Kvadratinės lygtys. Diskriminuojantis. Sprendimas, pavyzdžiai.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai…“)

Kvadratinių lygčių tipai

Kas yra kvadratinė lygtis? Kaip tai atrodo? Per terminą kvadratinė lygtis raktinis žodis yra "kvadratas". Tai reiškia, kad lygtyje Būtinai turi būti x kvadratas. Be jo, lygtyje gali būti (arba negali būti!) tik X (iki pirmos laipsnio) ir tik skaičius (laisvas narys). Ir neturėtų būti X laipsnio, didesnio nei du.

Kalbėdamas matematinė kalba, kvadratinė lygtis yra tokios formos lygtis:

Čia a, b ir c- kai kurie skaičiai. b ir c- Visiškai bet koks, bet A– nieko kito nei nulis. Pavyzdžiui:

Čia A =1; b = 3; c = -4

Čia A =2; b = -0,5; c = 2,2

Čia A =-3; b = 6; c = -18

Na, supranti...

Šiose kvadratinėse lygtyse kairėje yra pilna komplektacija narių. X kvadratu su koeficientu A, x iki pirmojo laipsnio su koeficientu b Ir laisvas narys s.

Tokios kvadratinės lygtys vadinamos pilnas.

O jeigu b= 0, ką mes gauname? Turime X bus prarastas pirmajai galiai. Taip atsitinka padauginus iš nulio.) Pasirodo, pavyzdžiui:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x = 0,

-x 2 +4x=0

ir kt. Ir jei abu koeficientai b Ir c yra lygūs nuliui, tada dar paprasčiau:

2x2 =0,

-0,3x2 =0

Tokios lygtys, kur kažko trūksta, vadinamos nepilnos kvadratinės lygtys. Tai gana logiška.) Atkreipkite dėmesį, kad x kvadratas yra visose lygtyse.

Beje, kodėl A negali būti lygus nuliui? Ir jūs vietoj to pakeičiate A nulis.) Mūsų X kvadratas išnyks! Lygtis taps tiesinė. O sprendimas visai kitoks...

Tai visi pagrindiniai kvadratinių lygčių tipai. Pilnas ir neišsamus.

Kvadratinių lygčių sprendimas.

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimas.

Kvadratines lygtis nesunku išspręsti. Pagal formules ir aišku paprastos taisyklės. Pirmajame etape jums reikia duota lygtis veda prie standartinis vaizdas, t.y. į formą:

Jei lygtis jums jau pateikta šioje formoje, jums nereikia atlikti pirmojo etapo.) Svarbiausia yra teisingai nustatyti visus koeficientus, A, b Ir c.

Šaknų paieškos formulė kvadratinė lygtis atrodo taip:

Išraiška po šaknies ženklu vadinama diskriminuojantis. Bet daugiau apie jį žemiau. Kaip matote, norėdami rasti X, naudojame tik a, b ir c. Tie. koeficientai iš kvadratinės lygties. Tiesiog atsargiai pakeiskite vertybes a, b ir c Skaičiuojame pagal šią formulę. Pakeiskime su savo ženklais! Pavyzdžiui, lygtyje:

A =1; b = 3; c= -4. Čia mes tai užrašome:

Pavyzdys beveik išspręstas:

Tai yra atsakymas.

Tai labai paprasta. Ir ką, jūs manote, kad neįmanoma suklysti? Na taip, kaip...

Dažniausios klaidos yra painiojimas su ženklų reikšmėmis a, b ir c. Arba, tiksliau, ne su jų ženklais (kur susipainioti?), o su neigiamų verčių pakeitimu į šaknų skaičiavimo formulę. Išsaugo čia išsamus įrašas formulės su konkrečiais skaičiais. Jei kyla problemų su skaičiavimais, tai padaryti!

Tarkime, kad turime išspręsti šį pavyzdį:

Čia a = -6; b = -5; c = -1

Tarkime, žinote, kad pirmą kartą retai sulaukiate atsakymų.

Na, netingėk. Tai užtruks apie 30 sekundžių parašyti papildomą eilutę ir klaidų skaičių smarkiai sumažės. Taigi rašome išsamiai, su visais skliaustais ir ženklais:

Atrodo neįtikėtinai sunku taip kruopščiai parašyti. Bet taip tik atrodo. Išbandykite. Na, arba pasirinkti. Kas geriau, greitas ar teisingas?

Be to, aš tave pradžiuginsiu. Po kurio laiko nebereikės visko taip kruopščiai surašyti. Tai išsispręs savaime. Ypač jei naudojate praktinius metodus, kurie aprašyti toliau. Šis blogas pavyzdys su daugybe minusų gali būti išspręstas lengvai ir be klaidų!

Tačiau dažnai kvadratinės lygtys atrodo šiek tiek kitaip. Pavyzdžiui, taip: Ar atpažinote?) Taip! Tai.

nepilnos kvadratinės lygtys

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas. a, b ir c.

Jas taip pat galima išspręsti naudojant bendrą formulę. Jums tereikia teisingai suprasti, kam jie čia prilygsta. Ar išsiaiškinote? Pirmame pavyzdyje a = 1; b = -4; c A ? Jo visai nėra! Na taip, tai tiesa. Matematikoje tai reiškia c = 0 ! Tai viskas. Vietoj to formulėje pakeiskite nulį c, ir mums pasiseks. Tas pats su antruoju pavyzdžiu. Tik pas mus čia nėra nulio Su b !

, A

Tačiau nepilnas kvadratines lygtis galima išspręsti daug paprasčiau. Be jokių formulių. Panagrinėkime pirmąją nepilną lygtį. Ką galite padaryti kairėje pusėje? Galite ištraukti X iš skliaustų! Išimkime.
Taigi, kas iš to? Ir tai, kad sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai kuris nors iš veiksnių yra lygus nuliui! Netikite manimi? Gerai, tada sugalvokite du ne nuo nulio skaičius, kuriuos padauginus bus gautas nulis!
Neveikia? tai tiek... Todėl drąsiai galime rašyti:, x 1 = 0.

x 2 = 4 Visi. Tai bus mūsų lygties šaknys. Tinka abu. Pakeičiant bet kurį iš jų į, gauname teisingą tapatybę 0 = 0. Kaip matote, sprendimas yra daug paprastesnis nei naudojant bendrą formulę. Beje, atkreipsiu dėmesį, kuris X bus pirmasis, o kuris antras – absoliučiai abejingas. Patogu rašyti eilės tvarka, x 1- kas mažesnis ir x 2- kas didesnis.

Antrąją lygtį taip pat galima išspręsti paprastai. Perkelti 9 į dešinėje pusėje. Mes gauname:

Belieka išgauti šaknį iš 9, ir viskas. Tai paaiškės:

Taip pat dvi šaknys . x 1 = -3, x 2 = 3.

Taip išsprendžiamos visos nepilnos kvadratinės lygtys. Arba įdėdami X iš skliaustų arba tiesiog perkeldami skaičių į dešinę ir ištraukdami šaknį.
Labai sunku supainioti šiuos metodus. Vien dėl to, kad pirmu atveju teks ištraukti X šaknį, kuri kažkaip nesuprantama, o antruoju atveju nėra ką ištraukti iš skliaustų...

Diskriminuojantis. Diskriminacinė formulė.

Magiškas žodis diskriminuojantis ! Retas gimnazistas nėra girdėjęs šio žodžio! Frazė „sprendžiame per diskriminantą“ įkvepia pasitikėjimo ir užtikrintumo. Nes nereikia tikėtis gudrybių iš diskriminanto! Juo naudotis paprasta ir be problemų.) Primenu jums labiausiai bendroji formulė išspręsti bet koks kvadratinės lygtys:

Išraiška po šaknies ženklu vadinama diskriminantu. Paprastai diskriminantas žymimas raide D. Diskriminacinė formulė:

D = b 2 - 4ac

Ir kuo ši išraiška tokio nuostabaus? Kodėl nusipelnė specialus vardas? Ką diskriminanto prasmė? Juk juk -b, arba 2ašioje formulėje jie konkrečiai nieko nevadina... Raidės ir raidės.

Štai toks dalykas. Sprendžiant kvadratinę lygtį naudojant šią formulę, tai įmanoma tik trys atvejai.

1. Diskriminantas yra teigiamas. Tai reiškia, kad iš jo galima išgauti šaknį. Ar šaknis išgaunama gerai, ar prastai – kitas klausimas. Svarbu tai, kas išgaunama iš esmės. Tada jūsų kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Du skirtingi sprendimai.

2. Diskriminantas lygus nuliui. Tada turėsite vieną sprendimą. Kadangi nulio pridėjimas ar atėmimas skaitiklyje nieko nekeičia. Griežtai kalbant, tai ne viena šaknis, o du vienodi. Tačiau supaprastintoje versijoje įprasta kalbėti apie vienas sprendimas.

