Dve sliki z enakim volumnom se imenujeta enako veliki. Enake in enake figure

VIII razred: Tema 3. Površine likov. Pitagorov izrek.

1. Pojem območja. Enako velike figure.

Če je dolžina numerična značilnost premice, potem je ploščina numerična značilnost sklenjene figure. Kljub temu, da pojem območja dobro poznamo iz vsakdanjega življenja, ni lahko podati stroge definicije tega pojma. Izkazalo se je, da lahko območje zaprte figure imenujemo katera koli nenegativna količina, ki ima naslednje lastnosti merjenja površin likov:

Enake figure imajo enake ploščine. Če je dana zaprta figura razdeljena na več zaprtih figur, potem je površina figure enaka vsoti površin njenih sestavnih figur (slika na sliki 1 je razdeljena na n figure; v tem primeru območje figure, kjer Si- kvadrat jaz-ta slika).

Načeloma bi bilo mogoče pripraviti nabor količin, ki imajo formulirane lastnosti in zato označujejo območje figure. Toda najbolj znana in priročna vrednost je tista, ki označuje površino kvadrata kot kvadrat njegove strani. Imenujmo to "sporazum" tretjo lastnost merjenja površin figur:

Površina kvadrata je enaka kvadratu njegove stranice (slika 2).

S to definicijo se površina figur meri v kvadratnih enotah ( cm 2, km 2, ha=100m 2).

Številke z enakimi površinami se imenujejo enake velikosti .

komentar: Enake figure imajo enake ploščine, to pomeni, da so enake figure enako velike. Vendar enake figure niso vedno enake (na primer, slika 3 prikazuje kvadrat in enakokraki trikotnik, sestavljena iz enakih pravokotnih trikotnikov (mimogrede, tak figure klical enako sestavljeni ); jasno je, da sta kvadrat in trikotnik enaka po velikosti, nista pa enaka, saj se ne prekrivata).

Nato bomo izpeljali formule za izračun površin vseh glavnih vrst poligonov (vključno z dobro znano formulo za iskanje površine pravokotnika), ki temelji na formuliranih lastnostih merjenja površin figur.

2. Območje pravokotnika. Območje paralelograma.

Formula za izračun površine pravokotnika: Površina pravokotnika je enaka zmnožku njegovih dveh sosednjih strani (slika 4).

podano:

ABCD- pravokotnik;

AD=a, AB=b.

Dokaži: SABCD=a× b.

Dokaz:

1. Razširite stran AB za segment B.P.=a, in stran AD- za segment D.V.=b. Zgradimo paralelogram OPR(Slika 4). Ker je Ð A=90°, OPR- pravokotnik. pri čemer AP=a+b=AV, Þ OPR– kvadrat s stranico ( a+b).

2. Označimo B.C.Ç avtodom=T, CDÇ PR=Q. Potem BCQP– kvadrat s stranico a, CDVT– kvadrat s stranico b, CQRT- pravokotnik s stranicami a in b.

Formula za izračun površine paralelograma: Površina paralelograma je enaka zmnožku njegove višine in osnove (slika 5).

komentar: Osnova paralelograma se navadno imenuje stran, na katero je narisana višina; Jasno je, da lahko katera koli stran paralelograma služi kot osnova.

podano:

ABCD– p/g;

B.H.^AD, HÎ AD.

Dokaži: SABCD=AD× B.H..

Dokaz:

1. Vzemimo ga v bazo AD višina CF(Slika 5).

2. B.C.ïê HF, B.H.ïê CF, Þ BCFH- p/g po definiciji. Ð H=90°, Þ BCFH- pravokotnik.

3. BCFH– p/g, Þ glede na lastnost p/g B.H.=CF, Þ D BAH=D CDF vzdolž hipotenuze in noge ( AB=CD po St. p/g, B.H.=CF).

4. SABCD=SABCF+S D CDF=SABCF+S D BAH=SBCFH=B.H.× B.C.=B.H.× AD. #

3. Območje trikotnika.

Formula za izračun površine trikotnika: Površina trikotnika je enaka polovici zmnožka njegove višine in osnove (slika 6).

komentar: V tem primeru je osnova trikotnika stranica, na katero je narisana nadmorska višina. Za osnovo lahko služi katera koli od treh strani trikotnika.

podano:

BD^A.C., DÎ A.C..

