Enota segmentne koordinate žarka koordinate točke. Lestvica

Ta članek je posvečen analizi konceptov, kot sta koordinatni žarek in koordinatna črta. Ustavili se bomo na vsakem konceptu in si podrobno ogledali primere. Zahvaljujoč temu članku lahko osvežite svoje znanje ali se seznanite s temo brez pomoči učitelja.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Da bi definirali koncept koordinatnega žarka, bi morali imeti predstavo o tem, kaj je žarek.

Definicija 1

žarek- to je geometrijska figura, ki ima izvor koordinatnega žarka in smer gibanja. Ravna črta je običajno upodobljena vodoravno, kar označuje smer v desno.

V primeru vidimo, da je O začetek žarka.

Primer 1

Koordinatni žarek je upodobljen po isti shemi, vendar je bistveno drugačen. Postavimo izhodišče in izmerimo posamezen segment.

Primer 2

Definicija 2

Segment enote je razdalja od 0 do točke, izbrane za merjenje.

Primer 3

Od konca enega segmenta morate narediti nekaj potez in narediti oznake.

Zahvaljujoč manipulacijam, ki smo jih naredili z žarkom, je postal koordinaten. Poteze označite z naravnimi števili v zaporedju od 1 - na primer 2, 3, 4, 5...

Primer 4

Definicija 3

– to je lestvica, ki lahko traja neskončno dolgo.

Pogosto je upodobljen kot žarek, ki se začne v točki O, in narisan je en segment enote. Primer je prikazan na sliki.

Primer 5

V vsakem primeru bomo lahko nadaljevali lestvico do števila, ki ga potrebujemo. Številke lahko napišete čim bolj priročno - pod žarkom ali nad njim.

Primer 6

Za prikaz koordinat žarkov lahko uporabite tako velike kot male črke.

Načelo upodabljanja koordinatne črte se praktično ne razlikuje od upodabljanja žarka. Preprosto je - narišite žarek in ga dodajte ravni črti ter mu dajte pozitivno smer, ki jo označuje puščica.

Primer 7

Narišite žarek v nasprotni smeri in ga razširite na ravno črto

Primer 8

Odložite posamezne segmente v skladu z zgornjim primerom

Na levo stran zapiši naravna števila 1, 2, 3, 4, 5... z nasprotnim predznakom. Bodite pozorni na primer.

Primer 9

Označite lahko samo izhodišče in posamezne segmente. Oglejte si primer, kako bo to izgledalo.

Primer 10

Definicija 4

- to je ravna črta, ki je prikazana z določeno referenčno točko, ki je vzeta kot 0, enotski segment in dano smer gibanja.

Ujemanje med točkami na koordinatni premici in realnimi števili

Koordinatna premica lahko vsebuje veliko točk. So neposredno povezani z realnimi številkami. To lahko opredelimo kot korespondenco ena na ena.

Definicija 5

Vsaka točka na koordinatni premici ustreza enemu realnemu številu in vsako realno število ustreza eni točki na koordinatni premici.

Da bi pravilo bolje razumeli, označite točko na koordinatni premici in poglejte, katero naravno število ustreza oznaki. Če ta točka sovpada z izhodiščem, bo označena z ničlo. Če točka ne sovpada z začetno točko, odložimo potrebno število segmentov enote, dokler ne dosežemo določene oznake. Številka, zapisana pod njim, bo ustrezala tej točki. S spodnjim primerom vam bomo jasno pokazali to pravilo.

Primer 11

Če točke ne najdemo z izrisom enotskih odsekov, označimo tudi točke, ki sestavljajo eno desetinko, stotinko ali tisočinko enotskega odseka. Za podrobno preučitev tega pravila lahko uporabite primer.

Če odložimo več podobnih segmentov, lahko dobimo ne samo celo število, ampak tudi delno število - pozitivno in negativno.

Označeni segmenti nam bodo pomagali najti želeno točko na koordinatni premici. To so lahko cela ali delna števila. Vendar pa obstajajo točke na ravni črti, ki jih je zelo težko najti z uporabo posameznih segmentov. Te točke ustrezajo decimalnim ulomkom. Če želite poiskati takšno točko, boste morali odložiti en segment, desetinko, stotinko, tisočinko, desettisočinko in druge njene dele. Ena točka na koordinatni premici ustreza iracionalnemu številu π (= 3, 141592...).

