V ekonomiji, tako kot na drugih področjih človekovega delovanja ali v naravi, imamo nenehno opravka z dogodki, ki jih ni mogoče natančno predvideti. Obseg prodaje izdelka je torej odvisen od povpraševanja, ki je lahko zelo različno, in od vrste drugih dejavnikov, ki jih je skoraj nemogoče upoštevati. Zato je treba pri organizaciji proizvodnje in izvajanju prodaje napovedati izid tovrstnih aktivnosti na podlagi bodisi lastnih predhodnih izkušenj bodisi podobnih izkušenj drugih ljudi ali pa intuicije, ki se v veliki meri opira tudi na eksperimentalne podatke.
Da bi zadevni dogodek nekako ovrednotili, je treba upoštevati oziroma posebej organizirati pogoje, v katerih je ta dogodek zabeležen.
Imenuje se izvajanje določenih pogojev ali dejanj za identifikacijo zadevnega dogodka izkušnje oz poskus.
Dogodek se imenuje naključen, če se zaradi izkušenj lahko pojavi ali ne.
Dogodek se imenuje zanesljiv, če se nujno pojavi kot posledica dane izkušnje, in nemogoče, če se ne more pojaviti v tej izkušnji.
Na primer, sneženje v Moskvi 30. novembra je naključen dogodek. Dnevni sončni vzhod lahko štejemo za zanesljiv dogodek. Sneženje na ekvatorju lahko štejemo za nemogoč dogodek.
Ena glavnih nalog v teoriji verjetnosti je naloga določitve kvantitativne mere možnosti, da se dogodek zgodi.
Algebra dogodkov
Dogodki se imenujejo nekompatibilni, če jih ni mogoče opazovati skupaj v isti izkušnji. Tako sta prisotnost dveh in treh avtomobilov v eni trgovini za prodajo hkrati dva nezdružljiva dogodka.
Znesek dogodki so dogodki, ki sestojijo iz pojava vsaj enega od teh dogodkov
Primer vsote dogodkov je prisotnost vsaj enega od dveh izdelkov v trgovini.
Delo dogodki so dogodki, sestavljeni iz hkratnega pojava vseh teh dogodkov
Dogodek, ki ga sestavlja pojav dveh izdelkov v trgovini hkrati, je produkt dogodkov: - pojav enega izdelka, - pojav drugega izdelka.
Dogodki tvorijo popolno skupino dogodkov, če se bo vsaj eden od njih zagotovo zgodil v izkušnji.
Primer. Pristanišče ima dva priveza za sprejem ladij. Upoštevajo se trije dogodki: - odsotnost ladij na privezih, - prisotnost ene ladje na enem od privezov, - prisotnost dveh ladij na dveh privezih. Ti trije dogodki tvorijo popolno skupino dogodkov.
Nasproti imenujemo dva edinstvena možna dogodka, ki tvorita popolno skupino.
Če je eden od dogodkov, ki je nasproten, označen z , potem je nasprotni dogodek običajno označen z .
Klasične in statistične definicije verjetnosti dogodka
Vsak od enako možnih rezultatov testov (eksperimentov) se imenuje elementarni izid. Običajno so označeni s črkami. Na primer, vržena je kocka. Glede na število točk na straneh je lahko skupaj šest osnovnih izidov.
Iz osnovnih rezultatov lahko ustvarite bolj zapleten dogodek. Tako je dogodek sodega števila točk določen s tremi izidi: 2, 4, 6.
Kvantitativno merilo možnosti nastanka zadevnega dogodka je verjetnost.
Najpogosteje uporabljene definicije verjetnosti dogodka so: klasična in statistični.
Klasična definicija verjetnosti je povezana s konceptom ugodnega izida.
Izid se imenuje ugodno danemu dogodku, če njegov pojav povzroči pojav tega dogodka.
V zgornjem primeru ima zadevni dogodek – sodo število točk na zavrteni strani – tri ugodne izide. V tem primeru general
število možnih rezultatov. To pomeni, da tukaj lahko uporabimo klasično definicijo verjetnosti dogodka.
Klasična definicija je enako razmerju med številom ugodnih izidov in skupnim številom možnih izidov
kjer je verjetnost dogodka, je število izidov, ki so ugodni za dogodek, je skupno število možnih izidov.
