Metode interval– cara sederhana untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional pecahan. Ini adalah sebutan untuk pertidaksamaan yang mengandung ekspresi rasional (atau rasional pecahan) yang bergantung pada suatu variabel.
1. Misalnya saja ketimpangan berikut
Metode interval memungkinkan Anda menyelesaikannya dalam beberapa menit.
Di sisi kiri ketimpangan ini – fungsi rasional pecahan. Rasional karena tidak mengandung akar, sinus, atau logaritma – hanya ekspresi rasional. Di sebelah kanan adalah nol.
Metode interval didasarkan pada properti berikut fungsi rasional pecahan.
Fungsi rasional pecahan hanya dapat berubah tanda pada titik-titik yang sama dengan nol atau tidak ada.
Mari kita ingat bagaimana trinomial kuadrat difaktorkan, yaitu ekspresi bentuk.
Dimana dan merupakan akar-akar persamaan kuadrat.
Kita menggambar sebuah sumbu dan menempatkan titik-titik yang pembilang dan penyebutnya menjadi nol.
Angka nol pada penyebut dan merupakan titik tertusuk, karena pada titik ini fungsi di sisi kiri pertidaksamaan tidak terdefinisi (Anda tidak dapat membaginya dengan nol). Angka nol pada pembilang dan - diarsir, karena pertidaksamaannya tidak tegas. Kapan dan pertidaksamaan kita terpenuhi, karena kedua sisinya sama dengan nol.
Titik-titik ini membagi sumbu menjadi beberapa interval.
Mari kita tentukan tanda fungsi rasional pecahan di sisi kiri pertidaksamaan kita pada setiap interval tersebut. Kita ingat bahwa fungsi rasional pecahan dapat berubah tanda hanya pada titik-titik yang sama dengan nol atau tidak ada.
Artinya, pada setiap interval antara titik-titik yang pembilang atau penyebutnya menjadi nol, tanda ekspresi di sisi kiri pertidaksamaan akan tetap - baik “plus” atau “minus”.
Oleh karena itu, untuk menentukan tanda fungsi pada setiap interval tersebut, kita ambil titik mana pun yang termasuk dalam interval tersebut. Salah satu yang nyaman bagi kami.
. Ambil contoh, dan periksa tanda ekspresi di sisi kiri pertidaksamaan. Masing-masing "tanda kurung" adalah negatif. Sisi kiri memiliki tanda.
Interval berikutnya: . Mari kita periksa tandanya di . Kami menemukan bahwa sisi kiri telah berubah tandanya menjadi.
Jika ruas kiri pertidaksamaan bernilai negatif.
Dan terakhir, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}
Kami telah menemukan pada interval berapa ekspresi tersebut positif. Yang tersisa hanyalah menuliskan jawabannya:
Menjawab: .
Harap diperhatikan: tanda-tandanya bergantian antar interval. Hal ini terjadi karena ketika melewati setiap titik, tepat salah satu faktor linier berubah tanda, sedangkan faktor linier lainnya tetap tidak berubah.
Kita melihat bahwa metode interval sangat sederhana. Untuk memutuskan ketimpangan rasional pecahan menggunakan metode interval, kita mereduksinya menjadi bentuk:
Atau class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \kanan))(\displaystyle Q\left(x \kanan)) > 0"> !}, atau , atau .
(di sisi kiri adalah fungsi rasional pecahan, di sisi kanan adalah nol).
Kemudian kita tandai pada garis bilangan titik-titik yang pembilang atau penyebutnya menjadi nol.
Titik-titik ini membagi seluruh garis bilangan menjadi beberapa interval, yang pada masing-masing interval tersebut fungsi rasional-pecahan tetap memiliki tandanya.
Yang tersisa hanyalah mencari tandanya pada setiap interval.
Kita melakukan ini dengan memeriksa tanda ekspresi pada titik mana pun yang termasuk dalam interval tertentu. Setelah itu, kami menuliskan jawabannya. Itu saja.
Namun timbul pertanyaan: apakah tanda-tandanya selalu bergantian? Tidak, tidak selalu! Anda harus berhati-hati dan tidak memasang tanda secara mekanis dan sembarangan.
