ir 3 = - 1/8 ir kt.
Yra net seka, susidedanti iš to paties skaičiaus. Taigi, n = 6 susideda iš begalinio skaičiaus šešių.
Sekos ribos nustatymas
Sekos ribos matematikoje egzistuoja jau seniai. Žinoma, jie nusipelno savo kompetentingo dizaino. Taigi laikas išmokti sekos ribų apibrėžimą. Pirmiausia išsamiai pažvelkime į tiesinės funkcijos ribą:
- Visos ribos yra sutrumpintos kaip lim.
- Ribos žymėjimą sudaro santrumpa lim, bet koks kintamasis, linkęs į tam tikrą skaičių, nulį arba begalybę, taip pat pati funkcija.
Nesunku suprasti, kad sekos ribos apibrėžimą galima suformuluoti taip: tai yra tam tikras skaičius, prie kurio be galo artėja visi sekos nariai. Paprastas pavyzdys: a x = 4x+1. Tada pati seka atrodys taip.
5, 9, 13, 17, 21…x…
Taigi ši seka didės neribotai, o tai reiškia, kad jos riba yra lygi begalybei kaip x→∞, ir ji turėtų būti parašyta taip:
Jei imsime panašią seką, bet x linkę į 1, gausime:
O skaičių serija bus tokia: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 ir tt Kiekvieną kartą reikia pakeisti skaičių arčiau vieneto (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Iš šios serijos aišku, kad funkcijos riba yra penki.
Iš šios dalies verta prisiminti, kokia yra skaitinės sekos riba, apibrėžimas ir paprastų uždavinių sprendimo būdas.
Bendras sekų ribos žymėjimas
Išnagrinėję skaičių sekos ribą, jos apibrėžimą ir pavyzdžius, galite pereiti prie sudėtingesnės temos. Absoliučiai visas sekų ribas galima suformuluoti viena formule, kuri dažniausiai analizuojama pirmame semestre.
Taigi, ką reiškia šis raidžių, modulių ir nelygybės ženklų rinkinys?
∀ yra universalus kvantorius, pakeičiantis frazes „visiems“, „viskam“ ir kt.
∃ yra egzistencinis kvantorius, šiuo atveju tai reiškia, kad natūraliųjų skaičių aibei yra kokia nors reikšmė N.
Ilga vertikali lazdelė po N reiškia, kad duotoji aibė N yra „tokia“. Praktiškai tai gali reikšti „toks“, „toks“ ir pan.
Norėdami sustiprinti medžiagą, garsiai perskaitykite formulę.
Neapibrėžtumas ir ribos tikrumas
Aukščiau aptartas sekų ribos nustatymo metodas, nors ir paprastas naudoti, praktiškai nėra toks racionalus. Pabandykite rasti šios funkcijos ribą:
Jei pakeisime skirtingas „x“ reikšmes (kiekvieną kartą didėjant: 10, 100, 1000 ir tt), tada skaitiklyje gauname ∞, bet vardiklyje ir ∞. Dėl to susidaro gana keista trupmena:
Bet ar tikrai taip? Apskaičiuoti skaičių sekos ribą šiuo atveju atrodo gana paprasta. Galima būtų viską palikti taip, kaip yra, nes atsakymas yra paruoštas, o ir gautas protingomis sąlygomis, bet yra ir kitas būdas specialiai tokiems atvejams.
Pirma, suraskime didžiausią trupmenos skaitiklio laipsnį - tai yra 1, nes x gali būti pavaizduotas kaip x 1.
Dabar suraskime aukščiausią vardiklio laipsnį. Taip pat 1.
Tiek skaitiklį, tiek vardiklį padalinkime iš kintamojo iki didžiausio laipsnio. Šiuo atveju trupmeną padalinkite iš x 1.
Toliau išsiaiškinsime, kokią reikšmę turi kiekvienas terminas, turintis kintamąjį. Šiuo atveju atsižvelgiama į trupmenas. Kaip x→∞, kiekvienos trupmenos reikšmė linkusi į nulį. Pateikdami savo darbą raštu, turėtumėte padaryti šias išnašas:
Dėl to gaunama tokia išraiška:
Žinoma, trupmenos, kuriose yra x, netapo nuliais! Tačiau jų vertė yra tokia maža, kad visiškai leistina į tai neatsižvelgti atliekant skaičiavimus. Tiesą sakant, šiuo atveju x niekada nebus lygus 0, nes negalima dalyti iš nulio.
Kas yra kaimynystė?
Tarkime, kad profesorius turi sudėtingą seką, kurią, be abejo, pateikia tokia pat sudėtinga formulė. Profesorius rado atsakymą, bet ar jis teisingas? Juk visi žmonės klysta.
Auguste'as Cauchy kartą sugalvojo puikų būdą įrodyti sekų ribas. Jo metodas buvo vadinamas kaimynystės manipuliacija.
Tarkime, kad yra tam tikras taškas a, jo kaimynystė abiem kryptimis skaičių tiesėje yra lygi ε („epsilon“). Kadangi paskutinis kintamasis yra atstumas, jo reikšmė visada yra teigiama.
Dabar apibrėžkime kokią nors seką x n ir tarkime, kad dešimtasis sekos narys (x 10) yra įtrauktas į a kaimynystę. Kaip mes galime parašyti šį faktą matematine kalba?
Tarkime, x 10 yra taško a dešinėje, tada atstumas x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.
