Parabolės židinio nuotolis. Hiperbolė ir jos kanoninė lygtis

Užduotis Nr. 1. Nustatykite židinių koordinates ir sudarykite parabolės krypties lygtį

Palyginus šią lygtį su lygtimi
, mes nustatome, kad 2p=4, iš kur . Taigi esmė
- parabolės židiniai ir tiesė
, ty x=-1 arba x+1=0 yra jo kryptis.

Atsakymas: (1;0)

2 uždavinys. Parabolės, kurios viršūnė yra pradžioje, židiniai yra taške F(0;-4). Parašykite šios parabolės lygtį.

3 uždavinys. Parabolės, kurios viršūnė yra ištakoje, kryptis yra tiesė 2x+5=0

Parašykite lygtį ir raskite parabolės židinio koordinates.

R
Sprendimas: Kadangi parabolės, kurios viršūnė yra ištakoje, kryptis yra tiesė 2x+5=0 arba
, tada jo židinys turi koordinates

, todėl norima kreivė yra simetriška Ox ašiai F( )
o jo šakos nukreiptos į dešinę (židinio abscisė teigiama). Todėl parabolės lygtis turi formą

Nes
Tai
ir parabolės lygtis bus tokia:
, o jo židinio koordinatės yra F(2.5;0)

Atsakymas:
; F(2,5;0)

4 užduotis. Parašykite parabolės, simetriškos Oy ašiai, su centru koordinačių sistemos pradžioje, lygtį, jei ji eina per tašką B(1;-2).

Kadangi parabolė yra simetriška Oy ašiai ir turi viršūnę koordinačių sistemos pradžioje, jos lygtis turi tokią formą
. Kadangi taškas B(1;-2) yra ant parabolės, tai jo koordinatės tenkina paraboles, t.y.
,

Kur
, ir todėl
- parabolės lygtis.

Atsakymas:

5 uždavinys. Raskite 24 m ilgio tilto arkos aukštį, jei arka turi parabolės formą, kurios lygtis yra

Nubraižykime parabolę
Dekarto kalba stačiakampė sistema koordinates Pažymėkime h tilto aukštį ir pagal =24 - tilto arkos ilgis. Tada A(12;-h) P:
.

T
kaip taškas A priklauso parabolei
, tada jo koordinatės tenkina parabolės lygtį. Tai leidžia į parabolės lygtį pakeisti nurodyto taško koordinates vietoj dabartinių koordinačių (x;y). Tada mes turime

Taigi, tilto arkos aukštis yra 3 m.

Užduotis Nr. 6. Vandens srovė, nukreipta kampu į horizonto plokštumą, pakyla į 2 m aukštį ir nukrenta 12 m nuo žarnos galo. Raskite parabolinę purkštuko trajektoriją.

Sprendimas: Purkštuko parabolinę trajektoriją susiekime su Dekarto stačiakampe koordinačių sistema, kad parabolinė trajektorija būtų simetriška Oy ašiai, šakos būtų nukreiptos žemyn, o jos viršūnė būtų koordinačių pradžioje.

Tada tokios parabolinės trajektorijos lygtis turi formą
, taškas A(6;-2) P:
, todėl jo koordinatės tenkina parabolės lygtį. Vietoj dabartinių parabolės x ir y koordinačių pakeičiant taško A koordinates
, suteikia lygybę

. Vadinasi,
- srovės parabolinės trajektorijos lygtis.

Atsakymas:

Spręskite patys:

Uždavinys Nr. 7. Atšvaito skerspjūvis plokštumoje, einančioje per reflektoriaus ašį, yra parabolė. Parašykite jos lygtį, jei atšvaito plotis 30 cm, o gylis 20 cm (atšvaito ašis sutampa su Ox ašimi)

Atsakymas:

Užduotis Nr. 8. Vanduo išteka iš žemės paviršiaus skylės upeliu, vaizduojančiu parabolės šaką
. Kokiu atstumu nuo rezervuaro krašto upelis nukrenta ant žemės, jei skylės aukštis

Atsakymas: 3 m.

