Tarp daugelio vidurinės mokyklos dalykų yra vienas toks, kaip „geometrija“. Tradiciškai manoma, kad šio sisteminio mokslo pradininkai yra graikai. Šiandien graikų geometrija vadinama elementaria, nes būtent ji pradėjo tyrinėti paprasčiausias formas: plokštumas, tiesias linijas ir trikampius. Mes sutelksime dėmesį į pastarąjį, tiksliau, į šios figūros pusiausvyrą. Tiems, kurie jau pamiršo, trikampio pusiausvyra yra vieno iš trikampio kampų pusiausvyros atkarpa, kuri padalija ją pusiau ir jungia viršūnę su tašku, esančiu priešingoje pusėje.

Trikampio pusiausvyra turi keletą savybių, kurias reikia žinoti sprendžiant tam tikras problemas:

Kampo bisektorius yra lokusas taškai, esantys vienodais atstumais nuo šonų, besiribojančių su kampu.
Trikampio pusiausvyra padalija kampui priešingą kraštinę į atkarpas, kurios yra proporcingos gretimose pusėse. Pavyzdžiui, duotas trikampis MKB, kur iš kampo K išnyra bisektorius, jungiantis šio kampo viršūnę su tašku A priešingoje pusėje MB. Išanalizavęs šis turtas ir mūsų trikampis, turime MA/AB=MK/KB.
Taškas, kuriame susikerta visų trijų trikampio kampų pusės, yra apskritimo, įrašyto į tą patį trikampį, centras.
Vieno išorinio ir dviejų bisektorių pagrindas vidiniai kampai yra toje pačioje tiesėje, su sąlyga, kad pusiausvyra išorinis kampas nėra lygiagreti priešingai trikampio kraštinei.
Jei du vieno dalikliai, tada tai

Pažymėtina, kad jei pateikiami trys bisektoriniai, tada iš jų sukurti trikampį, net ir naudojant kompasą, neįmanoma.

Labai dažnai sprendžiant uždavinius trikampio pusiausvyra nežinoma, tačiau būtina nustatyti jo ilgį. Norėdami išspręsti tokią problemą, turite žinoti kampą, kuris yra padalintas per pusę iš bisektoriaus ir kraštinių, esančių šalia šio kampo. Šiuo atveju reikalingas ilgis apibrėžiamas kaip dvigubo kraštinių, besiribojančių su kampu, sandaugos ir kampo kosinuso, padalyto per pusę, santykis su kraštinių, esančių greta kampo, sumos santykis. Pavyzdžiui, atsižvelgiant į tą patį trikampį MKB. Bisektorius išeina iš kampo K ir susikerta priešinga pusė MV taške A. Kampas, iš kurio iškyla bisektorius, bus pažymėtas y. Dabar užrašykite viską, kas pasakyta žodžiais, formulės forma: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Jei kampo, iš kurio išeina trikampio pusiausvyra, reikšmė nežinoma, bet žinomos visos jo kraštinės, tai pusiaukampio ilgiui apskaičiuoti naudosime papildomą kintamąjį, kurį pavadinsime pusperimetru ir žymime raidė P: P=1/2*(MK+KB+MB). Po to atliksime kai kuriuos ankstesnės formulės, pagal kurią buvo nustatytas bisektoriaus ilgis, pakeitimų, būtent trupmenos skaitiklyje įdėsime dvigubą kraštinių, besiribojančių su kampu, ilgių sandaugą per pusperimetrą. ir koeficientas, kur iš pusperimetro atimamas trečiosios kraštinės ilgis. Vardiklį paliksime nepakeistą. Formulės pavidalu ji atrodys taip: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Bisektorius lygiašonis trikampis kartu su bendrosios savybės turi keletą savo. Prisiminkime, koks tai trikampis. Toks trikampis turi dvi lygias kraštines ir lygius kampus, besiribojančius su pagrindu. Iš to išplaukia, kad lygiašonio trikampio šoninėse kraštinėse krintančios pusės yra lygios viena kitai. Be to, iki pagrindo nuleistas bisektorius yra ir aukštis, ir mediana.

