Panjang fokus parabola. Hiperbola dan persamaan kanoniknya

Tugas No. 1. Tentukan koordinat fokus dan buatlah persamaan direktriks parabola

Membandingkan persamaan ini dengan persamaan
, kita menemukan bahwa 2p=4, dari situ . Jadi intinya
- fokus parabola, dan garis lurus
, yaitu x=-1 atau x+1=0 adalah direktriksnya.

Jawaban: (1;0)

Soal No.2. Titik fokus parabola yang titik sudutnya terletak di titik F(0;-4). Tulis persamaan parabola ini.

Soal No.3. Direktriks parabola yang titik sudutnya di titik asal adalah garis lurus 2x+5=0

Tulis persamaan dan temukan koordinat fokus parabola.

R
Penyelesaian: Karena direktriks parabola yang titik sudutnya di titik asal adalah garis 2x+5=0 atau
, maka fokusnya memiliki koordinat

, oleh karena itu kurva yang diinginkan adalah simetris terhadap sumbu Sapi F( )
dan cabang-cabangnya mengarah ke kanan (absis fokusnya positif). Oleh karena itu, persamaan parabola mempunyai bentuk

Karena
Itu
dan persamaan parabolanya adalah:
, dan koordinat fokusnya adalah F(2.5;0)

Menjawab:
; F(2.5;0)

Tugas No.4. Tuliskan persamaan parabola yang simetris terhadap sumbu Oy, berpusat di titik asal sistem koordinat, jika melewati titik B(1;-2).

Karena parabola simetris terhadap sumbu Oy dan mempunyai titik sudut di titik asal sistem koordinat, maka persamaannya berbentuk
. Karena titik B(1;-2) terletak pada parabola, maka koordinatnya memenuhi parabola, yaitu.
,

Di mana
, dan oleh karena itu
- persamaan parabola.

Menjawab:

Soal No.5. Tentukan tinggi lengkungan sebuah jembatan yang panjangnya 24 m, jika lengkungan tersebut berbentuk parabola, persamaannya adalah

Mari kita membuat sketsa parabola
dalam bahasa Cartesian sistem persegi panjang koordinat Mari kita nyatakan tinggi jembatan dengan h, dan dengan =24 - panjang lengkungan jembatan. Kemudian, A(12;-h) P:
.

T
bagaimana titik A termasuk dalam parabola
, maka koordinatnya memenuhi persamaan parabola. Hal ini memungkinkan untuk mengganti koordinat titik tertentu ke dalam persamaan parabola dan bukan koordinat saat ini (x;y). Lalu kita punya

Jadi, tinggi lengkungan jembatan tersebut adalah 3 m.

Soal No. 6. Aliran air yang diarahkan membentuk sudut terhadap bidang cakrawala naik ke ketinggian 2 m dan jatuh 12 m dari ujung selang. Temukan lintasan parabola jet.

Penyelesaian: Mari kita kaitkan lintasan parabola pancaran dengan sistem koordinat persegi panjang kartesius sehingga lintasan parabola simetris terhadap sumbu Oy, cabang-cabangnya mengarah ke bawah, dan titik puncaknya terletak pada titik asal koordinat.

Maka persamaan lintasan parabola tersebut berbentuk
, titik A(6;-2) P:
, oleh karena itu, koordinatnya memenuhi persamaan parabola. Mengganti koordinat titik A dengan koordinat x dan y parabola saat ini
, memberikan kesetaraan

. Karena itu,
- persamaan lintasan parabola jet.

Menjawab:

Putuskan sendiri:

Soal No. 7. Penampang reflektor oleh bidang yang melalui sumbu reflektor adalah parabola. Tuliskan persamaannya jika lebar reflektor 30 cm dan kedalaman 20 cm (sumbu reflektor berimpit dengan sumbu Sapi)

Menjawab:

Soal No. 8. Air mengalir keluar dari lubang yang terletak di permukaan bumi dalam aliran yang melambangkan cabang parabola
. Pada jarak berapa dari tepi tangki aliran jatuh ke tanah jika tinggi lubangnya

Jawaban: 3 m.

