Opredelitev. Dodatek naravna števila je algebraična operacija, ki ima naslednje lastnosti: "1) (a Î N)a + 1 = a", 2) "(a, b Î N)a + b" =(a +b)". Število a + b imenujemo vsota števil a in b, sami števili a in b pa sta člena. Kot je znano, je naravno število tudi vsota poljubnih dveh naravnih števil, za poljubna naravna števila a in b pa vsota a +. Z drugimi besedami, vsota naravnih števil obstaja in je edinstvena. je edinstven? aksiomatska konstrukcija teorije naravnih števil dokazujejo naslednjo izjavo: Seštevanje naravnih števil obstaja in je edinstveno. Ta izrek je sestavljen iz dveh trditev (dva izreka): seštevanje naravnih števil obstaja; seštevanje naravnih števil je edinstveno. Za poenostavitev izračunov se uporabljajo zakoni dodajanja. Za naravna števila veljata dva zakona seštevanja: komutativni in asociativni. Pravilo: Zamenjava mest členov ne spremeni vsote (komutativni zakon seštevanja). Na primer: 37 + 42 = 42 + 37 = 79.V splošni pogled: a + b = b + a. Pravilo. Če želite vsoti dveh členov dodati tretji člen, lahko prvemu členu prištejete vsoto drugega in tretjega člena (kombinativni zakon seštevanja). Na primer: (37 + 42)+ 13 = 37 + (42 + 13). V splošni obliki: (a + b) + c = a + (b + c). Pogosto se v primerih uporabljata oba zakona seštevanja za izračune naenkrat: 1.300 + 400 + 700 + 600 = (1.300 + 700) + (400 + 600) = 2.000 + 1.000 = 3.000.
Aksiomatska definicija množenje naravnih števil. Izrek o njegovem obstoju in edinstvenosti z dokazom. Tabela množenja.
Množenje naravnih števil je algebrska operacija, definirana na množini N naravnih števil, ki vsakemu paru (a, b) dodeli število a * b, ki izpolnjuje lastnosti (aksiome): 1. (∀a є N)a∙1 = a ; 2. (∀ a,b є N) a∙b" = a∙b + a. Število a∙b imenujemo produkt števil a in b, sami števili a in b pa sta faktorja. Izrek 1. Množenje naravnih števil obstaja in je enoznačna S pomočjo definicije operacije množenja bomo sestavili tabelo množenja enomestnih števil: a) 1×1=1; b) 1x2=1x1+1= 1+1=2; +1=4 itd. (na podlagi lastnosti 2.) (∀a,b,c)∙c = a∙c + b∙c in b izbrati poljubno in c vzeti različne naravne vrednote. Označimo z M množico vseh tistih in samo tistih naravnih števil c, za katera velja enakost (a + b)c = a∙c + b∙c. Pokažimo, da za c=1 velja enakost (a + b)∙1 = a∙1 + b∙1. Dejansko (a + b)∙1 =a+b=a∙1 + b∙1. Naj bo za poljubno izbrano število c izpolnjen distribucijski zakon, kar pomeni, da velja enakost (a+b)∙c = a∙c + b∙c. Na podlagi predpostavke bomo dokazali veljavnost enakosti: (a + b)∙c" = a∙c" + b∙c" za število c". Razmislimo leva stran enakost in pokaži, da je enaka desni: (a + b)∙c" = (a + b)∙c + (a + b)=(a∙c+b∙c)+ (a+b) = (a ∙c+a)+(b∙c+b)= a∙c'+b∙c' Ta enakost (a + b)∙c = a∙c + b∙c velja za vsako naravno število. c, a ker sta bili števili a in b izbrani poljubno, velja ta enakost za kateri koli a in b Levi distribucijski zakon množenja dokažemo na podoben način: (∀а,b,с є N)а ∙(b. +с)= а∙b+а ∙с. (∀ a,b,с є N)(а∙b) ∙с= a∙(b ∙с).-asociativni izrek 4. (∀a, b є N) a∙b = b∙a.- komunikativna operacija zadošča dvema zakonoma: ab = bа (komutativni zakon množenja), а(bс) = (аb)с (asociativni zakon množenja). zakon, ki povezuje seštevanje in množenje: a(b +).c) = ab + ac (distributivni zakon) Tabela množenja je tabela, kjer so vrstice in stolpci označeni s faktorji, celice tabele pa vsebujejo njihov produkt uporablja za poučevanje množenja.
