Pirmas lygis

Aritmetinė progresija. Išsami teorija su pavyzdžiais (2019 m.)

Skaičių seka

Taigi, atsisėskime ir pradėkime rašyti keletą skaičių. Pavyzdžiui:
Galite rašyti bet kokius skaičius, o jų gali būti tiek, kiek norite (mūsų atveju jų yra). Kad ir kiek skaičių berašytume, visada galime atskirti, kuris pirmas, kuris antras ir taip iki paskutinio, tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys:

Skaičių seka
Pavyzdžiui, mūsų seka:

Priskirtas numeris būdingas tik vienam sekos numeriui. Kitaip tariant, sekoje nėra trijų sekundžių skaičių. Antrasis skaičius (kaip ir antrasis) visada yra tas pats.
Skaičius su skaičiumi vadinamas sekos nariu.

Paprastai visą seką vadiname kokia nors raide (pavyzdžiui,), ir kiekvienas šios sekos narys yra ta pati raidė, kurios indeksas yra lygus šio nario skaičiui: .

Mūsų atveju:

Tarkime, turime skaičių seka, kuriame gretimų skaičių skirtumas yra vienodas ir lygus.
Pavyzdžiui:

ir tt
Ši skaičių seka vadinama aritmetine progresija.
Terminą „progresacija“ romėnų autorius Boethius įvedė dar VI amžiuje ir jis buvo suprantamas plačiau. plačiąja prasme, kaip begalinė skaičių seka. Pavadinimas „aritmetika“ buvo perkeltas iš ištisinių proporcijų teorijos, kurią tyrinėjo senovės graikai.

Tai skaičių seka, kurios kiekvienas narys yra lygus ankstesniam, pridėtam prie to paties skaičiaus. Šis skaičius vadinamas skirtumu aritmetinė progresija ir yra paskirtas.

Pabandykite nustatyti, kurios skaičių sekos yra aritmetinė progresija, o kurios ne:

a)
b)
c)
d)

Supratau? Palyginkime savo atsakymus:
Is aritmetinė progresija - b, c.
Nėra aritmetinė progresija - a, d.

Grįžkime prie duotosios progresijos () ir pabandykime rasti jos nario reikšmę. Egzistuoja du būdas jį rasti.

1. Metodas

Progresijos skaičių galime pridėti prie ankstesnės reikšmės, kol pasieksime tąjį progresijos narį. Gerai, kad neturime daug ką apibendrinti – tik trys vertybės:

Taigi aprašytos aritmetinės progresijos narys yra lygus.

2. Metodas

Ką daryti, jei mums reikėtų rasti progresijos tosios nario vertę? Sumavimas užtruktų ne vieną valandą, ir tai nėra faktas, kad nesuklystume sudėdami skaičius.
Žinoma, matematikai sugalvojo būdą, kaip nebūtina pridėti aritmetinės progresijos skirtumo prie ankstesnės reikšmės. Atidžiau pažvelkite į nupieštą paveikslėlį... Tikrai jau pastebėjote tam tikrą raštą, būtent:

Pavyzdžiui, pažiūrėkime, iš ko susideda šios aritmetinės progresijos n-ojo nario reikšmė:


Kitaip tariant:

Pabandykite tokiu būdu patys rasti tam tikros aritmetinės progresijos nario vertę.

Ar paskaičiavai? Palyginkite savo pastabas su atsakymu:

Atkreipkite dėmesį, kad gavote lygiai tokį patį skaičių kaip ir ankstesniame metode, kai prie ankstesnės reikšmės nuosekliai pridėjome aritmetinės progresijos terminus.
Pabandykime „nuasmeninti“ šią formulę- Sudėkime tai bendra forma ir gaukime:

Aritmetinė progresija gali didėti arba mažėti.

Didėja- progresija, kurioje kiekviena paskesnė terminų reikšmė yra didesnė už ankstesnę.
Pavyzdžiui:

Mažėjantis- progresija, kurioje kiekviena paskesnė terminų reikšmė yra mažesnė už ankstesnę.
Pavyzdžiui:

Išvestinė formulė naudojama skaičiuojant terminus tiek didėjančiais, tiek mažėjančiais aritmetinės progresijos nariais.
Patikrinkime tai praktiškai.
Pateikiame aritmetinę progresiją, kurią sudaro šie skaičiai: Patikrinkime, koks bus šios aritmetinės progresijos skaičius, jei jį apskaičiuoti naudosime savo formule:

Nuo tada:

Taigi, esame įsitikinę, kad formulė veikia tiek mažėjant, tiek didėjant aritmetinei progresijai.
Pabandykite patys rasti šios aritmetinės progresijos angą ir angą.

Palyginkime rezultatus:

Aritmetinės progresijos savybė

Sudėtingukime uždavinį – išvesime aritmetinės progresijos savybę.
Tarkime, kad mums suteikiama tokia sąlyga:
- aritmetinė progresija, raskite reikšmę.
Lengva, sakai ir pradedi skaičiuoti pagal jau žinomą formulę:

Leisk, ai, tada:

Visiškai teisus. Pasirodo, pirmiausia randame, tada pridedame prie pirmojo skaičiaus ir gauname tai, ko ieškome. Jei progresija vaizduojama mažomis reikšmėmis, tame nėra nieko sudėtingo, bet kas, jei sąlygoje mums pateikiami skaičiai? Sutikite, yra galimybė padaryti klaidą skaičiavimuose.
Dabar pagalvokite, ar įmanoma išspręsti šią problemą vienu žingsniu naudojant bet kokią formulę? Žinoma, taip, ir tai dabar pabandysime atskleisti.

Reikalingą aritmetinės progresijos narį pažymėkime taip, kaip mums žinoma jo radimo formulė – tai ta pati formulė, kurią išvedėme pradžioje:
, Tada:

• ankstesnis progresavimo terminas yra:
• kitas progresavimo terminas yra:

Apibendrinkime ankstesnes ir paskesnes progresavimo sąlygas:

Pasirodo, kad ankstesnių ir paskesnių progresijos narių suma yra dviguba tarp jų esančio progresijos nario reikšmė. Kitaip tariant, rasti progresijos nario reikšmę, atsižvelgiant į žinomą ankstesnį ir nuoseklios vertės, turite juos sudėti ir padalyti iš.

Teisingai, mes gavome tą patį numerį. Apsaugokime medžiagą. Apskaičiuokite progreso vertę patys, tai visai nėra sunku.

Šauniai padirbėta! Jūs žinote beveik viską apie progresą! Belieka išsiaiškinti tik vieną formulę, kurią, pasak legendos, nesunkiai išvedė vienas didžiausių visų laikų matematikų, „matematikų karalius“ – Karlas Gaussas...

Kai Carlui Gaussei buvo 9 metai, mokytojas, užsiėmęs kitų klasių mokinių darbų tikrinimu, klasėje uždavė tokią problemą: „Apskaičiuokite visų sumą. natūraliuosius skaičius nuo iki (pagal kitus šaltinius iki) imtinai“. Įsivaizduokite mokytojo nuostabą, kai vienas jo mokinys (tai buvo Karlas Gaussas) po minutės teisingai atsakė į užduotį, o dauguma drąsuolio klasės draugų po ilgų skaičiavimų gavo neteisingą rezultatą...