Vidiniai trikampio kampai vadinami trikampio bisektoriumi.
Trikampio kampo pusiausvyra taip pat suprantama kaip atkarpa tarp jo viršūnės ir dvikampio susikirtimo su priešinga trikampio kraštine taško.
8 teorema. Trys trikampio pusiausvyros susikerta viename taške.
Iš tiesų, pirmiausia panagrinėkime dviejų pusių, pavyzdžiui, AK 1 ir VK 2, susikirtimo tašką P. Šis taškas yra vienodai nutolęs nuo kraštinių AB ir AC, nes jis yra ant kampo A bisektoriaus ir vienodai nutolęs nuo kraštinių AB ir BC, nes priklauso kampo B pusiausvyrai. Tai reiškia, kad jis yra vienodai nutolęs nuo kraštinės AC ir BC, taigi priklauso trečiajam bisektoriui CK 3, tai yra, taške P susikerta visi trys bisektoriai.
Trikampio vidinio ir išorinio kampų pusiausvyros savybės
9 teorema. Trikampio vidinio kampo bisektorius padalija priešingą kraštinę į dalis, proporcingas gretimoms kraštinėms.
Įrodymas. Nagrinėkime trikampį ABC ir jo kampo B pusiausvyrą. Per viršūnę C nubrėžkime tiesę CM, lygiagrečią pusiausvyrai BC, kol ji taške M susikerta su kraštinės AB tęsiniu. Kadangi VC yra kampo ABC pusiausvyra, tai ∠ ABC = ∠ KBC. Be to, ∠ AVK=∠ IUD, as atitinkami kampai lygiagrečioms tiesėms ir ∠ KVS=∠ VSM, kaip skersiniai kampai lygiagrečioms tiesėms. Vadinasi ∠ ВСМ=∠ ВМС, todėl trikampis ВСМ yra lygiašonis, vadinasi, ВС=ВМ. Pagal teoremą apie lygiagrečias tieses, kertančias kampo kraštines, turime AK:K C=AB:VM=AB:BC, ką ir reikėjo įrodyti.
10 teorema Išorinio kampo B pusiausvyra trikampis ABC turi panašią savybę: atkarpos AL ir CL nuo viršūnių A ir C iki pusės taško L susikirtimo su kraštinės AC tęsiniu yra proporcingos trikampio kraštinėms: AL: C.L.=AB:BC.
Ši savybė įrodoma taip pat, kaip ir ankstesnė: paveiksle pagalbinė tiesė SM nubrėžta lygiagrečiai pusiausvyrai BL. Kampai BMC ir BC yra lygūs, vadinasi, trikampio BMC kraštinės BM ir BC yra lygios. Iš to darome išvadą AL:CL=AB:BC.

d4 teorema. (pirmoji pusiausvyros formulė): Jei trikampyje ABC atkarpa AL yra kampo A pusiausvyra, tai AL? = AB·AC – LB·LC.

Įrodymas: Tegul M yra tiesės AL susikirtimo taškas su apskritimu, apibrėžtu apie trikampį ABC (41 pav.). Kampas BAM lygus kampui MAC pagal sąlygą. Kampai BMA ir BCA sutampa kaip įbrėžtieji kampai, sujungti ta pačia styga. Tai reiškia, kad trikampiai BAM ir LAC yra panašūs dviem kampais.<=>Todėl AL: AC = AB: AM. Taigi AL · AM = AB · AC<=>AL (AL + LM) = AB AC

AL? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Ką ir reikėjo įrodyti. Pastaba: teoremą apie susikertančių stygų atkarpas apskritime ir apie įbrėžtus kampus žr. temoje apskritimas ir apskritimas.
d5 teorema.