Seštevanje naravnih števil je binarna operacija, ki izpolnjuje naslednja dva aksioma:
C1: a + 1 = a /
C2: a + b / = (a + b) /
Primer. Na podlagi definicije najdemo vsoto 2 + 2:
2 + 2 = 2 + 1 / = (2 + 1) / = (2 /) / = 3 / = 4.
1. izrek(o obstoju in enkratnosti dodatka). Vsak par naravnih števil a in b ustreza enolično določeni vsoti a + b, ki ustreza definiciji seštevanja (aksioma C1 in C2).
Dokaz. Edinstvenost. Predpostavimo, da poleg operacije +, ki izpolnjuje pogoje C1 in C2, obstaja še ena operacija , ki izpolnjuje pogoje C1 / in C2 /:
C1 / : a 1 = a /
C2 / : a b / = (a b) /
Tedaj za poljubna naravna števila velja enakost: a + b = a b.
Dokaz bomo izvedli z metodo matematične indukcije na spremenljivko b. Za b = 1 na podlagi C1 in C1 / dobimo:
a + 1 = a / = a 1
Tako je za b = 1 to lastnino pošteno.
Indukcijska hipoteza: a + k = a k
Dokažimo to trditev za b = k / :
Na podlagi C2 a + k / = (a +k) /
Iz indukcijske predpostavke, ki temelji na aksiomu A 2 iz definicije naravnih števil a + k = a k => (a + k) / = (a k) /, od koder imamo glede na pogoje C2 in C2 / :
a + k / = (a +k) / = (a k) / = a k / ,
kar je bilo zahtevano.
Obstoj. Uvedena induktivna definicija nam omogoča, da poiščemo vsoto za katerikoli drugi člen (element b). Ugotovimo, ali je mogoče najti vsoto za katerikoli prvi člen (element a). Za to sami uvedemo operacijo, ki izpolnjuje pogoje (*) in (**)
(**) a / + b = (a + b) / .
Dokažimo, da je operacija, ki smo jo uvedli, seštevanje, to pomeni, da izpolnjuje pogoja C1 in C2. Dokaz bomo izvedli z indukcijo na a.
Začnimo z dokazom C1. Indukcijska osnova: Za a = 1
1 + 1 = 1 / (glede na pogoj (*)).
Indukcijska hipoteza: k + 1 = k /
Indukcijski korak: Za a = k / je potrebno dokazati, da je k / + 1 = (k /) / .
Na podlagi pogoja (**) k / + 1 = (k+1) / = (k /) / (po induktivni hipotezi). Tako je pogoj C1 izpolnjen za vse naravne a.
C2: Za a = 1 po pogoju (*) 1 + b / = (b /) / = (1 + b) / .
Indukcijska hipoteza (i.p.): k + b / = (k + b) / .
Za a = k / je potrebno dokazati, da je k / + b / = (k / + b) / .
Tu je nad vsako enakostjo navedena utemeljitev - lastnost, na podlagi katere je ta enakost izpolnjena. Tako je pogoj C2 izpolnjen tudi za vse naravne a. Izrek je popolnoma dokazan.
Izrek 2. Za poljubna naravna števila a, b, c, asociativni zakon dodajanja(a.z.s.): (a + b) + c = a + (b +c)
Dokaz(z indukcijo na c): Za c = 1 imamo:
Indukcijska hipoteza: (a+b)+k = a+(b+k).
Po principu indukcije moramo to zdaj dokazati
(a+b)+k / = a+(b+k /). Dokažimo.
Tako je za k / izjava resnična, zato po indukcijskem izreku asociativni zakon velja za poljubna naravna števila.
Izrek 3. Za katera koli naravna števila je izpolnjen komutativni zakon seštevanja (LLA) a + b = b + a
Naj pred dokazom izreka dodamo lemo.
Lema 1. a + 1 = 1 + a (L1)
Dokažimo z indukcijo na a. Indukcijska osnova: 1 + 1 = 1 + 1 (pošteno)
Indukcijska hipoteza: k + 1 = 1 + k.
Indukcijski korak: Dokažimo, da je k / + 1 = 1 + k / .
Lema je dokazana.
