Построение функции принадлежности нечеткого множества. Нечеткие множества

Функция принадлежности μ A (x) ∈ ставит в соответствие каждому числу

x ∈ X число из интервала , характеризующее степень принадлежности решения к подмножеству А.

Т.е. это некоторая не вероятностная субъективная мера нечеткости, определяемая в результате опроса экспертов о степени соответствия элемента x понятию, формализуемому нечетким множеством A. В отличие от вероятностной меры, которая является оценкой стохастической неопределенности, имеющей дело с неоднозначностью наступления некоторого события в различные моменты времени, нечеткая мера является численной оценкой лингвистической неопределенности, связанной с неоднозначностью и расплывчатостью категорий человеческого мышления. При построении функции принадлежности μ A (x) с каждым нечетким множеством A ассоциируется некоторое свойство, признак или атрибут, который характеризует некоторую совокупность объектов X. Чем в большей степени конкретный объект x ∈ X обладает этим свойством, тем более близко к 1 соответствующее значение μ A (x). Если элемент x ∈ X определенно обладает этим свойством, то μ A (x)=1, если же x ∈ X определенно не обладает этим свойством, то μ A (x)=0.

Основные виды функций принадлежности

На практике удобно использовать те функции принадлежности, которые допускают аналитическое представление в виде некоторой простой математической функции.

1. Кусочно-линейные,

использующиеся для задания неопределенностей типа: «приблизительно равно», «среднее значение», «расположен в интервале», «подобен объекту», «похож на предмет» и т.п.

Треугольная trimf

Трапецеидальная trapmf

2. S-образные,

использующиеся для задания неопределенностей типа: «большое количество», «большое значение», «значительная величина», «высокий уровень» и т.п.

Квадратичный S-сплайн smf

3. Z -образные,

использующиеся для задания неопределенностей типа «малое количество», «небольшое значении е», «незначительная величина», «низкий уровень» и т.п.

Квадратичный Z -сплайн z mf

4. П-образные,

использующиеся для задания неопределенностей типа: «приблизительно в пределах от и до», «примерно равно», «около» и т.п.

К данному типу функций принадлежности можно отнести целый класс кривых, которые по своей форме напоминают колокол, сглаженную трапецию или букву "П".

Колоколообразная gbellmf

a - коэффициент концентрации функции принадлежности; b – коэффициент крутизны функции принадлежности; c – координата максимума функции принадлежности.

Гауссовская gaussmf

a – координата максимума функции принадлежности; b – коэффициент концентрации функции принадлежности.

Методы построения функций принадлежности

Прямые и косвенные

В зависимости от числа привлеченных к опросу экспертов как прямые, так и косвенные методы делятся на одиночные и групповые .

Прямые

В прямых методах эксперт либо группа экспертов просто задают для каждого

x ∈ X значение функции принадлежности μ A (x).

Как правило, прямые методы построения функций принадлежности используются для таких свойств, которые могут быть измерены в некоторой количественной шкале. Например, такие физические величины, как скорость, время, расстояние, давление, температура и другие имеют соответствующие единицы и эталоны для своего измерения.

При прямом построении функций принадлежности следует учитывать, что теория нечетких множеств не требует абсолютно точного задания функций принадлежности. Зачастую бывает достаточно зафиксировать лишь наиболее характерные значения и вид функции принадлежности.

Так, например, если необходимо построить нечеткое множество, которое представляет свойство "скорость движения автомобиля примерно 50 км/ч", на начальном этапе может оказаться достаточным представить соответствующее нечеткое множество треугольной функцией принадлежности с параметрами а = 40 км/ч, b = 60 км/ч и с = 50 км/ч. В последующем функция принадлежности может быть уточнена опытным путем на основе анализа результатов решения конкретных задач.

Процесс построения или задания нечеткого множества на основе некоторого известного заранее количественного значения измеримого признака получил даже специальное название - фаззификация или приведение к нечеткости. Речь идет о том, что хотя иногда нам бывает известно некоторое значение измеримой величины, мы признаем тот факт, что это значение известно неточно, возможно с погрешностью или случайной ошибкой. При этом, чем меньше мы уверены в точности измерения признака, тем большим будет интервал носителя соответствующего нечеткого множества. Следует помнить, что в большинстве практических случаев абсолютная точность измерения является лишь удобной абстракцией для построения математических моделей. Именно по этой причине фаззификация позволяет более адекватно представить объективно присутствующую неточность результатов физических измерений.

Метод относительных частот (прямой групповой)

Пусть имеется m экспертов, n 1 из которых на вопрос о принадлежности элемента x ∈ X нечеткому множеству A отвечают положительно. Другая часть экспертов n 2 = m – n 1 отвечает на этот вопрос отрицательно. Тогда принимается μ A (x) = n 1 / (n 1 + n 2) = n 1 / m.

Пример. Рассмотрим нечеткое множество A, соответствующее понятию «скорость изменения температуры положительная средняя». Объект x – скорость изменения температуры. Экспертам предъявляются различные значения скорости изменения температуры x, и каждому из них задается вопрос: считает ли эксперт, что данная скорость изменения температуры x положительная средняя. Результаты опроса сведены в табл.