Uždavinys Nr. 9. Parabolinio veidrodžio ašinis pjūvis yra parabolė

Nustatykite veidrodžio skersmenį, jei jo „gylis“ yra 18,75 cm.

Atsakymas: 30 cm.

Užduotis Nr. 10. Po numestas akmuo aštrus kampasį horizonto plokštumą, pasiekė didžiausias aukštis 16 m., Aprašęs parabolinę trajektoriją, akmuo nukrito 48 m., nuo metimo taško. Raskite akmens trajektoriją.

Atsakymas:
.

11 uždavinys Raskite parabolę, kurios viršūnė yra pradžioje, jei jos židinys yra taške a) F(3;0);

b) F(-2;0);
c) F(0;4);
d) F(0;-)
Atsakymas: a)

;
b)

;
c) F(0;4);
d) F(0;-)
V)
.

;

G)
c) F(0;4);
d) F(0;-)
V)
Užduotis Nr. 12 Raskite paraboles, kurių viršūnė yra pradžioje, jei nurodytos kryptys: a)

;

b)x=-5; c) y = 3; d) y = -2;

Atsakymas: a)

; G)

13 uždavinys. Raskite židinio koordinates ir parašykite kiekvienos parabolės krypties lygtį.

Atsakymas:

A)

. Sukurkite šias paraboles.

Atsakymas: a) F(2;0); x+2=0 ; b) F(-3;0); x-3=0; c) F(0;); 2m+5=0

d) F(0;-4); x-4=0

14 uždavinys. Patikrinkite, ar taškai A(2;-2) ir B(1;2) yra ant parabolės

Atsakymas: A yra, B nėra.
15 uždavinys. Parašykite lygtį parabolei, kurios viršūnė yra simetriška Ox ašiai ir eina per tašką
16 uždavinys. Parašykite parabolės, kurios viršūnė yra ištakoje, lygtį, jei:
A) parabolė yra viršutinėje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 4;
.

B) parabolė yra apatinėje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 6;

B) parabolė yra dešinėje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 3; d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5. – 6Atsakymas a) – 16 = 0, 13d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5. – 10Atsakymas a); b)

3.2. Parašykite hiperbolės liestinių lygtis

1) einantis per tašką A(4, 1), B(5, 2) ir C(5, 6);

2) lygiagrečiai tiesei 10 d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5. – 3Atsakymas a) + 9 = 0;

3) statmena tiesei 10 d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5. – 3Atsakymas a) + 9 = 0.

Parabolė yra plokštumos taškų, kurių koordinatės atitinka lygtį, geometrinis lokusas

Parabolės parametrai:

Taškas F(p/2, 0) vadinamas sutelkti dėmesį parabolės, dydis p – parametras , taškas APIE(0, 0) – viršuje . Šiuo atveju tiesi linija OF, kurios atžvilgiu parabolė yra simetriška, apibrėžia šios kreivės ašį.

Didumas Kur M(d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5., Atsakymas a)) – savavališkas taškas parabolės vadinamos židinio spindulys , tiesus D: d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5. = –p/2 – direktorė (ji nekerta vidinės parabolės srities). Didumas vadinamas parabolės ekscentriškumu.

Pagrindinė būdinga parabolės savybė: visi parabolės taškai yra vienodu atstumu nuo krypties ir židinio (24 pav.).

Egzistuoja ir kitos kanoninės parabolės lygties formos, nulemiančios kitas jos šakų kryptis koordinačių sistemoje (25 pav.):

Už parametrinis nustatymas parabolės kaip parametras t parabolės taško ordinatės vertė gali būti paimta:

Kur t yra savavališkas realusis skaičius.

1 pavyzdys. Nustatykite parabolės parametrus ir formą naudodami kanoninę lygtį:

Sprendimas. 1. Lygtis Atsakymas a) 2 = –8d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5. apibrėžia parabolę su viršūne taške APIE Oi. Jo šakos nukreiptos į kairę. Lyginant duota lygtis su lygtimi Atsakymas a) 2 = –2px, randame: 2 p = 8, p = 4, p/2 = 2. Todėl židinys yra taške F(–2; 0), krypties lygtis D: d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5.= 2 (26 pav.).