Dabar atėjo laikas praktiškai paaiškinti aukščiau aptartą formulę. Tikslinga tam tikrą skaičių a vadinti sekos pabaigos tašku, jei bet kuriai iš jos ribų galioja nelygybė ε>0, o visa kaimynystė turi savo natūraliąjį skaičių N, todėl visi sekos nariai, turintys didesnius skaičius būti sekoje |x n - a|< ε.
Turint tokias žinias, nesunku išspręsti sekos ribas ir įrodyti arba paneigti jau paruoštą atsakymą.
Teoremos
Teoremos apie sekų ribas yra svarbus teorijos komponentas, be kurio neįmanoma praktika. Yra tik keturios pagrindinės teoremos, kurias prisiminus sprendimas ar įrodymas gali būti daug lengvesnis:
- Sekos ribos unikalumas. Bet kuri seka gali turėti tik vieną ribą arba išvis jokios. Tas pats pavyzdys su eile, kuri gali turėti tik vieną galą.
- Jei skaičių serija turi ribą, tada šių skaičių seka yra ribota.
- Sekų sumos (skirtumo, sandaugos) riba lygi jų ribų sumai (skirtumui, sandaugai).
- Dviejų sekų dalijimosi koeficiento riba lygi ribų daliniui tada ir tik tada, kai vardiklis neišnyksta.
Sekų įrodymas
Kartais reikia išspręsti atvirkštinę problemą, įrodyti tam tikrą skaičių sekos ribą. Pažiūrėkime į pavyzdį.
Įrodykite, kad formulės nurodytos sekos riba lygi nuliui.
Pagal aukščiau aptartą taisyklę bet kuriai sekai nelygybė |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:
Išreikškime n per „epsilon“, kad parodytume tam tikro skaičiaus egzistavimą ir įrodytume sekos ribos buvimą.
Šiuo metu svarbu atsiminti, kad „epsilon“ ir „en“ yra teigiami skaičiai ir nėra lygūs nuliui. Dabar galima tęsti tolimesnes transformacijas pasinaudojant vidurinėje mokykloje įgytomis žiniomis apie nelygybę.
Kaip paaiškėja, kad n > -3 + 1/ε. Kadangi verta prisiminti, kad kalbame apie natūraliuosius skaičius, rezultatą galima suapvalinti įdėjus jį laužtiniuose skliaustuose. Taigi buvo įrodyta, kad bet kuriai taško a = 0 „epsilono“ kaimynystės reikšmei buvo rasta tokia reikšmė, kuri tenkina pradinę nelygybę. Iš čia galime drąsiai teigti, kad skaičius a yra tam tikros sekos riba. Q.E.D.
Šis patogus metodas gali būti naudojamas norint įrodyti skaitinės sekos ribą, kad ir kokia sudėtinga ji būtų iš pirmo žvilgsnio. Svarbiausia nepanikuoti matant užduotį.
O gal jo nėra?
Konsistencijos ribos egzistavimas praktiškai nėra būtinas. Galite lengvai susidurti su skaičių serijomis, kurios iš tikrųjų neturi pabaigos. Pavyzdžiui, ta pati „mirksi lemputė“ x n = (-1) n. akivaizdu, kad seka, susidedanti tik iš dviejų skaitmenų, kartojama cikliškai, negali turėti ribos.
Ta pati istorija kartojasi su sekomis, susidedančiomis iš vieno skaičiaus, trupmeninių, turinčių bet kokios eilės neapibrėžtį skaičiavimo metu (0/0, ∞/∞, ∞/0 ir kt.). Tačiau reikia atsiminti, kad pasitaiko ir neteisingų skaičiavimų. Kartais dar kartą patikrinę savo sprendimą padėsite rasti sekos ribą.
Monotoniška seka
Keli sekų pavyzdžiai ir jų sprendimo būdai buvo aptarti aukščiau, o dabar pabandykime paimti konkretesnį atvejį ir pavadinti jį „monotonine seka“.
Apibrėžimas: bet kurią seką galima teisingai vadinti monotoniškai didėjančia, jei jai galioja griežta nelygybė x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.
Kartu su šiomis dviem sąlygomis egzistuoja ir panašios negriežtos nelygybės. Atitinkamai, x n ≤ x n +1 (nemažėjanti seka) ir x n ≥ x n +1 (nedidėjanti seka).
Bet tai lengviau suprasti naudojant pavyzdžius.
Seka, pateikta formule x n = 2+n, sudaro tokią skaičių seką: 4, 5, 6 ir tt Tai monotoniškai didėjanti seka.
Ir jei imsime x n =1/n, gausime seką: 1/3, ¼, 1/5 ir tt Tai monotoniškai mažėjanti seka.
Konvergencinės ir apribotos sekos riba
Apribota seka yra seka, kuri turi ribą. Konvergentinė seka yra skaičių serija, turinti be galo mažą ribą.
Taigi apribotos sekos riba yra bet koks realusis arba kompleksinis skaičius. Atminkite, kad gali būti tik viena riba.
Konvergencinės sekos riba yra be galo mažas (tikrasis arba kompleksinis) dydis. Jei nubraižote sekos diagramą, tada tam tikru momentu ji atrodys suartėjusi, linkusi virsti tam tikra verte. Iš čia ir kilo pavadinimas – konvergentinė seka.
Monotoninės sekos riba
Tokia seka gali būti ribojama arba ne. Pirma, naudinga suprasti, kada ji egzistuoja, nuo čia galite pradėti įrodydami, kad nėra ribos.