2. Mari kita pertimbangkan ketimpangan lainnya.
Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \kiri(x-2 \kanan)^2)(\displaystyle \kiri(x-1 \kanan) \ kiri(x-3 \kanan))>0"> !}
Tempatkan kembali titik-titik pada sumbu. Titik-titik dan tertusuk karena penyebutnya nol. Intinya juga dihilangkan, karena kesenjangannya sangat ketat.
Jika pembilangnya positif, maka kedua faktor penyebutnya negatif. Hal ini dapat dengan mudah diperiksa dengan mengambil nomor apa saja dari interval tertentu, misalnya . Sisi kiri memiliki tanda:
Bila pembilangnya positif; Faktor pertama penyebutnya positif, faktor kedua negatif. Sisi kiri memiliki tanda:
Situasinya sama! Pembilangnya positif, faktor penyebutnya positif, dan faktor kedua negatif. Sisi kiri memiliki tanda:
Terakhir, dengan class="tex" alt="x>3">
все множители положительны, и левая часть имеет знак :!} 
Menjawab: .
Mengapa pergantian tanda terganggu? Karena ketika melewati suatu titik pengganda “bertanggung jawab” untuk itu tidak mengubah tanda. Akibatnya, seluruh ruas kiri pertidaksamaan kita tidak berubah tanda.
Kesimpulan: jika pengali liniernya adalah pangkat genap (misalnya kuadrat), maka ketika melewati suatu titik, tanda ekspresi di ruas kiri tidak berubah. Jika derajat ganjil tandanya tentu saja berubah.
3. Mari kita pertimbangkan kasus yang lebih kompleks. Berbeda dengan yang sebelumnya karena ketimpangannya tidak ketat:
Sisi kiri sama dengan di tugas sebelumnya. Gambaran tandanya akan sama:
Mungkin jawabannya akan sama? TIDAK! Penyelesaian ditambahkan Hal ini terjadi karena ruas kiri dan kanan pertidaksamaan sama dengan nol - oleh karena itu, titik ini merupakan penyelesaian.
Menjawab: .
Keadaan ini sering terjadi pada soal-soal UN Unified State Examination bidang matematika. Di sinilah pelamar terjebak dan kehilangan poin. Hati-hati!
4. Apa yang harus dilakukan jika pembilang atau penyebutnya tidak dapat diuraikan faktor linier? Pertimbangkan ketidaksetaraan ini:
Trinomial persegi tidak dapat difaktorkan: diskriminannya negatif, tidak ada akarnya. Tapi ini bagus! Artinya tanda ekspresi untuk semua adalah sama, dan khususnya positif. Anda dapat membaca lebih lanjut tentang ini di artikel tentang sifat-sifat fungsi kuadrat.
Dan sekarang kita bisa membagi kedua sisi ketidaksetaraan kita dengan nilai yang positif untuk semuanya. Mari kita sampai pada pertidaksamaan yang setara:
Yang mudah diselesaikan dengan menggunakan metode interval.
Harap perhatikan bahwa kami membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai yang kami yakini positif. Tentu saja, di kasus umum jangan mengalikan atau membagi ketimpangan dengan nilai variabel, yang tandanya tidak diketahui.
5 . Mari kita pertimbangkan ketimpangan lainnya, yang tampaknya cukup sederhana:
Saya hanya ingin mengalikannya dengan. Tapi kami sudah pintar, dan kami tidak akan melakukan ini. Bagaimanapun, ini bisa positif dan negatif. Dan kita tahu jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan nilai negatif- tanda perubahan ketimpangan.
Kami akan melakukannya secara berbeda - kami akan mengumpulkan semuanya menjadi satu bagian dan mengarah ke penyebut yang sama. Sisi kanan akan tetap nol:
Kelas="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}
Dan setelah itu - terapkan metode interval.