Jaunasis Carlas Gaussas pastebėjo tam tikrą modelį, kurį taip pat galite lengvai pastebėti.
Tarkime, kad turime aritmetinę progresiją, susidedančią iš -ųjų narių: Turime rasti šių aritmetinės progresijos narių sumą. Žinoma, galime rankiniu būdu susumuoti visas reikšmes, bet kas, jei užduočiai reikia rasti jos terminų sumą, kaip ieškojo Gaussas?

Pavaizduokime mums duotą progresą. Atidžiau pažvelkite į paryškintus skaičius ir pabandykite su jais atlikti įvairius matematinius veiksmus.


Ar bandėte? Ką pastebėjai? Teisingai! Jų sumos yra lygios

Dabar pasakykite man, kiek tokių porų iš viso yra mums pateiktoje progresijoje? Žinoma, lygiai pusė visų skaičių, tai yra.
Remdamiesi tuo, kad dviejų aritmetinės progresijos narių suma yra lygi, o panašios poros yra lygios, gauname, kad visas kiekis yra lygus:
.
Taigi bet kurios aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos formulė bus tokia:

Kai kuriose problemose mes nežinome termino, bet žinome progresijos skirtumą. Pabandykite pakeisti th nario formulę į sumos formulę.
Ką tu gavai?

Šauniai padirbėta! Dabar grįžkime prie uždavinio, kuris buvo užduotas Carlui Gaussui: patys apskaičiuokite, kam lygi skaičių, prasidedančių nuo th, suma ir skaičių, prasidedančių nuo th, suma.

Kiek gavai?
Gaussas nustatė, kad terminų suma yra lygi, o terminų suma. Ar taip nusprendėte?

Tiesą sakant, aritmetinės progresijos terminų sumos formulę dar III amžiuje įrodė senovės graikų mokslininkas Diofantas, ir per tą laiką sąmojingi žmonės visapusiškai pasinaudojo aritmetinės progresijos savybėmis.
Pavyzdžiui, įsivaizduokite Senovės Egiptas ir labiausiai didelio masto statyba tą kartą – piramidės statyba... Paveiksle pavaizduota viena jos pusė.

Sakysite, kur čia progresas? Atidžiai pažiūrėkite ir suraskite smėlio blokų skaičių kiekvienoje piramidės sienos eilutėje.


Kodėl gi ne aritmetinė progresija? Apskaičiuokite, kiek blokų reikia vienai sienai pastatyti, jei prie pagrindo dedamos blokinės plytos. Tikiuosi, neskaičiuosite judindami pirštu per monitorių, pamenate paskutinę formulę ir viską, ką sakėme apie aritmetinę progresiją?

IN tokiu atveju Progresas atrodo taip: .
Aritmetinės progresijos skirtumas.
Aritmetinės progresijos narių skaičius.
Pakeiskime savo duomenis į paskutines formules (blokų skaičių apskaičiuokite 2 būdais).

1 būdas.

2 metodas.

O dabar galite apskaičiuoti monitoriuje: palyginkite gautas vertes su mūsų piramidėje esančių blokų skaičiumi. Supratau? Puiku, jūs įvaldėte aritmetinės progresijos n-ųjų narių sumą.
Žinoma, jūs negalite statyti piramidės iš blokų prie pagrindo, bet iš? Pabandykite apskaičiuoti, kiek smėlio plytų reikia norint pastatyti sieną su tokia sąlyga.
Ar susitvarkei?
Teisingas atsakymas yra blokai:

Treniruotės

Užduotys:

1. Maša įgauna formą vasarai. Kiekvieną dieną ji padidina pritūpimų skaičių. Kiek kartų Maša darys pritūpimus per savaitę, jei pritūpimus padarė per pirmąją treniruotę?
2. Kokia yra visų nelyginių skaičių suma.
3. Laikydami rąstus, medkirčiai sukrauna juos taip, kad kiekvienas viršutinis sluoksnis yra vienu rąstu mažiau nei ankstesniame. Kiek rąstų yra viename mūre, jei mūro pamatas yra rąstai?

Atsakymai:

1. Apibrėžkime aritmetinės progresijos parametrus. Tokiu atveju
   (savaitės = dienos).

   Atsakymas: Per dvi savaites Maša turėtų daryti pritūpimus kartą per dieną.

2. Pirmas nelyginis skaičius, paskutinis numeris.
   Aritmetinės progresijos skirtumas.
   Nelyginių skaičių skaičius yra pusė, tačiau patikrinkime šį faktą naudodami formulę, skirtą aritmetinės progresijos namui rasti:

   Skaičiuose yra nelyginių skaičių.
   Pakeiskime turimus duomenis į formulę:

   Atsakymas: Visų nelyginių skaičių suma yra lygi.

3. Prisiminkime problemą dėl piramidžių. Mūsų atveju a , nes kiekvienas viršutinis sluoksnis sumažinamas vienu rąstu, tada iš viso yra krūva sluoksnių, tai yra.
   Pakeiskime duomenis į formulę:

   Atsakymas: Mūre yra rąstų.

Apibendrinkime

1. - skaičių seka, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus. Jis gali didėti arba mažėti.
2. Formulės radimas Trečiasis aritmetinės progresijos narys užrašomas formule - , kur yra skaičių skaičius progresijoje.
3. Aritmetinės progresijos narių savybė- - kur yra einančių skaičių skaičius.
4. Aritmetinės progresijos narių suma galima rasti dviem būdais:
   
   , kur yra reikšmių skaičius.

ARITMETINĖ PROGRESIJA. VIDUTINIS LYGIS

Skaičių seka

Susėskime ir pradėkime rašyti keletą skaičių. Pavyzdžiui:

Galite rašyti bet kokius skaičius ir jų gali būti tiek, kiek norite. Bet visada galime pasakyti, kuris pirmas, kuris antras ir t.t., tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys.

Skaičių seka yra skaičių rinkinys, kiekvienam iš kurių galima priskirti unikalų numerį.

Kitaip tariant, kiekvienas skaičius gali būti susietas su tam tikru natūraliu skaičiumi ir unikaliu. Ir mes nepriskirsime šio numerio jokiam kitam numeriui iš šio rinkinio.

Skaičius su skaičiumi vadinamas sekos nariu.

Paprastai visą seką vadiname kokia nors raide (pavyzdžiui,), ir kiekvienas šios sekos narys yra ta pati raidė, kurios indeksas yra lygus šio nario skaičiui: .

Labai patogu, jei sekos d-asis narys gali būti nurodytas kokia nors formule. Pavyzdžiui, formulė

nustato seką:

O formulė yra tokia seka:

Pavyzdžiui, aritmetinė progresija yra seka (pirmasis narys čia yra lygus, o skirtumas yra). Arba (, skirtumas).

N-ojo kadencijos formulė

Formulę vadiname pasikartojančia, kurioje, norint sužinoti terminą, reikia žinoti ankstesnį ar kelis ankstesnius:

Norėdami, pavyzdžiui, pagal šią formulę rasti progresijos t-ąjį narį, turėsime apskaičiuoti ankstesnius devynis. Pavyzdžiui, leiskite. Tada:

Na, ar dabar aišku, kokia yra formulė?