3. Diskriminantas yra neigiamas. Neigiamojo skaičiaus kvadratinė šaknis negali būti paimta. O gerai. Tai reiškia, kad sprendimų nėra.

Atvirai kalbant, kada paprastas sprendimas kvadratines lygtis, diskriminanto sąvoka nėra ypač reikalinga. Mes pakeičiame koeficientų reikšmes į formulę ir suskaičiuojame. Ten viskas vyksta savaime, dvi šaknys, viena ir nė viena. Tačiau sprendžiant daugiau sunkių užduočių, be žinios diskriminanto reikšmė ir formulė negali apsieiti. Ypač lygtyse su parametrais. Tokios lygtys yra akrobatinis skraidis valstybiniam egzaminui ir vieningam valstybiniam egzaminui!)

Taigi, kaip išspręsti kvadratines lygtis per diskriminantą, kurį prisiminėte. Arba išmokote, o tai irgi nėra blogai.) Mokate teisingai nustatyti a, b ir c. Ar žinai kaip? dėmesingai pakeiskite juos į šaknies formulę ir dėmesingai suskaičiuok rezultatą. Ar tu tai supratai raktažodįČia - dėmesingai?

Dabar atkreipkite dėmesį į praktinius metodus, kurie žymiai sumažina klaidų skaičių. Tie patys, kurie dėl neatidumo... Dėl ko vėliau tampa skaudu ir įžeidžiama...

Pirmas susitikimas . Nebūkite tingus prieš išspręsdami kvadratinę lygtį ir įveskite ją į standartinę formą. Ką tai reiškia?
Tarkime, kad po visų transformacijų gausite tokią lygtį:

Neskubėkite rašyti šaknies formulės! Beveik neabejotinai sumaišysite šansus a, b ir c. Teisingai sukonstruokite pavyzdį. Pirma, X kvadratas, tada be kvadrato, tada laisvas terminas. kaip tai:

Ir vėl, neskubėkite! Minusas prieš X kvadratą gali jus tikrai nuliūdinti. Lengva pamiršti... Atsikratykite minuso. Kaip? Taip, kaip mokyta ankstesnėje temoje! Turime padauginti visą lygtį iš -1. Mes gauname:

Bet dabar galite drąsiai užsirašyti šaknų formulę, apskaičiuoti diskriminantą ir baigti spręsti pavyzdį. Spręskite patys.

Dabar turėtumėte turėti šaknis 2 ir -1. Priėmimas antras. Patikrinkite šaknis! Pagal Vietos teoremą. Nebijok, aš viską paaiškinsiu! Tikrinama paskutinis lygtis. Tie. ta, kurią naudojome užrašydami šaknies formulę. Jei (kaip šiame pavyzdyje) koeficientas a = 1 , patikrinti šaknis lengva. Užtenka juos padauginti. Rezultatas turėtų būti nemokamas narys, t.y. mūsų atveju -2. Atkreipkite dėmesį, ne 2, o -2! Laisvas narys su savo ženklu

. Jei nepavyksta, vadinasi, jau kažkur susisukote. Ieškokite klaidos. b Jei tai veikia, turite pridėti šaknis. Paskutinis ir paskutinis patikrinimas. Koeficientas turėtų būti Su priešinga b pažįstamas. Mūsų atveju -1+2 = +1. Koeficientas
, kuris yra prieš X, yra lygus -1. Taigi, viskas teisinga! Gaila, kad tai taip paprasta tik pavyzdžiams, kur x kvadratas yra grynas, su koeficientu a = 1.

Bet bent jau patikrinkite tokias lygtis! Klaidų bus vis mažiau. Trečias priėmimas . Jei jūsų lygtis turi trupmenų koeficientus, atsikratykite trupmenų! Padauginkite lygtį iš bendras vardiklis

, kaip aprašyta pamokoje "Kaip išspręsti lygtis? Identiškos transformacijos". Dirbant su trupmenomis, klaidų kažkodėl vis atsiranda...

Beje, blogą pavyzdį pažadėjau supaprastinti su krūva minusų. Prašau! Štai jis.

tai viskas! Spręsti yra vienas malonumas!

Taigi, apibendrinkime temą.

Praktinis patarimas:

1. Prieš spręsdami kvadratinę lygtį įvedame į standartinę formą ir ją sudarome Teisingai.

2. Jei prieš X kvadratą yra neigiamas koeficientas, jį pašaliname visą lygtį padauginę iš -1.

3. Jeigu koeficientai trupmeniniai, tai trupmenas eliminuojame padauginę visą lygtį iš atitinkamo koeficiento.

4. Jei x kvadratas yra grynas, jo koeficientas lygus vienam, sprendimas gali būti lengvai patikrintas naudojant Vietos teoremą. Padaryk tai!

Dabar galime nuspręsti.)

Išspręskite lygtis:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Atsakymai (netvarkingai):

Todėl drąsiai galime rašyti:
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x – bet koks skaičius

x 1 = -3
x 2 = 3

jokių sprendimų

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Ar viskas tinka? Puiku! Kvadratinės lygtys nėra jūsų reikalas galvos skausmas. Pirmieji trys veikė, o likusieji ne? Tada problema yra ne su kvadratinėmis lygtimis. Problema yra identiškose lygčių transformacijose. Pažiūrėk nuorodą, tai naudinga.

Ne visai pavyksta? O gal visai nesiseka? Tada jums padės 555 skyrius. Visi šie pavyzdžiai yra suskirstyti. Parodyta pagrindinis klaidos sprendime. Žinoma, kalbama ir apie naudojimą tapatybės transformacijos sprendime skirtingos lygtys. Labai padeda!

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

IN šiuolaikinė visuomenė galimybė atlikti operacijas su lygtimis, turinčiomis kintamąjį kvadratą, gali būti naudinga daugelyje veiklos sričių ir yra plačiai naudojama praktikoje mokslo ir technikos raidoje. To įrodymų galima rasti projektuojant jūrų ir upių valtys, lėktuvai ir raketos. Naudojant tokius skaičiavimus, judėjimo trajektorijos labiausiai skirtingi kūnai, įskaitant kosminiai objektai. Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai naudojami ne tik ekonominės prognozės, projektuojant ir statant pastatus, bet ir įprastomis kasdienėmis aplinkybėmis. Jų gali prireikti žygiuose pėsčiomis, sporto renginiuose, parduotuvėse perkant ir kitose labai įprastose situacijose.

Išskaidykime išraišką į komponentinius veiksnius

Nustatomas lygties laipsnis maksimali vertė kintamojo, kurį sudaro ši išraiška, laipsnis. Jei jis lygus 2, tada tokia lygtis vadinama kvadratine.

Jei išreikšta formulių kalba, tai nurodytas išraiškas, kad ir kaip jie atrodytų, juos visada galima sumažinti iki formos, kai kairiąją išraiškos pusę sudaro trys terminai. Tarp jų: ​​ax 2 (ty kintamasis kvadratas su jo koeficientu), bx (nežinomasis be kvadrato su jo koeficientu) ir c (laisvasis komponentas, ty įprastas numeris). Visa tai dešinėje yra lygi 0. Tuo atveju, kai tokiame daugianario nėra vieno iš jo sudedamųjų dalių, išskyrus ax 2, jis vadinamas nepilna kvadratine lygtimi. Pirmiausia reikėtų atsižvelgti į tokių problemų sprendimo pavyzdžius, kurių kintamųjų reikšmes lengva rasti.

Jei išraiška atrodo taip, kad dešinėje pusėje yra du terminai, tiksliau ax 2 ir bx, lengviausia x rasti kintamąjį iš skliaustų. Dabar mūsų lygtis atrodys taip: x(ax+b). Tada tampa akivaizdu, kad arba x=0, arba problema kyla ieškant kintamojo iš šios išraiškos: ax+b=0. Tai lemia viena iš daugybos savybių. Taisyklė teigia, kad dviejų veiksnių sandauga yra 0 tik tada, kai vienas iš jų yra lygus nuliui.

Pavyzdys

x = 0 arba 8x - 3 = 0

Dėl to gauname dvi lygties šaknis: 0 ir 0,375.

Tokios lygtys gali apibūdinti kūnų judėjimą veikiant gravitacijai, kurie pradėjo judėti iš tam tikro taško, laikomo koordinačių pradžia. Čia matematinis žymėjimas priima sekančią formą: y = v 0 t + gt 2 /2. Pakeitimas reikalingos vertės Dešinę pusę prilyginę 0 ir radę galimus nežinomuosius, galite sužinoti laiką, kuris praeina nuo kūno pakilimo iki kritimo, taip pat daugybę kitų dydžių. Bet apie tai pakalbėsime vėliau.