Kami terus mencari cara untuk menyelesaikan kesenjangan yang melibatkan satu variabel. Kita telah mempelajari linier dan pertidaksamaan kuadrat, yang merupakan kasus khusus dari ketidaksetaraan rasional. Pada artikel ini kami akan menjelaskan jenis pertidaksamaan apa yang dianggap rasional, dan kami akan memberi tahu Anda jenis pertidaksamaan apa yang dibagi (bilangan bulat dan pecahan). Setelah itu, kami akan menunjukkan cara menyelesaikannya dengan benar, memberikan algoritma yang diperlukan, dan menganalisis masalah tertentu.
Yandex.RTB RA-339285-1
Konsep persamaan rasional
Ketika mereka mempelajari topik penyelesaian kesenjangan di sekolah, mereka langsung mengambilnya kesenjangan rasional. Mereka memperoleh dan mengasah keterampilan dalam bekerja dengan jenis ekspresi ini. Mari kita rumuskan definisi konsep ini:
Definisi 1
Pertidaksamaan rasional adalah pertidaksamaan dengan variabel yang mengandung ekspresi rasional pada kedua bagiannya.
Perhatikan bahwa definisi tersebut sama sekali tidak mempengaruhi pertanyaan tentang jumlah variabel, yang berarti jumlahnya bisa sebanyak yang diinginkan. Akibatnya, pertidaksamaan rasional dengan 1, 2, 3 atau lebih variabel mungkin terjadi. Paling sering Anda harus berurusan dengan ekspresi yang hanya berisi satu variabel, lebih jarang dua, dan pertidaksamaan dengan sejumlah besar variabel biasanya di dalam kursus sekolah tidak dipertimbangkan sama sekali.
Dengan demikian, kita dapat mengenali ketimpangan rasional dengan melihat tulisannya. Itu harus memiliki ekspresi rasional di sisi kanan dan kiri. Berikut beberapa contohnya:
x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2
Tapi di sini ada pertidaksamaan berbentuk 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.
Semua pertidaksamaan rasional dibagi menjadi bilangan bulat dan pecahan.
Definisi 2
Seluruh persamaan rasional terdiri dari seluruh ekspresi rasional (di kedua bagian).
Definisi 3
Persamaan rasional pecahan- ini adalah persamaan yang mengandung ekspresi pecahan pada salah satu atau kedua bagiannya.
Misalnya, pertidaksamaan berbentuk 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 dan 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 adalah rasional pecahan dan 0, 5 x ≤ 3 (2 − 5 tahun) Dan 1: x + 3 > 0- utuh.
Kami menganalisis apa itu kesenjangan rasional dan mengidentifikasi jenis utamanya. Kita bisa melanjutkan ke ulasan tentang cara mengatasinya.
Katakanlah kita perlu mencari solusi terhadap seluruh ketidaksetaraan rasional r(x)< s (x) , yang hanya mencakup satu variabel x. Pada saat yang sama r(x) Dan s(x) mewakili bilangan bulat apa pun bilangan rasional atau ekspresi, dan tanda pertidaksamaan mungkin berbeda. Untuk mengatasi masalah ini, kita perlu mengubahnya dan mendapatkan persamaan yang setara.
Mari kita mulai dengan memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri. Kami mendapatkan yang berikut:
dari bentuk r (x) − s (x)< 0 (≤ , > , ≥)
Kami tahu itu r (x) − s (x) akan menjadi nilai bilangan bulat, dan ekspresi bilangan bulat apa pun dapat diubah menjadi polinomial. Mari bertransformasi r (x) − s (x) dalam h(x). Ekspresi ini akan menjadi polinomial yang identik sama. Mengingat r (x) − s (x) dan h (x) mempunyai suatu daerah nilai-nilai yang dapat diterima x sama, kita bisa melanjutkan ke pertidaksamaan h (x)< 0 (≤ , >, ≥), yang akan setara dengan yang asli.
Seringkali ini konversi sederhana akan cukup untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut, karena hasilnya bisa berupa pertidaksamaan linier atau kuadrat, yang nilainya mudah dihitung. Mari kita menganalisis masalah-masalah seperti itu.
Contoh 1
Kondisi: menyelesaikan seluruh ketidaksetaraan rasional x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.