Kiekvienoje eilutėje pridedame, padauginus iš tam tikro skaičiaus. Kuris? Labai paprasta: tai yra dabartinio nario skaičius, atėmus:

Dabar daug patogiau, tiesa? Mes tikriname:

Spręskite patys:

Aritmetinėje progresijoje raskite n-ojo nario formulę ir suraskite šimtąjį narį.

Sprendimas:

Pirmasis terminas yra lygus. Koks skirtumas? Štai kas:

(Štai kodėl jis vadinamas skirtumu, nes yra lygus nuoseklių progresijos narių skirtumui).

Taigi, formulė:

Tada šimtasis narys yra lygus:

Kokia yra visų natūraliųjų skaičių nuo iki suma?

Pasak legendos, puikus matematikas Karlas Gaussas, būdamas 9 metų berniukas, šią sumą apskaičiavo per kelias minutes. Pastebėjo, kad suma pirmojo ir paskutinė data yra lygi, antrojo ir priešpaskutinio suma yra vienoda, trečiojo ir 3-iojo nuo galo suma yra vienoda ir pan. Kiek tokių porų iš viso yra? Teisingai, lygiai pusė visų skaičių, tai yra. Taigi,

Bendra bet kurios aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos formulė bus tokia:

Pavyzdys:
Raskite visų sumą dviženklius skaičius, kartotiniai.

Sprendimas:

Pirmasis toks skaičius yra šis. Kiekvienas paskesnis skaičius gaunamas pridedant prie ankstesnio skaičiaus. Taigi mus dominantys skaičiai sudaro aritmetinę progresiją su pirmuoju nariu ir skirtumu.

Šios progresijos termino formulė:

Kiek terminų yra progresijoje, jei jie visi turi būti dviženkliai?

Labai lengva: .

Paskutinis progresavimo terminas bus lygus. Tada suma:

Atsakymas:.

Dabar spręskite patys:

1. Kiekvieną dieną sportininkas nubėga daugiau metrų nei praėjusią dieną. Kiek iš viso kilometrų jis nubėgs per savaitę, jei pirmą dieną nubėgo km m?
2. Dviratininkas kasdien nuvažiuoja daugiau kilometrų nei praėjusią dieną. Pirmą dieną nukeliavo km. Kiek dienų jam reikia važiuoti, kad įveiktų kilometrą? Kiek kilometrų jis nuvažiuos per paskutinę kelionės dieną?
3. Kasmet tiek pat mažėja šaldytuvo kaina parduotuvėje. Nustatykite, kiek kasmet sumažėjo šaldytuvo kaina, jei pardavimui už rublius, o po šešerių metų jis buvo parduotas už rublius.

Atsakymai:

1. Čia svarbiausia atpažinti aritmetinę progresiją ir nustatyti jos parametrus. Šiuo atveju (savaitės = dienos). Turite nustatyti pirmųjų šios progresijos sąlygų sumą:
   .
   Atsakymas:
2. Čia pateikiama: , reikia rasti.
   Akivaizdu, kad turite naudoti tą pačią sumos formulę kaip ir ankstesnėje užduotyje:
   .
   Pakeiskite reikšmes:

   Šaknis akivaizdžiai netelpa, tad atsakymas toks.
   Apskaičiuokime nueitą kelią per paskutinę dieną, naudodami antrojo termino formulę:
   (km).
   Atsakymas:

3. Duota:. Rasti:.
   Tai negali būti paprasčiau:
   (trinti).
   Atsakymas:

ARITMETINĖ PROGRESIJA. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Tai skaičių seka, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus.

Aritmetinė progresija gali būti didėjanti () ir mažėjanti ().

Pavyzdžiui:

Aritmetinės progresijos n-ojo nario radimo formulė

parašyta formule, kur yra einančių skaičių skaičius.

Aritmetinės progresijos narių savybė

Tai leidžia lengvai rasti progresijos narį, jei žinomi jo kaimyniniai nariai – kur yra skaičių skaičius progresijoje.

Aritmetinės progresijos narių suma

Yra du būdai sužinoti sumą:

Kur yra reikšmių skaičius.

Kur yra reikšmių skaičius.

Ką pagrindinis dalykas formules?

Ši formulė leidžia rasti bet koks PAGAL JO NUMERĮ“ n" .

Žinoma, reikia žinoti ir pirmąjį terminą a 1 ir progresavimo skirtumas d, na, be šių parametrų negalėsite užrašyti konkrečios eigos.

Šios formulės įsiminti (arba lavinti) neužtenka. Turite suprasti jo esmę ir pritaikyti formulę įvairiose problemose. Ir nepamirškite tinkamas momentas, bet kaip nepamiršti- Nežinau. Ir čia kaip atsiminti Jei reikės, būtinai patarsiu. Tiems, kurie baigia pamoką iki galo.)

Taigi, pažiūrėkime į aritmetinės progresijos n-ojo nario formulę.

Kas apskritai yra formulė? Beje, pažiūrėkite, jei neskaitėte. Ten viskas paprasta. Belieka išsiaiškinti, kas tai yra n-asis terminas.

Progresas į bendras vaizdas galima parašyti kaip skaičių seką:

1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1- žymi pirmąjį aritmetinės progresijos narį, a 3- trečiasis narys, a 4- ketvirtas ir pan. Jei mus domina penktoji kadencija, tarkime, kad dirbame su a 5, jei šimtas dvidešimtoji - s a 120.

Kaip galime tai apibrėžti bendrai? bet koks aritmetinės progresijos terminas, su bet koks numeris? Labai paprasta! Kaip šitas:

a n

Štai kas yra n-asis aritmetinės progresijos narys. Raidė n paslepia visus narių numerius iš karto: 1, 2, 3, 4 ir t.t.

O ką mums duoda toks rekordas? Tik pagalvok, vietoj skaičiaus jie užrašė raidę...

Šis įrašas mums suteikia galingas įrankis darbui su aritmetine progresija. Naudojant žymėjimą a n, galime greitai rasti bet koks narys bet koks aritmetinė progresija. Ir išspręskite daugybę kitų progresavimo problemų. Toliau patys pamatysite.

Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulėje:

a 1- pirmasis aritmetinės progresijos narys;

n- nario numeris.

Formulė sujungia pagrindinius bet kokios eigos parametrus: a n; a 1; d Ir n. Visos progresavimo problemos sukasi apie šiuos parametrus.

N-ojo termino formulė taip pat gali būti naudojama konkrečiai progresijai parašyti. Pavyzdžiui, problema gali reikšti, kad progresą nurodo sąlyga:

a n = 5 + (n-1) 2.

Tokia problema gali būti aklavietėje... Nėra nei serijos, nei skirtumo... Bet, palyginus sąlygą su formule, nesunku suprasti, kad šioje progresijoje a 1 = 5 ir d = 2.

Ir gali būti dar blogiau!) Jei laikysime tą pačią sąlygą: a n = 5 + (n-1) 2, Taip, atversti skliaustus ir atsinešti panašių? Mes gauname nauja formulė:

a n = 3 + 2n.

Tai Tik ne bendrai, o konkrečiam progresui. Čia ir slypi spąstai. Kai kurie žmonės mano, kad pirmasis terminas yra trys. Nors realiai pirmas terminas yra penki... Šiek tiek žemiau dirbsime su tokia modifikuota formule.

