Kolikšna je vsota notranjih kotov štirikotnika? Včrtan štirikotnik in njegove lastnosti

VČRTANI IN KROŽNI MNOGOKOTNIKI,

§ 106. LASTNOSTI VRČISANIH IN OPISANIH ŠTIRIKOTNIKOV.

1. izrek. Vsota nasprotnih kotov cikličnega štirikotnika je 180°.

Naj bo v krog s središčem O vpisan štirikotnik ABCD (slika 412). To je potrebno dokazati / A+ / C = 180° in / B + / D = 180°.

/ A, kot je vpisano v krog O, meri 1/2 BCD.
/ C, kot je vpisan v isti krog, meri 1/2 BAD.

Posledično se vsota kotov A in C meri s polovično vsoto lokov BCD in BAD v seštevku, ti loki sestavljajo krog, tj. Imajo 360°.
Od tod / A+ / C = 360°: 2 = 180°.

Podobno je dokazano, da / B + / D = 180°. Vendar je to mogoče sklepati na drug način. Vemo, da je vsota notranjih kotov konveksnega štirikotnika 360°. Vsota kotov A in C je enaka 180°, kar pomeni, da tudi vsota ostalih dveh kotov štirikotnika ostane 180°.

Izrek 2(vzvratno). Če je v štirikotniku vsota dveh nasprotnih kotov enaka 180° , potem lahko okoli takšnega štirikotnika opišemo krog.

Naj bo vsota nasprotnih kotov štirikotnika ABCD enaka 180°, in sicer
/ A+ / C = 180° in / B + / D = 180° (risba 412).

Dokažimo, da lahko okoli takšnega štirikotnika opišemo krog.

Dokaz. Skozi poljubna 3 oglišča tega štirikotnika lahko narišete krog, na primer skozi točke A, B in C. Kje bo točka D?

Točka D lahko zavzame le enega od naslednjih treh položajev: biti znotraj kroga, biti zunaj kroga, biti na obodu kroga.

Predpostavimo, da je oglišče znotraj kroga in zavzame položaj D" (slika 413). Potem bomo v štirikotniku ABCD" imeli:

/ B + / D" = 2 d.

Če nadaljujemo stranico AD" do presečišča s krožnico v točki E in povezujemo točki E in C, dobimo ciklični štirikotnik ABCE, v katerem po direktnem izreku

/ B+ / E = 2 d.

Iz teh dveh enakosti sledi:

/ D" = 2 d - / B;
/ E=2 d - / B;

/ D" = / E,

a to ne more biti, ker / D", ki je zunanji glede na trikotnik CD"E, mora biti večji od kota E. Zato točka D ne more biti znotraj kroga.

Dokazano je tudi, da oglišče D ne more zavzeti položaja D" zunaj kroga (slika 414).

Upoštevati je treba, da mora oglišče D ležati na obodu kroga, tj. sovpadati s točko E, kar pomeni, da lahko okrog štirikotnika ABCD opišemo krog.

Posledice. 1. Okoli kateregakoli pravokotnika lahko opišemo krog.

2. Okoli enakokrakega trapeza lahko opišemo krog.

V obeh primerih je vsota nasprotnih kotov 180°.

Izrek 3. V opisanem štirikotniku sta vsoti nasprotnih stranic enaki. Opišemo štirikotnik ABCD okoli kroga (slika 415), to pomeni, da se njegove stranice AB, BC, CD in DA dotikajo tega kroga.

Dokazati je treba, da je AB + CD = AD + BC. Dotične točke označimo s črkami M, N, K, P. Na podlagi lastnosti tangent, ki potekajo na krožnico iz ene točke (§ 75), imamo:

AR = AK;
VR = VM;
DN = DK;
CN = CM.

Seštejmo te enakosti člen za členom. Dobimo:

AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,

tj. AB + CD = AD + BC, kar je bilo treba dokazati.

vaje.

1. V cikličnem štirikotniku sta dva nasprotna kota v razmerju 3:5,
druga dva pa sta v razmerju 4:5.

2. V opisanem štirikotniku je vsota dveh nasprotnih stranic 45 cm. Preostali dve stranici sta v razmerju 0,2 : 0,3. Poiščite dolžine teh stranic.