Tarp monotoninių sekų išskiriamos konvergentinės ir divergentinės. Konvergentinė yra seka, kurią sudaro aibė x ir kuri šioje aibėje turi realią arba kompleksinę ribą. Skirtinga yra seka, kurios aibėje nėra ribų (nei tikroji, nei sudėtinga).
Be to, seka susilieja, jei geometrinėje vaizde jos viršutinė ir apatinė ribos susilieja.
Konvergencinės sekos riba daugeliu atvejų gali būti lygi nuliui, nes bet kuri be galo maža seka turi žinomą ribą (nulis).
Kad ir kokią konvergencinę seką pasirinktumėte, jos visos yra ribotos, bet ne visos apribotos sekos susilieja.
Dviejų konvergencinių sekų suma, skirtumas, sandauga taip pat yra konvergentinė seka. Tačiau koeficientas taip pat gali būti konvergentinis, jei jis yra apibrėžtas!
Įvairūs veiksmai su apribojimais
Sekos ribos yra tokios pat reikšmingos (dažniausiai) kaip skaitmenys ir skaičiai: 1, 2, 15, 24, 362 ir tt Pasirodo, kai kurias operacijas galima atlikti ir su ribomis.
Pirma, kaip ir skaičiai ir skaičiai, bet kurios sekos ribas galima sudėti ir atimti. Remiantis trečiąja teorema apie sekų ribas, galioja tokia lygybė: sekų sumos riba lygi jų ribų sumai.
Antra, remiantis ketvirtąja teorema apie sekų ribas, yra teisinga tokia lygybė: n-ojo sekų skaičiaus sandaugos riba yra lygi jų ribų sandaugai. Tas pats pasakytina ir apie padalijimą: dviejų sekų dalinio riba yra lygi jų ribų daliniui, jei riba nėra nulis. Juk jei sekų riba lygi nuliui, tai bus dalijimas iš nulio, o tai neįmanoma.
Sekos dydžių savybės
Atrodytų, kad skaitinės sekos riba jau buvo gana išsamiai aptarta, tačiau tokios frazės kaip „be galo maži“ ir „be galo dideli“ skaičiai minimos ne kartą. Akivaizdu, kad jei yra seka 1/x, kur x→∞, tai tokia trupmena yra be galo maža, o jei ta pati seka, bet riba linkusi į nulį (x→0), tai trupmena tampa be galo didele reikšme. Ir tokie kiekiai turi savo ypatybes. Sekos, turinčios mažas ar dideles reikšmes, ribos savybės yra šios:
- Bet kokio skaičiaus mažų kiekių suma taip pat bus mažas kiekis.
- Bet kokio didelių kiekių skaičiaus suma bus be galo didelis kiekis.
- Savavališkai mažų kiekių sandauga yra be galo maža.
- Bet kokio didelio skaičiaus sandauga yra be galo didelė.
- Jei pradinė seka linkusi į be galo didelį skaičių, tada jos atvirkštinė bus be galo maža ir linkusi į nulį.
Tiesą sakant, sekos ribos apskaičiavimas nėra tokia sudėtinga užduotis, jei žinote paprastą algoritmą. Tačiau nuoseklumo ribos – didžiausia dėmesio ir užsispyrimo reikalaujanti tema. Žinoma, pakanka tiesiog suvokti tokių posakių sprendimo esmę. Pradėję nuo mažo, laikui bėgant galite pasiekti didelių aukštumų.
Daugeliui žmonių matematinė analizė yra tik nesuprantamų skaičių, simbolių ir apibrėžimų rinkinys, toli nuo realaus gyvenimo. Tačiau pasaulis, kuriame mes egzistuojame, yra sukurtas remiantis skaitiniais modeliais, kurių identifikavimas padeda ne tik suprasti mus supantį pasaulį ir išspręsti sudėtingas jo problemas, bet ir supaprastinti kasdienes praktines problemas. Ką matematikas turi omenyje sakydamas, kad skaičių seka susilieja? Apie tai turėtume pakalbėti plačiau.
mažas?
Įsivaizduokime lizdines lėles, kurios telpa viena į kitą. Jų dydžiai, parašyti skaičių forma, pradedant didžiausiu ir baigiant mažiausiu iš jų, sudaro seką. Jei įsivaizduosite begalinį tokių ryškių figūrų skaičių, gauta eilutė pasirodys fantastiškai ilga. Tai konvergencinė skaičių seka. Ir jis linkęs į nulį, nes kiekvienos paskesnės lizdinės lėlės dydis, katastrofiškai mažėjantis, pamažu virsta niekuo. Taigi nesunku paaiškinti, kas yra begalinis mažumas.
Panašus pavyzdys būtų kelias, einantis į tolį. O palei jį nuo stebėtojo tolstančio automobilio vizualiniai matmenys, pamažu mažėjantys, virsta beforme tašką primenančia dėmele. Taigi automobilis, kaip koks objektas, toldamas nežinoma kryptimi, tampa be galo mažas. Nurodyto kūno parametrai niekada nebus nulis tiesiogine to žodžio prasme, bet visada linkę į šią vertę galutinėje riboje. Todėl ši seka vėl suartėja iki nulio.
