Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Sistem pertidaksamaan. Contoh penyelesaian"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.

Alat peraga dan simulator pendidikan di toko online Integral untuk kelas 9
Buku teks interaktif untuk kelas 9 "Aturan dan latihan geometri"
Buku teks elektronik "Geometri yang Dapat Dimengerti" untuk kelas 7-9

Sistem ketidaksetaraan

Mari kita perkenalkan definisi sistem ketidaksetaraan.
Beberapa pertidaksamaan dengan suatu variabel x membentuk sistem pertidaksamaan jika Anda perlu mencari semua nilai x yang masing-masing pertidaksamaannya membentuk sistem pertidaksamaan yang benar. ekspresi numerik.

Setiap nilai x yang setiap pertidaksamaannya mempunyai ekspresi numerik yang benar adalah solusi pertidaksamaan tersebut. Bisa juga disebut solusi pribadi.
Apa solusi pribadinya? Misalnya, dalam jawaban kami menerima ekspresi x>7. Maka x=8, atau x=123, atau bilangan lain yang lebih besar dari tujuh adalah solusi tertentu, dan ekspresi x>7 adalah solusi umum. Solusi umum dibentuk oleh banyak solusi privat.

Bagaimana kita menggabungkan sistem persamaan? Itu benar, kurung kurawal, jadi mereka melakukan hal yang sama dengan pertidaksamaan. Mari kita lihat contoh sistem pertidaksamaan: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Jika sistem pertidaksamaan terdiri dari ekspresi yang identik, misalnya, $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Jadi, apa maksudnya: mencari solusi terhadap sistem kesenjangan?
Penyelesaian suatu pertidaksamaan adalah himpunan penyelesaian parsial suatu pertidaksamaan yang memenuhi kedua pertidaksamaan sistem sekaligus.

Kita menulis bentuk umum sistem pertidaksamaan sebagai $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$

Mari kita nyatakan $Х_1$ sebagai solusi umum pertidaksamaan f(x)>0.
$X_2$ adalah solusi umum pertidaksamaan g(x)>0.
$X_1$ dan $X_2$ adalah serangkaian solusi tertentu.
Penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah bilangan-bilangan yang dimiliki oleh $X_1$ dan $X_2$.
Mari kita ingat operasi pada himpunan. Bagaimana cara mencari elemen suatu himpunan yang dimiliki kedua himpunan sekaligus? Benar, ada operasi persimpangan untuk ini. Jadi, penyelesaian pertidaksamaan kita adalah himpunan $A= X_1∩ X_2$.

Contoh penyelesaian sistem ketidaksetaraan

Memecahkan sistem kesenjangan.
a) $\begin(kasus)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(kasus)2x-4≤6\\-x-4
Larutan.
a) Selesaikan setiap pertidaksamaan secara terpisah.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
$5x-10
Mari tandai interval kita pada satu garis koordinat.

Solusi dari sistem ini adalah ruas perpotongan interval kita. Ketimpangannya ketat, maka segmennya akan terbuka.
Jawaban: (1;3).

B) Kami juga akan menyelesaikan setiap pertidaksamaan secara terpisah.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ $5.
$-x-4 -5$.


Solusi dari sistem ini adalah ruas perpotongan interval kita. Pertidaksamaan kedua sangat ketat, maka ruasnya akan terbuka di sebelah kiri.
Jawaban: (-5; 5].

Mari kita rangkum apa yang telah kita pelajari.
Katakanlah kita perlu menyelesaikan sistem pertidaksamaan: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Maka, interval ($x_1; x_2$) adalah solusi pertidaksamaan pertama.
Interval ($y_1; y_2$) adalah solusi pertidaksamaan kedua.
Penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah perpotongan penyelesaian setiap pertidaksamaan.

Sistem ketimpangan tidak hanya terdiri dari ketimpangan tingkat pertama, namun juga jenis ketimpangan lainnya.

Aturan penting untuk menyelesaikan sistem ketidaksetaraan.
Jika salah satu pertidaksamaan suatu sistem tidak mempunyai solusi, maka keseluruhan sistem tidak mempunyai solusi.
Jika salah satu pertidaksamaan terpenuhi untuk sembarang nilai variabel, maka penyelesaian sistem tersebut akan menjadi penyelesaian pertidaksamaan lainnya.

Contoh.
Selesaikan sistem pertidaksamaan:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Larutan.
Mari kita selesaikan setiap pertidaksamaan secara terpisah.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Mari kita selesaikan pertidaksamaan kedua.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

Penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah interval.
Mari kita menggambar kedua interval pada garis yang sama dan menemukan titik potongnya.
Perpotongan intervalnya adalah ruas (4; 6].
Jawaban: (4;6].

Memecahkan sistem kesenjangan.
a) $\begin(kasus)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(kasus)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(kasus )$.

