Гармоник цувралын тодорхойлолт. Тооны цувааг нэгтгэх

Шаардлагатай тэмдэгцувралын нэгдэл (баталгаа).

Теорем 1.(нийцэх зайлшгүй нөхцөл тооны цуврал). Хэрэв тооны цуврал бол нийлдэг, Тэр .

Баталгаа.Цуврал нь нийлдэг, өөрөөр хэлбэл. хязгаар бий. Анхаар, тэр.

Ингээд авч үзье. Дараа нь . Эндээс, .

Дүгнэлт 1.Хэрэв нөхцөл хангагдаагүй бол, дараа нь цуврал ялгаатай.

Тайлбар 1.Нөхцөл нь тооны цувааг нэгтгэхэд хангалтгүй. Жишээлбэл, гармоник цуврал тохиолдож байгаа хэдий ч ялгаатай.

Тодорхойлолт 1.Тооны цуврал a n +1 +a n+2 +…=, өгөгдсөн мөрөөс эхнийхийг нь хаяснаар авсан Пгишүүдийг дууддаг n-м үлдсэнэнэ эгнээний ба томилогдсон Rn.

Теорем 2.Хэрэв тооны цуврал бол нийлнэ, дараа нь аливаа үлдэгдэл нийлнэ. Буцах:Хэрэв цувралын ядаж нэг үлдэгдэл нийлбэл цуваа өөрөө нийлнэ. Түүнээс гадна, ямар ч nАСААЛТТАЙ тэгш байдал С=S n+Rn .

Дүгнэлт 2.Хэрэв та эхний хэдэн гишүүнийг хасаж эсвэл нэмбэл тооны цувааны нийлмэл байдал, ялгаа өөрчлөгдөхгүй.

Дүгнэлт 3..

32. Эерэг цувааны харьцуулах шалгуур ба тэмдэг

Теорем 1(тэгш бус байдлын эерэг нөхцөлтэй цувралыг харьцуулах тэмдэг) . БолъёТэгээд - сөрөг бус нөхцөл бүхий цуврал, мөн n бүрийн хувьдАСААЛТТАЙ a n нөхцөл хангагдсан байна£ bn. Дараа нь:

1) цувралын нэгдлээстом томьёогоор цуваа нийлдэгжижиг гишүүдтэй;

2) цувралын зөрүүгээсжижиг нэр томьёотой бол цуваа зөрүүтэй байнатом хөхтэй.

Тайлбар 1.Хэрэв нөхцөл байвал теорем үнэн болно болон n£ б нзарим тооноос гүйцэтгэсэн НÎ Н .

Теорем 2(хязгаарлалт хэлбэрээр эерэг нөхцөл бүхий цувралыг харьцуулах тэмдэг) .

БолъёТэгээд - сөрөг бус нөхцөл бүхий цуврал ба байдаг . Дараа нь эдгээр цувралууд нэгэн зэрэг нийлдэг эсвэл салдаг .

33. Эерэг тэмдэгт цувааг нэгтгэх Д'Аламберын тест

Теорем 1(Д'Аламберын тэмдэг). Болъё - эерэг нэр томъёо бүхий цуврал байдаг .

Дараа нь цуваа q дээр нийлнэ<1 ба q-д зөрөөд байна>1 .

Баталгаа.Болъё q<1. Зафиксируем число Ртиймэрхүү q<х< 1. По определению тооны дарааллын хязгаар, зарим тооноос НÎ Нтэгш бус байдал бий a n +1 /a n<p,тэдгээр. a n +1 <p×a n .Дараа нь а Н +1 < p×a N, a N +2 <p 2 ×a N .Үүнийг ямар ч тохиолдолд индукцаар харуулахад хялбар байдаг кÎ Нтэгш бус байдал үнэн , a N + k<p k ×a N .Гэхдээ цуврал нь геометрийн цуваа шиг нийлдэг ( х<1). Следовательно, по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами, ряд бас нэгддэг. Үүний үр дүнд цувралууд бас нийлдэг (Теорем 2.2).

Болъё q>1. Дараа нь зарим тооноос НÎ Нтэгш бус байдал үнэн a n +1 /a n>1, өөрөөр хэлбэл. a n +1 >a n.Тиймээс тооноос Ндэд дараалал ( a n) нэмэгдэж байгаа бөгөөд нөхцөл хангагдаагүй байна. Эндээс, үр дүн 2.1-ээс үзэхэд цувралууд нь өөр өөр байдаг q>1.

Тайлбар 1.Интеграл тестийг ашиглан тооны цувааг шалгахад хялбар байдаг нийлдэг бол А>1, хэрэв зөрүүтэй бол а£1. Мөр дуудсан гармоник цуврал , болон цуврал дур зоргоороо аÎ Рдуудсан ерөнхий гармоник цуврал.

34. Ээлжит эгнээ. Лейбницийн ээлжийн цувааны тэмдгийн нийлэх тест

Дурын тэмдгийн нөхцөл бүхий цувааг судлах нь илүү хэцүү ажил боловч хоёр тохиолдолд тохиромжтой шинж тэмдгүүд байдаг: ээлжлэн тэмдэгтүүдийн цувралын хувьд - Лейбницийн теорем; Үнэмлэхүй нийлсэн цувралын хувьд бид сөрөг бус нэр томъёо бүхий цуврал судлах шинж тэмдгийг ашигладаг.

Тодорхойлолт 1.Тооны цувралыг дууддаг дохио өгөх, хэрэв зэргэлдээх хоёр нэр томъёо нь эсрэг тэмдэгтэй бол, i.e. цуврал нь эсвэл хэлбэртэй байна, хаана a n>0 тус бүр nÎ Н .

Теорем 1(Лейбниц). Дараах тохиолдолд ээлжлэн цуваа нийлнэ:

1) (a n) - өсөхгүй дараалал;

2) цагт.

Энэ тохиолдолд ээлжийн цувааны нийлбэрийн модуль нь түүний эхний гишүүний модулиас хэтрэхгүй, өөрөөр хэлбэл.|С|£ а 1 .