Progresavimo problemose yra dar vienas žymėjimas - a n+1. Tai, kaip jūs atspėjote, progresavimo terminas „n plius pirmasis“. Jo reikšmė paprasta ir nekenksminga.) Tai progresijos narys, kurio skaičius yra didesnis už skaičių n vienu. Pavyzdžiui, jei imamės kokios nors problemos a n tada penkta kadencija a n+1 bus šeštasis narys. ir kt.

Dažniausiai pavadinimas a n+1 randami pasikartojimo formulėse. Nebijok šito baisus žodis!) Tai tiesiog būdas išreikšti aritmetinės progresijos narį per ankstesnįjį. Tarkime, kad tokia forma mums pateikiama aritmetinė progresija, naudojant pasikartojančią formulę:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

Ketvirtasis – per trečią, penktas – per ketvirtą ir t.t. Kaip galime iš karto suskaičiuoti, tarkime, dvidešimtą terminą? a 20? Bet jokiu būdu!) Kol nesužinosime 19-osios kadencijos, negalime skaičiuoti 20-osios. Štai viskas esminis skirtumas pasikartojanti formulė iš n-ojo nario formulės. Pasikartojantys darbai tik per ankstesnis terminas, o n-ojo nario formulė yra per Pirmas ir leidžia iškarto raskite bet kurį narį pagal jo numerį. Neskaičiuojant visos skaičių serijos eilės tvarka.

Aritmetinėje progresijoje pasikartojančią formulę lengva paversti įprasta. Suskaičiuokite porą iš eilės einančių terminų, apskaičiuokite skirtumą d, jei reikia, suraskite pirmąjį terminą a 1, parašykite formulę įprasta forma ir dirbti su ja. Su tokiais uždaviniais dažnai susiduriama Valstybinėje mokslų akademijoje.

Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulės taikymas.

Pirma, pažiūrėkime tiesioginis taikymas formules. Ankstesnės pamokos pabaigoje iškilo problema:

Pateikiama aritmetinė progresija (a n). Raskite 121, jei a 1 = 3 ir d = 1/6.

Šią problemą galima išspręsti be jokių formulių, tiesiog remiantis aritmetinės progresijos reikšme. Pridėti ir pridėti... Valanda ar dvi.)

O pagal formulę sprendimas užtruks mažiau nei minutę. Galite nustatyti laiką.) Nuspręskime.

Sąlygose pateikiami visi formulės naudojimo duomenys: a 1 = 3, d = 1/6. Belieka išsiaiškinti, kas yra lygus n. Jokiu problemu! Mums reikia rasti a 121. Taigi rašome:

Prašau atkreipti dėmesį! Vietoj indekso n pasirodė konkretus skaičius: 121. Kas yra gana logiška.) Mus domina aritmetinės progresijos narys. numeris šimtas dvidešimt vienas. Tai bus mūsų n. Tai yra prasmė n= 121 pakeisime toliau į formulę skliausteliuose. Mes pakeičiame visus skaičius į formulę ir apskaičiuojame:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3 + 20 = 23

Viskas. Lygiai taip pat greitai galima rasti penkis šimtus dešimtą terminą ir tūkstantį trečią – bet kurį. Vietoj to dedame n norimą numerį laiško rodyklėje " a" ir skliausteliuose, ir skaičiuojame.

Leiskite jums priminti esmę: ši formulė leidžia jums rasti bet koks aritmetinės progresijos terminas PAGAL JO NUMERĮ“ n" .

Išspręskime problemą gudresniu būdu. Susidurkime su tokia problema:

Raskite pirmąjį aritmetinės progresijos narį (a n), jei a 17 =-2; d=-0,5.

Jei turite kokių nors sunkumų, aš jums pasakysiu pirmąjį žingsnį. Užrašykite aritmetinės progresijos n-ojo nario formulę! Taip taip. Užsirašykite rankomis tiesiai į sąsiuvinį:

O dabar, žiūrėdami į formulės raides, suprantame, kokius duomenis turime, o ko trūksta? Yra d=-0,5, yra septynioliktas narys... Ar tai? Jei manote, kad taip, tada problemos neišspręsite, taip...

Mes vis dar turime numerį n! Būklė a 17 =-2 paslėptas du parametrai. Tai ir septyniolikto termino reikšmė (-2), ir jo skaičius (17). Tie. n=17.Ši „smulkmena“ dažnai praslysta pro galvą, o be jos (be „smulkmenos“, ne galvos!) problemos neišspręsi. Nors... ir be galvos.)

Dabar galime tiesiog kvailai pakeisti savo duomenis į formulę:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

O taip, a 17 mes žinome, kad -2. Gerai, pakeisime:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Tai iš esmės viskas. Belieka iš formulės išreikšti pirmąjį aritmetinės progresijos narį ir jį apskaičiuoti. Atsakymas bus toks: a 1 = 6.

Ši technika yra formulės rašymas ir paprastas pakeitimasžinomi duomenys – tai labai padeda paprastos užduotys. Na, žinoma, jūs turite mokėti išreikšti kintamąjį iš formulės, bet ką daryti!? Be šio įgūdžio gali išvis nesimokyti matematikos...

Kitas populiarus galvosūkis:

Raskite aritmetinės progresijos skirtumą (a n), jei a 1 =2; 15 = 12.

Ką mes darome? Nustebsite, mes rašome formulę!)

Pasvarstykime, ką žinome: a 1 = 2; a 15 = 12; ir (ypač pabrėšiu!) n = 15. Nedvejodami pakeiskite tai į formulę:

12=2 + (15-1)d

Mes atliekame aritmetiką.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Tai yra teisingas atsakymas.

Taigi, užduotys a n, a 1 Ir d nusprendė. Belieka sužinoti, kaip rasti numerį:

Skaičius 99 yra aritmetinės progresijos narys (a n), kur a 1 =12; d=3. Raskite šio nario numerį.

Mums žinomus kiekius pakeičiame n-ojo nario formule:

a n = 12 + (n-1) 3

Iš pirmo žvilgsnio čia yra du nežinomi kiekiai: a n ir n. Bet a n- tai tam tikras progresijos narys su skaičiumi n...Ir mes žinome šį progresijos narį! Tai 99. Mes nežinome jo numerio. n, Taigi šis skaičius yra tai, ką jums reikia rasti. Progresijos terminą 99 pakeičiame į formulę:

99 = 12 + (n-1) 3

Išreiškiame iš formulės n, mes galvojame. Gauname atsakymą: n = 30.

O dabar problema ta pačia tema, bet kūrybiškesnė):

Nustatykite, ar skaičius 117 yra aritmetinės progresijos narys (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Dar kartą parašykime formulę. Ką, parametrų nėra? Hm... Kodėl mums skiriamos akys?) Ar matome pirmąjį progresijos terminą? Mes matome. Tai yra -3,6. Galite drąsiai rašyti: a 1 = -3,6. Skirtumas d ar galite nustatyti iš serijos? Tai paprasta, jei žinote, kuo skiriasi aritmetinė progresija:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Taigi, mes padarėme paprasčiausią dalyką. Belieka susitvarkyti su nežinomu numeriu n o nesuprantamas skaičius 117. Ankstesnėje užduotyje bent jau buvo žinoma, kad buvo pateiktas progresijos terminas. Bet čia mes net nežinome... Ką daryti!? Na, ką daryti, ką daryti... Įjunkite Kūrybiniai įgūdžiai!)