Išraiškos faktorius

Aukščiau aprašyta taisyklė leidžia išspręsti šias problemas daugiau sunkių atvejų. Pažvelkime į tokio tipo kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžius.

X 2 – 33x + 200 = 0

Tai kvadratinis trinaris yra baigtas. Pirma, transformuokime išraišką ir ją koeficientu. Jų yra dvi: (x-8) ir (x-25) = 0. Dėl to turime dvi šaknis 8 ir 25.

Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai 9 klasėje leidžia šiuo metodu rasti kintamąjį ne tik antros, bet net ir trečios bei ketvirtos eilės išraiškose.

Pavyzdžiui: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Skaičiuojant dešinę pusę į veiksnius su kintamuoju, yra trys iš jų, tai yra (x+1), (x-3) ir (x+) 3).

Dėl to tampa akivaizdu, kad ši lygtis turi tris šaknis: -3; -1; 3.

Kvadratinė šaknis

Kitas atvejis nepilna lygtis antroji tvarka yra išraiška, pavaizduota raidžių kalba taip, kad dešinė pusė yra sudaryta iš komponentų ax 2 ir c. Čia, norint gauti kintamojo reikšmę, laisvasis terminas perkeliamas į dešinėje pusėje, o po to iš abiejų lygybės pusių ištraukiame kvadratinė šaknis. Reikėtų pažymėti, kad į šiuo atveju Paprastai yra dvi lygties šaknys. Vienintelės išimtys gali būti lygybės, kuriose iš viso nėra termino su, kai kintamasis lygus nuliui, taip pat reiškinių variantai, kai dešinioji pusė yra neigiama. IN pastarasis atvejis Iš viso nėra sprendimų, nes aukščiau išvardytų veiksmų negalima atlikti su šaknimis. Reikėtų apsvarstyti tokio tipo kvadratinių lygčių sprendimų pavyzdžius.

Šiuo atveju lygties šaknys bus skaičiai -4 ir 4.

Žemės ploto apskaičiavimas

Tokių skaičiavimų poreikis atsirado senovėje, nes matematikos raida daugiausia buvo tuose tolimi laikai lėmė būtinybė kuo tiksliau nustatyti žemės sklypų plotus ir perimetrus.

Taip pat turėtume apsvarstyti kvadratinių lygčių, pagrįstų tokio pobūdžio problemomis, sprendimo pavyzdžius.

Taigi, tarkime, yra stačiakampis žemės sklypas, kurio ilgis yra 16 metrų didesnis už plotį. Turėtumėte sužinoti sklypo ilgį, plotį ir perimetrą, jei žinote, kad jos plotas yra 612 m2.

Norėdami pradėti, pirmiausia sukurkime reikiamą lygtį. Pažymėkime x ploto plotį, tada jo ilgis bus (x+16). Iš to, kas parašyta, seka, kad plotas nustatomas pagal išraišką x(x+16), kuri pagal mūsų uždavinio sąlygas yra 612. Tai reiškia, kad x(x+16) = 612.

Išspręsti pilnas kvadratines lygtis, o ši išraiška yra būtent tokia, negalima padaryti taip pat. Kodėl? Nors kairėje pusėje vis dar yra du faktoriai, jų sandauga visai nelygu 0, todėl čia naudojami skirtingi metodai.

Diskriminuojantis

Visų pirma, tada atlikime reikiamas transformacijas išvaizda duota išraiška atrodys taip: x 2 + 16x - 612 = 0. Tai reiškia, kad gavome išraišką, atitinkančią anksčiau nurodytą standartą, kur a=1, b=16, c=-612.

Tai galėtų būti kvadratinių lygčių sprendimo naudojant diskriminantą pavyzdys. Čia būtini skaičiavimai gaminami pagal schemą: D = b 2 - 4ac. Šis pagalbinis dydis ne tik leidžia rasti reikiamus kiekius antros eilės lygtyje, bet ir nustato kiekį galimi variantai. Jei D>0, jų yra du; D=0 yra viena šaknis. Tuo atveju, kai D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Apie šaknis ir jų formulę

Mūsų atveju diskriminantas yra lygus: 256 - 4(-612) = 2704. Tai rodo, kad mūsų problema turi atsakymą. Jei žinote k, kvadratinių lygčių sprendimas turi būti tęsiamas naudojant toliau pateiktą formulę. Tai leidžia apskaičiuoti šaknis.

Tai reiškia, kad pateiktu atveju: x 1 =18, x 2 =-34. Antrasis variantas šioje dilemoje negali būti sprendimas, nes žemės sklypo matmenys negali būti matuojami neigiamais dydžiais, o tai reiškia, kad x (tai yra sklypo plotis) yra 18 m. Iš čia skaičiuojame ilgį: 18 +16=34, o perimetras 2(34+ 18)=104(m2).

Pavyzdžiai ir užduotys

Tęsiame kvadratinių lygčių tyrimą. Toliau bus pateikti kelių iš jų pavyzdžiai ir išsamūs sprendimai.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Viską perkelkime į kairėje pusėje lygybę, atliksime transformaciją, tai yra, gausime lygties formą, kuri paprastai vadinama standartine, ir ją prilyginsime nuliui.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Sudėję panašius, nustatome diskriminantą: D = 49 - 48 = 1. Tai reiškia, kad mūsų lygtis turės dvi šaknis. Apskaičiuokime juos pagal aukščiau pateiktą formulę, o tai reiškia, kad pirmasis iš jų bus lygus 4/3, o antrasis - 1.

2) Dabar išspręskime kitokio pobūdžio paslaptis.

Išsiaiškinkime, ar čia yra šaknų x 2 - 4x + 5 = 1? Norėdami gauti išsamų atsakymą, sumažinkime daugianarį iki atitinkamos įprastinės formos ir apskaičiuokime diskriminantą. Aukščiau pateiktame pavyzdyje kvadratinės lygties spręsti nebūtina, nes tai visai ne problemos esmė. Šiuo atveju D = 16 - 20 = -4, o tai reiškia, kad šaknų tikrai nėra.

Vietos teorema

Kvadratines lygtis patogu spręsti naudojant aukščiau pateiktas formules ir diskriminantą, kai iš pastarojo reikšmės imama kvadratinė šaknis. Tačiau taip nutinka ne visada. Tačiau šiuo atveju yra daug būdų, kaip gauti kintamųjų reikšmes. Pavyzdys: kvadratinių lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą. Ji pavadinta XVI amžiuje gyvenusio Prancūzijoje ir dėl savo matematinio talento bei ryšių dvaro dėka padariusio puikią karjerą. Jo portretą galima pamatyti straipsnyje.

Modelis, kurį pastebėjo garsus prancūzas, buvo toks. Jis įrodė, kad lygties šaknys skaičiais sumuojasi į -p=b/a, o jų sandauga atitinka q=c/a.

Dabar pažvelkime į konkrečias užduotis.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Kad būtų paprasčiau, pakeiskime išraišką:

x 2 + 7x - 18 = 0

Pasinaudokime Vietos teorema, tai duos mums taip: šaknų suma yra -7, o jų sandauga -18. Iš čia gauname, kad lygties šaknys yra skaičiai -9 ir 2. Patikrinę įsitikinsime, kad šios kintamųjų reikšmės tikrai tinka išraiškai.

Parabolės grafikas ir lygtis

Kvadratinės funkcijos ir kvadratinių lygčių sąvokos yra glaudžiai susijusios. To pavyzdžiai jau buvo pateikti anksčiau. Dabar pažvelkime į kai kurias matematines mįsles šiek tiek išsamiau. Bet kuri aprašyto tipo lygtis gali būti pavaizduota vizualiai. Toks santykis, nubraižytas kaip grafikas, vadinamas parabole. Įvairūs jo tipai pateikti paveikslėlyje žemiau.

Bet kuri parabolė turi viršūnę, tai yra tašką, iš kurio atsiranda jos šakos. Jei a>0, jie kyla aukštai iki begalybės, o kai a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizualus funkcijų atvaizdavimas padeda išspręsti visas lygtis, įskaitant kvadratines. Šis metodas vadinamas grafiniu. O kintamojo x reikšmė yra abscisių koordinatė taškuose, kur grafiko linija susikerta su 0x. Viršūnės koordinates galima rasti naudojant ką tik pateiktą formulę x 0 = -b/2a. Ir pakeisdami gautą reikšmę į pradinę funkcijos lygtį, galite sužinoti y 0, tai yra, antrąją parabolės viršūnės koordinatę, kuri priklauso ordinačių ašiai.