Įrodymas:(antra pusiausvyros formulė): Trikampyje ABC, kurio kraštinės AB=a, AC=b ir kampas A lygus 2? ir pusiausvyrą l, lygybė galioja: l = (2ab / (a+b)) cos?. Tegul ABC būna<=>duotas trikampis<=>, AL yra jo bisektorius (42 pav.), a=AB, b=AC, l=AL. Tada S ABC = S ALB + S ALC. Todėl absin2? = alsin? +blsin?

2absin?·cos? = (a + b) lsin?

l = 2·(ab / (a+b))· cos?. Teorema įrodyta.

Išorinio kampo bisektorius Trikampio išorinio kampo bisektorius kerta jo kraštinės tęsinį taške, nuo kurio atstumai iki šios kraštinės galų yra atitinkamai proporcingi gretimoms trikampio kraštinėms. C B A D

Bisektoriaus ilgio formulės:

Formulė atkarpų, į kurias bisektorius dalija priešingą trikampio kraštinę, ilgių radimui

Formulė, kaip rasti atkarpų, į kurias pusiausvyra padalinta iš pusiausvyros susikirtimo taško, ilgių santykio

Uždavinys 1. Vienas iš trikampio pusiasalių, skaičiuojant nuo viršūnės, yra padalintas iš pusiaukampių susikirtimo taško santykiu 3:2. Raskite trikampio perimetrą, jei trikampio kraštinės, į kurią nubrėžta ši pusiausvyra, ilgis yra 12 cm.

Sprendimas Naudodami formulę suraskime atkarpų, į kurias dalijama pusiausvyra iš trikampio pusiaukampių susikirtimo taško, ilgių santykį:   a + c = = 18  P ∆ ABC = a + b + c = b +(a + c) = 12 + 18 = 30. Atsakymas: P = 30cm.

2 užduotis. Bisektoriniai BD ir CE ∆ ABC susikerta taške O. AB=14, BC=6, AC=10. Raskite O D.

Sprendimas. Bisektoriaus ilgiui rasti naudodamiesi formule: Turime: BD = BD = = Pagal atkarpų, į kurias dalijama pusiau atkarpa, santykio formulę iš pusiausvyros susikirtimo taško: l = . 2 + 1 = iš viso 3 dalys.

tai yra 1 dalis  OD = Atsakymas: OD =

Uždaviniai ∆ ABC nubrėžtos pusiausvyros AL ir BK. Raskite atkarpos KL ilgį, jei AB = 15, AK =7,5, BL = 5. Ties ∆ ABC yra pusiausvyra AD, o per tašką D tiesė, lygiagreti AC ir kertanti AB taške E. Raskite atkarpos santykį. plotai ∆ ABC ir ∆ BDE , jei AB = 5, AC = 7. Raskite pusiausvyras aštrūs kampai stačiakampis trikampis su kojomis 24 cm ir 18 cm. Stačiakampyje smailaus kampo pusiausvyra padalija priešingą koją į 4 ir 5 cm ilgio segmentus.

5. Lygiašoniame trikampyje pagrindas ir pusėje yra lygūs atitinkamai 5 ir 20 cm. Raskite trikampio pagrindo kampo pusiausvyrą. 6. Raskite pusiausvyrą stačiu kampu trikampis, kurio kojos lygios a ir b. 7. Apskaičiuokite trikampio ABC, kurio kraštinių ilgis yra a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm, puskampio ilgį. 8. Trikampyje ABC kraštinių AB, BC ir AC ilgiai yra santykis atitinkamai 2:4:5. Raskite santykį, kuriuo vidinių kampų pusiausvyros yra padalintos jų susikirtimo taške.

Atsakymai: Atsakymas: Atsakymas: Atsakymas: Atsakymas: Atsakymas: Atsakymas: Atsakymas: Atsakymas: AP = 6 AP = 10 cm KL = CP =

Sorokina Vika

Pateikiami trikampio pusiausvyros savybių įrodymai ir nagrinėjamas teorijos pritaikymas uždavinių sprendimui.

Parsisiųsti:

Peržiūra:

Saratovo administracijos švietimo komitetas, Oktyabrsky rajono savivaldybės autonominis rajonas ugdymo įstaiga vardu pavadintas licėjus Nr. A. S. Puškinas.