Mes tarkime kad 117 visgi yra mūsų progreso narys. Su nežinomu numeriu n. Ir, kaip ir ankstesnėje užduotyje, pabandykime rasti šį skaičių. Tie. rašome formulę (taip, taip!)) ir pakeičiame savo skaičius:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Vėlgi išreiškiame iš formulėsn, suskaičiuojame ir gauname:

Oi! Numeris pasirodė trupmenos!Šimtas su puse. Ir trupmeniniai skaičiai progresijoje negali būti. Kokią išvadą galime padaryti? Taip! 117 numeris nėra mūsų progreso narys. Tai yra kažkur tarp šimto pirmosios ir šimto antrosios kadencijos. Jei skaičius pasirodė natūralus, t.y. yra teigiamas sveikasis skaičius, tada skaičius būtų progresijos su rastu skaičiumi narys. Ir mūsų atveju atsakymas į problemą bus toks: Nr.

Pagrįsta užduotimi realus variantas GIA:

Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygą:

a n = -4 + 6,8n

Raskite pirmąją ir dešimtąją progresijos narius.

Čia progresas nėra visiškai nustatytas įprastu būdu. Kažkokia formulė... Būna.) Tačiau ši formulė (kaip rašiau aukščiau) - taip pat aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė! Ji taip pat leidžia suraskite bet kurį progresijos narį pagal jo skaičių.

Ieškome pirmojo nario. Tas, kuris galvoja. kad pirmasis narys yra minus keturi – mirtinai klaidinga!) Kadangi uždavinyje formulė modifikuota. Jame pirmasis aritmetinės progresijos narys paslėptas. Viskas gerai, dabar rasime.)

Kaip ir ankstesnėse problemose, mes pakeičiame n=1į šią formulę:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Čia! Pirmasis terminas yra 2,8, o ne -4!

Dešimtojo termino ieškome taip pat:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Viskas.

O dabar tiems, kurie perskaitė šias eilutes, pažadėta premija.)

Tarkime, sudėtingoje valstybinio egzamino ar vieningo valstybinio egzamino kovinėje situacijoje pamiršote naudingą aritmetinės progresijos n-ojo etapo formulę. Kažką prisimenu, bet kažkaip neaiškiai... Arba n ten, arba n+1 arba n-1... Kaip būti!?

Ramus! Šią formulę lengva išvesti. Ne itin griežtai, bet dėl ​​pasitikėjimo ir teisingas sprendimas tikrai užtenka!) Norint padaryti išvadą, pakanka prisiminti elementarią aritmetinės progresijos reikšmę ir skirti porą minučių laiko. Jums tereikia nupiešti paveikslėlį. Dėl aiškumo.

Pieškime skaičių ašis ir pažymėkite ant jos pirmąjį. antras, trečias ir kt. nariai. Ir mes pastebime skirtumą d tarp narių. Kaip šitas:

Žiūrime į paveikslėlį ir galvojame: kam lygus antrasis terminas? Antra vienas d:

a 2 =a 1 + 1 d

Kas yra trečiasis terminas? Trečias terminas lygus pirmam terminui plius du d.

a 3 =a 1 + 2 d

Ar supranti? Ne veltui kai kuriuos žodžius paryškinu paryškintu šriftu. Gerai, dar vienas žingsnis).

Kas yra ketvirtas terminas? Ketvirta terminas lygus pirmam terminui plius trys d.

a 4 =a 1 + 3 d

Pats laikas suvokti, kad spragų skaičius, t.y. d, Visada vienu mažiau nei ieškomo nario n. Tai yra, į skaičių n, tarpų skaičius valios n-1. Todėl formulė bus tokia (be variacijų!):

Apskritai vaizdiniai paveikslėliai labai padeda sprendžiant daugelį matematikos problemų. Nepamirškite nuotraukų. Bet jei sunku nupiešti paveikslėlį, tada... tik formulė!) Be to, n-ojo nario formulė leidžia prie sprendimo prijungti visą galingą matematikos arsenalą - lygtis, nelygybes, sistemas ir kt. Negalite įterpti paveikslėlio į lygtį...

Savarankiško sprendimo užduotys.

Apšilti:

1. Aritmetinėje progresijoje (a n) a 2 =3; a 5 = 5,1. Raskite 3.

Užuomina: pagal paveikslėlį problemą galima išspręsti per 20 sekundžių... Pagal formulę pasirodo sunkiau. Tačiau norint įvaldyti formulę, ji yra naudingesnė.) 555 skyriuje ši problema išspręsta naudojant paveikslėlį ir formulę. Jausti skirtumą!)

Ir tai nebėra apšilimas.)

2. Aritmetinėje progresijoje (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Raskite 3 .

Ką, nenorite piešti?) Žinoma! Geriau pagal formulę, taip...

3. Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygą:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Raskite šimtą dvidešimt penktą šios progresijos narį.

Šioje užduotyje progresija nurodoma pasikartojančiu būdu. Bet skaičiuojant iki šimto dvidešimt penktojo kadencijos... Ne kiekvienas sugeba tokiam žygdarbiui.) Bet n-osios kadencijos formulė yra kiekvieno žmogaus galioje!

4. Pateikta aritmetinė progresija (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Raskite mažiausio teigiamo progresijos nario skaičių.

5. Pagal 4 užduoties sąlygas raskite progresijos mažiausių teigiamų ir didžiausių neigiamų narių sumą.

6. Didėjančios aritmetinės progresijos penktojo ir dvylikto narių sandauga lygi -2,5, o trečiojo ir vienuolikto narių suma lygi nuliui. Raskite 14.

Ne pati lengviausia užduotis, taip...) "Pirštų galiukų" metodas čia neveiks. Teks rašyti formules ir spręsti lygtis.

Atsakymai (netvarkingai):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Įvyko? Tai gražu!)

Ne viskas pavyksta? Atsitinka. Beje, paskutinėje užduotyje yra vienas subtilus punktas. Skaitant problemą reikės atsargiai. Ir logika.

Visų šių problemų sprendimas išsamiai aptartas 555 skyriuje. Ketvirtajam – fantazijos elementas, šeštajam – subtilus momentas, ir bendrieji požiūriai išspręsti bet kokias problemas, susijusias su n-ojo termino formule - viskas išrašyta. Rekomenduoju.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Bendras sekos terminas yra $u_n=n^2$. Pakeitę $n=1$, gauname:

$$ u_1=1^2=1. $$

Tai pirmasis sekos terminas. Pakeitę $n=2$ į $u_n=n^2$, gauname antrąjį sekos narį:

$$ u_2=2^2=4. $$

Jei pakeisime $n=3$, gausime trečiąjį sekos narį:

$$ u_3=3^2=9. $$

Lygiai taip pat randame ketvirtą, penktą, šeštą ir kitus sekos narius. Taip gauname atitinkamus skaičius:

1 USD;\; 4;\; 9;\; 16;\; 25;\; 36;\; 49;\; 64; \;81; \ldots $$

Taip pat verta turėti omenyje sekos $u_n=n^3$ sąlygas. Štai keletas pirmųjų jos narių:

\begin(lygtis)1;\; 8;\; 27;\; 64;\; 125;\; 216;\; 343;\; 512;\;729; \ltaškai \pabaiga (lygtis)