2. Lygtis d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5. 2 = –4Atsakymas a) apibrėžia parabolę su viršūne taške O(0; 0), simetriškas ašies atžvilgiu Oy. Jo šakos nukreiptos žemyn. Palyginus šią lygtį su lygtimi d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5. 2 = –2py, randame: 2 p = 4, p = 2, p/2 = 1. Todėl židinys yra taške F(0; –1), krypties lygtis D: Atsakymas a)= 1 (27 pav.).

2 pavyzdys. Nustatykite kreivės parametrus ir tipą d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5. 2 + 8d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5. – 16Atsakymas a)– 32 = 0. Padarykite brėžinį.

Sprendimas. Transformuokime kairėje pusėje lygtys naudojant ekstrahavimo metodą pilna aikštė:

d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5. 2 + 8d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5.– 16Atsakymas a) – 32 =0;

(d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5. + 4) 2 – 16 – 16Atsakymas a) – 32 =0;

(d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5. + 4) 2 – 16Atsakymas a) – 48 =0;

(d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5. + 4) 2 – 16(Atsakymas a) + 3).

Kaip rezultatas, mes gauname

(d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5. + 4) 2 = 16(Atsakymas a) + 3).

Tai kanoninė lygtis parabolės su viršūne taške (–4, –3), parametras p= 8, šakos nukreiptos į viršų (), ašis d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5.= –4. Dėmesys nukreiptas į tašką F(–4; –3 + p/2), t.y. F(–4; 1) direktorė D pateikta lygtimi Atsakymas a) = –3 – p/2 arba Atsakymas a)= –7 (28 pav.).

4 pavyzdys. Parašykite parabolės, kurios viršūnė yra taške, lygtį V(3; –2) ir sufokusuokite tašką F(1; –2).

Sprendimas. Tam tikros parabolės viršūnė ir židinys yra tiesėje, lygiagrečioje ašiai Jautis(tos pačios ordinatės), parabolės šakos nukreiptos į kairę (židinio abscisė mažesnė už viršūnės abscisę), atstumas nuo židinio iki viršūnės p/2 = 3 – 1 = 2, p= 4. Vadinasi, reikiama lygtis

(Atsakymas a)+ 2) 2 = –2 4 ( d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5.– 3) arba ( Atsakymas a) + 2) 2 = = –8(d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5. – 3).

Užduotys skirtos savarankiškas sprendimas

I lygiu

1.1. Nustatykite parabolės parametrus ir sukonstruokite:

1) Atsakymas a) 2 = 2d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5.; 2) Atsakymas a) 2 = –3d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5.;

3) d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5. 2 = 6Atsakymas a); 4) d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5. 2 = –Atsakymas a).

1.2. Parašykite parabolės lygtį su jos viršūne ištakoje, jei žinote, kad:

1) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ašies atžvilgiu Jautis Ir p = 4;

2) parabolė yra simetriškai ašies atžvilgiu Oy ir eina per tašką M(4; –2).

3) kryptis pateikiama pagal 3 lygtį Atsakymas a) + 4 = 0.

1.3. Parašykite kreivės, kurios visi taškai yra vienodu atstumu nuo taško (2; 0) ir tiesės, lygtį d) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ordinačių ašies atžvilgiu, o jos židinio parametras lygus 5. = –2.

II lygis

2.1. Nustatykite kreivės tipą ir parametrus.

Šiame skyriuje daroma prielaida, kad plokštumoje pasirinkta tam tikra skalė (joje yra visos toliau pateiktos figūros); Nagrinėjamos tik stačiakampės koordinačių sistemos su šia masteliu.