Sedaj dokazujemo sam izrek z indukcijo na b. Za b = 1 je izrek resničen po lemi 1.
Indukcijska hipoteza: a + k = k + a.
Indukcijski korak:
Izrek 4. Vsota dveh števil ni enaka nobenemu členu:
Dokaz z indukcijo na b: Za b = 1 je trditev izreka resnična po aksiomu 1 iz definicije naravnih števil (a / 1).
Indukcijska hipoteza: a + k k.
Iz indukcijske hipoteze in izreka 1 odstavka 1.2 sledi, da (a + k) / k / . Z uporabo C2 dobimo:
a + k / = (a + k) / k / .
Izrek 5. a = b => a + c = b + c.
Dokaz(z indukcijo na c):
a = b => (z A 2) a / = b / => (z C1) a + 1 = b +1.
Indukcijska hipoteza: a = b => a + k = b+k.
Dokažimo, da iz a = b izhaja a + k / = b + k / .
Tako je za k / izjava resnična, zato po indukcijskem izreku izrek velja za poljubna naravna števila.
Posledica 1. a + c b + c = > a b (dokaz je izveden s protislovjem in je prepuščen bralcu).
Izrek 6. a + c = b + c => a = b.
Dokaz(z indukcijo na c):
a + 1 = b + 1 => a / = b / => a = b (glede na C1 in A 3).
Indukcijska hipoteza: a + k = b + k => a = b.
Dokažimo, da a + k / = b + k / implicira a = b.
Trditev torej velja tudi za k /, kar dokazuje naš izrek.
Posledica 2. a b = > a + c b + c (dokaz s protislovjem).
Rešitev enačbe a + x = b (a, b sta naravna števila, x je spremenljivka) je takšno naravno število c, pri zamenjavi katerega namesto x v enačbo je pravilna številska enakost a + c = b pridobljeno
Izrek 7.Če ima enačba a + x = b rešitev, potem je ta rešitev edinstvena.
Dokaz: Predpostavimo, da obstajata dve rešitvi z 1 in z 2. Potem je a + c 1 = b in a + c 2 = b, od koder je a + c 1 = a + c 2, kar po izreku 6 in komutativnem zakonu pomeni, da je c 1 = c 2 (to pomeni, da je rešitev edinstvena ).
Naloge za samostojno reševanje
Št. 1.2. Seštejte na podlagi definicije seštevanja naravnih števil 5 + 3. Enako operacijo izvedite v spodaj predstavljenih modelih naravnih števil.
a) (3, 4, 5 ...); n / = n +1
b) (n –2, n Z); n / = n +1
c) liha naravna števila, n / = n +2
d) Cela števila 
Št. 1.3. Dokažite enakosti za poljubno naravno število n:
a) 1 + 2 + …+ n = 
;
b) 1 2 + 2 2 + … + n 2 = 
;
c) 1 3 + 2 3 + … + n 3 = 
;
d) 1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = (n + 1) 2 ;
e) 1 2 + 3 2 + … + (2n – 1) 2 = 
;
e) 12 + 23 + … + (n – 1)n = 
;
in) 
;
h) 
.
Seštevanje v stolpcih ali kot pravijo tudi seštevanje v stolpcih je metoda, ki se pogosto uporablja za seštevanje večmestnih naravnih števil. Bistvo te metode je, da dodatek dveh ali več večmestna števila se zmanjša na nekaj enostavne operacije seštevanje enomestnih števil.
V članku je podrobno opisano, kako izvesti seštevanje dveh in več večmestna naravna števila. Podano je pravilo seštevanja števil v stolpec in primeri rešitev z analizo vseh najbolj tipičnih situacij, ki nastanejo pri seštevanju števil v stolpec.
Seštevanje dveh števil v stolpcu: kaj morate vedeti?
Preden preidemo neposredno na operacijo seštevanja stolpcev, si oglejmo nekaj pomembne točke. Za hiter razvoj zaželen material:
- Poznajte in dobro razumejte tabelo dodajanja. Torej, pri izvajanju vmesnih izračunov vam ni treba izgubljati časa in se nenehno sklicevati na tabelo dodajanja.
- Zapomni si lastnosti seštevanja naravnih števil. Še posebej lastnosti, povezane z dodajanjem ničel. Naj jih na kratko spomnimo. Če je eden od obeh členov enak nič, potem je vsota enaka drugemu členu. Vsota dveh ničel je nič.
