Tabela vrednosti trigonometričnih funkcij

Opomba. Ta tabela vrednosti trigonometrične funkcije uporablja znak √ za predstavitev kvadratnega korena. Za označevanje ulomka uporabite simbol "/".

Poglej tudi uporabni materiali:

Za določanje vrednosti trigonometrične funkcije, ga poiščite na presečišču črte, ki označuje trigonometrično funkcijo. Na primer, sinus 30 stopinj - iščemo stolpec z naslovom sin (sinus) in najdemo presečišče tega stolpca tabele z vrstico "30 stopinj", na njihovem presečišču preberemo rezultat - eno polovico. Podobno ugotavljamo kosinus 60 stopnje, sinus 60 stopinj (spet na presečišču stolpca sin in črte 60 stopinj najdemo vrednost sin 60 = √3/2) itd. Vrednosti sinusov, kosinusov in tangentov drugih "priljubljenih" kotov se najdejo na enak način.

Sinus pi, kosinus pi, tangens pi in drugi koti v radianih

Spodnja tabela kosinusov, sinusov in tangentov je primerna tudi za iskanje vrednosti trigonometričnih funkcij, katerih argument je podano v radianih. Če želite to narediti, uporabite drugi stolpec vrednosti kotov. Zahvaljujoč temu lahko pretvorite vrednost priljubljenih kotov iz stopinj v radiane. Na primer, poiščimo kot 60 stopinj v prvi vrstici in pod njim preberimo njegovo vrednost v radianih. 60 stopinj je enako π/3 radianov.

Število pi nedvoumno izraža odvisnost obsega od stopinjske mere kota. Tako so pi radiani enaki 180 stopinjam.

Vsako število, izraženo s pi (radiani), je mogoče enostavno pretvoriti v stopinje tako, da pi (π) zamenjate s 180.

Primeri:
1. Sinus pi.
sin π = sin 180 = 0
tako je sinus pi enak sinusu 180 stopinj in je enak nič.

2. Kosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
tako je kosinus pi enak kosinusu 180 stopinj in je enak minus ena.

3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
tako je tangenta pi enaka tangenti 180 stopinj in je enaka nič.

Tabela vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa za kote 0 - 360 stopinj (običajne vrednosti)

Če je v tabeli vrednosti trigonometričnih funkcij namesto vrednosti funkcije naveden pomišljaj (tangens (tg) 90 stopinj, kotangens (ctg) 180 stopinj), potem je za dano vrednost stopinjske mere kota funkcija nima določene vrednosti. Če pomišljaja ni, je celica prazna, kar pomeni, da še nismo vnesli zahtevane vrednosti. Zanima nas, po kakšnih poizvedbah se uporabniki obračajo k nam in tabelo dopolnjujemo z novimi vrednostmi, kljub temu, da trenutni podatki o vrednostih kosinusov, sinusov in tangensov najpogostejših vrednosti kotov povsem zadostujejo za rešitev večine težave.

Tabela vrednosti trigonometričnih funkcij sin, cos, tg za najbolj priljubljene kote
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stopinj
(številčne vrednosti "po Bradisovih tabelah")

Koti se merijo v stopinjah ali radianih. Pomembno je razumeti razmerje med temi merskimi enotami. Razumevanje tega razmerja vam omogoča, da delate s koti in naredite prehod iz stopinj v radiane in nazaj. V tem članku bomo izpeljali formulo za pretvorbo stopinj v radiane in radiane v stopinje ter si ogledali tudi več praktičnih primerov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Razmerje med stopinjami in radiani

Za vzpostavitev povezave med stopinjami in radiani je treba poznati stopinjsko in radiansko mero kota. Za primer vzemimo središčni kot, ki temelji na premeru kroga s polmerom r. Za izračun radianske mere tega kota je treba dolžino loka deliti z dolžino polmera kroga. Obravnavani kot ustreza dolžini loka, ki je enaka polovici obsega π·r. Dolžino loka delite s polmerom in dobite radiansko mero kota: π · r r = π rad.

Torej je zadevni kot π radianov. Po drugi strani pa je obrnjen kot enak 180°. Zato je 180° = π rad.

Razmerje med stopinjami in radiani

Razmerje med radiani in stopinjami je izraženo s formulo

π radian = 180°

Formule za pretvorbo radianov v stopinje in obratno

Iz zgornje formule lahko izpeljete druge formule za pretvorbo kotov iz radianov v stopinje in iz stopinj v radiane.

Izrazimo en radian v stopinjah. To naredite tako, da levo in desno stran polmera delite s pi.

1 r a d = 180 π ° - stopinjska mera kota 1 radiana je enaka 180 π.