Parabolės šakų susikirtimas su abscisių ašimi

Yra daug kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžių, tačiau yra ir bendrųjų modelių. Pažiūrėkime į juos. Akivaizdu, kad grafiko susikirtimas su 0x ašimi, kai a>0 yra įmanomas tik tuo atveju, jei y 0 neigiamos reikšmės. Ir už a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Priešingu atveju D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Iš parabolės grafiko taip pat galite nustatyti šaknis. Taip pat yra priešingai. Tai yra, jei gausite vizualinį vaizdą kvadratinė funkcija Tai nėra lengva, dešinę išraiškos pusę galite prilyginti 0 ir išspręsti gautą lygtį. O žinant susikirtimo taškus su 0x ašimi, grafiką sudaryti lengviau.

Iš istorijos

Naudojant lygtis, turinčias kvadratinį kintamąjį, senais laikais jie ne tik atlikdavo matematinius skaičiavimus ir nustatydavo geometrinių figūrų plotus. Tokių skaičiavimų senovės žmonėms prireikė dideliems atradimams fizikos ir astronomijos srityse, taip pat astrologinėms prognozėms daryti.

Kaip teigia šiuolaikiniai mokslininkai, Babilono gyventojai vieni pirmųjų išsprendė kvadratines lygtis. Tai įvyko keturis šimtmečius prieš mūsų erą. Žinoma, jų skaičiavimai kardinaliai skyrėsi nuo šiuo metu priimtų ir pasirodė esą daug primityvesni. Pavyzdžiui, Mesopotamijos matematikai neturėjo supratimo apie neigiamų skaičių egzistavimą. Jiems nebuvo pažįstamos ir kitos subtilybės, kurias žino bet kuris šiuolaikinis moksleivis.

Galbūt net anksčiau nei Babilono mokslininkai išminčius iš Indijos Baudhayama pradėjo spręsti kvadratines lygtis. Tai įvyko maždaug aštuonis šimtmečius prieš Kristaus erą. Tiesa, antros eilės lygtys, jo pateikti sprendimo būdai buvo patys paprasčiausi. Be jo, senais laikais panašiais klausimais domėjosi ir kinų matematikai. Europoje kvadratinės lygtys pradėtos spręsti tik XIII amžiaus pradžioje, tačiau vėliau jas savo darbuose panaudojo tokie didieji mokslininkai kaip Niutonas, Dekartas ir daugelis kitų.

Tegu duota kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0.
Taikykime kvadratiniam trinariui ax 2 + bx + c tas pačias transformacijas, kurias atlikome § 13, kai įrodėme teoremą, kad funkcijos y = ax 2 + bx + c grafikas yra parabolė.
Turime

Paprastai išraiška b 2 - 4ac žymima raide D ir vadinama kvadratinės lygties ax 2 + bx + c = 0 diskriminantu (arba kvadratinio trinalio ax + bx + c diskriminantu).

Taigi

Tai reiškia, kad kvadratinę lygtį ax 2 + jie + c = O galima perrašyti į formą

Bet kurią kvadratinę lygtį galima paversti forma (1), o tai patogu, kaip dabar matysime, norint nustatyti kvadratinės lygties šaknų skaičių ir rasti šias šaknis.

Įrodymas. Jeigu D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

1 pavyzdys. Išspręskite lygtį 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Sprendimas. Čia a = 2, b = 4, c = 7,
D = b 2 -4ac = 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Kadangi D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Įrodymas. Jei D = 0, tada (1) lygtis įgauna formą

yra vienintelė lygties šaknis.

1 pastaba. Ar prisimenate, kad x = - yra parabolės viršūnės abscisė, kuri yra funkcijos y = ax 2 + jie + c grafikas? Kodėl tai
reikšmė pasirodė esanti vienintelė kvadratinės lygties šaknis ax 2 + jie + c - 0? „Karstas“ atsidaro paprastai: jei D yra 0, tada, kaip nustatėme anksčiau,

Tos pačios funkcijos grafikas yra parabolė, kurios viršūnė yra taške (žr., pavyzdžiui, 98 pav.). Tai reiškia, kad parabolės viršūnės abscisė ir vienintelė kvadratinės lygties šaknis, kai D = 0, yra tas pats skaičius.

2 pavyzdys. Išspręskite lygtį 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Sprendimas. Čia a = 4, b = -20, c = 25, D = b 2 - 4ac = (-20) 2 - 4. 4. 25 = 400 - 400 = 0.

Kadangi D = 0, tai pagal 2 teoremą ši kvadratinė lygtis turi vieną šaknį. Ši šaknis randama pagal formulę

Atsakymas: 2.5.

2 pastaba. Atminkite, kad 4x 2 - 20x +25 yra tobulas kvadratas: 4x 2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2.
Jei būtume tai pastebėję iš karto, lygtį būtume išsprendę taip: (2x - 5) 2 = 0, vadinasi, 2x - 5 = 0, iš kurios gauname x = 2,5. Apskritai, jei D = 0, tada

ax 2 + bx + c = – tai pažymėjome anksčiau 1 pastaboje.
Jei D > 0, tai kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0 turi dvi šaknis, kurios randamos pagal formules

Įrodymas. Perrašykime kvadratinę lygtį ax 2 + b x + c = 0 į formą (1)

Padėkime
Pagal sąlygą D > 0, o tai reiškia dešinę lygties pusę teigiamas skaičius. Tada iš (2) lygties gauname tai

Taigi duota kvadratinė lygtis turi dvi šaknis:

3 pastaba. Matematikoje retai pasitaiko, kad įvestas terminas neturi, vaizdžiai tariant, kasdieninio fono. Imkimės kažko naujo
sąvoka – diskriminuojanti. Prisiminkite žodį „diskriminacija“. Ką tai reiškia? Tai reiškia vienų pažeminimą, o kitų – išaukštinimą, t.y. kitoks požiūris
įvairiems žmonėms. Abu žodžiai (diskriminuojantis ir diskriminuojantis) kilę iš lotyniško žodžio discriminan – „diskriminuojantis“. Diskriminantas išskiria kvadratines lygtis pagal šaknų skaičių.

3 pavyzdys. Išspręskite lygtį 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Sprendimas. Čia a = 3, b = 8, c = - 11,
D = b 2 - 4ac = 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
Kadangi D > 0, tai pagal 3 teoremą ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Šios šaknys randamos pagal (3) formules.

Tiesą sakant, mes sukūrėme tokią taisyklę:

Lygties sprendimo taisyklė
ax 2 + bx + c = 0

Ši taisyklė yra universali, ji taikoma tiek pilnoms, tiek nepilnoms kvadratinėms lygtims. Tačiau nepilnos kvadratinės lygtys paprastai neišsprendžiamos naudojant šią taisyklę, jas išspręsti patogiau, kaip tai padarėme ankstesnėje pastraipoje.

4 pavyzdys. Išspręskite lygtis:

a) x 2 + 3x - 5 = 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3,5 = 0.

Sprendimas a) Čia a = 1, b = 3, c = - 5,
D = b 2 - 4ac = Z 2 - 4. 1. (- 5) = 9 + 20 = 29.

Kadangi D > 0, ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Šias šaknis randame naudodami formules (3)

B) Kaip rodo patirtis, patogiau nagrinėti kvadratines lygtis, kuriose pirmaujantis koeficientas yra teigiamas. Todėl pirmiausia abi lygties puses padauginame iš -1, gauname

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Čia a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0.
Kadangi D = 0, ši kvadratinė lygtis turi vieną šaknį. Ši šaknis randama pagal formulę x = -. Reiškia,

Šią lygtį būtų galima išspręsti kitaip: kadangi
9x 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, tada gauname lygtį (Зх - I) 2 = 0, iš kur randame Зх - 1 = 0, t.y. x = .

c) Čia a = 2, b = - 1, c = 3,5, D = b 2 - 4ac = 1 - 4. 2. 3,5 = 1 - 28 = - 27. Kadangi D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Matematikai – praktiški, ekonomiški žmonės. Kodėl, sakoma, kvadratinei lygčiai išspręsti naudojama tokia ilga taisyklė, geriau iš karto parašyti bendrą formulę:

Jei paaiškėja, kad diskriminantas D = b 2 - 4ac yra neigiamas skaičius, tai parašyta formulė neturi prasmės (po kvadratinės šaknies ženklu yra neigiamas skaičius), vadinasi, nėra šaknų. Jei paaiškėja, kad diskriminantas yra lygus nuliui, tada gauname

Tai yra, viena šaknis (jie taip pat sako, kad kvadratinė lygtis šiuo atveju turi dvi identiškos šaknys:

Galiausiai, jei paaiškėja, kad b 2 - 4ac > 0, tada gauname dvi šaknis x 1 ir x 2, kurios apskaičiuojamos naudojant tas pačias formules (3), kaip nurodyta aukščiau.