V obravnavanem primeru
Statistična definicija verjetnosti je povezana s konceptom relativne pogostosti pojavljanja dogodka v poskusih.
Relativno pogostost pojavljanja dogodka izračunamo po formuli
kjer je število pojavitev dogodka v nizu eksperimentov (testov).
Statistična definicija. Verjetnost dogodka je število, okoli katerega se relativna frekvenca stabilizira (nastavi) z neomejenim povečevanjem števila poskusov.
V praktičnih problemih je verjetnost dogodka vzeta kot relativna frekvenca za dovolj veliko število poskusov.
Iz teh definicij verjetnosti dogodka je jasno, da je neenakost vedno izpolnjena
Za določitev verjetnosti dogodka na podlagi formule (1.1) se pogosto uporabljajo kombinatorične formule, s katerimi se ugotovi število ugodnih izidov in skupno število možnih izidov.
pri Pri ocenjevanju verjetnosti pojava katerega koli naključnega dogodka je zelo pomembno, da dobro razumemo, ali je verjetnost () pojava dogodka, ki nas zanima, odvisna od tega, kako se razvijajo drugi dogodki.
V primeru klasične sheme, ko so vsi izidi enako verjetni, lahko že samostojno ocenimo vrednosti verjetnosti posameznega dogodka, ki nas zanima. To lahko storimo tudi, če je dogodek kompleksna zbirka več osnovnih izidov. Kaj pa, če se več naključnih dogodkov zgodi istočasno ali zaporedoma? Kako to vpliva na verjetnost, da se zgodi dogodek, ki nas zanima?
Če večkrat vržem kocko in želim, da se izkaže šestica, in se mi kar naprej ne posreči, ali to pomeni, da bi moral povečati stavo, ker se mi bo po teoriji verjetnosti kmalu posrečilo? Žal, teorija verjetnosti ne trdi česa takega. Brez kock, brez kart, brez kovancev ne spomnim se kar so nam zadnjič pokazali. Popolnoma vseeno jim je, ali danes preizkušam svojo srečo prvič ali desetič. Vsakič, ko ponovim met, vem samo eno: in tokrat je verjetnost, da dobim šestico, spet ena šestina. Seveda to ne pomeni, da številka, ki jo potrebujem, ne bo nikoli prišla. To samo pomeni, da sta moj poraz po prvem metu in po vseh drugih metih neodvisna dogodka.
Dogodka A in B se imenujeta neodvisen, če izvedba enega od njih nikakor ne vpliva na verjetnost drugega dogodka. Na primer, verjetnosti zadetka tarče s prvim od dveh orožij niso odvisne od tega, ali je tarčo zadelo drugo orožje, zato sta dogodka »prvo orožje zadelo tarčo« in »drugo orožje zadelo tarčo« neodvisen.
Če sta dva dogodka A in B neodvisna in je verjetnost vsakega od njiju znana, potem lahko verjetnost hkratnega pojava dogodka A in dogodka B (označeno z AB) izračunamo z uporabo naslednjega izreka.
Teorem o množenju verjetnosti za neodvisne dogodke
P(AB) = P(A)*P(B)- verjetnost istočasno nastop dveh neodvisen dogodkov je enako delo verjetnosti teh dogodkov.Primer.Verjetnosti zadetka tarče pri streljanju s prvo in drugo puško sta enaki: p 1 =0,7; p 2 =0,8. Poiščite verjetnost zadetka z enim salvom z obema puškama hkrati.
rešitev: kot smo že videli, sta dogodka A (zadetek s prvo puško) in B (zadetek z drugo puško) neodvisna, tj. P(AB)=P(A)*P(B)=p 1 *p 2 =0,56.
Kaj se zgodi z našimi ocenami, če začetni dogodki niso neodvisni? Malce spremenimo prejšnji primer.
Primer.Dva strelca na tekmovanju streljata na tarče in če eden od njiju strelja natančno, začne nasprotnik postajati nervozen in se njegov rezultat slabša. Kako to vsakodnevno situacijo spremeniti v matematični problem in začrtati načine za njegovo rešitev? Intuitivno je jasno, da je treba nekako ločiti dve možnosti za razvoj dogodkov, v bistvu ustvariti dva scenarija, dve različni nalogi. V prvem primeru, če je nasprotnik zgrešil, bo scenarij ugoden za nervoznega športnika in njegova natančnost bo večja. V drugem primeru, če je nasprotnik dostojno izkoristil svojo priložnost, se verjetnost zadetka tarče za drugega športnika zmanjša.
