Salah satu metode yang paling mudah untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah metode grafis. Pada artikel ini kita akan melihat cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat secara grafis. Pertama, mari kita bahas apa inti dari metode ini. Selanjutnya, kami akan menyajikan algoritma dan mempertimbangkan contoh penyelesaian pertidaksamaan kuadrat secara grafis.

Navigasi halaman.

Inti dari metode grafis

Sama sekali metode grafis untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan satu variabel tidak hanya digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, tetapi juga jenis pertidaksamaan lainnya. Inti dari metode grafis untuk menyelesaikan kesenjangan selanjutnya: perhatikan fungsi y=f(x) dan y=g(x) yang bersesuaian dengan kiri dan sisi kanan ketidaksetaraan, buatlah grafiknya menjadi satu sistem persegi panjang koordinatnya dan cari tahu pada interval berapa grafik salah satunya terletak di bawah atau di atas yang lain. Interval tersebut dimana

grafik fungsi f di atas grafik fungsi g merupakan solusi pertidaksamaan f(x)>g(x) ;
grafik fungsi f tidak lebih rendah dari grafik fungsi g merupakan solusi pertidaksamaan f(x)≥g(x) ;
grafik f di bawah grafik g merupakan solusi pertidaksamaan f(x)
grafik suatu fungsi f tidak lebih tinggi dari grafik suatu fungsi g adalah solusi dari pertidaksamaan f(x)≤g(x) .

Kita juga akan mengatakan bahwa absis titik potong grafik fungsi f dan g adalah solusi persamaan f(x)=g(x) .

Mari kita pindahkan hasil ini ke kasus kita - untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Kita perkenalkan dua fungsi: fungsi pertama y=a x 2 +b x+c (dengan f(x)=a x 2 +b x+c) bersesuaian dengan ruas kiri pertidaksamaan kuadrat, fungsi kedua y=0 (dengan g ( x)=0 ) sesuai dengan sisi kanan pertidaksamaan. Jadwal fungsi kuadrat f adalah parabola dan grafiknya fungsi konstan g – garis lurus bertepatan dengan sumbu absis Lembu.

Selanjutnya, menurut metode grafis untuk menyelesaikan pertidaksamaan, perlu dianalisis pada interval berapa grafik suatu fungsi terletak di atas atau di bawah fungsi lainnya, yang memungkinkan kita menuliskan solusi pertidaksamaan kuadrat yang diinginkan. Dalam kasus kita, kita perlu menganalisis posisi parabola relatif terhadap sumbu Ox.

Bergantung pada nilai koefisien a, b, dan c, enam opsi berikut dimungkinkan (untuk kebutuhan kita, representasi skematis sudah cukup, dan kita tidak perlu menggambarkan sumbu Oy, karena posisinya tidak mempengaruhi sumbu Oy. penyelesaian pertidaksamaan):

Pada gambar ini kita melihat parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke atas dan memotong sumbu Ox di dua titik yang absisnya adalah x 1 dan x 2. Gambar ini sesuai dengan opsi ketika koefisien a positif (bertanggung jawab atas arah ke atas cabang parabola), dan ketika nilainya positif diskriminan dari trinomial kuadrat a x 2 +b x+c (dalam hal ini, trinomial memiliki dua akar, yang kita nyatakan sebagai x 1 dan x 2, dan kita asumsikan bahwa x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

Agar lebih jelas, mari kita gambarkan dengan warna merah bagian-bagian parabola yang terletak di atas sumbu x, dan dengan warna biru – bagian-bagian yang terletak di bawah sumbu x.

Sekarang mari kita cari tahu interval mana yang sesuai dengan bagian-bagian ini. Gambar berikut akan membantu Anda mengidentifikasinya (di masa depan kami akan membuat pilihan serupa dalam bentuk persegi panjang secara mental):

Jadi pada sumbu absis dua interval (−∞, x 1) dan (x 2 , +∞) disorot dengan warna merah, parabolanya berada di atas sumbu Ox, keduanya merupakan solusi pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x +c>0 , dan interval (x 1 , x 2) disorot dengan warna biru, terdapat parabola di bawah sumbu Ox, yang mewakili solusi pertidaksamaan a x 2 + b x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

Dan sekarang secara singkat: untuk a>0 dan D=b 2 −4 a c>0 (atau D"=D/4>0 untuk koefisien genap b)

penyelesaian pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c>0 adalah (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) atau notasi lain x x2;
penyelesaian pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c≥0 adalah (−∞, x 1 ]∪ atau notasi lain x 1 ≤x≤x 2 ,

dimana x 1 dan x 2 adalah akar-akar trinomial kuadrat a x 2 +b x+c, dan x 1

Di sini kita melihat parabola, yang cabang-cabangnya mengarah ke atas, dan menyentuh sumbu absis, yaitu memiliki satu titik yang sama dengannya; kita menyatakan absis titik ini sebagai x 0. Kasus yang disajikan sesuai dengan a>0 (cabang mengarah ke atas) dan D=0 ( trinomial kuadrat memiliki satu akar x 0 ). Misalnya, Anda dapat mengambil fungsi kuadrat y=x 2 −4·x+4, di sini a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 dan x 0 =2.

Gambar tersebut dengan jelas menunjukkan bahwa parabola terletak di atas sumbu Ox di semua tempat kecuali titik kontak, yaitu pada interval (−∞, x 0), (x 0, ∞). Untuk lebih jelasnya, mari kita soroti area pada gambar dengan analogi dengan paragraf sebelumnya.

Kami menarik kesimpulan: untuk a>0 dan D=0

penyelesaian pertidaksamaan kuadrat a·x 2 +b·x+c>0 adalah (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) atau dalam notasi lain x≠x 0;
penyelesaian pertidaksamaan kuadrat a·x 2 +b·x+c≥0 adalah (−∞, +∞) atau notasi lain x∈R ;
pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c≤0 memiliki solusi unik x=x 0 (diberikan oleh titik singgung),

dimana x 0 adalah akar trinomial kuadrat a x 2 + b x + c.

Dalam hal ini, cabang-cabang parabola diarahkan ke atas, tetapi tidak ada poin umum dengan sumbu absis. Di sini kita memiliki kondisi a>0 (cabang mengarah ke atas) dan D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Jelasnya, parabola terletak di atas sumbu Ox sepanjang keseluruhannya (tidak ada interval di bawah sumbu Ox, tidak ada titik singgung).