1.1. Тооны цуваа ба түүний нийлбэр

Тодорхойлолт 1.Тооны дарааллыг өгье. Илэрхийлэл үүсгэцгээе

(1)

гэж нэрлэдэг тооны цуврал. Тоонууд гэж нэрлэдэг тооны гишүүд, мөн илэрхийлэл
 нийтлэг гишүүнэгнээ .

Жишээ 1.Цувралын нийтлэг гишүүнийг ол
.

цагт
,

цагт

Цувралын нийтлэг нэр томъёо гэдгийг харахад хялбар байдаг .

Тиймээс шаардлагатай цувралыг дараах байдлаар бичиж болно

Цуврал (1)-ийн нөхцлөөс ийм байдлаар дараалал байгуулъя :

;

Энэ дарааллын гишүүн бүр нь тооны цувралын эхний гишүүдийн харгалзах тооны нийлбэрийг илэрхийлнэ.

Тодорхойлолт 2.Эхний нийлбэр Пцувралын гишүүдийг (1) гэж нэрлэдэг n - хэсэгчилсэн дүнтооны цуврал .

Тодорхойлолт 3.Тооны цуврал дуудсан нэгдэх, Хэрэв
, дугаар хаана байна дуудсан цувралын нийлбэр, мөн бичих
. Хэрэв

хэсэгчилсэн нийлбэрийн хязгаар нь хязгааргүй эсвэл байхгүй бол цувралыг дуудна ялгаатай.

Жишээ 2. Цуврал нийлэлтийг шалгана уу
.

Тооцоолохын тулд n- хэсэгчилсэн дүн нийтлэг нэр томъёог төсөөлье
энгийн бутархайн нийлбэр хэлбэрийн цуваа

Ижил градусын коэффициентүүдийг харьцуулах n, бид үл мэдэгдэх коэффициентүүдийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг олж авдаг АТэгээд IN

Эндээс бид үүнийг олж мэднэ
, А
.

Тиймээс цувралын ерөнхий нэр томъёо нь хэлбэртэй байна

Дараа нь хэсэгчилсэн дүн хэлбэрээр төлөөлж болно

Хаалт нээж, ижил төстэй нэр томъёог авчирсны дараа энэ нь хэлбэрийг авна

Цувралын нийлбэрийг тооцоолъё

Хязгаар нь хязгаарлагдмал тоотой тэнцүү тул энэ цуваа нийлдэг .

Жишээ 2. Цуврал нийлэлтийг шалгана уу

- хязгааргүй геометрийн прогресс.

Мэдэгдэж байгаагаар эхний нийлбэр Пгеометр прогрессийн гишүүд at q 1 тэнцүү байна
.

Дараа нь бидэнд дараах тохиолдлууд байна :

1. Хэрэв
, Тэр

2. Хэрэв
, Тэр
, өөрөөр хэлбэл эгнээ зөрж байна.

3. Хэрэв
, дараа нь цувралыг дараа нь үзэх хэрэгтэй
, өөрөөр хэлбэл эгнээ зөрж байна.

4. Хэрэв
, дараа нь цувралыг дараа нь үзэх хэрэгтэй
, хэрэв хэсэгчилсэн нийлбэр тэгш тооны гишүүнтэй бол ба
, хэрэв тоо сондгой бол, i.e.
байхгүй тул цуваа зөрүүтэй байна.

Тодорхойлолт 4.Цувралын нийлбэрийн ялгаа Сболон хэсэгчилсэн дүн дуудсан цувралын үлдсэн хэсэгболон томилогдсон
, өөрөөр хэлбэл
.

Учир нь нэгдэх цувралын хувьд
, Тэр
,

тэдгээр. b.m.v байх болно. цагт
. Тиймээс үнэ цэнэ цувралын нийлбэрийн ойролцоо утга юм.

Цувралын нийлбэрийн тодорхойлолтоос нийлсэн цувааны шинж чанарууд дараах байдалтай байна.

1. Хэрэв мөрүүд Тэгээд нэгдэх, өөрөөр хэлбэл. харгалзах хэмжээтэй байна СТэгээд Q, дараа нь цуваа нийлнэ, хаана
, мөн түүний нийлбэр нь тэнцүү байна А С + Б Q.

2. Хэрэв цуврал нийлбэл , дараа нь үүнээс олж авсан цуваа нийлнэ

хязгаарлагдмал тооны гишүүнийг хасах буюу нэмэх замаар цуваа. Харин ч эсрэгээрээ.

1.2. Нэгдлийн зайлшгүй шинж тэмдэг. Гармоник цуврал

Теорем. Хэрэв эгнээ нийлдэг, дараа нь цувааны нийтлэг гишүүн тэг болох хандлагатай байна
, өөрөөр хэлбэл
.

Үнэхээр бидэнд байгаа

Дараа нь , Энэ нь нотлох шаардлагатай байсан юм.

Үр дагавар.Хэрэв
, дараа нь цувралууд хуваагдана . Үүний эсрэгээр, ерөнхийдөө үнэн биш гэдгийг доор харуулав.

Тодорхойлолт 5.Цуврал үзэх дуудсан гармоник.

Энэ цувралын хувьд шаардлагатай шинж чанар нь хангагдсан, учир нь
.

Үүний зэрэгцээ энэ нь ялгаатай. Үүнийг үзүүлье

Тиймээс гармоник цуваа нь хуваагддаг.

Сэдэв 2 : Цуврал нийлэгжилтийн хангалттай шинж тэмдэг

эерэг нөхцөлтэй

2.1. Харьцуулах шинж тэмдэг

Эерэг нөхцөл бүхий хоёр цувралыг өгье.

Харьцуулалтын тэмдэг.Хэрэв (1) ба (2) цувралын бүх гишүүдийн хувьд тодорхой тооноос эхлэн тэгш бус байдал
ба цуврал (2) нийлж, дараа нь (1) цуваа бас нийлдэг. Үүний нэгэн адил, хэрэв
ба цуваа (2) салж, дараа нь (1) цуваа бас сална.

