Bendrosios tikimybės formulė: teorija ir problemų sprendimo pavyzdžiai Pradžia Praktiškai taikant tikimybių teoriją, dažnai susiduriama su problemomis, kai tas pats eksperimentas ar panašūs eksperimentai kartojami pakartotinai. Dėl kiekvieno eksperimento koks nors įvykis gali pasirodyti arba nepasireikšti, ir mus domina ne kiekvieno atskiro eksperimento rezultatas, o bendras įvykio atvejų skaičius, kaip eksperimentų serijos rezultatas. Pavyzdžiui, jei į tą patį taikinį paleidžiama šūvių grupė, dažniausiai mus domina ne kiekvieno šūvio rezultatas, o bendras pataikymų skaičius. IN
panašias užduotis reikalauja gebėjimo nustatyti bet kokio tam tikro skaičiaus įvykio tikimybę, atlikus eksperimentų seriją. Tokios užduotys bus aptariamos šiame skyriuje. Jas galima gana paprastai išspręsti tuo atveju, kai eksperimentai yra nepriklausomi. Keli eksperimentai vadinami nepriklausomais, jei kiekvieno eksperimento vienokių ar kitokių rezultatų tikimybė nepriklauso nuo to, kokius rezultatus turėjo kiti eksperimentai. Pavyzdžiui, keli iš eilės monetų metimai sudaro nepriklausomus eksperimentus. Keli nuoseklūs kortos išėmimai iš kaladės yra nepriklausomi eksperimentai, su sąlyga, kad išimta korta kiekvieną kartą grąžinama į kaladę ir kortos sumaišomos; kitu atveju tai yra priklausomi išgyvenimai. Keli šūviai yra nepriklausomi eksperimentai tik tuo atveju, jei taikymas atliekamas iš naujo prieš kiekvieną šūvį; tuo atveju, kai taikymas atliekamas vieną kartą prieš visą šaudymą arba nepertraukiamai šaudymo proceso metu (šaudymas serijomis, bombardavimas serijomis), šūviai yra priklausomi eksperimentai. Nepriklausomi eksperimentai gali būti atliekami tame pačiame arba skirtingos sąlygos. Pirmuoju atveju įvykio tikimybė keičiasi nuo patirties iki patirties. Pirmajam atvejui taikoma konkreti teorema, o antrajam -
bendroji teorema
Sprendimas. Pažymime įvykį, kai į taikinį pataikė lygiai du sviediniai. Šis įvykis gali įvykti trimis būdais:
1) pataikyti pirmu šūviu, pataikyti antruoju, nepataikyti trečiuoju;
2) pataikyti pirmu šūviu, nepataikyti antruoju, pataikyti trečiu;
3) nepataikyti į pirmąjį šūvį, pataikyti antruoju, pataikyti trečiu.
Todėl įvykis gali būti pavaizduotas kaip įvykių produktų suma:
kur - pataikyti atitinkamai pirmuoju, antruoju, trečiu šūviu, - nepataikyti į pirmąjį, antrąjį, trečiąjį šūvius.
Atsižvelgiant į tai, kad trys išvardyti įvykio variantai yra nesuderinami, o į sandaugą įtraukti įvykiai yra nepriklausomi, naudodamiesi sudėties ir daugybos teorema gauname:
arba reiškia ,
Panašiai, išvardijant visus galimi variantai, kuriame gali pasirodyti mus dominantis įvykis duotas numeris kartų, galime išspręsti šią bendrą problemą.
Atliekami nepriklausomi eksperimentai, kurių kiekviename gali atsirasti koks nors įvykis arba nepasireikšti; kiekvieno eksperimento įvykio tikimybė lygi , o neįvykimo tikimybė yra . Turime rasti tikimybę, kad įvykis šiuose eksperimentuose pasirodys tiksliai vieną kartą.
Apsvarstykime įvykį, kai eksperimentuose įvykis pasirodys tiksliai vieną kartą. Šis įvykis gali išsipildyti įvairiais būdais. Išskaidykime įvykį į įvykių sandaugų, susidedančių iš įvykio atsiradimo arba nepasirodymo atskirame potyryje, sumą. Įvykio atsiradimą pažymėsime i-ajame eksperimente; - įvykio neįvykimas i-ajame eksperimente.
