Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan 4 8. Ujian Negara Terpadu Matematika (profil)

Soal B9 memberikan grafik fungsi atau turunan yang darinya Anda perlu menentukan salah satu besaran berikut:

Nilai turunan di suatu titik x 0,
Poin maksimum atau minimum (titik ekstrem),
Interval kenaikan dan penurunan fungsi (interval monotonisitas).

Fungsi dan turunan yang disajikan dalam soal ini selalu kontinu sehingga penyelesaiannya lebih mudah. Terlepas dari kenyataan bahwa tugas itu milik bagian tersebut analisis matematis, itu cukup dalam kemampuan siswa yang paling lemah sekalipun, karena tidak ada yang mendalam pengetahuan teoretis tidak diperlukan di sini.

Untuk mencari nilai turunan, titik ekstrem, dan interval monotonisitas, terdapat algoritma sederhana dan universal - semuanya akan dibahas di bawah.

Bacalah kondisi soal B9 dengan cermat untuk menghindari kesalahan bodoh: terkadang Anda menemukan teks yang cukup panjang, tapi kondisi penting, yang mempengaruhi jalannya pengambilan keputusan, jumlahnya sedikit.

Perhitungan nilai derivatif. Metode dua titik

Jika dalam soal diberikan grafik fungsi f(x), bersinggungan dengan grafik tersebut di suatu titik x 0, dan diperlukan untuk mencari nilai turunannya di titik tersebut, maka algoritma berikut diterapkan:

Temukan dua titik yang “cukup” pada grafik singgung: koordinatnya harus bilangan bulat. Mari kita nyatakan titik-titik ini sebagai A (x 1 ; y 1) dan B (x 2 ; y 2). Tuliskan koordinatnya dengan benar - ini dia poin kunci solusi, dan kesalahan apa pun di sini menghasilkan jawaban yang salah.
Mengetahui koordinatnya, mudah untuk menghitung kenaikan argumen Δx = x 2 − x 1 dan kenaikan fungsi Δy = y 2 − y 1 .
Terakhir, kita cari nilai turunan D = Δy/Δx. Dengan kata lain, Anda perlu membagi pertambahan fungsi dengan pertambahan argumen - dan inilah jawabannya.

Mari kita perhatikan sekali lagi: titik A dan B harus dicari tepat pada garis singgungnya, dan bukan pada grafik fungsi f(x), seperti yang sering terjadi. Garis singgung harus memuat setidaknya dua titik seperti itu - jika tidak, masalahnya tidak akan dirumuskan dengan benar.

Perhatikan titik A (−3; 2) dan B (−1; 6) dan temukan pertambahannya:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = kamu 2 − kamu 1 = 6 − 2 = 4.

Mari kita cari nilai turunannya: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y = f(x) dan garis singgungnya di titik absis x 0. Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x 0 .

Perhatikan titik A (0; 3) dan B (3; 0), carilah pertambahan:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = kamu 2 − kamu 1 = 0 − 3 = −3.

Sekarang kita cari nilai turunannya: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y = f(x) dan garis singgungnya di titik absis x 0. Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x 0 .

Perhatikan titik A (0; 2) dan B (5; 2) dan temukan pertambahannya:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = kamu 2 − kamu 1 = 2 − 2 = 0.

Tinggal mencari nilai turunannya: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Dari contoh terakhir kita dapat merumuskan aturan: jika garis singgung sejajar dengan sumbu OX, maka turunan fungsi di titik singgung tersebut adalah nol. Dalam hal ini, Anda bahkan tidak perlu menghitung apa pun - cukup lihat grafiknya.

Perhitungan poin maksimum dan minimum

Terkadang, alih-alih grafik suatu fungsi, Soal B9 memberikan grafik turunan dan mengharuskan pencarian titik maksimum atau minimum dari fungsi tersebut. Dalam situasi ini, metode dua titik tidak ada gunanya, tetapi ada algoritma lain yang lebih sederhana. Pertama, mari kita definisikan terminologinya:

Titik x 0 disebut titik maksimum fungsi f(x) jika di suatu lingkungan titik tersebut terdapat pertidaksamaan berikut: f(x 0) ≥ f(x).
Titik x 0 disebut titik minimum fungsi f(x) jika di lingkungan titik tersebut terdapat pertidaksamaan berikut: f(x 0) ≤ f(x).