Savivaldybės mokslinė-praktinė

konferencija

„Pirmieji žingsniai“

Tema: Bisektorius ir jo savybės.

Darbą atliko: 8 klasės mokinė

Sorokina ViktorijaMokslinis vadovas: Aukščiausios kategorijos matematikos mokytojasPopova Nina Fedorovna.

Saratovas 2011 m

Titulinis puslapis……………………………………………………………1
Turinys…………………………………………………………2
Įvadas ir tikslai…………………………………………………………… ..3
Bisektoriaus savybių įvertinimas

Trečioji taškų vieta…………………………………….3
1 teorema………………………………………………………………… 4
2 teorema……………………………………………………………… 4
Pagrindinė trikampio pusiausvyros savybė:

3 teorema…………………………………………………………………4
1 užduotis…………………………………………………………………….7
2 užduotis……………………………………………………………….8
3 užduotis………………………………………………………………………………..9
4 užduotis……………………………………………………………….9-10

4 teorema……………………………………………………… 10-11
Bisektoriaus radimo formulės:

5 teorema……………………………………………………………….11
6 teorema……………………………………………………………….11
7 teorema……………………………………………………………….12
5 užduotis………………………………………………………………12-13

8 teorema……………………………………………………………….13
6 užduotis……………………………………………………………….14
7 užduotis…………………………………………………………… 14-15
Kardinalių krypčių nustatymas naudojant bisektorių………………15

Išvada ir išvada………………………………………………………..15
Literatūros sąrašas………………………………………..16

Bisektorius

Geometrijos pamokoje, studijuojant temą panašūs trikampiai, susidūriau su problema teoremoje apie pusiausvyros santykį su priešingomis kraštinėmis. Atrodytų, bisektoriaus temoje gali būti kažkas įdomaus, bet ši tema mane sudomino, ir norėjau ją panagrinėti giliau. Galų gale, bisektorius yra labai turtingas savo nuostabios savybės, padedantis spręsti įvairias problemas.

Svarstydami šią temą pastebėsite, kad geometrijos vadovėliuose labai mažai kalbama apie bisektoriaus ypatybes, tačiau egzaminuose, jas žinant, uždavinius galima išspręsti daug lengviau ir greičiau. Be to, norėdami išlaikyti GIA ir vieningus valstybinius egzaminus, šiuolaikiniai studentai turi mokytis patys papildomos medžiagosĮ mokyklos mokymo programa. Štai kodėl aš nusprendžiau išsamiau išnagrinėti bisektoriaus temą.

Bisector (iš lot. bi- „dvigubas“ ir sectio kampo "pjovimas") yra spindulys, kurio pradžia yra kampo viršūnėje, dalijantis kampą į dvi lygias dalis. Kampo bisektorius (kartu su jo išplėtimu) yra taškų, vienodu atstumu nuo kampo kraštinių (arba jų plėtinių) vieta)

Trečias taškų lokusas

F paveikslas yra taškų lokusas (taškų rinkinys), turintis kokią nors savybę A, jei tenkinamos dvi sąlygos:

nuo to, kad taškas priklauso figūrai F, iš to išplaukia, kad ji turi nuosavybę A;
nuo to, kad taškas tenkina turtą A, iš to seka, kad jis priklauso figūrai F.

Pirmoji geometrijoje nagrinėjamų taškų lokusas yra apskritimas, t.y. taškų, esančių vienodu atstumu nuo vieno fiksuoto taško, vieta. Antra - statmenas bisektorius segmentas, t.y. taškų, esančių vienodu atstumu nuo atkarpos pabaigos, vieta. Ir galiausiai, trečiasis - bisektorius - geometrinis taškų, esančių vienodu atstumu nuo kampo kraštų, lokusas

1 teorema:

Bisektoriaus taškai yra vienodai nutolę nuo šonų jis kampelis.