Akivaizdu, kad kiekvienas įvykio atsiradimo variantas (kiekvienas sumos narys) turi susidėti iš m įvykio ir neįvykio atvejų, t.y. iš įvykių ir įvykių su skirtingais indeksais. Taigi,
Be to, kiekviename kūrinyje įvykis turi pasirodyti vieną kartą, bet turi pasirodyti vieną kartą.
Visų tokio pobūdžio derinių skaičius yra lygus, t.y. būdų, kuriais galima pasirinkti iš eksperimentų, kuriuose įvyko įvykis, skaičius. Kiekvieno tokio derinio tikimybė pagal nepriklausomų įvykių daugybos teoremą yra lygi . Kadangi deriniai yra nesuderinami vienas su kitu, tai pagal sudėjimo teoremą įvykio tikimybė yra lygi
Formulė visa tikimybe leidžia rasti įvykio tikimybę A, kuris gali atsirasti tik su kiekvienu iš n vienas kitą paneigiantys įvykiai, kurie sudaro užbaigtą sistemą, jei žinomos jų tikimybės, ir sąlyginės tikimybės įvykius A kiekvieno iš sistemos įvykių yra lygūs.
Įvykiai taip pat vadinami hipotezėmis; Todėl literatūroje taip pat galite rasti jų žymėjimą ne raide B, ir laiškas H(hipotezė).
Norint išspręsti problemas su tokiomis sąlygomis, būtina atsižvelgti į 3, 4, 5 arba bendras atvejis nįvykio galimybę A– su kiekvienu renginiu.
Naudodami tikimybių sudėties ir daugybos teoremas, gauname kiekvieno iš sistemos įvykių tikimybės sandaugų sumą sąlyginė tikimybė įvykius A apie kiekvieną sistemos įvykį. Tai yra įvykio tikimybė A galima apskaičiuoti naudojant formulę
arba apskritai
,
kuris vadinamas bendrosios tikimybės formulė .
Bendrosios tikimybės formulė: problemų sprendimo pavyzdžiai
1 pavyzdys. Yra trys identiškos išvaizdos urnos: pirmoji turi 2 baltus rutulius ir 3 juodus, antroji – 4 baltus ir vieną juodą, trečioje – tris baltus kamuoliukus. Kažkas atsitiktinai prieina prie vienos iš urnų ir išima iš jos vieną rutulį. Pasinaudodamas bendrosios tikimybės formulė, suraskite tikimybę, kad šis rutulys bus baltas.
Sprendimas. Renginys A- balto rutulio išvaizda. Mes pateikiame tris hipotezes:
Parenkama pirmoji urna;
Parenkama antra urna;
Parenkama trečioji urna.
Sąlyginės įvykio tikimybės A apie kiekvieną iš hipotezių:
,
,
.
Taikome bendrosios tikimybės formulę, todėl gauname reikiamą tikimybę:
.
2 pavyzdys. Pirmoje gamykloje iš 100 lempučių vidutiniškai pagaminama 90 standartinių lempučių, antroje - 95, trečioje - 85, o šių gamyklų produkcija sudaro atitinkamai 50%, 30% ir 20% visų tam tikroje vietovėje esančioms parduotuvėms tiekiamų lempučių. Raskite tikimybę įsigyti standartinę lemputę.
Sprendimas. Tikimybę įsigyti standartinę lemputę pažymėkime A, ir įvykiai, kai įsigyta lemputė buvo pagaminta atitinkamai pirmoje, antroje ir trečioje gamyklose per . Pagal sąlygą žinomos šių įvykių tikimybės: , , ir sąlyginės įvykio tikimybės A apie kiekvieną iš jų: 
,
,
. Tai yra tikimybė įsigyti standartinę lemputę, jei ji buvo pagaminta atitinkamai pirmoje, antroje ir trečioje gamyklose.
Renginys Aįvyks, jei įvyks įvykis K- lemputė pagaminta pirmoje gamykloje ir yra standartinė, arba renginys L- lemputė gaminama antroje gamykloje ir yra standartinė, arba renginys M- lemputė buvo pagaminta trečioje gamykloje ir yra standartinė. Kitos įvykio galimybės A Nr. Todėl renginys A yra įvykių suma K, L Ir M, kurios yra nesuderinamos. Naudodamiesi tikimybių sudėjimo teorema, įsivaizduojame įvykio tikimybę A formoje
o tikimybių daugybos teorema gauname
tai yra ypatingas atvejis bendrosios tikimybės formulės.