В качестве непрерывного представления данной нечеткой переменной можно использовать гауссовскую ФП gaussmf с максимумом функции принадлежности а=5 и коэффициентом концентрации функции принадлежности b=1.7:

μ(x) = exp [ – (x–5) 2 / 2*1.7 2 ]

Косвенные

Используются при решении задач, для которых свойства физических величин не могут быть измерены. Наибольшее распространение среди косвенных методов получил метод парных сравнений.

Метод парных сравнений

Интенсивность принадлежности определяют, исходя из попарных сравнений рассматриваемых элементов.

Для каждой пары элементов универсального множества эксперт оценивает преимущество одного элемента над другим по отношению к свойству нечеткого множества. Парные сравнения удобно представлять следующей матрицей:

,

где - уровень преимущество элементанад(), определяемый по девятибальной шкале Саати:

1 - если отсутствует преимущество элемента над элементом;

3 - если имеется слабое преимущество над;

5 - если имеется существенное преимущество над;

7 - если имеется явное преимущество над;

9 - если имеется абсолютное преимущество над;

2, 4, 6, 8 - промежуточные сравнительные оценки.

Пример. Построить функцию принадлежности нечеткого множества "высокий мужчина" на универсальном множестве {170, 175, 180, 185, 190, 195}, если известны такие экспертные парные сравнения:

абсолютное преимущество 195 над 170;

явное преимущество 195 над 175;

существенное преимущество 195 над 180;

слабое преимущество 195 над 185;

отсутствует преимущество 195 над 190.

Приведенным экспертным высказываниям соответствует такая матрица парных сравнений:

При согласованных мнениях эксперта матрица парных сравнений обладает следующими свойствами:

она диагональная‚ т. е. a ii =1 ‚ i=1..n ;

она обратно симметрична‚ т. е. элементы‚ симметричные относительно главной диагонали‚ связаны зависимостью a ij =1/a ji , i,j=1..n ;

она транзитивна‚ т. е. a ik a kj =a ij , i,j,k=1..n .

Наличие этих свойств позволяет определить все элементы матрицы парных сравнений:

После определения всех элементов матрицы парных сравнений, степени принадлежности нечеткого множества вычисляются по формуле:

Для нормализации нечеткого множества разделим все степени принадлежности на максимальное значение, т.е. на 0.3588.

Решая задачи, приходится встречаться с ситуациями, когда элемент в некоторой степени принадлежит данному множеству. Например, определяется множество небольших величин. Кто может точно сказать, начиная с какого значения величины можно считать величину небольшой? На этот вопрос нет однозначного ответа. Поэтому одним из способов математического описания нечеткого множества является определение степени принадлежности элемента нечеткому множеству. Степень принадлежности задается числом из интервала . Границы интервала - 0, 1, означают, соответственно, «не принадлежит» и «принадлежит». В разд. 1 принадлежность элемента x множеству А записывается в формализованном виде xÎА . Данная запись может быть представлена в виде характеристической функции:

Принадлежность множеству может быть представлена в графической виде. Например, в одномерном арифметическом пространстве R заданы два множества AÎR и BÎR . Принадлежность xÎА можно представить в виде прямоугольника П А , показанного на рис. 2.1, а принадлежность xÎВ - в виде прямоугольника П В , показанного на рис. 2.2. Принадлежность x объединению множеств xÎАÇВ представлена прямоугольником П А Ç В , показанны на рис. 2.3. Принадлежность двухмерному множеству будет представлена параллепипедом в трехмерном пространстве, а принадлежность n –мерному множеству – (n +1)-мерным параллепипедом.

Рис. 2.1 Рис. 2.2

Нечетким подмножеством A множества X называется множество двоек . Функция m A , являющаяся отражением элементов xÎX в элементы множества (m a:X®), называется функцией принадлежности нечеткого множества , а X - базовым множеством.

Конкретное значение m A (x) , заданное для элемента x , называется степенью принадлежности элемента x нечеткому множеству . Hосителем нечеткого множества называется подмножество ÎX , содержащее те элементы xÎX , для которых значение функции принадлежности больше нуля.

Пример. Пусть X - множество натуральных чисел X={1,2,3, ...,x max } , предназначенных для определения цены изделия. Нечеткое подмножество «небольшая цена» может быть задано в следующем виде:

={<1/1>,<0,9/2>,<0,8/3>,<0,7/4>,<0,6/5>,<0,5/6>,<0,4/7>,<0,3/8>,

<0,2/9>,<0,1/10>,<0/11>,...,<0/x max >}.

Принадлежность значений цены нечеткому подмножеству «небольшая цена» показана на рис.2.4.

Если рассматривать множество X как непрерывное множество натуральных чисел, то принадлежность значений цены нечеткому подмножеству «небольшая цена» будет иметь вид непрерывной функции, как показано на рис.2.5. Рассмотрим свойства нечетких множеств.