Dokaži: .

Dokaz:

1. Dopolnimo D ABC do p/y ABKC s prehodom skozi vrh B naravnost B.K.ïê A.C., in skozi vrh C- naravnost CKïê AB(Slika 6).

2. D ABC=D KCB na tri strani ( B.C.– splošno, AB=KC in A.C.=K.B. po St. p/g), Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_34.gif" width="107" height="36">).

Posledica 2: Če upoštevamo p/u D ABC z višino A.H., narisano na hipotenuzo B.C., to . torej v p/u Višina D-ke, potegnjena na hipotenuzo, je enaka razmerju produkta njegovih nog na hipotenuzo . Ta relacija se pogosto uporablja pri reševanju problemov.

4. Posledice iz formule za iskanje površine trikotnika: razmerje površin trikotnikov z enakimi višinami ali osnovami; enaki trikotniki v številkah; lastnost ploščin trikotnikov, ki jih tvorijo diagonale konveksnega štirikotnika.

Iz formule za izračun površine trikotnika na elementarni način sledita dve posledici:

1. Razmerje ploščin enakih višin trikotnikov enaka razmerju njihovih baz (na sliki 8 ).

2. Razmerje ploščin trikotnikov z enakimi osnovami enaka razmerju njihovih višin (na sliki 9 ).

komentar: Pri reševanju nalog se zelo pogosto srečujemo s trikotniki s skupno višino. V tem primeru njihove baze praviloma ležijo na isti ravni črti, vrh nasproti bazam pa je skupen (na primer na sliki 10 S 1:S 2:S 3=a:b:c). Naučiti se morate videti skupno višino takih trikotnikov.

Tudi formula za izračun površine trikotnika daje uporabna dejstva, ki vam omogočajo, da najdete enaki trikotniki v slikah:

1. Mediana poljubnega trikotnika ga deli na dva enaka trikotnika (na sliki 11 pri D A.B.M. in D ACM višina A.H.– splošno in razlogi B.M. in C.M. enako po definiciji mediane; iz tega sledi, da D A.B.M. in D ACM enake velikosti).

2. Diagonale paralelograma delijo na štiri enake trikotnike (na sliki 12 A.O.– mediana trikotnika ABD z lastnostjo diagonal p/g, Þ zaradi prejšnjih lastnosti trikotnikov ABO in ADO enake velikosti; Ker B.O.– mediana trikotnika ABC, trikotniki ABO in BCO enake velikosti; Ker CO– mediana trikotnika BCD, trikotniki BCO in DCO enake velikosti; torej S D ADO=S D ABO=S D BCO=S D DCO).

3. Diagonale trapeza delijo na štiri trikotnike; dva od njih, ki mejita na stranske stranice, sta enake velikosti (Slika 13).

podano:

ABCD- trapez;

B.C.ïê AD; A.C.Ç BD=O.

Dokaži: S D ABO=S D DCO.

Dokaz:

1. Narišimo višine B.F. in CH(Slika 13). Potem D ABD in D ACD osnova AD– splošno in viš B.F. in CH enaka; Þ S D ABD=S D ACD.

2. S D ABO=S D ABD ‑ S D AOD=S D ACD ‑ S D AOD=S D DCO. #

Če narišemo diagonali konveksnega štirikotnika (slika 14), nastanejo štirje trikotniki, katerih ploščine so povezane z razmerjem, ki si ga lahko zapomnimo. Izpeljava tega razmerja se opira izključno na formulo za izračun površine trikotnika; vendar ga v literaturi najdemo precej redko. Relacija, ki bo formulirana in dokazana spodaj, je uporabna pri reševanju problemov in si zasluži veliko pozornosti:

Lastnost ploščin trikotnikov, ki jih tvorijo diagonale konveksnega štirikotnika: Če diagonali konveksnega štirikotnika ABCD sekajo v točki O, potem (slika 14).

ABCD– konveksni štirikotnik;

https://pandia.ru/text/78/214/images/image025_28.gif" width="149" height="20">.