Jadi, untuk a>0 dan D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 dan a x 2 +b x+c≥0 adalah himpunan semuanya bilangan real, dan pertidaksamaan a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Dan masih ada tiga pilihan letak parabola dengan cabang mengarah ke bawah, bukan ke atas, relatif terhadap sumbu Sapi. Pada prinsipnya, pertidaksamaan tersebut tidak perlu dipertimbangkan, karena mengalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan −1 memungkinkan kita mendapatkan pertidaksamaan ekuivalen dengan koefisien positif untuk x 2. Namun tetap tidak ada salahnya untuk mendapatkan gambaran tentang kasus-kasus tersebut. Alasannya serupa di sini, jadi kami hanya akan menuliskan hasil utamanya saja.

Algoritma solusi

Hasil dari semua perhitungan sebelumnya adalah algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat secara grafis:

Gambar skema dibuat pada bidang koordinat yang menggambarkan sumbu Ox (tidak perlu menggambarkan sumbu Oy) dan sketsa parabola yang sesuai dengan fungsi kuadrat y=a·x 2 +b·x+c. Untuk menggambar sketsa parabola cukup mengetahui dua hal:

Pertama, dengan nilai koefisien a ditentukan ke mana arah cabang-cabangnya (untuk a>0 - ke atas, untuk a<0 – вниз).
Dan kedua, dengan nilai diskriminan trinomial persegi a x 2 + b x + c ditentukan apakah parabola tersebut memotong sumbu absis di dua titik (untuk D>0), menyentuhnya di satu titik (untuk D=0) , atau tidak memiliki titik persekutuan dengan sumbu Ox (di D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении kesenjangan yang ketat, atau biasa ketika menyelesaikan pertidaksamaan yang tidak ketat.

Saat gambar sudah siap, gunakan gambar tersebut pada langkah kedua algoritma
- saat menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat a·x 2 +b·x+c>0, interval ditentukan di mana parabola terletak di atas absis;
- saat menyelesaikan pertidaksamaan a·x 2 +b·x+c≥0, interval letak parabola di atas sumbu absis ditentukan dan absis titik potong (atau absis titik singgung) ditambahkan ke mereka;
- saat menyelesaikan pertidaksamaan a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
- terakhir, ketika menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat berbentuk a·x 2 +b·x+c≤0, ditemukan interval yang parabolanya berada di bawah sumbu Ox dan absis titik potong (atau absis titik singgung ) ditambahkan ke dalamnya;
mereka merupakan solusi yang diinginkan untuk pertidaksamaan kuadrat, dan jika tidak ada interval dan tidak ada titik singgung, maka pertidaksamaan kuadrat asli tidak memiliki solusi.

Yang tersisa hanyalah menyelesaikan beberapa pertidaksamaan kuadrat menggunakan algoritma ini.

Contoh dengan solusi

Contoh.

Selesaikan ketimpangan tersebut .

Larutan.

Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, mari gunakan algoritma dari paragraf sebelumnya. Pada langkah pertama kita perlu membuat sketsa grafik fungsi kuadrat . Koefisien x 2 sama dengan 2, positif, oleh karena itu cabang-cabang parabola mengarah ke atas. Mari kita cari tahu juga apakah parabola memiliki titik-titik yang sama dengan sumbu x; untuk melakukan ini, kita akan menghitung diskriminan trinomial kuadrat . Kita punya . Yang diskriminan ternyata lebih besar dari nol Oleh karena itu, trinomial memiliki dua akar real: Dan , yaitu x 1 =−3 dan x 2 =1/3.

Dari sini terlihat jelas bahwa parabola memotong sumbu Ox di dua titik dengan absis −3 dan 1/3. Kami akan menggambarkan titik-titik ini dalam gambar sebagai titik-titik biasa, karena kami sedang menyelesaikan pertidaksamaan tidak tegas. Berdasarkan data yang telah diklarifikasi, kami memperoleh gambar berikut (sesuai dengan template pertama dari paragraf pertama artikel):

Mari beralih ke langkah kedua dari algoritme. Karena kita menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat tidak tegas dengan tanda ≤, kita perlu menentukan interval letak parabola di bawah sumbu absis dan menjumlahkannya dengan absis titik potongnya.

Dari gambar tersebut terlihat bahwa parabola berada di bawah sumbu x pada interval (−3, 1/3) dan ke dalamnya kita tambahkan absis titik potongnya, yaitu bilangan −3 dan 1/3. Hasilnya, kita sampai pada interval numerik [−3, 1/3] . Ini adalah solusi yang kami cari. Pertidaksamaan ini dapat ditulis sebagai pertidaksamaan ganda −3≤x≤1/3.

Menjawab:

[−3, 1/3] atau −3≤x≤1/3 .

Contoh.

Temukan solusi pertidaksamaan kuadrat −x 2 +16 x−63<0 .

Larutan.

Seperti biasa, kita mulai dengan menggambar. Koefisien numerik kuadrat variabel adalah negatif, −1, oleh karena itu, cabang-cabang parabola mengarah ke bawah. Mari kita hitung diskriminannya, atau lebih baik lagi, bagian keempatnya: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Nilainya positif, mari kita hitung akar-akar trinomial kuadrat: Dan , x 1 =7 dan x 2 =9. Jadi parabola memotong sumbu Ox di dua titik dengan absis 7 dan 9 (pertidaksamaan aslinya sangat ketat, jadi kita akan menggambarkan titik-titik ini dengan pusat kosong).

Karena kita menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat tegas dengan sebuah tanda<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Gambar menunjukkan bahwa penyelesaian pertidaksamaan kuadrat awal adalah dua interval (−∞, 7) , (9, +∞) .

Menjawab:

(−∞, 7)∪(9, +∞) atau dalam notasi lain x<7 , x>9 .

Saat menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, jika diskriminan suatu trinomial kuadrat di ruas kirinya adalah nol, Anda harus berhati-hati dalam memasukkan atau mengecualikan absis titik singgung dari jawabannya. Hal ini bergantung pada tanda pertidaksamaannya: jika pertidaksamaannya tegas, maka pertidaksamaannya bukanlah penyelesaian, tetapi jika tidak tegas, maka pertidaksamaannya tegas.

Contoh.

Apakah pertidaksamaan kuadrat 10 x 2 −14 x+4.9≤0 mempunyai setidaknya satu penyelesaian?

Larutan.