Высота (height - hgt) нечеткого множества : .

Нечеткое множество с hgtA=1 называется нормальным, а при hgtA<1 - субнормальным. Ядро (core, kernal, nucleus) или центр нечеткого множества : core ={xÎX/m A (x)=1} . Основание (support – supp) нечеткого множества : supp ={xÎX/m A (x)>1} . Поперечными точками (crossover point) нечеткого множества называется совокупность core {xÎX/m A (x)=0,5} . Уровень a , или a –разрез (сечение) нечеткого множества : a ={xÎX/m A (x)³a} . a –разрез нечеткого множества еще обозначают: a -cut . Строгий a –разрез нечеткого множества : a ={xÎX/m A (x)>a} . Выпуклое (convex) нечеткое множество : "x 1 ,x 2 ,x 3 ÎX:x 1 £x 2 £x 3 ®m A (x 2)³min(m A (x 1),m A (x 3)). При невыполнении неравенства нечеткое множество называется невыпуклым. На рис. 2.6 приведена иллюстрация вышеназванных свойств.

Отдельным видом нечеткого множества А является нечеткое число (нечеткий синглтон) при выполнении условий : А является выпуклым, высота является нормальной (hgt А=1 ), m А (x) является кусочно-непрерывной функцией, ядро или центр множества A (core A ) содержит одну точку. Пример принадлежности x нечеткому числу «приблизительно 5» показан на рис. 2.7.

Другим видом нечеткого множества является задание некоторых переменных в виде нечеткого интервала. Известно определение.

Нечеткий интервал – это выпуклая нечеткая величина A , функция принадлежности которой квазивогнута, так что

"u,v, "wÎ, m A (w)³min(m A (u), m A (v)), u,v,wÎX.

Тогда нечеткое число - полунепрерывный сверху нечеткий интервал с компактным носителем и единственным модальным значением. Задание параметров задачи в виде нечеткого интервала – это очень удобная форма для формализации неточных величин. Обычный интервал часто является неудовлетворительным представлением, т.к. необходимо фиксировать его границы. Могут быть оценки завышенными или заниженными, что вызовет сомнение в результатах расчетов. Задание параметров задачи в виде нечеткого интервала будет одновременно и завышенным, и заниженным, а носитель (базовое множество) нечеткого интервала будут выбран так, что ядро содержит наиболее правдоподобные значения и будет гарантировано нахождение рассматриваемого параметра в требуемых пределах.

Задание нечетких интервалов может быть осуществлено экспертами следующим образом. Нечеткий интервал задают четверкой параметровМ= () (см. рис.2.8), где и - соответственно нижнее и верхнее модальные значения нечеткого интервала, а a и b представляют собой левый и правый коэффициент нечеткости. Задание нечеткого интервала может быть выполнено следующими способами.

Вариант 1. Нижнее и верхнее модальные значения интервала совпадают, а a и b равны нулю. Значение x определяется с неопределенностью равной нулю. Для задания нечеткой входной переменной на множестве X определим формально нечеткий интервал =(x min =x, x m ax =x,0,0), где x imin - нижнее модальное значение , а x m ax - верхнее модальное значение .

Четкое задание x на множестве значений X, как это показано на рис. 2.9, является частным случаем задания нечеткого интервала, причем, m A (x) - значение степени принадлежности интервалу.

Вариант 2. Задание x определяется с неопределенностью отличной от нуля. Пример показан на рис. 2.10. Нечеткий интервал определен, как =(x min , x m ax =x min ,0,b), т.е. верхнее и нижнее модальные значения интервала совпадают.

Рис. 2.9 Рис. 2.10

Вариант 3. Задание x может быть получено из интервала [А,В] . Пример показан на рис. 2.11. Степень принадлежности равна единице, причем =(А=x min ,В=x m ax ,0,0) , где А – нижнее модальное значение (минимально возможное значение входной переменнойx ), В – верхнее модальное значение (максимальное значение входной переменнойx .

Вариант 4. Значение входной переменнойx i может быть получено из интервала значений [А,С] [А,В] (A£B£С). Формально нечеткий интервал определен в виде =(А=x min ,В=x max ,0,b) . Пример задания показан на рис. 2.12, гдеb=С-В.

Вариант 5. Значение входной переменнойq i экспертами может быть определено из интервала значений [А,D] таким образом, что в интервале [В,C] неопределенность получения равна единице (A£B£С£D). Формально нечеткий интервал в этом случае определим в виде =(B=x min ,C=x max ,a,b) . Пример задания нечеткого интервала показан на рис. 2.13, гдеa=B-A, b=D-C.

Рассмотрим операции над нечеткими интервалами.

Рис. 2.11 Рис. 2.12

Операция нечеткого суммирования для нечетких интервалов определяется следующим образом. Сумма двух нечетких интервалов М i =() и М j =(), записываемая в виде М i М j , также есть нечеткий интервал М i М j = , где a=a i + a j ; b=b i + b j ; , . Сумма n нечетких интервалов определится формулами:

.