Za ločevanje možnih scenarijev (pogosto imenovanih hipoteze) za razvoj dogodkov bomo pogosto uporabljali diagram "drevo verjetnosti". Ta diagram je po pomenu podoben odločitvenemu drevesu, s katerim ste verjetno že imeli opravka. Vsaka veja predstavlja ločen scenarij za razvoj dogodkov, le da ima zdaj svoj pomen t.i pogojno verjetnosti (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).
Ta shema je zelo priročna za analizo zaporednih naključnih dogodkov.
Treba je razjasniti še eno pomembno vprašanje: od kod izvirajo začetne vrednosti verjetnosti? resnične situacije ? Navsezadnje teorija verjetnosti ne deluje samo s kovanci in kockami? Običajno so te ocene vzete iz statistike, in kadar statistični podatki niso na voljo, izvedemo lastno raziskavo. In pogosto ga moramo začeti ne z zbiranjem podatkov, temveč z vprašanjem, katere informacije pravzaprav potrebujemo.
Primer.Recimo, da moramo v mestu s sto tisoč prebivalci oceniti obseg trga za nov izdelek, ki ni bistvenega pomena, na primer za balzam za nego barvanih las. Oglejmo si diagram "drevo verjetnosti". V tem primeru moramo približno oceniti vrednost verjetnosti na vsaki »veji«. Torej, naše ocene tržne zmogljivosti:
1) od vseh prebivalcev mesta je 50% žensk,
2) od vseh žensk si jih le 30 % pogosto barva lase,
3) od njih jih le 10% uporablja balzame za barvane lase,
4) od njih jih le 10 % zbere pogum in preizkusi nov izdelek,
5) 70% jih običajno ne kupi vse od nas, ampak od naših konkurentov.
rešitev: Po zakonu množenja verjetnosti določimo verjetnost dogodka, ki nas zanima A = (meščan pri nas kupi ta novi balzam) = 0,00045.
Pomnožimo to vrednost verjetnosti s številom prebivalcev mesta. Posledično imamo le 45 potencialnih kupcev in glede na to, da ena steklenička tega izdelka zadostuje za več mesecev, trgovina ni ravno živahna.
In vendar je nekaj koristi od naših ocen.
Prvič, lahko primerjamo napovedi različnih poslovnih idej, v diagramih bodo imele različne "vilice", seveda pa bodo tudi vrednosti verjetnosti različne.
Drugič, kot smo že povedali, se naključna spremenljivka ne imenuje naključna, ker sploh ni odvisna od ničesar. Samo ona natančen pomen ni vnaprej znan. Vemo, da lahko povprečno število kupcev povečamo (na primer z oglaševanjem novega izdelka). Zato se je smiselno osredotočiti na tiste »vilice«, kjer nam porazdelitev verjetnosti ne ustreza posebej, na tiste dejavnike, na katere lahko vplivamo.
Poglejmo še en kvantitativni primer raziskave vedenja potrošnikov.
Primer.Živilsko tržnico v povprečju obišče 10.000 ljudi na dan. Verjetnost, da obiskovalec tržnice vstopi v paviljon mlečnih izdelkov, je 1/2. Znano je, da se v tem paviljonu dnevno proda povprečno 500 kg različnih izdelkov.
Ali lahko rečemo, da povprečen nakup v paviljonu tehta le 100 g?
Diskusija. Seveda ne. Jasno je, da niso vsi, ki so vstopili v paviljon, tam nekaj kupili.
Kot je razvidno iz diagrama, moramo za odgovor na vprašanje o povprečni teži nakupa najti odgovor na vprašanje, kakšna je verjetnost, da bo oseba, ki vstopi v paviljon, tam nekaj kupila. Če s temi podatki ne razpolagamo, pa jih potrebujemo, jih bomo morali pridobiti sami z nekaj časa opazovanjem obiskovalcev paviljona. Recimo naša opazovanja so pokazala, da nekaj kupi le petina obiskovalcev paviljona.