Mari kita gambarkan fungsinya y=10 x 2 −14 x+4.9. Cabang-cabangnya mengarah ke atas, karena koefisien x 2 positif, dan menyentuh sumbu absis di titik dengan absis 0,7, karena D"=(−7) 2 −10 4,9=0, maka atau 0,7 dalam bentuk dari pecahan desimal. Secara skematis terlihat seperti ini:

Karena kita menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan tanda ≤, penyelesaiannya adalah interval di mana parabola berada di bawah sumbu Ox, serta absis titik singgungnya. Dari gambar tersebut terlihat bahwa tidak ada satupun celah dimana parabola berada di bawah sumbu Ox, sehingga penyelesaiannya hanya berupa absis titik singgung yaitu 0,7.

Menjawab:

pertidaksamaan ini memiliki solusi unik 0,7.

Contoh.

Selesaikan pertidaksamaan kuadrat –x 2 +8 x−16<0 .

Larutan.

Kami mengikuti algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dan mulai dengan membuat grafik. Cabang-cabang parabola mengarah ke bawah, karena koefisien x 2 negatif, −1. Mari kita cari diskriminan trinomial persegi –x 2 +8 x−16, yang kita punya D'=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 dan kemudian x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Jadi parabola tersebut menyentuh sumbu Ox di titik absis 4. Mari kita membuat gambarnya:

Kita lihat tanda pertidaksamaan aslinya, itu ada<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

Dalam kasus kita, ini adalah sinar terbuka (−∞, 4) , (4, +∞) . Secara terpisah, kami mencatat bahwa 4 - absis titik kontak - bukanlah solusi, karena pada titik kontak parabola tidak lebih rendah dari sumbu Ox.

Menjawab:

(−∞, 4)∪(4, +∞) atau dalam notasi lain x≠4 .

Berikan perhatian khusus pada kasus di mana diskriminan trinomial kuadrat di sisi kiri pertidaksamaan kuadrat kurang dari nol. Tidak perlu terburu-buru dan mengatakan bahwa pertidaksamaan tidak memiliki solusi (kita terbiasa membuat kesimpulan seperti itu untuk persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif). Intinya pertidaksamaan kuadrat untuk D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Contoh.

Temukan solusi pertidaksamaan kuadrat 3 x 2 +1>0.

Larutan.

Seperti biasa, kita mulai dengan menggambar. Koefisien a adalah 3, positif, sehingga cabang-cabang parabola mengarah ke atas. Kami menghitung diskriminannya: D=0 2 −4·3·1=−12 . Karena diskriminannya negatif, parabola tidak mempunyai titik persekutuan dengan sumbu Ox. Informasi yang diperoleh cukup untuk grafik skema:

Kita menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat tegas dengan tanda >. Solusinya adalah semua interval di mana parabola berada di atas sumbu Ox. Dalam kasus kita, parabola berada di atas sumbu x sepanjang panjangnya, sehingga solusi yang diinginkan adalah himpunan semua bilangan real.

Sapi , dan juga kepada mereka Anda perlu menambahkan absis titik potong atau absis titik singgung. Namun dari gambar terlihat jelas bahwa tidak ada interval seperti itu (karena parabola berada di bawah sumbu absis), sama seperti tidak ada titik potong, sama seperti tidak ada titik singgung. Oleh karena itu, pertidaksamaan kuadrat asal tidak mempunyai penyelesaian.

Menjawab:

tidak ada solusi atau di entri lain ∅.

Referensi.

Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Aljabar: kelas 9: mendidik. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2009. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Dalam 2 jam. Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum / A.G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 9. Dalam 2 jam Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - Edisi ke-13, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkovich A.G. Aljabar dan awal mula analisis matematika. kelas 11. Dalam 2 bagian. Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum (tingkat profil) / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - Edisi ke-2, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01027-2.

Tingkat menengah

Ketimpangan kuadrat. Panduan Utama (2019)

Untuk mengetahui cara menyelesaikan persamaan kuadrat, kita perlu memahami apa itu fungsi kuadrat dan sifat-sifat apa saja yang dimilikinya.

Anda mungkin bertanya-tanya mengapa fungsi kuadrat diperlukan? Dimanakah grafiknya (parabola) dapat diterapkan? Ya, Anda hanya perlu melihat-lihat dan Anda akan menyadari bahwa Anda menemukannya setiap hari dalam kehidupan sehari-hari. Pernahkah Anda memperhatikan bagaimana bola yang dilempar terbang dalam pendidikan jasmani? "Sepanjang busur"? Jawaban yang paling benar adalah “parabola”! Dan sepanjang lintasan manakah jet bergerak di air mancur? Ya, juga dalam parabola! Bagaimana peluru atau peluru bisa terbang? Benar, juga dalam parabola! Jadi, dengan mengetahui sifat-sifat fungsi kuadrat, banyak masalah praktis dapat diselesaikan. Misalnya, pada sudut berapa bola harus dilempar untuk memastikan jarak terjauh? Atau, kemana proyektil akan berakhir jika diluncurkan pada sudut tertentu? dll.

Fungsi kuadrat

Jadi, mari kita cari tahu.

Misalnya, . Apa persamaannya di sini, dan? Tentu saja!

Bagaimana jika, mis. kurang dari nol? Nah, tentu saja kita “sedih”, artinya cabang-cabangnya akan mengarah ke bawah! Mari kita lihat grafiknya.

Gambar ini menunjukkan grafik suatu fungsi. Sejak, yaitu. kurang dari nol, cabang-cabang parabola mengarah ke bawah. Selain itu, Anda mungkin sudah memperhatikan bahwa cabang-cabang parabola ini memotong sumbunya, yang berarti persamaan tersebut memiliki 2 akar, dan fungsinya bernilai positif dan negatif!

Pada awalnya ketika kita memberikan definisi fungsi kuadrat, dikatakan bahwa dan adalah beberapa bilangan. Bisakah keduanya sama dengan nol? Ya, tentu saja bisa! Saya bahkan akan mengungkapkan rahasia yang lebih besar (yang sama sekali bukan rahasia, tetapi perlu disebutkan): tidak ada batasan yang dikenakan pada angka-angka ini (dan) sama sekali!

Baiklah, mari kita lihat apa yang terjadi pada grafik jika dan sama dengan nol.