Если , a , где и - выпуклые интервалы, то , причем - совокупность интервалов, которая определена по предыдущим формулам.

Операция разности нечетких интервалов определяется следующим образом. Нечеткая разность двух нечетких интервалов и есть трапециевидный интервал , для которого c=|a-h|, d=|b-l|, , , где - соответственно нижние модальные значения нечетких интервалов , - верхние модальные значения нечетких интервалов .

Принятие решений связано с осуществлением сравнений полученного нечеткого интервала либо экспертами, либо по данным моделирования с действительным числом. Операция сравнения нечеткого интервала и действительного числа выполняется следующим образом.

Действительное число А представим в виде интервала (А,А,0,0) . Определение меньшего или большего значения нечеткого интервала по отношению к действительному числуА производится по формулам:

А , если |A-()|£|A-()| и A£ ;

А , если |A-()|³|A-()| и A³ .

Для нечетких интервалов существует операция произведения и деления. Произведение двух нечетких интервалов и определится в виде трапециевидного интервала , параметры которого определяют по формулам:

c=ah, d=bl, ; .

Эти правила для умножения двух нечетких интервалов в зависимости от знаков чисел , , , принимают вид:

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то .

Рассмотрим операцию деления. Деление двух нечетких интервалов и даст трапециевидный интервал , параметры которого определяются следующим образом:

c=ah, d=bl, ; ,

причем в зависимости от знаков чисел , , , данное правило для деления двух нечетких интервалов будет выглядеть так:

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то .

Функции принадлежности

Функции принадлежности является субъективным понятием, т.к. они определяются людьми (экспертами) и каждый человек дает свою оценку. Существуют различные методы задания функций принадлежности .

Будем считать, что функция принадлежности - это некоторое невероятное субъективное измерение нечеткости и что она отличается от вероятностной меры, т.е. степень принадлежности m A (x) элемента x нечеткому множеству есть субъективная мера того, насколько элемент xÎX соответствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множеством .

Степень соответствия элемента x понятию, формализуемому нечетким множеством , определяется опросом экспертов и представляет собой субъективную меру.

Существует два класса методов построения функций принадлежности множества : прямые и косвенные.

2.2.1. Прямые методы построения. Прямыми методами построения функций принадлежности называют такие методы, в которых степени принадлежности элементов x множества X непосредственно задаются либо одним экспертом, либо коллективом экспертов. Прямые методы подразделяются на прямые методы для одного эксперта и для группы экспертов в зависимости от количества экспертов.

Прямой метод для одного эксперта состоит в том что эксперт каждому элементу xÎX ставит в соответствие определенную степень принадлежности m A (x) , которая, по его мнению, наилучшим образом согласуется со смысловой интерпретацией множества .

Применение простых методов для группы экспертов позволяет интегрированно учитывать мнение всех экспертов и строить график соответствия между элементами из множества X . Возможна следующая процедура построения функции принадлежности m A (x) .

Экспертам, составляющим группу из m человек, задается вопрос о принадлежности элемента xÎX нечеткому множеству . Пусть часть экспертов, состоящая из n 1 человек, ответила на вопрос положительно, а другая часть экспертов n 2 =m-n 1 ответила отрицательно. Тогда принимается решение, что m A (x)=n 1 /m .

В более общем случае оценкам экспертов сопоставляются весовые коэффициенты a i Î . Коэффициенты a i отражают степень компетентности экспертов. Степень принадлежности элемента x нечеткому множеству определится

где p i =1 при положительном ответе и p i =0 при отрицательном ответе эксперта.

Недостатки прямых методов состоят в присущем им субъективизме т.к. человеку присуще ошибаться.

2.2.2. Косвенные методы построения функций принадлежности. Косвенными методами построения функций принадлежности называют такие методы, в которых достигается снижение субъективного влияния за счет разбиения общей задачи определения степени принадлежности m A (x) , xÎX на ряд более простых подзадач. Одним из косвенных методов является метод попарных сравнений. Рассмотрим его суть.

На основе ответов экспертов строится матрица попарных сравнений M=½½m ij ½½ , в которой элементы m ij представляют собой оценки интенсивности принадлежности элементов x i ÎX подмножеству по сравнению с элементами x j ÎX . Функция принадлежности m a (x) определяется из матрицы M . Предположим, что известны значения функции принадлежности m A (x) для всех значений xÎХ . Пусть m A (x)=r i , Тогда попарные сравнения определяются m ij =r i /r j . Если отношения точны, то получается соотношение в матричном виде MR=n*R , где R=(r 1 ,r 2 ,...,r n), n - собственное значение матрицы M , по которому восстанавливается векторR с учетом условия Эмпирический вектор R имеет решение в задаче на поиск собственного значения M*R=l max , где l max - наиболее собственное значение. Задача сводится к поиску вектора R , который удовлетворяет уравнению

M*R=l max *R . (2.1)

Это уравнение имеет единственное решение. Значения координат собственного вектора, соответствующие максимальному собственному значению l max , деленные на их сумму, будут искомыми степенями принадлежности. Понятия, которые предложены экспертам, а также соответствие этих понятий величинам m ij , приведены в табл.2.1.