§ 1. Parabolė

Parabolė skaitytojui žinoma iš mokyklos kursas matematika kaip kreivė, kuri yra funkcijos grafikas

(76 pav.). (1)

Bet kurio kvadratinio trinalio grafikas

taip pat yra parabolė; galima tiesiog perkeliant koordinačių sistemą (kokiu vektoriumi OO), t.y. transformuojant

užtikrinti, kad funkcijos grafikas (antrojoje koordinačių sistemoje) sutaptų su grafiku (2) (pirmojoje koordinačių sistemoje).

Tiesą sakant, pakeiskime (3) lygybe (2). Mes gauname

Norime pasirinkti tokį, kad koeficientas už ir nemokamas narys daugianaris (santykinis su ) šios lygybės dešinėje buvo lygus nuliui. Norėdami tai padaryti, mes nustatome iš lygties

kuris duoda

Dabar nustatome iš sąlygos

į kurią pakeičiame jau rastą reikšmę. Mes gauname

Taigi, naudojant pamainą (3), kurioje

mes persikėlėme į nauja sistema koordinates, kuriose parabolės (2) lygtis įgauna formą

(77 pav.).

Grįžkime prie (1) lygties. Tai gali būti parabolės apibrėžimas. Prisiminkime paprasčiausias jo savybes. Kreivė turi simetrijos ašį: jei taškas atitinka (1) lygtį, tada taškas simetriškas taškas M ordinačių ašies atžvilgiu taip pat tenkina (1) lygtį – kreivė yra simetriška ordinačių ašies atžvilgiu (76 pav.).

Jei , tada parabolė (1) yra viršutinėje pusiau plokštumoje, turinti unikalų ryšį su abscisių ašimi bendras taškas APIE.

Neribotai padidėjus abscisių absoliučiai vertei, ordinatės taip pat didėja neribotai. Bendras kreivės vaizdas parodytas fig. 76, a.

Jei (76 pav., b), tai kreivė yra apatinėje pusplokštumoje simetriškai kreivės abscisių ašies atžvilgiu.

Jei pereisime prie naujos koordinačių sistemos, gautos iš senas pakaitalas Teigiama ordinačių ašies kryptis į priešingą, tada parabolė, kurios lygtis y senojoje sistemoje, naujojoje koordinačių sistemoje gaus lygtį y. Todėl tirdami paraboles galime apsiriboti (1) lygtimis, kuriose .

Pagaliau pakeisime ašių pavadinimus, t.y., pereisime prie naujos koordinačių sistemos, kurioje ordinačių ašis bus senoji abscisių ašis, o abscisių ašis – senoji ordinačių ašis. Šioje naujoje sistemoje (1) lygtis bus parašyta forma

Arba, jei skaičius žymimas , formoje

Iškviečiama (4) lygtis analitinė geometrija kanoninė parabolės lygtis; stačiakampė koordinačių sistema, kurioje tam tikra parabolė turi lygtį (4), vadinama kanonine koordinačių sistema (šiai parabolei).

Dabar mes įdiegsime geometrine prasme koeficientas Norėdami tai padaryti, imame taško

vadinama parabolės židiniu (4) ir tiese d, apibrėžta lygtimi

Ši linija vadinama parabolės (4) kryptine (žr. 78 pav.).

Leisti būti savavališkai taškas parabolė (4). Iš (4) lygties matyti, kad taško M atstumas nuo krypties d yra skaičius

M taško atstumas nuo židinio F yra

Tačiau, todėl

Taigi visi parabolės taškai M yra vienodu atstumu nuo jos židinio ir krypties:

Ir atvirkščiai, kiekvienas taškas M, atitinkantis sąlygą (8), yra ant parabolės (4).

Tiesą sakant,

Vadinasi,

ir, atidarius skliaustus ir įtraukus panašius terminus,

Įrodėme, kad kiekviena parabolė (4) yra taškų, vienodu atstumu nuo židinio F ir nuo šios parabolės krypties d, vieta.

Tuo pačiu metu (4) lygtyje nustatėme geometrinę koeficiento reikšmę: skaičius lygus atstumui tarp židinio ir parabolės krypties.