Seperti yang Anda lihat, grafik fungsi (dan) yang ditinjau telah bergeser sehingga simpulnya sekarang berada pada titik dengan koordinat, yaitu pada perpotongan sumbu dan, hal ini tidak berpengaruh pada arah cabang. . Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa mereka bertanggung jawab atas “pergerakan” grafik parabola sepanjang sistem koordinat.

Grafik suatu fungsi menyentuh sumbu di suatu titik. Artinya persamaan tersebut mempunyai satu akar. Jadi, fungsi tersebut mengambil nilai lebih besar dari atau sama dengan nol.

Kami mengikuti logika yang sama dengan grafik fungsi. Menyentuh sumbu x di suatu titik. Artinya persamaan tersebut mempunyai satu akar. Jadi, fungsi tersebut mengambil nilai kurang dari atau sama dengan nol, yaitu.

Jadi, untuk menentukan tanda suatu ekspresi, hal pertama yang harus dilakukan adalah mencari akar persamaannya. Ini akan sangat berguna bagi kami.

Ketimpangan kuadrat

Saat menyelesaikan pertidaksamaan tersebut, kita memerlukan kemampuan untuk menentukan di mana suatu fungsi kuadrat lebih besar, lebih kecil, atau sama dengan nol. Yaitu:

jika kita mempunyai pertidaksamaan bentuk, maka sebenarnya tugasnya adalah menentukan interval numerik nilai di mana parabola terletak di atas sumbu.
jika kita mempunyai pertidaksamaan bentuk, maka sebenarnya tugasnya adalah menentukan interval numerik nilai x yang parabolanya terletak di bawah sumbu.

Jika pertidaksamaan tidak tegas, maka akar-akar (koordinat perpotongan parabola dengan sumbu) dimasukkan dalam interval numerik yang diinginkan; dalam kasus pertidaksamaan tegas, akar-akar tersebut dikecualikan.

Ini semua cukup formal, tapi jangan putus asa atau takut! Sekarang mari kita lihat contohnya, dan semuanya akan beres.

Saat menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, kita akan mengikuti algoritma yang diberikan, dan kesuksesan yang tak terelakkan menanti kita!

Algoritma	Contoh:
1) Mari kita tuliskan persamaan kuadrat yang berhubungan dengan pertidaksamaan tersebut (cukup ubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan “=”).
2) Temukan akar persamaan ini.
3) Tandai akar-akar pada sumbu dan secara skematis tunjukkan orientasi cabang-cabang parabola (“atas” atau “bawah”)
4) Mari kita letakkan tanda pada sumbu yang sesuai dengan tanda fungsi kuadrat: jika parabola berada di atas sumbu, kita letakkan “ ”, dan di bawah - “ “.
5) Tuliskan interval yang bersesuaian dengan “ ” atau “ ”, bergantung pada tanda pertidaksamaannya. Jika pertidaksamaannya tidak tegas, maka akar-akarnya dimasukkan ke dalam interval; jika pertidaksamaannya tegas, akar-akarnya tidak dimasukkan ke dalam interval.

Mengerti? Kalau begitu lanjutkan dan sematkan!

Contoh:

Nah, apakah itu berhasil? Jika Anda mengalami kesulitan, carilah solusinya.

Larutan:

Mari kita tuliskan interval yang bersesuaian dengan tanda " ", karena tanda pertidaksamaannya adalah " ". Pertidaksamaannya tidak tegas, sehingga akar-akarnya dimasukkan ke dalam interval:

Mari kita tulis persamaan kuadrat yang sesuai:

Mari kita cari tahu akar permasalahannya persamaan kuadrat:

Mari kita tandai secara skematis akar-akar yang diperoleh pada sumbu dan susun tanda-tandanya:

Mari kita tuliskan interval yang bersesuaian dengan tanda " ", karena tanda pertidaksamaannya adalah " ". Pertidaksamaannya sangat ketat, sehingga akar-akarnya tidak termasuk dalam interval:

Mari kita tulis persamaan kuadrat yang sesuai:

Mari kita cari akar persamaan kuadrat ini:

persamaan ini memiliki satu akar

Mari kita tandai secara skematis akar-akar yang diperoleh pada sumbu dan susun tanda-tandanya:

Mari kita tuliskan interval yang bersesuaian dengan tanda " ", karena tanda pertidaksamaannya adalah " ". Untuk semua, fungsi tersebut mengambil nilai non-negatif. Karena kesenjangannya tidak ketat, maka jawabannya adalah.

Mari kita tulis persamaan kuadrat yang sesuai:

Mari kita cari akar persamaan kuadrat ini:

Mari kita menggambar grafik parabola secara skematis dan menyusun tanda-tandanya:

Mari kita tuliskan interval yang bersesuaian dengan tanda " ", karena tanda pertidaksamaannya adalah " ". Untuk sembarang fungsi bernilai positif, maka solusi pertidaksamaannya adalah interval:

KETIMPANGAN KOTAK. TINGKAT MENENGAH

Fungsi kuadrat.

Sebelum membahas topik “pertidaksamaan kuadrat”, mari kita ingat kembali apa itu fungsi kuadrat dan apa grafiknya.

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang bentuknya,

Dengan kata lain, ini polinomial derajat kedua.

Grafik fungsi kuadrat adalah parabola (ingat apa itu?). Cabang-cabangnya mengarah ke atas jika "a) fungsinya hanya mengambil nilai positif untuk semua, dan yang kedua () - hanya nilai negatif:

Jika persamaan () mempunyai tepat satu akar (misalnya, jika diskriminannya nol), berarti grafik tersebut menyentuh sumbu:

Kemudian, serupa dengan kasus sebelumnya, untuk " .

Jadi, baru-baru ini kita mempelajari cara menentukan mana fungsi kuadrat yang lebih besar dari nol dan mana yang lebih kecil:

Jika pertidaksamaan kuadrat tidak tegas, maka akar-akarnya dimasukkan ke dalam interval numerik; jika pertidaksamaan tegas, maka tidak termasuk dalam interval numerik.

Kalau akarnya hanya satu, tidak apa-apa, tandanya sama di mana-mana. Jika tidak ada akar, semuanya hanya bergantung pada koefisien: jika "25((x)^(2))-30x+9

Jawaban:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

Tidak ada akar, jadi seluruh ekspresi di sisi kiri mengambil tanda koefisien sebelumnya:

Jika Anda ingin mencari interval numerik yang trinomial kuadratnya lebih besar dari nol, maka ini adalah interval numerik yang parabolanya terletak di atas sumbu.
Jika Anda ingin mencari interval numerik yang trinomial kuadratnya kurang dari nol, maka ini adalah interval numerik yang parabolanya terletak di bawah sumbu.