Untuk mencari titik maksimum dan minimum pada grafik turunan, ikuti saja langkah-langkah berikut:

Gambar ulang grafik turunan, hapus semua informasi yang tidak diperlukan. Seperti yang diperlihatkan oleh praktik, data yang tidak perlu hanya mengganggu pengambilan keputusan. Oleh karena itu, kami mencatatnya sumbu koordinat nol dari turunannya - itu saja.
Temukan tanda-tanda turunan pada interval antara nol. Jika pada suatu titik x 0 diketahui f'(x 0) ≠ 0, maka hanya ada dua pilihan yang mungkin: f'(x 0) ≥ 0 atau f'(x 0) ≤ 0. Tanda turunannya adalah mudah ditentukan dari gambar aslinya: jika grafik turunan terletak di atas sumbu OX, maka f'(x) ≥ 0. Begitu pula sebaliknya, jika grafik turunan terletak di bawah sumbu OX, maka f'(x) ≤ 0.
Sekali lagi kita periksa angka nol dan tanda turunannya. Dimana perubahan tanda dari minus menjadi plus merupakan titik minimum. Sebaliknya jika tanda turunannya berubah dari plus ke minus maka inilah titik maksimumnya. Penghitungan selalu dilakukan dari kiri ke kanan.

Skema ini hanya berfungsi untuk fungsi berkelanjutan - tidak ada skema lain di soal B9.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi f(x) yang didefinisikan pada interval [−5; 5]. Temukan titik minimum dari fungsi f(x) pada segmen ini.

Mari kita singkirkan informasi yang tidak perlu dan hanya menyisakan batasan [−5; 5] dan nol dari turunan x = −3 dan x = 2.5. Kami juga memperhatikan tanda-tandanya:

Jelasnya, pada titik x = −3 tanda turunannya berubah dari minus menjadi plus. Ini adalah poin minimum.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi f(x) yang didefinisikan pada interval [−3; 7]. Tentukan titik maksimum fungsi f(x) pada ruas tersebut.

Mari kita menggambar ulang grafiknya, hanya menyisakan batas [−3; 7] dan nol dari turunannya x = −1.7 dan x = 5. Perhatikan tanda turunannya pada grafik yang dihasilkan. Kami memiliki:

Jelasnya, pada titik x = 5 tanda turunannya berubah dari plus ke minus - ini adalah titik maksimum.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi f(x), yang didefinisikan pada interval [−6; 4]. Tentukan banyaknya titik maksimum dari fungsi f(x) yang termasuk dalam ruas [−4; 3].

Dari kondisi soal maka cukup dengan memperhatikan bagian grafik yang dibatasi oleh segmen [−4; 3]. Itu sebabnya kami sedang membangun jadwal baru, yang di atasnya kita hanya menandai batasnya [−4; 3] dan nol dari turunan di dalamnya. Yaitu, titik x = −3.5 dan x = 2. Kita peroleh:

Pada grafik ini hanya terdapat satu titik maksimum x = 2. Pada titik inilah tanda turunannya berubah dari plus menjadi minus.

Catatan kecil tentang titik-titik dengan koordinat bukan bilangan bulat. Misalnya, di tugas terakhir titik x = −3.5 telah dipertimbangkan, tetapi dengan keberhasilan yang sama kita dapat mengambil x = −3.4. Jika soal disusun dengan benar, perubahan tersebut tidak akan mempengaruhi jawaban, karena poin “tanpa tempat tinggal tetap” tidak diterima partisipasi langsung dalam memecahkan masalah tersebut. Tentu saja trik ini tidak akan berhasil dengan poin integer.

Menemukan interval fungsi naik dan turun

Dalam soal seperti titik maksimum dan minimum, diusulkan untuk menggunakan grafik turunan untuk mencari luas di mana fungsi itu sendiri bertambah atau berkurang. Pertama, mari kita definisikan apa itu kenaikan dan penurunan:

Suatu fungsi f(x) dikatakan meningkat pada suatu ruas jika untuk dua titik x 1 dan x 2 dari ruas tersebut pernyataan berikut ini benar: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Dengan kata lain, semakin besar nilai argumen maka semakin besar pula nilai fungsinya.
Suatu fungsi f(x) disebut menurun pada suatu ruas jika untuk dua titik x 1 dan x 2 dari ruas tersebut pernyataan berikut ini benar: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Itu. nilai yang lebih tinggi argumen cocok nilai yang lebih rendah fungsi.