Konveksni štirikotnik je lik, sestavljen iz štirih strani, ki so med seboj povezane v ogliščih in skupaj s stranicami tvorijo štiri kote, medtem ko je sam štirikotnik vedno v isti ravnini glede na premico, na kateri leži ena od njegovih stranic. Z drugimi besedami, celotna figura je na isti strani katere koli od svojih strani.

Kot lahko vidite, si je definicijo precej enostavno zapomniti.

Osnovne lastnosti in vrste

Skoraj vse znane figure, sestavljene iz štirih vogalov in stranic, lahko uvrstimo med konveksne štirikotnike. Razlikujemo lahko naslednje:

1. paralelogram;
2. kvadrat;
3. pravokotnik;
4. trapez;
5. romb.

Vse te figure ne združuje le dejstvo, da so štirikotne, ampak tudi dejstvo, da so tudi konveksne. Samo poglejte diagram:

Slika prikazuje konveksni trapez. Tukaj lahko vidite, da je trapez na isti ravnini ali na eni strani segmenta. Če izvedete podobna dejanja, lahko ugotovite, da je na vseh drugih straneh trapez konveksen.

Ali je paralelogram konveksen štirikotnik?

Zgoraj je slika paralelograma. Kot je razvidno iz slike, paralelogram je tudi konveksen. Če pogledate sliko glede na premice, na katerih ležijo segmenti AB, BC, CD in AD, postane jasno, da je vedno na isti ravnini od teh premic. Glavne značilnosti paralelograma so, da so njegove stranice po parih vzporedne in enake, tako kot so nasprotni koti med seboj enaki.

Zdaj pa si predstavljajte kvadrat ali pravokotnik. Po osnovnih lastnostih so tudi paralelogrami, to pomeni, da so vse njihove stranice v vzporednih parih. Samo pri pravokotniku so lahko dolžine stranic različne, koti pa pravi (enaki 90 stopinj), kvadrat je pravokotnik, v katerem so vse stranice enake in tudi koti pravi, pri paralelogram, so lahko dolžine stranic in koti različni.

Kot rezultat, vsota vseh štirih kotov štirikotnika mora biti enako 360 stopinj. To najlažje ugotovimo tako, da pogledamo pravokotnik: vsi štirje vogali pravokotnika so pravi, torej enaki 90 stopinjam. Vsota teh kotov 90 stopinj daje 360 ​​stopinj, z drugimi besedami, če 90 stopinj dodate 4-krat, dobite želeni rezultat.

Lastnost diagonal konveksnega štirikotnika

Diagonali konveksnega štirikotnika se sekata. Dejansko je ta pojav mogoče opazovati vizualno, samo poglejte sliko:

Slika na levi prikazuje nekonveksni štirikotnik ali štirikotnik. Kot želiš. Kot lahko vidite, se diagonali ne sekata, vsaj ne vse. Na desni strani je konveksen štirikotnik. Tu je že opažena lastnost diagonal, da se sekajo. Ista lastnost se lahko šteje za znak konveksnosti štirikotnika.

Druge lastnosti in znaki konveksnosti štirikotnika

S tem izrazom je zelo težko poimenovati kakršne koli posebne lastnosti in značilnosti. Lažje je razlikovati po različnih vrstah štirikotnikov te vrste. Lahko začnete s paralelogramom. Vemo že, da je to štirikotnik, katerega stranice so v parih vzporedne in enake. To hkrati vključuje tudi lastnost diagonal paralelograma, da se med seboj sekajo, pa tudi sam znak konveksnosti lika: paralelogram je vedno v isti ravnini in na isti strani glede na katero koli od njegovih straneh.

Torej, znane so glavne značilnosti in lastnosti:

1. vsota kotov štirikotnika je 360 ​​stopinj;
2. Diagonali figur se sekata v eni točki.

Pravokotnik. Ta številka ima vse enake lastnosti in značilnosti kot paralelogram, hkrati pa so vsi njeni koti enaki 90 stopinj. Od tod tudi ime - pravokotnik.

Kvadrat, enak paralelogram, vendar so njegovi koti pravi kot pravokotnik. Zaradi tega se kvadrat redko imenuje pravokotnik. Toda glavna značilnost kvadrata, poleg že naštetih, je, da so vse štiri njegove strani enake.