Larutan
Mari kita mulai dengan memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri dengan tanda sebaliknya.
x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0
Sekarang kita telah menyelesaikan semua operasi dengan polinomial di sebelah kiri, kita dapat melanjutkan ke ketimpangan linier 3 x − 2 ≤ 0, setara dengan apa yang diberikan dalam kondisi tersebut. Cara mengatasinya mudah:
3 x ≤ 2 x ≤ 2 3
Menjawab: x ≤ 2 3 .
Contoh 2
Kondisi: menemukan solusi dari pertidaksamaan tersebut (x 2 + 1) 2 − 3 x 2 > (x 2 − x) (x 2 + x).
Larutan
Kami mentransfer ekspresi dari sisi kiri ke kanan dan melakukan transformasi lebih lanjut menggunakan rumus perkalian yang disingkat.
(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0
Sebagai hasil transformasi kami, kami memperoleh pertidaksamaan yang berlaku untuk semua nilai x, oleh karena itu, penyelesaian pertidaksamaan awal dapat berupa bilangan real apa pun.
Menjawab: nomor berapa pun sebenarnya.
Contoh 3
Kondisi: menyelesaikan ketimpangan tersebut x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.
Larutan
Kami tidak akan mentransfer apa pun dari sisi kanan, karena ada 0 di sana. Mari kita mulai sekarang dengan mengubah ruas kiri menjadi polinomial:
x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .
Kami telah memperoleh pertidaksamaan kuadrat yang setara dengan pertidaksamaan awal, yang dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan beberapa metode. Mari kita gunakan metode grafis.
Mari kita mulai dengan menghitung akar-akar trinomial kuadrat − 2 x 2 + 11 x + 6:
D = 11 2 - 4 (- 2) 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 - 2, x 2 = - 11 - 169 2 - 2 x 1 = - 0, 5, x 2 = 6
Sekarang pada diagram kita menandai semua angka nol yang diperlukan. Sejak koefisien terdepan kurang dari nol, cabang-cabang parabola pada grafik akan terlihat ke bawah.
Kita memerlukan luas parabola yang terletak di atas sumbu x, karena kita mempunyai tanda > pada pertidaksamaannya. Interval yang diperlukan adalah (− 0 , 5 , 6) Oleh karena itu, kisaran nilai ini akan menjadi solusi yang kita butuhkan.
Menjawab: (− 0 , 5 , 6) .
ada lagi kasus yang kompleks, ketika polinomial sepertiga atau lebih diperoleh di sebelah kiri derajat tinggi. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut, disarankan menggunakan metode interval. Pertama kita menghitung semua akar polinomial h(x), yang paling sering dilakukan dengan memfaktorkan polinomial.
Contoh 4
Kondisi: menghitung (x 2 + 2) · (x + 4)< 14 − 9 · x .
Larutan
Mari kita mulai, seperti biasa, dengan mentransfer ekspresi ke sisi kiri, setelah itu Anda perlu memperluas tanda kurung dan melemparkannya istilah serupa.
(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0
Sebagai hasil transformasi, kami memperoleh persamaan yang setara dengan persamaan asli, di sebelah kirinya terdapat polinomial derajat ketiga. Mari kita gunakan metode interval untuk menyelesaikannya.
Pertama kita menghitung akar-akar polinomial yang perlu kita selesaikan persamaan kubik x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 = 0. Apakah ia mempunyai akar rasional? Mereka hanya bisa berada di antara pembagi anggota bebas, yaitu diantara angka ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Mari kita gantikan satu per satu ke dalam persamaan asli dan temukan bahwa angka 1, 2 dan 3 adalah akar-akarnya.
Jadi polinomialnya x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 dapat digambarkan sebagai sebuah produk (x − 1) · (x − 2) · (x − 3), dan ketimpangan x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 dapat direpresentasikan sebagai (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)< 0 . Dengan adanya pertidaksamaan seperti ini maka akan lebih mudah bagi kita untuk menentukan tanda-tanda pada intervalnya.