Mari kita rumuskan kondisi yang cukup untuk kenaikan dan penurunan:

Untuk fungsi berkelanjutan f(x) bertambah pada ruas tersebut , turunannya di dalam ruas tersebut cukup positif, yaitu f'(x) ≥ 0.
Agar fungsi kontinu f(x) berkurang pada segmen tersebut, turunannya di dalam segmen tersebut cukup negatif, yaitu f'(x) ≤ 0.

Mari kita menerima pernyataan ini tanpa bukti. Dengan demikian, kita memperoleh skema untuk mencari interval kenaikan dan penurunan, yang dalam banyak hal mirip dengan algoritma untuk menghitung titik ekstrem:

Hapus semua informasi yang tidak perlu. Dalam grafik turunan asli, kita terutama tertarik pada angka nol dari fungsi tersebut, jadi kita hanya menyisakannya saja.
Tandai tanda turunannya pada interval antara nol. Dimana f’(x) ≥ 0 maka fungsinya bertambah, dan jika f’(x) ≤ 0 maka fungsinya menurun. Jika soal menetapkan batasan pada variabel x, kami juga menandainya pada grafik baru.
Sekarang setelah kita mengetahui perilaku fungsi dan batasannya, tinggal menghitung besaran yang diperlukan dalam soal.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi f(x) yang didefinisikan pada interval [−3; 7.5]. Tentukan interval penurunan fungsi f(x). Dalam jawaban Anda, tunjukkan jumlah bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.

Seperti biasa, mari kita gambar ulang grafiknya dan tandai batasnya [−3; 7.5], serta nol dari turunan x = −1.5 dan x = 5.3. Kemudian kita perhatikan tanda turunannya. Kami memiliki:

Karena turunannya negatif pada interval (− 1.5), ini adalah interval penurunan fungsi. Tetap menjumlahkan semua bilangan bulat yang ada di dalam interval ini:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi f(x) yang didefinisikan pada interval [−10; 4]. Tentukan interval kenaikan fungsi f(x). Dalam jawabanmu, sebutkan panjang yang terbesar.

Mari kita singkirkan informasi yang tidak perlu. Mari kita tinggalkan batasnya saja [−10; 4] dan nol dari turunannya, yang kali ini berjumlah empat: x = −8, x = −6, x = −3 dan x = 2. Mari kita tandai tanda-tanda turunannya dan dapatkan gambar berikut:

Kami tertarik pada interval peningkatan fungsi, yaitu. dimana f’(x) ≥ 0. Ada dua interval pada grafik: (−8; −6) dan (−3; 2). Mari kita hitung panjangnya:
aku 1 = − 6 − (−8) = 2;
aku 2 = 2 − (−3) = 5.

Karena kita perlu mencari panjang interval terbesar, kita tuliskan nilai l 2 = 5 sebagai jawabannya.

Garis lurus y=3x+2 bersinggungan dengan grafik fungsi y=-12x^2+bx-10. Temukan b, mengingat absis titik singgungnya.

kurang dari nol

Tunjukkan solusi

Larutan

Nilai turunan di titik x_0 sama dengan kemiringan garis singgungnya, yaitu y"(x_0)=-24x_0+b=3. Sebaliknya, titik singgung tersebut secara bersamaan berada pada kedua grafik tersebut. fungsi dan garis singgungnya, yaitu -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 \mulai(kasus) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(kasus)

Memecahkan sistem ini, kita mendapatkan x_0^2=1, yang berarti x_0=-1 atau x_0=1.

Berdasarkan syarat absis, titik singgungnya kurang dari nol, jadi x_0=-1, maka b=3+24x_0=-21.