Dokaz:

1. B.F.– skupna višina D AOB in D BOC; Þ S D AOB:S D BOC=A.O.:CO.

2. D.H.– skupna višina D AOD in D C.O.D.; Þ S D AOD:S D C.O.D.=A.O.:CO.

5. Razmerje ploščin trikotnikov z enakimi koti.

Izrek o razmerju ploščin trikotnikov z enakimi koti: Ploščine trikotnikov, ki imajo enake kote, se med seboj razlikujejo kot zmnožki stranic, ki te kote oklepajo (slika 15).

dano:

D ABC,D A 1B 1C 1;

Ð BAC=Ð B 1A 1C 1.

Dokaži:

.

Dokaz:

1. Položite ga na žarek AB odsek črte AB 2=A 1B 1, in na žarku A.C.- odsek črte A.C. 2=A 1C 1 (slika 15). Potem D AB 2C 2=D A 1B 1C 1 na dveh stranicah in kot med njima ( AB 2=A 1B 1 in A.C. 2=A 1C 1 po konstrukciji in Р B 2A.C. 2=р B 1A 1C 1 glede na pogoje). Pomeni,.

2. Povežite pike C in B 2.

3. CH– skupna višina D AB 2C in D ABC, Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image033_22.gif" width="81" height="43 src=">.

6. Lastnost simetrale trikotnika.

Z izrekoma o razmerju ploščin trikotnikov z enakimi koti in o razmerju ploščin trikotnikov z enakimi višinami preprosto dokažemo dejstvo, ki je izjemno uporabno pri reševanju problemov in ni neposredno povezano s ploščinami likov :

Lastnost simetrale trikotnika: Simetrala trikotnika deli stranico, na katero je narisan, na segmente, sorazmerne s stranicami, ki mejijo nanje.

podano:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image036_22.gif" width="61" height="37">.

Dokaz:

1..gif" width="72 height=40" height="40">.

3. Iz točk 1 in 2 dobimo: , Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image041_19.gif" width="61" height="37">. #

komentar: Ker lahko skrajne ali srednje člene zamenjamo v pravilnem razmerju, si je bolj priročno zapomniti lastnost simetrale trikotnika v naslednji obliki (slika 16): .

7. Območje trapeza.

Formula za izračun površine trapeza: Površina trapeza je enaka zmnožku njegove višine in polovice vsote njegovih baz.

podano:

ABCD- trapez;

B.C.ïê AD;

B.H.- višina.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image044_21.gif" width="127" height="36">.

Dokaz:

1. Narišimo diagonalo BD in višina DF(Slika 17). BHDF– pravokotnik, Þ B.H. = DF.

Posledica: Razmerje ploščin enako visokih trapezov je enako razmerju njihovih središč (ali razmerju vsot baz).

8. Območje štirikotnika z medsebojno pravokotnimi diagonalami.

Formula za izračun površine štirikotnika z medsebojno pravokotnimi diagonalami: Ploščina štirikotnika z medsebojno pravokotnima diagonalama je enaka polovici produkta njegovih diagonal.

ABCD– štirikotnik;

A.C.^BD.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_20.gif" width="104" height="36">.

Dokaz:

1. Označimo A.C.Ç BD=O. Zaradi A.C.^BD, A.O.- višina D ABD, A CO- višina D CBD(Sliki 18a in 18b za primere konveksnega oziroma nekonveksnega štirikotnika).

2.
(znaki “+” oziroma “-” ustrezajo primerom konveksnega oziroma nekonveksnega štirikotnika). #

Pitagorov izrek igra izjemno pomembno vlogo pri reševanju najrazličnejših problemov; omogoča vam, da poiščete neznano stran pravokotnega trikotnika iz njegovih dveh znanih strani. Znanih je veliko dokazov Pitagorovega izreka. Predstavimo najpreprostejšo izmed njih, ki temelji na formulah za izračun površin kvadrata in trikotnika:

Pitagorov izrek: V pravokotnem trikotniku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov katet.

podano:

D ABC– p/u;

Ð A=90°.

Dokaži:

B.C. 2=AB 2+A.C. 2.