Ko pridobimo te ocene, postane naloga preprosta. Od 10.000 ljudi, ki pridejo na tržnico, jih bo šlo 5000 v paviljon mlečnih izdelkov, povprečna teža nakupa je 500 gramov. Zanimivo je omeniti, da je za izgradnjo popolne slike dogajanja treba logiko pogojnega "razvejanja" definirati na vsaki stopnji našega razmišljanja tako jasno, kot če bi delali s "specifično" situacijo, in ne z verjetnostmi.
Naloge za samotestiranje
1. Naj obstaja električni krog, sestavljen iz n zaporedno povezanih elementov, od katerih vsak deluje neodvisno od drugih.
Znana je verjetnost p okvare vsakega elementa. Določite verjetnost pravilnega delovanja celotnega odseka vezja (dogodek A).
2. Študent zna 20 od 25 izpitnih vprašanj. Poiščite verjetnost, da študent pozna tri vprašanja, ki mu jih je dal izpraševalec.
3. Proizvodnja je sestavljena iz štirih zaporednih stopenj, v vsaki od katerih deluje oprema, za katero so verjetnosti okvare v naslednjem mesecu enake p 1, p 2, p 3 in p 4. Poiščite verjetnost, da v enem mesecu ne bo nobenih zaustavitev proizvodnje zaradi okvare opreme.
verjetnost- število med 0 in 1, ki odraža možnosti, da se naključni dogodek zgodi, pri čemer je 0 popolna odsotnost verjetnosti, da bi se dogodek zgodil, 1 pa pomeni, da se bo zadevni dogodek zagotovo zgodil.
Verjetnost dogodka E je število od do 1.
Vsota verjetnosti medsebojno izključujočih se dogodkov je enaka 1.
empirična verjetnost- verjetnost, ki se izračuna kot relativna pogostost dogodka v preteklosti, pridobljena iz analize zgodovinskih podatkov.
Verjetnosti zelo redkih dogodkov ni mogoče izračunati empirično.
subjektivna verjetnost- verjetnost na podlagi osebne subjektivne ocene dogodka brez upoštevanja zgodovinskih podatkov. Vlagatelji, ki se odločajo za nakup in prodajo delnic, pogosto ravnajo na podlagi premislekov subjektivne verjetnosti.
predhodna verjetnost -
Možnost je 1 v... (kvota), da se bo dogodek zgodil skozi koncept verjetnosti. Možnost, da se zgodi dogodek, je izražena z verjetnostjo na naslednji način: P/(1-P).
Na primer, če je verjetnost dogodka 0,5, potem je možnost dogodka 1 od 2, ker 0,5/(1-0,5).
Možnost, da se dogodek ne zgodi, se izračuna po formuli (1-P)/P
Nedosledna verjetnost- cena delnic družbe A na primer upošteva morebitni dogodek E 85 %, cena delnic družbe B pa le 50 %. To se imenuje nedosledna verjetnost. V skladu z nizozemskim stavnim izrekom nedosledna verjetnost ustvarja priložnosti za dobiček.
Brezpogojna verjetnost je odgovor na vprašanje "Kakšna je verjetnost, da se dogodek zgodi?"
Pogojna verjetnost- to je odgovor na vprašanje: "Kakšna je verjetnost dogodka A, če pride do dogodka B." Pogojna verjetnost je označena kot P(A|B).
Skupna verjetnost- verjetnost, da se bosta dogodka A in B zgodila hkrati. Označeno kot P(AB).
P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)
P(AB) = P(A|B)*P(B)
Pravilo za seštevanje verjetnosti:
Verjetnost, da se zgodi dogodek A ali dogodek B, je
P (A ali B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)
Če se dogodka A in B medsebojno izključujeta, potem
P (A ali B) = P(A) + P(B)
Neodvisni dogodki- dogodka A in B sta neodvisna, če
P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)
To pomeni, da je zaporedje rezultatov, kjer je vrednost verjetnosti konstantna od enega dogodka do drugega.
Met kovanca je primer takega dogodka – rezultat vsakega naslednjega meta ni odvisen od rezultata prejšnjega.
Odvisni dogodki- to so dogodki, kjer je verjetnost nastanka enega odvisna od verjetnosti nastopa drugega.
