PARUOŠIMAS NAUDOTI MATEMATIKOJE.
UŽDAVINIŲ SPRENDIMAS C2.
2 PAVYZDYS.
Taisyklingoje trikampėje prizmėje ABCA 1 B 1 C 1, kurios visos kraštinės lygios, taškas K yra B 1 C 1 vidurys. Raskite kampą tarp plokštumos ABC ir plokštumos B 1 KR, kur taškas P yra AA 1 vidurio taškas.
Sprendimas:
1 būdas
1. Perkelkime lėktuvas ABC plokštumoje A 1 B 1 C 1. Papildykime plokštumą B 1 KR su plokštuma B 1 C 1 R. Tada vietoj kampo tarp plokštumų ABC ir B 1 KR ieškosime kampo tarp plokštumų A 1 B 1 C 1 ir B 1 C 1 R.
B 1 C 1 – bendra tiesė tarp plokštumų A 1 B 1 C 1 ir B 1 C 1 R. Norėdami rasti tiesinį kampą dvikampis kampas B 1 C 1 plokštumose A 1 B 1 C 1 ir B 1 C 1 R nubrėžkime statmenus tiesei B 1 C 1.
2. Trikampis B 1 C 1 R yra lygiašonis, nes PB 1 = RS 1 (iš trikampių RA 1 B 1 ir RA 1 C 1 lygybės (kadangi A 1 B 1 = A 1 C 1, o P 1 A yra bendra kojelė)).
Tai reiškia, kad RK yra trikampio B 1 C 1 R aukštis ir mediana.
3. Trikampis A 1 B 1 C 1 yra lygiakraštis (kadangi prizmė taisyklinga).
Tai reiškia, kad A 1 K yra trikampio A 1 B 1 C 1 aukštis ir mediana.
4. – dvisienio kampo A 1 B 1 C 1 R tiesinis kampas.
Taigi, tai yra norimas kampas.
5. Tegu A 1 C 1 = a.
Atsakymas: 30 val.
2 būdas
1. Plokštuma A 1 B 1 C 1 turi lygtį y = 0 arba 0x + 1y + 0z = 0.
2. Sudarykime plokštumos B 1 C 1 P lygtį atkarpomis.
Plokštuma B 1 C 1 P kerta x ašį taške B 1. Tai yra x = a.
Ir ji kerta y ašį taške P. Tai reiškia .
Z ašis taške E kerta plokštumą B 1 C 1 P. Taške E z reikšmė randama iš trikampio A 1 B 1 E.
Taigi taške E.
Tada plokštumos B 1 C 1 P lygtis segmentuose atrodo taip:
3. Kampas tarp plokštumų A 1 B 1 C 1 ir B 1 C 1 P (jį žymime) randamas pagal formulę.
Pratimai.
Taisyklingoje trikampėje prizmėje ABCA 1 B 1 C 1 pagrindo kraštinės yra lygios 3, šoniniai šonkauliai yra lygūs 1, taškas D yra briaunos CC 1 vidurys.
a) Nubrėžkite plokštumų ABC ir ADB 1 susikirtimo tiesę.
b) Raskite kampą tarp plokštumų ABC ir ADB 1.
Sprendimas:
a) Sukurkite plokštumų susikirtimo linijąABC irADB 1.
Sukonstruokime plokštumą ADB 1. Taškai A ir B 1 yra toje pačioje plokštumoje, nubrėžkime tiesę AB 1. Taškai A ir D yra toje pačioje plokštumoje, nubrėžkime tiesę AD. Taškai D ir B 1 yra toje pačioje plokštumoje, nubrėžkime tiesę DB 1. Gavome atkarpą naudodami ADB 1 plokštumą.
Sukonstruokime plokštumų ABC ir ADB 1 susikirtimo liniją. Kadangi tiesė B 1 D ir tiesė BC yra toje pačioje plokštumoje BCC 1, jos susikerta taške K. Taškas K yra plokštumose ABC ir ADB 1. Taškai K ir A yra plokštumose ABC ir ADB 1, todėl plokštumos ABC ir ADB 1 susikerta išilgai tiesės AK. Sukurta reikiama tiesi plokštumų ABC ir BED 1 susikirtimo linija.
b) Raskite kampą tarp plokštumųABC irADB 1.
Atkarpa DC yra statmena plokštumai ABC nuo taško D statmeną DH nuleidžiame į tiesę AK. Taškas H yra ABC plokštumoje, tada CH yra pasvirusio DH projekcija į ABC plokštumą. Tiesė AK eina per tašką H ir yra statmena pasvirusiai tiesei DH, tada pagal trijų statmenų teoremą atkarpa CH yra statmena tiesei AK.
