Aksiomatska metoda konstrukcije. Klasična metoda najmanjših kvadratov za model multiple regresije

12.9. Aksiomatska metoda Za stare Grke so predmeti matematike dejansko obstajali v »svetu idej«. Nekatere lastnosti teh predmetov so se miselnemu očesu zdele popolnoma nesporne in so bile razglašene za aksiome, druge – neočitne – pa bi morale

metoda konstruiranja teorije, pri kateri ta temelji na določenih izhodiščnih določbah - aksiomih ali postulatih, iz katerih je treba na povsem logičen način izpeljati vse druge trditve te teorije.

Odlična definicija

Nepopolna definicija ↓

Aksiomatska metoda

iz grščine aksioma - sprejeto stališče) - način konstruiranja znanstvene teorije, ki a priori kot osnovo sprejema določbe, iz katerih so logično izpeljane vse druge trditve teorije. Popolna aksiomatizacija teorij je nemogoča (K. Gödel, 1931).

Odlična definicija

Nepopolna definicija ↓

Aksiomatska metoda

iz grščine axi?ma - sprejeto stališče) - metoda konstruiranja teorije na podlagi sprejetih (ali predhodno dokazanih) začetnih stališč (aksiomov in postulatov), ​​iz katerih je logično izpeljano preostalo znanje z dokazi. Aksiomatska metoda kot uporaba dedukcije je dobila filozofsko razlago v učenju R. Descartesa. V eni ali drugi meri je bila aksiomatska metoda uporabljena v različnih znanostih - v filozofiji (B. Spinoza), sociologiji (G. Vico), biologiji (J. Woodger) itd. Vendar ostaja glavno področje njene uporabe matematika in simbolna logika ter številna področja fizike (mehanika, termodinamika, elektrodinamika itd.).

Odlična definicija

Nepopolna definicija ↓

AKSIOMATSKA METODA

metoda konstruiranja znanstvene teorije, ki temelji na določenih začetnih določbah (aksiomih) ali postulatih, iz katerih je treba vse druge izjave te teorije izpeljati čisto logično z dokazom. Konstrukcijo znanosti, ki temelji na aksiomatski metodi, običajno imenujemo deduktivna. Ta metoda se je začela uporabljati pri konstruiranju geometrije v Stara Grčija. Za organizacijo se najbolj uspešno izvaja matematično znanje, kjer ima velikanska teža v znanju konstruktivna in ustvarjalna dejavnost uma. V naravoslovju, družboslovju, humanistiki, tehniki in tehnologiji je ta metoda v primerjavi z drugimi kognitivnimi metodami podrejena.

Odlična definicija

Nepopolna definicija ↓

AKSIOMATSKA METODA

način organiziranja znanstvenega (zlasti teoretičnega) znanja, katerega bistvo je razločevanje med celotnim nizom resnične izjave o določenem predmetnem področju takšne podmnožice (aksiomi), iz katerega bi logično izhajale vse ostale resnične trditve (teoremi in posamezne resnične trditve). Ideal aksiomatske konstrukcije znanstvenega znanja, katerega uresničevanje se je začelo z izgradnjo geometrije v stari Grčiji (VII - IV stoletja pr. n. št.), se je izkazal za najprimernejšega za organizacijo sistemov matematičnega znanja, kjer ima znanje ogromno težo. ne le na empirično-abstraktno dejavnost razuma, temveč tudi na konstruktivno in ustvarjalno dejavnost uma. V naravoslovnih, družboslovnih, humanističnih in inženirskih vedah zavzema aksiomatska metoda organiziranja znanja podrejen položaj v primerjavi z drugimi oblikami kognitivne organizacije. (Glej dokaz, dedukcija, teorija, metoda).

Odlična definicija

Nepopolna definicija ↓

AKSIOMATSKA METODA

način konstruiranja znanstvenih teorije, v kateri temelji na določenih izhodiščnih stališčih (sodbah) - aksiomih, ali postulatih, iz katerih je treba logično izpeljati vse druge trditve te vede (teoreme). z, skozi dokaz. Imenovanje A.m. sestoji v omejevanju samovolje pri sprejemanju znanstvenih spoznanj. sodbe kot resnice dane teorije. Konstrukcija znanosti na podlagi A.M. običajno imenujemo deduktivni (glej Dedukcija). Vsi koncepti deduktivne teorije (razen določenega števila začetnih) so uvedeni z definicijami, ki jih izražajo (ali pojasnjujejo) preko predhodno uvedenih konceptov. V takšni ali drugačni meri se deduktivni dokazi, značilni za A.M., uporabljajo v množini. znanosti A kljub poskusom sistematičnega uporaba A.m. v filozofiji (Spinoza), sociologiji (Vico), politični ekonomiji (Rodbertus-Yagezov), biologiji (Woodger) in drugih vedah, pogl. regiji njegove uporabe ostajajo matematika in simbolika. logika, pa tudi nekatere veje fizike (mehanika, termodinamika, elektrodinamika itd.). Eden prvih primerov uporabe A.m. javl. Evklidovi elementi (ok. 300 pr. n. št.). B.N.Makhutov

Odlična definicija

Nepopolna definicija ↓

AKSIOMATSKA METODA

Metoda konstruiranja znanstvene teorije, pri kateri so nekatere določbe teorije izbrane kot izhodiščne, vse druge njene določbe pa se iz njih izpeljejo na povsem logičen način, z dokazi. Trditve, dokazane na podlagi aksiomov, imenujemo izreki.