Болъё Тэгээд тус тус, мөрийн хэсэгчилсэн нийлбэр (1-2), ба Q цувралын нийлбэр (2). Дараа нь хангалттай том хэмжээтэй Пбидэнд байгаа

Учир нь
тэгээд хязгаарлагдмал
, өөрөөр хэлбэл цуврал (1) нийлдэг.

Тэмдгийн хоёр дахь хэсэг нь ижил төстэй байдлаар нотлогддог.

Жишээ 3.Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Цувралын гишүүдтэй харьцуул
.

-аас эхлэн
, бидэнд байгаа
.

Цувралаас хойш нийлдэг
, тэгвэл энэ цуваа бас нэгдэнэ.

Практикт өмнөх шалгуураас үүдэлтэй харьцуулалт хийх хязгаарлалт гэж нэрлэгддэг шалгуурыг ашиглах нь илүү тохиромжтой байдаг.

Харьцуулалтын хязгаар. Хэрэв эерэг нөхцөл бүхий хоёр цувралын хувьд (1-2) нөхцөл хангагдсан байна

, Тэр

(1) цувралын нийлэгжилтээс (2) цувааны нийлэгжилтээс, (1) цувааны зөрүүгээс (2) цувааны зөрүүг дагана. , тэдгээр.

мөрүүд адилхан ажиллана.Жишээ 4.
.

Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Харьцуулахын тулд гармоник цувралыг авч үзье.

энэ нь ялгаатай.

Тиймээс бидний цувралууд зөрөөд байна.Энэ нь ихэвчлэн гэж нэрлэгддэг ашиглахад тохиромжтой байдаг ерөнхий гармоникэгнээ , энэ нь доор үзүүлснээр нийлдэг
болон өөр өөр байдаг
.

дэд хязгаарлах функц нь монотоноор нэмэгддэг бол
эсвэл

эсвэл

Өмнөх нэгээс харахад гармоник цуврал нь салангид цуврал, i.e. түүний эхний n гишүүний нийлбэр нь авсан гишүүний тоогоор хязгааргүй өсдөг. Гэсэн хэдий ч бусад ялгаатай цувралуудаас ялгаатай нь нийлбэрийн өсөлтийн хурд нь гишүүний тоо нэмэгдэх тусам удааширдаг. Гармоник цуваа нь n-ийн өсөлттэй харьцуулахад сул ялгаатай байна. Энэ талаар гармоник цувааг тодорхойлсон дараах теоремыг баталъя.

Теорем. Аливаа n-ийн хувьд ойролцоо тэгш байдал байна
хаана 0< g n < 1. Баталгаа.Тэгшитгэл нь y = 1/x, aA ба bB хоёр ординатаар тэгшитгэл нь x = 1, тэгшитгэл нь асимптотуудтай холбоотой тэгш талт гиперболоор хязгаарлагдах муруй шугаман трапецын талбайг aABb өгье. x = n, мөн абсцисса тэнхлэг. "Тэгш өнцөгтийн томьёо" -ыг ашиглан бид энэ талбайг дутагдалтай (2-р зураг) болон илүүдэлтэй (Зураг 1) тооцоолно. Суурийг n тэнцүү хэсэгт хуваахад aABb талбай тэнцүү болохыг олж мэднэ
эсвэл

g n =

болон
Тэгээд

1 +

1 2

1 3

1 4

+ ... +

1 n- 1

ts
w

- ln(n) > 0.

Хэрэв бид зөв ординатуудыг (2, 3, ... n хуваах цэгүүдэд харгалзах) тэгш өнцөгтүүдийн өндрөөр авбал муруйн шугамын талбайгаас бага шаталсан шугамын талбайг авна. трапецын aABb (Зураг 2). Яруу найрагч ингэж хэлж чадна

1 2

1 3

1 4

+ ... +

1н

< ln(n).

1- 1/n тэгш бус байдлын хоёр тал дээр нэмье

1 2

1 3

1 4

+ ... +

1 n- 1

< ln(n) + 1 -

1н

эсвэл

g n =

болон
Тэгээд

1 +

1 2

1 3

1 4

+ ... +

1 n- 1

ts
w

-ln(n)< 1-

1н

Иймд гармоник цувааны эхний n-1 гишүүний нийлбэрийг ойролцоогоор ln(n)-аар дараах тэгшитгэлээр илэрхийлж болно.
Гармоник цувааны гишүүний тоо ихсэх тусам g n-ийн утга нэмэгдэнэ. Гэхдээ 0< g n < 1- 1/n. Поэтому существует предел g n , меньший или равный единицы, т.е.
Энэ хязгаарыг "Эйлерийн тогтмол" гэж нэрлэдэг. H n- 1 ба ln(n) тооцоог ашиглан энэ тооны утгыг маш нарийвчлалтайгаар олж C = 0.57721566490... авах боломжтой болсон.

Гармоник цуврал- бүрдүүлсэн дүн хязгааргүй тоонатурал цувралын дараалсан тоонуудын урвуу нэр томъёо:

texvcолдсонгүй; Math/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.): \sum_(k=1)^\mathcal(\infty) \frac(1)(k)=1 + \frac(1)(2) + \frac(1 ) (3) + \frac(1)(4) + \cdots +\frac(1)(k) + \cdots .

Цувралын эхний n гишүүний нийлбэр

Цувралын бие даасан гишүүд тэг байх хандлагатай байдаг ч нийлбэр нь зөрүүтэй байдаг. Гармоник цувралын n-р хэсэгчилсэн нийлбэр s n нь n-р гармоник тоо юм.

Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Math/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.): s_n=\sum_(k=1)^n \frac(1)(k)=1 + \frac(1)(2) + \frac(1)(3 ) + \frac(1)(4) + \cdots +\frac(1)(n)

Зарим хэсэгчилсэн нийлбэр утгууд

Эйлерийн томъёо

At Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvc утга учир Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Математик/README-г үзнэ үү - тохируулахад тусална уу.): \varepsilon _n \rightarrow 0, тиймээс, том Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvc :

Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Математик/README-г үзнэ үү - тохируулахад тусална уу.): s_n\ойролцоогоор \ln(n) + \гамма- Эхний нийлбэрийн Эйлерийн томъёо Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): nгармоник цувралын гишүүд.