Pravilo za množenje verjetnosti neodvisnih dogodkov:
Če sta dogodka A in B neodvisna, potem
P(AB) = P(A) * P(B) (3)
Pravilo skupne verjetnosti:
P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)
S in S" sta dogodka, ki se med seboj izključujeta
pričakovana vrednost naključna spremenljivka je povprečje možnih rezultatov naključne spremenljivke. Za dogodek X je pričakovanje označeno kot E(X).
Recimo, da imamo 5 vrednosti medsebojno izključujočih se dogodkov z določeno verjetnostjo (na primer, dohodek podjetja je bil tak in tak znesek s takšno verjetnostjo). Matematično pričakovanje bo vsota vseh izidov, pomnožena z njihovo verjetnostjo:
Disperzija naključne spremenljivke je pričakovanje kvadratnih odklonov naključne spremenljivke od njenega pričakovanja:
s 2 = E( 2 ) (6)
Pogojna pričakovana vrednost je pričakovana vrednost slučajne spremenljivke X, če se je dogodek S že zgodil.
Torej, pogovorimo se o temi, ki zanima veliko ljudi. V tem članku bom odgovoril na vprašanje, kako izračunati verjetnost dogodka. Podal bom formule za tak izračun in več primerov, da bo bolj jasno, kako se to naredi.
Kaj je verjetnost
Začnimo z dejstvom, da je verjetnost, da se bo ta ali oni dogodek zgodil, določena mera zaupanja v morebitni pojav nekega rezultata. Za ta izračun je bila razvita formula skupne verjetnosti, ki vam omogoča, da s tako imenovanimi pogojnimi verjetnostmi ugotovite, ali se bo dogodek, ki vas zanima, zgodil ali ne. Ta formula izgleda takole: P = n/m, črke se lahko spreminjajo, vendar to ne vpliva na samo bistvo.
Primeri verjetnosti
Na preprostem primeru analizirajmo to formulo in jo uporabimo. Recimo, da imate določen dogodek (P), naj bo to met kocke, torej enakostranična kocka. In izračunati moramo, kakšna je verjetnost, da dobimo 2 točki. Če želite to narediti, potrebujete število pozitivnih dogodkov (n), v našem primeru - izgubo 2 točk, za skupno število dogodkov (m). Met 2 točk se lahko zgodi samo v enem primeru, če sta na kocki 2 točki, saj bo v nasprotnem primeru vsota večja, iz tega sledi, da je n = 1. Nato preštejemo število metov poljubnih drugih števil na kocki. kock, na 1 kocko - to so 1, 2, 3, 4, 5 in 6, torej je 6 ugodnih primerov, to je m = 6. Zdaj s formulo naredimo preprost izračun P = 1/ 6 in ugotovimo, da je met 2 točk na kocki 1/6, kar pomeni, da je verjetnost dogodka zelo majhna.
Oglejmo si tudi primer barvnih kroglic, ki so v škatli: 50 belih, 40 črnih in 30 zelenih. Določiti morate, kakšna je verjetnost, da boste izvlekli zeleno kroglico. In tako, ker je kroglic te barve 30, kar pomeni, da je lahko le 30 pozitivnih dogodkov (n = 30), je število vseh dogodkov 120, m = 120 (glede na skupno število vseh kroglic), z uporabo formule izračunamo, da bo verjetnost, da izvlečemo zeleno kroglico, enaka P = 30/120 = 0,25, to je 25 % od 100. Na enak način lahko izračunamo verjetnost, da izvlečemo kroglico drugačna barva (črna bo 33%, bela 42%).
Potreba po ukrepanju na podlagi verjetnosti se pojavi, ko so verjetnosti nekaterih dogodkov znane in je treba izračunati verjetnosti drugih dogodkov, ki so povezani s temi dogodki.
Seštevanje verjetnosti se uporablja, ko morate izračunati verjetnost kombinacije ali logične vsote naključnih dogodkov.
Seštevek dogodkov A in B označujejo A + B oz A ∪ B. Vsota dveh dogodkov je dogodek, ki se zgodi, če in samo če se zgodi vsaj eden od dogodkov. To pomeni, da A + B– dogodek, ki se zgodi, če in samo, če se je dogodek zgodil med opazovanjem A ali dogodek B, ali hkrati A in B.