Selanjutnya, kita melakukan langkah selanjutnya dari metode interval: menggambar garis bilangan dan menunjuk ke atasnya dengan koordinat 1, 2, 3. Mereka membagi garis menjadi 4 interval di mana mereka perlu menentukan tanda-tandanya. Mari kita mengarsir intervalnya dengan tanda minus, karena pertidaksamaan awal mempunyai tanda < .
Yang harus kita lakukan hanyalah menuliskan jawaban yang sudah jadi: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Menjawab: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Dalam beberapa kasus, lanjutkan dari pertidaksamaan r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) hingga h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , dimana h(x)– polinomial dengan derajat lebih tinggi dari 2, tidak sesuai. Hal ini meluas ke kasus di mana r (x) − s (x) direpresentasikan sebagai produk binomial linier dan trinomial persegi lebih mudah daripada memfaktorkan h(x) menjadi faktor individual. Mari kita lihat masalah ini.
Contoh 5
Kondisi: menemukan solusi dari pertidaksamaan tersebut (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).
Larutan
Pertidaksamaan ini berlaku untuk bilangan bulat. Jika kita memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri, buka tanda kurung dan lakukan pengurangan suku, kita dapatkan x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .
Menyelesaikan pertidaksamaan seperti itu tidaklah mudah, karena Anda harus mencari akar-akar polinomial derajat keempat. Tidak ada akar rasional(jadi, 1, − 1, 19 atau − 19 tidak cocok), dan sulit mencari akar lain. Artinya kita tidak bisa menggunakan cara ini.
Namun ada solusi lain. Jika kita memindahkan ekspresi dari sisi kanan pertidaksamaan awal ke kiri, kita dapat melakukan tanda kurung pengganda umum x 2 − 2 x − 1:
(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .
Kita telah memperoleh pertidaksamaan yang ekuivalen dengan pertidaksamaan awal, dan penyelesaiannya akan memberikan kita jawaban yang diinginkan. Mari kita temukan angka nol dari ekspresi di sisi kiri, yang kita pecahkan persamaan kuadrat x 2 − 2 x − 1 = 0 Dan x 2 − 2 x − 19 = 0. Akarnya adalah 1 ± 2, 1 ± 2 5. Kita beralih ke persamaan x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0, yang dapat diselesaikan dengan metode interval:
Berdasarkan gambar tersebut, jawabannya adalah - ∞, 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5, 1 + 2 ∪ 1 + 2 5, + ∞.
Menjawab: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .
Mari kita tambahkan bahwa terkadang tidak mungkin menemukan semua akar polinomial h(x), oleh karena itu, kita tidak dapat menyatakannya sebagai hasil kali binomial linier dan trinomial kuadrat. Kemudian selesaikan pertidaksamaan berbentuk h (x)< 0 (≤ , >, ≥) kita tidak bisa, yang berarti tidak mungkin menyelesaikan pertidaksamaan rasional awal.
Misalkan kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan rasional pecahan dalam bentuk r (x)< s (x) (≤ , >, ≥) , dimana r (x) dan s(x) adalah ekspresi rasional, x adalah variabel. Setidaknya satu dari ekspresi yang ditentukan akan menjadi pecahan. Algoritma solusi dalam hal ini adalah sebagai berikut:
- Kami menentukan kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x.
- Kami memindahkan ekspresi dari sisi kanan pertidaksamaan ke kiri, dan ekspresi yang dihasilkan r (x) − s (x) nyatakan sebagai pecahan. Apalagi dimana hal(x) Dan q(x) akan menjadi ekspresi bilangan bulat yang merupakan produk dari binomial linier, trinomial kuadrat yang tidak dapat dikomposisi, serta pangkat dengan eksponen alami.
- Selanjutnya, kita selesaikan pertidaksamaan yang dihasilkan menggunakan metode interval.
- Langkah terakhir adalah mengecualikan poin yang diperoleh selama penyelesaian dari kisaran nilai variabel x yang dapat diterima yang telah kita tentukan di awal.
Ini adalah algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional pecahan. Paling jelas; penjelasan kecil hanya diperlukan untuk paragraf 2. Kami memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri dan mendapatkan r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥), lalu bagaimana cara membawanya ke bentuk p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?