Tarkime, kad taškas F ir tiesė d, nekertantys šio taško, plokštumoje pateikti savavališkai. Įrodykime, kad egzistuoja parabolė, kurios židinys F ir kryptis d.

Norėdami tai padaryti, per tašką F nubrėžkite tiesę g (79 pav.), statmeną tiesei d; abiejų tiesių susikirtimo tašką pažymėkime D; atstumas (t. y. atstumas tarp taško F ir tiesės d) bus žymimas .

Tiesę g paverskime ašimi, kryptį DF laikykime teigiama. Padarykime šią ašį stačiakampės koordinačių sistemos abscisių ašimi, kurios pradžia yra atkarpos vidurys O

Tada tiesė d taip pat gauna lygtį .

Dabar galime parašyti kanoninę parabolės lygtį pasirinktoje koordinačių sistemoje:

kur taškas F bus židinys, o tiesi linija d bus parabolės (4) kryptis.

Aukščiau nustatėme, kad parabolė yra taškų M vieta vienodu atstumu nuo taško F ir tiesės d. Taigi, galime pateikti tokį geometrinį (t.y. nepriklausomą nuo jokios koordinačių sistemos) parabolės apibrėžimą.

Apibrėžimas. Parabolė yra taškų, esančių vienodu atstumu nuo fiksuoto taško (parabolės židinio) ir tam tikros fiksuotos linijos (parabolės krypties), vieta.

Atstumą tarp židinio ir parabolės krypties pažymėdami , visada galime rasti stačiakampę koordinačių sistemą, kuri yra kanoninė tam tikrai parabolei, ty tokią, kurioje parabolės lygtis turi kanoninę formą:

Ir atvirkščiai, bet kuri kreivė, turinti tokią lygtį kokioje nors stačiakampėje koordinačių sistemoje, yra parabolė (ko tik nustatyta geometrine prasme).

Atstumas tarp židinio ir parabolės krypties vadinamas židinio parametru arba tiesiog parabolės parametru.

Tiesė, einanti per židinį, statmeną parabolės krypčiai, vadinama jos židinio ašimi (arba tiesiog ašimi); tai parabolės simetrijos ašis - tai išplaukia iš to, kad parabolės ašis yra abscisių ašis koordinačių sistemoje, kurios atžvilgiu parabolės lygtis turi formą (4).

Jei taškas tenkina (4) lygtį, tai taškas, simetriškas taškui M abscisių ašies atžvilgiu, taip pat tenkina šią lygtį.

Parabolės ir jos ašies susikirtimo taškas vadinamas parabolės viršūne; tai yra koordinačių sistemos kanoninė tam tikros parabolės pradžia.

Pateikime kitą geometrinę parabolės parametro interpretaciją.

Per parabolės židinį nubrėžkime tiesią liniją, statmeną parabolės ašiai; ji kirs parabolę dviejuose taškuose (žr. 79 pav.) ir nustatys vadinamąją parabolės židinio stygą (t. y. styga, einanti per židinį lygiagrečiai parabolės krypčiai). Pusė židinio stygos ilgio yra parabolės parametras.

Tiesą sakant, pusė židinio stygos ilgio yra absoliuti vertė bet kurio taško ordinatės, kurių kiekvieno abscisė lygi židinio abscisei, t.y. Todėl kiekvieno mūsų turimo taško ordinatėms

Q.E.D.

Įveskime stačiakampę koordinačių sistemą, kur . Leiskite ašiai pereiti per fokusą F parabolė ir statmena krypčiai, o ašis eina per vidurį tarp židinio ir krypties. Pažymėkime atstumu tarp židinio ir krypties. Tada krypties lygtis.

Skaičius vadinamas židinio parabolės parametru. Leisti yra dabartinis parabolės taškas. Leisti būti židinio spindulys taško hiperbolė Leisti būti atstumas nuo taško iki Directrix. Tada ( 27 brėžinys.)

27 brėžinys.

Pagal parabolės apibrėžimą. Vadinasi,

Pastatykime lygtį kvadratu ir gausime:

(15)

kur (15) yra kanoninė parabolės lygtis, kuri yra simetriška ašiai ir eina per pradžią.