KETIMPANGAN KOTAK. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Fungsi kuadrat adalah fungsi dari bentuk: ,

Grafik fungsi kuadrat adalah parabola. Cabang-cabangnya mengarah ke atas jika, dan ke bawah jika:

Jenis-jenis pertidaksamaan kuadrat:

Semua pertidaksamaan kuadrat direduksi menjadi empat jenis berikut:

Algoritma solusi:

Algoritma	Contoh:
1) Mari kita tuliskan persamaan kuadrat yang berhubungan dengan pertidaksamaan tersebut (cukup ubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan "").
2) Temukan akar persamaan ini.
3) Tandai akar-akar pada sumbu dan secara skematis tunjukkan orientasi cabang-cabang parabola (“atas” atau “bawah”)
4) Mari kita letakkan tanda pada sumbu yang sesuai dengan tanda fungsi kuadrat: jika parabola berada di atas sumbu, kita letakkan “ ”, dan di bawah - “ “.
5) Tuliskan interval yang bersesuaian dengan “ ” atau “ ”, bergantung pada tanda pertidaksamaannya. Jika pertidaksamaannya tidak tegas, maka akar-akarnya dimasukkan ke dalam interval; jika pertidaksamaannya tegas, akar-akarnya tidak dimasukkan ke dalam interval.

Artikel ini berisi materi yang membahas topik “ menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat" Pertama, kita tunjukkan apa itu pertidaksamaan kuadrat dengan satu variabel, dan berikan pandangan umum. Dan kemudian kita melihat secara detail bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat. Pendekatan utama terhadap solusi ditampilkan: metode grafis, metode interval dan dengan mengisolasi kuadrat binomial di sisi kiri pertidaksamaan. Solusi untuk contoh-contoh tipikal diberikan.

Navigasi halaman.

Apa yang dimaksud dengan pertidaksamaan kuadrat?

Tentu saja, sebelum berbicara tentang penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, kita harus memahami dengan jelas apa itu pertidaksamaan kuadrat. Dengan kata lain, Anda harus bisa membedakan pertidaksamaan kuadrat dengan jenis pertidaksamaan lainnya berdasarkan jenis pencatatannya.

Definisi.

Ketimpangan kuadrat adalah pertidaksamaan berbentuk a x 2 +b x+c<0 (вместо знака >dapat terdapat tanda pertidaksamaan lainnya ≤, >, ≥), dengan a, b, dan c adalah suatu bilangan, dan a≠0, dan x adalah variabel (variabel dapat dilambangkan dengan huruf lain).

Mari kita segera beri nama lain untuk pertidaksamaan kuadrat - kesenjangan tingkat kedua. Nama ini dijelaskan oleh fakta bahwa di sisi kiri ada pertidaksamaan a x 2 +b x+c<0 находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства».

Terkadang Anda juga dapat mendengar pertidaksamaan kuadrat yang disebut pertidaksamaan kuadrat. Hal ini tidak sepenuhnya benar: definisi “kuadrat” mengacu pada fungsi yang didefinisikan oleh persamaan bentuk y=a·x 2 +b·x+c. Jadi, ada pertidaksamaan kuadrat dan fungsi kuadrat, tetapi bukan pertidaksamaan kuadrat.

Mari kita tunjukkan beberapa contoh pertidaksamaan kuadrat: 5 x 2 −3 x+1>0, di sini a=5, b=−3 dan c=1; −2.2·z 2 −0.5·z−11≤0, koefisien pertidaksamaan kuadrat ini adalah a=−2.2, b=−0.5 dan c=−11; , dalam hal ini .

Perhatikan bahwa dalam definisi pertidaksamaan kuadrat, koefisien a dari x 2 dianggap bukan nol. Hal ini dapat dimengerti; persamaan koefisien a dengan nol sebenarnya akan “menghilangkan” kuadrat, dan kita akan menghadapi pertidaksamaan linier berbentuk b x+c>0 tanpa kuadrat variabelnya. Tapi koefisien b dan c bisa sama dengan nol, baik secara terpisah maupun bersamaan. Berikut contoh pertidaksamaan kuadrat tersebut: x 2 −5≥0, di sini koefisien b untuk variabel x sama dengan nol; −3 x 2 −0,6 x<0 , здесь c=0 ; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 baik b maupun c sama dengan nol.

Bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat?

Sekarang Anda mungkin dibingungkan oleh pertanyaan tentang bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat. Pada dasarnya, tiga metode utama digunakan untuk menyelesaikannya:

metode grafis (atau, seperti dalam A.G. Mordkovich, grafis fungsional),
metode interval,
dan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan mengisolasi kuadrat binomial di sisi kiri.

Secara grafis

Mari kita segera membuat reservasi bahwa metode penyelesaian pertidaksamaan kuadrat yang sekarang kita pertimbangkan, buku pelajaran sekolah aljabar tidak disebut grafis. Namun, pada hakikatnya inilah dia. Apalagi kenalan pertama dengan metode grafis untuk menyelesaikan pertidaksamaan biasanya dimulai ketika muncul pertanyaan tentang bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat.

Metode grafis untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥) terdiri dari analisis grafik fungsi kuadrat y=a x 2 +b x+c untuk mencari interval di mana fungsi yang ditentukan mengambil nilai negatif, positif, non-positif, atau non-negatif. Interval ini merupakan solusi pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c<0 , a·x 2 +b·x+c>0, a x 2 +b x+c≤0 dan a x 2 +b x+c≥0, masing-masing.

Metode interval

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan satu variabel sebagai tambahan metode grafis metode interval cukup mudah, yang dengan sendirinya sangat universal dan cocok untuk penyelesaian berbagai kesenjangan, dan bukan hanya yang persegi. Miliknya sisi teoritis terletak di luar cakupan mata pelajaran aljabar kelas 8 dan 9, ketika mereka belajar menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat. Oleh karena itu, kami tidak akan membahasnya di sini landasan teori metode interval, tapi mari kita fokus pada cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat.

Intisari metode interval dalam kaitannya dengan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥), terdiri dari menentukan tanda-tanda yang mempunyai nilai trinomial kuadrat a x 2 +b x+c pada interval pembagiannya sumbu koordinat nol dari trinomial ini (jika ada). Interval yang bertanda minus merupakan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c<0 , со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0, dan ketika menyelesaikan pertidaksamaan tidak ketat, titik-titik yang sesuai dengan nol trinomial ditambahkan ke interval yang ditunjukkan.

