Bet kokia nelygybė, kurios šaknyje yra funkcija, vadinama neracionalus. Yra dviejų tipų tokios nelygybės:
Pirmuoju atveju šaknis mažiau funkcijų g (x), antroje - daugiau. Jei g(x) – pastovus, nelygybė labai supaprastinta. Atkreipkite dėmesį: išoriškai šios nelygybės yra labai panašios, tačiau jų sprendimo schemos iš esmės skiriasi.
Šiandien išmoksime išspręsti neracionalias pirmojo tipo nelygybes – jos yra paprasčiausios ir suprantamiausios. Nelygybės ženklas gali būti griežtas arba negriežtas. Jiems tinka šis teiginys:
Teorema. Bet kokia neracionali formos nelygybė
Atitinka nelygybių sistemą:
Ar ne silpna? Pažiūrėkime, iš kur atsirado ši sistema:
- f (x) ≤ g 2 (x) – čia viskas aišku. Tai yra pradinė nelygybė kvadratu;
- f (x) ≥ 0 yra šaknies ODZ. Leiskite jums priminti: aritmetika kvadratinė šaknis egzistuoja tik nuo neneigiamas skaičiai;
- g(x) ≥ 0 yra šaknies diapazonas. Padalindami nelygybę kvadratu, sudeginame neigiamus dalykus. Dėl to gali atsirasti papildomų šaknų. Nelygybė g(x) ≥ 0 juos atkerta.
Daugelis studentų „užsikabina“ ant pirmosios sistemos nelygybės: f (x) ≤ g 2 (x) – ir visiškai pamiršta kitas dvi. Rezultatas yra nuspėjamas: neteisingas sprendimas, prarastų taškų.
Kadangi pakanka iracionalių nelygybių sudėtinga tema, pažvelkime į 4 pavyzdžius iš karto. Nuo pagrindinio iki tikrai sudėtingo. Visos problemos paimtos iš stojamieji egzaminai Maskvos valstybinis universitetas pavadintas M. V. Lomonosovas.
Problemų sprendimo pavyzdžiai
Užduotis. Išspręskite nelygybę:
Prieš mus yra klasika neracionali nelygybė: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 yra konstanta. Turime:
Iš trijų nelygybių sprendimo pabaigoje liko tik dvi. Kadangi visada galioja nelygybė 2 ≥ 0. Perbraukime likusias nelygybes:
Taigi, x ∈ [−1,5; 0,5]. Visi taškai užtamsinti, nes nelygybės nėra griežtos.
Užduotis. Išspręskite nelygybę:
Taikome teoremą:
Išspręskime pirmąją nelygybę. Norėdami tai padaryti, atskleisime skirtumo kvadratą. Turime:
2x 2 - 18x + 16< (x
− 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x
2 − 8x
+ 16:
x 2 - 10x< 0;
x (x – 10)< 0;
x ∈ (0; 10).
Dabar išspręskime antrąją nelygybę. Ten irgi kvadratinis trinaris:
2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 – 9x + 8 ≥ 0;
(x - 8) (x - 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)