Parabolės savybių tyrimas

1) Parabolės viršūnė:

(15) lygtį tenkina skaičiai, todėl parabolė eina per pradžią.

2) Parabolės simetrija:

Tegul priklauso parabolei, ty tikrajai lygybei. Taškas yra simetriškas taškui ašies atžvilgiu, todėl parabolė yra simetriška abscisių ašiai.

Parabolės ekscentriškumas:

Apibrėžimas 4.2. Parabolės ekscentriškumas yra skaičius, lygus vienetui.

Kadangi pagal parabolės apibrėžimą.

4) Parabolės liestinė:

Parabolės liestinė liesties taške pateikiama lygtimi

kur ( 28 brėžinys.)

28 brėžinys.

Parabolės vaizdas

29 brėžinys.

Naudojant ESO-Mathcad:

30 brėžinys.)

30 brėžinys.

a) Konstravimas nenaudojant IKT: Norėdami sukurti parabolę, nustatome stačiakampę koordinačių sistemą, kurios centras yra taške O ir vieneto segmentas. Židinį pažymime OX ašyje, nes nubrėžiame tokią, kad ir parabolės kryptis. Statome apskritimą taške, kurio spindulys lygus atstumui nuo tiesės iki parabolės krypties. Apskritimas kerta tiesę taškuose . Sukonstruojame parabolę taip, kad ji eitų per pradžią ir per taškus.( 31 brėžinys.)

31 brėžinys.

b) Naudojant ESO-Mathcad:

Gauta lygtis atrodo taip: . Norėdami sukurti antros eilės eilutę Mathcad programoje, lygtį sumažiname iki formos: .( 32 brėžinys.)

32 brėžinys.

Apibendrinti antrosios eilės linijos teorijos darbą elementarioji matematika o informacijos apie eilutes naudojimo patogumui sprendžiant uždavinius visus duomenis apie antros eilės eilutes įtrauksime į lentelę Nr.

Lentelė Nr.1.

Antrosios eilės elementariosios matematikos eilutės

IKT panaudojimo galimybės tiriant antros eilės linijas

Informatizacijos procesas, šiandien apėmęs visus šiuolaikinės visuomenės gyvenimo aspektus, turi keletą prioritetinių sričių, kurios, be abejo, turėtų apimti ir švietimo informatizavimą. Tai yra pagrindinis pasaulinio žmogaus intelektinės veiklos racionalizavimo, naudojant informacines ir ryšių technologijas (IKT), pagrindas.

Praėjusio amžiaus 90-ųjų viduriui iki šių dienų būdingas platus asmeninių kompiuterių naudojimas ir prieinamumas Rusijoje, plačiai paplitusios telekomunikacijos, leidžiančios į ugdymo procesą įdiegti sukurtas švietimo informacines technologijas, jį tobulinti ir modernizuoti, tobulinti. žinių kokybę, didinant motyvaciją mokytis, maksimaliai išnaudojant mokymosi individualizavimo principą. Informacinės technologijos ugdymui yra būtina priemonė šiame švietimo informatizacijos etape.

Informacinės technologijos ne tik palengvina prieigą prie informacijos ir atveria galimybes ugdomosios veiklos kintamumui, individualizavimui ir diferencijavimui, bet ir leidžia naujai organizuoti visų mokymosi dalykų sąveiką, kurti švietimo sistema, kurioje mokinys būtų aktyvus ir lygiavertis ugdomosios veiklos dalyvis.

Naujų formavimas informacinės technologijos dalykų pamokų rėmuose jie skatina kurti naują programinę įrangą ir metodinius kompleksus, kuriais siekiama kokybiškai pagerinti pamokos efektyvumą. Todėl sėkmingam ir tikslingam naudojimui ugdymo procesas informacinių technologijų priemones, mokytojai turėtų žinoti bendras aprašymas taikomųjų programų veikimo principus ir didaktines galimybes, o vėliau, remdamasi savo patirtimi ir rekomendacijomis, „įmontuoti“ į ugdymo procesą.