- Pozna pravila primerjanja naravnih števil.
- Vedeti, kaj je števka naravnega števila. Spomnimo se, da je števka položaj in vrednost števke v zapisu števila. Števka določa pomen števke v številu - enote, desetice, stotice, tisočice itd.
Opišimo algoritem za dodajanje števil v stolpcu z uporabo konkreten primer. Seštejmo števili 724980032 in 30095. Najprej morate te številke zapisati v skladu s pravili za pisanje seštevanja v stolpcu.
Številke so zapisane ena pod drugo, števke vsake števke pa se nahajajo ena pod drugo. Na levi strani postavimo znak plus in pod številkami narišemo vodoravno črto.
Zdaj miselno razdelimo zapis v stolpce po rangu.
Vse, kar morate storiti, je zložiti enomestna števila v vsakem stolpcu.
Začnemo s skrajno desnim stolpcem (števka enote). Števila seštejemo in pod črto zapišemo vrednost enot. Če se pri seštevanju izkaže, da je vrednost desetic drugačna od nič, si zapomnite to številko.
Seštejte števila v drugem stolpcu. Rezultatu dodamo število desetic, ki smo si ga zapomnili v prejšnjem koraku.
Celoten postopek ponovimo z vsakim stolpcem, do skrajne leve.
Ta predstavitev je poenostavljen diagram algoritma za seštevanje naravnih števil v stolpcu. Zdaj, ko razumemo bistvo metode, si poglejmo vsak korak podrobneje.
Najprej seštejemo enote, torej števila v desnem stolpcu. Če dobimo število manjše od 10, ga zapišimo v isti stolpec in pojdimo na naslednjega. Če je rezultat seštevanja večji ali enak 10, potem pod črto v prvem stolpcu zapišemo vrednost mesta enot in si zapomnimo vrednost mesta desetic. Na primer, številka se je izkazala za 17. Nato zapišemo številko 7 - vrednost enot, in vrednost desetic - 1 - si zapomnimo. Običajno pravijo: "pišemo sedem, enega v mislih."
V našem primeru, ko seštejemo številke v prvem stolpcu, dobimo številko 7.
7 < 10 , поэтому записываем это число в разряд единиц результата, а запоминать нам ничего не нужно.
Nato seštejemo številke v naslednjem stolpcu, torej na mestu desetic. Izvajamo enaka dejanja, le znesku moramo dodati številko, ki smo jo imeli v mislih. Če je znesek manjši od 10, preprosto napišite številko pod drugi stolpec. Če je rezultat večji ali enak 10, zapišemo vrednost enot tega števila v drugi stolpec in si zapomnimo število z mesta desetic.
V našem primeru seštejemo števili 3 in 9, kar ima za posledico 3 + 9 = 12. V prejšnjem koraku si nismo ničesar zapomnili, zato nam tega rezultata ni treba ničesar dodati.
12 > 10, zato v drugi stolpec zapišemo število 2 z mesta enot, število 1 z mesta desetic pa upoštevamo. Za udobje lahko to številko zapišete nad naslednjim stolpcem v drugi barvi.
V tretjem stolpcu je vsota števk nič (0 + 0 = 0). Tej vsoti prištejemo število, ki smo si ga predhodno zapomnili, in dobimo 0 + 1 = 1. zapiši:
Če gremo naprej v naslednji stolpec, prav tako seštejemo 0 + 0 = 0 in rezultat zapišemo kot 0, saj se v prejšnjem koraku nismo ničesar spomnili.
Naslednji korak daje 8 + 3 = 11. V stolpec zapišemo številko 1 iz številke enot. Ne pozabimo na številko 1 z mesta desetic in preidemo na naslednji stolpec.
Ta stolpec vsebuje samo eno številko 9. Če številke 1 ne bi imeli v spominu, bi številko 9 preprosto prepisali pod vodoravno črto. Glede na to, da smo si v prejšnjem koraku zapomnili številko 1, moramo sešteti 9 + 1 in rezultat zapisati.
Zato pod vodoravno črto napišemo 0 in spet upoštevamo eno.
Če se premaknete v naslednji stolpec, seštejte 4 in 1, rezultat zapišite pod črto.