Be to, norint sudaryti bendrą serijos terminą, dažnai naudojama seka $u_n=n!$, kurios pirmieji terminai yra tokie:

\begin(lygtis)1;\; 2;\; 6;\; 24;\; 120;\; 720;\; 5040; \ltaškai \pabaiga (lygtis)

Įrašas "n!" (skaityti „en faktorialas“) reiškia visų natūraliųjų skaičių sandaugą nuo 1 iki n, t.y.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n. $$

Pagal apibrėžimą daroma prielaida, kad $0!=1!=1$. Pavyzdžiui, suraskime 5!:

5 USD!=1\ctaškas 2\ctaškas 3\ctaškas 4\ctaškas 5=120. $$

Taip pat dažnai naudojamos aritmetinės ir geometrinės progresijos. Jei pirmasis aritmetinės progresijos narys yra lygus $a_1$, o skirtumas lygus $d$, tada bendras narys Aritmetinė progresija rašoma naudojant šią formulę:

\begin(equation)a_n=a_1+d\cdot (n-1) \end(lygtis)

Kas yra aritmetinė progresija? Rodyti Slėpti

Aritmetinė progresija yra skaičių seka, kurioje skirtumas tarp kito ir ankstesnio termino yra pastovus. Šis pastovus skirtumas vadinamas progresijos skirtumas

3 USD;\; 10;\; 17;\; 24;\; 31;\; 38;\; 45;\; 52; \ldots $$

Atkreipkite dėmesį, kad nesvarbu, kokią porą gretimų elementų imsime, skirtumas tarp vėlesnių ir ankstesnių narių visada bus pastovus ir lygus 7:

\begin(lygiuotas) & 10-3=7;\\ & 17-10=7;\\ & 31-24=7; \ltaškai\pabaiga (sulygiuota)

Šis skaičius, t.y. 7, ir yra progresavimo skirtumas. Paprastai jis žymimas raide $d$, t.y. $d = 7 $. Pirmasis progresijos elementas yra $a_1=3$. Bendrąjį šios progresijos terminą rašome naudodami formulę. Pakeitę $a_1=3$ ir $d=7$, turėsime:

$$ a_n=3+7\cdot (n-1)=3+7n-7=7n-4. $$

Aiškumo dėlei naudokite formulę $a_n=7n-4$, kad surastume keletą pirmųjų aritmetinės progresijos narių:

\begin(lygiuotas) & a_1=7\cdot 1-4=3;\\ & a_2=7\cdot 2-4=10;\\ & a_3=7\cdot 3-4=17;\\ & a_4= 7\cdot 4-4=24;\\ & a_5=7\cdot 5-4=31. \pabaiga (sulygiuota)

Pakeitę bet kurią skaičiaus $n$ reikšmę į formulę $a_n=7n-4$, galite gauti bet kurį aritmetinės progresijos narį.

Taip pat verta atkreipti dėmesį į geometrinę progresiją. Jei pirmasis progresijos narys yra lygus $b_1$, o vardiklis lygus $q$, tai bendras geometrinės progresijos narys pateikiamas pagal šią formulę:

\begin(lygtis)b_n=b_1\cdot q^(n-1) \end(lygtis)

Kas nutiko geometrinė progresija? Rodyti Slėpti

Geometrinė progresija yra skaičių seka, kurioje ryšys tarp vėlesnių ir ankstesnių terminų yra pastovus. Šis nuolatinis ryšys vadinamas progresijos vardiklis. Pavyzdžiui, apsvarstykite šią seką:

6 USD;\; 18;\; 54;\; 162;\; 486;\; 1458;\; 4374; \ldots $$

Atkreipkite dėmesį, kad nesvarbu, kokią porą gretimų elementų imsime, vėlesnio ir ankstesnio santykis visada bus pastovus ir lygus 3:

\begin(lygiuotas) & \frac(18)(6)=3;\\ & \frac(54)(18)=3;\\ & \frac(1458)(486)=3;\\ & \ltaškai \pabaiga (sulygiuota)

Šis skaičius, t.y. 3 yra progresijos vardiklis. Paprastai jis žymimas raide $q$, t.y. $q = 3 $. Pirmasis progreso elementas yra $b_1=6$. Bendrąjį šios progresijos terminą rašome naudodami formulę. Pakeitę $b_1=6$ ir $q=3$, turėsime:

$$ b_n=6\cdot 3^(n-1). $$

Kad būtų aiškumo, naudokite formulę $b_n=6\cdot 3^(n-1)$, kad surastume keletą pirmųjų geometrinės progresijos narių:

\begin (sulygiuotas) & b_1=6\cdot 3^0=6;\\ & b_2=6\cdot 3^1=18;\\ & b_3=6\cdot 3^2=54;\\ & b_4= 6\cdot 3^3=162;\\ & b_5=6\cdot 3^4=486. \pabaiga (sulygiuota)

Formulėje $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ pakeisdami bet kurią skaičiaus $n$ reikšmę, galite gauti bet kurį geometrinės progresijos terminą.

Visuose toliau pateiktuose pavyzdžiuose serijos narius žymėsime raidėmis $u_1$ (pirmasis serijos narys), $u_2$ (antrasis serijos narys) ir pan. Žyma $u_n$ žymės bendrą serijos terminą.

1 pavyzdys

Raskite bendrąjį serijos $\frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\ldots$ terminą.

Tokių užduočių esmė – pastebėti modelį, būdingą pirmiesiems serijos nariams. Remdamiesi šiuo modeliu, padarykite išvadą apie bendro nario tipą. Ką reiškia frazė „rasti bendrą terminą“? Tai reiškia, kad reikia rasti tokią išraišką, pakeičiant $n=1$ į kurią gauname pirmąjį eilutės narį, t.y. $\frac(1)(7)$; Pakeitę $n=2$ gauname antrąjį serijos narį, t.y. $\frac(2)(9)$; Pakeitę $n=3$ gauname trečiąjį serijos narį, t.y. $\frac(3)(11)$ ir pan. Žinome pirmąsias keturias serijos sąlygas:

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13). $$

Judėkime palaipsniui. Visi mums žinomi serijos nariai yra trupmenos, todėl galima pagrįstai manyti, kad bendras serijos narys taip pat vaizduojamas trupmena:

$$ u_n=\frac(?)(?) $$

Mūsų užduotis – išsiaiškinti, kas slepiasi po klaustukais skaitiklyje ir vardiklyje. Pirmiausia pažiūrėkime į skaitiklį. Mums žinomi serijos narių skaitikliai yra skaičiai 1, 2, 3 ir 4. Atkreipkite dėmesį, kad kiekvieno serijos nario skaičius yra lygus skaitikliui. Pirmojo termino skaitiklis yra vienas, antrasis - du, trečiasis - trys, o ketvirtasis - keturi.

Logiška manyti, kad n-ojo nario skaitiklis turės $n$:

$$ u_n=\frac(n)(?) $$

Beje, prie šios išvados galime prieiti ir kitaip, formaliau. Kokia yra 1, 2, 3, 4 seka? Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienas paskesnis šios sekos narys yra 1 didesnis nei ankstesnis. Mes susiduriame su keturiais aritmetinės progresijos nariais, kurių pirmasis narys yra $a_1=1$, o skirtumas yra $d=1$. Naudodami formulę gauname bendrojo progreso termino išraišką:

$$ a_n=1+1\cdot (n-1)=1+n-1=n. $$

Taigi, spėlioti ar formaliai paskaičiuoti – skonio reikalas. Svarbiausia, kad mes užrašėme bendro serijos termino skaitiklį. Pereikime prie vardiklio.