Šiuo metu matematikos studijos yra susijusios su daugybe ypatybių ir vystymosi sunkumų. mokyklinis išsilavinimas mūsų šalyje.

Matematikos ugdyme išryškėjo vadinamoji krizė. To priežastys yra šios:

Keičiantis prioritetams visuomenėje ir moksle, tai yra, humanitarinių mokslų prioritetas šiuo metu auga;

Mažinant matematikos pamokų skaičių mokykloje;

Matematinio ugdymo turinio išskyrimas nuo gyvenimo;

Turi mažai įtakos mokinių jausmams ir emocijoms.

Šiandien lieka atviras klausimas: „Kaip efektyviausiai panaudoti potencialias šiuolaikinių informacinių ir ryšių technologijų galimybes mokant moksleivius, taip pat ir mokant matematikos?

Kompiuteris yra puikus pagalbininkas studijuojant tokią temą kaip „Kvadratinė funkcija“, nes specialiomis programomis galima sudaryti įvairių funkcijų grafikus, tyrinėti funkciją, lengvai nustatyti susikirtimo taškų koordinates, apskaičiuoti uždarų figūrų plotus ir kt. Pavyzdžiui, 9 klasės algebros pamokoje, skirtoje grafų transformacijai (tempimui, suspaudimui, koordinačių ašių judėjimui), matosi tik fiksuotas konstravimo rezultatas, o visa mokytojo ir mokinio nuoseklių veiksmų dinamika. monitoriaus ekrane.

Kompiuteris kaip niekas kitas techninėmis priemonėmis, tiksliai, aiškiai ir įdomiai atskleidžia mokiniui idealius matematinius modelius, t.y. ko vaikas turėtų siekti savo praktiniuose veiksmuose.

Kiek sunkumų turi įveikti matematikos mokytojas, kad įtikintų mokinius, kad grafiko liestinė kvadratinė funkcija sąlyčio taške praktiškai susilieja su funkcijos grafiku. Šį faktą labai lengva pademonstruoti kompiuteriu – pakanka susiaurinti intervalą išilgai Ox ašies ir atrasti, kad labai mažoje liestinės taško kaimynystėje funkcijos grafikas ir liestinės linijos sutampa. Visi šie veiksmai vyksta mokinių akivaizdoje. Šis pavyzdys suteikia impulsą aktyviai apmąstyti pamoką. Naudotis kompiuteriu galima tiek naujos medžiagos aiškinimo pamokoje, tiek kontrolės etape. Naudodamas šias programas, pavyzdžiui, „Mano testas“, studentas gali savarankiškai pasitikrinti savo žinių lygį teorijoje ir atlikti teorines bei praktines užduotis. Programos patogios dėl savo universalumo. Jie gali būti naudojami ir savikontrolei, ir mokytojo kontrolei.

Protingas matematikos ir kompiuterinių technologijų integravimas leis turtingiau ir giliau pažvelgti į problemos sprendimo ir matematinių dėsnių suvokimo procesą. Be to, kompiuteris padės formuoti grafinę, matematinę ir psichinę mokinių kultūrą, o kompiuterio pagalba galėsite paruošti didaktinę medžiagą: korteles, apklausų lapus, testus ir kt. Tuo pačiu duokite vaikams galimybė savarankiškai rengti testus šia tema, kurių metu susidomėjimas ir kūrybiškas požiūris.

Taigi atsiranda poreikis matematikos pamokose naudoti kompiuterius kuo plačiau. Informacinių technologijų naudojimas padės pagerinti žinių kokybę, praplės kvadratinės funkcijos tyrimo akiratį, todėl padės rasti naujų perspektyvų išlaikyti studentų susidomėjimą dalyku ir tema, taigi ir geresnį, dėmesingesnį požiūrį į ją. . Šiuolaikinės informacinės technologijos šiandien tampa svarbiausia priemone modernizuojant mokyklą kaip visumą – nuo ​​vadybos iki ugdymo ir švietimo prieinamumo užtikrinimo.

