutan

Mari kita cari turunan dari fungsi aslinya menggunakan rumus turunan hasil kali.

Seperti yang Anda lihat, tanda ekstrem suatu fungsi ini memerlukan adanya turunan setidaknya hingga orde kedua di titik tersebut.

Contoh.

Temukan ekstrem dari fungsinya.

Larutan.

Mari kita mulai dengan domain definisi:

Mari kita bedakan fungsi aslinya:

x=1, yaitu, ini adalah titik kemungkinan ekstrem. Kami menemukan turunan kedua dari fungsi tersebut dan menghitung nilainya di:

x = 1 x=1 Oleh karena itu, dengan kondisi cukup kedua untuk suatu ekstrem, - titik maksimum. Kemudian

- Fungsi maksimal.

Ilustrasi grafis.

Menjawab:

Kondisi cukup ketiga untuk ekstrem suatu fungsi. kamu=f(x) Biarkan fungsinya memiliki turunan hingga N Urutan -th di lingkungan -titik dan turunannya hingga n+1

Contoh.

-urutan pada titik itu sendiri. Biarkan saja. .

Larutan.

Temukan titik ekstrem dari fungsi tersebut

Fungsi aslinya adalah seluruh fungsi rasional; domain definisinya adalah seluruh himpunan bilangan real.

Mari kita bedakan fungsinya: Turunannya menjadi nol di

, oleh karena itu, ini adalah titik-titik kemungkinan ekstrem. Mari kita gunakan kondisi cukup ketiga untuk ekstrem.

Kami menemukan turunan kedua dan menghitung nilainya pada titik-titik ekstrem yang mungkin (kami akan menghilangkan perhitungan perantara): Akibatnya, adalah titik maksimum (untuk tanda ekstrem ketiga yang kita miliki n=1

Dan ). Untuk mengetahui sifat titik-titik tersebut

kita mencari turunan ketiga dan menghitung nilainya pada titik-titik berikut: Oleh karena itu, adalah titik belok fungsi tersebut ( n=1

n=2

Masih membahas pokok permasalahannya. Kami menemukan turunan keempat dan menghitung nilainya pada titik ini:

- Fungsi maksimal.

Ilustrasi grafis.

Oleh karena itu, adalah titik minimum dari fungsi tersebut.

Titik maksimum adalah titik minimum fungsi tersebut.

10. Ekstrem suatu fungsi Definisi ekstrem Fungsi y = f(x) dipanggil (meningkat menurun< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >) dalam selang waktu tertentu, jika untuk x 1

f(x 2)).

Jika fungsi terdiferensiasi y = f(x) bertambah (berkurang) pada suatu interval, maka turunannya pada interval tersebut f " (x)  0

(f " (x)  0). X Dot HAI ditelepon (titik maksimum lokal minimum X Dot) fungsi f(x), jika terdapat lingkungan titik tersebut

, untuk semua titik yang pertidaksamaannya f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)) benar. Poin maksimum dan minimum disebut titik ekstrem , dan nilai fungsi pada titik-titik tersebut adalah miliknya

ekstrem.

Poin ekstrem Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem X Dot adalah titik ekstrem dari fungsi f(x), maka f " (x o) = 0, atau f (x o) tidak ada. Titik-titik tersebut disebut kritis, dan fungsi itu sendiri didefinisikan pada titik kritis. Titik ekstrem suatu fungsi harus dicari di antara titik-titik kritisnya.

Kondisi cukup pertama. Membiarkan X Dot- titik kritis. Jika f"(x) ketika melewati suatu titik X Dot mengubah tanda plus menjadi minus, lalu pada intinya X Dot fungsinya memiliki maksimum, selain itu ia memiliki minimum. Jika pada saat melewati titik kritis turunannya tidak berubah tanda, maka pada titik tersebut X Dot tidak ada yang ekstrim.

Kondisi cukup kedua. Misalkan fungsi f(x) mempunyai turunan f " (x) di sekitar titik tersebut X Dot dan turunan kedua pada titik itu sendiri X Dot. Jika f"(x o) = 0, >0 (<0), то точка X Dot adalah titik minimum (maksimum) lokal dari fungsi f(x). Jika =0, ​​maka Anda perlu menggunakan kondisi cukup pertama atau menggunakan turunan yang lebih tinggi.

Pada suatu ruas, fungsi y = f(x) dapat mencapai nilai minimum atau maksimumnya baik pada titik kritis maupun pada ujung ruas.

Contoh 3.22. Tentukan ekstrem fungsi f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Larutan. Karena f"(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), maka titik kritis fungsi x 1 = 2 dan x 2 = 3. Ekstremnya hanya dapat berada di Titik-titik tersebut. Sehingga ketika melewati titik x 1 = 2 turunannya berubah tanda dari plus menjadi minus, maka pada titik tersebut fungsinya mencapai maksimum. Ketika melewati titik x 2 = 3 turunannya berubah tanda dari minus ke plus, oleh karena itu di titik x 2 = 3 fungsi tersebut mempunyai nilai minimum. Setelah menghitung nilai fungsi di titik x 1 = 2 dan x 2 = 3, kita mencari ekstrem dari fungsi tersebut: maksimum f( 2) = 14 dan minimum f(3) = 13.