Soal No. 9. Bagian aksial cermin parabola adalah parabola

Tentukan diameter cermin jika “kedalamannya” adalah 18,75 cm.

Jawaban: 30cm.

Soal No. 10. Sebuah batu dilempar ke bawah sudut lancip ke bidang cakrawala, tercapai ketinggian terbesar 16 m., Setelah digambarkan lintasan parabola, batu tersebut jatuh 48 m., dari titik pelemparan. Temukan lintasan batu tersebut.

Menjawab:
.

Soal No. 11 Carilah parabola yang titik sudutnya berada di titik asal jika fokusnya terletak di titik a) F(3;0);

b) F(-2;0);
c) F(0;4);
d) F(0;-)
Jawaban: a)

;
B)

;
c) F(0;4);
d) F(0;-)
V)
.

;

G)
c) F(0;4);
d) F(0;-)
V)
Soal No. 12 Temukan parabola yang titik sudutnya di titik asal jika diberikan arah: a)

;

b)x=-5; c) kamu=3; d) kamu=-2;

Jawaban: a)

; G)

Soal No. 13. Tentukan koordinat fokus dan tuliskan persamaan direktriks untuk masing-masing parabola.

Menjawab:

A)

. Buatlah parabola ini.

Jawaban: a) F(2;0); x+2=0 ; b) F(-3;0); x-3=0 ; c) F(0;); 2 tahun+5=0

d) F(0;-4); x-4=0

Soal No.14. Periksa apakah titik A(2;-2) dan B(1;2) terletak pada parabola

Jawab: A ada, B tidak.
Soal No. 15. Tulislah persamaan parabola yang titik sudutnya di titik asal, simetris terhadap sumbu Ox dan melalui titik tersebut
Soal No.16. Tulislah persamaan parabola yang titik sudutnya berada di titik asal jika:
A) parabola terletak di setengah bidang atas secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 4;
.

B) parabola terletak di setengah bidang bawah secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya adalah 6;

B) parabola terletak pada setengah bidang kanan secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 3; d) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 5. – 6Jawaban a) – 16 = 0, 13d) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 5. – 10Jawaban a); B)

3.2. Tuliskan persamaan garis singgung hiperbola

1) melewati suatu titik A(4, 1), B(5, 2) dan C(5, 6);

2) sejajar dengan garis lurus 10 d) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 5. – 3Jawaban a) + 9 = 0;

3) tegak lurus garis lurus 10 d) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 5. – 3Jawaban a) + 9 = 0.

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik geometri pada bidang yang koordinatnya memenuhi persamaan

Parameter parabola:

Dot F(P/2, 0) dipanggil fokus parabola, besarnya P – parameter , titik TENTANG(0, 0) – atas . Dalam hal ini, garis lurus DARI, yang parabolanya simetris, menentukan sumbu kurva ini.

Besarnya Di mana M(d) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 5., Jawaban a)) – titik sewenang-wenang parabola disebut radius fokus , lurus D: d) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 5. = –P/2 – kepala sekolah (tidak memotong daerah dalam parabola). Besarnya disebut eksentrisitas parabola.

Sifat karakteristik utama parabola: semua titik parabola berjarak sama dari direktriks dan fokus (Gbr. 24).

Ada bentuk lain dari persamaan parabola kanonik yang menentukan arah lain dari cabang-cabangnya dalam sistem koordinat (Gbr. 25):

Untuk pengaturan parametrik parabola sebagai parameter T nilai ordinat titik parabola dapat diambil:

Di mana T adalah bilangan real sembarang.

Contoh 1. Tentukan parameter dan bentuk parabola menggunakan persamaan kanoniknya:

Larutan. 1. Persamaan Jawaban a) 2 = –8d) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 5. mendefinisikan parabola dengan titik di titik TENTANG Oh. Cabang-cabangnya mengarah ke kiri. Perbandingan persamaan yang diberikan dengan persamaan Jawaban a) 2 = –2piksel, kami menemukan: 2 P = 8, P = 4, P/2 = 2. Oleh karena itu, fokusnya ada pada titik tersebut F(–2; 0), persamaan direktriks D: d) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 5.= 2 (Gbr. 26).