Naslednji stolpec vsebuje samo številko 2. V prejšnjem koraku si torej nismo ničesar zapomnili, samo prepisali smo to številko pod črto.
Enako storimo z zadnjim stolpcem, ki vsebuje številko 7.
Stolpcev ni več, prav tako ni ničesar v pomnilniku, tako da lahko rečemo, da je operacija dodajanja stolpcev končana. Pod črto zapisano število je rezultat seštevka zgornjih dveh števil.
Da bi razumeli vse možne nianse, si poglejmo še nekaj primerov.
Primer 1. Seštevanje naravnih števil v stolpcu
Seštejmo dve naravni števili: 21 in 36.
Najprej zapišimo te številke po pravilu za pisanje seštevka v stolpec:
Začenši z desnim stolpcem, nadaljujemo z dodajanjem številk.
Od 7< 10 , записываем 7 под чертой.
Seštejte števila v drugem stolpcu.
Od 5< 10 , а в памяти с предыдущего шага ничего нет, записываем результат
V pomnilniku ni več številk in v naslednjem stolpcu je seštevanje končano. 21 + 36 = 57
Primer 2. Seštevanje naravnih števil v stolpcu
Kaj je 47 + 38?
7 + 8 = 15, torej zapišimo 5 v prvi stolpec pod črto in imejmo v mislih 1.
Zdaj seštejemo vrednosti z mesta desetic: 4 + 3 = 7. Ne pozabite na enega in ga dodajte rezultatu:
7 + 1 = 8. Dobljeno število zapišemo pod črto.
To je rezultat dodajanja.
Primer 3. Seštevanje naravnih števil v stolpcu
Zdaj pa vzemimo dva trimestna števila in izvedite njihovo seštevanje.
3 + 9 = 12 ; 12 > 10
Pod črto napišite 2, 1 upoštevajte.
8 + 5 = 13 ; 13 > 10
Seštejemo 13 in pomnjeno enoto, dobimo:
13 + 1 = 14 ; 14 > 10
Pod črto zapišemo 4, 1 upoštevamo.
Ne pozabite, da smo si v prejšnjem koraku zapomnili 1.
Pod črto zapišemo 0, upoštevamo 1.
V zadnjem stolpcu premaknemo enoto, ki smo si jo prej zapomnili, pod črto in dobimo končni rezultat seštevanja.
783 + 259 = 1042
Primer 4. Seštevanje naravnih števil v stolpcu
Poiščimo vsoto števil 56927 in 90.
Kot vedno najprej zapišemo pogoj:
7 + 0 = 7 ; 7 < 10
2 + 9 = 11 ; 11 > 10
Pod črto zapišemo 1, zapomnimo si 1 in preidemo na naslednji stolpec.
Pod črto zapišemo 0, upoštevamo 1 in preidemo na naslednji stolpec.
Stolpec vsebuje eno številko 6. Dodamo jo s pomnjeno enoto.
6 + 1 = 7 ; 7 < 10
Pod črto zapišemo 7 in preidemo na naslednji stolpec.
Stolpec vsebuje eno številko 5. Premaknemo ga pod črto in zaključimo operacijo seštevanja.
56927 + 90 = 57017
Naslednji primer bomo dali brez vmesni rezultati in razlage, kako v praksi napisati seštevanje stolpcev.
Ugotovimo, kako ga uporabiti za seštevanje desetic z deseticami, stotic s stoticami itd.
Seštejmo 8 desetic in 9 desetic. Iz tabele seštevanja ugotovimo, da je 8+9=10+7. Če torej seštejemo 8 desetic in 9 desetic, dobimo vsoto 10 desetic in 7 desetic, torej vsoto 100 in 70. Tako je 80+90=100+70. Vsota 100+70 predstavlja vsoto bitni pogojištevilke 170. Vse te argumente je priročno zapisati v obliki zaporedne verige enačb: 80+90=100+70=170. Takšni zapisi pomenijo, da so vrednosti vseh izrazov, ki so ločeni z enakimi znaki, enake.
Za utrjevanje snovi razmislite o rešitvi drugega primera. Seštejmo 4000+7000. Seštevalna tabela nam da enakost 4+7=10+1. Tako je seštevanje 4 tisoč in 7 tisoč enako seštevanju 10 tisoč in 1 tisoč. Zato je 4000+7000=10000+1000. Zadnja vsota je razširitev naravnega števila 11.000 v števke. Imamo 4 000+7 000=10 000+1 000=11 000 .