Kampas ∠DHC – dvikampio kampo, kurį sudaro plokštumos ABC ir ADB 1, tiesinis kampas. Kampas ∠DHC yra norimas kampas tarp plokštumų ABC ir ADB 1. Raskime šio kampo vertę.
Apsvarstykite stačią trikampį DHC (∠C = 90˚):
Kadangi taškas D yra atkarpos CC 1 vidurys, tai DC = DC 1 = 0,5.
Taigi trikampiai DCK ir DC 1 B 1 yra panašūs
Kadangi prizmė ABCA 1 B 1 C 1 yra taisyklinga, tai ∠ACB = 60°. Kampai ∠ACB ir ∠ACK – gretimi kampai, tada ∠ACK = 120°.
Kadangi AC = CK = 3, tai trikampis ACK yra lygiašonis trikampis ir CH – aukštis ir pusiausvyra.
Apsvarstykite stačiąjį trikampį ACH – stačiakampį trikampį (∠H = 90˚). Kampas ∠ACH = 60°, ∠CAH = 30°. Pagal nuosavybę stačiakampis trikampis: koja yra priešais 30° kampą, lygus pusei hipotenuzė, gauname
Kampas tarp tiesių prizmėje. Dar viena medžiaga jums – panagrinėsime porą problemų su prizmėmis. Būtina nustatyti kampą tarp einančių tiesių nurodytos viršūnės prizmės. Faktas yra tas, kad šios linijos nėra toje pačioje plokštumoje. Tokios linijos vadinamos kryžminėmis linijomis.
Jei jau esate su jais susipažinę, išspręskite problemas iš karto po to, kai sukonstravę eskizą be jokių skaičiavimų. Jei ne, tai pažiūrėkite į atitinkamą teoriją, matote, medžiaga pateikta gana aiškiai.
Principas paprastas – reikia perkelti vieną iš linijų, kol ji susikirs su antrąja lygiagretus perdavimas. Arba nustatykite, ar toje pačioje plokštumoje kaip ir antroji tiesė yra jai lygiagreti linija. Apsvarstykime užduotis:
316553. Teisingai šešiakampė prizmė ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 kurio visos briaunos lygios 8, raskite kampą tarp tiesių FA ir D 1 E 1. Atsakymą pateikite laipsniais.
Sukonstruokime tieses ir lygiagrečiai perkelkime tiesę D 1 E 1, kol ji susikirs su tiese AF. Gauta tiesi linija eis per DE:
Žinodami taisyklingo šešiakampio savybes, būtent, kad kampai jo viršūnėse yra lygūs 120 laipsnių, jau galime užrašyti atsakymą. Kampas tarp nurodytų tiesių lygus 60 0. Jei pažvelgsite į prizmę iš viršaus, eskizas atrodys taip:
*Kaip matome, iš tikrųjų nesvarbu, koks yra krašto ilgis.
316558. Taisyklingoje trikampėje prizmėje ABCA 1 B 1 C 1, kurios visos briaunos lygios 3, raskite kampą tarp tiesių AA 1 ir BC 1. Atsakymą pateikite laipsniais.
Sukonstruokime nurodytas linijas ir lygiagrečiai „perkelkime“ liniją AA 1 į veidą BCC 1 B 1, per kurį eina BC 1:
Kadangi sąlyga sako, kad visos briaunos yra lygios 3, tai reiškia, kad veidas BCC 1 B 1 yra kvadratas. Tiesė BC 1 yra šio kvadrato įstrižainė ir ji kerta visas tieses, lygiagrečias šoniniams kraštams 45 laipsnių kampu. Tai aiškiai matyti prizmės projekcijoje:
*Mažas atsakomybės atsisakymas. Abiejuose uždaviniuose linijas perkėlėme tarsi „tempdami“ išilgai jas jungiančio statmens (pažymėta raudona punktyrine linija). Tai neturi būti daroma tiksliai tokiu būdu. Svarbu, kad viena iš tiesių būtų perkelta į sankirtą su kita lygiagrečiu poslinkiu. Antroje užduotyje tai galima padaryti taip:
Pabaikime čia. Taigi, jei vieningo valstybinio egzamino metu susikertate su trumpo atsakymo uždaviniu, nesijaudinkite, jie sprendžiami žodžiu. Svarbu suprasti, kaip perkelti liniją, kol ji susikerta su kita. O kampo paieška, kaip sakoma, yra technologijų reikalas.
Pagarbiai, Aleksandrai.
P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.