Гармоник цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрийн илүү нарийвчлалтай асимптотик томъёо:

Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Math/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.): s_n \asymp \ln(n) + \gamma + \frac(1)(2n) - \frac(1)(12n^2) + \frac(1)( 120n ^4) - \frac(1)(252n^6) \цэг = \ln(n) + \гамма + \frac(1)(2n) - \sum_(k=1)^(\infty) \frac ( B_(2k))(2k\,n^(2k)), Хаана Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Математик/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.: B_(2k)- Бернуллигийн тоо.

Энэ цувралзөрүүтэй боловч түүний тооцооллын алдаа нь эхний хасагдсан хугацааны хагасаас хэтрэхгүй.

Хэсэгчилсэн нийлбэрийн тоо-онолын шинж чанарууд

Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Math/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.): \forall n>1\;\;\;\;s_n\notin\mathbb(N)

Цувралуудын зөрүү

Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Math/README-г үзнэ үү - тохируулахад тусална уу.): s_n\rightarrow \inftyцагт Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): n\rightarrow \infty

Гармоник цуваа нь хуваагддагмаш удаан (хэсэгчилсэн нийлбэр 100-аас хэтрэхийн тулд цувралын 10 43 орчим элемент шаардлагатай).

Гармоник цувралын зөрүүг телескоп цувралтай харьцуулан харуулж болно.

Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Math/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.): v_n = \ln(n+1)-\ln n = \ln \left(1+\frac(1)(n)\right)\underset(+\infty ) (\sim)\frac (1)(n) ,

хэсэгчилсэн нийлбэр нь тодорхой тэнцүү байна:

Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Математик/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.): \sum_(i=1)^(n-1) v_i= \ln n \sim H_n .

Оресмегийн нотолгоо

Зөрчилдөөний нотолгоог нэр томъёог дараах байдлаар бүлэглэх замаар үүсгэж болно.

Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): \begin(align) \sum_(k=1)^\infty \frac(1)(k) & () = 1 + \left[\frac(1)( 2) \right] + \left[\frac(1)(3) + \frac(1)(4)\баруун] + \left[\frac(1)(5) + \frac(1)(6) + \ frac(1)(7) + \frac(1)(8)\баруун] + \зүүн[\frac(1)(9)+\cdots\баруун] +\cdots \\ & () > 1 + \left [\frac(1)(2)\баруун] + \зүүн[\frac(1)(4) + \frac(1)(4)\баруун] + \зүүн[\frac(1)(8) + \ frac(1)(8) + \frac(1)(8) + \frac(1)(8)\баруун] + \зүүн[\frac(1)(16)+\cdots\баруун] +\ cdots \ \ & () = 1 + \ \frac(1)(2)\ \ \ + \quad \frac(1)(2) \ \quad + \ \qquad\quad\frac(1)(2)\ qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac(1)(2) \ \quad + \ \cdots. \төгсгөл(зохицуулах)

Сүүлийн эгнээ нь мэдээжийн хэрэг зөрүүтэй байна. Энэ нотолгоо нь дундад зууны үеийн эрдэмтэн Николас Орем (ойролцоогоор 1350 он) юм.

Зөрчлийн өөр нотолгоо

Хоорондын ялгаа Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): nгармоник тоо ба натурал логарифм Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): nЭйлер-Машерони тогтмолд нийлдэг.

Янз бүрийн гармоник тоонуудын ялгаа нь бүхэл тоотой хэзээ ч тэнцүү байдаггүй бөгөөд үүнээс өөр гармоник тоо байдаггүй Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Математик/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.): H_1=1, бүхэл тоо биш.

Холбоотой цуврал

Дирихлетийн цуврал

Ерөнхий гармоник цуврал (эсвэл Дирихлегийн цуврал) нь цуврал юм

Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Math/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.): \sum_(k=1)^\infty \frac(1)(k^\alpha)=1 + \frac(1)(2^\alpha) + \frac ( 1)(3^\альфа) + \frac(1)(4^\альфа) + \cdots +\frac(1)(k^\alpha) + \cdots .

Ерөнхий гармоник цуваа нь -д хуваагдана Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): \alpha \leqslant 1ба цагт нийлдэг Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): \alpha > 1 .

Дарааллын ерөнхий гармоник цувралын нийлбэр Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): \alpha Riemann zeta функцийн утгатай тэнцүү:

Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Math/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.): \sum_(k=1)^\mathcal(1) \frac(1)(k^\alpha)=\zeta(\alpha)

Тэгш тооны хувьд энэ утгыг pi-ээр тодорхой илэрхийлнэ, жишээлбэл, Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): \zeta(2)=\frac(\pi^2)(6), мөн аль хэдийн α=3-ын хувьд түүний утга аналитик байдлаар тодорхойгүй байна.

Гармоник цувралын ялгааг харуулсан өөр нэг жишээ нь хамаарал байж болно Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулах тусламжийг math/README-с харна уу.): \zeta(1+\frac(1)(n)) \sim n .

Ээлжит цуврал

Бүх нэр томъёог "+" тэмдгээр авдаг гармоник цувралаас ялгаатай нь цуврал

Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Math/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.): \sum_(n = 1)^\infty \frac((-1)^(n + 1))(n) \;=\; 1 \,-\, \frac(1)(2) \,+\, \frac(1)(3) \,-\, \frac(1)(4) \,+\, \frac(1) (5) \,-\, \cdots Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): 1 \,-\, \frac(1)(2) \,+\, \frac(1)(3) \,-\, \frac(1)( 4) \,+\, \frac(1)(5) \,-\, \cdots \;=\; \ln 2.

Энэ томъёо нь онцгой тохиолдолМеркатор цуврал ( Англи), Натурал логарифмын хувьд Тейлорын цуврал.

Үүнтэй төстэй цувралыг арктангентын хувьд Тейлорын цувралаас гаргаж болно.

Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Math/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.): \sum_(n = 0)^\infty \frac((-1)^(n))(2n+1) \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac(1)(3) \,+\, \frac(1)(5) \,-\, \frac(1)(7) \,+\, \cdots \;\ ;=\;\; \frac(\pi)(4).