Keičiama į kairėje pusėje tikimybių reikšmių formules, gauname įvykio tikimybę A :
3 pavyzdys. Lėktuvas leidžiasi aerodrome. Jei oras leidžia, pilotas nuleidžia lėktuvą, be prietaisų, pasitelkdamas ir vizualinį stebėjimą. Šiuo atveju saugaus nusileidimo tikimybė yra lygi . Jei aerodromą dengia žemi debesys, tada pilotas nusileidžia lėktuvą, vadovaudamasis tik instrumentais. Šiuo atveju saugaus nusileidimo tikimybė lygi; . Prietaisai, užtikrinantys aklą nusileidimą, yra patikimi (tikimybė, kad veiks be gedimų) P. Esant žemiems debesims ir nepavykusiems aklo nusileidimo instrumentams, sėkmingo nusileidimo tikimybė lygi; . Statistika rodo, kad m k% tūpimų aerodromą dengia žemi debesys. Rasti bendroji įvykio tikimybė A- saugus lėktuvo nusileidimas.
Sprendimas. Hipotezės:
Žemų debesų nėra;
Yra žemi debesys.
Šių hipotezių (įvykių) tikimybės:
;
Sąlyginė tikimybė.
Sąlyginę tikimybę vėl rasime naudodami bendrosios tikimybės formulę su hipotezėmis
Aklieji nusileidimo įrenginiai veikia;
Sugedo aklieji nusileidimo instrumentai.
Šių hipotezių tikimybės:
Pagal bendrosios tikimybės formulę
4 pavyzdys. Prietaisas gali veikti dviem režimais: normaliu ir nenormaliu. Įprastas režimas stebimas 80% visų prietaiso veikimo atvejų, o nenormalus režimas - 20% atvejų. Įrenginio gedimo tikimybė per tam tikrą laiką t lygus 0,1; nenormalus 0,7. Rasti visa tikimybeįrenginio gedimas laikui bėgant t.
Sprendimas. Dar kartą pažymime įrenginio gedimo tikimybę A. Taigi, kalbant apie įrenginio veikimą kiekviename režime (įvykyje), tikimybės yra žinomos pagal sąlygą: normaliam režimui tai yra 80% (), nenormaliam režimui - 20% (). Įvykio tikimybė A(ty įrenginio gedimas), priklausomai nuo pirmojo įvykio (įprastas režimas), yra lygus 0,1 (); priklausomai nuo antrojo įvykio (nenormalus režimas) - 0,7 ( 
). Šias reikšmes pakeičiame bendrosios tikimybės formule (tai yra kiekvieno sistemos įvykio tikimybės sandaugų suma sąlygine įvykio tikimybe A apie kiekvieną sistemos įvykį) ir prieš mus yra reikiamas rezultatas.
Įvykio tikimybės ir statistinio skirstinio nustatymas
1 užduotis
Dėžutėje sumaišytos lemputės tokio pat dydžio ir formos: 150 W - 8 vnt. ir 100 W - 13. Atsitiktinai iš dėžutės buvo išimtos trys lempos. Raskite tikimybę, kad tarp jų:
a) tik viena 150 W lempa; b) dvi 150 W lempos;
c) bent dvi 150 W lempos; d) bent viena 150 W lempa;
f) visos lempos yra vienodos galios.
a) įvykis F1 - iš trijų atsitiktinai paimtų lempų tik viena bus 150 W:
b) įvykis F2 - iš trijų atsitiktinai paimtų lempų dvi lempos bus po 150 W:
c) įvykis F3 - iš trijų atsitiktinai paimtų lempų bent 2 bus 150 W:
d) įvykis F4 – iš trijų atsitiktinai paimtų dalių bus bent viena 150 W lempa:
e) įvykis F5 – iš trijų atsitiktinai paimtų lempų visos trys bus vienodos galios
2 užduotis
Į orlaivį paleidžiami trys nepriklausomi šūviai. Pataikymo tikimybė pirmuoju šūviu yra 0,4, antruoju - 0,5, trečiuoju - 0,6. Norint išjungti orlaivį, pakanka trijų smūgių. Su dviem pataisymais nepavyksta su 0,7 tikimybe, su vienu smūgiu - su 0,4 tikimybe.