Таблица 2.1

Производится опрос экспертов относительно того, насколько, по их мнению, величина m A (x i) превышает величину m A (x i) , т.е. насколько элемент x i более значим для понятия, описываемого нечетким множеством , чем элемент x j . Опрос позволит построить матрицу попарных сравнений, которая имеет вид

Определение элемента r i ÎR происходит следующим образом. Вычисляется сумма каждого j -го столбца матрицы M. Из построения матрицы M следует, что Отсюда следует, что r i =1/k i .

Определив все величины k j , получим значения элементов вектора R . Исходя из того, что матрица M , как правило, построена неточно, найденный вектор R используется как начальный в итерационном методе решения уравнения (2.1).

2.2.3. Виды функций принадлежности. Выше было определено, что функции принадлежности могут иметь трапецеидальный вид (см. рис. 2.7), треугольный вид (см. рис. 2.7). Функции принадлежности могут иметь также и колоколообразный вид (рис. 2.14).

Для колоколообразного вида функция принадлежности определена выражением

,

где m - заданное число, d - показатель нечеткости.

Для трапецеидального вида функция принадлежности определена выражением: m A (x)=min{max(a-k|x-b|;0);1}, где a , b - заданные числа, k - показатель нечеткости.

При решении задач нечеткого управления могут быть применены и другие функции:

m A (x)=e -kx , x>0; m A (x)=1-a x , 0£x£a -1/k ; m A (x)=(1+kx 2) -1 , k>1.

Нечеткое множесто с одномерной функцией принадлежности m A (x) принято называть нечетким множеством первого рода .

Существуют нечеткие множества второго рода , для который функция принадлежности: .

Двухмерное нечеткое множество A определено в следующем виде: A=(A 1 ´A 2: m A (x 1 ,x 2)) , где A 1 ´A 2 - декартово произведение, m A (x 1 ,x 2)=min{a-k 1 |x 1 -b| - k 2 |x 2 -c|; (x 1 =0, x 2 =0)); - двухмерная функция принадлежности трапецеидального вида, в которой: a , b , c - заданные числа, k 1 , k 2 - показатели нечеткости. Пример задания двухмерной функции принадлежности трапецеидального вида приведен на рис. 2.15.

Двухмерная функция принадлежности колоколообразного вида определена формулой:

где m 1 , m 2 - заданные числа, d 1 , d 2 - показатели нечеткости.

Fuzzy Logic Toolbox включает 11 встроенных функций принадлежностей, которые используют следующие основные функции:

• кусочно-линейную;
• гауссовское распределение;
• сигмоидную кривую;
• квадратическую и кубические кривые.

Для удобства имена всех встроенных функций принадлежности оканчиваютя на mf. Вызов функции принадлежности осуществляется следующим образом:

namemf(x, params),

где namemf – наименование функции принадлежности;
x – вектор, для координат которого необходимо рассчитать значения функции принадлежности;
params – вектор параметров функции принадлежности.

Простейшие функции принадлежности треугольная (trimf ) и трапециевидная (trapmf ) формируется с использованием кусочно-линейной аппроксимации. Трапециевидная функция принадлежности является обобщение треугольной, она позволяет задавать ядро нечеткого множества в виде интервала. В случае трапециевидной функции принадлежности возможна следующая удобная интерпретация: ядро нечеткого множества – оптимистическая оценка; носитель нечеткого множества – пессимистическая оценка.

Две функции принадлежности – симметричная гауссовская (gaussmf ) и двухстороняя гауссовская (gaussmf ) формируется с использованием гауссовского распределения. Функция gaussmf позволяет задавать ассиметричные функция принадлежности. Обобщенная колоколообразная функция принадлежности (gbellmf ) по своей форме похожа на гауссовские. Эти функции принадлежности часто используются в нечетких системах, так как на всей области определения они является гладкими и принимают ненулевые значения.

Функции принадлежности sigmf , dsigmf , psigmf основаны на использовании сигмоидной кривой. Эти функции позволяют формировать функции принадлежности, значения которых начиная с некоторого значения аргумента и до + (-) равны 1. Такие функции удобны для задания лингвистических термов типа “высокий” или “низкий”.

Полиномиальная аппроксимация применяется при формировании функций zmf, pimf и smf , графические изображения которых похожи на функции sigmf , dsigmf , psigmf , соответственно.

Основная информация о встроенных функциях принадлежности сведена в табл. 6.1. На рис. 6.1 приведены графические изображения функций принадлежности, полученные с помощью демонстрационной сценария mfdemo . Как видно из рисунка, встроенные функции принадлежности позволяют задавать разнообразные нечеткие множества.