Menjawab

Kondisi

kurang dari nol

Tunjukkan solusi

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) (yaitu garis putus-putus yang terdiri dari tiga ruas lurus). Dengan menggunakan gambar tersebut, hitunglah F(9)-F(5), dengan F(x) adalah salah satu antiturunan dari fungsi f(x). Menurut rumus Newton-Leibniz, selisih F(9)-F(5), dimana F(x) adalah salah satu antiturunan dari fungsi f(x), sama dengan luas trapesium lengkung, dibatasi oleh jadwal fungsi y=f(x), garis lurus y=0, x=9 dan x=5. Sesuai jadwal, kami menentukan apa yang ditunjukkan

trapesium melengkung adalah trapesium dengan alas sama dengan 4 dan 3 dan tinggi 3.

Berdasarkan syarat absis, titik singgungnya kurang dari nol, jadi x_0=-1, maka b=3+24x_0=-21.

Luasnya sama \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5. Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017.

Menjawab

Tingkat profil

kurang dari nol

Tunjukkan solusi

" Ed. F.F.Lysenko, S.Yu.Kulabukhova.

Gambar tersebut menunjukkan grafik y=f"(x) - turunan dari fungsi f(x), yang didefinisikan pada interval (-4; 10). Temukan interval penurunan fungsi f(x). Dalam jawaban Anda, tunjukkan panjang yang terbesar dari mereka.

Berdasarkan syarat absis, titik singgungnya kurang dari nol, jadi x_0=-1, maka b=3+24x_0=-21.

Sebagaimana diketahui, fungsi f(x) berkurang pada interval-interval tersebut di setiap titik yang turunannya f"(x) kurang dari nol. Mengingat perlunya mencari panjang interval terbesarnya, tiga interval tersebut adalah secara alami dibedakan dari gambar: (-4; -2) ;

Menjawab

Panjang yang terbesar - (5; 9) adalah 4. Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F.F.Lysenko, S.Yu.Kulabukhova. [-6; -2].

kurang dari nol

Tunjukkan solusi

Gambar tersebut menunjukkan grafik y=f"(x) - turunan dari fungsi f(x), yang didefinisikan pada interval (-8; 7). Tentukan jumlah titik maksimum dari fungsi f(x),

Berdasarkan syarat absis, titik singgungnya kurang dari nol, jadi x_0=-1, maka b=3+24x_0=-21.

Menjawab

termasuk dalam interval

kurang dari nol

Tunjukkan solusi

Persamaan turunan suatu titik dengan nol berarti garis singgung grafik fungsi yang digambarkan di titik tersebut sejajar dengan sumbu Ox.

Berdasarkan syarat absis, titik singgungnya kurang dari nol, jadi x_0=-1, maka b=3+24x_0=-21.

Menjawab

Oleh karena itu, kita menemukan titik-titik yang garis singgung grafik fungsinya sejajar dengan sumbu Ox.

kurang dari nol

Tunjukkan solusi

Pada grafik ini, titik-titik tersebut merupakan titik ekstrem (titik maksimum atau minimum). Seperti yang Anda lihat, ada 5 titik ekstrem. Garis lurus y=-3x+4 sejajar garis singgung grafik fungsi y=-x^2+5x-7. Temukan absis titik singgungnya.

Kemiringan garis lurus terhadap grafik fungsi y=-x^2+5x-7 in

Berdasarkan syarat absis, titik singgungnya kurang dari nol, jadi x_0=-1, maka b=3+24x_0=-21.

Menjawab

titik sewenang-wenang

x_0 sama dengan y"(x_0). Tapi y"=-2x+5, artinya y"(x_0)=-2x_0+5. Kemiringan garis y=-3x+4 yang ditentukan dalam kondisi sama dengan -3. Garis sejajar mempunyai koefisien sudut yang sama. Oleh karena itu, kita mencari nilai x_0 sehingga =-2x_0 +5=-3.Kita mendapatkan: x_0 = 4. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan titik -6, -1, 1, 4 ditandai pada absisnya. Di antara titik-titik berikut manakah turunan yang paling kecil? Harap tunjukkan poin ini dalam jawaban Anda. Halo! Mari kita ikuti Ujian Negara Terpadu yang akan datang dengan persiapan sistematis berkualitas tinggi dan ketekunan dalam mengasah granit ilmu pengetahuan!!! DI DALAM