Kenali semua detail metode ini, algoritmenya, aturan penempatan tanda di ruang, dan pertimbangkan solusi siap pakai contoh yang khas Dengan ilustrasi yang tersedia, Anda dapat merujuk pada materi pada artikel menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan metode interval.

Dengan mengkuadratkan binomial

Selain metode grafis dan metode interval, ada pendekatan lain yang dapat menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat. Dan kita sampai pada salah satunya, yang didasarkan pada binomial kuadrat di sisi kiri pertidaksamaan kuadrat.

Prinsip dari metode penyelesaian pertidaksamaan kuadrat ini adalah dengan melakukan transformasi ekuivalen dari pertidaksamaan tersebut, sehingga memungkinkan seseorang melanjutkan penyelesaian pertidaksamaan ekuivalen dalam bentuk (x−p) 2 , ≥), dimana p dan q adalah suatu bilangan.

Dan bagaimana transisi menuju pertidaksamaan (x−p) 2 terjadi? , ≥) dan cara penyelesaiannya, artikel ini menjelaskan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan mengisolasi kuadrat binomial. Terdapat juga contoh penyelesaian pertidaksamaan kuadrat menggunakan metode ini dan ilustrasi grafis yang diperlukan.

Ketimpangan yang direduksi menjadi kuadrat

Dalam praktiknya, sering kali kita menemui ketidaksetaraan yang diberikan dengan menggunakan transformasi yang setara ke pertidaksamaan kuadrat dalam bentuk a x 2 +b x+c<0 (знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам.

Mari kita mulai dengan contoh pertidaksamaan paling sederhana yang direduksi menjadi pertidaksamaan kuadrat. Terkadang, untuk berpindah ke pertidaksamaan kuadrat, cukup dengan menata ulang suku-suku pertidaksamaan tersebut atau memindahkannya dari satu bagian ke bagian lain. Misalnya, jika kita memindahkan semua suku dari ruas kanan pertidaksamaan 5≤2·x−3·x 2 ke kiri, kita memperoleh pertidaksamaan kuadrat dalam bentuk yang ditentukan di atas 3·x 2 −2·x+5≤ 0. Contoh lain: menata ulang ruas kiri pertidaksamaan 5+0,6 x 2 −x<0 слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0 .

Di sekolah, pada pelajaran aljabar, ketika mereka belajar menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, mereka juga menanganinya menyelesaikan kesenjangan rasional, direduksi menjadi persegi. Solusinya melibatkan pemindahan semua suku ke ruas kiri dan kemudian mengubah ekspresi yang dibentuk di sana menjadi bentuk a·x 2 +b·x+c dengan mengeksekusi . Mari kita lihat sebuah contoh.

Contoh.

Temukan banyak solusi untuk ketimpangan tersebut 3·(x−1)·(x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5 .ketidaksetaraan yang tidak rasional setara dengan pertidaksamaan kuadrat x 2 −6 x−9<0 , а pertidaksamaan logaritmik – pertidaksamaan x 2 +x−2≥0.

Referensi.

Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Aljabar: kelas 9: mendidik. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2009. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Dalam 2 jam. Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum / A.G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 9. Dalam 2 jam Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - Edisi ke-13, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkovich A.G. Aljabar dan awal mula analisis matematika. kelas 11. Dalam 2 bagian. Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum (tingkat profil) / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - Edisi ke-2, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01027-2.

Membandingkan besaran dan besaran ketika memecahkan masalah praktis telah diperlukan sejak zaman kuno. Pada saat yang sama, muncul kata-kata seperti lebih dan lebih kecil, lebih tinggi dan lebih rendah, lebih ringan dan lebih berat, lebih tenang dan lebih keras, lebih murah dan lebih mahal, dll., yang menunjukkan hasil perbandingan jumlah yang homogen.

Konsep lebih dan kurang muncul sehubungan dengan menghitung benda, mengukur dan membandingkan besaran. Misalnya, ahli matematika Yunani Kuno mengetahui bahwa sisi suatu segitiga lebih kecil dari jumlah kedua sisi lainnya dan bahwa sisi yang lebih besar terletak berhadapan dengan sudut yang lebih besar dalam sebuah segitiga. Archimedes, ketika menghitung keliling, menetapkan bahwa keliling suatu lingkaran sama dengan tiga kali diameternya dengan kelebihan yang kurang dari sepertujuh diameternya, tetapi lebih dari sepuluh tujuh puluh kali diameternya.

Tuliskan secara simbolis hubungan bilangan dan besaran dengan menggunakan tanda > dan b. Catatan dimana dua angka dihubungkan dengan salah satu tanda: > (lebih besar dari), Anda juga menemukan ketidaksetaraan numerik di kelas yang lebih rendah. Anda tahu bahwa kesenjangan bisa saja benar, bisa juga salah. Misalnya, $\frac(1)(2) > \frac(1)(3)$ benar ketimpangan numerik, 0,23 > 0,235 merupakan pertidaksamaan numerik yang salah.

Ketimpangan yang melibatkan hal yang tidak diketahui mungkin benar untuk beberapa nilai yang tidak diketahui dan salah untuk nilai lainnya. Misalnya, pertidaksamaan 2x+1>5 benar untuk x = 3, tetapi salah untuk x = -3. Untuk pertidaksamaan dengan satu hal yang tidak diketahui, Anda dapat menetapkan tugas: menyelesaikan pertidaksamaan tersebut. Dalam praktiknya, masalah penyelesaian pertidaksamaan diajukan dan diselesaikan tidak kalah seringnya dengan masalah penyelesaian persamaan. Misalnya saja banyak masalah ekonomi direduksi menjadi studi dan solusi sistem kesenjangan linier. Di banyak cabang matematika, pertidaksamaan lebih umum terjadi dibandingkan persamaan.

Beberapa kesenjangan menjadi satu-satunya bantuan, memungkinkan Anda membuktikan atau menyangkal keberadaan objek tertentu, misalnya akar persamaan.

Ketimpangan numerik

Bisakah Anda membandingkan bilangan bulat? desimal. Tahukah Anda aturan perbandingan? pecahan biasa dengan penyebut yang sama tetapi pembilangnya berbeda; dengan pembilang yang sama, tapi penyebut yang berbeda. Di sini Anda akan belajar cara membandingkan dua bilangan dengan mencari tanda selisihnya.