Mari kita beralih ke grafik fungsi y = x 3 – 3x 2. Mari kita perhatikan lingkungan titik x = 0, yaitu. beberapa interval yang mengandung titik ini. Adalah logis bahwa terdapat suatu lingkungan di titik x = 0 sehingga fungsi y = x 3 – 3x 2 mengambil nilai terbesarnya di lingkungan tersebut di titik x = 0. Misalnya, pada interval (-1; 1 ) fungsi tersebut mengambil nilai terbesarnya sama dengan 0 di titik x = 0. Titik x = 0 disebut titik maksimum fungsi ini.

Demikian pula, titik x = 2 disebut titik minimum fungsi x 3 - 3x 2, karena pada titik ini nilai fungsi tidak lebih besar dari nilainya di titik lain di sekitar titik x = 2, misalnya misalnya lingkungan sekitar (1.5; 2.5).

Jadi, titik maksimum fungsi f(x) disebut titik x 0 jika terdapat lingkungan dari titik x 0 sedemikian rupa sehingga pertidaksamaan f(x) ≤ f(x 0) berlaku untuk semua x dari lingkungan tersebut.

Misalnya, titik x 0 = 0 adalah titik maksimum fungsi f(x) = 1 – x 2, karena f(0) = 1 dan pertidaksamaan f(x) ≤ 1 berlaku untuk semua nilai X.

Titik minimum fungsi f(x) adalah titik x 0 jika terdapat lingkungan titik x 0 sehingga pertidaksamaan f(x) ≥ f(x 0) terpenuhi untuk semua x dari lingkungan tersebut.

Misalnya, titik x 0 = 2 adalah titik minimum dari fungsi f(x) = 3 + (x – 2) 2, karena f(2) = 3 dan f(x) ≥ 3 untuk semua x.

Titik ekstrem disebut titik minimum dan maksimum.

Mari kita beralih ke fungsi f(x), yang terdefinisi di lingkungan tertentu dari titik x 0 dan memiliki turunan di titik ini.

Jika x 0 adalah titik ekstrem fungsi terdiferensiasi f(x), maka f"(x 0) = 0. Pernyataan ini disebut teorema Fermat.

Teorema Fermat mempunyai arti geometri yang jelas: pada titik ekstrem, garis singgungnya sejajar dengan sumbu absis dan oleh karena itu kemiringannya
f "(x 0) sama dengan nol.

Misalnya fungsi f(x) = 1 – 3x2 mempunyai maksimum di titik x0 = 0, turunannya f "(x) = -2x, f "(0) = 0.

Fungsi f(x) = (x – 2) 2 + 3 mempunyai titik minimum di titik x 0 = 2, f "(x) = 2(x – 2), f "(2) = 0.

Perhatikan bahwa jika f "(x 0) = 0, maka ini tidak cukup untuk menyatakan bahwa x 0 tentu merupakan titik ekstrem dari fungsi f (x).

Misalnya, jika f(x) = x 3, maka f"(0) = 0. Namun, titik x = 0 bukan merupakan titik ekstrem, karena fungsi x 3 bertambah sepanjang sumbu numerik.

Jadi, titik ekstrem dari fungsi terdiferensiasi harus dicari hanya di antara akar-akar persamaan
f"(x) = 0, tetapi akar persamaan ini tidak selalu merupakan titik ekstrem.

Titik stasioner adalah titik yang turunan suatu fungsi sama dengan nol.

Jadi, agar titik x 0 menjadi titik ekstrem, titik tersebut harus stasioner.

Mari kita pertimbangkan kondisi yang cukup untuk titik stasioner menjadi titik ekstrem, yaitu. kondisi di mana titik stasioner merupakan titik minimum atau maksimum suatu fungsi.

Jika turunan di sebelah kiri titik stasioner adalah positif, dan di sebelah kanan adalah negatif, yaitu. turunannya mengubah tanda “+” menjadi tanda “–” ketika melewati titik tersebut, maka titik stasioner tersebut merupakan titik maksimum.

Memang, dalam hal ini, di sebelah kiri titik stasioner fungsinya meningkat, dan di sebelah kanannya berkurang, yaitu. titik ini adalah titik maksimum.

Jika turunan tersebut mengubah tanda “–” menjadi tanda “+” ketika melewati suatu titik stasioner, maka titik stasioner tersebut merupakan titik minimum.

Jika turunannya tidak berubah tanda ketika melewati suatu titik stasioner, mis. di kiri dan kanan titik stasioner turunannya positif atau negatif, maka titik tersebut bukan titik ekstrem.

Mari kita pertimbangkan salah satu masalahnya. Tentukan titik ekstrem fungsi f(x) = x 4 – 4x 3.

Larutan.

1) Cari turunannya: f "(x) = 4x 3 – 12x 2 = 4x 2 (x – 3).

2) Tentukan titik stasioner: 4x 2 (x – 3) = 0, x 1 = 0, x 2 = 3.