A. m. poseben način definiranja predmetov in odnosov med njimi (glej: Aksiomatska definicija). AM se uporablja v matematiki, logiki, pa tudi v nekaterih vejah fizike, biologije itd.

A. m. izvira iz antike in je pridobil veliko slavo zaradi Evklidovih Elementov, ki so se pojavili okoli 330 - 320. pr. n. št e. Evklid pa v svojih »aksiomih in postulatih« ni uspel opisati vseh lastnosti geometrijskih predmetov, ki jih je dejansko uporabljal; njegove dokaze so spremljale številne risbe. "Skrite" predpostavke Evklidove geometrije so bile razkrite šele v sodobni časi D. Gilbert (1862-1943), ki je aksiomatsko teorijo obravnaval kot formalno teorijo, ki vzpostavlja odnose med svojimi elementi (znaki) in opisuje vse nize predmetov, ki ji ustrezajo. Dandanes so aksiomatske teorije pogosto oblikovane kot formalizirani sistemi, ki vsebujejo natančen opis logična sredstva izpeljava izrekov iz aksiomov. Dokaz v takšni teoriji je zaporedje formul, od katerih je vsaka aksiom ali pa je pridobljena iz prejšnjih formul v zaporedju v skladu z enim od sprejetih pravil sklepanja.

Aksiomatski formalni sistem je podvržen zahtevam doslednosti, popolnosti, neodvisnosti sistema aksiomov itd.

A.M. je le ena od metod konstruiranja znanstvenega znanja. Je omejeno uporaben, ker zahteva visoka raven razvoj aksiomatizirajoče vsebinske teorije.

Kot prikazano slavni matematik in logik K. Gödel, precej bogat znanstvene teorije(npr. aritmetika naravnih števil) ne dopuščajo popolne aksiomatizacije. To kaže na omejitve A.M. in nezmožnost popolne formalizacije znanstvenega znanja (glej: Gödelov izrek).

Odlična definicija

Nepopolna definicija ↓

AKSIOMATSKA METODA

način konstruiranja znanstvenih teorije, v kateri temelji na določenih izhodiščnih stališčih (sodbah) - aksiomih, ali postulatih, iz katerih naj bi čisto logično izpeljali vse ostale trditve te teorije. z dokazi. Gradnja znanosti na podlagi AM se običajno imenuje. deduktivno (glej Odbitek). Vsi koncepti deduktivne teorije (razen določenega števila začetnih) so uvedeni z definicijami, ki jih izražajo skozi predhodno uvedene koncepte. V takšni ali drugačni meri se deduktivni dokazi, značilni za AM, uporabljajo v množini. znanosti pa pogl. njeno področje uporabe je matematika, logika, pa tudi nekatere veje fizike.

Ideja o AM je bila prvič izražena v povezavi s konstrukcijo geometrije v dr. Grčija (Pitagora, Platon, Aristotel, Evklid). Za moderno Za stopnjo razvoja AM je značilen Hilbertov koncept formalnega AM, ki postavlja nalogo natančnega opisa logičnega. sredstva za izpeljavo izrekov iz aksiomov. Osnovno Hilbertova ideja je popolna formalizacija jezika znanosti, v katerem so njene sodbe obravnavane kot zaporedja znakov (formul), ki dobijo pomen šele z določeno specifično interpretacijo. Za izpeljavo izrekov iz aksiomov (in na splošno nekaterih formul iz drugih) so oblikovane posebne formule. pravila sklepanja. Dokaz v taki teoriji (računu ali formalnem sistemu) je določeno zaporedje formul, od katerih je vsaka bodisi aksiom ali pa je pridobljena iz prejšnjih formul zaporedja po določenih kriterijih. pravilo sklepanja. V nasprotju s takimi formalnimi dokazi se preučujejo lastnosti samega formalnega sistema kot celote. s pomočjo metateorije. Osnovno zahteve za aksiomat formalni sistemi - doslednost, popolnost, neodvisnost aksiomov. Hilbertov program, ki je predvideval možnost dokaza konsistentnosti in popolnosti celotne klasike matematike, se je na splošno izkazalo za nemogoče. Leta 1931 je Gödel dokazal nezmožnost popolne aksiomatizacije dovolj razvite znanosti. teorije (npr. aritmetika naravnih števil), ki so nakazale omejenost A. m. načela AM so kritizirali zagovorniki intuicionizma in konstruktivne smeri. Glej tudi Formalizem v matematiki in logiki, Teorija.