Membandingkan angka banyak digunakan dalam praktik. Misalnya, seorang ekonom membandingkan indikator yang direncanakan dengan indikator aktual, seorang dokter membandingkan suhu pasien dengan suhu normal, seorang tukang bubut membandingkan dimensi bagian mesin dengan standar. Dalam semua kasus tersebut, beberapa angka dibandingkan. Akibat perbandingan angka, timbul ketidaksetaraan numerik.

Definisi. Nomor a nomor lebih banyak b, jika perbedaan a-b positif. Nomor a angka yang lebih sedikit b, jika selisih a-b negatif.

Jika a lebih besar dari b, maka ditulis: a > b; jika a lebih kecil dari b, maka ditulis: a Jadi, pertidaksamaan a > b berarti selisih a - b positif, yaitu. a - b > 0. Pertidaksamaan a Untuk dua bilangan a dan b dari tiga berikutnya relasi a > b, a = b, a Membandingkan bilangan a dan b berarti mencari tanda yang mana >, = atau Dalil. Jika a > b dan b > c, maka a > c.

Dalil. Jika kedua ruas pertidaksamaan dijumlahkan dengan bilangan yang sama, tanda pertidaksamaan tidak akan berubah.
Konsekuensi. Suku apa pun dapat dipindahkan dari satu bagian pertidaksamaan ke bagian pertidaksamaan lainnya dengan mengubah tanda suku tersebut ke kebalikannya.

Dalil. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tersebut tidak berubah. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tersebut akan berubah menjadi sebaliknya.
Konsekuensi. Jika kedua ruas pertidaksamaan dibagi dengan bilangan positif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tersebut tidak berubah. Jika kedua ruas pertidaksamaan dibagi dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tersebut akan berubah menjadi sebaliknya.

Anda tahu bahwa persamaan numerik dapat dijumlahkan dan dikalikan suku demi suku. Selanjutnya, Anda akan mempelajari cara melakukan tindakan serupa dengan ketidaksetaraan. Kemampuan menjumlahkan dan mengalikan pertidaksamaan suku demi suku sering digunakan dalam praktik. Tindakan ini membantu memecahkan masalah dalam mengevaluasi dan membandingkan makna ekspresi.

Saat memutuskan berbagai tugas Seringkali Anda harus menjumlahkan atau mengalikan ruas kiri dan kanan pertidaksamaan suku demi suku. Pada saat yang sama, kadang-kadang dikatakan bahwa kesenjangan bertambah atau berlipat ganda. Misalnya, jika seorang turis berjalan lebih dari 20 km pada hari pertama, dan lebih dari 25 km pada hari kedua, maka kita dapat mengatakan bahwa dalam dua hari ia berjalan lebih dari 45 km. Demikian pula jika panjang suatu persegi panjang kurang dari 13 cm dan lebarnya kurang dari 5 cm, maka luas persegi panjang tersebut dapat dikatakan kurang dari 65 cm2.

Saat mempertimbangkan contoh-contoh ini, berikut ini digunakan: teorema penjumlahan dan perkalian pertidaksamaan:

Dalil. Bila pertidaksamaan bertanda sama dijumlahkan, diperoleh pertidaksamaan bertanda sama: jika a > b dan c > d, maka a + c > b + d.

Dalil. Apabila pertidaksamaan bertanda sama dikalikan, yang sisi kiri dan kanannya positif, diperoleh pertidaksamaan bertanda sama: jika a > b, c > d dan a, b, c, d - angka positif, lalu ac > bd.

Pertidaksamaan bertanda > (lebih besar dari) dan 1/2, 3/4 b, c disertai tanda pertidaksamaan tegas > dan Dengan cara yang sama, pertidaksamaan $a \geq b $ berarti bilangan a adalah lebih besar dari atau sama dengan b, yaitu .dan tidak kurang b.

Pertidaksamaan yang mengandung tanda $\geq $ atau tanda $\leq $ disebut tidak ketat. Misalnya, $18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 $ bukanlah pertidaksamaan tegas.

Semua sifat pertidaksamaan tegas juga berlaku untuk pertidaksamaan tidak tegas. Apalagi jika untuk pertidaksamaan tegas tanda > dianggap berlawanan dan Anda tahu itu untuk menyelesaikan deretnya masalah yang diterapkan Anda harus membuat model matematika dalam bentuk persamaan atau sistem persamaan. Selanjutnya Anda akan mengetahuinya model matematika Untuk menyelesaikan banyak masalah, terdapat ketidaksetaraan dengan hal-hal yang tidak diketahui. Kami akan memperkenalkan konsep penyelesaian pertidaksamaan dan menunjukkan cara memeriksanya nomor yang diberikan menyelesaikan ketimpangan tertentu.

Ketimpangan bentuk
\(ax > b, \quad ax yang mana a dan b berada nomor yang diberikan, dan x tidak diketahui, disebut pertidaksamaan linier dengan satu hal yang tidak diketahui.

Definisi. Penyelesaian pertidaksamaan dengan satu hal yang tidak diketahui adalah nilai dari pertidaksamaan tersebut sehingga pertidaksamaan tersebut menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya. Menyelesaikan suatu pertidaksamaan berarti menemukan semua penyelesaiannya atau menetapkan bahwa tidak ada penyelesaian sama sekali.

Anda menyelesaikan persamaan dengan mereduksinya menjadi persamaan paling sederhana. Demikian pula, ketika menyelesaikan pertidaksamaan, seseorang mencoba mereduksinya menggunakan sifat-sifat menjadi bentuk pertidaksamaan sederhana.

Menyelesaikan pertidaksamaan derajat kedua dengan satu variabel

Ketimpangan bentuk
$ax^2+bx+c >0 $ dan $ax^2+bx+c dimana x adalah variabel, a, b dan c adalah beberapa bilangan dan \(a \neq 0 $, disebut pertidaksamaan derajat kedua dengan satu variabel.

Solusi terhadap ketimpangan
$ax^2+bx+c >0 $ atau $ax^2+bx+c $ dapat dianggap sebagai interval pencarian di mana fungsi $y= ax^2+bx+c $ bernilai positif atau negatif nilai Untuk melakukan ini, cukup menganalisis bagaimana grafik fungsi $y= ax^2+bx+c$ terletak pada bidang koordinat: ke mana cabang-cabang parabola diarahkan - ke atas atau ke bawah, apakah parabola memotong sumbu x dan jika iya, maka di titik berapa.

Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan derajat kedua dengan satu variabel:
1) carilah diskriminan trinomial persegi $ax^2+bx+c$ dan cari tahu apakah trinomial tersebut mempunyai akar;
2) jika trinomial mempunyai akar, maka tandai pada sumbu x dan melalui titik-titik yang ditandai gambarlah parabola skema, yang cabang-cabangnya mengarah ke atas untuk a > 0 atau ke bawah untuk a 0 atau ke bawah untuk a 3) tentukan interval pada sumbu x yang titik-titik parabolanya terletak di atas sumbu x (jika menyelesaikan pertidaksamaan $ax^2+bx+c >0$) atau di bawah sumbu x (jika menyelesaikan pertidaksamaan ketidaksamaan
\(ax^2+bx+c Menyelesaikan pertidaksamaan menggunakan metode interval

Pertimbangkan fungsinya
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Domain dari fungsi ini adalah himpunan semua bilangan. Angka nol dari fungsi tersebut adalah angka -2, 3, 5. Angka tersebut membagi domain definisi fungsi menjadi interval $(-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) $ dan $ (5; +\infty)$

Mari kita cari tahu apa saja tanda-tanda fungsi ini pada setiap interval yang ditunjukkan.

Ekspresi (x + 2)(x - 3)(x - 5) adalah hasil kali tiga faktor. Tanda masing-masing faktor dalam interval yang dipertimbangkan ditunjukkan dalam tabel:

Secara umum, biarkan fungsinya diberikan oleh rumus
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
dimana x adalah variabel, dan x 1, x 2, ..., x n adalah bilangan-bilangan yang tidak sama. Bilangan x 1 , x 2 , ..., x n adalah nol dari fungsi tersebut. Dalam setiap interval di mana domain definisi dibagi dengan nol dari suatu fungsi, tanda dari fungsi tersebut dipertahankan, dan ketika melewati nol, tandanya berubah.

Properti ini digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) dimana x 1, x 2, ..., x n adalah bilangan-bilangan yang tidak sama

Metode yang dipertimbangkan menyelesaikan pertidaksamaan disebut metode interval.

Mari kita berikan contoh penyelesaian pertidaksamaan dengan menggunakan metode interval.

Selesaikan ketimpangan:

$x(0.5-x)(x+4) Tentu saja, nol dari fungsi f(x) = x(0.5-x)(x+4) adalah titik \(x=0, \; x= \ frak(1)(2) , \; x=-4 $

Terapkan ke sumbu angka nol dari fungsi tersebut dan hitung tanda pada setiap interval:

Kami memilih interval di mana fungsinya kurang dari atau sama dengan nol dan menuliskan jawabannya.

Menjawab:
$x \di \kiri(-\infty; \; 1 \kanan) \cangkir \kiri[ 4; \; +\infty \kanan) $

Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Pertidaksamaan kuadrat, contoh penyelesaiannya"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.

Alat peraga dan simulator pendidikan di toko online Integral untuk kelas 9
Buku teks elektronik "Geometri yang Dapat Dimengerti" untuk kelas 7-9
Kompleks pendidikan 1C: "Geometri, kelas 9"

Guys, kita sudah tahu cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Sekarang mari kita belajar bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat.
Ketimpangan kuadrat Ketimpangan seperti ini disebut:

$ax^2+bx+c>0$.

Tanda pertidaksamaan bisa berapa saja, koefisien a, b, c bisa berapa saja ($a≠0$).
Semua aturan yang kami tetapkan untuk pertidaksamaan linier juga berlaku di sini. Ulangi aturan ini sendiri!

Mari perkenalkan aturan penting lainnya:
Jika trinomialnya memiliki $ax^2+bx+c$ diskriminan negatif, maka jika kita mensubstitusikan sembarang nilai x, tanda trinomialnya akan sama dengan tanda koefisien a.

Contoh penyelesaian pertidaksamaan kuadrat

dapat diselesaikan dengan memplot grafik atau memplot interval. Mari kita lihat contoh solusi terhadap kesenjangan.

Contoh.
1. Selesaikan pertidaksamaan: $x^2-2x-8
Larutan:
Mari kita cari akar persamaan $x^2-2x-8=0$.
$x_1=4$ dan $x_2=-2$.

Mari kita buat grafik persamaan kuadratnya. Sumbu x berpotongan di titik 4 dan -2.
Trinomial kuadrat kita mengambil nilai kurang dari nol dimana grafik fungsinya terletak di bawah sumbu x.
Melihat grafik fungsinya, kita mendapatkan jawabannya: $x^2-2x-8 Jawaban: $-2

2. Selesaikan pertidaksamaan: $5x-6

Larutan:
Mari kita transformasikan pertidaksamaan tersebut: $-x^2+5x-6 Mari kita bagi pertidaksamaan tersebut dengan minus satu. Jangan lupa ganti tandanya: $x^2-5x+6>0$.
Mari kita cari akar-akar trinomial: $x_1=2$ dan $x_2=3$.

Mari kita buat grafik persamaan kuadrat, sumbu x berpotongan di titik 2 dan 3.

Trinomial kuadrat kita mengambil nilai lebih besar dari nol dimana grafik fungsinya terletak di atas sumbu x. Melihat grafik fungsinya, kita mendapatkan jawabannya: $5x-6 Jawaban: $x3$.

3. Selesaikan pertidaksamaan: $2^2+2x+1≥0$.

Larutan:
Mari kita cari akar-akar trinomial kita; untuk melakukan ini, kita menghitung diskriminannya: $D=2^2-4*2=-4 Diskriminannya kurang dari nol. Mari gunakan aturan yang kita perkenalkan di awal. Tanda pertidaksamaan akan sama dengan tanda koefisien kuadrat. Dalam kasus kita, koefisiennya positif, artinya persamaan kita akan positif untuk setiap nilai x.
Jawaban: Untuk semua x, pertidaksamaan lebih besar dari nol.

4. Selesaikan pertidaksamaan: $x^2+x-2
Larutan:
Mari kita cari akar-akar trinomial dan letakkan pada garis koordinat: $x_1=-2$ dan $x_2=1$.

Jika $x>1$ dan $x Jika $x>-2$ dan $x Jawaban: $x>-2$ dan $x