Įrodymas:

Tegul R - Bisektoriaus taškas A. Nukreipkime nuo esmėsP statmenai RV ir Kompiuteris kampo šonuose. Tada VAR = SAR hipotenuze ir smailiu kampu. Vadinasi, PB = PC

2 teorema:

Jei taškas P yra vienodai nutolęs nuo kampo A kraštinių, tada jis yra ant pusiausvyros.

Įrodymas: PB = PC => VAR = CAP => BAP = CAP => AR yra pusiausvyra.

Tarp pagrindinių geometrinių faktų yra teorema, kad bisektorius dalija priešingą pusę priešingų kraštų atžvilgiu. Šis faktas ilgą laiką liko šešėlyje, tačiau visur yra problemų, kurias daug lengviau išspręsti, jei žinai šį ir kitus faktus apie pusiausvyrą. Pradėjau domėtis ir nusprendžiau šią bisektoriaus savybę patyrinėti giliau.

Pagrindinė trikampio kampo pusiausvyros savybė

3 teorema. Bisektorius dalija priešingą trikampio kraštinę gretimų kraštinių atžvilgiu.

1 įrodymas:

Duota: AL - trikampio ABC bisektorius

Įrodykite:

Įrodymas: tegul F yra linijos susikirtimo taškas AL ir tiesė, einanti per tašką IN lygiagrečiai kintamosios srovės pusei.

Tada BFA = FAC = BAF. Todėl B.A.F. lygiašoniai ir AB = BF. Iš trikampių panašumo

Turime ALC ir FLB

santykis

kur

2 įrodymas

Tegul F yra taškas, kertamas tiesės AL ir tiesės, einančios per tašką C lygiagrečiai pagrindui AB. Tada galite pakartoti samprotavimus.

3 įrodymas Tegul K ir M yra statmenų, numestų į tiesę, pagrindai AL iš taškų B ir C
atitinkamai. Trikampiai ABL ir ACL yra panašūs dviem kampais. Štai kodėl

. Ir iš BKL ir CML panašumo turime

Iš čia

4 įrodymas Naudokime ploto metodą. Apskaičiuokime trikampių plotus ABL ir ACL

dviem būdais.

Iš čia.

5 įrodymas Tegul α= JŪS, φ=

BLA. Pagal sinusų teoremą trikampyje ABL.

Ir trikampyje ACL

Tada, padalijus abi lygybės puses į atitinkamas kitos dalis, gauname.

1 problema

Duota: Trikampyje ABC VC yra pusiausvyra, BC = 2, KS = 1,

Sprendimas:

2 problema

Duota:

Raskite stačiojo trikampio su 24 ir 18 kojelėmis smailiųjų kampų pusiausvyras

Sprendimas:

Tegul kraštinė AC = 18, kraštinė BC = 24,

A.M. - trikampio pusiausvyra.

Naudodami Pitagoro teoremą randame,

kad AB = 30.

Nuo tada

Panašiai suraskime antrąją pusiausvyrą.

Atsakymas:

3 problema

Stačiakampiame trikampyje ABC su stačiu kampu B kampo bisektorius A kerta šoną B.C.

Taške D. Yra žinoma, kad BD = 4, DC = 6.

Raskite trikampio plotą ADC

Sprendimas:

Pagal trikampio pusiausvyros savybę

Pažymime AB = 2 x, AC = 3 x. Pagal teoremą

Pitagoras BC 2 + AB 2 = AC 2 arba 100 + 4 x 2 = 9 x 2

Iš čia mes tai randame x = Tada AB = , S ABC=

Vadinasi,

4 problema

Duota:

Lygiašoniame trikampyje ABC pusėje AB lygus 10, bazė AC yra 12.

Kampų pusiausvyros A ir C susikerta taške D. Raskite BD.

Sprendimas:

Kadangi trikampio pusiausvyros susikerta ties

Vienas taškas, tada BD yra B pusiausvyra. Tęskime BD iki sankryžos su AC taške M. Tada M yra AC, BM AC vidurio taškas. Štai kodėl

Nuo CD - trikampio pusiausvyra Tada BMC

Vadinasi,.