Pertama, mari kita tentukan apakah transformasi ini selalu dapat dilakukan. Secara teoritis, kemungkinan seperti itu selalu ada, sejak di pecahan rasional Anda dapat mengonversi apa pun ekspresi rasional. Di sini kita memiliki pecahan dengan polinomial pada pembilang dan penyebutnya. Mari kita mengingat kembali teorema dasar aljabar dan teorema Bezout dan menentukan bahwa setiap polinomial berderajat n yang mengandung satu variabel dapat diubah menjadi produk binomial linier. Oleh karena itu, secara teori, kita selalu dapat mengubah ekspresi dengan cara ini.
Dalam prakteknya, memfaktorkan polinomial seringkali cukup tugas yang sulit, apalagi jika derajatnya lebih tinggi dari 4. Jika kita tidak dapat melakukan dekomposisi, kita tidak akan dapat menyelesaikannya ketimpangan ini Namun, masalah seperti itu biasanya tidak dipelajari dalam kursus sekolah.
Selanjutnya, kita perlu memutuskan apakah pertidaksamaan yang dihasilkan p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) ekuivalen terhadap r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) dan ke yang asli. Ada kemungkinan bahwa hal itu mungkin menjadi tidak setara.
Kesetaraan ketimpangan akan terjamin bila kisaran nilai yang dapat diterima p(x)q(x) akan cocok dengan rentang ekspresi r (x) − s (x). Maka poin terakhir dari petunjuk penyelesaian pertidaksamaan rasional pecahan tidak perlu diikuti.
Namun kisaran nilai untuk p(x)q(x) mungkin lebih luas dari r (x) − s (x), misalnya dengan mereduksi pecahan. Contohnya adalah dari x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3 ke x · x - 1 x + 3 . Atau bisa juga terjadi jika membawa istilah serupa, misalnya di sini:
x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 hingga 1 x + 3
Untuk kasus seperti itu, langkah terakhir dari algoritma telah ditambahkan. Dengan menjalankannya, Anda akan menghilangkan nilai variabel asing yang muncul karena perluasan rentang nilai yang dapat diterima. Mari kita ambil beberapa contoh untuk memperjelas apa yang sedang kita bicarakan.
Contoh 6
Kondisi: tentukan penyelesaian persamaan rasional x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 .
Larutan
Kami bertindak sesuai dengan algoritma yang ditunjukkan di atas. Pertama kita menentukan kisaran nilai yang dapat diterima. DI DALAM dalam hal ini ditentukan oleh sistem pertidaksamaan x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0 yang penyelesaiannya adalah himpunan (− ∞, − 1) ∪ (− 1, 3) ∪ (3 , + ∞) .
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0
Setelah itu, kita perlu mengubahnya agar mudah menerapkan metode interval. Pertama-tama, kami memberi pecahan aljabar ke penyebut terkecil yang sama (x − 3) 2 (x + 1):
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)
Kami menciutkan ekspresi dalam pembilang menggunakan rumus kuadrat jumlah:
x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1
Kisaran nilai yang dapat diterima dari ekspresi yang dihasilkan adalah (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . Kami melihat bahwa ini mirip dengan apa yang didefinisikan untuk persamaan awal. Kita menyimpulkan bahwa pertidaksamaan x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 ekuivalen dengan pertidaksamaan awal, artinya kita tidak memerlukan langkah terakhir dari algoritma tersebut.
Kami menggunakan metode interval:
Kita lihat penyelesaiannya ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞), yang merupakan penyelesaian pertidaksamaan rasional awal x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .
Menjawab: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
Contoh 7
Kondisi: hitung penyelesaiannya x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 .
Larutan
Kami menentukan kisaran nilai yang dapat diterima. Dalam kasus pertidaksamaan ini, pertidaksamaan tersebut akan sama dengan semua bilangan real kecuali − 2, − 1, 0 dan 1 .
Kami memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0
Dengan mempertimbangkan hasilnya, kami menulis:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1
Untuk ekspresi - 1 x - 1, rentang nilai yang valid adalah himpunan semua bilangan real, dengan pengecualian satu. Kita melihat bahwa rentang nilai telah meluas: − 2 , − 1 dan 0 . Ini berarti kita perlu melakukan langkah terakhir dari algoritma.