Apskaičiuokime viską lašas po lašo
Dabar įsivaizduokime kasdienę situaciją. Gydytojas paskyrė pacientui gerti mišinį, pradedant nuo dešimties lašų per dieną ir įlašinant po du lašus kiekvieną kitą dieną. Ir taip gydytoja pasiūlė tęsti tol, kol nebeliks vaisto buteliuko, kurio tūris yra 190 lašų, turinys. Iš to, kas išdėstyta pirmiau, išplaukia, kad tokių, surašytų pagal dieną, skaičius bus šios skaičių eilutės: 10, 12, 14 ir pan.
Kaip sužinoti viso kurso baigimo laiką ir sekos narių skaičių? Čia, žinoma, galima primityviai skaičiuoti lašus. Tačiau daug lengviau, atsižvelgiant į modelį, naudoti formulę su žingsniu d = 2. Ir taikydami šį metodą išsiaiškinkite, kad skaičių serijos narių skaičius yra 10. Be to, a 10 = 28. termino skaičius rodo vaisto vartojimo dienų skaičių, o 28 – lašų skaičių, kurį pacientas turi išgerti paskutinę dieną. Ar ši seka susilieja? Ne, nes, nepaisant to, kad apačioje ji ribojama skaičiumi 10, o viršuje – 28, tokia skaičių serija, skirtingai nei ankstesni pavyzdžiai, neturi ribų.
koks skirtumas?
Dabar pabandykime išsiaiškinti: kada skaičių eilutė pasirodo esanti konvergentinė seka. Tokio pobūdžio apibrėžimas, kaip galima daryti iš to, kas išdėstyta pirmiau, yra tiesiogiai susijęs su baigtinės ribos sąvoka, kurios buvimas atskleidžia klausimo esmę. Taigi koks esminis skirtumas tarp anksčiau pateiktų pavyzdžių? Ir kodėl paskutiniame iš jų skaičius 28 negali būti laikomas skaičių serijos X n = 10 + 2(n-1) riba?
Norėdami išsiaiškinti šį klausimą, apsvarstykite kitą seką, pateiktą pagal žemiau pateiktą formulę, kur n priklauso natūraliųjų skaičių aibei.
Ši narių bendruomenė yra paprastųjų trupmenų rinkinys, kurio skaitiklis yra 1, o vardiklis nuolat didėja: 1, ½ ...
Be to, kiekvienas paskesnis šios serijos atstovas, atsižvelgiant į vietą skaičių tiesėje, vis labiau artėja prie 0. Tai reiškia, kad atsiranda kaimynystė, kurioje taškai telkiasi apie nulį, o tai yra riba. Ir kuo arčiau jos, tuo tankesnė jų koncentracija skaičių tiesėje. Ir atstumas tarp jų katastrofiškai sumažėja, virsdamas be galo mažu. Tai ženklas, kad seka konverguoja.
Lygiai taip pat paveiksle pavaizduoti įvairiaspalviai stačiakampiai, pašalinus erdvėje, vizualiai išsidėstę glaudžiau, hipotetinėje riboje virsdami nereikšmingais.
Be galo didelės sekos
Išnagrinėję konvergencinės sekos apibrėžimą, pereikime prie priešingų pavyzdžių. Daugelis jų žmogui žinomi nuo seniausių laikų. Paprasčiausi skirtingų sekų variantai yra natūraliųjų ir lyginių skaičių serijos. Jie kitaip vadinami be galo dideliais, nes jų nariai, nuolat didėjantys, vis labiau artėja prie teigiamos begalybės.
Jų pavyzdžiai taip pat gali būti bet kuri aritmetinė ir geometrinė progresija, kurios žingsnis ir vardiklis atitinkamai yra didesni už nulį. Skirtingos sekos taip pat laikomos skaitinėmis serijomis, kurios neturi jokių apribojimų. Pavyzdžiui, X n = (-2) n -1 .
Fibonačio seka
Praktinė anksčiau minėtų skaičių serijų nauda žmonijai yra neabejotina. Tačiau yra daug kitų nuostabių pavyzdžių. Vienas iš jų yra Fibonačio seka. Kiekvienas jo terminas, prasidedantis vienu, yra ankstesnių terminų suma. Pirmieji du jo atstovai yra 1 ir 1. Trečiasis 1+1=2, ketvirtasis 1+2=3, penktasis 2+3=5. Toliau, pagal tą pačią logiką, vadovaukitės skaičiais 8, 13, 21 ir pan.
Ši skaičių serija didėja neribotą laiką ir neturi baigtinės ribos. Tačiau jis turi dar vieną nuostabų turtą. Kiekvieno ankstesnio skaičiaus santykis su kitu vis labiau artėja prie 0,618. Čia galite suprasti skirtumą tarp konvergentinės ir divergentinės sekos, nes jei sudarysite dalinių, gautų iš padalų, seką, nurodyta skaitinė sistema turės. galutinė riba lygi 0,618.
Fibonačio koeficientų seka
Aukščiau pateiktos skaitinės eilutės yra plačiai naudojamos praktiniais tikslais atliekant techninę rinkų analizę. Tačiau tai neriboja jos galimybių, kurias egiptiečiai ir graikai žinojo ir sugebėjo pritaikyti senovėje. Tai įrodo piramidės ir jų pastatytas Partenonas. Juk skaičius 0,618 yra pastovus aukso pjūvio koeficientas, gerai žinomas senovėje. Pagal šią taisyklę bet kuris savavališkas segmentas gali būti padalintas taip, kad santykis tarp jo dalių sutaptų su didžiausio segmento ir bendro ilgio santykiu.