В Fuzzy Logic Toolbox предусмотрена возможность для пользователя создания собственной функции принадлежности. Для этого необходимо создать m -функцию, содержащую два входных аргумента – вектор, для координат которого необходимо рассчитать значения функции принадлежности и вектор параметров функции принадлежности. Выходным аргументом функции должен быть вектор степеней принадлежности. Ниже приведена m -функция, реализующая колоколообразную функцию принадлежности :

function mu=bellmf(x, params)
%bellmf – bell membership function;
%x – input vector;
%params(1) – concentration coefficient (>0);
%params(2) – coordinate of maximuma.
a=params(1);
b=params(2);
mu=1./(1+ ((x-b)/a).^2);

Рисунок 6.1. Встроенные функции принадлежности

Таблица 6.1. Функции принадлежности

Нечеткое множество - ключевое понятие нечеткой логики. Пусть Е — универсальное множество, х — элемент Е, a R — некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество А универ-сального множества Е, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар

А = { μ A (x ) / x },

где μ А (х) —характеристическая функция, принимающая значе-ние 1, если х удовлетворяет свойству R, и 0 - в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов х из Е нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства R. В связи с этим нечеткое подмножество А универсаль-ного множества Е определяется как множество упорядоченных пар

А = { μ A (x ) / x },

где μ А (х) — характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности) , принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве М (например, М = ).

Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М назы-вают множеством принадлежностей. Если М = {0, 1}, то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть Е = {x 1 , x 2 , х з, x 4 , x 5 }, М = ; А — нечеткое множество, для которого μ A (x 1 )= 0,3; μ A (х 2 )= 0; μ A (х 3) = 1; μ A (x 4) = 0,5; μ A (х 5 )= 0,9.

Тогда А можно представить в виде

А = {0,3/x 1 ; 0/х 2 ; 1/х 3 ; 0,5/х 4 ; 0,9/х 5 },

или

А ={0,3/x 1 +0/х 2 +1/х 3 +0,5/х 4 +0,9/х 5 },

или

Замечание . Здесь знак «+» не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

Основные характеристики нечетких множеств

Пусть М = и А — нечеткое множество с элементами из универсаль-ного множества Е и множеством принадлежностей М.

Величина называется высотой нечеткого множества А. Нечеткое множество А нормально, если его высота рав-на 1,т.е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1 (= 1). При < 1нечеткое множество называется субнормальным.

Нечеткое множество пусто, если ∀x ϵ E μ A (x ) = 0. Непу-стое субнормальное множество можно нормализовать по формуле

Нечеткое множество унимодально, если μ A (x ) = 1 только на одном х из Е.

. Носителем нечеткого множества А является обычное под-множество со свойством μ A (x )>0, т.е. носитель А = {x /x ϵ E, μ A (x )>0}.

Элементы x ϵ E , для которых μ A (x ) = 0,5 , называются точками перехода множества А.

Примеры нечетких множеств

1. Пусть Е = {0, 1, 2, . . ., 10}, М = . Нечеткое множество «Несколько» можно определить следующим образом:

«Несколько» = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8; его характеристики: высота = 1, носитель = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, точки перехода — {3, 8}.

2. Пусть Е = {0, 1, 2, 3,…, n ,… }. Нечеткое множество «Малый» можно определить:

3. Пусть Е = {1, 2, 3, . . ., 100} и соответствует понятию «Возраст», тогда нечеткое множество «Молодой» может быть определено с помощью

Нечеткое множество «Молодой» на универсальном множестве Е" = {ИВАНОВ, ПЕТРОВ, СИДОРОВ,...} задается с помощью функции при-надлежности μ Молодой (x ) на Е = {1, 2, 3, . . ., 100} (возраст), называемой по отношению к Е" функцией совместимости, при этом:

где х — возраст СИДОРОВА.

4. Пусть Е = {ЗАПОРОЖЕЦ, ЖИГУЛИ, МЕРСЕДЕС,… } - множе-ство марок автомобилей, а Е" = — универсальное множество «Сто-имость», тогда на Е" мы можем определить нечеткие множества типа:

Рис. 1.1. Примеры функций принадлежности

«Для бедных», «Для среднего класса», «Престижные», с функциями при-надлежности вида рис. 1.1.

Имея эти функции и зная стоимости автомобилей из Е в данный момент времени, мы тем самым определим на Е" нечеткие множества с этими же названиями.

Так, например, нечеткое множество «Для бедных», заданное на уни-версальном множестве Е = { ЗАПОРОЖЕЦ, ЖИГУЛИ, МЕРСЕДЕС,...}, выглядит так, как показано на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Пример задания нечеткого множества

Аналогично можно определить нечеткое множество «Скоростные», «Средние», «Тихоходные» и т. д.

5. Пусть Е — множество целых чисел:

Е = {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

Тогда нечеткое подмножество чисел, по абсолютной величине близких к нулю, можно определить, например, так:

А = {0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

О методах построения функций принадлежности нечет-ких множеств

В приведенных выше примерах использованы пря-мые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого х ϵ Е значение μ А (х), либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности ис-пользуются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Во многих задачах при характеристике объекта можно выде-лить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, 0 или 1.