Karena kita sudah mendapatkan pertidaksamaan - 1 x - 1 > 0, kita dapat menuliskan persamaannya 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .
Kami mengecualikan poin yang tidak termasuk dalam kisaran nilai persamaan asli yang dapat diterima. Kita perlu mengecualikan dari (− ∞ , 1) angka − 2 , − 1 dan 0 . Jadi, penyelesaian pertidaksamaan rasional x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 adalah nilai (− ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Menjawab: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Sebagai kesimpulan, kami memberikan contoh lain dari suatu masalah di mana jawaban akhirnya bergantung pada kisaran nilai yang dapat diterima.
Contoh 8
Kondisi: tentukan penyelesaian pertidaksamaan 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0.
Larutan
Kisaran nilai pertidaksamaan yang diperbolehkan yang ditentukan dalam kondisi ditentukan oleh sistem x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0.
Sistem ini tidak memiliki solusi, karena
x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0
Artinya persamaan awal 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 tidak mempunyai solusi, karena tidak ada nilai variabel yang akan dibuatnya nalar.
Menjawab: tidak ada solusi.
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
Dalam pelajaran ini kita akan melanjutkan penyelesaian pertidaksamaan rasional dengan menggunakan metode interval untuk pertidaksamaan yang lebih kompleks. Mari kita perhatikan penyelesaian pertidaksamaan linear pecahan dan pertidaksamaan kuadrat pecahan serta masalah terkait.
Sekarang mari kita kembali ke ketimpangan
Mari kita lihat beberapa tugas terkait.
Menemukan solusi terkecil kesenjangan.
Temukan nomornya solusi alami kesenjangan
Temukan panjang interval yang membentuk himpunan solusi pertidaksamaan tersebut.
2. Pintu gerbang Ilmu pengetahuan Alam ().
3. Elektronik kompleks pendidikan dan metodologi untuk mempersiapkan kelas 10-11 untuk ujian masuk dalam ilmu komputer, matematika, bahasa Rusia ().
5. Pusat Pendidikan “Teknologi Pengajaran” ().
6. Bagian College.ru tentang matematika ().
1. Mordkovich A.G. dan lain-lain.Aljabar kelas 9 : Buku Soal untuk siswa lembaga pendidikan/ A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina dan lainnya - edisi ke-4. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 hal.: sakit. Nomor 28(b,c); 29(b,c); 35(a,b); 37(b,c); 38(a).
- Mengembangkan kemampuan menyelesaikan pertidaksamaan rasional dengan menggunakan metode interval akar ganda, membantu siswa mengembangkan kebutuhan dan keinginan untuk menggeneralisasi materi yang dipelajari;
- Mengembangkan kemampuan membandingkan solusi dan mengidentifikasi jawaban yang benar; mengembangkan rasa ingin tahu,, berpikir logis minat kognitif
- ke subjek
Menumbuhkan ketelitian dalam menyusun solusi, kemampuan mengatasi kesulitan dalam menyelesaikan kesenjangan.
Bahan dan peralatan: papan tulis interaktif, kartu, kumpulan tes.
Kemajuan pelajaran
I. Momen organisasi
II. Memperbarui pengetahuan
Survei kelas frontal pada pertanyaan-pertanyaan berikut: Pada nilai apa pecahan variabel
apakah itu masuk akal (Gbr. 1)?< 0, где x 1 , x 2 , … x n не равные друг другу числа.
Ulangi algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk (x - x 1)(x - x 2)…(x - x n) > 0 atau (x - x 1)(x - x 2)…(x - x n)
Algoritma penyelesaian pertidaksamaan menggunakan metode interval ditampilkan di papan tulis interaktif:
AKU AKU AKU. Mempelajari materi baru. Menyelesaikan pertidaksamaan rasional pecahan dengan banyak akar menggunakan metode interval.