Pats skaičius šiuo atveju yra teigiamas (kaip ir bet kuri kvadratinė šaknis iš teigiamo skaičiaus), o prieš jį esantis dvigubas ženklas reiškia, kad vienu atveju (randant x 1) šis teigiamas skaičius pridedamas prie skaičiaus - b, ir kitu atveju (kai randama x 2) tai yra teigiamas skaičius
skaityti iš skaičiaus - b.

Jūs turite pasirinkimo laisvę. Ar norite išsamiai išspręsti kvadratinę lygtį naudodami aukščiau suformuluotą taisyklę; Jei norite, iš karto užsirašykite (4) formulę ir naudokite ją, kad padarytumėte reikiamas išvadas.

5 pavyzdys. Išspręskite lygtis:

Sprendimas, a) Žinoma, galite naudoti (4) arba (3) formules, atsižvelgiant į tai, kad šiuo atveju Bet kam daryti dalykus su trupmenomis, kai lengviau ir, svarbiausia, maloniau tvarkyti sveikuosius skaičius? Atsikratykime vardiklių. Norėdami tai padaryti, turite padauginti abi lygties puses iš 12, tai yra, iš mažiausio bendrųjų trupmenų, kurie naudojami kaip lygties koeficientai, vardiklio. Mes gauname

iš kur 8x 2 + 10x - 7 = 0.

Dabar naudokime formulę (4)

B) Vėlgi turime lygtį su trupmeniniai koeficientai: a = 3, b = - 0,2, c = 2,77. Padauginkime abi lygties puses iš 100, tada gausime lygtį su sveikųjų skaičių koeficientais:
300 x 2 – 20 x + 277 = 0.
Tada naudojame formulę (4):

Paprastas skaičiavimas rodo, kad diskriminantas (radikalioji išraiška) yra neigiamas skaičius. Tai reiškia, kad lygtis neturi šaknų.

6 pavyzdys. Išspręskite lygtį
Sprendimas. Čia, skirtingai nei ankstesniame pavyzdyje, geriau veikti pagal taisyklę, o ne pagal sutrumpintą formulę (4).

Turime a = 5, b = -, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-) 2 - 4. 5. 1 = 60 - 20 = 40. Kadangi D > 0, kvadratinė lygtis turi dvi šaknis, kurių ieškosime naudodami formules (3)

7 pavyzdys. Išspręskite lygtį
x 2 – (2p + 1)x + (p 2 +p-2) = 0

Sprendimas. Ši kvadratinė lygtis skiriasi nuo visų iki šiol nagrinėtų kvadratinių lygčių tuo, kad koeficientai nėra konkretūs skaičiai, o pažodiniai posakiai. Tokios lygtys vadinamos lygtimis su raidžių koeficientais arba lygtimis su parametrais. Šiuo atveju parametras (raidė) p įtraukiamas į antrąjį koeficientą ir laisvąjį lygties narį.
Raskime diskriminantą:

8 pavyzdys. Išspręskite lygtį px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Sprendimas. Tai taip pat lygtis su parametru p, tačiau, skirtingai nei ankstesniame pavyzdyje, jos negalima iš karto išspręsti naudojant (4) arba (3) formules. Faktas yra tas, kad šios formulės yra taikomos kvadratinėms lygtims, bet apie duota lygtis To dar negalime pasakyti. Iš tiesų, kas, jei p = 0? Tada
lygtis bus 0 formos. x 2 + (1-0)x- 1 = 0, t.y. x - 1 = 0, iš kurio gauname x = 1. Dabar, jei tikrai žinote, kad , tuomet galite pritaikyti kvadrato šaknų formules lygtis:

Svarbios pastabos!
1. Jei vietoj formulių matote gobbledygook, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių naudingas šaltinis Už

Sąvokoje „kvadratinė lygtis“ pagrindinis žodis yra „kvadratinė“. Tai reiškia, kad lygtyje būtinai turi būti kintamasis (tas pats x) kvadratas, o trečiosios (ar didesnės) laipsnio x neturėtų būti.

Daugelio lygčių sprendimas yra kvadratinių lygčių sprendimas.

Išmokime nustatyti, kad tai yra kvadratinė lygtis, o ne kokia nors kita lygtis.

1 pavyzdys.

Atsikratykime vardiklio ir kiekvieną lygties narį padauginkime iš

Viską perkelkime į kairę pusę ir sudėkime terminus mažėjančia X galių tvarka

Dabar galime drąsiai teigti, kad ši lygtis yra kvadratinė!

2 pavyzdys.

Padauginkite kairę ir dešinę puses iš:

Ši lygtis, nors ir iš pradžių joje buvo, nėra kvadratinė!

3 pavyzdys.

Padauginkime viską iš:

Baisu? Ketvirtasis ir antrasis laipsniai... Tačiau jei pakeisime, pamatysime, kad turime paprastą kvadratinę lygtį:

4 pavyzdys.

Atrodo, kad ten yra, bet pažiūrėkime atidžiau. Viską perkelkime į kairę pusę:

Žiūrėkite, ji sumažinta – ir dabar tai paprasta tiesinė lygtis!

Dabar pabandykite patys nustatyti, kurie iš jų kitos lygtys yra kvadratiniai, o kurie ne:

Pavyzdžiai:

Atsakymai:

1. kvadratas;
2. kvadratas;
3. ne kvadratas;
4. ne kvadratas;
5. ne kvadratas;
6. kvadratas;
7. ne kvadratas;
8. kvadratas.

Matematikai visas kvadratines lygtis paprastai skirsto į šiuos tipus:

• Užbaigtos kvadratinės lygtys- lygtys, kuriose koeficientai ir, kaip ir laisvasis terminas c, nėra lygūs nuliui (kaip pavyzdyje). Be to, tarp pilnųjų kvadratinių lygčių yra duota- tai lygtys, kuriose koeficientas (lygtis iš pirmojo pavyzdžio yra ne tik baigta, bet ir sumažinta!)

• Nebaigtos kvadratinės lygtys- lygtys, kuriose koeficientas ir (arba) laisvasis narys c yra lygūs nuliui:

  Jie yra neišsamūs, nes trūksta kažkokio elemento. Bet lygtyje visada turi būti X kvadratas!!! Priešingu atveju tai bus nebe kvadratinė lygtis, o kažkokia kita lygtis.

Kodėl jie sugalvojo tokį skirstymą? Atrodytų, kad yra X kvadratas, ir gerai. Šis skirstymas nustatomas sprendimo metodais. Pažvelkime į kiekvieną iš jų išsamiau.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Pirma, sutelkime dėmesį į nepilnų kvadratinių lygčių sprendimą – jos daug paprastesnės!

Yra neišsamių kvadratinių lygčių tipai:

1. , šioje lygtyje koeficientas yra lygus.
2. , šioje lygtyje laisvasis narys yra lygus.
3. , šioje lygtyje koeficientas ir laisvasis narys yra lygūs.

1. i. Kadangi žinome, kaip paimti kvadratinę šaknį, išreikškime iš šios lygties

Išraiška gali būti neigiama arba teigiama. Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius visada bus teigiamas skaičius, taigi: jei, tai lygtis neturi sprendinių.

Ir jei, tada mes gauname dvi šaknis. Šių formulių nereikia įsiminti. Svarbiausia, kad jūs turite žinoti ir visada atsiminti, kad tai negali būti mažiau.

Pabandykime išspręsti keletą pavyzdžių.

5 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Dabar belieka ištraukti šaknį iš kairės ir dešinės pusės. Juk prisimeni, kaip išgauti šaknis?

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!!!

6 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Atsakymas:

7 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

O! Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis

jokių šaknų!

Tokioms lygtims, kurios neturi šaknų, matematikai sugalvojo specialią piktogramą - (tuščias rinkinys). O atsakymą galima parašyti taip:

Atsakymas:

Taigi ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Čia nėra jokių apribojimų, nes mes neištraukėme šaknies.
8 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:

Taigi,

Ši lygtis turi dvi šaknis.

Atsakymas:

Paprasčiausias nepilnų kvadratinių lygčių tipas (nors visos paprastos, tiesa?). Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Čia atsisakysime pavyzdžių.

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimas

Primename, kad visa kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur

Išspręsti visas kvadratines lygtis yra šiek tiek sunkiau (tik šiek tiek) nei šias.

Prisimink Bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas.

Kiti metodai padės tai padaryti greičiau, bet jei kyla problemų dėl kvadratinių lygčių, pirmiausia įvaldykite sprendimą naudodami diskriminantą.

1. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant diskriminantą.

Spręsti kvadratines lygtis naudojant šį metodą yra labai paprasta, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių.

Jei, tada lygtis turi šaknį. ypatingas dėmesysžengti žingsnį. Diskriminantas () nurodo lygties šaknų skaičių.