Larutan.
a) Pertidaksamaan pertama mempunyai solusi x>1.
Mari kita cari diskriminan untuk pertidaksamaan kedua.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Mari kita ingat aturannya: jika salah satu pertidaksamaan tidak memiliki solusi, maka keseluruhan sistem tidak memiliki solusi.
Jawaban: Tidak ada solusi.

B) Pertidaksamaan pertama mempunyai solusi x>1.
Ketimpangan kedua lebih besar dari nol untuk semua x. Kemudian penyelesaian sistem tersebut bertepatan dengan penyelesaian pertidaksamaan pertama.
Jawaban: x>1.

Masalah pada sistem ketidaksetaraan untuk solusi independen

Sistem ketidaksetaraan Merupakan kebiasaan untuk menyebut himpunan dua atau lebih pertidaksamaan yang mengandung besaran yang tidak diketahui.

Rumusan ini diilustrasikan dengan jelas, misalnya sebagai berikut sistem kesenjangan:

Memecahkan sistem kesenjangan - berarti menemukan semua nilai dari variabel yang tidak diketahui di mana setiap pertidaksamaan dalam sistem diwujudkan, atau untuk membenarkan bahwa hal tersebut tidak ada .

Artinya untuk setiap individu kesenjangan sistem Kami menghitung variabel yang tidak diketahui. Selanjutnya, dari nilai yang dihasilkan, pilih hanya nilai yang benar untuk pertidaksamaan pertama dan kedua. Oleh karena itu, ketika nilai yang dipilih disubstitusi, kedua pertidaksamaan sistem tersebut menjadi benar.

Mari kita lihat solusi dari beberapa ketidaksetaraan:

Mari kita letakkan sepasang garis bilangan satu di bawah yang lain; letakkan nilainya di atas X, yang pertidaksamaannya pertama tentang ( X> 1) menjadi kenyataan, dan di bagian bawah - nilainya X, yang merupakan solusi pertidaksamaan kedua ( X> 4).

Dengan membandingkan data pada garis bilangan, perhatikan bahwa solusi untuk keduanya kesenjangan akan X> 4. Jawab, X> 4.

Contoh 2.

Menghitung yang pertama ketidaksamaan kita mendapatkan -3 X< -6, или X> 2, kedua - X> -8, atau X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, di mana yang pertama diwujudkan ketimpangan sistem, dan ke garis bilangan bawah, semua nilai tersebut X, di mana ketidaksetaraan kedua dari sistem terwujud.

Membandingkan data, kami menemukan keduanya kesenjangan akan diterapkan untuk semua nilai X, ditempatkan dari 2 hingga 8. Kumpulan nilai X menunjukkan ketimpangan ganda 2 < X< 8.

Contoh 3. Kami akan menemukannya

Program untuk menyelesaikan linear, kuadrat dan ketidaksetaraan pecahan tidak hanya memberikan jawaban atas masalah, tetapi juga memberikan solusi rinci dengan penjelasan, yaitu. menampilkan proses penyelesaian untuk menguji pengetahuan matematika dan/atau aljabar.

Apalagi jika dalam proses penyelesaian salah satu pertidaksamaan perlu diselesaikan, misalnya, persamaan kuadrat, kemudian solusi detailnya juga ditampilkan (berisi spoiler).

Program ini mungkin berguna bagi siswa sekolah menengah dalam mempersiapkan diri tes, kepada orang tua untuk memantau solusi anak-anak mereka terhadap kesenjangan.

Program ini mungkin bermanfaat bagi siswa sekolah menengah sekolah menengah dalam persiapan ulangan dan ujian, saat menguji ilmu sebelum UN Unified State, bagi orang tua untuk mengontrol penyelesaian berbagai masalah matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa seorang tutor atau membeli buku pelajaran baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikannya secepat mungkin? pekerjaan rumah

dalam matematika atau aljabar? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci. Dengan cara ini Anda dapat melakukan pelatihan Anda sendiri dan/atau pelatihan Anda sendiri. adik laki-laki

atau saudara perempuan, sedangkan tingkat pendidikan di bidang masalah yang dipecahkan meningkat.

Aturan untuk memasukkan ketidaksetaraan
Huruf Latin apa pun dapat bertindak sebagai variabel.

Misalnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), dll.
Angka dapat dimasukkan sebagai bilangan bulat atau pecahan. Lebih-lebih lagi, bilangan pecahan

dapat dimasukkan tidak hanya sebagai desimal, tetapi juga sebagai pecahan biasa.
Aturan untuk memasukkan pecahan desimal. Dalam desimal bagian pecahan
dapat dipisahkan dari keseluruhannya dengan tanda titik atau koma. Misalnya, Anda bisa masuk desimal

seperti ini: 2,5x - 3,5x^2
Aturan memasukkan pecahan biasa.

Hanya bilangan bulat yang dapat bertindak sebagai pembilang, penyebut, dan bagian bilangan bulat suatu pecahan.