1. Raskite tikimybę, kad lėktuvas bus išjungtas dėl trijų šūvių.
2. Dėl trijų šūvių lėktuvas nebuvo išjungtas. Kiek pataikymų greičiausiai buvo lėktuve?
1) Apsvarstykite hipotezes:
H1 – iš trijų smūgių nebus pataikavimo
H2 – iš trijų šūvių bus tiksliai vienas smūgis
H3 – iš trijų šūvių bus du pataikymai
H4 - iš trijų šūvių bus trys pataikymai
ir renginys
F – lėktuvas bus išjungtas.
Nes lėktuvas nebuvo neįgalus, t.y. įvykis F, tada hipotezių tikimybės bus nustatytos naudojant Bayes formulę
0,121+0,380,6+0,380,3+0,120=0,462
Taigi greičiausiai lėktuvas buvo nukentėjęs vieną kartą.
3 užduotis
N mieste statistikos duomenimis, per metus veiklą nutraukia vidutiniškai 18 proc.
1. Kokia tikimybė, kad iš 6 atsitiktinai atrinktų naujų įmonių N mieste iki veiklos metų pabaigos išliks:
a) lygiai 4; b) 4; c) mažiau nei 4; d) bent viena įmonė?
2. Apskaičiuokite tikimybę, kad iš šimto naujai atidarytų įmonių N mieste iki metų pabaigos nustos veikti:
a) 15; b) ne mažiau kaip 15; c) ne daugiau kaip 21; d) ne mažiau kaip 13, bet ne daugiau kaip 23 įmonės.
n=6q=0,18p=1-q=1-0,18=0,82
n reikšmė<10, поэтому для расчетов воспользуемся формулой Бернулли:
a) liks lygiai 4 įmonės:
b) išliks daugiau nei 4 įmonės:
P (daugiau nei 4) = P6 (5; 6) = P6 (5) + P6 (6)
P (daugiau nei 4) = 0,4004 + 0,304 = 0,7044
c) liks mažiau nei 4 įmonės:
P(mažiau nei 4)=1-P(bent 4)=1-P6(4;6)=1-(0,2197+0,4004+0,304)=0,0759
d) liks bent viena įmonė
P(bent 1)=1-P(nėra)=1-P6(0)=1-0,186=0,999966
n=100p=0,18q=0,82
Reikšmė n=100 yra gana didelė, todėl skaičiavimams naudosime lokalią ir integralinę Laplaso formules:
a) lygiai 15 įmonių nutrauks savo veiklą:
kur ir (x) yra vietinė Laplaso funkcija
Iš lentelės tai matome
(-0,78)=(0,78)=0,2943,
b) veiklą nutrauks ne mažiau kaip 15 įmonių, t.y. nuo 15 iki 100:
Pn(k1;k2)Ф(x2)-Ф(x1),
kur ir ir Ф(x) yra Laplaso integralinė funkcija
Iš funkcijų reikšmių lentelės Ф(x) matome, kad Ф(-0.78)=-Ф(0.78)=-0.2823, o Ф(21.34)=0.5, P100(15;100) 0.5+0.2823=0.7823
c) veiklą nutrauks ne daugiau kaip 21 įmonė: t.y. nuo 0 iki 21:
Iš funkcijų reikšmių lentelės Ф(x) matome, kad Ф(-4.69)=-Ф(4.69)=-0.499999 ir Ф(0.78)=0.2823, P100(0;21) 0.2823+0.499999=0.7822
d) veiklą nutrauks ne mažiau kaip 13, bet ne daugiau kaip 23 įmonės:
Iš funkcijų reikšmių lentelės Ф(x) matome, kad Ф(1,3)=0,4032,
P100(13;23)0,4032+0,4032=0,8064
4 užduotis
Du buhalteriai savarankiškai pildo vienodas ataskaitas. Pirmasis buhalteris klaidų padaro vidutiniškai 8%, antrasis – 12% visų dokumentų. Pirmojo buhalterio užpildytų išrašų skaičius yra 1, antrojo - 2. Atsitiktinis dydis (r.v.) - tai dviejų buhalterių be klaidų užpildytų išrašų skaičius.