Vardikliuose turime seką 7, 9, 11, 13. Tai keturi aritmetinės progresijos nariai, kurių pirmasis narys lygus $b_1=7$, o skirtumas yra $d=2$. Bendrąjį progresavimo terminą randame naudodami formulę:

$$ b_n=7+2\cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5. $$

Gauta išraiška, t.y. $2n+5$, ir bus bendro serialo termino vardiklis. Taigi:

$$ u_n=\frac(n)(2n+5). $$

Gaunamas bendras serijos terminas. Patikrinkime, ar mūsų rasta formulė $u_n=\frac(n)(2n+5)$ tinka jau žinomiems serijos terminams skaičiuoti. Raskime terminus $u_1$, $u_2$, $u_3$ ir $u_4$ naudodami formulę $u_n=\frac(n)(2n+5)$. Rezultatai, žinoma, turi sutapti su pirmaisiais keturiais serijos terminais, kuriuos mums suteikia sąlyga.

$$ u_1=\frac(1)(2\cdot 1+5)=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(2\cdot 2+5)=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(2\cdot 3+5)=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(2\cdot 4+5)=\frac(4)(13). $$

Teisingai, rezultatai tokie patys. Sąlygoje nurodytą seriją dabar galima parašyti tokia forma: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n)(2n+5)$. Bendrasis serijos terminas yra $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+0+0+0+0+0+0+ 0+\ltaškai $$

Argi toks serialas neturi teisės egzistuoti? Vis dar turi. Ir šiai serijai galime tai parašyti

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=0\; (n≥ 5). $$

Galite parašyti kitą tęsinį. Pavyzdžiui, tai:

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\frac(1)(5)+\frac( 1)(6)+\frac(1)(7)+\frac(1)(8)+\frac(1)(9)+\frac(1)(10)+\ltaškai $$

Ir toks tęsinys niekam neprieštarauja. Šiuo atveju galime tai parašyti

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=\frac(1)(n)\; (n≥ 5). $$

Jei pirmieji du variantai jums pasirodė per formalūs, tai aš pasiūlysiu trečią. Parašykime bendrą terminą taip:

$$ u_n=\frac(n)(n^4-10n^3+35n^2-48n+29). $$

Apskaičiuokime pirmuosius keturis serijos terminus naudodami siūlomą bendrųjų terminų formulę:

\begin(lygiuotas) & u_1=\frac(1)(1^4-10\cdot 1^3+35\cdot 1^2-48\cdot 1+29)=\frac(1)(7);\ \ & u_2=\frac(2)(2^4-10\cdot 2^3+35\cdot 2^2-48\cdot 2+29)=\frac(2)(9);\\ & u_3= \frac(3)(3^4-10\cdot 3^3+35\cdot 3^2-48\cdot 3+29)=\frac(3)(11);\\ & u_4=\frac(4 )(4^4-10\ctaškas 4^3+35\ctaškas 4^2-48\ctaškas 4+29)=\frac(4)(13). \pabaiga (sulygiuota)

Kaip matote, pasiūlyta bendrojo termino formulė yra gana teisinga. O tokių variacijų galima sugalvoti be galo daug, jų skaičius neribojamas. IN standartiniai pavyzdžiaižinoma, naudojamas standartinis rinkinys tam tikros žinomos sekos (progresijos, laipsniai, faktorialai ir kt.). Tačiau atliekant tokias užduotis visada yra netikrumo, ir patartina tai atsiminti.

Visuose tolesniuose pavyzdžiuose šis dviprasmiškumas nebus nurodytas. Mes nuspręsime naudojant standartinius metodus, kurie priimti daugelyje probleminių knygų.

Atsakymas: bendras serijos terminas: $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

2 pavyzdys

Užrašykite bendrąjį serijos $\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1)(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1) terminą. (7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots$.

Žinome pirmąsias penkias serijos sąlygas:

$$ u_1=\frac(1)(1\cdot 5);\; u_2=\frac(1)(3\cdot 8); \; u_3=\frac(1)(5\cdot 11); \; u_4=\frac(1)(7\cdot 14); \; u_5=\frac(1)(9\cdot 17). $$

Visi mums žinomi serijos terminai yra trupmenos, o tai reiškia, kad ieškosime bendro serijos termino trupmenos pavidalu:

$$ u_n=\frac(?)(?). $$

Iš karto atkreipkime dėmesį į skaitiklį. Visuose skaitikliuose yra vienetai, todėl serijos bendrojo nario skaitiklyje bus ir vienas, t.y.

$$ u_n=\frac(1)(?). $$

Dabar pažvelkime į vardiklį. Pirmųjų mums žinomų serijos terminų vardikliuose yra skaičių sandaugos: $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$. Pirmieji iš šių skaičių yra: 1, 3, 5, 7, 9. Šios sekos pirmasis narys yra $a_1=1$, o kiekvienas paskesnis gaunamas iš ankstesnio, pridedant skaičių $d=2$. Kitaip tariant, tai yra pirmieji penki aritmetinės progresijos nariai, kurių bendrąjį terminą galima parašyti naudojant formulę:

$$ a_n=1+2\cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1. $$

Produktuose $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$ antrieji skaičiai yra: 5, 8, 11, 14, 17. Tai yra aritmetinės progresijos elementai, kurių pirmasis narys yra $b_1=5$, o vardiklis $d=3$. Rašome bendrąjį šios progresijos terminą naudodami tą pačią formulę:

$$ b_n=5+3\cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2. $$

Sudėkime rezultatus. Bendrojo serijos termino vardiklio sandauga yra: $(2n-1)(3n+2)$. Ir pats serialo bendras terminas turi tokią formą:

$$ u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2)). $$

Norėdami patikrinti gautą rezultatą, naudojame formulę $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$, kad surastume pirmuosius keturis žinomos serijos terminus:

\begin(lygiuotas) & u_1=\frac(1)((2\cdot 1-1)(3\cdot 1+2))=\frac(1)(1\cdot 5);\\ & u_2=\ frac(1)((2\cdot 2-1)(3\cdot 2+2))=\frac(1)(3\cdot 8);\\ & u_3=\frac(1)((2\cdot 3-1)(3\cdot 3+2))=\frac(1)(5\cdot 11);\\ & u_4=\frac(1)((2\cdot 4-1)(3\cdot 4 +2))=\frac(1)(7\cdot 14);\\ & u_5=\frac(1)((2\cdot 5-1)(3\cdot 5+2))=\frac(1 )(9\cdot 17). \pabaiga (sulygiuota)

Taigi formulė $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ leidžia tiksliai apskaičiuoti serijos sąlygas, žinomas iš sąlygos. Jei pageidaujama duota serija galima parašyti taip:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)((2n-1)(3n+2))=\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1 )(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1)(7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ltaškai $$

Atsakymas: bendras serijos terminas: $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$.

Tęsime šią temą antroje ir trečioje dalyse.

Daugelis žmonių yra girdėję apie aritmetinę progresiją, tačiau ne visi gerai supranta, kas tai yra. Šiame straipsnyje pateiksime atitinkamą apibrėžimą, taip pat apsvarstysime klausimą, kaip rasti aritmetinės progresijos skirtumą, ir pateiksime keletą pavyzdžių.