Odlična definicija

Nepopolna definicija ↓

AKSIOMATSKA METODA

ena od metod deduktivne konstrukcije znanstvenih teorij, pri kateri: 1) je določen niz trditev določene teorije (aksiomov) sprejet brez dokaza; 2) koncepti, ki so vanje vključeni, niso jasno opredeljeni v okviru te teorije; 3) pravila definicije in pravila sklepanja dane teorije so fiksna, kar omogoča uvajanje novih izrazov (konceptov) v teorijo in logično izpeljavo nekaterih trditev iz drugih; 4) vse druge trditve te teorije (izrek) so izpeljane iz (1) na podlagi (3). Prve ideje o A. m. Grčija (Elejti, Platon, Aristotel, Evklid). Kasneje so bili narejeni poskusi zagotoviti aksiomatsko predstavitev različnih delov filozofije in znanosti (Spinoza, Newton itd.). Za te študije je bila značilna smiselna aksiomatska konstrukcija določene teorije (in samo ena), medtem ko je bila glavna pozornost namenjena do opredelitve in izbire intuitivno očitnih aksiomov. Od druge polovice V 19. stoletju se je v povezavi z intenzivnim razvojem problemov utemeljitve matematike in matematične logike aksiomatska teorija začela obravnavati kot formalna (od 20. -30-ih letih 20. stoletja - kot formaliziran) sistem, ki vzpostavlja razmerja med svojimi elementi (znaki) in opisuje vse sklope predmetov, ki mu ustrezajo. Hkrati pa glavni pozornost se je začela posvečati ugotavljanju konsistentnosti sistema, njegove popolnosti, neodvisnosti sistema aksiomov itd. Zaradi dejstva, da znakovni sistemi lahko obravnavamo bodisi ne glede na vsebino, ki jo je mogoče predstaviti, bodisi ob upoštevanju le-teh ločimo skladenjske in pomenske aksiomatske sisteme (le slednji predstavljajo samo znanstveno spoznanje, zaradi tega je bila potrebna formulacija osnovnega). zahteve zanje na dveh ravneh, skladenjski in pomenski (skladenjska in pomenska konsistentnost, popolnost, neodvisnost aksiomov itd.) Analiza formaliziranih aksiomatskih sistemov je vodila do ugotovitve njihovih temeljnih omejitev, med katerimi je glavna nezmožnost popolne aksiomatizacije. dovolj razvitih sistemov, ki jih dokazujejo Gödelove znanstvene teorije (na primer aritmetika naravnih števil), kar implicira nezmožnost popolne formalizacije znanstvenega znanja, aksiomatizacija je le ena od metod za konstruiranje znanstvenega znanja, ampak njena uporaba kot sredstvo znanstveno odkritje zelo omejeno. Aksiomatizacija se običajno izvaja potem, ko je teorija vsebinsko že dovolj zgrajena in služi njenemu natančnejšemu prikazu, predvsem strogemu izpeljavi vseh posledic iz sprejetih premis v zadnjih 30-40 letih velika pozornost je posvečen aksiomatizaciji ne le matematičnih disciplin, temveč tudi nekaterih delov fizike, biologije, psihologije, ekonomije, jezikoslovja itd., vključno s teorijami o strukturi in dinamiki znanstvenega znanja. Pri študiju naravoslovnega (na splošno katerega koli nematematičnega) znanja se matematične metode pojavljajo v obliki hipotetično-deduktivne metode (glej tudi formalizacija)