Množica realnih števil vključuje vsa števila, ki jih lahko zapišemo kot ulomek. To nam omogoča, da prepoznamo pravilo.

Opredelitev 6

Vsaka točka na koordinatni premici ustreza določenemu realnemu številu. Različne točke določajo različna realna števila.

Ta korespondenca je edinstvena - vsaka točka ustreza določenemu realnemu številu. Toda to deluje tudi obratno. Določimo lahko tudi določeno točko na koordinatni premici, ki se bo nanašala na določeno realno število. Če število ni celo število, moramo označiti več enotskih odsekov, pa tudi desetinke in stotinke v določeni smeri. Na primer, številka 400350 ustreza točki na koordinatni premici, ki jo lahko dosežemo iz izhodišča tako, da v pozitivni smeri narišemo 400 enotskih segmentov, 3 segmente, ki predstavljajo desetinko enote, in 5 segmentov, ki predstavljajo tisočinko.

Tako nam enotski segment in njegova desetinka, stotinka in tako naprej omogočajo, da pridemo do točk koordinatne premice, ki bodo ustrezale končnim decimalnim ulomkom (kot v prejšnjem primeru). Vendar pa obstajajo točke na koordinatni premici, do katerih ne moremo priti, lahko pa se jim približamo, kolikor želimo, z vedno manjšimi točkami do neskončno majhnega dela enotskega segmenta. Te točke ustrezajo neskončnim periodičnim in neperiodičnim decimalnim ulomkom. Naj navedemo nekaj primerov. Ena od teh točk na koordinatni premici ustreza številu 3,711711711...=3,(711) . Če se želite približati tej točki, morate dati na stran 3 segmente enote, 7 desetin, 1 stotinko, 1 tisočinko, 7 desettisočink, 1 stotisočinko, 1 milijoninko segmenta enote itd. In druga točka na koordinatni premici ustreza pi (π=3,141592 ...).

Ker so elementi množice realnih števil vsa števila, ki jih je mogoče zapisati v obliki končnih in neskončnih decimalnih ulomkov, nam vse informacije, predstavljene zgoraj v tem odstavku, omogočajo, da trdimo, da smo vsaki točki dodelili določeno realno število koordinatne premice in jasno je, da različne točke ustrezajo različnim realnim številom.

Prav tako je povsem očitno, da je ta korespondenca ena proti ena. To pomeni, da določeni točki na koordinatni premici lahko pripišemo realno število, lahko pa tudi z danim realnim številom označimo določeno točko na koordinatni premici, ki ji dano realno število ustreza. Da bi to naredili, bomo morali od začetka odštevanja v želeni smeri odložiti določeno število enotskih odsekov, pa tudi desetin, stotink in tako naprej ulomkov enotskega odseka. Število 703.405 na primer ustreza točki na koordinatni premici, ki jo lahko dosežemo iz izhodišča tako, da v pozitivni smeri narišemo 703 enotske segmente, 4 segmente, ki predstavljajo desetinko enote, in 5 segmentov, ki predstavljajo tisočinko enote. .

Torej, vsaki točki na koordinatni premici pripada realno število in vsako realno število ima svoje mesto v obliki točke na koordinatni premici. Zato se pogosto imenuje koordinatna črta številska premica.

Koordinate točk na koordinatni premici

Imenuje se število, ki ustreza točki na koordinatni premici koordinata te točke.

V prejšnjem odstavku smo rekli, da vsako realno število ustreza eni točki na koordinatni premici, torej koordinata točke enolično določa položaj te točke na koordinatni premici. Z drugimi besedami, koordinata točke enolično definira to točko na koordinatni premici. Po drugi strani pa vsaka točka na koordinatni premici ustreza eni sami realni številki - koordinati te točke.

Povedati je treba le še o sprejeti notaciji. Koordinata točke je zapisana v oklepaju desno od črke, ki predstavlja točko. Na primer, če ima točka M koordinato -6, potem lahko zapišemo M(-6), zapis oblike pa pomeni, da ima točka M na koordinatni premici koordinato.