Matematinis apibrėžimas

Taigi, jei mes kalbame apie apie aritmetinę ar algebrinę progresiją (šios sąvokos apibrėžia tą patį), tai reiškia, kad yra skaičių serija, patenkinti kitas įstatymas: kas du gretimi skaičiai serijoje skiriasi ta pačia reikšme. Matematiškai parašyta taip:

Čia n reiškia elemento a n skaičių sekoje, o skaičius d yra progresijos skirtumas (jo pavadinimas išplaukia iš pateiktos formulės).

Ką reiškia žinoti skirtumą d? Apie tai, kaip „toli“ kaimyniniai skaičiai yra vienas nuo kito. Tačiau d žinios būtinos, bet ne pakankama būklė nustatyti (atstatyti) visą progresiją. Turite žinoti dar vieną skaičių, kuris gali būti absoliučiai bet koks nagrinėjamos serijos elementas, pavyzdžiui, 4, a10, tačiau paprastai jie naudoja pirmąjį skaičių, tai yra 1.

Progresavimo elementų nustatymo formulės

Apskritai aukščiau pateiktos informacijos jau pakanka, kad būtų galima pereiti prie sprendimo konkrečias užduotis. Nepaisant to, prieš pateikiant aritmetinę progresiją ir reikės rasti jos skirtumą, pateikiame porą naudingos formulės, taip palengvinant tolesnį problemų sprendimo procesą.

Nesunku parodyti, kad bet kurį sekos elementą su skaičiumi n galima rasti taip:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Iš tiesų, bet kas gali patikrinti šią formulę paprasta paieška: jei pakeisite n = 1, gausite pirmąjį elementą, jei pakeisite n = 2, tada išraiška pateikia pirmojo skaičiaus ir skirtumo sumą ir pan.

Daugelio uždavinių sąlygos sudarytos taip, kad turint žinomą skaičių porą, kurios skaičiai taip pat pateikti sekoje, reikia rekonstruoti visą skaičių seką (rasti skirtumą ir pirmąjį elementą). Dabar mes išspręsime šią problemą bendra forma.

Taigi, tebūnie du elementai su skaičiais n ir m. Naudodami aukščiau gautą formulę galite sukurti dviejų lygčių sistemą:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Norėdami rasti nežinomus kiekius, naudojame žinomus paprastas triukas tokios sistemos sprendiniai: poromis atimkite kairę ir dešinę puses, lygybė liks galioti. Mes turime:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Taigi mes atmetėme vieną nežinomą (a 1). Dabar galime parašyti galutinę išraišką, skirtą d nustatyti:

d = (a n - a m) / (n - m), kur n > m

Mes gavome labai paprasta formule: norint apskaičiuoti skirtumą d pagal problemos sąlygas, tereikia paimti skirtumų tarp pačių elementų ir jų santykį serijos numeriai. Reikėtų atkreipti dėmesį į vieną svarbus punktas dėmesys: paimami skirtumai tarp „vyresniųjų“ ir „jaunesnių“ narių, tai yra n > m („vyresnysis“ reiškia stovėjimą toliau nuo sekos pradžios, jos absoliučioji vertė gali būti didesnis arba mažesnis nei „jaunesnysis“ elementas).

Skirtumo d progresijos išraiška turi būti pakeista į bet kurią lygtį problemos sprendimo pradžioje, kad būtų gauta pirmojo nario reikšmė.

Mūsų vystymosi amžiuje Kompiuterinė technologija Daugelis moksleivių savo užduočių sprendimus bando rasti internete, todėl dažnai kyla tokio pobūdžio klausimų: raskite aritmetinės progresijos skirtumą internete. Tokiai užklausai paieškos sistema pateiks daugybę tinklalapių, į kuriuos nueinant reikės įvesti iš sąlygos žinomus duomenis (tai gali būti arba du progreso terminai, arba tam tikro jų skaičiaus suma ) ir iškart gausite atsakymą. Tačiau toks problemos sprendimo būdas yra neproduktyvus mokinio tobulėjimo ir jam skirtos užduoties esmės supratimo požiūriu.

Sprendimas nenaudojant formulių

Išspręskime pirmąją problemą nenaudodami nė vienos iš pateiktų formulių. Tegu pateikiami eilutės elementai: a6 = 3, a9 = 18. Raskite aritmetinės progresijos skirtumą.

Žinomi elementai stovi arti vienas kito iš eilės. Kiek kartų skirtumas d turi būti pridėtas prie mažiausio, kad būtų gautas didžiausias? Tris kartus (pirmą kartą pridėjus d gauname 7 elementą, antrą kartą - aštuntą, galiausiai, trečią kartą - devintą). Kokį skaičių reikia tris kartus pridėti prie trijų, kad gautume 18? Tai yra skaičius penki. Tikrai:

Taigi nežinomas skirtumas d = 5.

Žinoma, sprendimas gali būti atliktas naudojant atitinkama formulė, bet tai nebuvo padaryta tyčia. Išsamus paaiškinimas problemos sprendimas turi tapti aiškus ir ryškus pavyzdys Kas yra aritmetinė progresija?

Užduotis panaši į ankstesnę

Dabar išspręskime panašią problemą, bet pakeiskime įvesties duomenis. Taigi, turėtumėte rasti, jei a3 = 2, a9 = 19.

Žinoma, vėl galite kreiptis į „priešais“ sprendimo metodą. Bet kadangi pateikiami serijos elementai, kurie yra gana toli vienas nuo kito, šis metodas nebus visiškai patogus. Tačiau naudodami gautą formulę greitai pasieksime atsakymą:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Čia mes suapvalinome galutinis skaičius. Kiek šis apvalinimas sukėlė klaidą, galima spręsti patikrinus rezultatą:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Šis rezultatas nuo sąlygoje pateiktos vertės skiriasi tik 0,1%. Todėl sėkmingu pasirinkimu galima laikyti apvalinimą iki šimtųjų dalių.

Problemos, susijusios su termino formulės taikymu

Pasvarstykime klasikinis pavyzdys užduotys nežinomam d nustatyti: raskite aritmetinės progresijos skirtumą, jei a1 = 12, a5 = 40.

Kai duoti du nežinomo skaičiai algebrinė seka, o vienas iš jų yra elementas a 1, tuomet nereikia ilgai galvoti, o iš karto taikyti a n nario formulę. Šiuo atveju turime:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Dalindami gavome tikslų skaičių, todėl nėra prasmės tikrinti apskaičiuoto rezultato tikslumą, kaip buvo padaryta ankstesnėje pastraipoje.

Išspręskime kitą panašų uždavinį: reikia rasti aritmetinės progresijos skirtumą, jei a1 = 16, a8 = 37.

Mes naudojame metodą, panašų į ankstesnį, ir gauname:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Ką dar reikėtų žinoti apie aritmetinę progresiją?

Be problemų ieškant nežinomo skirtumo arba atskiri elementai, dažnai reikia išspręsti pirmųjų sekos narių sumos uždavinius. Šių užduočių svarstymas nepatenka į straipsnio taikymo sritį, tačiau dėl pateiktos informacijos išsamumo bendroji formulė n skaičių sumai iš eilės:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2