2. Persamaan d) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 5. 2 = –4Jawaban a) mendefinisikan parabola dengan titik di titik HAI(0; 0), simetris terhadap sumbu Oi. Cabang-cabangnya mengarah ke bawah. Membandingkan persamaan ini dengan persamaan d) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 5. 2 = –2py, kami menemukan: 2 P = 4, P = 2, P/2 = 1. Jadi fokusnya ada pada titik tersebut F(0; –1), persamaan direktriks D: Jawaban a)= 1 (Gbr. 27).

Contoh 2. Tentukan parameter dan jenis kurva d) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 5. 2 + 8d) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 5. – 16Jawaban a)– 32 = 0. Buatlah gambar.

Larutan. Mari bertransformasi sisi kiri persamaan menggunakan metode ekstraksi persegi penuh:

d) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 5. 2 + 8d) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 5.– 16Jawaban a) – 32 =0;

(d) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 5. + 4) 2 – 16 – 16Jawaban a) – 32 =0;

(d) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 5. + 4) 2 – 16Jawaban a) – 48 =0;

(d) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 5. + 4) 2 – 16(Jawaban a) + 3).

Hasilnya kita dapatkan

(d) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 5. + 4) 2 = 16(Jawaban a) + 3).

Ini persamaan kanonik parabola dengan titik puncak di titik (–4, –3), parameter P= 8, cabang mengarah ke atas (), sumbu d) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 5.= –4. Fokusnya tepat sasaran F(–4; –3 + P/2), yaitu F(–4; 1) Kepala Sekolah D diberikan oleh persamaan Jawaban a) = –3 – P/2 atau Jawaban a)= –7 (Gbr. 28).

Contoh 4. Tuliskan persamaan parabola yang titik sudutnya di titik tersebut V(3; –2) dan fokus pada titik tersebut F(1; –2).

Larutan. Titik sudut dan fokus suatu parabola terletak pada garis lurus yang sejajar sumbunya Sapi(ordinat sama), cabang-cabang parabola mengarah ke kiri (absis fokus lebih kecil dari absis titik sudut), jarak fokus ke titik sudut adalah P/2 = 3 – 1 = 2, P= 4. Oleh karena itu, persamaan yang diperlukan

(Jawaban a)+ 2) 2 = –2 4( d) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 5.– 3) atau ( Jawaban a) + 2) 2 = = –8(d) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 5. – 3).

Tugas untuk keputusan independen

saya menyamakan kedudukan

1.1. Tentukan parameter parabola dan buatlah:

1) Jawaban a) 2 = 2d) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 5.; 2) Jawaban a) 2 = –3d) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 5.;

3) d) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 5. 2 = 6Jawaban a); 4) d) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 5. 2 = –Jawaban a).

1.2. Tuliskan persamaan parabola yang titik sudutnya di titik asal jika diketahui:

1) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu Sapi Dan P = 4;

2) letak parabola simetris terhadap sumbunya Oi dan melewati titik tersebut M(4; –2).

3) direktriks diberikan oleh persamaan 3 Jawaban a) + 4 = 0.

1.3. Tuliskan persamaan kurva yang titik-titiknya berjarak sama terhadap titik (2; 0) dan garis lurus d) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu ordinat, dan parameter fokusnya sama dengan 5. = –2.

Tingkat II

2.1. Tentukan jenis dan parameter kurva.

Sepanjang bab ini diasumsikan bahwa pada bidang (di mana semua gambar di bawah ini berada) skala tertentu telah dipilih; Hanya sistem koordinat persegi panjang dengan skala ini yang dipertimbangkan.