• Jei, tada žingsnio formulė bus sumažinta iki. Taigi lygtis turės tik šaknį.
• Jei, tada veiksme negalėsime išgauti diskriminanto šaknies. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Grįžkime prie savo lygčių ir pažvelkime į keletą pavyzdžių.

9 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

1 veiksmas mes praleidžiame.

2 veiksmas.

Mes randame diskriminantą:

Tai reiškia, kad lygtis turi dvi šaknis.

3 veiksmas.

Atsakymas:

10 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis pateikiama standartine forma, taigi 1 veiksmas mes praleidžiame.

2 veiksmas.

Mes randame diskriminantą:

Tai reiškia, kad lygtis turi vieną šaknį.

Atsakymas:

11 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis pateikiama standartine forma, taigi 1 veiksmas mes praleidžiame.

2 veiksmas.

Mes randame diskriminantą:

Tai reiškia, kad negalėsime išgauti diskriminanto šaknies. Lygties šaknų nėra.

Dabar mes žinome, kaip teisingai užrašyti tokius atsakymus.

Atsakymas: jokių šaknų

2. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą.

Jei prisimenate, yra lygties tipas, kuris vadinamas sumažinta (kai koeficientas a yra lygus):

Tokias lygtis labai lengva išspręsti naudojant Vietos teoremą:

Šaknų suma duota kvadratinė lygtis yra lygi, o šaknų sandauga yra lygi.

12 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Šią lygtį galima išspręsti naudojant Vietos teoremą, nes .

Lygties šaknų suma lygi, t.y. gauname pirmąją lygtį:

Ir produktas yra lygus:

Sudarykime ir išspręskime sistemą:

• Ir. Suma yra lygi;
• Ir. Suma yra lygi;
• Ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Atsakymas: ; .

13 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Atsakymas:

14 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Pateikta lygtis, kuri reiškia:

Atsakymas:

Kvadratinės LYGTYBĖS. VIDURIO LYGIS

Kas yra kvadratinė lygtis?

Kitaip tariant, kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur - nežinomasis, - kai kurie skaičiai ir.

Skaičius vadinamas didžiausiu arba pirmasis koeficientas kvadratinė lygtis, - antrasis koeficientas, A - laisvas narys.

Kodėl? Nes jei lygtis iš karto tampa tiesinė, nes išnyks.

Šiuo atveju ir gali būti lygus nuliui. Šioje kėdės lygtis vadinama nepilna. Jei visi terminai yra vietoje, tai yra, lygtis baigta.

Įvairių tipų kvadratinių lygčių sprendimai

Neišsamių kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

Pirmiausia pažvelkime į nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdus – jie paprastesni.

Galime išskirti šiuos lygčių tipus:

I., šioje lygtyje koeficientas ir laisvasis narys yra lygūs.

II. , šioje lygtyje koeficientas yra lygus.

III. , šioje lygtyje laisvasis narys yra lygus.

Dabar pažvelkime į kiekvieno iš šių potipių sprendimą.

Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius, rezultatas visada bus teigiamas. Štai kodėl:

jei, tai lygtis neturi sprendinių;

jei turime dvi šaknis

Šių formulių nereikia įsiminti. Svarbiausia atsiminti, kad jo negali būti mažiau.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!

Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis

jokių šaknų.

Norėdami trumpai užrašyti, kad problema neturi sprendimų, naudojame tuščio rinkinio piktogramą.

Atsakymas:

Taigi, ši lygtis turi dvi šaknis: ir.

Atsakymas:

Išimsime bendras daugiklis skliausteliuose:

Produktas yra lygus nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Tai reiškia, kad lygtis turi sprendimą, kai:

Taigi, ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis: ir.

Pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Paskaičiuokime kairę lygties pusę ir raskime šaknis:

Atsakymas:

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

1. Diskriminuojantis

Tokiu būdu kvadratines lygtis išspręsti lengva, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių. Atminkite, kad bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas.

Ar pastebėjote šaknį iš diskriminanto šaknų formulėje? Tačiau diskriminantas gali būti neigiamas. Ką daryti? Ypatingą dėmesį turime skirti 2 žingsniui. Diskriminantas nurodo lygties šaknų skaičių.

• Jei, tada lygtis turi šaknis:
• Jei, tada lygtis turi tas pačias šaknis, o iš tikrųjų vieną šaknį:

  Tokios šaknys vadinamos dvigubomis šaknimis.

• Jei, tada diskriminanto šaknis nėra išgaunama. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Kodėl tai įmanoma skirtingi kiekiaišaknys? Kreipkimės į geometrine prasme kvadratinė lygtis. Funkcijos grafikas yra parabolė:

Ypatingu atveju, kuris yra kvadratinė lygtis, . Tai reiškia, kad kvadratinės lygties šaknys yra susikirtimo su abscisių ašimi (ašiu) taškai. Parabolė gali išvis nesikirsti su ašimi arba gali susikirsti viename (kai parabolės viršūnė yra ant ašies) arba dviejuose taškuose.

Be to, koeficientas yra atsakingas už parabolės šakų kryptį. Jei, tada parabolės šakos nukreiptos aukštyn, o jei, tada žemyn.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Atsakymas:.

Atsakymas:

Tai reiškia, kad sprendimų nėra.

Atsakymas:.

2. Vietos teorema

Naudoti Vietos teoremą labai paprasta: tereikia pasirinkti skaičių porą, kurios sandauga būtų lygi laisvajam lygties nariui, o suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu.

Svarbu atsiminti, kad Vietos teorema gali būti taikoma tik sumažintos kvadratinės lygtys ().

Pažvelkime į kelis pavyzdžius:

1 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Šią lygtį galima išspręsti naudojant Vietos teoremą, nes . Kiti koeficientai: ; .

Lygties šaknų suma yra tokia:

Ir produktas yra lygus:

Išsirinkime skaičių poras, kurių sandauga yra lygi, ir patikrinkime, ar jų suma lygi:

• Ir. Suma yra lygi;
• Ir. Suma yra lygi;
• Ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Taigi ir yra mūsų lygties šaknys.

Atsakymas: ; .

2 pavyzdys:

Sprendimas:

Išsirinkime skaičių poras, kurios pateikia sandaugą, ir patikrinkime, ar jų suma yra lygi:

ir: jie duoda iš viso.

ir: jie duoda iš viso. Norint gauti, pakanka tiesiog pakeisti tariamų šaknų požymius: ir, galų gale, produktą.

Atsakymas:

3 pavyzdys:

Sprendimas:

Laisvasis lygties narys yra neigiamas, todėl šaknų sandauga yra neigiamas skaičius. Tai įmanoma tik tuo atveju, jei viena iš šaknų yra neigiama, o kita - teigiama. Todėl šaknų suma yra lygi jų modulių skirtumai.

Parinkime skaičių poras, kurios pateikia sandaugą ir kurių skirtumas yra lygus:

ir: jų skirtumas lygus – netinka;

ir: - netinka;

ir: - netinka;

ir: - tinka. Belieka tik prisiminti, kad viena iš šaknų yra neigiama. Kadangi jų suma turi būti lygi, šaknis su mažesniu moduliu turi būti neigiama: . Mes tikriname:

Atsakymas:

4 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Pateikta lygtis, kuri reiškia:

Laisvasis terminas yra neigiamas, todėl šaknų sandauga yra neigiama. Ir tai įmanoma tik tada, kai viena lygties šaknis yra neigiama, o kita – teigiama.

Pažymime skaičių poras, kurių sandauga yra lygi, ir tada nustatykime, kurios šaknys turi turėti neigiamą ženklą:

Akivaizdu, kad tik šaknys tinka pirmajai sąlygai:

Atsakymas:

5 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Pateikta lygtis, kuri reiškia:

Šaknų suma yra neigiama, o tai reiškia, kad bent viena iš šaknų yra neigiama. Bet kadangi jų produktas yra teigiamas, tai reiškia, kad abi šaknys turi minuso ženklą.

Parinkime skaičių poras, kurių sandauga yra lygi:

Akivaizdu, kad šaknys yra skaičiai ir.

Atsakymas:

Sutikite, labai patogu sugalvoti šaknis žodžiu, o ne skaičiuoti šį bjaurų diskriminantą. Stenkitės kuo dažniau naudoti Vietos teoremą.

Tačiau Vietos teorema reikalinga, kad būtų lengviau ir greičiau rasti šaknis. Kad naudotumėte jį, turite atlikti veiksmus automatiškai. Ir tam išspręskite dar penkis pavyzdžius. Tačiau neapgaudinėkite: jūs negalite naudoti diskriminanto! Tik Vietos teorema:

Savarankiško darbo užduočių sprendimai:

Užduotis 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Pagal Vietos teoremą:

Kaip įprasta, atranką pradedame nuo kūrinio:

Netinka, nes kiekis;

: suma yra tokia, kokios jums reikia.