1. Sudarykite r.v skirstinių seriją. ir pateikti jį grafiškai.
3. Apskaičiuokite matematinis lūkestis(vidurkis) M, dispersija
D ir vidutinis kvadratinis (standartinis) nuokrypis ().
4. Nustatykite tikimybes: a) P; b) P; c) P
1) Nustatykime galimas atsitiktinio dydžio X reikšmes ir jų tikimybes:
X = 0: 0,920,882 = 0,712448
X=1: 0,080,882+0,92(0,120,88+0,880,12)=0,256256
X=2: 0,920,122+0,08(0,120,88+0,880,12)=0,030144
X = 3: 0,080,122 = 0,001152
Egzaminas:
0,712488+0,256256+0,030144+0,001152=1
Užrašykime paskirstymo serijas
Grafiškai pavaizduokime pasiskirstymo seriją daugiakampio pavidalu
2) Sukurkime paskirstymo funkciją:
Nubraižykime paskirstymo funkciją
3) Matematiniai lūkesčiai ir dispersija nustatomi pagal formulę:
D(X)=0,3872-0,322=0,2848
4) Raskite reikiamas tikimybes:
P(X Р(XMX+1)=1-Р(X<1,32)=1-F(1,32)=1-0,968704=0,031296 P(-0,2137 5 užduotis Tarp dviejų gyvenviečių, esančių L = 9 km atstumu viena nuo kitos, kursuoja autobusas su sustojimais pagal poreikį bet kur. Atstumas (km), kurį nuvažiuoja tam tikras keleivis, įlipęs į autobusą maršruto pradžioje, yra atsitiktinis su pasiskirstymo tankiu 1. Nustatykite nežinomą konstantą C ir nubraižykite funkciją p(x). 2. Raskite r.v pasiskirstymo funkciją. ir sudaryti jo grafiką. 3. Apskaičiuokite matematinę lūkesčius (vidutinę reikšmę) M, dispersiją D ir standartinį nuokrypį (). 4. Kiek kartų išlipimų skaičius nuo maršruto pradžios iki vidurinės keleivio kelionės vietos yra didesnis nei išlipimų skaičius nuo šios vietos iki autobuso maršruto pabaigos? 1) Norėdami rasti konstantą C, naudojame pasiskirstymo tankio savybę: Nubraižykime pasiskirstymo tankį 2) Raskite paskirstymo funkciją a) jei x<0, то F(x)=0, т.к. значений, меньших 0, случайная величина не принимает. b) jei 0x<9, то c) jei x>3, tai dėl pasiskirstymo tankio savybės Galiausiai gauname: Nubraižykime F(x): 3) matematinė viltis apskaičiuojama pagal formulę Nuokrypis apskaičiuojamas pagal formulę: DX=24,3-4,52=4,05 Vidutinis standartinis nuokrypis lygus: P(X P(XMX)=1-P(X Tie. išlipimų skaičius nuo maršruto pradžios iki vidurinės keleivio kelionės vietos ir išlipimų skaičius nuo šios vietos iki autobuso maršruto pabaigos yra lygus. 6 užduotis Gabenant krovinius sraigtasparniais, naudojami kabeliai, pagaminti iš sintetinių medžiagų pagal naujas chemines technologijas. Atlikus 25 kabelio tempimo bandymus, gauti šie duomenys (tonomis): 2.948 , 3.875, 5.526, 5.422, 4.409, 4.314, 5.150, 2.451, 5.226, 4.105, 3.280, 5.732, 3.249, 3.408, 7.204, 5.174, 6.222, 5.276, 5.853, 4.420, 6.525, 2.127, 5.264, 4.647, 5.591 Būtina: 1. Nustatykite tiriamą charakteristiką ir jos tipą (diskrečią arba tolydę). 2. Atsižvelgdami į požymio tipą, sukurkite santykinių dažnių daugiakampį arba histogramą. 3. Remdamiesi vizualine daugiakampio analize (histograma), suformuluokite hipotezę apie tiriamos charakteristikos pasiskirstymo dėsnį. 4. Apskaičiuokite charakteristikos imties charakteristikas: vidurkį, dispersiją ir standartinį nuokrypį. 5. Naudodami Pirsono chi kvadrato tinkamumo testą, patikrinkite, ar imties duomenys atitinka 3 dalyje pateiktą pasiskirstymo dėsnį, kai reikšmingumo lygis yra 0,01. 