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika: učbenik za 5. razred. izobraževalne ustanove.
• Vilenkin N.Ya. in drugi. 6. razred: učbenik za splošnoizobraževalne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učbenik za 8. razred. izobraževalne ustanove.

Žarek je raven, omejen na eni strani. To definicijo boste bolje razumeli, če se boste naučili lastnosti žarka:

• Ima začetek, a nima konca
• Ima smer
• Neskončno, tj. nima velikosti.

Pravilna oznaka žarka je sporno vprašanje. Najbolj pravilna možnost sta dve točki, na primer OA. Poleg tega prva točka označuje začetek žarka. Označujejo pa tudi odseke in ravne črte, zato pogosto pišejo žarek z začetkom v točki O.

riž. 1. Žarek.

Koti

Koti so edine oblike, sestavljene iz žarkov. Kaj je kot?

To je geometrijska figura, sestavljena iz dveh žarkov, katerih začetek leži na eni točki. Na slikah so koti sestavljeni iz segmentov in ne iz žarkov.

Lahko pride do situacije, ko obe strani kota sovpadata, potem pravijo, da je kot 0 stopinj. Lahko se tudi zgodi, da obe strani kota tvorita ravno črto, takrat pravijo, da je kot enak 180 stopinj. Ta kot se imenuje razgrnjen, žarki pa so primarni in sekundarni.

Kot odraža vrtenje enega žarka glede na drugega.

Koordinatni žarki

Druga uporaba žarkov je v različnih koordinatnih sistemih. Pri matematiki v 5. razredu je prva tema preučevanje koordinatne črte. To sta dva žarka z vrtilnim kotom 180 stopinj. Začetek žarkov je označen kot ničelna točka ali začetek poročila. Negativne koordinate so postavljene levo od začetka poročila, pozitivne pa desno. Drugo ime za koordinatno premico: številska premica.

riž. 2. Koordinatni žarek.

Z uporabo koordinatnega žarka je priročno primerjati ulomke in s tem reševati neenačbe.

S pomočjo koordinatnih žarkov se ustvari tudi koordinatna ravnina. Tako imenovani kartezični koordinatni sistem je sestavljen iz dveh koordinatnih črt ali 4 žarkov. Takšen sistem omogoča določanje položaja točke na ravnini, risanje grafov funkcij in grafično reševanje različnih vrst enačb.

Poleg kartezičnega sistema obstaja še polarni koordinatni sistem. Polarni sistem uporablja koncepta kota in koordinatne črte. Koordinatna premica določa položaj točke, kot pa stopnjo njenega dviga nad osjo.

Polarni koordinatni sistem je eden najstarejših v človeški zgodovini. Tako se je zgodilo, da so starodavni mornarji osvajali neznana prostranstva našega sveta prav s tem sistemom. Kartezijanski sistem se je pojavil veliko kasneje. Vendar je bolj priročno za orientacijo na tleh. Kartezični sistem je lažji za uporabo tako v matematiki kot v drugih disciplinah: fiziki, toplotni tehniki, hidravliki in programiranju.

Kartezični sistem je razdeljen s štirimi žarki na 4 četrtine, od katerih je položaj točke v vsaki določen z znakom koordinat. Koordinate delimo na abscise in ordinate. Z drugimi besedami, x in y. Na primer, točka (3, 4) ima dve pozitivni koordinati, kar pomeni, da se bo nahajala v prvi četrtini. Obe negativni koordinati ustrezata tretji četrtini, pozitivni y z negativnim x je drugi četrtini, negativni y s pozitivnim x pa četrti.

Za konstruiranje točke v kartezičnem koordinatnem sistemu je potrebno dvigniti pravokotno iz delitve numeričnega žarka, ki ustreza koordinati. Obstajata dve koordinati, kar pomeni, da bosta dve navpičnici. Točka njihovega presečišča bo želena točka.

Številska premica je žarek, na katerem so natisnjena števila ali številski intervali. Številska premica se uporablja za primerjavo ulomkov, slik za problem in iskanje ODZ funkcije. Slednji je najpogostejši.

Zavit oklepaj na ravni črti označuje območje, kamor korenine ne morejo doseči. Po rešitvi enačbe se najdene korenine nanesejo na številsko premico. Koreni, ki spadajo v zavit oklepaj neveljavnih vrednosti, so izključeni iz rešitve.