Trapez je zelo zanimiva figura. Tudi to je štirikotnik in tudi konveksen. V tem članku je bil trapez že obravnavan na primeru risbe. Jasno je, da je tudi konveksen. Glavna razlika in s tem znak trapeza je v tem, da so lahko njegove stranice popolnoma drugačne po dolžini, pa tudi po vrednosti njegovih kotov. V tem primeru lik vedno ostane na isti ravnini glede na katero koli od črt, ki povezuje kateri koli dve njeni točki vzdolž segmentov, ki tvorijo lik.

Romb je prav tako zanimiva figura. Deloma se lahko romb šteje za kvadrat. Znak romba je dejstvo, da se njegove diagonale ne le sekajo, ampak tudi delijo vogale romba na polovico, same diagonale pa se sekajo pod pravim kotom, to je, da so pravokotne. Če sta dolžini stranic romba enaki, se tudi diagonali, ko se sekata, razdelita na pol.

Deltoidi ali konveksni romboidi (rombi) imajo lahko različne dolžine stranic. Toda hkrati so še vedno ohranjene tako osnovne lastnosti in značilnosti samega romba kot tudi značilnosti in lastnosti konveksnosti. To pomeni, da lahko opazimo, da diagonale razpolavljajo kote in se sekajo pod pravim kotom.

Današnja naloga je bila razmisliti in razumeti, kaj so konveksni štirikotniki, kakšni so in njihove glavne značilnosti in lastnosti. Pozor! Še enkrat se je treba spomniti, da je vsota kotov konveksnega štirikotnika 360 stopinj. Obseg figur je na primer enak vsoti dolžin vseh segmentov, ki sestavljajo figuro. Formule za izračun obsega in površine štirikotnikov bodo obravnavane v naslednjih člankih.

Video tečaj »Get an A« vključuje vse teme, ki so potrebne za uspešno opravljen enotni državni izpit iz matematike s 60-65 točkami. Popolnoma vse naloge 1-13 profilnega enotnega državnega izpita iz matematike. Primeren tudi za opravljanje osnovnega enotnega državnega izpita iz matematike. Če želite opraviti enotni državni izpit z 90-100 točkami, morate 1. del rešiti v 30 minutah in brez napak!

Pripravljalni tečaj za enotni državni izpit za 10.-11. razred, pa tudi za učitelje. Vse, kar potrebujete za rešitev 1. dela Enotnega državnega izpita iz matematike (prvih 12 težav) in 13. naloga (trigonometrija). In to je več kot 70 točk na Enotnem državnem izpitu in brez njih ne more niti študent s 100 točkami niti študent humanistike.

Vsa potrebna teorija. Hitre rešitve, pasti in skrivnosti enotnega državnega izpita. Analizirane so vse trenutne naloge 1. dela iz banke nalog FIPI. Tečaj v celoti ustreza zahtevam Enotnega državnega izpita 2018.

Tečaj obsega 5 velikih tem, vsaka po 2,5 ure. Vsaka tema je podana od začetka, preprosto in jasno.

Na stotine nalog enotnega državnega izpita. Besedne težave in teorija verjetnosti. Preprosti in lahko zapomniti si algoritme za reševanje problemov. Geometrija. Teorija, referenčni material, analiza vseh vrst nalog enotnega državnega izpita. Stereometrija. Zapletene rešitve, uporabne goljufije, razvoj prostorske domišljije. Trigonometrija od začetka do problema 13. Razumevanje namesto nabijanja. Jasne razlage kompleksnih konceptov. Algebra. Koreni, potence in logaritmi, funkcija in odvod. Osnova za reševanje kompleksnih problemov 2. dela enotnega državnega izpita.

Koncept poligona

Definicija 1

Poligon je geometrijski lik v ravnini, ki je sestavljen iz odsekov, povezanih v pare, pri čemer sosednji ne ležijo na isti premici.

V tem primeru se kličejo segmenti strani mnogokotnika, in njihovi konci - oglišča mnogokotnika.

Definicija 2

$n$-kotnik je mnogokotnik z $n$ oglišči.

Vrste mnogokotnikov

Definicija 3

Če mnogokotnik vedno leži na isti strani katere koli črte, ki poteka skozi njegove stranice, se mnogokotnik imenuje konveksen(Slika 1).

Slika 1. Konveksni poligon

Definicija 4

Če mnogokotnik leži na nasprotnih straneh vsaj ene ravne črte, ki poteka skozi njegove stranice, se mnogokotnik imenuje nekonveksen (slika 2).

Slika 2. Nekonveksni poligon

Vsota kotov mnogokotnika

Uvedimo izrek o vsoti kotov trikotnika.