Ada tugas kompetisi di akhir postingan, jadilah yang pertama! Di salah satu artikel di bagian ini Anda dan saya, di mana grafik fungsi diberikan, dan kami letakkan berbagai pertanyaan:

berkaitan dengan ekstrim, interval kenaikan (penurunan) dan lain-lain.
Pada artikel ini kita akan membahas soal-soal yang termasuk dalam Ujian Negara Terpadu matematika, yang di dalamnya diberikan grafik turunan suatu fungsi, dan
pertanyaan-pertanyaan berikut
1. Pada titik manakah pada segmen tertentu fungsi tersebut mempunyai nilai terbesar (atau terkecil).
2. Temukan jumlah titik maksimum (atau minimum) dari fungsi yang termasuk dalam segmen tertentu.
3. Temukan jumlah titik ekstrem dari suatu fungsi yang termasuk dalam segmen tertentu.
4. Temukan titik ekstrem dari fungsi yang termasuk dalam segmen tertentu.
5. Temukan interval kenaikan (atau penurunan) fungsi dan dalam jawabannya tunjukkan jumlah bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.

6. Temukan interval kenaikan (atau penurunan) fungsi tersebut. Dalam jawaban Anda, tunjukkan panjang interval terbesarnya.

7. Tentukan banyak titik yang garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar atau berimpit dengan garis berbentuk y = kx + b.

1. Turunan pada interval kenaikan mempunyai tanda positif.

Jika turunan pada titik tertentu dari interval tertentu mempunyai nilai positif, maka grafik fungsinya meningkat pada interval ini.

2. Pada interval menurun, turunannya bertanda negatif.

Jika turunan pada titik tertentu dari interval tertentu mempunyai nilai negatif, maka grafik fungsinya menurun pada interval ini.

3. Turunan di titik x sama dengan kemiringan garis singgung grafik fungsi di titik yang sama.

4. Pada titik ekstrem (maksimum-minimum) suatu fungsi, turunannya sama dengan nol. Garis singgung grafik fungsi pada titik ini sejajar dengan sumbu x.

Ini harus dipahami dan diingat dengan jelas!!!

Grafik turunannya “membingungkan” banyak orang. Beberapa orang secara tidak sengaja salah mengartikannya sebagai grafik fungsi itu sendiri. Oleh karena itu, pada bangunan seperti itu, di mana Anda melihat diberikan grafik, segera fokuskan perhatian Anda pada kondisi yang diberikan: grafik fungsi atau grafik turunan fungsi?

Jika grafik tersebut merupakan turunan suatu fungsi, perlakukan grafik tersebut sebagai "refleksi" dari fungsi itu sendiri, yang akan memberi Anda informasi tentang fungsi tersebut.

Pertimbangkan tugasnya:

Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–2;21).

Kami akan menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut:

1. Pada titik manakah pada segmen tersebut terdapat fungsi F(X) menerima nilai tertinggi.

Pada suatu interval tertentu, turunan suatu fungsi bernilai negatif, artinya fungsi pada interval tersebut berkurang (menurun dari batas kiri interval ke kanan). Dengan demikian, nilai fungsi terbesar dicapai pada batas kiri segmen, yaitu di titik 7.

Jawaban: 7

2. Pada titik manakah pada segmen tersebut terdapat fungsi F(X)

Oleh jadwal ini turunan kita dapat mengatakan sebagai berikut. Pada suatu interval tertentu, turunan fungsinya adalah positif, artinya fungsi pada interval tersebut bertambah (bertambah dari batas kiri interval ke kanan). Dengan demikian, nilai terkecil Fungsi dicapai pada batas kiri ruas, yaitu pada titik x = 3.

Jawaban: 3

3. Temukan jumlah titik maksimum dari fungsi tersebut F(X)

Titik maksimum adalah titik dimana tanda turunannya berubah dari positif ke negatif. Mari kita pertimbangkan di mana tandanya berubah dengan cara ini.

Pada ruas (3;6) turunannya positif, pada ruas (6;16) turunannya negatif.

Pada segmen (16;18) turunannya positif, pada segmen (18;20) negatif.

Jadi, pada suatu segmen tertentu fungsi tersebut mempunyai dua titik maksimum x = 6 dan x = 18.

Jawaban: 2

4. Temukan jumlah titik minimum dari fungsi tersebut F(X), milik segmen tersebut.

Poin minimum sesuai dengan titik di mana tanda turunannya berubah dari negatif menjadi positif. Turunan kita negatif pada interval (0;3), dan positif pada interval (3;4).