§ 1. Parabola

Parabola diketahui pembaca dari kursus sekolah matematika sebagai kurva yang merupakan grafik suatu fungsi

(Gbr. 76). (1)

Grafik trinomial kuadrat apa pun

juga merupakan parabola; dimungkinkan hanya dengan menggeser sistem koordinat (dengan beberapa vektor OO), yaitu mentransformasikan

memastikan grafik fungsi (pada sistem koordinat kedua) bertepatan dengan grafik (2) (pada sistem koordinat pertama).

Faktanya, mari kita substitusikan (3) ke dalam persamaan (2). Kami mengerti

Kami ingin memilih koefisien untuk dan anggota bebas polinomial (relatif terhadap ) di sisi kanan persamaan ini sama dengan nol. Untuk melakukan ini, kita menentukan dari persamaan

yang memberikan

Sekarang kita tentukan dari kondisinya

di mana kita mengganti nilai yang sudah ditemukan. Kami mengerti

Jadi, melalui shift (3), dimana

kami pindah ke sistem baru koordinat, yang persamaan parabola (2) berbentuk

(Gbr. 77).

Mari kita kembali ke persamaan (1). Ini bisa menjadi definisi parabola. Mari kita ingat kembali sifat-sifatnya yang paling sederhana. Sebuah kurva memiliki sumbu simetri: jika suatu titik memenuhi persamaan (1), maka titik tersebut titik simetris M relatif terhadap sumbu ordinat juga memenuhi persamaan (1) - kurvanya simetris terhadap sumbu ordinat (Gbr. 76).

Jika , maka parabola (1) terletak pada setengah bidang atas, mempunyai hubungan unik dengan sumbu absis poin umum TENTANG.

Dengan peningkatan nilai absolut absis yang tidak terbatas, ordinatnya juga meningkat tanpa batas. Gambaran umum kurva ditunjukkan pada Gambar. 76, sebuah.

Jika (Gbr. 76, b), maka kurva terletak pada setengah bidang bawah secara simetris terhadap sumbu absis terhadap kurva.

Jika kita pindah ke sistem koordinat baru yang diperoleh dari pengganti yang lama arah sumbu ordinat positif ke arah sebaliknya, maka parabola yang memiliki persamaan y pada sistem lama akan menerima persamaan y pada sistem koordinat baru. Oleh karena itu, ketika mempelajari parabola, kita dapat membatasi diri pada persamaan (1), dimana .

Terakhir, mari kita ubah nama sumbunya, yaitu kita akan berpindah ke sistem koordinat baru, yang sumbu ordinatnya akan menjadi sumbu absis yang lama, dan sumbu absisnya akan menjadi sumbu ordinat yang lama. Pada sistem baru ini, persamaan (1) akan ditulis dalam bentuk

Atau, jika bilangan tersebut dilambangkan dengan , dalam bentuk

Persamaan (4) dipanggil geometri analitik persamaan kanonik parabola; sistem koordinat persegi panjang yang parabola tertentu memiliki persamaan (4) disebut sistem koordinat kanonik (untuk parabola ini).

Sekarang kita akan menginstal makna geometris koefisien Untuk melakukan ini, kami mengambil poinnya

disebut fokus parabola (4), dan garis lurus d, ditentukan oleh persamaan

Garis ini disebut direktriks parabola (4) (lihat Gambar 78).

Misalkan menjadi titik sembarang dari parabola (4). Dari persamaan (4) maka jarak titik M dari direktriks d adalah bilangan

Jarak titik M dari fokus F adalah

Tapi, oleh karena itu

Jadi, semua titik M pada parabola berjarak sama dari fokus dan direktriksnya:

Sebaliknya setiap titik M yang memenuhi syarat (8) terletak pada parabola (4).

Nyatanya,

Karena itu,

dan, setelah membuka tanda kurung dan membawa suku-suku serupa,

Kita telah membuktikan bahwa setiap parabola (4) merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari fokus F dan dari direktriks d parabola tersebut.

Pada saat yang sama, kita telah menetapkan arti geometri dari koefisien dalam persamaan (4): bilangan tersebut sama dengan jarak antara fokus dan direktriks parabola.

Sekarang mari kita asumsikan bahwa titik F dan garis d yang tidak melalui titik ini diberikan secara sembarang pada bidang. Mari kita buktikan adanya parabola dengan fokus F dan direktriks d.