Sukurkime šių ryšių seriją ir pabandykime išanalizuoti šią seką. Skaičių serija bus tokia: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0,619 ir pan. Taip tęsdami galime patikrinti, ar konvergencinės sekos riba tikrai bus 0,618. Tačiau būtina atkreipti dėmesį į kitas šio modelio savybes. Čia skaičiai atrodo netvarkingi ir visai ne didėjančia ar mažėjančia tvarka. Tai reiškia, kad ši konverguojanti seka nėra monotoniška. Kodėl taip yra, bus aptarta toliau.
Monotonija ir ribotumas
Skaičių eilutės su didėjančiais skaičiais nariai gali aiškiai mažėti (jei x 1 >x 2 >x 3 >…>x n >…) arba didėti (jei x 1 
Užsirašius šios serijos skaičius matosi, kad bet kuris jos narys, neribotai artėjantis prie 1, niekada neviršys šios vertės. Šiuo atveju sakoma, kad konvergencinė seka yra ribojama. Taip atsitinka, kai yra teigiamas skaičius M, kuris visada yra didesnis nei bet kuris modulio eilutės narys. Jei skaičių serija turi monotoniškumo požymių ir turi ribą, todėl susilieja, tada ji būtinai turi šią savybę. Be to, nebūtinai turi būti priešingai. Tai liudija teorema apie konvergencinės sekos ribą.
Tokių stebėjimų taikymas praktikoje pasirodo labai naudingas. Pateiksime konkretų pavyzdį, nagrinėdami sekos X n = n/n+1 savybes, ir įrodykime jos konvergenciją. Nesunku parodyti, kad jis yra monotoniškas, nes (x n +1 - x n) yra teigiamas skaičius bet kuriai n reikšmei. Sekos riba lygi skaičiui 1, o tai reiškia, kad tenkinamos visos aukščiau pateiktos teoremos, dar vadinamos Weierstrass’o teorema, sąlygos. Konvergencinės sekos ribos teorema teigia, kad jei ji turi ribą, tai ji bet kuriuo atveju yra ribojama. Tačiau pateiksime tokį pavyzdį. Skaičių serija X n = (-1) n apribota skaičiumi -1, o aukščiau - 1. Tačiau ši seka nėra monotoniška, neturi ribos ir todėl nesiartina. Tai yra, ribotumas ne visada reiškia ribos ir konvergencijos buvimą. Kad tai įvyktų, apatinė ir viršutinė ribos turi sutapti, kaip ir Fibonačio koeficientų atveju.
Skaičiai ir Visatos dėsniai
Paprasčiausi konvergentinės ir divergentinės sekos variantai, ko gero, yra skaičių eilutės X n = n ir X n = 1/n. Pirmasis iš jų yra natūrali skaičių serija. Jis, kaip jau minėta, be galo didelis. Antroji konvergentinė seka yra ribota, o jos terminai artėja prie be galo mažo dydžio. Kiekviena iš šių formulių įasmenina vieną iš daugialypės Visatos pusių, padeda žmogui skaičių ir ženklų kalba įsivaizduoti ir apskaičiuoti kažką nežinomo, neprieinamo ribotam suvokimui.
Visatos dėsniai, pradedant nuo nereikšmingo iki neįtikėtinai didelio, taip pat išreiškiami auksiniu koeficientu 0,618. Mokslininkai mano, kad jis yra dalykų esmės pagrindas ir yra naudojamas gamtos dalims formuoti. Anksčiau minėti ryšiai tarp vėlesnių ir ankstesnių Fibonacci serijos narių neužbaigia nuostabių šios unikalios serijos savybių demonstravimo. Jei laikysime ankstesnio nario dalijimo iš kito dalinį iš vieno, gausime eilutę 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0,382 ir pan. Įdomu tai, kad ši ribota seka konverguoja, ji nėra monotoniška, tačiau gretimų skaičių ekstremalių nuo tam tikro termino santykis visada pasirodo maždaug lygus 0,382, kuris taip pat gali būti naudojamas architektūroje, techninėje analizėje ir kitose pramonės šakose.
Yra ir kitų įdomių Fibonacci serijos koeficientų, jie visi atlieka ypatingą vaidmenį gamtoje, be to, žmonės juos naudoja praktiniais tikslais. Matematikai įsitikinę, kad Visata vystosi tam tikra „auksine spirale“, suformuota iš nurodytų koeficientų. Jų pagalba galima apskaičiuoti daugybę Žemėje ir erdvėje vykstančių reiškinių – nuo tam tikrų bakterijų skaičiaus augimo iki tolimų kometų judėjimo. Kaip paaiškėjo, DNR kodui galioja panašūs įstatymai.
Mažėjanti geometrinė progresija
Yra teorema, nurodanti konvergencinės sekos ribos unikalumą. Tai reiškia, kad jis negali turėti dviejų ar daugiau ribų, o tai neabejotinai svarbu ieškant jo matematinių charakteristikų.
Pažvelkime į kai kuriuos atvejus. Bet kuri skaičių serija, sudaryta iš aritmetinės progresijos narių, yra skirtinga, išskyrus nulinio žingsnio atvejį. Tas pats pasakytina ir apie geometrinę progresiją, kurios vardiklis yra didesnis nei 1. Tokių skaičių eilučių ribos yra begalybės "pliusas" arba "minusas". Jei vardiklis yra mažesnis nei -1, tada nėra jokios ribos. Galimi ir kiti variantai.