Memecahkan pertidaksamaan dengan beberapa nilai kritis suatu variabel biasanya dikaitkan dengan kesulitan terbesar. Jika sebelumnya dimungkinkan untuk menempatkan tanda pada interval hanya dengan menggantinya, sekarang, ketika melewati nilai kritis, tanda dari keseluruhan ekspresi tidak boleh berubah. Kita akan berkenalan dengan apa yang disebut metode "kelopak", yang akan membantu mengatasi kesulitan yang terkait dengan pengaturan tanda-tanda suatu fungsi pada interval.
Perhatikan sebuah contoh: (x+3) 2 > 0/ Ruas kiri mempunyai satu titik kritis x = - 3. Mari kita tandai pada garis bilangan. Titik ini mempunyai kelipatan 2, sehingga kita dapat berasumsi bahwa kita mempunyai dua titik yang digabungkan, di antaranya juga terdapat interval dengan awal dan akhir pada titik yang sama -3. Kami akan menandai interval tersebut dengan "kelopak", seperti pada Gambar 3. Jadi, kita memiliki tiga interval: dua interval numerik (-∞; -3); (-3; +∞) dan “kelopak” di antara keduanya. Yang tersisa hanyalah menempatkan tanda-tandanya. Untuk melakukan ini, kita menghitung tanda pada interval yang mengandung nol, dan mengatur tanda-tanda sisanya, cukup bergantian. Hasil penempatan rambu ditunjukkan pada Gambar 4
 |
 |
|
Beras. 3 |
Beras. 4 |
Jawaban: x € (-∞; -3) U (-3; +∞)
Sekarang mari kita pertimbangkan lebih lanjut ketimpangan yang kompleks(Gbr.5):
Mari kita perkenalkan fungsinya (Gbr. 6):
Mari kita tandai titik-titik kritis pada garis bilangan, dengan mempertimbangkan multiplisitasnya - untuk setiap tanda kurung tambahan dengan tanda kurung tertentu nilai kritis gambarlah "kelopak" tambahan. Jadi, pada Gambar 7, satu “kelopak” akan muncul di titik x=3, karena (x-3)?=(x-3)(x-3).
Karena (x - 6) 3 = (x - 6) (x - 6) (x - 6), titik x = 6 mempunyai dua "kelopak". Pengganda pertama diperhitungkan pada titik 6 pada sumbu, dan dua pengali tambahan diperhitungkan dengan menambahkan dua “kelopak”. Selanjutnya, kita menentukan tanda pada salah satu interval dan menyusun tanda pada interval lainnya, bergantian antara minus dan plus.
Semua spasi yang ditandai dengan tanda “+” dan titik gelap memberikan jawabannya.
X € [-4;-1) kamu (3) kamu (6;+∞).
IV. Konsolidasi materi baru
1. Mari selesaikan pertidaksamaan:
Mari kita faktorkan ruas kiri pertidaksamaan tersebut:
Pertama mari kita terapkan pada sumbu koordinat titik kritis penyebutnya, kita peroleh (Gbr. 10)
Menambahkan poin pembilang, kita mendapatkan (Gbr. 11)
Dan sekarang, kita menentukan tanda-tanda pada interval dan “kelopak” (Gbr. 12)
Beras. 12
Jawaban: x € (-1; 0) U (0; 1) U (2)
2. Pilih interval numerik, yang merupakan penyelesaian pertidaksamaan dengan metode interval, dengan mempertimbangkan banyaknya akar polinomial (Gbr. 13).
V.Ringkasan pelajaran
Selama percakapan dengan kelas, kami menarik kesimpulan:
1) Menjadi mungkin untuk menempatkan tanda-tanda pada interval tertentu hanya dengan menggantinya.
3) Dengan solusi ini, akar tunggal tidak pernah hilang.
Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.
Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengirimkan permintaan di situs, kami dapat mengumpulkannya berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda e-mail dll.
Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai penelitian dalam rangka meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberikan Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
- Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.
Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Apabila diperlukan - sesuai dengan peraturan perundang-undangan, acara peradilan, proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan masyarakat atau permohonan dari lembaga pemerintah di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.
Perlindungan informasi pribadi
Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.
Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.