Odlična definicija

Nepopolna definicija ↓

AKSIOMATSKA METODA

grški aksioma - pomembno, sprejeto stališče) - metoda gradnje teorije, pri kateri so nekatere resnične trditve izbrane kot začetne pozicije (aksiomi), iz katerih se nato logično izpeljejo in dokažu preostale resnične trditve (teoremi) te teorije. Znanstveni pomen A.M. je utemeljil Aristotel, ki je prvi razdelil celotno množico resničnih trditev na osnovne (»principe«) in tiste, ki zahtevajo dokaz (»dokazljive«). V svojem razvoju je A.M. šel skozi tri stopnje. Na prvi stopnji A.M. je bil smiseln, so bili aksiomi sprejeti na podlagi njihove očitnosti. Primer takšne konstrukcije deduktivne teorije so Evklidovi elementi. Na drugi stopnji je D. Hilbert uvedel formalni kriterij za uporabo A.M. - zahteva po doslednosti, neodvisnosti in popolnosti aksiomskega sistema. Na tretji stopnji A.M. postane formaliziran. V skladu s tem se je koncept "aksioma" spremenil. Če na prvi stopnji razvoja A.M. ni bil razumljen le kot izhodišče dokaza, temveč tudi kot resnično stališče, ki zaradi svoje očitnosti ne potrebuje dokaza, potem pa je trenutno aksiom utemeljen kot nujen element teorije, ko se upošteva potrditev slednje hkrati pa tudi potrditev njegovih aksiomatskih temeljev kot izhodišča gradnje. Poleg glavnih in uvodnih izjav v A.M. začela izstopati tudi stopnja posebna pravila izhod. Tako skupaj z aksiomi in izreki kot nabor vseh resnične izjave Ta teorija oblikuje aksiome in izreke za pravila sklepanja – metaaksiome in metateoreme. Leta 1931 je K. Gödel dokazal teorem o temeljni nepopolnosti vsakega formalnega sistema, ker vsebuje neodločljive trditve, ki so tako nedokazljive kot neizpodbitne. Ob upoštevanju omejitev, ki so mu naložene, se AM šteje za eno glavnih metod za izgradnjo razvite formalizirane (in ne le vsebinske) teorije, skupaj s hipotetično-deduktivno metodo (ki se včasih razlaga kot "pol-aksiomatska") in metoda matematičnih hipotez. Hipotetično-deduktivna metoda v nasprotju z A.M. vključuje konstrukcijo hierarhije hipotez, v kateri so šibkejše hipoteze izpeljane iz močnejših v okviru enega samega deduktivnega sistema, kjer moč hipoteze narašča z oddaljenostjo od empiričnega. osnova znanosti. To nam omogoča, da oslabimo moč omejitev A.M.: premagamo zaprtost aksiomatskega sistema zaradi možnosti uvajanja dodatnih hipotez, ki niso strogo vezane na izhodiščne določbe teorije; vstopiti abstraktnih predmetov različne ravni organiziranost realnosti, tj. odstraniti omejitev veljavnosti aksiomatike "v vseh svetovih"; odpraviti zahtevo po enakosti aksiomov. Po drugi strani pa A.M., v nasprotju z metodo matematične hipoteze, ki se osredotoča na sama konstrukcijska pravila matematične hipoteze, ki se nanaša na neraziskane pojave, omogoča, da se pritožimo na določeno vsebino predmetna področja.

Odlična definicija

Nepopolna definicija ↓

AKSIOMATSKA METODA

metoda gradnje teorij, po kateri je v dokazih dovoljeno uporabljati le aksiome in iz njih predhodno izpeljane izjave. Razlogi za uporabo aksiomatske metode so lahko različni, kar običajno vodi do razlikovanja aksiomov ne le po njihovih formulacijah, ampak tudi po njihovem metodološkem (pragmatičnem) statusu. Na primer, aksiom ima lahko status izjave ali status predpostavke ali status jezikovne konvencije o želeni uporabi izrazov. Včasih se ta razlika v statusu odraža v imenih aksiomov (v sodobnih aksiomih za empirične teorije se med vsemi aksiomi pogosto razlikujejo tako imenovani postulati pomena, ki izražajo jezikovne konvencije, stari Grki pa so geometrijske aksiome delili na splošni pojmi in postulatov, pri čemer verjamemo, da prvi opisujejo, drugi konstruirajo). Na splošno je upoštevanje statusov aksiomov obvezno, saj je mogoče na primer spremeniti vsebino aksiomatske teorije, ne da bi spremenili formulacijo ali semantiko aksiomov, ampak le spremenili njihov status, razglasivši, recimo, eden izmed njih nov postulat smisla. Aksiomatsko metodo je prvi predstavil Evklid v svojih Elementih, čeprav je koncepte aksioma, postulata in definicije obravnaval že Aristotel. K njemu sega zlasti razlaga aksiomov kot nujnih skupna načela dokaz. Razumevanje aksiomov kot samoumevnih resnic se je razvilo pozneje in postalo temeljno s pojavom šolske logike Port-Royala, za avtorje katere dokaz pomeni posebno sposobnost duše, da določene resnice spozna neposredno (v čisti kontemplaciji ali intuiciji). ). Mimogrede, Kantovo prepričanje o apriornem sintetičnem značaju Evklidove geometrije je odvisno od te tradicije, da aksiomov ne obravnavamo kot jezikovne konvencije ali predpostavke. Odkritje neevklidske geometrije (Gauss, Lobačevski, Bolyai); pojav v abstraktni algebri novih številskih sistemov in celotnih družin le-teh hkrati (na primer /-adična števila); nastanek spremenljivih struktur, kot so skupine; končno, razprava o vprašanjih, kot je "katera geometrija je prava?" - vse to je prispevalo k zavedanju dveh novih, v primerjavi s starimi, statusov aksiomov: aksiomov kot opisov (razredov možnih univerzumov razmišljanja) in aksiomov kot predpostavk, ne pa samoumevnih izjav. Tako so nastali temelji moderno razumevanje aksiomatska metoda. Ta razvoj aksiomatske metode postane še posebej jasen, če primerjamo Evklidova "Načela" z "Temelji geometrije" D. Hilberta - novo aksiomatiko geometrije, ki temelji na najvišjih dosežkih matematike 19. stoletja. Proti koncu istega stoletja je J. Peano podal aksiomatiko naravnih števil. Nadalje je bila aksiomatska metoda uporabljena za shranjevanje teorije množic po iskanju paradoksov. Hkrati je bila aksiomatska metoda posplošena na logiko. Hilbert je oblikoval aksiome in pravila sklepanja klasične propozicijske logike, P. Bernays pa logiko predikatov. Dandanes je aksiomatska naloga standardni način definiranja novih logik in novih algebrskih konceptov. V zadnjih desetletjih, ko so se razvili teoretični modeli, je aksiomatska metoda skoraj nujno dopolnjena z modelno-teoretično metodo.