Panagrinėkime skaičių eilutę, pateiktą formule X n = (1/4) n -1. Iš pirmo žvilgsnio nesunku suprasti, kad ši konverguojanti seka yra ribota, nes ji griežtai mažėja ir niekaip negali priimti neigiamų reikšmių.
Parašykime tam tikrą skaičių jos narių į eilę.
Pasirodo: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0.00390625 ir pan. Pakanka gana paprastų skaičiavimų, kad suprastume, kaip greitai ši geometrinė progresija prasideda nuo vardiklių 0 
Pagrindinės sekos
Prancūzų mokslininkas Augustinas Louisas Cauchy parodė pasauliui daugybę darbų, susijusių su matematine analize. Jis apibrėžė tokias sąvokas kaip diferencialas, integralas, riba ir tęstinumas. Jis taip pat ištyrė pagrindines konvergencinių sekų savybes. Norint suprasti jo idėjų esmę, būtina apibendrinti kai kurias svarbias detales.
Pačioje straipsnio pradžioje buvo parodyta, kad yra tokių sekų, kurioms yra kaimynystė, kai taškai, reprezentuojantys tam tikros serijos narius skaičių tiesėje, pradeda grūstis, išsidėstę vis tankiau. Tuo pačiu metu, didėjant kito atstovo skaičiui, atstumas tarp jų mažėja, virsdamas be galo mažu. Taigi paaiškėja, kad tam tikroje kaimynystėje yra sugrupuotas begalinis skaičius tam tikros serijos atstovų, o už jos ribų jų yra baigtinis skaičius. Tokios sekos vadinamos fundamentaliomis.
Garsusis Koši kriterijus, sukurtas prancūzų matematiko, aiškiai rodo, kad tokios savybės pakanka įrodyti, kad seka suartėja. Taip pat yra priešingai.
Pažymėtina, kad ši prancūzų matematiko išvada dažniausiai yra grynai teorinė. Jo pritaikymas praktikoje laikomas gana sudėtingu, todėl, norint nustatyti eilučių konvergenciją, daug svarbiau yra įrodyti, kad sekai yra baigtinė riba. Priešingu atveju jis laikomas skirtingu.
Spręsdami problemas taip pat turėtumėte atsižvelgti į pagrindines konvergencinių sekų savybes. Jie pateikiami žemiau.
Begaliniai kiekiai
Tokie garsūs senovės mokslininkai kaip Archimedas, Euklidas, Eudoksas kreivių ilgiams, kūnų tūriams ir figūrų plotams apskaičiuoti naudojo begalinių skaičių eilučių sumas. Visų pirma, taip buvo galima sužinoti parabolinio segmento plotą. Tam buvo panaudota geometrinės progresijos, kurios q = 1/4, skaičių eilučių suma. Panašiai buvo rasti ir kitų savavališkų figūrų tūriai ir plotai. Ši parinktis buvo vadinama „išnaudojimo“ metodu. Idėja buvo ta, kad tiriamas sudėtingos formos kūnas buvo padalintas į dalis, kurios vaizdavo figūras su lengvai išmatuojamais parametrais. Dėl šios priežasties nebuvo sunku suskaičiuoti jų plotus ir tūrius, o tada jie buvo sumuojami.
Beje, panašios problemos yra labai žinomos šiuolaikiniams moksleiviams ir aptinkamos vieningo valstybinio egzamino užduotyse. Unikalus metodas, kurį rado tolimi protėviai, ir šiandien yra paprasčiausias sprendimas. Net jei yra tik dvi ar trys dalys, į kurias padalyta skaitinė figūra, jų plotų pridėjimas vis tiek parodo skaičių serijų sumą.
Daug vėliau senovės graikų mokslininkai Leibnicas ir Niutonas, remdamiesi savo išmintingų pirmtakų patirtimi, išmoko integralinio skaičiavimo dėsnius. Žinios apie sekų savybes padėjo jiems išspręsti diferencialines ir algebrines lygtis. Šiuo metu serijų teorija, sukurta daugelio kartų talentingų mokslininkų pastangomis, suteikia galimybę išspręsti daugybę matematinių ir praktinių problemų. O skaitinių sekų tyrimas yra pagrindinė matematinės analizės išspręsta problema nuo pat jos sukūrimo.
Seka yra viena iš pagrindinių matematikos sąvokų. Seka gali būti sudaryta iš skaičių, taškų, funkcijų, vektorių ir kt. Seka laikoma duota, jei nurodytas dėsnis, pagal kurį kiekvienas natūralusis skaičius yra susietas su tam tikros aibės elementu. Seka parašyta forma arba trumpai. Elementai vadinami sekos nariais, - pirmuoju, - antruoju, - bendruoju (-uoju) sekos nariu.
Dažniausiai laikomos skaičių sekos, t.y. sekos, kurių nariai yra skaičiai. Analitinis metodas yra paprasčiausias būdas nurodyti skaitinę seką. Tai atliekama naudojant formulę, išreiškiančią th-ąjį sekos narį jo skaičiumi. Pavyzdžiui, jei
Kitas metodas yra pasikartojantis (iš lotyniško žodžio recurrens - „grįžimas“), kai nurodote keletą pirmųjų sekos terminų ir taisyklę, leidžiančią apskaičiuoti kiekvieną paskesnį terminą per ankstesnius. Pavyzdžiui:
Skaičių sekų pavyzdžiai yra aritmetinė progresija ir geometrinė progresija.
Įdomu atsekti sekos narių elgesį, kai skaičius didėja neribotai (kas didėja neribotai, rašoma formoje ir skaitoma: „linkęs į begalybę“).