Atsakymas:

4 teorema. Trys trikampio pusiausvyros susikerta viename taške.

Iš tiesų, pirmiausia panagrinėkime dviejų pusių sankirtos tašką P, pavyzdžiui, AK 1 ir VK 2 . Šis taškas yra vienodai nutolęs nuo kraštinių AB ir AC, nes yra ant pusiausvyrosA, ir yra vienodai nutolęs nuo kraštinių AB ir BC, kaip priklausantis pusiausvyraiB. Tai reiškia, kad jis yra vienodai nutolęs nuo kraštinių AC ir BC, taigi priklauso trečiajam bisektoriui SC 3 , tai yra, taške P susikerta visos trys pusiausvyros.

Bisektoriaus radimo formulės
5 teorema: (pirmoji pusiausvyros formulė): Jei trikampyje ABC atkarpa AL yra pusiausvyra A, tada AL² = AB·AC – LB·LC.

Įrodymas: Tegul M yra tiesės AL susikirtimo taškas su apskritimu, apibrėžtu apie trikampį ABC (41 pav.). Kampas BAM lygus kampui MAC pagal sąlygą. Kampai BMA ir BCA sutampa kaip įbrėžtieji kampai, sujungti ta pačia styga. Tai reiškia, kad trikampiai BAM ir LAC yra panašūs dviem kampais. Todėl AL: AC = AB: AM. Tai reiškia AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Q.E.D.

6 teorema: . (antra pusiausvyros formulė): Trikampyje ABC, kurio kraštinės AB=a, AC=b irA lygi 2α ir pusiausvyrai l, lygybė galioja:
l = (2ab / (a+b)) cosα.

Įrodymas : Tegu ABC yra duotasis trikampis, AL jo bisektorius, a=AB, b=AC, l=AL. Tada S ABC = S ALB + S ALC . Todėl ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. Teorema įrodyta.

7 teorema: Jei a, b yra trikampio kraštinės, Y yra kampas tarp jų,yra šio kampo pusiausvyra. Tada.

Geometrija yra vienas sudėtingiausių ir painiausių mokslų. Joje tai, kas iš pirmo žvilgsnio atrodo akivaizdu, labai retai pasirodo teisinga. Bisektoriniai, aukščiai, medianos, projekcijos, liestinės - didžiulė suma tikrai sudėtingi terminai, kuriuos labai lengva supainioti.

Tiesą sakant, turėdami tinkamą norą, galite suprasti bet kokio sudėtingumo teoriją. Kalbant apie pusiausvyras, medianas ir aukščius, turite suprasti, kad jie nėra būdingi tik trikampiams. Iš pirmo žvilgsnio tai paprastos linijos, tačiau kiekvienas iš jų turi savo savybes ir funkcijas, kurių žinojimas labai supaprastina sprendimą geometrinės problemos. Taigi, kas yra trikampio pusiausvyra?

Apibrėžimas

Pats terminas „bisektorius“ kilęs iš derinio Lotynų kalbos žodžiai„du“ ir „supjaustyti“, „supjaustyti“, o tai jau netiesiogiai nurodo jo savybes. Paprastai, kai vaikai supažindinami su šiuo spinduliu, jiems duodama trumpa frazė, kurią reikia prisiminti: „Biektoris yra žiurkė, kuri bėga per kampus ir dalija kampą per pusę“. Natūralu, kad vyresniems moksleiviams toks paaiškinimas netinka, be to, dažniausiai klausiama ne apie kampą, o apie geometrinę figūrą. Taigi trikampio bisektorius yra spindulys, jungiantis trikampio viršūnę su priešinga kraštine, tuo pačiu padalijant kampą į dvi lygias dalis. Priešingoje pusėje esantis taškas, į kurį nukreipta pusiausvyra savavališkas trikampis parenkamas atsitiktinai.