Dokaz:

1. Označimo A.C.=a, AB=b. Postavimo ga na žarek AB odsek črte B.P.=a, in na žarku A.C.- odsek črte CV=b(Slika 19). Narišimo skozi točko p neposredno PRïê AV, in skozi točko V– naravnost VRïê AP. Potem OPR- p/g po definiciji. Poleg tega, ker je R A=90°, OPR- pravokotnik. In ker AV=a+b=AP, OPR– kvadrat s stranico a+b, In SAPRV=(a+b)2. Nato bomo razdelili stran PR pika Q na segmente PQ=b in QR=a, in stran avtodom– pika T na segmente RT=b in TV=a.

2. D ABC=D PQB=D RTQ=D VCT na dveh straneh, Þ Ð ACB=Ð PBQ=Ð RQT=Ð VTC, B.C.=QB=T.Q.=C.T. in https://pandia.ru/text/78/214/images/image055_17.gif" width="115" height="36">.

3. Ker B.C.=QB=T.Q.=C.T., CBQT- romb Ob istem času QBC=180°-(p ABC+Ð PBQ)=180°-(Р ABC+Ð ACB)=Ð BAC=90°; Þ CBQT- kvadrat, in SCBQT=B.C. 2.

4. . Torej, B.C. 2=AB 2+A.C. 2. #

Inverzni Pitagorov izrek je znak pravokotnega trikotnika, kar pomeni, da vam omogoča, da s pomočjo treh znanih strani trikotnika preverite, ali je pravokoten.

Obratni Pitagorov izrek: Če je kvadrat stranice trikotnika enak vsoti kvadratov njegovih drugih dveh stranic, potem je trikotnik pravokoten in je njegova najdaljša stranica hipotenuza.

podano:

B.C. 2=AB 2+A.C. 2.

Dokaži: D ABC– p/u;

Ð A=90°.

Dokaz:

1. Konstruiraj pravi kot A 1 in položite segmente na svoje stranice A 1B 1=AB in A 1C 1=A.C.(Slika 20). V nastalem p/u D A 1B 1C 1 po Pitagorovem izreku B 1C 12=A 1B 12+A 1C 12=AB 2+A.C. 2; ampak glede na stanje AB 2+A.C. 2=B.C. 2; Þ B 1C 12=B.C. 2, Þ B 1C 1=B.C..

2. D ABC=D A 1B 1C 1 na treh straneh ( A 1B 1=AB in A 1C 1=A.C. po konstrukciji, B 1C 1=B.C. iz točke 1), Þ Ð A=Ð A 1=90°, Þ D ABC- p/u. #

Pravokotni trikotniki, katerih dolžine stranic so izražene z naravnimi števili, se imenujejo Pitagorejski trikotniki , trojčki ustreznih naravnih števil pa so Pitagorejski trojčki . Koristno si je zapomniti pitagorejske trojčke (večje od teh števil je enako vsoti kvadratov drugih dveh). Tukaj je nekaj pitagorejskih trojk:

3, 4, 5;

5, 12, 13;

8, 15, 17;

7, 24, 25;

20, 21, 29;

12, 35, 37;

9, 40, 41.

Pravokotni trikotnik s stranicami 3, 4, 5 so v Egiptu uporabljali za konstruiranje pravih kotov, zato je tak trikotnik klical egipčansko .

10. Heronova formula.

Heronova formula vam omogoča, da poiščete območje poljubnega trikotnika s treh znanih strani in je nepogrešljiva pri reševanju številnih problemov.

Heronova formula: Območje trikotnika s stranicami a, b in c se izračuna po naslednji formuli: , kjer je polobseg trikotnika.

dano:

B.C.=a; A.C.=b; AB=c.). Potem .

4. Dobljeni izraz za višino nadomestite s formulo za izračun površine trikotnika: . #

V vsakdanjem življenju nas obdaja veliko različnih predmetov. Nekateri od njih imajo enako velikost in enako obliko. Na primer dva enaka lista ali dva enaka kosa mila, dva enaka kovanca itd.

V geometriji se imenujejo figure, ki imajo enako velikost in obliko enake figure. Spodnja slika prikazuje dve sliki A1 in A2. Da ugotovimo enakost teh figur, moramo eno od njih prepisati na pavs papir. Nato premaknite pavs papir in združite kopijo ene figure z drugo figuro. Če se ujemata, pomeni, da sta ti figuri enaki. V tem primeru zapišite A1 = A2 z običajnim enačajem.