Apsvarstykite seką su bendru terminu: , , , …, , …. Visos šios sekos sąlygos skiriasi nuo nulio, bet kuo daugiau, tuo mažiau skiriasi nuo nulio. Šios sekos terminai linkę į nulį, nes jie didėja neribotą laiką. Jie sako, kad skaičius nulis yra šios sekos riba.
Kitas pavyzdys: - apibrėžia seką
Šios sekos sąlygos taip pat linkusios į nulį, tačiau jos kartais yra didesnės už nulį, kartais mažesnės už nulį – jų riba.
Pažvelkime į kitą pavyzdį: 
. Jei formoje atstovaujama
tada paaiškės, kad ši seka linkusi į vienybę.
Apibrėžkime sekos ribą. Skaičius vadinamas sekos riba, jei bet kuriam teigiamam skaičiui galima nurodyti tokį skaičių, kad nelygybė galiotų visiems.
Jei seka yra ribojama, jie rašo arba (pirmosios trys lotyniško žodžio limes raidės - „riba“).
Šis apibrėžimas taps aiškesnis, jei jam bus suteikta geometrinė reikšmė. Įtraukime skaičių į intervalą (1 pav.). Skaičius yra sekos riba, jei, nepaisant intervalo mažumo, šiame intervale bus visi sekos nariai, kurių skaičiai yra didesni už kai kuriuos. Kitaip tariant, tik baigtinis sekos terminų skaičius gali būti už bet kurio intervalo ribų.
Nagrinėjamos sekos taško nulio kaimynystė apima visus sekos narius, išskyrus pirmąjį dešimtuką, ir at – visus sekos narius, išskyrus pirmąjį šimtą.
Seka, kuri turi ribą, vadinama konvergentine, o seka, kuri neturi ribos, vadinama divergentine. Čia yra skirtingos sekos pavyzdys: . Jos nariai pakaitomis yra lygūs ir nelinkę į jokias ribas.
Jeigu seka suartėja, vadinasi, ji yra ribojama, t.y. yra skaičiai ir tokie, kad visi sekos nariai tenkina sąlygą. Iš to išplaukia, kad visos neapribotos sekos yra skirtingos. Tai yra sekos:
„Atidus ir gilus gamtos tyrimas yra vaisingiausių matematikos atradimų šaltinis. J. Furjė
Seka, linkusi į nulį, vadinama be galo maža. Begalinės mažumos sąvoka gali būti naudojama kaip pagrindas bendram sekos ribos apibrėžimui, nes sekos riba yra lygi tada ir tik tada, kai ją galima pavaizduoti kaip sumą , kur yra begalinė.
Nagrinėjamos sekos yra be galo mažos. Seka , kaip matyti iš (2), skiriasi nuo 1 be galo maža, todėl šios sekos riba yra 1.
Be galo didelės sekos sąvoka taip pat turi didelę reikšmę matematinėje analizėje. Sakoma, kad seka yra be galo didelė, jei seka yra be galo maža. Be galo didelė seka parašyta forma arba , ir sakoma, kad ji „linkusi į begalybę“. Štai be galo didelių sekų pavyzdžiai:
Pabrėžiame, kad be galo didelė seka neturi ribų.
Panagrinėkime sekas ir . Galima apibrėžti sekas su bendrais terminais , ir (jei). Galioja tokia teorema, kuri dažnai vadinama aritmetinių operacijų su ribomis teorema: jei sekos konvergencinės, tai galioja ir sekos , , , ir lygybės:
Pastaruoju atveju, be visų sekos sąlygų, kurios skiriasi nuo nulio, būtina reikalauti, kad sąlyga būtų įvykdyta.
Taikant šią teoremą galima rasti daug ribų. Raskime, pavyzdžiui, sekos ribą su bendru ir nedidėjančiu terminu. Visiškai akivaizdu, kad ši seka turi tam tikrą skaičių, kuris yra mažesnis arba lygus . Matematinės analizės metu įrodoma teorema, kad nemažėjanti ir ribojama aukščiau seka turi ribą (panašus teiginys galioja ir nedidėjančiai ir apribotai žemiau sekai). Ši nuostabi teorema suteikia pakankamai sąlygų ribos egzistavimui. Pavyzdžiui, iš to išplaukia, kad taisyklingų trikampių plotų seka, įrašyta į vienetinio spindulio apskritimą, turi ribą, nes ji monotoniškai didėja ir ribojama iš viršaus. Šios sekos riba pažymėta .
Naudojant monotoninės ribotos sekos ribą, nustatomas skaičius, kuris vaidina svarbų vaidmenį matematinėje analizėje - natūraliųjų logaritmų bazė:
.
Seka (1), kaip jau minėta, yra monotoniška ir, be to, apribota iš viršaus. Ji turi ribą. Mes galime lengvai rasti šią ribą. Jei jis lygus, tai skaičius turi tenkinti lygybę. Išspręsdami šią lygtį, gauname .
Apsvarstykite natūralių skaičių seką: 1, 2, 3, , n
– 1, n,
.