Энэ харилцааг Лейбницийн цуврал гэж нэрлэдэг.

Санамсаргүй гармоник цуврал

2003 онд үл хөдлөх хөрөнгийн судалгаа хийгдсэн санамсаргүй цуврал

Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Math/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.): \sum_(n=1)^(\infty)\frac(s_(n))(n),

Хаана Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Математик/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.): s_n- ½-ийн ижил магадлалтай +1 ба −1 утгыг авдаг бие даасан, ижил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд. Энэ цуваа магадлал 1-тэй нийлдэг бөгөөд цувралын нийлбэр нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн болохыг харуулж байна. сонирхолтой шинж чанарууд. Жишээлбэл, +2 эсвэл -2 цэгүүдэд тооцоолсон магадлалын нягтын функц нь дараах утгатай байна.

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642 …,

⅛-ээс 10 −42-оос бага ялгаатай.

"Нимгэн" гармоник цуврал

Кемпнерийн цуврал ( Англи)

Хэрэв бид хуваагч нь 9-ийн тоог агуулаагүй зөвхөн нэр томъёо үлдсэн гармоник цувралыг авч үзвэл үлдсэн нийлбэр нь тоонд нийлдэг.<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): n, "нимгэрүүлсэн" цувралын нийлбэрт улам бүр цөөхөн нэр томъёог авдаг. Өөрөөр хэлбэл, гармоник цувралын нийлбэрийг бүрдүүлдэг нэр томъёоны дийлэнх хэсгийг дээрээс нь хязгаарласан геометрийн прогрессоос хэтрүүлэхгүйн тулд хаядаг.

"Гармоник цуврал" нийтлэлийн талаар сэтгэгдэл бичээрэй

Тэмдэглэл

Энэ загварыг үзнэ үү

Дараалал ба цувралууд

Дараалал

Мөр, гол

Тооны цуврал
(тооны цуваатай үйлдэл)

Функциональ цуврал

Бусад төрлийн эгнээ

Нэгдлийн шинж тэмдэг

Энэ загварыг үзнэ үү Цуврал ойртох шинж тэмдэг

Бүх эгнээний хувьд		Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл `texvc`олдсонгүй; Математик/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.): \sum^\infty_(n=1)a_n

Эерэг шинж тэмдгүүдийн хувьд эгнээ

Ээлж авдаг хүмүүст зориулав эгнээ

Маягтын мөрүүдийн хувьд Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл `texvc`олдсонгүй; Математик/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.): \sum^\infty_(n=1)a_n b_n