Seštevanje poljubnih naravnih števil.
Preden preidete na seštevanje poljubnih naravnih števil, vam priporočamo, da temeljito preučite gradivo v članku vsota števk, da boste lahko brez oklevanja razgradili vsako naravno število na števke in tudi brez oklevanja uporabili znano razčlenitev, lahko takoj zapišete razčlenjeno naravno število. To bo neposredno določilo, kako enostavno boste seštevali poljubna naravna števila.
Opišimo zaporedje dejanj:
- termine nadomestimo z njihovimi razširitvami s števkami;
- člene preuredite tako, da so enice ob enicah, desetice ob deseticah, stotice ob stoticah itd.;
- seštevamo enote z enotami, nato desetice z deseticami, nato stotice s stoticami itd.;
- vsa prejšnja dejanja nas pripeljejo do vsote, ki je razširitev naravnega števila v števke;
- na koncu zapišemo zahtevano število z njegovo razširitvijo.
Oglejmo si seštevanje dveh naravnih števil na primerih.
Primer.
Izvedite seštevanje 36+2.
rešitev.
Razčlenitev števila 36 na števke ima obliko 30+6, števila 2 pa obliko 2. Potem 36+2=30+6+2.
V tem primeru nam izrazov ni treba preurediti, saj so že v vrstnem redu, ki ga potrebujemo.
Zdaj seštejemo enote: 6+2=8. Zato je 30+6+2=30+8.
Prišli smo do vsote 30+8, kar je enako 38.
Tako lahko rešitev zapišemo takole: 36+2=30+6+2=30+8=38.
odgovor:
36+2=38 .
Primer.
Seštejte števili 57 in 17.
rešitev.
Ker 57=50+7 in 17=10+7, potem 57+17=50+7+10+7.
Po prerazporeditvi členov bo vsota dobila naslednjo obliko: 50+10+7+7.
Sedaj seštevamo enote (če se ne spomnite na pamet, si oglejte tabelo seštevanja): 7+7=10+4.
Tako je 50+10+7+7=50+10+10+4.
Preidemo na seštevanje desetic, to je na iskanje vsote treh členov 50, 10 in 10. Najprej seštejmo 50 in 10, nato pa rezultatu dodamo preostalo število 10. Gremo: 50+10=60, ker je 5+1=6, potem 50+10+10=60+10=70, ker je 6+1=7.
Imamo 50+10+10+4=70+4. Zadnja vsota je številčna razgradnja števila 74.
Torej, 57+17=50+7+10+7=50+10+7+7= 50+10+10+4=70+4=74 .
odgovor:
57+17=74 .
Primer.
Izračunaj vsoto števil 3,007 in 200.
rešitev.
Razčlenitev števila 3007 na števke ima obliko 3000+7, števila 200 pa obliko 200. Potem 3 007+200=3 000+7+200=3 000+200+7 . Dobili smo številčno razširitev števila 3207. Tako je 3.007+200=3.207.
odgovor:
3 007+200=3 207 .
Primer.
Seštejte števili 28.301 in 73.745.
rešitev.
Razčlenimo ta števila na števke: 28.301=20.000+8.000+300+1 in 73.745=70.000+3.000+700+40+5.
Potem
28 301+73 745=
20 000+8 000+300+1+70 000+
3 000+700+40+5=
20 000+70 000+8 000+
3 000+300+700+40+1+5
.
(Pri premikanju enačb v naslednjo vrstico se ponovno zapiše znak “=”).
Seštejte enote: 1+5=6. Po tem imamo 20.000+70.000+8.000+ 3.000+300+700+40+1+5= 20.000+70.000+8.000+ 3.000+300+700+40+6.
Ni treba dodajati desetic.
Seštejemo stotice: 300+700=1000, saj je 3+7=10. Na tej stopnji imamo 20.000+70.000+8.000+ 3.000+300+700+40+6= 20.000+70.000+8.000+ 3.000+1000+40+6.
Seštevamo tisoče. Ker je 8+3=10+1, potem je 8.000+3.000+1.000= 10.000+1.000+1.000= 10.000+2.000. Na tej stopnji dobimo
20 000+70 000+8 000+
3 000+1 000+40+6=
20 000+70 000+10 000+2 000+40+6
.