3) Dengan menggunakan metode interval, kita tentukan bahwa turunan f "(x) = 4x 2 (x – 3) positif untuk x > 3, negatif untuk x< 0 и при 0 < х < 3.

4) Karena melalui titik x 1 = 0 tanda turunannya tidak berubah, maka titik tersebut bukan merupakan titik ekstrem.

5) Turunan mengubah tanda “–” menjadi tanda “+” ketika melalui titik x 2 = 3. Oleh karena itu, x 2 = 3 adalah titik minimum.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Sebelum mempelajari cara mencari ekstrem suatu fungsi, Anda perlu memahami apa itu ekstrem. Definisi paling umum dari ekstrem adalah, seperti yang digunakan dalam matematika, nilai terkecil atau terbesar dari suatu fungsi pada himpunan garis bilangan atau grafik tertentu. Di tempat titik minimum berada, titik ekstrem minimum muncul, dan di tempat titik maksimum berada, titik ekstrem maksimum muncul. Juga dalam disiplin ilmu seperti analisis matematis, ekstrem lokal suatu fungsi diidentifikasi. Sekarang mari kita lihat cara menemukan titik ekstrem.

Ekstrema dalam matematika adalah salah satu karakteristik terpenting dari suatu fungsi; ekstrema menunjukkan nilai terbesar dan terkecilnya. Ekstrema ditemukan terutama pada titik-titik kritis dari fungsi yang ditemukan. Perlu dicatat bahwa pada titik ekstrem fungsi tersebut secara radikal mengubah arahnya. Jika kita menghitung turunan dari titik ekstrem, maka menurut definisi, titik tersebut harus sama dengan nol atau tidak akan ada sama sekali. Jadi, untuk mengetahui cara mencari ekstrem suatu fungsi, Anda perlu melakukan dua tugas berurutan:

• temukan turunan dari fungsi yang perlu ditentukan oleh tugas;
• temukan akar persamaannya.

Urutan menemukan ekstrem

1. Tuliskan fungsi f(x) yang diberikan. Temukan turunan orde pertamanya f "(x). Samakan ekspresi yang dihasilkan dengan nol.
2. Sekarang Anda harus menyelesaikan persamaan yang dihasilkan. Solusi yang dihasilkan akan menjadi akar-akar persamaan, serta titik-titik kritis dari fungsi yang ditentukan.
3. Sekarang kita tentukan titik kritis mana (maksimum atau minimum) yang merupakan akar yang ditemukan. Langkah selanjutnya, setelah kita mempelajari cara mencari titik ekstrem suatu fungsi, adalah mencari turunan kedua dari fungsi yang diinginkan f "(x). Kita perlu mensubstitusikan nilai titik kritis yang ditemukan ke dalam pertidaksamaan tertentu lalu hitung apa yang terjadi. Jika hal ini terjadi, Jika turunan kedua ternyata lebih besar dari nol pada titik kritisnya, maka itu akan menjadi titik minimum, dan sebaliknya akan menjadi titik maksimum.
4. Tetap menghitung nilai fungsi awal pada titik maksimum dan minimum yang diperlukan dari fungsi tersebut. Untuk melakukan ini, kami mengganti nilai yang diperoleh ke dalam fungsi dan menghitungnya. Namun perlu diperhatikan bahwa jika titik kritisnya ternyata maksimum, maka ekstremnya akan maksimum, dan jika minimum, maka dengan analogi akan menjadi minimum.

Algoritma untuk menemukan ekstrem

Untuk meringkas pengetahuan yang diperoleh, kami akan membuat algoritma singkat tentang cara mencari titik ekstrem.

1. Kami menemukan domain definisi suatu fungsi tertentu dan intervalnya, yang secara tepat menentukan pada interval mana fungsi tersebut kontinu.
2. Temukan turunan dari fungsi f "(x).
3. Kita menghitung titik kritis persamaan y = f(x).
4. Kami menganalisis perubahan arah fungsi f (x), serta tanda turunan f "(x) di mana titik-titik kritis membagi domain definisi fungsi ini.
5. Sekarang kita tentukan apakah setiap titik pada grafik tersebut maksimum atau minimum.
6. Kami menemukan nilai-nilai fungsi pada titik-titik yang ekstrem.
7. Kami mencatat hasil penelitian ini - ekstrem dan interval monotonisitas. Itu saja. Sekarang kita telah melihat bagaimana Anda dapat menemukan titik ekstrem pada interval apa pun. Jika Anda perlu mencari ekstrem pada interval tertentu suatu fungsi, maka dilakukan dengan cara yang sama, hanya batas-batas penelitian yang dilakukan yang harus diperhitungkan.

Jadi, kita telah membahas cara mencari titik ekstrem suatu fungsi. Dengan bantuan perhitungan sederhana, serta pengetahuan dalam menemukan turunan, Anda dapat menemukan ekstrem apa pun dan menghitungnya, serta menunjukkannya secara grafis. Menemukan ekstrem adalah salah satu bagian terpenting dalam matematika, baik di sekolah maupun di pendidikan tinggi, oleh karena itu, jika Anda belajar mengidentifikasinya dengan benar, maka belajar akan menjadi lebih mudah dan menarik.