6. Bendrajam vidurkiui ir dispersijai sudaryti pasikliautinuosius intervalus, atitinkančius 0,99 pasikliautinumo tikimybę. 7. Su 0,99 patikimumu patikrinkite lygybės hipotezę: a) bendroji vidutinė reikšmė 5C; b) bendroji dispersijos reikšmė C 2, kur C = 1,09. Pavyzdinės vertės pagal darbo parinktį 1. Atributo tipas yra tęstinis, nes atsitiktinis dydis gali gauti bet kokią reikšmę iš tam tikro intervalo. 2. Sukurkime santykinių dažnių histogramą. Nustatykime intervalų skaičių: kur n yra reikšmių skaičius, o k yra intervalų skaičius. IN šiuo atveju yra 25 reikšmės, taigi intervalų skaičius yra toks: k=1+1,44ln 25 5.6. Tarkime, kad intervalų skaičius yra 5. Nustatykime vieno intervalo dydį: Nustatykime santykinius kiekvieno intervalo dažnius. Patogu atlikti skaičiavimus lentelėje Sukurkime histogramą 3. Remdamiesi vizualine analize, galime iškelti hipotezę apie charakteristikos pasiskirstymą pagal normalųjį dėsnį. 4. Nustatykime tiriamo požymio imties charakteristikas. a) imties vidurkis: b) imties dispersija: c) imties standartinis nuokrypis 5. Patikrinkime hipotezę, kad imties duomenys atitinka normalųjį skirstinį Nustatykime intervalų galus pagal formulę, kuriai sukursime lentelę Raskime teorines tikimybes pi ir teorinius dažnius. Skaičiavimo rezultatus rašysime į lentelę Apskaičiuokime pastebėtą Pirsono kriterijaus reikšmę. Norėdami tai padaryti, sukurkime lentelę: Remdamiesi reikšmingumo lygiu =0,01 ir laisvės laipsnių skaičiumi k=n-3=5-3=2, iš kritinių taškų lentelės randame: =9,2 Nes , tada nėra pagrindo atmesti hipotezę apie normalų plyšimo kritinės masės pasiskirstymą. 6. Sudarykite bendrojo vidurkio ir bendrosios dispersijos pasikliautinąjį intervalą Didžiausia vidurkio atrankos paklaida apskaičiuojama pagal formulę: čia t yra pasikliovimo koeficientas, kuris priklauso nuo tikimybės, su kuria bus pateiktas teiginys. Pasitikėjimo koeficientas randamas iš santykio 2Ф(t)=p, kur Ф(х) yra Laplaso integralo funkcija. Pagal sąlygą p=0,99, Ribos, į kurias patenka bendras vidurkis, pateikiamos nelygybėmis: 5,1225–0,7034–5,1225 + 0,7034 Raskime dispersijos intervalo įvertinimą: Pagal kritinių skirstinio taškų lentelę nustatome, kad =42,98, a =10,86, tada dispersijos pasikliautinasis intervalas bus: a) patikrinkime hipotezę, kad bendras vidurkis lygus 5,45. Mes keliame hipotezes: Nes populiacijos dispersija nežinoma, tada apskaičiuojame išraišką Naudodamiesi Studento kritinių taškų verčių lentele, randame kritinę vertę tcr(;n-1)=tcr(0,01;24)=2,8 Nes 1.201<2,8, то нет оснований отклонить гипотезу о равенстве генеральной средней значению 5,45. b) Patikrinkime hipotezę, kad bendroji dispersija lygi 1,1881. Mes keliame hipotezes: Apskaičiuokite išraišką Naudodamiesi Chi kvadrato skirstinio kritinių taškų verčių lentele, randame kritinę reikšmę (;n-1)=(0,01;24)=43 Nes 37.5<43, то нет оснований отклонить гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 1,1881. Nuorodos tikimybė statistinė dispersija matematinis 1. Gmurmanas V.E. Tikimybių teorijos ir matematinės statistikos problemų sprendimo vadovas: Vadovėlis universiteto studentams. - M.: Aukštoji mokykla, 2002 m. 2. Semenovas A.T. Tikimybių teorija ir matematinė statistika: Edukacinis ir metodinis kompleksas. - Novosibirskas: NGAEiU, 2003 m.