Например, в задаче распознавания лиц можно выделить шкалы, приведенные в табл. 1.1.

Таблица 1.1. Шкалы в задаче распознавания лиц

Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шка-лы, задает μ A (х) ϵ , формируя векторную функцию принад-лежности { μ A (х 1 ) , μ A (х 2 ),…, μ A (х 9) }.

При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкрет-ное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: «этот че-ловек лысый» или «этот человек не лысый», тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение μ лысый (данного лица). (В этом примере можно действо-вать через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц.)

Косвенные методы определения значений функции принад-лежности используются в случаях, когда нет элементарных из-меримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравне-ний. Если бы значения функций принадлежности были нам из-вестны, например, μ A (х- i ) = ω i , i = 1, 2, ..., n ,то попарные срав-нения можно представить матрицей отношений А = { a ij }, где a ij = ω i / ω j (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу А , при этом пред-полагается, что диагональные элементы равны 1, а для элемен-тов симметричных относительно диагонали a ij = 1/a ij , т.е. если один элемент оценивается в α раз сильнее, чем другой, то этот по-следний должен быть в 1/α раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора ω, удовлетворяющего уравнению вида Aw = λ max w , где λ max — наибольшее собствен-ное значение матрицы А . Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является поло-жительным.

Можно отметить еще два подхода:

• использование типовых форм кривых для задания функций принадлежности (в форме (L-R)-Типа - см. ниже) с уточнением их параметров в соответствии с данными эксперимента;
• использование относительных частот по данным экспе-римента в качестве значений принадлежности.

Пусть X – универсальное (базовое) множество, x – элемент X , а R – некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества X , элементы которого удовлетворяют свойству R , определяется как множество упорядоченных пар
A = μ A x / x , где μ A x – характеристическая функция, принимающая значение 1 , если x удовлетворяет свойству R , и 0 – в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из X нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства R . В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества X определяется как множество упорядоченных пар A = μ A x / x , где μ A x – характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности ), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M = 0 ; 1 . Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A . Множество M называют множеством принадлежностей. Если M = 0 ; 1 , то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество. Степень принадлежности μ A x является субъективной мерой того, насколько элемент x ∈ X , соответствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множеством A .

Носителем нечеткого множества A является четкое подмножество S A универсального множества X со свойством μ A x > 0 , т.е. S A = x ∣ x ∈ X ∧ μ A x > 0 . Иными словами, носителем нечеткого множества A является подмножество S A универсального множества X , для элементов которого функция принадлежности μ A x > 0 больше нуля. Иногда носитель нечеткого множества обозначают support A .

Если носителем нечеткого множества A является дискретное подмножество S A , то нечеткое подмножество A универсального множества X , состоящего из n элементов, можно представить в виде объединения конечного числа одноточечных множеств μ A x / x при помощи символа ∑ : A = ∑ i = 1 n μ A x i / x i . При этом подразумевается, что элементы x i упорядочены по возрастанию в соответствии со своими индексами, т.е. x 1 < x 2 < x 3 < … < x n .

Если носителем нечеткого множества A является непрерывное подмножество S A , то нечеткое подмножество A универсального множества X , рассматривая символ ∫ как непрерывный аналог введенного выше символа объединения для дискретных нечетких множеств ∑ , можно представить в виде объединения бесконечного числа одноточечных множеств μ A x / x:

A = ∫ X μ A x / x .

Пример. Пусть универсальное множество X соответствует множеству возможных значений толщин изделия от 10 мм до 40 мм с дискретным шагом 1 мм. Нечеткое множество A , соответствующее нечеткому понятию «малая толщина изделия», может быть представлено в следующем виде:

A = 1 / 10 ; 0,9 / 11 ; 0,8 / 12 ; 0,7 / 13 ; 0,5 / 14 ; 0,3 / 15 ; 0,1 / 16 ; 0 / 17 ; … ; 0 / 40 ,

A = 1 / 10 + 0,9 / 11 + 0,8 / 12 + 0,7 / 13 + 0,5 / 14 + 0,3 / 15 + 0,1 / 16 + 0 / 17 + … + 0 / 40 ,

где знак суммирования обозначает не операцию арифметического сложения, а объединения элементов в одно множество. Носителем нечеткого множества A будет конечное подмножество (дискретный носитель):

S A = 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 .

Если же универсальное множество X является множеством действительных чисел от 10 до 40 , т.е. толщина изделия может принимать все возможные значения в этих пределах, то носителем нечеткого множества A является отрезок S A = 10 ; 16 .

Нечеткое множество с дискретным носителем может быть представлено в виде отдельных точек на плоскости, нечеткое множество с непрерывным носителем может быть представлено в виде кривой, что соответствует дискретной и непрерывной функциям принадлежности μ A x , заданным на универсальном множестве X (рис.2.1).

Рис.2.1. Функции принадлежности нечетких множеств с (а)-дискретным и (б)-непрерывным носителями

Пример. Пусть X = 0 ; 1 ; 2 ; … – множество целых неотрицательных чисел. Нечеткое множество ital малый можно определить как μ ital малый x = x 1 + 0,1 x 2 − 1 .