Eno stopinjo lahko izrazite tudi v radianih.

1° = π 180 r a d

Lahko naredite približne izračune vrednosti kotov v radianih in obratno. Če želite to narediti, vzemite vrednosti števila π z natančnostjo deset tisočink in jih nadomestite v dobljene formule.

1 r a d = 180 π ° = 180 3, 1416 ° = 57, 2956 °

Torej je v enem radianu približno 57 stopinj

1° = π 180 r a d = 3,1416 180 r a d = 0,0175 r a d

Ena stopinja vsebuje 0,0175 radiana.

Formula za pretvorbo radianov v stopinje

x r a d = x 180 π °

Če želite pretvoriti kot iz radianov v stopinje, morate kot v radianih pomnožiti s 180 in deliti s pi.

Primeri pretvorbe stopinj v radiane in radianov v stopinje

Poglejmo si primer.

Primer 1. Pretvarjanje iz radianov v stopinje

Naj bo α = 3,2 rad. Ugotoviti moramo stopinjsko mero tega kota.

Poglejmo sliko. Vektor \(AB\) se je glede na točko \(A\) "obrnil" za določeno količino. Torej bo mera tega vrtenja glede na začetni položaj kot \(\alfa\).

Kaj še morate vedeti o pojmu kot? No, seveda, kotne enote!

Kot v geometriji in trigonometriji se lahko meri v stopinjah in radianih.

Kot \(1()^\circ \) (ena stopinja) je središčni kot v krogu, ki ga sega krožni lok, ki je enak \(\dfrac(1)(360) \) delu kroga.

Tako je celoten krog sestavljen iz \(360\) "kosov" krožnih lokov ali pa je kot, ki ga opisuje krog, \(360()^\circ \) .

To pomeni, da zgornja slika prikazuje kot \(\beta \), ki je enak \(50()^\circ \), kar pomeni, da ta kot leži na krožnem loku, ki meri \(\dfrac(50)(360) \ ) obseg.

Kot v \(1\) radianih je središčni kot v krogu, ki ga sega krožni lok, katerega dolžina je enaka polmeru kroga.

Torej, slika prikazuje kot \(\gamma \), ki je enak \(1 \) radianov, to pomeni, da ta kot leži na krožnem loku, katerega dolžina je enaka polmeru kroga (dolžina \( AB \) je enak dolžini \(BB" \) ali polmer \(r\) je enak dolžini loka \(l\)). Tako se dolžina loka izračuna po formuli:

\(l=\theta \cdot r\) , kjer je \(\theta \) središčni kot v radianih.

No, če to veste, ali lahko odgovorite, koliko radianov vsebuje kot, ki ga opisuje krog? Da, za to se morate spomniti formule za obseg. Tukaj je:

\(L=2\pi \cdot r\)

No, zdaj pa povežimo ti dve formuli in ugotovimo, da je kot, ki ga opisuje krog, enak \(2\pi \) . To pomeni, da s korelacijo vrednosti v stopinjah in radianih ugotovimo, da \(2\pi =360()^\circ \) . V skladu s tem \(\pi =180()^\circ \) . Kot lahko vidite, je za razliko od "stopinj" beseda "radian" izpuščena, saj je merska enota običajno razvidna iz konteksta.

Trigonometrične funkcije so elementarne funkcije, katerih argument je kotiček. Trigonometrične funkcije opisujejo razmerja med stranicami in ostrimi koti v pravokotnem trikotniku. Področja uporabe trigonometričnih funkcij so izjemno raznolika. Na primer, vse periodične procese lahko predstavimo kot vsoto trigonometričnih funkcij (Fourierjeva serija). Te funkcije se pogosto pojavljajo pri reševanju diferencialnih in funkcionalnih enačb.

Trigonometrične funkcije vključujejo naslednjih 6 funkcij: sinusov, kosinus, tangenta, kotangens, sekant in kosekans. Za vsako od teh funkcij obstaja inverzna trigonometrična funkcija.

Geometrično definicijo trigonometričnih funkcij je mogoče priročno uvesti z uporabo enotski krog. Spodnja slika prikazuje krog s polmerom r= 1. Na krožnici je točka M(x,y). Kot med radijskim vektorjem OM in pozitivno smerjo osi Ox enako α .

Sinus kota α l točke M(x,y) na polmer r: greh α = l/r. Zaradi r= 1, potem je sinus enak ordinati točke M(x,y).