Untuk melakukannya, tarik garis g melalui titik F (Gbr. 79), tegak lurus terhadap garis d; mari kita nyatakan titik potong kedua garis dengan D; jarak (yaitu jarak antara titik F dan garis lurus d) akan dilambangkan dengan .

Mari kita ubah garis lurus g menjadi sumbu, dengan mengambil arah DF padanya sebagai positif. Mari kita jadikan sumbu ini sebagai sumbu absis dari sistem koordinat persegi panjang, yang titik asal adalah titik tengah O dari segmen tersebut

Maka garis lurus d juga menerima persamaan .

Sekarang kita dapat menulis persamaan kanonik parabola dalam sistem koordinat yang dipilih:

dimana titik F menjadi fokus, dan garis lurus d menjadi direktriks parabola (4).

Di atas kita telah menetapkan bahwa parabola adalah tempat kedudukan titik M yang berjarak sama dari titik F dan garis d. Jadi, kita dapat memberikan definisi parabola secara geometris (yaitu, tidak bergantung pada sistem koordinat apa pun).

Definisi. Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tetap (“fokus” parabola) dan suatu garis tetap (“direktriks” parabola).

Dengan menyatakan jarak antara fokus dan direktriks parabola dengan , kita selalu dapat menemukan sistem koordinat persegi panjang yang kanonik untuk parabola tertentu, yaitu sistem yang persamaan parabolanya berbentuk kanonik:

Sebaliknya, setiap kurva yang memiliki persamaan seperti itu dalam sistem koordinat persegi panjang adalah parabola (dalam pengertian geometris yang baru saja dibuat).

Jarak antara fokus dan direktriks parabola disebut parameter fokus, atau sederhananya parameter parabola.

Garis yang melalui fokus tegak lurus terhadap direktriks parabola disebut sumbu fokusnya (atau sekadar sumbu); ini adalah sumbu simetri parabola - ini berarti bahwa sumbu parabola adalah sumbu absis dalam sistem koordinat, yang relatif terhadap persamaan parabola berbentuk (4).

Jika suatu titik memenuhi persamaan (4), maka suatu titik yang simetris terhadap titik M terhadap sumbu absis juga memenuhi persamaan ini.

Titik potong parabola dengan sumbunya disebut titik puncak parabola; itu adalah asal mula sistem koordinat kanonik untuk parabola tertentu.

Mari kita berikan interpretasi geometris lain dari parameter parabola.

Mari kita tarik garis lurus melalui fokus parabola, tegak lurus terhadap sumbu parabola; itu akan memotong parabola di dua titik (lihat Gambar 79) dan menentukan apa yang disebut tali busur fokus parabola (yaitu tali busur yang melalui fokus sejajar dengan direktriks parabola). Setengah panjang tali pusat adalah parameter parabola.

Faktanya, panjang tali pusat adalah setengahnya nilai mutlak ordinat salah satu titik, absis masing-masing titik sama dengan absis fokus, mis. Oleh karena itu, untuk ordinat setiap titik yang kita miliki

Q.E.D.

Mari kita perkenalkan sistem koordinat persegi panjang, di mana . Biarkan sumbu melewati fokus F parabola dan tegak lurus terhadap direktriks, dan sumbunya terletak di tengah-tengah antara fokus dan direktriks. Mari kita nyatakan dengan jarak antara fokus dan direktriks. Kemudian persamaan direktriks.

Bilangan tersebut disebut parameter fokus parabola. Misalkan menjadi titik parabola saat ini. Misalkan adalah jari-jari fokus titik hiperbola. Misalkan jarak dari titik ke direktriks. Kemudian( gambar 27.)

Gambar 27.

Menurut definisi parabola. Karena itu,

Mari kita kuadratkan persamaannya dan dapatkan:

(15)

dimana (15) adalah persamaan kanonik parabola yang simetris terhadap sumbu dan melalui titik asal.