Atsakymas: ; .

2 užduotis.

Ir vėl mūsų mėgstamiausia Vieta teorema: suma turi būti lygi, o sandauga turi būti lygi.

Bet kadangi turi būti ne, o, keičiame šaknų ženklus: ir (iš viso).

Atsakymas: ; .

3 užduotis.

Hmm... Kur tai?

Turite perkelti visas sąlygas į vieną dalį:

Šaknų suma lygi sandaugai.

Gerai, sustok! Lygtis nepateikta. Tačiau Vietos teorema taikoma tik pateiktose lygtyse. Taigi pirmiausia turite pateikti lygtį. Jei negalite vadovauti, atsisakykite šios idėjos ir spręskite kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą). Leiskite jums priminti, kad pateikti kvadratinę lygtį reiškia, kad pagrindinis koeficientas būtų lygus:

Puiku. Tada šaknų suma lygi ir sandaugai.

Čia pasirinkti taip pat paprasta, kaip kriaušes gliaudyti: juk tai pirminis skaičius (atsiprašau už tautologiją).

Atsakymas: ; .

4 užduotis.

Laisvas narys yra neigiamas. Kuo tai ypatinga? Ir faktas yra tas, kad šaknys turės skirtingus ženklus. O dabar atrankos metu tikriname ne šaknų sumą, o jų modulių skirtumą: šis skirtumas lygus, o produktas.

Taigi, šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra minusas. Vietos teorema sako, kad šaknų suma yra lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, ty. Tai reiškia, kad mažesnė šaknis turės minusą: ir, kadangi.

Atsakymas: ; .

5 užduotis.

Ką daryti pirmiausia? Teisingai, pateikite lygtį:

Vėlgi: pasirenkame skaičiaus veiksnius, o jų skirtumas turėtų būti lygus:

Šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra minusas. Kuris? Jų suma turėtų būti lygi, o tai reiškia, kad minusas turės didesnę šaknį.

Atsakymas: ; .

Leiskite man apibendrinti:

1. Vietos teorema naudojama tik pateiktose kvadratinėse lygtyse.
2. Naudojant Vietos teoremą, galima rasti šaknis pagal atranką, žodžiu.
3. Jei lygtis nepateikta arba nerandama tinkama laisvojo nario veiksnių pora, tada nėra sveikų šaknų ir ją reikia išspręsti kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą).

3. Viso kvadrato parinkimo būdas

Jei visi terminai, kuriuose yra nežinomasis, yra pavaizduoti terminų forma iš sutrumpintų daugybos formulių - sumos arba skirtumo kvadratu, tada pakeitus kintamuosius lygtis gali būti pateikta nepilnos kvadratinės lygties forma.

Pavyzdžiui:

1 pavyzdys:

Išspręskite lygtį:.

Sprendimas:

Atsakymas:

2 pavyzdys:

Išspręskite lygtį:.

Sprendimas:

Atsakymas:

IN bendras vaizdas transformacija atrodys taip:

Iš to seka: .

Ar tau nieko neprimena? Tai yra diskriminacinis dalykas! Būtent taip mes gavome diskriminuojančios formulę.

Kvadratinės LYGTYBĖS. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Kvadratinė lygtis- tai formos lygtis, kur - nežinomasis, - kvadratinės lygties koeficientai, - laisvasis narys.

Pilna kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientai nėra lygūs nuliui.

Sumažinta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas, tai yra: .

Nebaigta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas ir (arba) laisvasis narys c yra lygūs nuliui:

• jei koeficientas, lygtis atrodo taip: ,
• jei yra laisvasis terminas, lygtis turi tokią formą: ,
• jei ir, lygtis atrodo taip: .

1. Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimo algoritmas

1.1. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

1) Išreikškime nežinomybę: ,

2) Patikrinkite išraiškos ženklą:

• jei, tada lygtis neturi sprendinių,
• jei, tai lygtis turi dvi šaknis.

1.2. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

1) Iš skliaustų išimkime bendrą koeficientą: ,

2) sandauga lygi nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Todėl lygtis turi dvi šaknis:

1.3. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

Ši lygtis visada turi tik vieną šaknį: .

2. Algoritmas sprendžiant pilnąsias kvadratines lygtis formos kur

2.1. Sprendimas naudojant diskriminantą

1) Perkelkime lygtį į standartinę formą: ,

2) Apskaičiuokime diskriminantą pagal formulę: , kuri nurodo lygties šaknų skaičių:

3) Raskite lygties šaknis:

• jei, tada lygtis turi šaknis, kurios randamos pagal formulę:
• jei, tada lygtis turi šaknį, kuri randama pagal formulę:
• jei, tai lygtis neturi šaknų.

2.2. Sprendimas naudojant Vietos teoremą

Sumažintos kvadratinės lygties (formos kur lygtis) šaknų suma lygi, o šaknų sandauga lygi, t.y. , A.

2.3. Sprendimas pasirenkant pilną kvadratą

Jei formos kvadratinė lygtis turi šaknis, tada ją galima parašyti tokia forma: .

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, tai reiškia, kad esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate šiame 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote šios temos teoriją. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Už ką?

Už sėkmingas užbaigimas Vieningas valstybinis egzaminas, skirtas stojant į koledžą už biudžetą ir, SVARBIAUSIA, visam gyvenimui.

Niekuo neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, kurie gavo geras išsilavinimas, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos yra daug daugiau atvirumo daugiau galimybių ir gyvenimas taps šviesesnis? nezinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad būtumėte tikri, kad vieningo valstybinio egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

ĮGYKITE SAVO RANKĄ SPRĘSDAMI ŠIOS TEmos problemas.

Per egzaminą teorijos neprašys.

Jums reikės spręsti problemas prieš laiką.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog neturėsite laiko.

Tai kaip sporte – reikia kartoti daug kartų, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją, kur tik norite, būtinai su sprendimais, išsamią analizę ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite naudoti mūsų užduotis (neprivaloma) ir mes, žinoma, jas rekomenduojame.

Kad galėtumėte geriau atlikti užduotis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio galiojimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite visas paslėptas užduotis šiame straipsnyje -
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 vadovėlio straipsniuose - Pirkite vadovėlį - 499 RUR

Taip, mūsų vadovėlyje yra 99 tokie straipsniai ir iš karto galima atidaryti visas užduotis ir visus paslėptus tekstus.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama VISĄ svetainės gyvenimą.

Ir pabaigai...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „aš galiu išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir jas spręskite!

Kvadratinė lygtis – lengva išspręsti! *Toliau – KU. Bičiuliai, atrodytų, kad matematikoje negali būti nieko paprasčiau nei išspręsti tokią lygtį. Tačiau kažkas man pasakė, kad daugelis žmonių turi problemų su juo. Nusprendžiau pažiūrėti, kiek parodymų pagal pareikalavimą „Yandex“ pateikia per mėnesį. Štai kas atsitiko, žiūrėk:

Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad per mėnesį ieško apie 70 000 žmonių šią informaciją, ką su tuo turi bendra ši vasara ir kas nutiks tarp mokslo metus— prašymų bus dvigubai daugiau. Tai nenuostabu, nes šios informacijos ieško tie vaikinai ir merginos, kurie seniai baigė mokyklą ir ruošiasi vieningam valstybiniam egzaminui, o atmintį atgaivinti stengiasi ir moksleiviai.

Nepaisant to, kad yra daugybė svetainių, kuriose pasakojama, kaip išspręsti šią lygtį, aš nusprendžiau taip pat prisidėti ir paskelbti medžiagą. Pirma, noriu, kad lankytojai į mano svetainę ateitų pagal šį prašymą; antra, kituose straipsniuose, kai iškils tema “KU”, pateiksiu nuorodą į šį straipsnį; trečia, aš jums papasakosiu šiek tiek daugiau apie jo sprendimą, nei paprastai nurodoma kitose svetainėse. Pradėkime! Straipsnio turinys:

Kvadratinė lygtis yra tokios formos lygtis:

kur koeficientai a,bir su savavališki skaičiai, kur a≠0.

IN mokyklos kursas medžiaga pateikiama tokia forma - lygtys sąlyginai suskirstytos į tris klases:

1. Jie turi dvi šaknis.

2. *Turėti tik vieną šaknį.

3. Jie neturi šaknų. Čia ypač verta paminėti, kad jie neturi tikrų šaknų

Kaip apskaičiuojamos šaknys? Tiesiog!

Apskaičiuojame diskriminantą. Po šiuo „siaubingu“ žodžiu slypi labai paprasta formulė:

Šaknies formulės yra tokios:

*Šias formules reikia žinoti mintinai.