Odlična definicija

Nepopolna definicija ↓

aksiomatska metoda

AKSIOMATSKA METODA (iz grške aksiome) - sprejeto stališče - metoda konstruiranja znanstvene teorije, v kateri se v dokazih uporabljajo samo aksiomi, postulati in izjave, ki so predhodno izpeljane iz njih. Prvi ga je jasno pokazal Evklid v svojih Elementih, čeprav je pojma aksiom in postulat omenjal že Aristotel. Pri starih Grkih je bil aksiom jasno formuliran predlog, ki je bil tako samoumeven, da ni bil dokazan in je bil uporabljen kot podlaga za druge dokaze. Postulat je izjava o možnosti izvedbe neke konstrukcije. Zato je "Celota večja od dela" aksiom in "Iz dane točke z danim polmerom lahko opišeš krog" je postulat. Kasneje je koncept aksioma absorbiral koncept postulata, saj koncepta deskriptivnosti in konstruktivnosti nista bila realizirana (aksiom opisuje, postulat gradi). Skoraj vsi aksiomi helenske geometrije so bili oblikovani tako jasno in uspešno, da niso vzbujali dvomov. Ena od Evklidovih določb, in sicer peti postulat, enakovreden trditvi "Skozi točko, ki leži zunaj premice, lahko potegnemo premico, ki je vzporedna z dano in samo eno", je bila že od samega začetka vprašljiva. Poleg tega so Heleni pred Evklidom raziskovali vse tri možne hipoteze: 1) ni mogoče narisati ene same vzporedne črte, 2) mogoče je narisati več kot eno in 3) mogoče je narisati samo eno vzporedno črto; vendar je Evklid namenoma izbral eno formulacijo, saj sta samo v tem primeru obstajala kvadrat in koncept podobnosti figur. Kasneje je bila prisotnost alternativ pozabljena, peti postulat pa so večkrat poskušali dokazati. Do 17. stoletja. A. m. se je malo razvil. Evklid in Arhimed sta oblikovala aksiome statike in optike, kasneje pa so v povezavi s splošno težnjo po komentiranju in kanonizaciji raziskave prevajale ali v najboljšem primeru analizirale stare sisteme aksiomov. Ni presenetljivo, da se je nova matematika začela z zavrnitvijo AM in da se je analiza infinitezimalij razvila kot neformalizirana teorija. Dvomljivost aksioma »Celota je manjša od dela« je bila razumljena, saj sta Nikolaj Kuzanski in za njim Galileo pokazala, da je pri neskončnih agregatih lahko celota izomorfna delu. Toda to odkritje je bilo podcenjeno, ker se je predobro ujemalo s krščansko religijo (s koncepti različnih hipostaz neskončnega Boga). Nadalje je Spinozin neuspeh pri poskusih izpeljave sistema etike in metafizike z uporabo geometrijske, povsem racionalne metode pokazal neuporabnost obstoječe AM za humanitarne koncepte. Nazaj na A. m. se je zgodilo v 19. stoletju. Temeljilo je na dveh odkritjih - neevklidski geometriji (ponovno odkrivanje tistega, kar je bilo znano pred Evklidom, a nato popolnoma pozabljeno) in abstraktni algebri. V neevklidski geometriji (Gauss, Lobačevski, Bolyai) je bilo dokazano, da je ena od negacij petega postulata - namreč, da je mogoče skozi točko, ki leži zunaj premice, narisati dve premici, vzporedni z dano - združljiva z drugimi aksiomi geometrije. Tako tisti aksiomi in postulati, ki so bili ustvarjeni za opis »edinega pravega« prostora, dejansko opisujejo cel razred različnih prostorov. V abstraktni algebri so se pojavili novi številski sistemi, vključno s celimi njihovimi družinami (na primer p-adična števila) in spremenljive strukture, kot so skupine. Lastnosti spremenljivih struktur je bilo naravno opisovati z aksiomi, zdaj pa nihče ni vztrajal pri njihovi samoumevnosti, ampak jih je obravnaval preprosto kot način opisovanja razreda matematičnih objektov. Na primer, polskupina je določena z enim samim aksiomom - asociativnostjo množenja: a° (b o c) = (a o b) O Z. V sami geometriji je prišel čas za kritičen premislek o klasičnih aksiomih. E. Pash je pokazal, da Evklid ni videl drugega