Koordinata točke je njen »naslov« na številski premici, številska premica pa je »mesto«, v katerem živijo števila in katero koli število je mogoče najti po naslovu.

Več lekcij na spletnem mestu

Spomnimo se, kaj je naravna serija. To so vse številke, ki jih je mogoče uporabiti za štetje predmetov, ki stojijo strogo v vrstnem redu, enega za drugim, to je v vrsti. Ta niz števil se začne z 1 in nadaljuje v neskončnost z enakimi intervali med sosednjimi številkami. Dodajte 1 - in dobimo naslednjo številko, še 1 - in spet naslednjo. In ne glede na to, katero število vzamemo iz tega niza, so sosednje naravne številke 1 desno in 1 levo od njega. Edina izjema je število 1: naslednje naravno število je tam, prejšnje pa ne. 1 je najmanjše naravno število.

Obstaja ena geometrijska figura, ki ima veliko skupnega z naravnim nizom. Če pogledamo temo lekcije, napisano na tabli, ni težko uganiti, da je ta številka žarek. In v resnici ima žarek začetek, nima pa konca. In lahko bi nadaljevali in nadaljevali, pa bi enostavno zmanjkalo zvezka ali table in ne bi bilo več kam nadaljevati.

S temi podobnimi lastnostmi povežimo naravno vrsto števil in geometrijski lik - žarek.

Ni naključje, da je na začetku žarka prazen prostor: poleg naravnih števil je treba zapisati dobro znano število 0. Vsako naravno število, ki ga najdemo v naravnem nizu, ima na žarku dva soseda - enega manjšega in enega večjega. Če naredite samo en korak +1 od nič, lahko dobite število 1, in če naredite naslednji korak +1, lahko dobite število 2 ... Če stopite tako naprej, lahko dobimo vsa naravna števila eno za drugim. To je oblika žarka, predstavljenega na tabli, ki se imenuje koordinatni žarek. Lahko rečemo preprosteje – s številčnim žarkom. Ima najmanjše število - število 0, ki se imenuje Izhodišče , vsako naslednje število je enako oddaljeno od prejšnjega, največjega števila pa ni, tako kot niti žarek niti naravna vrsta nima konca. Naj še enkrat poudarim, da je razdalja med začetkom štetja in naslednjim številom 1 enaka razdalji med katerima koli drugima dvema sosednjima številoma številskega žarka. Ta razdalja se imenuje en segment . Če želite na takšnem žarku označiti poljubno število, morate od izhodišča odložiti natanko enako število enotskih segmentov.

Na primer, da označimo številko 5 na žarku, odložimo 5 enotskih odsekov od začetne točke. Za označevanje števila 14 na žarku odložimo 14 enotskih odsekov od nič.

Kot lahko vidite v teh primerih, so lahko na različnih risbah enotski segmenti različni(), toda na enem žarku so vsi enotski segmenti() enaki drug drugemu(). (morda bo prišlo do spremembe diapozitivov na slikah, potrditvenih premorov)

Kot veste, je v geometrijskih risbah običajno poimenovati točke z velikimi črkami latinske abecede. Uporabimo to pravilo za risbo na tabli. Vsak koordinatni žarek ima začetno točko, na numeričnem žarku ta točka ustreza številu 0 in ta točka se običajno imenuje črka O. Poleg tega bomo označili več točk na mestih, ki ustrezajo nekaterim številkam tega žarka. Zdaj ima vsaka žarkovna točka svoj specifičen naslov. A(3), ... (5-6 točk na obeh gredih). Imenuje se število, ki ustreza točki na žarku (tako imenovani naslov točke). koordinirati točke. In sam žarek je koordinatni žarek. Koordinatni žarek ali numerični - pomen se ne spremeni.

Izpolnimo nalogo – označimo točke na številski premici glede na njihove koordinate. Svetujem vam, da to nalogo opravite sami v zvezku. M(3), T(10), U(7).