Jadi, pada segmen tersebut fungsi tersebut hanya memiliki satu titik minimum x = 3.

*Hati-hati saat menuliskan jawabannya - jumlah poin yang dicatat, bukan nilai x; kesalahan seperti itu bisa terjadi karena kurangnya perhatian.

Jawaban: 1

5. Temukan jumlah titik ekstrem dari fungsi tersebut F(X), milik segmen tersebut.

Harap perhatikan apa yang perlu Anda temukan kuantitas titik ekstrem (ini adalah titik maksimum dan minimum).

Titik ekstrem merupakan titik yang tanda turunannya berubah (dari positif ke negatif atau sebaliknya). Pada grafik yang diberikan dalam kondisi, ini adalah fungsi nol. Turunannya hilang di titik 3, 6, 16, 18.

Jadi, fungsi tersebut memiliki 4 titik ekstrem pada segmen tersebut.

Jawaban: 4

6. Temukan interval kenaikan fungsi F(X)

Interval kenaikan fungsi ini F(X) sesuai dengan interval di mana turunannya positif, yaitu interval (3;6) dan (16;18). Harap dicatat bahwa batas interval tidak termasuk di dalamnya ( tanda kurung– batas tidak termasuk dalam interval, batas persegi disertakan). Interval ini berisi bilangan bulat poin 4, 5, 17. Jumlahnya adalah: 4 + 5 + 17 = 26

Jawaban: 26

7. Temukan interval penurunan fungsi F(X) pada interval tertentu. Dalam jawaban Anda, tunjukkan jumlah bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.

Mengurangi interval suatu fungsi F(X) sesuai dengan interval di mana turunan fungsinya negatif. Dalam soal ini adalah interval (–2;3), (6;16), (18:21).

Interval ini berisi titik bilangan bulat berikut: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Jumlahnya adalah:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Jawaban: 140

*Perhatikan syarat: apakah batas-batas tersebut termasuk dalam interval atau tidak. Jika batas-batas dimasukkan, maka dalam interval yang dipertimbangkan dalam proses penyelesaian, batas-batas ini juga harus diperhitungkan.

8. Temukan interval kenaikan fungsi F(X)

Interval peningkatan fungsi F(X) sesuai dengan interval di mana turunan fungsinya positif. Kami telah menunjukkannya: (3;6) dan (16:18). Yang terbesar adalah interval (3;6), panjangnya 3.

Jawaban: 3

9. Temukan interval penurunan fungsi F(X). Dalam jawabanmu, sebutkan panjang yang terbesar.

Mengurangi interval suatu fungsi F(X) sesuai dengan interval di mana turunan fungsinya negatif. Kami telah menunjukkannya; ini adalah interval (–2;3), (6;16), (18;21), panjangnya masing-masing 5, 10, 3.

Panjang yang terbesar adalah 10.

Jawaban: 10

10. Tentukan banyak titik yang bersinggungan dengan grafik fungsi tersebut F(X) sejajar atau berimpit dengan garis lurus y = 2x + 3.

Nilai turunan pada titik singgung sama dengan kemiringan garis singgung tersebut. Karena garis singgungnya sejajar dengan garis lurus y = 2x + 3 atau berimpit dengannya, maka koefisien sudutnya sama dengan 2. Artinya, perlu dicari banyak titik di mana y′(x 0) = 2. Secara geometris, ini sesuai dengan jumlah titik potong grafik turunan dengan garis lurus y = 2. Ada 4 titik pada interval ini.

Jawaban: 4

11. Temukan titik ekstrem dari fungsi tersebut F(X), milik segmen tersebut.

Titik ekstrem suatu fungsi adalah titik di mana turunannya sama dengan nol, dan di sekitar titik tersebut turunannya berubah tanda (dari positif ke negatif atau sebaliknya). Pada ruas tersebut grafik turunannya memotong sumbu x, turunannya berubah tanda dari negatif menjadi positif. Oleh karena itu, titik x = 3 merupakan titik ekstrem.

Jawaban: 3

12. Tentukan absis titik-titik yang garis singgung grafik y = f (x) sejajar atau berimpit dengan sumbu absis. Dalam jawaban Anda, sebutkan yang terbesar.