Če dogodki A in B so medsebojno neskladni in so podane njihove verjetnosti, nato pa se z seštevanjem verjetnosti izračuna verjetnost, da se bo eden od teh dogodkov zgodil kot rezultat enega poskusa.
Verjetnostni adicijski izrek. Verjetnost, da se bo zgodil eden od dveh medsebojno nezdružljivih dogodkov, je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov:
Na primer, med lovom se izstrelita dva strela. Dogodek A– zadetek race s prvim strelom, dogodek IN– zadetek iz drugega strela, dogodek ( A+ IN) – zadetek iz prvega ali drugega strela ali iz dveh strelov. Torej, če dva dogodka A in IN– nezdružljivi dogodki, torej A+ IN– pojav vsaj enega od teh dogodkov ali dveh dogodkov.
Primer 1. V škatli je 30 kroglic enake velikosti: 10 rdečih, 5 modrih in 15 belih. Izračunajte verjetnost, da bo barvna (ne bela) žoga pobrana brez pogleda.
rešitev. Predpostavimo, da dogodek A- "rdeča žoga je prevzeta" in dogodek IN- "Modra žoga je bila vzeta." Nato je dogodek "vzeta barvna (ne bela) žoga." Poiščimo verjetnost dogodka A:
in dogodki IN:
Dogodki A in IN– medsebojno nezdružljivi, saj če je vzeta ena žoga, potem je nemogoče vzeti žoge različnih barv. Zato uporabljamo seštevanje verjetnosti:
Izrek za seštevanje verjetnosti za več nekompatibilnih dogodkov.Če dogodki sestavljajo popoln niz dogodkov, potem je vsota njihovih verjetnosti enaka 1:
Tudi vsota verjetnosti nasprotnih dogodkov je enaka 1:
Nasprotni dogodki tvorijo popoln niz dogodkov, verjetnost popolnega niza dogodkov pa je 1.
Verjetnosti nasprotnih dogodkov so običajno označene z malimi črkami str in q. Še posebej,
iz katerega sledijo naslednje formule za verjetnost nasprotnih dogodkov:
Primer 2. Tarča na strelišču je razdeljena na 3 cone. Verjetnost, da bo določen strelec streljal na tarčo v prvi coni je 0,15, v drugi coni – 0,23, v tretji coni – 0,17. Poiščite verjetnost, da bo strelec zadel tarčo, in verjetnost, da bo strelec zgrešil tarčo.
Rešitev: Poiščite verjetnost, da bo strelec zadel tarčo:
Poiščimo verjetnost, da bo strelec zgrešil tarčo:
Zapletenejše naloge, pri katerih morate uporabiti tako seštevanje kot množenje verjetnosti, najdete na strani "Različne naloge seštevanja in množenja verjetnosti".
Seštevanje verjetnosti medsebojno sočasnih dogodkov
Dva naključna dogodka imenujemo skupna, če pojav enega dogodka ne izključuje pojava drugega dogodka v istem opazovanju. Na primer pri metanju kocke AŠtevilo 4 se šteje za uvedeno in dogodek IN– valjanje sodega števila. Ker je 4 sodo število, sta ta dva dogodka združljiva. V praksi se pojavljajo težave pri izračunavanju verjetnosti nastopa enega od medsebojno sočasnih dogodkov.
Verjetnostni adicijski izrek za skupne dogodke. Verjetnost, da se bo zgodil eden od skupnih dogodkov, je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov, od katere se odšteje verjetnost skupnega nastopa obeh dogodkov, to je produkt verjetnosti. Formula za verjetnost skupnih dogodkov ima naslednjo obliko:
Od dogodkov A in IN kompatibilen, dogodek A+ IN se zgodi, če se zgodi eden od treh možnih dogodkov: oz AB. Po izreku seštevanja nekompatibilnih dogodkov izračunamo takole:
Dogodek A se zgodi, če se zgodi eden od dveh nezdružljivih dogodkov: ali AB. Vendar pa je verjetnost pojava enega dogodka iz več nezdružljivih dogodkov enaka vsoti verjetnosti vseh teh dogodkov:
Enako:
Z zamenjavo izrazov (6) in (7) v izraz (5) dobimo verjetnostno formulo skupnih dogodkov:
Pri uporabi formule (8) je treba upoštevati, da dogodki A in IN je lahko:
- medsebojno neodvisni;
- medsebojno odvisni.