Apsvarstykite liniją plokštumoje ir tašką, esantį ne ant šios linijos. IR elipsė, Ir hiperbolė gali būti apibrėžiamas vieningai kaip geometrinis taškų lokusas, kurio atstumo iki tam tikro taško ir atstumo iki nurodytos tiesės santykis yra pastovi reikšmė

rangas ε. Prie 0 1 – hiperbolė. Parametras ε yra tiek elipsės, tiek hiperbolės ekscentriškumas. Iš galimų teigiamas vertes vienas parametras ε, būtent ε = 1, pasirodo nenaudojamas. Ši reikšmė atitinka geometrinį taškų, esančių vienodu atstumu nuo nurodyto taško ir nuo nurodytos linijos, lokusą.

Apibrėžimas 8.1. Geometrinė vieta vadinami plokštumos taškai, esantys vienodu atstumu nuo fiksuoto taško ir nuo fiksuotos linijos parabolė.

Fiksuotasis taškas vadinamas parabolės židinys, o tiesi linija - parabolės kryptis. Kartu manoma, kad parabolės ekscentriškumas lygus vienam.

Iš geometrinių svarstymų išplaukia, kad parabolė yra simetriška tiesei, statmenai krypčiai ir einančia per parabolės židinį. Ši tiesi linija vadinama parabolės simetrijos ašimi arba tiesiog parabolės ašis. Parabolė kerta savo simetrijos ašį viename taške. Šis taškas vadinamas parabolės viršūnė. Jis yra atkarpos, jungiančios parabolės židinį su jos ašies susikirtimo su kryptine tašku, viduryje (8.3 pav.).

Parabolės lygtis. Norėdami gauti parabolės lygtį, pasirenkame plokštumoje kilmės parabolės viršūnėje, as x ašis- parabolės ašis, kurios teigiamą kryptį nurodo židinio padėtis (žr. 8.3 pav.). Ši koordinačių sistema vadinama kanoninis aptariamai parabolei, o atitinkami kintamieji yra kanoninis.

Atstumą nuo židinio iki krypties pažymėkime p. Jie jį vadina parabolės židinio parametras.

Tada židinys turi koordinates F(p/2; 0), o kryptis d apibūdinama lygtimi x = - p/2. Taškų M(x; y), vienodu atstumu nuo taško F ir nuo tiesės d, lokusas pateikiamas pagal lygtį

Pastatykime (8.2) lygtį kvadratu ir pateiksime panašias. Gauname lygtį

kuris vadinamas kanoninė parabolės lygtis.

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratas šiuo atveju - lygiavertis konvertavimas lygtis (8.2), nes abi lygties pusės yra neneigiamos, kaip ir išraiška po radikalu.

Parabolės tipas. Jei parabolė y 2 = x, kurios formą laikome žinoma, yra suspausta koeficientu 1/(2p) išilgai x ašies, tada bus gauta parabolė bendras vaizdas, kuri apibūdinama (8.3) lygtimi.

8.2 pavyzdys. Raskime židinio koordinates ir parabolės krypties lygtį, jei ji eina per tašką, kurio kanoninės koordinatės yra (25; 10).

IN kanonines koordinates parabolės lygtis yra y 2 = 2px. Kadangi taškas (25; 10) yra ant parabolės, tada 100 = 50p, taigi p = 2. Todėl y 2 = 4x yra kanoninė parabolės lygtis, x = - 1 yra jos krypties lygtis, o fokusas yra taške (1; 0 ).

Optinė parabolės savybė. Parabolė turi šiuos dalykus optinė savybė. Jei šviesos šaltinis yra parabolės židinyje, tada viskas šviesos spinduliai atsispindėjus nuo parabolės, jos bus lygiagrečios parabolės ašiai (8.4 pav.). Optinė savybė reiškia, kad bet kuriame parabolės taške M normalus vektorius liestinė sudaro vienodus kampus su židinio spinduliu MF ir abscisių ašimi.