Функцийн мөрүүдийн хувьд

Фурье цувралын хувьд

Гармоник цувралыг тодорхойлсон ишлэл

Аймшигт өдөр дуусах дөхөж байв. Би онгорхой цонхны дэргэд суугаад юу ч мэдэрч, сонссонгүй. Дэлхий миний хувьд хөлдөж, баяр баясгалангүй болсон. Ядарсан тархи руу минь орохгүй, надад огтхон ч хүрэхгүй тусад нь оршдог юм шиг санагдсан... Цонхны тавцан дээр тоглож, тайван бус “Ром” бор шувууд орилолдоно. Доор нь хүний дуу хоолой, жирийн өдрийн чимээ шуугиантай хотын чимээ сонсогдов. Гэвч энэ бүхэн дуу чимээ нэвтрүүлэхгүй шахам маш нягт “хана”-гаар дамжин надад ирсэн юм... Миний ердийн дотоод ертөнц хоосон, дүлий байв. Тэр огт харь, харанхуй болсон... Эелдэг, энхрий аав байхгүй болсон. Тэр Жироламог дагасан...
Гэхдээ надад Анна байсаар л байсан. Өөрийгөө "Бурханы ван" буюу Гэгээн Пап лам хэмээн нэрлэсэн нарийн төвөгтэй алуурчнаас түүнийг аврахын тулд би амьдрах ёстой гэдгээ мэдэж байсан... Хэрэв Караффа түүний "орлогч ван" байсан бол төсөөлөхөд ч бэрх байлаа. ” Тэгвэл түүний хайрт Бурхан ямар араатан болж хувирах ёстой юм бэ?!. Би "хөлдөөсөн" байдлаасаа гарах гэж оролдсон боловч энэ нь тийм ч амар биш байсан - бие нь огт дуулгавартай байсангүй, амьдралд ирэхийг хүсээгүй бөгөөд ядарсан сүнс зөвхөн амар амгаланг хайж байв. Дараа нь ямар ч сайн зүйл болохгүй байгааг хараад би зүгээр л бүх зүйлийг өөрийнхөөрөө орхихоор шийдэв.
Өөр юу ч бодсонгүй, юу ч шийдэлгүй зүгээр л шархадсан Сүнсийнхээ тэмүүлж байсан газар луу “нисээд” аврагдахын тулд... Жаахан ч болов амарч, мартах гэж, хорон муу “дэлхийн” ертөнцөөс холдон одох. Зөвхөн гэрэл хаанчлах газар ...
Караффа намайг саяхан туулсан зүйлийг үл харгалзан намайг удаан ганцаардуулахгүй гэдгийг би мэдэж байсан, харин эсрэгээр тэр өвдөлт намайг сулруулж, зэвсэггүй болгосон гэж бодож, магадгүй энэ мөчид тэр намайг бууж өгөхийг оролдох болно. ямар нэгэн төрлийн цохилт өгөх - өөр нэг аймшигтай цохилт ...
Өдөр хоног өнгөрөв. Гэвч Караффа гарч ирээгүй нь миний гайхшралыг төрүүлэв... Энэ бол маш том тайвшрал байсан ч харамсалтай нь намайг тайвшруулах боломж олгосонгүй. Учир нь түүний харанхуй, муу сүнс надад ямар шинэ доромжлолыг сэдэж ирэхийг би хором бүрт хүлээж байлаа...
Өвдөлт нь өдөр бүр аажмаар буурч, гол нь хоёр долоо хоногийн өмнө тохиолдсон гэнэтийн, баяр баясгалантай үйл явдлын ачаар намайг бүрмөсөн гайхшруулж байсан - нас барсан аавыгаа сонсох боломж надад олдсон! ..
Би түүнийг харж чадаагүй ч аав минь миний хажууд байгаа юм шиг үг бүрийг маш тод сонсож, ойлгосон. Эхэндээ би итгээгүй, зүгээр л ядарч туйлдсан гэж бодсон. Гэтэл дахин залгасан... Үнэхээр аав нь байсан.
Баярласандаа ухаан орж чадалгүй, яг одоо тэр гэнэт босоод алга болчих вий гэж айсан хэвээрээ л байлаа!.. Гэвч аав минь алга болоогүй. Тэгээд бага зэрэг тайвширсны эцэст би түүнд хариулж чадлаа...
- Энэ үнэхээр чи мөн үү!? Чи одоо хаана байна?.. Би яагаад чамайг харж чадахгүй байна вэ?
– Охин минь... Чи бүрэн ядарсан болохоор харахгүй байна, хонгор минь. Анна намайг түүнтэй хамт байсныг харж байна. Та харах болно, хонгор минь. Та зүгээр л тайвшрах цаг хэрэгтэй.
Цэвэр, танил дулаан миний бүх биеэр тархаж, намайг баяр баясгалан, гэрэл гэгээгээр бүрхэв ...
- Сайн байна уу ааваа!? Энэ өөр амьдрал ямар харагддагийг надад хэлээч?.. Энэ ямар байдаг вэ?
– Тэр гайхалтай, хонгор минь!.. Зөвхөн тэр ер бусын хэвээр байна. Бидний өмнөх дэлхийгээс тэс өөр!.. Энд хүмүүс өөрсдийн ертөнцөд амьдардаг. Тэд үнэхээр үзэсгэлэнтэй, эдгээр "ертөнцүүд"!.. Гэхдээ би үүнийг хийж чадахгүй хэвээр байна. Миний хувьд арай эрт байгаа бололтой... - энэ хоолой цааш ярих эсэхээ шийдэж байгаа мэт хэсэг чимээгүй болов.
- Чиний Жироламо надтай уулзлаа, охин минь... Тэр дэлхий дээр байсан шигээ амьд, хайрт ... Тэр чамайг маш их санаж, санаж байна. Тэгээд тэр надаас чамд хайртай гэдгээ хэлэхийг хүссэн... Тэгээд чамайг ирэх болгонд хүлээж байгаа... Ээж чинь ч бас бидэнтэй хамт байгаа. Бид бүгд чамайг хайрлаж, хүлээж байна, хонгор минь. Бид чамайг үнэхээр их санаж байна... Охин минь өөрийгөө сайн бодоорой. Караффад чамайг шоолох баяр баясгаланг бүү өг.
- Аав аа, чи над дээр дахиад ирэх үү? Би чамайг дахин сонсох уу? – тэр гэнэт алга болчих вий гэж айгаад залбирлаа.
- Тайвшир, охин минь. Одоо энэ бол миний ертөнц. Мөн Караффагийн хүч түүнд хамаарахгүй. Би чамайг эсвэл Аннаг хэзээ ч орхихгүй. Чамайг дуудах болгонд би чам дээр ирнэ. Тайвшир, хонгор минь.
-Аав аа, танд ямар санагдаж байна? Юу ч мэдрэгдэж байна уу?.. – гэнэн асуултаасаа бага зэрэг ичингүйрэн асуусан хэвээр.