Penyelidikan sifat-sifat parabola

1) Titik puncak parabola:

Persamaan (15) dipenuhi dengan angka dan oleh karena itu, parabola melewati titik asal.

2) Simetri parabola:

Biarkan menjadi milik parabola, yaitu kesetaraan sejati. Titik tersebut simetris terhadap titik terhadap sumbunya, oleh karena itu parabola juga simetris terhadap sumbu absis.

Eksentrisitas parabola:

Definisi 4.2. Eksentrisitas parabola adalah bilangan yang sama dengan satu.

Karena menurut definisi parabola.

4) Garis singgung parabola:

Garis singgung parabola di titik singgung diberikan oleh persamaan

Di mana ( gambar 28.)

Gambar 28.

Gambar parabola

Gambar 29.

Menggunakan ESO-Mathcad:

menggambar 30.)

Menggambar 30.

a) Konstruksi tanpa menggunakan TIK: Untuk membuat parabola, kita menetapkan sistem koordinat persegi panjang dengan pusat di titik O dan segmen satuan. Kami menandai fokus pada sumbu OX, karena kami menggambar seperti itu, dan direktriks parabola. Kami membuat lingkaran di suatu titik dengan jari-jari sama dengan jarak dari garis lurus ke direktriks parabola. Lingkaran tersebut memotong garis di titik-titik. Kita buatlah sebuah parabola sehingga melewati titik asal dan melalui titik-titik.( gambar 31.)

Gambar 31.

b) Menggunakan ESO-Mathcad:

Persamaan yang dihasilkan terlihat seperti: . Untuk membuat garis orde kedua pada program Mathcad, kita reduksi persamaannya menjadi bentuk: .( gambar 32.)

Gambar 32.

Untuk meringkas pekerjaan pada teori garis orde kedua di matematika dasar dan untuk kemudahan penggunaan informasi garis saat menyelesaikan masalah, semua data garis orde kedua akan kami sertakan pada Tabel No.1.

Tabel No.1.

Garis orde kedua dalam matematika dasar

Kemungkinan menggunakan TIK dalam studi jalur orde kedua

Proses informatisasi yang saat ini telah mencakup seluruh aspek kehidupan masyarakat modern, mempunyai beberapa bidang prioritas, yang tentunya juga mencakup informatisasi pendidikan. Ini adalah dasar fundamental bagi rasionalisasi global aktivitas intelektual manusia melalui penggunaan teknologi informasi dan komunikasi (TIK).

Pertengahan tahun 90-an abad terakhir hingga saat ini ditandai dengan meluasnya penggunaan dan ketersediaan komputer pribadi di Rusia, meluasnya penggunaan telekomunikasi, yang memungkinkan pengenalan teknologi informasi pendidikan yang dikembangkan ke dalam proses pendidikan, meningkatkan dan memodernisasikannya, meningkatkan kualitas pengetahuan, meningkatkan motivasi belajar, memanfaatkan prinsip individualisasi belajar secara maksimal. Teknologi informasi untuk pendidikan merupakan alat yang diperlukan pada tahap informatisasi pendidikan ini.

Teknologi informasi tidak hanya memudahkan akses terhadap informasi dan membuka kemungkinan variabilitas kegiatan pendidikan, individualisasi dan diferensiasinya, tetapi juga memungkinkan pengorganisasian interaksi semua mata pelajaran dengan cara baru, membangun sistem pendidikan, di mana siswa akan menjadi peserta aktif dan setara dalam kegiatan pendidikan.

Pembentukan baru teknologi Informasi dalam kerangka pelajaran mata pelajaran, mereka merangsang kebutuhan untuk menciptakan perangkat lunak baru dan kompleks metodologi yang bertujuan untuk meningkatkan efektivitas pelajaran secara kualitatif. Oleh karena itu, untuk penggunaan yang sukses dan tepat sasaran proses pendidikan alat teknologi informasi yang harus diketahui oleh guru gambaran umum prinsip pengoperasian dan kemampuan didaktik aplikasi perangkat lunak, dan kemudian, berdasarkan pengalaman dan rekomendasi mereka, “membangun” mereka ke dalam proses pendidikan.