Penyebutnya tidak boleh negatif. Saat masuk pecahan numerik /
Pembilangnya dipisahkan dari penyebutnya dengan tanda pembagian: Seluruh bagian &
dipisahkan dari pecahan dengan tanda ampersand:
Masukan: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2

Hasil: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
Anda dapat menggunakan tanda kurung saat memasukkan ekspresi. Dalam hal ini, ketika menyelesaikan pertidaksamaan, ekspresi disederhanakan terlebih dahulu. Misalnya:

5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3) Memilih tanda yang tepat

Memecahkan sistem kesenjangan
Ditemukan bahwa beberapa skrip yang diperlukan untuk mengatasi masalah ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin mengaktifkan AdBlock.

Berikut adalah petunjuk tentang cara mengaktifkan JavaScript di browser Anda.
Karena Ada banyak orang yang bersedia menyelesaikan masalah, permintaan Anda telah diantri.
Dalam beberapa detik solusinya akan muncul di bawah. Harap tunggu

detik... Jika kamu melihat kesalahan dalam solusi
, lalu Anda dapat menulis tentang hal ini di Formulir Masukan. Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan apa.

masuk ke dalam kolom

Sedikit teori.

Sistem ketidaksetaraan dengan yang tidak diketahui. Interval numerik

Anda mengenal konsep sistem di kelas 7 dan belajar menyelesaikan sistem persamaan linear dengan dua hal yang tidak diketahui. Selanjutnya kita akan membahas sistem pertidaksamaan linier dengan satu yang tidak diketahui. Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan dapat ditulis dengan menggunakan interval (interval, setengah interval, ruas, sinar). Anda juga akan terbiasa dengan notasi interval bilangan.

Jika pada pertidaksamaan \(4x > 2000\) dan \(5x \leq 4000\) nomor tak dikenal x sama, maka pertidaksamaan tersebut dianggap bersama-sama dan dikatakan membentuk sistem pertidaksamaan: $$ \left\(\begin(array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array) \benar .$$

Penjepit menunjukkan bahwa perlu untuk menemukan nilai x yang kedua pertidaksamaan sistem berubah menjadi pertidaksamaan numerik yang benar. Sistem ini- contoh sistem pertidaksamaan linier dengan yang tidak diketahui.

Penyelesaian sistem pertidaksamaan dengan satu hal yang tidak diketahui adalah nilai dari hal yang tidak diketahui sehingga semua pertidaksamaan sistem tersebut menjadi benar ketidaksetaraan numerik. Memecahkan sistem ketidaksetaraan berarti menemukan semua solusi terhadap sistem ini atau menetapkan bahwa tidak ada solusi sama sekali.

Pertidaksamaan \(x \geq -2 \) dan \(x \leq 3 \) dapat ditulis sebagai pertidaksamaan ganda: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Solusi untuk sistem pertidaksamaan dengan satu hal yang tidak diketahui berbeda-beda kumpulan angka. Kumpulan ini mempunyai nama. Ya, aktif sumbu angka himpunan bilangan x sedemikian sehingga \(-2 \leq x \leq 3 \) diwakili oleh sebuah segmen yang berakhir di titik -2 dan 3.

Jika \(a adalah segmen dan dilambangkan dengan [a; b]

Jika \(a adalah suatu interval dan dilambangkan dengan (a; b)

Himpunan bilangan \(x\) yang memenuhi pertidaksamaan \(a \leq x adalah setengah interval dan masing-masing dilambangkan dengan [a; b) dan (a; b]

Ruas, interval, setengah interval, dan sinar disebut interval numerik.

Dengan demikian, interval numerik dapat ditentukan dalam bentuk pertidaksamaan.

Penyelesaian pertidaksamaan dua bilangan yang tidak diketahui adalah sepasang bilangan (x; y) yang terbalik ketimpangan ini ke dalam pertidaksamaan numerik yang benar. Menyelesaikan suatu pertidaksamaan berarti mencari himpunan semua penyelesaiannya. Jadi, penyelesaian pertidaksamaan x > y, misalnya, adalah pasangan bilangan (5; 3), (-1; -1), karena \(5 \geq 3 \) dan \(-1 \geq - 1\)

Memecahkan sistem ketidaksetaraan

Memutuskan kesenjangan linier dengan satu hal yang tidak diketahui yang telah Anda pelajari. Tahukah anda apa itu sistem ketimpangan dan solusi dari sistem tersebut? Oleh karena itu, proses penyelesaian sistem pertidaksamaan dengan satu hal yang tidak diketahui tidak akan menimbulkan kesulitan bagi Anda.

Namun, izinkan kami mengingatkan Anda: untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan, Anda perlu menyelesaikan setiap pertidaksamaan secara terpisah, lalu mencari perpotongan dari solusi tersebut.

Misalnya, sistem ketidaksetaraan yang asli direduksi menjadi bentuk:
$$ \kiri\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\kanan.$$

Untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan ini, tandai penyelesaian setiap pertidaksamaan pada garis bilangan dan temukan perpotongannya:

Perpotongannya adalah ruas [-2; 3] - ini adalah solusi dari sistem ketidaksetaraan yang asli.