Seštejte desettisoče: 20.000+70.000+10.000= 90.000+10.000=100.000. Potem 20 000+70 000+10 000+2 000+40+6= 100 000+2 000+40+6 .
Vsota 100.000+2.000+40+6 je enaka številu 102.046.
odgovor:
28 301+73 745=102 046 .
Na koncu te točke ugotavljamo, da je priročno dodati večmestna naravna števila v stolpec, zato priporočamo, da preučite gradivo v članku o dodajanju naravnih števil v stolpcu.
Seštevanje naravnih števil na koordinatnem žarku.
Namen tega odstavka je predstaviti geometrijska interpretacija operacije seštevanja naravnih števil. Pomagal nam bo doseči ta cilj. Predpostavimo, da se koordinatni žarek nahaja vodoravno in desno.
Vklopljeno koordinatni žarek seštevanje dveh naravnih števil a in b je zaporedje naslednjih dejanj. Najprej poiščemo točko s koordinato a. Od te točke postavimo b enotskih segmentov enega za drugim, tako da pride do razdalje od izhodišča. To nas pripelje do točke na koordinatnem žarku, katere koordinata je naravno število, enaka vsoti a+b. Povedano drugače, iz točke s koordinato a se pomaknemo v desno za razdaljo b, hkrati pa pridemo do točke, katere koordinata je enaka vsoti števil a in b.
Za jasnost navedimo primer. Pokažimo, kaj predstavlja seštevek naravnih števil 2 in 4 na koordinatnem žarku (glej spodnjo sliko). Iz točke s koordinato 2 narišemo 4 enotske odseke. Po tem pridemo do točke, katere koordinata je številka 6. Tako je 2+4=6.
Preverjanje rezultata seštevanja naravnih števil z odštevanjem.
Preverjanje rezultata seštevanja naravnih števil z odštevanjem temelji na dokaj očitni povezavi med seštevanjem in odštevanjem. To povezavo je enostavno izslediti s sklicevanjem na naslednji primer.
Imejmo 7 jabolk in 2 hruški. Seštejmo te plodove skupaj, potem vsota 7+2=9, zaradi pomena seštevanja naravnih števil, določi skupna količina sadje. Jasno je, da če od sestavljenega sadja (skupaj 9) odložimo 7 jabolk, bosta na drugi strani ostali 2 hruški. Opisano dejanje zaradi pomena odštevanja naravnih števil ustreza enakosti 9−7=2. Podobno, če postavite 2 hruški na stran od sestavljenega sadja, bo na drugi strani ostalo 7 jabolk. To dejanje ustreza enakosti 9−2=7.
Obravnavani primer nas pripelje do pravila, katerega formulacija je naslednja: Če enega od členov odštejete od vsote dveh naravnih števil, bo rezultat drugi člen. To pravilo je napisano s črkami na naslednji način: če a+b=c odštevanje naravnih števil.
Preverimo rezultat seštevanja. Če želite to narediti, od dobljene vsote 163 odštejte člen 106 in preverite, ali dobimo število, ki je enako drugemu členu 57. Imamo 163−106=57. Test je torej uspel in lahko rečemo, da je bilo seštevanje izvedeno pravilno.
odgovor:
106+57=163 .
Reference.
- Matematika. Vsi učbeniki za 1., 2., 3., 4. razrede splošnoizobraževalnih ustanov.
- Matematika. Vsi učbeniki za 5. razred splošnoizobraževalnih ustanov.
V tej lekciji se boste seznanili s seštevanjem naravnih števil in zakonitostmi, ki ga urejajo. Ugotovite, da je z uporabo teh zakonov veliko bolj priročno seštevati številke. In tudi reši nekaj primerov.
BAN + KA = BANKA
Včasih pa to storijo obratno: KA + BAN = MERJASEC
Lena in Vanya natočita vodo v vedro. Lena ima dvolitrski kozarec vode, Vanja pa trilitrski kozarec. Ali je pomembno, v kakšnem vrstnem redu izlivajo vodo? št. V vsakem primeru bo vode enako (5 litrov).
V obeh primerih sta bila dodana dva dela. Toda v prvem primeru je bil pomemben vrstni red in če smo termine preuredili, se je rezultat spremenil. V drugem primeru vrstni red ni bil pomemben; pogoji so se lahko zamenjali.