postulata, tako intuitivno očitnega kot tisti, ki jih je opisal: "Če ravna črta seka eno od strani trikotnika, potem bo sekala tudi drugo." Nadalje je bilo pokazano, da je treba enega od kriterijev za enakost trikotnikov sprejeti kot aksiom, sicer se izgubi strogost dokazov, saj iz preostalih aksiomov ne izhaja možnost premikanja likov. Aksiom "Celota je manjša od dela" je bil z vidika nove matematike zavržen kot nesmiseln in nadomeščen z več določbami o razmerju med merami figur. In končno, D. Hilbert je oblikoval novo aksiomatiko geometrije, ki temelji na najvišjih dosežkih matematike 19. stoletja. V helenskih časih in pozneje pojem števila ni bil aksiomatsko opisan. Šele ob koncu 19. stol. G. Peano (Italija) je podal aksiomatiko naravnih števil. Peanova in Hilbertova aksiomatika vsebujeta vsak po en princip višjega reda, ki ne govori o fiksnih pojmih, ampak o poljubnih pojmih ali agregatih. Na primer, v aritmetiki je to načelo matematične indukcije. Brez principov višjega reda je nedvoumen opis standardnih matematičnih struktur nemogoč. Za reševanje je bil uporabljen A.M teorija množic po najdbi v zvezi z njo paradoksi. Samo reševanje ni potekalo na najboljši način – s krpanjem paradigme. Tista načela teorije množic, za katera se je zdelo, da ne vodijo v paradokse in zagotavljajo konstrukcije, potrebne za matematiko, so bila sprejeta kot aksiomi. Toda hkrati je bil AM posplošen na logiko. D. Hilbert je eksplicitno formuliral aksiome in pravila sklepanja klasičnega propozicijska logika, in P. Bernays - predikatna logika. Dandanes je aksiomatska naloga standardni način definiranja novih logik in novih algebrskih konceptov. Sodobne matematične metode se od tradicionalnih razlikujejo po tem, da niso eksplicitno določeni samo aksiomi, ampak tudi jezik, v logiki pa tudi pravila sklepanja teorije ali sistema, ki ga opisujemo. Revidiran in okrepljen AM je postal močno orožje na novih področjih znanja, kot je kognitivna znanost in matematično jezikoslovje. Omogoča vam zmanjšanje pomenskih težav na raven sintaktičnih in s tem pomoč pri njihovem reševanju. V zadnjih desetletjih, ko se je razvila teorija modelov, je bil AM nujno dopolnjen z modelno-teoretičnimi metodami. Pri oblikovanju aksiomatskega sistema je treba opisati celoto njegovih modelov. Najmanjša potrebna utemeljitev za sistem aksiomov je njegova pravilnost in popolnost za dani razred modelov. Toda za aplikacije takšna formalna utemeljitev ni dovolj - treba je prikazati tudi smiselni pomen zgrajenega sistema in njegove izrazne zmožnosti. Glavna matematična omejitev matematične logike je, da je logika višjega reda neformalizljiva in nepopolna, brez nje pa je nemogoče opisati standardne matematične strukture. Zato na tistih področjih, kjer obstajajo posebne numerične ocene, AM ni mogoče uporabiti za popoln matematični jezik. Na takih področjih je možna le nepopolna in nedosledna, tako imenovana delna ali smiselna aksiomatizacija. Nenavadno je, da sama neformaliziranost konceptov ne preprečuje uporabe AM na te koncepte. Kljub temu je pri delu v fiksnem okolju smiselno preiti na veliko učinkovitejše formalne modele. Pri tem je lahko pozitivna lastnost formalizmov pogosto njihova neskladnost z realnim stanjem. Formalizmi ne morejo popolnoma ustrezati vsebini konceptov, če pa so te nedoslednosti skrite, se formalizmi pogosto uporabljajo tudi potem, ko situacija ni več primerna za njihovo uporabo, in celo v situaciji, ki ni bila primerna za njihovo uporabo od sam začetek. Podobne nevarnosti obstajajo za delno formalizacijo. jaz sem N. Nepeyvoda

Odlična definicija

Nepopolna definicija ↓

(grško axioma - pomembno, sprejeto stališče) - način gradnje teorije, v katerem so izbrane nekatere resnične trditve ...