Galite iš karto užsirašyti ir išspręsti:

Pavyzdys:

1. Jei D > 0, tai lygtis turi dvi šaknis.

2. Jei D = 0, tai lygtis turi vieną šaknį.

3. Jei D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pažiūrėkime į lygtį:

Šiuo atžvilgiu, kai diskriminantas yra lygus nuliui, mokyklos kursas sako, kad gaunama viena šaknis, čia ji yra lygi devynioms. Viskas teisinga, taip yra, bet...

Ši mintis yra šiek tiek neteisinga. Tiesą sakant, yra dvi šaknys. Taip, taip, nesistebėkite, pasirodo, du vienodos šaknys, o kad būtų matematiškai tikslus, atsakyme turėtų būti dvi šaknys:

x 1 = 3 x 2 = 3

Bet taip yra – mažas nukrypimas. Mokykloje gali užsirašyti ir pasakyti, kad yra viena šaknis.

Dabar kitas pavyzdys:

Kaip žinome, neigiamo skaičiaus šaknis paimti negalima, todėl šiuo atveju sprendimo nėra.

Tai yra visas sprendimo procesas.

Kvadratinė funkcija.

Tai parodo, kaip sprendimas atrodo geometriškai. Tai nepaprastai svarbu suprasti (ateityje viename iš straipsnių išsamiai išanalizuosime kvadratinės nelygybės sprendimą).

Tai yra formos funkcija:

kur x ir y yra kintamieji

a, b, c - duotus skaičius, kur a ≠ 0

Grafikas yra parabolė:

Tai yra, paaiškėja, kad sprendžiant kvadratinę lygtį "y" lygus nuliui randame parabolės susikirtimo taškus su x ašimi. Šių taškų gali būti du (diskriminantas yra teigiamas), vienas (diskriminantas yra nulis) ir nė vienas (diskriminantas yra neigiamas). Išsami informacija apie kvadratinę funkciją gali pažiūrėti Inna Feldman straipsnis.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

1 pavyzdys: išspręskite 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Atsakymas: x 1 = 8 x 2 = –12

*Galima buvo iš karto padalyti kairę ir dešinę lygties puses iš 2, tai yra supaprastinti. Skaičiavimai bus lengvesni.

2 pavyzdys: Nuspręskite x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 – 4ac = (–22) 2 –4, 1, 121 = 484–484 = 0

Mes nustatėme, kad x 1 = 11 ir x 2 = 11

Atsakyme leidžiama rašyti x = 11.

Atsakymas: x = 11

3 pavyzdys: Nuspręskite x 2 – 8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 -4ac = (-8) 2 -4, 1, 72 = 64 - 288 = -224

Diskriminantas yra neigiamas, realiaisiais skaičiais sprendimo nėra.

Atsakymas: nėra sprendimo

Diskriminantas yra neigiamas. Yra sprendimas!

Čia kalbėsime apie lygties sprendimą tuo atveju, kai paaiškės neigiamas diskriminatorius. Ar žinote ką nors apie kompleksiniai skaičiai? Aš čia nekalbėsiu išsamiai apie tai, kodėl ir kur jie atsirado ir kas jie yra specifinis vaidmuo ir matematikos poreikis, tai didelio atskiro straipsnio tema.

Kompleksinio skaičiaus samprata.

Šiek tiek teorijos.

Kompleksinis skaičius z yra formos skaičius

z = a + bi

kur yra a ir b realūs skaičiai, i yra vadinamasis įsivaizduojamas vienetas.

a+bi – tai VIENAS SKAIČIUS, o ne papildymas.

Įsivaizduojamas vienetas yra lygus minus vieneto šaknei:

Dabar apsvarstykite lygtį:

Gauname dvi konjuguotas šaknis.

Nebaigta kvadratinė lygtis.

Panagrinėkime specialius atvejus, kai koeficientas „b“ arba „c“ yra lygus nuliui (arba abu lygūs nuliui). Jas galima lengvai išspręsti be jokių diskriminacinių priemonių.

1 atvejis. Koeficientas b = 0.

Lygtis tampa tokia:

Transformuokime:

Pavyzdys:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

2 atvejis. Koeficientas c = 0.

Lygtis tampa tokia:

Transformuokime ir faktorizuokime:

* Produktas yra lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui.

Pavyzdys:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x-5) =0 => x = 0 arba x-5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

3 atvejis. Koeficientai b = 0 ir c = 0.

Čia aišku, kad lygties sprendimas visada bus x = 0.

Naudingos koeficientų savybės ir modeliai.

Yra savybių, kurios leidžia išspręsti lygtis su dideliais koeficientais.

Ax 2 + bx+ c=0 galioja lygybė

a + b+ c = 0, Tai

- jei lygties koeficientams Ax 2 + bx+ c=0 galioja lygybė

a+ c =b, Tai

Šios savybės padeda apsispręsti tam tikro tipo lygtys.

1 pavyzdys: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Šansų suma yra 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, o tai reiškia

2 pavyzdys: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Lygybė galioja a+ c =b, Reiškia

Koeficientų dėsningumai.

1. Jei lygtyje ax 2 + bx + c = 0 koeficientas "b" yra lygus (a 2 +1), o koeficientas "c" yra skaitine prasme lygus koeficientui "a", tai jo šaknys yra lygios

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Jei lygtyje ax 2 – bx + c = 0 koeficientas „b“ yra lygus (a 2 +1), o koeficientas „c“ skaitine prasme lygus koeficientui „a“, tai jo šaknys yra lygios.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jei lygtyje. ax 2 + bx – c = 0 koeficientas „b“ yra lygus (a 2 – 1), ir koeficientas „c“ yra skaitine prasme lygus koeficientui "a", tada jo šaknys lygios

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Jei lygtyje ax 2 – bx – c = 0 koeficientas „b“ yra lygus (a 2 – 1), o koeficientas c skaitine prasme lygus koeficientui „a“, tai jo šaknys yra lygios

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Vietos teorema.

Vietos teorema pavadinta garsiojo vardu prancūzų matematikas Francois Vieta. Naudodamiesi Vietos teorema, galime išreikšti savavališko KU šaknų sumą ir sandaugą jo koeficientais.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Iš viso skaičius 14 duoda tik 5 ir 9. Tai yra šaknys. Turėdami tam tikrų įgūdžių, naudodami pateiktą teoremą, galite iškart žodžiu išspręsti daugybę kvadratinių lygčių.

Vietos teorema, be to. Patogu tuo, kad įprastu būdu (per diskriminantą) išsprendus kvadratinę lygtį galima patikrinti gautas šaknis. Aš rekomenduoju tai daryti visada.

TRANSPORTAVIMO BŪDAS

Taikant šį metodą koeficientas „a“ dauginamas iš laisvojo termino, tarsi „įmetamas“ į jį, todėl jis vadinamas "perdavimo" metodas.Šis metodas naudojamas, kai galite lengvai rasti lygties šaknis naudodami Vietos teoremą ir, svarbiausia, kai diskriminantas yra tikslus kvadratas.

Jeigu A± b+c≠ 0, tada naudojama perdavimo technika, pavyzdžiui:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Naudojant Vietos teoremą (2) lygtyje, nesunku nustatyti, kad x 1 = 10 x 2 = 1

Gautas lygties šaknis reikia padalyti iš 2 (kadangi jos buvo „išmestos“ iš x 2), gauname

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Koks yra loginis pagrindas? Pažiūrėk, kas vyksta.

(1) ir (2) lygčių diskriminantai yra lygūs:

Jei pažvelgsite į lygčių šaknis, jūs tik gausite skirtingus vardiklius, o rezultatas priklauso būtent nuo koeficiento x 2:

Antrasis (modifikuotas) turi 2 kartus didesnes šaknis.

Todėl rezultatą padalijame iš 2.

*Jei persuksime tris, rezultatą padalinsime iš 3 ir t.t.

Atsakymas: x 1 = 5 x 2 = 0,5

kv. ur-ie ir vieningas valstybinis egzaminas.

Trumpai papasakosiu apie jo svarbą – PRIVALAI MESTI greitai ir negalvodamas, reikia mintinai žinoti šaknų ir diskriminuojančių veiksnių formules. Daugelis problemų, įtrauktų į vieningo valstybinio egzamino užduotis, susiveda į kvadratinės lygties sprendimą (taip pat ir geometrines).

Į ką nors verta atkreipti dėmesį!

1. Lygties rašymo forma gali būti „numanoma“. Pavyzdžiui, galimas toks įrašas:

15+ 9x 2 - 45x = 0 arba 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 arba 15 -5x + 10x 2 = 0.

Turite jį pateikti į standartinę formą (kad nesusipainiotumėte sprendžiant).

2. Atsiminkite, kad x yra nežinomas dydis ir jį galima žymėti bet kuria kita raide – t, q, p, h ir kt.