- Дэлхий дээр мэдэрсэн бүх зүйлээ би илүү тод мэдэрч байна. Гэнэт өнгөөр дүүрэн харандаагаар зурсан зураг төсөөлөөд үз дээ - миний бүх мэдрэмж, бүх бодол санаа илүү хүчтэй, илүү өнгөлөг болсон. Бас нэг зүйл... Эрх чөлөөний мэдрэмж үнэхээр гайхалтай!.. Би урьдын адил хэвээрээ байгаа ч тэр үед тэс өөр юм шиг санагддаг... Чамд яаж тайлбарлахаа мэдэхгүй байна. илүү нарийн, хонгор минь... Би хорвоогийн бүх зүйлийг шууд тэвэрч чадах юм шиг, эсвэл зүгээр л хол, хол, одод руу нисэх мэт ... Бүх зүйл боломжтой юм шиг, би хүссэн бүхнээ хийж чадах юм шиг! Хэлэхэд, үгээр илэрхийлэхэд маш хэцүү... Гэхдээ надад итгээрэй, охин минь, энэ үнэхээр гайхалтай! Бас нэг зүйл ... Би одоо бүх амьдралаа санаж байна! Надад тохиолдсон бүх зүйлийг би санаж байна ... Энэ бүхэн гайхалтай. Энэ "өөр" амьдрал бол тийм ч муу биш юм... Тийм учраас битгий ай охин минь, хэрэв чи энд ирэх шаардлагатай бол бид бүгд чамайг хүлээж байх болно.
– Надад хэлээч, ааваа... Тэнд үнэхээр Караффа шиг хүмүүсийг үнэхээр гайхалтай амьдрал хүлээж байна уу?.. Гэхдээ ийм тохиолдолд энэ нь дахиад л аймшигтай шударга бус явдал болно!.. Үнэхээр дэлхий дээр бүх зүйл дахин ийм байх болов уу?!. . Тэр үнэхээр хэзээ ч өшөө авахгүй гэж үү?!!
- Үгүй ээ, миний баяр баясгалан, энд Караффад байх газар байхгүй. Би түүн шиг хүмүүс аймшигт ертөнцөд очдог гэж сонссон ч би тэнд очиж үзээгүй л байна. Тэд үүнийг хүртэх ёстой зүйл гэж хэлдэг!.. Би үүнийг үзэхийг хүссэн боловч надад хараахан амжаагүй байна. Санаа зоволтгүй охин минь, тэр энд ирээд авах ёстой зүйлээ авна.
"Тэндээс надад тусалж чадах уу, аав аа?" гэж би далд итгэл найдвараар асуув.
– Мэдэхгүй ээ, хонгор минь... Би энэ ертөнцийг хараахан ойлгоогүй байна. Би яг л анхны алхмаа хийж байгаа хүүхэд шиг... Чамд хариулахаасаа өмнө эхлээд “алхаж сурах” хэрэгтэй... Тэгээд би одоо явах ёстой. Уучлаарай хонгор минь. Эхлээд би хоёр ертөнцийн хооронд амьдарч сурах ёстой. Тэгээд би чам дээр илүү олон удаа ирэх болно. Зоригтой байгаарай, Исидора, Караффад хэзээ ч бүү бууж өг. Тэр заавал хүртэх ёстой зүйлээ авах болно, надад итгээрэй.
Аавын минь хоолой бүр мөсөн нимгэрч алга болтлоо намуухан болж... Сэтгэл минь тайвширлаа. Энэ бол үнэхээр ТЭР байсан!.. Тэгээд тэр зөвхөн одоо л өөрийн гэсэн, надад танил бус, нас барсны дараах ертөнцөд дахин амьдарлаа... Гэхдээ тэр саяхан хэлсэн шигээ бодож, мэдэрсэн хэвээр байна - тэр одоо амьдарч байсан үеэсээ ч илүү гэрэл гэгээтэй байсан. Дэлхий. Би түүний тухай хэзээ ч мэдэхгүй байхаас айхаа больсон... Тэр намайг үүрд орхисон гэж.
Гэвч эмэгтэйлэг сэтгэл минь бүх зүйлийг үл харгалзан түүнд харамссаар л... Ганцаардахдаа түүнийг хүн шиг тэвэрч чадахгүй байсан тухай... Уйтгар гуниг, айдсаа нууж чадсангүй. түүний өргөн цээж, амар амгаланг хүссэн ... Түүний хүчтэй, зөөлөн алга нь бүх зүйл бүтнэ, бүх зүйл гарцаагүй сайхан болно гэж хэлэх мэт ядарсан толгойг минь илэхээ больсон нь... Би эдгээр өчүүхэн, өчүүхэн мэт санагдах зүйлсийг үнэхээр санаж байсан ч ийм эрхэм, цэвэр "хүний" баяр баясгалан, сүнс нь өлсөж, амар амгаланг олж чадахгүй байв. Тиймээ би дайчин байсан... Гэхдээ би бас эмэгтэй хүн байсан. Хамгийн муу зүйл тохиолдохоос өмнө аав минь үргэлж дэргэд, үргэлж надтай хамт байх болно гэдгийг мэддэг байсан түүний цорын ганц охин нь ... Тэгээд би энэ бүхнийг маш их санаж байсан ...
Уйтгарласан гунигийг ямар нэг байдлаар салгаж, би Караффагийн тухай бодохоор өөрийгөө хүчлэв. Энэ "энх тайван" бол түр зуурын амралт гэдгийг би маш сайн ойлгосон тул ийм бодлууд намайг тэр дор нь тайвшруулж, өөрийгөө дотроо цуглуулахад хүргэв ...
Гэхдээ миний хамгийн их гайхсан зүйл бол Караффа одоо болтол гарч ирээгүй...
Өдөр хоног өнгөрч, түгшүүр нэмэгдэв. Би түүний эзгүйд ямар нэгэн тайлбар олох гэж оролдсон боловч харамсалтай нь санаанд ямар ч ноцтой зүйл тохиолдсонгүй ... Тэр ямар нэгэн зүйл бэлдэж байгааг би мэдэрсэн ч юу болохыг тааж чадсангүй. Ядарч туйлдсан мэдрэл нь зам тавьж өгсөн. Тэгээд хүлээж байгаад бүрэн галзуурахгүйн тулд өдөр бүр ордныг тойрон алхаж эхлэв. Намайг гадагш гарахыг хориглоогүй, гэхдээ бас зөвшөөрөөгүй тул үргэлжлүүлэн хорихыг хүсэхгүй байгаа тул хэн нэгэнд таалагдахгүй байж магадгүй ч гэсэн би өөрөө зугаалахаар шийдсэн. Ордон асар том бөгөөд ер бусын баян болжээ. Өрөөнүүдийн гоо үзэсгэлэн нь төсөөллийг гайхшруулж байсан ч би хувьдаа хэзээ ч ийм нүд булаам тансаг амьдарч чадахгүй... Хана, таазны алтадмал нь дарангуйлж, гайхалтай гэрэлт зургуудын урлалд халдаж, гялалзсан орчинд амьсгал хураажээ. алтан өнгө. Энэхүү гайхамшигт гэрийг зурж, тэдний бүтээлийг олон цагаар биширч, шилдэг гар урлалыг чин сэтгэлээсээ биширч байсан зураачдын авъяас чадварыг би баяртайгаар үнэлэв. Одоо болтол хэн ч намайг зовоож байгаагүй, хэн ч намайг зогсоож байгаагүй. Хэдийгээр уулзаж, хүндэтгэлтэйгээр бөхийж, цааш хөдөлж, тус бүр өөрийн гэсэн ажилдаа яардаг хүмүүс үргэлж байсан. Ийм хуурамч "эрх чөлөө" байсан ч энэ бүхэн түгшүүр төрүүлж, шинэ өдөр бүр улам их түгшүүрийг авчирдаг байв. Энэ "тайван" үүрд үргэлжлэх боломжгүй. Энэ нь миний хувьд ямар нэгэн аймшигтай, гашуун зовлонг "төрнө" гэдэгт би бараг итгэлтэй байсан ...