Izračunaj: .
Izračunaj: .
To je 
.
Vsi ti trije vnosi pomenijo enako količino.
Če se spomnimo primerov z zlogi in vodo, pridemo do domneve, da matematični seštevek podobno kot v drugem primeru z vodo, kjer je bilo mogoče izraze zamenjati.
Če želite razumeti, kaj lahko in česa ne smete storiti pri dodajanju, morate ugotoviti, kaj je to. Kaj pomeni sešteti 5 in 3? To pomeni, da morate dodati 5 enot in 3 enote. Lahko si jih predstavljate kot palice (glej sliko 1).
riž. 1. Predstavitev seštevanja
Beseda "zložiti" pomeni zložiti na en kup. In potem preštejte, koliko je vsega skupaj. Dobiš osem (glej sliko 2).
Število enot ali paličic v velikem kupu lahko vedno preštejemo. To pomeni, da lahko katerikoli dve skupini palic zložimo v eno veliko. In tam bo določeno število palic.
V jeziku matematike lahko to rečemo takole: kateri koli dve naravni števili lahko seštejemo. Rezultat bo novo naravno število.
Števila se imenujejo izrazi. Število se imenuje vsota števil in . Sam vnos se imenuje tudi vsota.
Ko dodate dve skupini enot v eno veliko, lahko to storite na dva načina:
1) prvi skupini dodajte drugo,
2) dodajte prvo drugemu.
Ni pomembno, v kakšnem vrstnem redu to počnete. Najprej vzemite pet enot in jim dodajte tri ali obratno. To pomeni, da smo preprosto zamenjali več elementov znotraj velikega kupa. A to njihovega števila ne bo spremenilo. Rezultat bo vedno enak. Na skupnem kupu bo vedno enako število enot in palic. IN v tem primeru osem.
V jeziku matematike lahko temu rečemo takole: preurejanje členov ne spremeni vsote.
torej 
, ker sta obe vsoti enaki 8.
Z velike številke ta zakon deluje tudi: . Ta dva zneska sta med seboj enaka. Ni vam treba šteti, da bi to razumeli. Vemo, da preurejanje členov ne spremeni vsote.
Zdaj imamo tri števila (tri skupine enot) in jih moramo sešteti. Se pravi, dajte jih na en kup. Obstajata dve možnosti:
1) prvemu najprej dodajte drugega, nato tretjega,
2) prvemu dodajte drugega in tretjega, ki sta že vnaprej zložena.
Ni razlike. Vedno bomo prejeli enak komplet enot, palic. Novi ne bodo prišli od nikoder, obstoječi pa se ne bodo izgubili.
Če to zapišemo s številkami:
Če seštejete poljubne tri številke, lahko najprej seštejete prvi dve številki ali pa začnete z zadnjima dvema. Zaporedje dejanj pri dodajanju več izrazov ni pomembno.
Ti zakoni lahko močno olajšajo izračune.
Dodamo lahko v poljubnem vrstnem redu. Izberimo zaporedje, ki je priročno. Poglejmo si zadnje števke. Če seštejejo do 10, potem je bolje, da poskusite začeti z njimi, lažje jih je sešteti. Drugi člen ima na koncu 6, tretji pa 4, seštejeta 10, zato jih najprej seštejmo in nato prvi člen.
Najprej in zadnja številka konec s pet, kar pomeni, da se bo vsota končala z nič, to je priročno. Niso pa v vrsti. Zamenjajmo 39 in 295.
Ideja je preprosta: če moramo dodati več števil hkrati, jih lahko prerazporedimo, kakor želimo, in izvedemo dejanja v poljubnem vrstnem redu.
Primerno je dodati prvo številko z zadnjo, drugo pa s tretjo.
Imejmo več vaz, v vsaki določeno število jabolk. Ugotoviti morate, koliko jabolk je skupaj. Ni treba vseh jabolk zložiti na en kup in jih prešteti. Zapišimo na papir, koliko jabolk je v vsaki vazi, in te številke seštejmo. na primer 
.
Če se bo kakšna vaza izkazala za prazno, bomo zapisali, da je v njej nič jabolk, skupno štetje pa bo videti takole: 
.
Prazna vaza ne vpliva na skupno število jabolk. To pomeni, da dodajanje ničle ne spremeni prvotne količine: .