(grško axioma - pomembno, sprejeto stališče) - metoda gradnje teorije, pri kateri so nekatere resnične trditve izbrane kot začetna stališča (aksiomi), iz katerih se nato logično izpeljejo in dokažu preostale resnične trditve (teoremi) te teorije. Znanstveni pomen A.M. je utemeljil Aristotel, ki je prvi razdelil celotno množico resničnih izjav na osnovne (»principe«) in tiste, ki zahtevajo dokaz (»dokazljive«). V svojem razvoju je A.M. šel skozi tri stopnje. Na prvi stopnji A.M. je bil smiseln, so bili aksiomi sprejeti na podlagi njihove očitnosti. Primer takšne deduktivne konstrukcije teorije so Evklidovi »Elementi«. Na drugi stopnji je D. Hilbert uvedel formalni kriterij za uporabo A.M. - zahteva po doslednosti, neodvisnosti in popolnosti aksiomskega sistema. Na tretji stopnji A.M. postane formaliziran. V skladu s tem se je koncept "aksioma" spremenil. Če na prvi stopnji razvoja A.M. ni bil razumljen le kot izhodišče dokaza, temveč tudi kot resnično stališče, ki zaradi svoje očitnosti ne potrebuje dokaza, potem pa je trenutno aksiom utemeljen kot nujen element teorije, ko se upošteva potrditev slednje hkrati pa tudi potrditev njegovih aksiomatskih temeljev kot izhodišča gradnje. Poleg glavnih in uvodnih izjav v A.M. Izstopati je začela tudi raven posebnih pravil sklepanja. Tako so poleg aksiomov in izrekov kot skupek vseh resničnih izjav dane teorije oblikovani aksiomi in izreki za pravila sklepanja - metaaksiomi in metateoremi. Leta 1931 je K. Gödel dokazal teorem o temeljni nepopolnosti vsakega formalnega sistema, ker vsebuje neodločljive trditve, ki so tako nedokazljive kot neizpodbitne. Ob upoštevanju omejitev, ki so mu naložene, se AM šteje za eno glavnih metod za izgradnjo razvite formalizirane (in ne le vsebinske) teorije, skupaj s hipotetično-deduktivno metodo (ki se včasih razlaga kot "pol-aksiomatska") in metoda matematičnih hipotez. Hipotetično-deduktivna metoda v nasprotju z A.M. vključuje konstrukcijo hierarhije hipotez, v kateri so šibkejše hipoteze izpeljane iz močnejših v okviru enega samega deduktivnega sistema, kjer moč hipoteze narašča z oddaljenostjo od empiričnega. osnova znanosti. To nam omogoča, da oslabimo moč omejitev A.M.: premagamo zaprtost aksiomatskega sistema zaradi možnosti uvajanja dodatnih hipotez, ki niso strogo vezane na izhodiščne določbe teorije; uvesti abstraktne objekte različnih ravni organiziranosti realnosti, tj. odstraniti omejitev veljavnosti aksiomatike "v vseh svetovih"; odpraviti zahtevo po enakosti aksiomov. Po drugi strani pa A.M., v nasprotju z metodo matematičnih hipotez, ki se osredotoča na sama pravila za gradnjo matematičnih hipotez, povezanih z neraziskanimi pojavi, omogoča apeliranje na določena vsebinska predmetna področja.

V.L. Abušenko

Aksiomatska metoda

Ena od metod deduktivne konstrukcije znanstvenih teorij, pri kateri: 1) se izbere določena množica, ki se sprejme brez...