Pembelajaran matematika saat ini dikaitkan dengan sejumlah ciri dan kesulitan perkembangan. pendidikan sekolah di negara kita.

Krisis yang disebut dalam pendidikan matematika telah muncul. Alasannya adalah sebagai berikut:

Dengan perubahan prioritas dalam masyarakat dan ilmu pengetahuan, prioritas humaniora saat ini semakin meningkat;

Dalam mengurangi jumlah pelajaran matematika di sekolah;

Isolasi isi pendidikan matematika dari kehidupan;

Memiliki dampak yang kecil terhadap perasaan dan emosi siswa.

Saat ini pertanyaannya tetap terbuka: “Bagaimana cara paling efektif menggunakan potensi teknologi informasi dan komunikasi modern ketika mengajar anak sekolah, termasuk ketika mengajar matematika?”

Komputer adalah asisten yang sangat baik dalam mempelajari topik seperti "Fungsi Kuadrat", karena dengan menggunakan program khusus Anda dapat membuat grafik berbagai fungsi, menjelajahi fungsi, dengan mudah menentukan koordinat titik potong, menghitung luas bangun tertutup, dll. Misalnya, pada pelajaran aljabar kelas 9 yang dikhususkan untuk transformasi grafik (meregangkan, mengompres, menggerakkan sumbu koordinat), Anda hanya dapat melihat hasil konstruksi yang dibekukan, sedangkan keseluruhan dinamika tindakan berurutan guru dan siswa dapat dilihat. di layar monitor.

Komputer tidak seperti yang lain sarana teknis, secara akurat, jelas dan menarik mengungkapkan model matematika ideal kepada siswa, yaitu. apa yang harus diperjuangkan seorang anak dalam tindakan praktisnya.

Berapa banyak kesulitan yang harus dilalui seorang guru matematika untuk meyakinkan siswa bahwa garis singgung pada grafik fungsi kuadrat pada titik kontak praktis menyatu dengan grafik fungsi. Sangat mudah untuk mendemonstrasikan fakta ini di komputer—cukup dengan mempersempit interval sepanjang sumbu Ox dan menemukan bahwa di lingkungan titik singgung yang sangat kecil, grafik fungsi dan garis singgung bertepatan. Semua tindakan ini terjadi di depan siswa. Contoh ini memberikan dorongan untuk refleksi aktif dalam pembelajaran. Penggunaan komputer dimungkinkan baik pada saat menjelaskan materi baru di kelas maupun pada tahap kontrol. Dengan bantuan program-program ini, misalnya “Tes Saya”, siswa dapat secara mandiri menguji tingkat pengetahuannya dalam teori dan menyelesaikan tugas-tugas teoritis dan praktis. Program-programnya nyaman karena keserbagunaannya. Mereka dapat digunakan untuk pengendalian diri dan pengendalian guru.

Integrasi yang wajar antara matematika dan teknologi komputer akan memungkinkan kita untuk melihat lebih kaya dan lebih dalam proses pemecahan masalah dan proses pemahaman hukum matematika. Selain itu, komputer akan membantu membentuk budaya grafis, matematika dan mental siswa, dan dengan bantuan komputer Anda dapat menyiapkan materi didaktik: kartu, lembar survei, tes, dll. kesempatan untuk secara mandiri mengembangkan tes tentang topik tersebut, di mana minat dan pendekatan kreatif.

Oleh karena itu, perlunya pemanfaatan komputer dalam pembelajaran matematika seluas-luasnya. Pemanfaatan teknologi informasi akan membantu meningkatkan kualitas pengetahuan, memperluas wawasan mempelajari fungsi kuadrat, dan oleh karena itu membantu menemukan prospek baru untuk menjaga minat siswa terhadap mata pelajaran dan topik, dan oleh karena itu, sikap yang lebih baik dan penuh perhatian terhadapnya. . Saat ini, teknologi informasi modern menjadi alat terpenting untuk memodernisasi sekolah secara keseluruhan - mulai dari manajemen hingga pendidikan dan memastikan aksesibilitas pendidikan.