Garis singgung grafik y = f (x) dapat sejajar dengan sumbu x atau berimpit dengannya, hanya pada titik yang turunannya sama dengan nol (dapat berupa titik ekstrem atau titik stasioner, di sekitar turunannya tidak berubah tandanya). Grafik ini menunjukkan turunannya nol di titik 3, 6, 16,18. Yang terbesar adalah 18.

Anda dapat menyusun alasan Anda seperti ini:

Nilai turunan pada titik singgung sama dengan kemiringan garis singgung tersebut. Karena garis singgungnya sejajar atau berimpit dengan sumbu x, maka garis singgungnya adalah lereng sama dengan 0 (sebenarnya garis singgung sudut adalah nol derajat sama dengan nol). Oleh karena itu, kita mencari titik yang kemiringannya sama dengan nol, sehingga turunannya sama dengan nol. Turunannya sama dengan nol pada titik perpotongan grafiknya dengan sumbu x, yaitu titik 3, 6, 16,18.

Jawaban: 18

Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–8;4). Pada titik manakah pada segmen [–7;–3] fungsi tersebut berada F(X) mengambil nilai terkecil.

Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–7;14). Temukan jumlah titik maksimum dari fungsi tersebut F(X), termasuk dalam segmen [–6;9].

Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–18;6). Temukan jumlah titik minimum dari fungsi tersebut F(X), termasuk dalam segmen [–13;1].

Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–11; –11). Temukan jumlah titik ekstrem dari fungsi tersebut F(X), termasuk dalam segmen [–10; –10].

Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–7;4). Temukan interval kenaikan fungsi F(X). Dalam jawaban Anda, tunjukkan jumlah bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.

Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–5;7). Temukan interval penurunan fungsi F(X). Dalam jawaban Anda, tunjukkan jumlah bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.

Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–11;3). Temukan interval kenaikan fungsi F(X). Dalam jawabanmu, sebutkan panjang yang terbesar.

F Gambar tersebut menunjukkan grafik

Kondisi masalahnya sama (yang kami pertimbangkan). Temukan jumlah tiga angka:

1. Jumlah kuadrat ekstrem fungsi f(x).

2. Selisih kuadrat jumlah titik maksimum dan jumlah titik minimum fungsi f (x).

3. Banyaknya garis singgung f (x) yang sejajar garis lurus y = –3x + 5.

Orang pertama yang memberikan jawaban benar akan menerima hadiah insentif sebesar 150 rubel. Tulis jawaban Anda di komentar. Jika ini adalah komentar pertama Anda di blog, maka komentar tersebut tidak akan langsung muncul, melainkan beberapa saat kemudian (jangan khawatir, waktu penulisan komentar tersebut dicatat).

Semoga beruntung untukmu!

Hormat kami, Alexander Krutitsikh.

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu saya tentang situs ini di jejaring sosial.

B8. Ujian Negara Bersatu

1. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgung grafik tersebut yang digambar di titik dengan absis x0. Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0. Jawaban: 2

Jawaban: -5

Pada interval (–9;4).

Jawaban:2

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0 Jawaban: 0,5

5. Tentukan titik singgung garis y = 3x + 8 dan grafik fungsi y = x3+x2-5x-4. Dalam jawaban Anda, tunjukkan absis titik ini. Jawaban: -2

Tentukan banyaknya nilai bilangan bulat dari argumen yang turunan fungsi f(x) negatif. Jawaban: 4

Jawaban: 2

Tentukan banyak titik yang garis singgung grafik fungsi f(x) sejajar dengan garis lurus y=5–x atau berimpit dengannya. Jawaban: 3

Intervalnya (-8; 3).

Garis lurus y = -20. Jawaban: 2

10.

Jawaban: -0,5

Jawaban: 1

12. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgung fungsi tersebut di titik absis x0.

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0. Jawaban: 0,5

13. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgung fungsi tersebut di titik absis x0.

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0. Jawaban: -0,25

14.

Tentukan banyak titik yang garis singgung grafik fungsi f(x) sejajar atau berimpit dengan garis lurus y = x+7. Jawaban: 4

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0. Jawaban: -2

16.

interval (-14;9).