Ugotavljanje enakosti dveh geometrijskih likov

Lahko si predstavljamo, da je bila prva figura prekrita z drugo figuro in ne njena kopija na pavs papirju. Zato bomo v prihodnje govorili o prekrivanju same figure in ne njene kopije na drugo figuro. Na podlagi zgoraj navedenega lahko oblikujemo definicijo enakost dveh geometrijskih likov.

Dva geometrijska lika se imenujeta enaka, če ju je mogoče združiti tako, da eno figuro položimo na drugo. V geometriji so za nekatere geometrijske figure (na primer trikotnike) oblikovane posebne značilnosti, ko so izpolnjene, lahko rečemo, da so figure enake.

Potrebujete pomoč pri študiju?

Številke se imenujejo enake, če sta njihova oblika in velikost enaki. Iz te definicije na primer sledi, da če imata dani pravokotnik in kvadrat enaki ploščini, še vedno ne postaneta enaki figuri, saj sta to figuri različnih oblik. Ali pa sta dva kroga zagotovo enake oblike, če pa sta njuna polmera različna, tudi to nista enaki figuri, saj se njuni velikosti ne ujemata. Enake figure so na primer dva enako dolga odseka, dva kroga z enakim polmerom, dva pravokotnika s po parom enakimi stranicami (kratka stranica enega pravokotnika je enaka krajši stranici drugega, dolga stranica enega pravokotnika je enaka dolgi stranici druge).

Na oko je težko ugotoviti, ali so figure enake oblike enake. Zato se za določitev enakosti preprostih številk merijo (z ravnilom ali šestilom). Segmenti imajo dolžino, krogi imajo polmer, pravokotniki imajo dolžino in širino, kvadrati imajo samo eno stran. Pri tem je treba opozoriti, da vseh številk ni mogoče primerjati. Nemogoče je na primer določiti enakost premic, saj je vsaka premica neskončna in zato lahko rečemo, da so vse premice med seboj enake. Enako velja za žarke. Čeprav imajo začetek, nimajo konca.

Če imamo opravka s kompleksnimi (poljubnimi) figurami, je lahko celo težko ugotoviti, ali imajo enako obliko. Navsezadnje se figure lahko obrnejo v prostoru. Poglejte spodnjo sliko. Težko je reči, ali so te figure enake oblike ali ne.

Zato je potrebno imeti zanesljivo načelo za primerjavo številk. Takole je: enake številke sovpadajo, ko so postavljene druga na drugo.

Če želite primerjati dve upodobljeni figuri s superpozicijo, na eno od njiju nalepite pavs papir (prozorni papir) in nanjo kopirajte (narišite) obliko figure. Na drugo figuro poskušajo postaviti kopijo na pavs papir, tako da figuri sovpadata. Če to uspe, sta podani številki enaki. Če ne, potem številke niso enake. Ko nanašate paus papir, ga lahko poljubno vrtite, pa tudi obračate.

Če lahko izrežete same oblike (ali pa so ločeni ploski predmeti in niso narisani), potem pavs papir ni potreben.

Pri preučevanju geometrijskih figur lahko opazite številne njihove značilnosti, povezane z enakostjo njihovih delov. Torej, če zložite krog vzdolž premera, se bosta njegovi polovici izkazali za enaki (sovpadali bosta s prekrivanjem). Če pravokotnik prerežete diagonalno, dobite dva pravokotna trikotnika. Če enega od njih zavrtimo za 180 stopinj v smeri urinega kazalca ali nasprotni smeri urinega kazalca, bo sovpadal z drugim. To pomeni, da diagonala deli pravokotnik na dva enaka dela.

Katere številke imenujemo enake?

Številke se imenujejo enake, ki sovpadajo, ko se prekrivajo.

Pogosta napaka pri odgovoru na to vprašanje je, da odgovorimo tako, da omenjamo enake stranice in kote geometrijskega lika. Vendar to ne upošteva, da stranice geometrijske figure niso nujno ravne. Zato je znak njihove enakosti lahko samo sovpadanje geometrijskih likov, ko so prekrite.