Perhatikan sebuah garis pada bidang dan sebuah titik yang tidak terletak pada garis tersebut. DAN elips, Dan hiperbola dapat didefinisikan secara terpadu sebagai kedudukan titik-titik geometri yang perbandingan jarak ke suatu titik tertentu dengan jarak ke suatu garis lurus adalah nilai yang konstan.

peringkat ε. Pada 0 1 - hiperbola. Parameternya adalah eksentrisitas elips dan hiperbola. Dari kemungkinan tersebut nilai-nilai positif satu parameter ε yaitu ε = 1 ternyata tidak terpakai. Nilai ini sesuai dengan kedudukan geometri titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu dan dari suatu garis tertentu.

Definisi 8.1. Lokasi geometris titik-titik pada bidang yang berjarak sama dari suatu titik tetap dan dari suatu garis tetap disebut parabola.

Titik tetapnya disebut fokus parabola, dan garis lurus - direktriks parabola. Pada saat yang sama, diyakini demikian eksentrisitas parabola sama dengan satu.

Dari pertimbangan geometris dapat disimpulkan bahwa parabola adalah simetris terhadap garis lurus yang tegak lurus terhadap direktriks dan melalui fokus parabola. Garis lurus ini disebut sumbu simetri parabola atau sederhananya sumbu parabola. Parabola memotong sumbu simetrinya di satu titik. Poin ini disebut titik puncak parabola. Letaknya di tengah ruas yang menghubungkan fokus parabola dengan titik potong sumbunya dengan direktriks (Gbr. 8.3).

persamaan parabola. Untuk menurunkan persamaan parabola, kita memilih pada bidang asal di titik puncak parabola, sebagai sumbu x- sumbu parabola, arah positifnya ditentukan oleh posisi fokus (lihat Gambar 8.3). Sistem koordinat ini disebut resmi untuk parabola yang dimaksud, dan variabel-variabel yang bersesuaiannya adalah resmi.

Mari kita nyatakan jarak dari fokus ke direktriks dengan p. Mereka memanggilnya parameter fokus parabola.

Maka fokus mempunyai koordinat F(p/2; 0), dan direktriks d digambarkan dengan persamaan x = - p/2. Tempat kedudukan titik M(x; y), yang berjarak sama dari titik F dan dari garis d, diberikan oleh persamaan

Mari kita kuadratkan persamaan (8.2) dan sajikan persamaan serupa. Kami mendapatkan persamaannya

yang disebut persamaan parabola kanonik.

Perhatikan bahwa mengkuadratkan dalam hal ini - konversi setara persamaan (8.2), karena kedua ruas persamaan tersebut non-negatif, seperti ekspresi di bawah akar.

Jenis parabola. Jika parabola y 2 = x yang bentuknya kita anggap diketahui, dikompresi dengan koefisien 1/(2p) sepanjang sumbu x, maka diperoleh parabola pandangan umum, yang dijelaskan oleh persamaan (8.3).

Contoh 8.2. Mari kita cari koordinat fokus dan persamaan direktriks parabola jika melewati suatu titik yang koordinat kanoniknya (25; 10).

DI DALAM koordinat kanonik persamaan parabolanya adalah y 2 = 2px. Karena titik (25; 10) terletak pada parabola, maka 100 = 50p sehingga p = 2. Oleh karena itu, y 2 = 4x adalah persamaan kanonik parabola, x = - 1 adalah persamaan direktriksnya, dan fokusnya ada pada titik (1; 0 ).

Properti optik parabola. Parabola mempunyai persamaan berikut properti optik. Jika sumber cahaya ditempatkan pada titik fokus parabola, maka semuanya sinar cahaya setelah dipantulkan dari parabola, keduanya akan sejajar dengan sumbu parabola (Gbr. 8.4). Sifat optik berarti bahwa pada setiap titik M parabola vektor biasa garis singgungnya membentuk sudut yang sama besar dengan jari-jari fokus MF dan sumbu absis.