Төлөвлөгөө:

1 Цувралын эхний n гишүүний нийлбэр
- 1.1 Зарим хэсэгчилсэн нийлбэр утгууд
- 1.2 Эйлерийн томъёо
- 1.3 Хэсэгчилсэн нийлбэрийн тоо-онолын шинж чанарууд
2 Цувралуудын нэгдэл
- 2.1 Оресмегийн нотолгоо
- 2.2 Зөрчлийн өөр нотолгоо
3 Хэсэгчилсэн нийлбэр
4 холбосон мөр
- 4.1 Дирихлегийн цуврал
- 4.2 Ээлжит цуврал
- 4.3 Санамсаргүй гармоник цуврал
- 4.4 "Нимгэн" гармоник цуврал

Оршил

Математикийн хувьд гармоник цуваа нь хязгааргүй тооны гишүүний нийлбэр, натурал цувралын дараалсан тоонуудын харилцан үйлчлэл юм.

Цувралыг нэрлэсэн гармоник, учир нь түүний нөхцөл бүр нь хоёр дахь үеэс эхлэн хоёр хөршийн гармоник дундаж юм.

1. Цувралын эхний n гишүүний нийлбэр

1.1. Зарим хэсэгчилсэн нийлбэр утгууд

1.2. Эйлерийн томъёо

1740 онд Л.Эйлер цувралын эхний n гишүүний нийлбэрийн асимптот илэрхийлэлийг олж авчээ.

Энд Эйлер-Машерони тогтмол, ln нь натурал логарифм.

Иймээс том n-ийн хувьд утга нь байвал:

- Гармоник цувааны эхний n гишүүний нийлбэрийн Эйлерийн томъёо.

1.3. Хэсэгчилсэн нийлбэрийн тоо-онолын шинж чанарууд

2. Цувралын нэгдэл

цагт

Гармоник цуваа маш удаан хуваагддаг (хэсэгчилсэн нийлбэр 100-аас хэтрэхийн тулд цувралын 10 43 орчим элемент шаардлагатай).

Гармоник цувралын зөрүүг телескоп цувралтай харьцуулан харуулж болно.

хэсэгчилсэн нийлбэр нь тодорхой тэнцүү байна:

2.1. Оресмегийн нотолгоо

Зөрчилдөөний нотолгоог нэр томъёог дараах байдлаар бүлэглэх замаар үүсгэж болно.

2.2. Зөрчлийн өөр нотолгоо

Гармоник цуваа нийлбэрт нийлнэ гэж бодъё:

Дараа нь бутархайг дахин цэгцлэхэд бид дараахь зүйлийг авна.

Үүнийг хоёр дахь хаалтаас гаргая:

Хоёрдахь хаалтыг дараах байдлаар солино.

Үүнийг зүүн тал руу шилжүүлье:

Цувралын нийлбэрийг буцааж орлъё:

Нэг нь хагасаас их, гуравны нэг нь дөрөвний нэгээс их гэх мэтчилэн энэ тэгшитгэл худал болох нь тодорхой. Тиймээс цувралын нийлбэрийн талаарх бидний таамаг буруу бөгөөд цуваа нь зөрөөд байна.

0-тэй тэнцүү биш, учир нь хаалт бүр эерэг байна.

Энэ нь S нь хязгааргүй гэсэн үг бөгөөд тэгш байдлын хоёр талаас үүнийг нэмэх, хасах үйлдлүүд хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй.

3. Хэсэгчилсэн дүн

nгармоник цувралын хэсэгчилсэн нийлбэр,

дуудсан n-th гармоник тоо.

Хоорондын ялгаа nгармоник тоо ба натурал логарифм nЭйлер-Машерони тогтмолд нийлдэг.

Янз бүрийн гармоник тоонуудын ялгаа нь бүхэл тоотой хэзээ ч тэнцүү байдаггүй бөгөөд үүнээс өөр гармоник тоо байдаггүй Х 1 = 1 нь бүхэл тоо биш юм.

4. Холбоотой мөрүүд

4.1. Дирихлетийн цуврал

Ерөнхий гармоник цуврал (эсвэл Дирихлегийн цуврал) нь цуврал юм

Ерөнхий гармоник цуваа α≤1-д хуваагдаж, α>1-д нийлдэг.

α дарааллын ерөнхий гармоник цувралын нийлбэр нь Риманы зета функцийн утгатай тэнцүү байна.

Тэгш тоонуудын хувьд энэ утгыг pi тоогоор тодорхой илэрхийлдэг, жишээлбэл, α=3-ын хувьд түүний утга нь аналитик байдлаар тодорхойгүй байна.

4.2. Ээлжит цуврал

Хувьсах гармоник цувралын эхний 14 хэсэгчилсэн нийлбэр (хар сегмент), нийлэлтийг харуулсан байгалийн логарифм 2-оос (улаан шугам).

Бүх нэр томъёог "+" тэмдгээр авдаг гармоник цувралаас ялгаатай нь цуврал

Лейбницийн тестийн дагуу нийлдэг. Тиймээс ийм цуврал байдаг гэж тэд хэлдэг нөхцөлт ойртолт . Үүний нийлбэр нь 2-ын натурал логарифмтай тэнцүү байна.

Энэ томъёо нь Меркаторын цувралын онцгой тохиолдол юм ( Англи), Натурал логарифмын хувьд Тейлорын цуврал.

Үүнтэй төстэй цувралыг арктангентын хувьд Тейлорын цувралаас авч болно.

Үүнийг Лейбницийн цуврал гэж нэрлэдэг.

4.3. Санамсаргүй гармоник цуврал

Альбертагийн их сургуулийн Бирон Шмуланд санамсаргүй цувааны шинж чанарыг судалжээ

Хаана с n½-ийн ижил магадлалтай +1 ба -1 утгыг авдаг бие даасан, ижил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд. Энэ нийлбэр магадлал 1, цувралын нийлбэр нь 1 байна санамсаргүй утгасонирхолтой шинж чанаруудтай. Жишээлбэл, +2 эсвэл −2 цэгүүдэд тооцоолсон магадлалын нягтын функц нь −10-аас бага 0.124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 ... утгатай байна. Шмуландын баримт бичигт энэ утга яагаад 1/8-тай ойролцоо боловч тэнцүү биш байгааг тайлбарлав.

4.4. "Нимгэн" гармоник цуврал

Кемпнерийн цуврал ( Англи)

Хэрэв бид хуваагч нь 9-ийн тоог агуулаагүй зөвхөн нэр томъёо үлдсэн гармоник цувралыг авч үзвэл үлдсэн нийлбэр нь тоонд нийлдэг.<80. , точнее - к 22,92067 66192 64150 34816. Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, т.к. с ростом разрядов в числе n, все меньше слагаемых берется для суммы "истонченного" ряда. Т.е. в конечном счете мы отбрасываем подавляющее большинство членов образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.