Tentukan banyaknya titik maksimum fungsi f(x) pada ruas [-12;7]. Jawaban: 3

pada interval (-10;8).

Tentukan banyaknya titik ekstrem fungsi f(x) pada ruas [-9;7]. Menjawab: 4

18. Garis y = 5x-7 menyentuh grafik fungsi y = 6x2 + bx-1 di titik yang absisnya kurang dari 0. Tentukan b. Menjawab: 17

Menjawab:-0,25

Menjawab: 6

21. Tentukan garis singgung grafik fungsi y=x2+6x-7 yang sejajar dengan garis lurus y=5x+11. Dalam jawaban Anda, tunjukkan titik singgung absisnya. Menjawab: -0,5

22.

Menjawab: 4

23. F "(x) pada interval (-16;4).

Pada ruas [-11;0] tentukan jumlah titik maksimum fungsi tersebut. Menjawab: 1

B8 Grafik fungsi, turunan fungsi. Penelitian Fungsi . Ujian Negara Bersatu

1. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgung grafik tersebut yang digambar di titik dengan absis x0. Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0.

2. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi f(x), yang didefinisikan pada interval (-6; 5).

Pada titik manakah segmen [-5; -1] f(x) mengambil nilai terkecil?

3. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi y = f(x), terdefinisi

Pada interval (–9;4).

Tentukan banyaknya titik yang garis singgung grafik fungsi f(x) sejajar dengan garis

y = 2x-17 atau bertepatan dengan itu.

4. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y = f(x) dan garis singgungnya di titik absis x0.

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0

5. Tentukan titik singgung garis y = 3x + 8 dan grafik fungsi y = x3+x2-5x-4. Dalam jawaban Anda, tunjukkan absis titik ini.

6. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y = f(x), yang didefinisikan pada interval (-7; 5).

Tentukan banyaknya nilai bilangan bulat dari argumen yang turunan fungsi f(x) negatif.

7. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f"(x), yang didefinisikan pada interval (-8; 8).

Tentukan banyaknya titik ekstrem fungsi f(x) yang termasuk dalam ruas [-4; 6].

8. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y = f"(x), yang didefinisikan pada interval (-8; 4).

Tentukan banyak titik yang garis singgung grafik fungsi f(x) sejajar dengan garis lurus y=5–x atau berimpit dengannya.

9. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi y = f(x), yang didefinisikan pada

Intervalnya (-8; 3).

Tentukan banyaknya titik yang garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar

Garis lurus y = -20.

10. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgung fungsi tersebut di titik absis x0.

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0.

11 . Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi f(x), yang didefinisikan pada interval (-9;9).

Tentukan banyaknya titik minimum fungsi $f(x)$ pada ruas [-6;8]. 1

12. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgung fungsi tersebut di titik absis x0.

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0.

13. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgung fungsi tersebut di titik absis x0.

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0.

14. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi f(x), yang didefinisikan pada interval (-6;8).

Tentukan banyak titik yang garis singgung grafik fungsi f(x) sejajar atau berimpit dengan garis lurus y = x+7.

15 . Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y = f(x) dan garis singgungnya di titik absis x0.

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0.

16. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x), yang didefinisikan pada

interval (-14;9).

Tentukan banyaknya titik maksimum fungsi f(x) pada ruas [-12;7].

17 . Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi f(x), terdefinisi

pada interval (-10;8).

Tentukan banyaknya titik ekstrem fungsi f(x) pada ruas [-9;7].

18. Garis y = 5x-7 menyentuh grafik fungsi y = 6x2 + bx-1 di titik yang absisnya kurang dari 0. Tentukan b.

19 . Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi f(x) dan garis singgungnya di titik absis x0.

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0.

20 . Tentukan banyaknya titik pada interval (-1;12) yang turunan fungsi y = f(x) pada grafik sama dengan 0.

21. Tentukan garis singgung grafik fungsi y=x2+6x-7 yang sejajar dengan garis lurus y=5x+11. Dalam jawaban Anda, tunjukkan titik singgung absisnya.

22. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x). Tentukan banyaknya titik bilangan bulat pada interval (-2;11) yang turunan fungsi f(x) positif.

23. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y= F "(x) pada interval (-16;4).

Pada ruas [-11;0] tentukan jumlah titik maksimum fungsi tersebut.