V praksi je to enostavno preveriti s prekrivanjem;

Vse je zelo preprosto in dostopno, običajno so enake številke takoj vidne.

Enake figure so tiste, katerih geometrijski parametri sovpadajo. Ti parametri so: dolžina stranic, velikost kotov, debelina.

Najlažji način za razumevanje, da sta številki enaki, je uporaba prekrivanja. Če so velikosti figur enake, se imenujejo enake.

Enakopravni Poimenovane so samo tiste geometrijske figure, ki imajo popolnoma enake parametre:

1) obod;

2) območje;

4) dimenzije.

To pomeni, da če je ena figura prekrita z drugo, bodo sovpadale.

Napačno je domnevati, da če imata figuri enak obseg ali površino, sta enaki. Pravzaprav se geometrijske figure, ki imajo enako površino, imenujejo enake po površini.

Številke se imenujejo enake, če sovpadajo, ko so postavljene ena na drugo. Enake figure imajo enako velikost, obliko, površino in obseg. Toda figure, ki so po površini enake, morda niso enake med seboj.

V geometriji morajo enake figure po pravilih imeti enako površino in obseg, to pomeni, da morajo imeti popolnoma enake oblike in velikosti. In se morajo popolnoma ujemati, ko se nanesejo drug na drugega. Če obstajajo kakršna koli odstopanja, teh številk ni več mogoče imenovati enake.

Številke lahko imenujemo enake pod pogojem, da popolnoma sovpadajo, ko so postavljene druga na drugo, tj. imajo enako velikost, obliko in s tem površino in obseg ter druge značilnosti. V nasprotnem primeru ne moremo govoriti o enakosti figur.

Že beseda enak vsebuje bistvo.

To so figure, ki so med seboj popolnoma enake. To pomeni, da popolnoma sovpadajo. Če figuro postavimo eno na drugo, se figuri prekrivata z vseh strani.

So enaki, torej enakopravni.

Za razliko od enakih trikotnikov (za določitev katerih je dovolj izpolnjevanje enega od pogojev - znakov enakosti) so enake figure tiste, ki imajo enako ne samo obliko, ampak tudi dimenzije.

Z metodo superpozicije lahko ugotovite, ali je ena figura enaka drugi. V tem primeru se morajo figure ujemati z obema stranema in vogali. To bodo enake številke.

Samo takšne figure so lahko enake, če njihove stranice in koti popolnoma sovpadajo. Pravzaprav za vse najpreprostejše poligone enakost njihovih površin nakazuje tudi enakost samih likov. Primer: kvadrat s stranico a bo vedno enak drugemu kvadratu z enako stranico a. Enako velja za pravokotnike in rombove – če so njihove stranice enake stranicam drugega pravokotnika, sta enaka. Bolj zapleten primer: trikotniki bodo skladni, če imajo enake stranice in ustrezne kote. A to so le posebni primeri. V splošnejših primerih se enakost figur še vedno dokazuje s superpozicijo in to superpozicijo v planimetriji pompozno imenujemo gibanje.

Eden od osnovnih pojmov v geometriji je lik. Ta izraz se nanaša na niz točk na ravnini, omejen s končnim številom črt. Nekatere figure lahko štejemo za enake, kar je tesno povezano s pojmom gibanja. Geometrijske figure ne moremo obravnavati ločeno, ampak na tak ali drugačen način v povezavi drug z drugim - njihovo medsebojno razporeditev, stik in sosednost, položaj "med", "znotraj", razmerje, izraženo v pojmih "več", “manj”, “enako” .Geometrija preučuje invariantne lastnosti likov, tj. tiste, ki ostanejo nespremenjene pri določenih geometrijskih transformacijah. Takšno preoblikovanje prostora, pri katerem razdalja med točkami, ki sestavljajo določeno figuro, ostane nespremenjena, se imenuje gibanje in se lahko pojavi v različnih različicah: vzporedni premik, identična preobrazba, vrtenje okoli osi, simetrija glede na premico. ali ravninska, centralna, rotacijska, prenosna simetrija.

Gibanje in enake figure

Enake in enake figure