Da bi to naredili, najprej sestavimo koordinatni žarek. To je žarek, katerega izhodišče je točka O(0). Zdaj morate izbrati en segment. Točno to potrebujemo izberite tako da vse zahtevane točke ustrezajo risbi. Največja koordinata je zdaj 10. Če postavite začetek žarka 1-2 celici od levega roba strani, ga lahko podaljšate za več kot 10 cm. Nato vzemite enotski odsek 1 cm, označite ga na žarku in številka 10 se nahaja 10 cm od začetka žarka (...)

Če pa morate na koordinatnem žarku označiti točko H (15), boste morali izbrati drug enotski segment. Navsezadnje ne bo več delovalo kot v prejšnjem primeru, ker prenosni računalnik ne bo ustrezal nosilcu zahtevane vidne dolžine. Izberete lahko en segment dolg 1 celico in preštejete 15 celic od nič do želene točke.

En segment. ? En segment ima lahko različne dolžine. Na primer, zgraditi moramo koordinatni žarek z enotskim segmentom, ki je enak dvema celicama. Če želite to narediti, morate: zgraditi žarek (v skladu z zgoraj obravnavanimi pravili), prešteti dve celici od točke O, označiti točko in ji dati koordinato 1, razdalja od 0 do 1, enaka dvema celicama, je segment enote. O. 0. 1. Spodaj je koordinatni žarek z enotskim segmentom, ki je enak petim celicam. O. 0. 1.

Matematika 5. razred

“Matematika 5. razred “Navadni ulomki”” - Odštevanje ulomkov. Zmanjševanje ulomkov. Razlika ulomkov. Krog. Ulomki z enakimi imenovalci. delnice. Primerjaj ulomke. Seštevanje ulomkov. Kaj je ulomek? Večji imenovalec. Pravilo za deljenje ulomkov. Ulomek. Del kroga. Dodajte ulomke. številka. Najdi kos. Lekcija. delo. Upoštevani primer. Lubenica. Poiščite razliko. Neenaki ulomki. Navadni ulomki. Deljenje ulomkov. Množenje ulomkov.

"Naloge za reševanje enačb" - Enačbe. Prižgimo semafor. Test za Ivana Tsareviča. Ogreti se. Samostojno delo. Koliko je Masha plačala za nakup. Preverjanje domače naloge. Igra "Magična številka". Odgovori na vprašanja. Družina komarjev. Sojenje. Minuta telesne vzgoje.

"Potovanje skozi matematiko" - Katero trikotno število predstavlja enakostranični trikotnik. Turisti želijo raziskati gosto poseljene dele celine. Pri zajtrku smo pojedli 3/8 torte, pri kosilu pa 5/8 torte. Jadrnica prepotuje 1 miljo v 10 minutah. Naloge velikega pilota. Otok "literature". Potovanje po morju znanja. Če želite zgraditi ladjo, morate posekati hlode. Otok Lukomorye. Zmaj. Obala "zlatih rok". Stop "Kudykiny Gory".

""Poenostavitev izrazov" 5. razred" - Poenostavite izraze. Vzemite skupni faktor iz oklepaja. Distributivni zakon. Katere izraze je mogoče poenostaviti? Kako pretvoriti izraz. Poenostavljanje izrazov. Naloga. Reševanje enačb. Izrazi, ki imajo enak črkovni del, se imenujejo podobni. Poiščite pomene izrazov na priročen način. Podčrtaj podobne pojme. Ugotovite, kaj v teh izrazih manjka.

""Odstotek" 5. razred" - Stoti del števila se imenuje odstotek. Rešiti problem. Odstotek številk. Preverimo. Iskanje števila po odstotku. Najdi. Iskanje odstotkov iz odstotkov. Povečajte število 56 za 20 %. Zapišite odstotke kot decimalno število. Vedno jemljemo celoto kot eno ali 100%. Obresti. Imenovanje. Kako izraziti odstotke kot decimalke. Ta ulomek morate pomnožiti s 100. Kako napisati decimalko z odstotki.

"Trikotniki in njihove vrste" - Ustvarjalno delo. Vrsta trikotnika. Trikotniki. Primarna posodobitev. Reši uganko. Geometrijsko obdobje. Trikotnike lahko razdelimo v skupine glede na njihove kote. Trikotnik in njegovi elementi. Vrhovi. Koliko premic lahko narišemo skozi dve točki? Dve enaki strani. Trikotniki okoli nas.