Kosinus kota α x točke M(x,y) na polmer r:cos α = x/r = x

Tangenta kota α imenujemo ordinatno razmerje l točke M(x,y) na njeno absciso x: porjavelost α = l/x, x ≠ 0

Kotangens kota α imenovano abscisno razmerje x točke M(x,y) na svojo ordinato l:posteljica α = x/l, l ≠ 0

Sekant kota α − je razmerje polmera r na absciso x točke M(x,y):sek α = r/x = 1/x, x ≠ 0

Kosekans kota α − je razmerje polmera r na ordinato l točke M(x,y): cosec α = r/l = 1/l, l ≠ 0

V enotskem krogu projekcije x, l točke M(x,y) in polmer r tvorijo pravokotni trikotnik, v katerem x, y so noge in r− hipotenuza. Zato so zgornje definicije trigonometričnih funkcij, ki se uporabljajo za pravokotni trikotnik, oblikovane takole: Sinus kota α se imenuje razmerje med nasprotno stranjo in hipotenuzo. Kosinus kota α imenujemo razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo. Tangenta kota α imenovana nasprotna stran sosednji. Kotangens kota α se imenuje sosednja stran nasprotni strani.

Graf sinusne funkcije l= greh x, domena: x ∈ ℜ , obseg: −1 ≤ sin x ≤ 1

Graf kosinusne funkcije l=cos x, domena: x ∈ ℜ , območje: −1 ≤ cos x ≤ 1

Graf funkcije tangente l= ttg x, domena: x ∈ ℜ , x ≠ (2k + 1)π /2, območje: −∞< tg x < ∞

Graf funkcije kotangensa l=ctg x, domena: x ∈ ℜ , x ≠ kπ, obseg: −∞< ctg x < ∞

V tem članku bomo ugotovili razmerje med osnovnima enotama merjenja kotov - stopinjami in radiani. Ta povezava nam bo na koncu omogočila izvedbo pretvarjanje stopinj v radiane in nazaj. Da ti procesi ne bodo povzročali težav, bomo dobili formulo za pretvorbo stopinj v radiane in formulo za pretvorbo radianov v stopinje, nato pa bomo podrobno analizirali rešitve primerov.

Navigacija po straneh.

Razmerje med stopinjami in radiani

Povezava med stopinjami in radiani bo vzpostavljena, če sta znani tako stopinjska kot radianska mera kota (stopinjske in radianske mere kota najdete v razdelku).

Vzemimo središčni kot, ki temelji na premeru kroga s polmerom r. Mero tega kota lahko izračunamo v radianih: za to moramo dolžino loka deliti z dolžino polmera kroga. Ta kot ustreza dolžini loka, ki je enaka polovici obseg, to je . Če to dolžino delimo z dolžino polmera r, dobimo radiansko mero kota, ki smo ga vzeli. Naš kot je torej rad. Po drugi strani pa je ta kot razširjen, enak je 180 stopinj. Zato je pi radian 180 stopinj.

Torej, izraženo je s formulo π radianov = 180 stopinj, to je .

Formule za pretvorbo stopinj v radiane in radianov v stopinje

Iz enakosti oblike , ki smo jo dobili v prejšnjem odstavku, zlahka razberemo formule za pretvorbo radianov v stopinje in stopinj v radiane.

Če obe strani enakosti delimo s pi, dobimo formulo, ki izraža en radian v stopinjah: . Ta formula pomeni, da je stopinjska mera kota enega radiana enaka 180/π. Če zamenjamo levo in desno stran enakosti in nato obe strani delimo s 180, dobimo formulo oblike . Izraža eno stopinjo v radianih.

Da bi potešili našo radovednost, izračunajmo približno vrednost kota enega radiana v stopinjah in vrednost kota ene stopinje v radianih. Če želite to narediti, vzemite vrednost pi natančno na deset tisočink in jo nadomestite s formulami in in izvedite izračune. Imamo in . Torej je en radian približno enak 57 stopinjam, ena stopinja pa 0,0175 radianov.

Končno iz dobljenih relacij in Preidimo na formule za pretvorbo radianov v stopinje in obratno ter razmislimo tudi o primerih uporabe teh formul.

Formula za pretvorbo radianov v stopinje ima obliko: . Torej, če je znana vrednost kota v radianih, jo pomnožimo s 180 in delimo s pi, dobimo vrednost tega kota v stopinjah.

Primer.

Podan je kot 3,2 radiana. Kakšna je mera tega kota v stopinjah?

rešitev.

Uporabimo formulo za pretvorbo iz radianov v stopinje, ki jo imamo

odgovor:

.

Formula za pretvorbo stopinj v radiane izgleda kot . To pomeni, da če je vrednost kota v stopinjah znana, jo pomnožimo s pi in delimo s 180, dobimo vrednost tega kota v radianih. Poglejmo primer rešitve.