Рис.2.2. Графическое представление нечеткого множества малый

Нечеткое множество A называется конечным , если его носитель S A является конечным четким множеством. При этом, по аналогии с обычными множествами, можно говорить, что такое нечеткое множество имеет конечную мощность card A = card S A . Нечеткое множество A называется бесконечным , если его носитель S A не является конечным четким множеством. При этом счетным нечетким множеством будет называться нечеткое множество с счетным носителем, имеющим счетную мощность в обычном смысле в терминах теории четких множеств, т.е. если S A содержит бесконечное число элементов, которые однако можно пронумеровать натуральными числами 1,2 ,3 . . . , причем достичь последнего элемента при нумерации принципиально невозможно. Несчетным нечетким множеством будет называться нечеткое множество со несчетным носителем, имеющим несчетную мощность континуума , т.е. если S A содержит бесконечное число элементов, которые невозможно пронумеровать натуральными числами 1,2 ,3 . . .

Пример. Нечеткое понятие «очень маленькое количество деталей» может быть представлено в виде конечного нечеткого множества A = 1 / 0 + 0,9 / 1 + 0,8 / 2 + 0,7 / 3 + 0,5 / 4 + 0,1 / 5 + 0 / 6 + … с мощностью card (A) = 6 и носителем S A = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 , который является конечным четким множеством. Нечеткое понятие «очень большое количество деталей» может быть представлено в виде A = 0 / 0 + … + 0,1 / 1 0 + 0,4 / 11 + 0,7 / 12 + 0,9 / 13 + 1 / 14 + 1 / 15 + … + 1 / n + … , n ∈ N – нечеткого множества с бесконечным счетным носителем S A ≡ N (множество натуральных чисел), который имеет счетную мощность в обычном смысле.

Пример. Несчетное нечеткое множество A , соответствующее нечеткому понятию «очень горячо», задано на универсальном множестве значений температур (в Кельвинах) температурой x ∈ [ 0 ; ∞) и функцией принадлежности μ A = 1 − e − x , с носителем S A ≡ R + (множество неотрицательных действительных чисел), который имеет несчетную мощность континуума.

Величина sup x ∈ X μ A x называется высотой нечеткого множества.

Нечеткое множество A нормально , если его высота равна 1 , т.е. верхняя граница его функции принадлежности sup x ∈ X μ A x = 1 . При sup x ∈ X μ A x < 1 субнормальным.

Нечеткое множество называется пустым , если ∀ x ∈ X μ A x = 0 .

Непустое субнормальное множество всегда можно нормализовать, разделив все значения функции принадлежности на ее максимальное значение μ A x sup x ∈ X μ A x .

Нечеткое множество называется унимодальным , если μ A x = 1 только для одной точки x (моды ) универсального множества X .

Нечеткое множество называется точечным , если μ A x > 0 только для одной точки x универсального множества X .

Множеством α -уровня нечеткого множества A , определенного на универсальном множества X , называется четкое подмножество A α универсального множества X , определяемое в виде:

A α = x ∈ X ∣ μ A x ≥ α , где α ∈ 0 ; 1 .

Пример. A = 0,8 / 1 + 0,6 / 2 + 0,2 / 3 + 1 / 4 , A 0,5 = 1 ; 2 ; 4 , где A 0,5 – четкое множество, включающее те элементы x упорядоченных пар μ A x / x , составляющих нечеткое множество A , для которых значение функции принадлежности которых удовлетворяет условию μ A x ≥ α .

Для множеств α -уровня выполняется следующее свойство: если α 1 ≥ α 2 , то мощность подмножества A α 1 не больше мощности подмножества A α 2 .

Элементы x ∈ X , для которых μ A x = 0,5 называются точками перехода нечеткого множества A .

Ядром нечеткого множества A , определенного на универсальном множестве X , называется четкое множество core A , элементы которого удовлетворяют условию core A = x ∈ X ∣ μ A x = 1 .

Границей нечеткого множества A , определенного на универсальном множестве X , называется четкое множество front A , элементы которого удовлетворяют условию front A = x ∈ X ∣ 0 < μ A x < 1 .

Пример. Пусть X = 0 ; 1 ; 2 ; … ; 10 , M = 0 ; 1 . Нечеткое множество несколько можно определить на универсальном множестве натуральных чисел следующим образом: несколько = 0,5 / 3 + 0,8 / 4 + 1 / 5 + 1 / 6 + 0,8 / 7 + 0,5 / 8 ; его характеристики: высота = 1 , носитель = 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 , точки перехода = 3 ; 8 , ядро = 5 ; 6 , граница = 3 ; 4 ; 7 ; 8 .

Нечеткое множество A , определенное на универсальном множестве X , называется выпуклым , если μ A x ≥ min μ A a ; μ A b ; a < x < b ; x , a , b ∈ X (рис.2.3).

Рис.2.3. Функции принадлежности выпуклого и невыпуклого нечетких множеств