Jei pakeisime kiekvieną natūraliąjį skaičių nšioje serijoje tam tikru skaičiumi a n, vadovaudamiesi tam tikru dėsniu, gauname naują skaičių seką:
a 1 ,
a 2 ,
a 3, , a n –1 ,
a n ,
,
trumpai paskyrė ir paskambino skaitinė seka. Didumas a n vadinamas bendruoju skaičių sekos nariu. Dažniausiai skaičių seka pateikiama kokia nors formule a n
= f(n) leidžia rasti bet kurį sekos narį pagal jo numerį n; ši formulė vadinama bendrojo termino formule. Atkreipkite dėmesį, kad ne visada įmanoma apibrėžti skaitinę seką naudojant bendrojo termino formulę; kartais seka nurodoma aprašant jos narius.
Pagal apibrėžimą seka visada turi begalinį elementų skaičių: bet kurie du skirtingi elementai skiriasi bent savo skaičiais, kurių yra be galo daug.
Skaičių seka yra ypatingas funkcijos atvejis. Seka yra funkcija, apibrėžta natūraliųjų skaičių aibėje ir paimanti reikšmes realiųjų skaičių aibėje, t. y. formos funkcija f
: N
R.
Pasekmė
paskambino didėja(mažėja), jei yra n N
Tokios sekos vadinamos griežtai monotoniškas.
Kartais patogu skaičiais naudoti ne visus natūraliuosius skaičius, o tik kai kuriuos iš jų (pavyzdžiui, natūraliuosius skaičius, prasidedančius nuo kokio nors natūraliojo skaičiaus n 0). Numeravimui taip pat galima naudoti ne tik natūraliuosius skaičius, bet ir kitus skaičius, pvz. n= 0, 1, 2, (čia nulis pridedamas kaip kitas skaičius prie natūraliųjų skaičių aibės). Tokiais atvejais, nurodydami seką, nurodykite, kokias reikšmes turi skaičiai n.
Jei tam tikra seka bet kuriai n N
tada seka vadinama nemažėjantis(nedidėjantis). Tokios sekos vadinamos monotoniškas.
1 pavyzdys
.
Skaičių seka 1, 2, 3, 4, 5, ... yra natūraliųjų skaičių serija ir turi bendrą terminą a n
= n.
2 pavyzdys
.
Skaičių seka 2, 4, 6, 8, 10, ... yra lyginių skaičių serija ir turi bendrą terminą a n
= 2n.
3 pavyzdys
.
1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … – skaitinė apytikslių reikšmių seka, kurios tikslumas didėja.
Paskutiniame pavyzdyje neįmanoma pateikti bendros sekos termino formulės.
4 pavyzdys
.
Parašykite pirmuosius 5 skaičių sekos narius naudodami bendrąjį terminą
. Norėdami apskaičiuoti a 1 reikalingas bendrojo termino formulėje a n vietoj n skaičiuoti pakeiskite 1 a 2 − 2 ir tt Tada turime:
6 testas
.
Bendras sekos 1, 2, 6, 24, 120, narys yra:
1)
2)
3)
4)
7 testas
.
yra:
1)
2)
3)
4)
8 testas
.
Bendras sekos narys
yra:
1)
2)
3)
4)
Skaičių sekos riba
Apsvarstykite skaičių seką, kurios bendras terminas artėja prie kažkokio skaičiaus A kai didėja serijos numeris n. Šiuo atveju sakoma, kad skaičių seka turi ribą. Ši sąvoka turi griežtesnį apibrėžimą.
Skaičius A vadinama skaičių sekos riba
:
(1)
jei bet kuriam > 0 yra toks skaičius n 0
= n 0 (), priklausomai nuo , kuris
adresu n
> n 0 .
Šis apibrėžimas reiškia A yra skaičių sekos riba, jei jos bendras terminas artėja be apribojimų A didėjant n. Geometriškai tai reiškia, kad bet kuriam > 0 galima rasti tokį skaičių n 0 , kuris, pradedant nuo n
> n 0 , visi sekos nariai yra intervale ( A
– ,
A+ ). Vadinama seka, turinti ribą susiliejantis; kitaip - skiriasi.
Skaičių seka gali turėti tik vieną tam tikro ženklo ribą (baigtinę arba begalinę).
5 pavyzdys
.
Harmoninė seka 
turi ribinį skaičių 0. Iš tiesų, bet kuriam intervalui (–; +) kaip skaičius N 0 gali būti bet koks sveikasis skaičius, didesnis už . Tada visiems n
> n 0 > turime
6 pavyzdys
.
Seka 2, 5, 2, 5, yra divergentinė. Iš tiesų, jokiame intervale, kurio ilgis yra mažesnis už, pavyzdžiui, vieną, negali būti visi sekos nariai, pradedant nuo tam tikro skaičiaus.
Seka vadinama ribotas, jei toks skaičius yra M, Ką
visiems n. Kiekviena konverguojanti seka yra ribojama. Kiekviena monotoniška ir ribota seka turi ribą. Kiekviena konvergentinė seka turi unikalią ribą.
7 pavyzdys
.
Pasekmė
didėja ir ribota. Ji turi ribą
=e.
Skaičius e paskambino Eulerio numeris ir apytiksliai lygus 2,718 28.
9 testas
.
1, 4, 9, 16, seka yra tokia:
1) konvergentinis;
2) divergentinis;
3) ribotas;
10 testas
.
Pasekmė
yra:
1) konvergentinis;
2) divergentinis;
3) ribotas;
4) aritmetinė progresija;
5) geometrinė progresija.
11 testas
.
Pasekmė 
nėra:
1) konvergentinis;
2) divergentinis;
3) ribotas;
4) harmoninė.
Testas
12
.
Sekos riba, kurią suteikia bendrasis terminas
lygus.