1. izrek

Vsota kotov konveksnega trikotnika se določi na naslednji način

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Dokaz.

Naj nam je dan konveksen mnogokotnik $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Povežimo njegovo oglišče $A_1$ z vsemi ostalimi oglišči tega mnogokotnika (slika 3).

Slika 3.

S to povezavo dobimo $n-2$ trikotnikov. S seštevanjem njihovih kotov dobimo vsoto kotov danega -kotnika. Ker je vsota kotov trikotnika enaka $(180)^0,$ dobimo, da je vsota kotov konveksnega trikotnika določena s formulo

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Izrek je dokazan.

Pojem štirikotnika

Z uporabo definicije $2$ je enostavno uvesti definicijo štirikotnika.

Definicija 5

Štirikotnik je mnogokotnik s $4$ oglišči (slika 4).

Slika 4. Štirikotnik

Za štirikotnik sta podobno definirana pojma konveksni štirikotnik in nekonveksni štirikotnik. Klasični primeri konveksnih štirikotnikov so kvadrat, pravokotnik, trapez, romb, paralelogram (slika 5).

Slika 5. Konveksni štirikotniki

Izrek 2

Vsota kotov konveksnega štirikotnika je $(360)^0$

Dokaz.

Po izreku $1$ vemo, da je vsota kotov konveksnega -kotnika določena s formulo

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Zato je vsota kotov konveksnega štirikotnika enaka

\[\levo(4-2\desno)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Izrek je dokazan.

Za izreka 2 in 3 obstajajo nasprotja. Zapišimo jih ustrezno:

Izrek 4. Okrog štirikotnika lahko opišemo krog, če in samo če je vsota nasprotnih kotov enaka 180 stopinj.
Izrek 5. Krog je lahko včrtan štirikotniku, če in samo če sta vsoti dolžin nasprotnih stranic enaki.

Dokaz: Naj bo ABCD dani štirikotnik in naj bo AB + CD = AD + BC. Narišimo simetrali njegovih kotov A in D. Ti simetrali nista vzporedni, kar pomeni, da se sekata v neki točki O. Spustimo navpičnice OK, OL in OM iz točke O na stranice AB, AD in CD. Potem je OK=OL in OL=OM, kar pomeni, da se krožnica s središčem v točki O in polmerom OK dotika stranic AB, AD in CD tega štirikotnika. Na to krožnico narišimo tangento iz točke B. Naj ta tangenta seka premico CD v točki P. Potem je ABPD opisan štirikotnik. Zato je po lastnosti opisanega štirikotnika AB + DP = AD + BP. Tudi po pogoju je AB+ CD = AD + BC. Zato je BP + PC = BC, kar po neenakosti trikotnika pomeni, da točka P leži na odseku BC. Posledično premica BP in BC sovpadata, kar pomeni, da se premica BC dotika krožnice s središčem v točki O, kar pomeni, da je ABCD po definiciji opisan štirikotnik. Izrek je dokazan.
Izrek 6. Površina štirikotnika je enaka polovici produkta njegovih diagonal in sinusa kota med njima.

Dokaz: Naj bo ABCD dani štirikotnik. Naj bo tudi O točka presečišča diagonal. Potem
S ABCD = S ABO + S BCO +S CDO + S DAO =
= 1/2(AO·BO·sin∠ AOB + BO·CO·sin∠ BOC +
+ CO·DO·sin∠ COD + DO·AO·sin∠ AOD) =
= 1/2 sin∠ BOC (AO + CO) (BO + DO) =
= 1/2·sin∠ BOC·AC·BD.
Izrek je dokazan.
Izrek d1. (Varignon) Štirikotnik z oglišči na središčih stranic katerega koli štirikotnika je paralelogram, površina tega paralelograma pa je enaka polovici ploščine prvotnega štirikotnika.

Dokaz: Naj bo ABCD dani štirikotnik in K, L, M in N razpolovišča njegovih stranic. Potem je KL srednjica trikotnika ABC, kar pomeni, da je KL vzporedna z AC. Tudi LM je vzporedna z BD, MN je vzporedna z AC in NK je vzporedna z BD. Zato je KL vzporeden z MN, LM pa s KN. KLMN je torej paralelogram. Ploščina tega paralelograma je KL·KN·sin∠ NKL =
1/2 AC BD sin DOC = 1/2S ABCD.
Izrek je dokazan.