Verjetnostna formula za med seboj neodvisne dogodke:
Verjetnostna formula za medsebojno odvisne dogodke:
Če dogodki A in IN so nedosledni, potem je njihovo sovpadanje nemogoč primer in tako p(AB) = 0. Četrta verjetnostna formula za nezdružljive dogodke je:
Primer 3. Pri avtomobilskih dirkah imate boljše možnosti za zmago, ko vozite prvi avto, in ko vozite drugi avto. Najti:
- verjetnost, da bosta zmagala oba avtomobila;
- verjetnost, da bo zmagal vsaj en avto;
1) Verjetnost, da prvi avto zmaga, ni odvisna od rezultata drugega avtomobila, zato dogodki A(zmaga prvi avto) in IN(zmaga drugi avto) – neodvisni dogodki. Poiščimo verjetnost, da oba avtomobila zmagata:
2) Poiščite verjetnost, da bo zmagal eden od obeh avtomobilov:
Zapletenejše naloge, pri katerih morate uporabiti tako seštevanje kot množenje verjetnosti, najdete na strani "Različne naloge seštevanja in množenja verjetnosti".
Sami rešite problem seštevanja verjetnosti in si nato oglejte rešitev
Primer 4. Vržena sta dva kovanca. Dogodek A- izguba grba na prvem kovancu. Dogodek B- izguba grba na drugem kovancu. Poiščite verjetnost dogodka C = A + B .
Množenje verjetnosti
Množenje verjetnosti se uporablja, ko je treba izračunati verjetnost logičnega produkta dogodkov.
V tem primeru morajo biti naključni dogodki neodvisni. Za dva dogodka pravimo, da sta med seboj neodvisna, če nastop enega dogodka ne vpliva na verjetnost nastopa drugega dogodka.
Teorem o množenju verjetnosti za neodvisne dogodke. Verjetnost hkratnega pojava dveh neodvisnih dogodkov A in IN je enak produktu verjetnosti teh dogodkov in se izračuna po formuli:
Primer 5. Kovanec se vrže trikrat zapored. Poiščite verjetnost, da se bo grb pojavil vse trikrat.
rešitev. Verjetnost, da se bo grb pojavil ob prvem metu kovanca, drugič in tretjič. Poiščimo verjetnost, da se bo grb pojavil vse trikrat:
Sami rešite naloge verjetnostnega množenja in si nato oglejte rešitev
Primer 6. Tam je škatla z devetimi novimi teniškimi žogicami. Za igro se vzamejo tri žoge, ki se po igri vrnejo nazaj. Pri izbiri žog se igrane žoge ne ločijo od neigranih. Kolikšna je verjetnost, da po treh igrah v polju ne bo več nobene neodigrane žogice?
Primer 7. Na izrezanih abecednih kartah je napisanih 32 črk ruske abecede. Pet kart se naključno izvleče eno za drugo in jih položi na mizo po vrstnem redu. Poiščite verjetnost, da bodo črke tvorile besedo "konec".
Primer 8. Iz polnega kompleta kart (52 listov) se naenkrat vzamejo štiri karte. Poiščite verjetnost, da bodo vse te štiri karte različnih barv.
Primer 9. Ista naloga kot v primeru 8, vendar se vsaka karta po odstranitvi vrne v komplet.
Zapletenejše naloge, pri katerih morate uporabiti tako seštevanje kot množenje verjetnosti ter izračunati zmnožek več dogodkov, najdete na strani "Različne naloge seštevanja in množenja verjetnosti".
Verjetnost, da se zgodi vsaj eden od medsebojno neodvisnih dogodkov, lahko izračunamo tako, da od 1 odštejemo produkt verjetnosti nasprotnih dogodkov, to je po formuli:
Primer 10. Tovor se dostavlja s tremi vrstami transporta: rečnim, železniškim in cestnim. Verjetnost, da bo tovor dostavljen z rečnim transportom, je 0,82, z železnico 0,87, s cestnim prometom 0,90. Poiščite verjetnost, da bo tovor dostavljen z vsaj enim od treh načinov prevoza.