Pagrindinės funkcijos ir savybės

Ši sija turi keletą pagrindinių savybių. Pirma, kadangi trikampio pusiausvyra dalija kampą, bet kuris ant jo esantis taškas bus vienodas atstumas iš šonų, formuojančių viršų. Antra, kiekviename trikampyje pagal turimų kampų skaičių galite nubrėžti tris bisektorius (taigi, tame pačiame keturkampyje jų jau bus keturi ir pan.). Taškas, kuriame susikerta visi trys spinduliai, yra į trikampį įbrėžto apskritimo centras.

Savybės tampa sudėtingesnės

Šiek tiek apsunkinkime teoriją. Dar vienas dalykas įdomi nuosavybė: trikampio kampo bisektorius dalija priešingą kraštinę į atkarpas, kurių santykis lygus viršūnę sudarančių kraštinių santykiui. Iš pirmo žvilgsnio tai sudėtinga, bet iš tikrųjų viskas paprasta: siūlomame paveikslėlyje RL: LQ = PR: PK. Beje, ši savybė buvo vadinama „Biektorių teorema“ ir pirmą kartą pasirodė senovės graikų matematiko Euklido darbuose. Prisiminėme jį viename iš Rusų vadovėliai tik XVII amžiaus pirmajame ketvirtyje.

Tai šiek tiek sudėtingiau. Keturkampyje pusiaukampis nupjauna lygiašonį trikampį. Šis paveikslas rodo viską vienodi kampai vidutiniam AF.

O keturkampiuose ir trapecijose vienpusių kampų pusiausvyros yra statmenos viena kitai. Pavaizduotame brėžinyje kampas APB yra 90 laipsnių.

Lygiašoniame trikampyje

Lygiašonio trikampio bisektorius yra daug naudingesnis spindulys. Tai tuo pat metu ne tik kampo daliklis per pusę, bet ir mediana bei aukštis.

Mediana yra segmentas, kuris ateina iš kurio nors kampo ir patenka į priešingos pusės vidurį, taip padalydamas jį į lygias dalis. Aukštis yra statmenas, nusileidęs iš viršūnės į priešingą pusę, būtent jo pagalba bet kurią problemą galima redukuoti į paprastą ir primityvią Pitagoro teoremą. Esant tokiai situacijai, trikampio pusiausvyra yra lygi skirtumo tarp hipotenuzės kvadrato ir kitos kojos šaknei. Beje, su šia savybe dažniausiai susiduriama geometrinėse problemose.

Konsoliduoti: šiame trikampyje bisektorius FB yra mediana (AB = BC) ir aukštis (kampai FBC ir FBA yra 90 laipsnių).

Apskritai

Taigi, ką reikia atsiminti? Trikampio pusiausvyra yra spindulys, dalijantis jo viršūnę. Trijų spindulių sankirtoje yra šiame trikampyje įrašyto apskritimo centras (vienintelis šios savybės trūkumas yra tas, kad jis neturi praktinės vertės ir tarnauja tik kompetentingam brėžinio atlikimui). Jis taip pat padalija priešingą pusę į segmentus, kurių santykis yra lygus kraštinių, tarp kurių šis spindulys praėjo, santykiui. Keturkampyje savybės tampa šiek tiek sudėtingesnės, tačiau, reikia pripažinti, jos praktiškai niekada neatsiranda problemose mokyklos lygiu, todėl dažniausiai jie programoje neliečiami.

Lygiašonio trikampio pusiausvyra yra didžiausia bet kurio moksleivio svajonė. Tai yra ir mediana (ty dalija priešingą pusę per pusę), ir aukštis (statmena tai pusei). Sprendžiant uždavinius su tokiu bisektoriumi, redukuojama iki Pitagoro teoremos.

Žinios pagrindinės funkcijos Bisektorius, taip pat jo pagrindinės savybės, yra būtinos sprendžiant geometrines užduotis tiek vidutinės, tiek aukšto lygio sudėtingumo. Tiesą sakant, šis spindulys randamas tik planimetrijoje, todėl negalima teigti, kad įsimenant informaciją apie jį galėsite susidoroti su visų tipų užduotimis.