Ena od metod deduktivne konstrukcije znanstvenih teorij, pri kateri: 1) je določen niz trditev določene teorije (aksiomov) sprejet brez dokaza; 2) koncepti, ki so vanje vključeni, niso jasno opredeljeni v okviru te teorije; 3) pravila definicije in pravila sklepanja dane teorije so fiksna, kar omogoča uvajanje novih izrazov (konceptov) v teorijo in logično izpeljavo nekaterih trditev iz drugih; 4) vse druge trditve te teorije (izrek) so izpeljane iz (1) na podlagi (3). Prve ideje o A. m. Grčija (Elejti, Platon, Aristotel, Evklid). Kasneje so bili narejeni poskusi zagotoviti aksiomatsko predstavitev različnih delov filozofije in znanosti (Spinoza, Newton itd.). Za te študije je bila značilna smiselna aksiomatska konstrukcija določene teorije (in samo ena), medtem ko je bila glavna pozornost namenjena do opredelitve in izbire intuitivno očitnih aksiomov. Od druge polovice V 19. stoletju se je v povezavi z intenzivnim razvojem problemov utemeljitve matematike in matematične logike aksiomatska teorija začela obravnavati kot formalna (od 20. -30-ih letih 20. stoletja - kot formaliziran) sistem, ki vzpostavlja razmerja med svojimi elementi (znaki) in opisuje vse sklope predmetov, ki mu ustrezajo. Hkrati pa glavni pozornost se je začela posvečati ugotavljanju konsistentnosti sistema, njegove popolnosti, neodvisnosti sistema aksiomov itd. Zaradi dejstva, da lahko znakovne sisteme obravnavamo bodisi ne glede na vsebino, ki jo je mogoče predstaviti v njih, bodisi ob upoštevajoč, skladenjske in pomenske razlikujemo med aksiomatskimi sistemi (samo slednji predstavljajo samo znanstveno spoznanje). To razlikovanje je zahtevalo oblikovanje osnov. zahteve zanje na dveh ravneh, skladenjski in pomenski (skladenjska in pomenska konsistentnost, popolnost, neodvisnost aksiomov itd.) Analiza formaliziranih aksiomatskih sistemov je vodila do ugotovitve njihovih temeljnih omejitev, med katerimi je glavna nezmožnost popolne aksiomatizacije. dovolj razvitih sistemov, ki jih dokazujejo Gödelove znanstvene teorije (na primer aritmetika naravnih števil), kar implicira nezmožnost popolne formalizacije znanstvenega znanja, aksiomatizacija je le ena od metod za konstruiranje znanstvenega znanja, ampak njena uporaba kot sredstvo znanstvenega odkritje je zelo omejeno. Aksiomatizacija se običajno izvaja potem, ko je teorija vsebinsko že dovolj zgrajena, in služi namenu njene natančnejše predstavitve, zlasti strogega izpeljanja vseh posledic iz sprejetih premis Pozornost je bila namenjena aksiomatizaciji ne le matematičnih disciplin, temveč tudi nekaterih delov fizike, biologije, psihologije, ekonomije, jezikoslovja itd., vključno s teorijami o strukturi in dinamiki znanstvenega znanja. Pri študiju naravoslovnega (na splošno katerega koli nematematičnega) znanja se matematične metode pojavljajo v obliki hipotetično-deduktivne metode (glej tudi formalizacija)

Aksiomatska metoda

Metoda gradnje teorije, v kateri temelji na določenih začetnih določbah - aksiomih ali postulatih ...

Metoda konstrukcije teorije, v kateri temelji na določenih začetnih določbah - aksiomih ali postulatih, iz katerih je treba čisto logično izpeljati vse druge izjave te teorije.

Aksiomatska metoda

Metoda konstruiranja znanstvene teorije, pri kateri so nekatere določbe teorije izbrane kot izhodiščne, vse ostale pa ...

Metoda konstruiranja znanstvene teorije, pri kateri so nekatere določbe teorije izbrane kot izhodiščne, vse druge njene določbe pa se iz njih izpeljejo na povsem logičen način, z dokazi. Trditve, dokazane na podlagi aksiomov, imenujemo izreki.

A. m. poseben način definiranja predmetov in odnosov med njimi (glej: Aksiomatska definicija). A. m., ki se uporablja v matematiki, logiki, pa tudi v nekaterih vejah fizike, biologije, itd. A. m. pr. n. št e. Evklid pa v svojih »aksiomih in postulatih« ni uspel opisati vseh lastnosti geometrijskih predmetov, ki jih je dejansko uporabljal; njegove dokaze so spremljale številne risbe. "Skrite" predpostavke Evklidove geometrije je šele v sodobnem času razkril D. Hilbert (1862-1943), ki je aksiomatsko teorijo obravnaval kot formalno teorijo, ki vzpostavlja razmerja med svojimi elementi (znaki) in opisuje vse množice objektov, ki ji ustrezajo. . Dandanes so aksiomatske teorije pogosto oblikovane kot formalizirani sistemi, ki vsebujejo natančen opis logičnih sredstev za izpeljavo izrekov iz aksiomov. Dokaz v takšni teoriji je zaporedje formul, od katerih je vsaka aksiom ali pa je pridobljena iz prejšnjih formul v zaporedju v skladu z enim od sprejetih pravil sklepanja.

Aksiomatski formalni sistem je podvržen zahtevam doslednosti, popolnosti, neodvisnosti sistema aksiomov itd.

A.M. je le ena od metod konstruiranja znanstvenega znanja. Ima omejeno uporabo, saj zahteva visoko stopnjo razvoja aksiomatizirane vsebinske teorije.

Kot je pokazal slavni matematik in logik K. Gödel, dokaj bogate znanstvene teorije (na primer aritmetika naravnih števil) ne dopuščajo popolne aksiomatizacije. To kaže na omejitve A.M. in nezmožnost popolne formalizacije znanstvenega znanja (glej: Gödelov izrek).