- Odsek, ki povezuje razpoloviščni točki diagonal trapeza, je enak polovici razlike osnov
- Trikotniki, ki jih sestavljajo osnove trapeza in odseki diagonal do presečišča, so si podobni
- Trikotniki, ki jih tvorijo odseki diagonal trapeza, katerih stranice ležijo na stranskih stranicah trapeza, so enake velikosti (imajo enako ploščino)
- Če stranice trapeza razširite proti manjši osnovi, se bosta v eni točki sekali z ravno črto, ki povezuje središča osnov.
- Odsek, ki povezuje osnove trapeza in poteka skozi točko presečišča diagonal trapeza, je razdeljen s to točko v razmerju, ki je enako razmerju dolžin osnov trapeza.
- Odsek, ki je vzporeden z osnovami trapeza in je narisan skozi presečišče diagonal, je s to točko razdeljen na pol, njegova dolžina pa je enaka 2ab/(a + b), kjer sta a in b osnovici trapeza. trapez
Lastnosti odseka, ki povezuje razpolovišča diagonal trapeza
Povežimo razpoloviščni točki diagonal trapeza ABCD, zaradi česar bomo dobili odsek LM.
Odsek, ki povezuje središčni točki diagonal trapeza leži na srednji črti trapeza.
Ta segment vzporedno z osnovami trapeza.
Dolžina odseka, ki povezuje središči diagonal trapeza, je enaka polovici razlike njegovih baz.
LM = (AD - BC)/2
oz
LM = (a-b)/2
Lastnosti trikotnikov, ki jih tvorijo diagonale trapeza
Trikotniki, ki jih tvorijo osnove trapeza in presečišče diagonal trapeza - so podobni.
Trikotnika BOC in AOD sta si podobna. Ker sta kota BOC in AOD navpična, sta enaka.
Kota OCB in OAD sta notranja kota, ki navzkrižno ležita na vzporednicah AD in BC (osnovici trapeza sta med seboj vzporedni) in sekanti AC, zato sta enaka.
Kota OBC in ODA sta enaka iz istega razloga (notranji navzkrižno).
Ker so vsi trije koti enega trikotnika enaki ustreznim kotom drugega trikotnika, so si ti trikotniki podobni.
Kaj iz tega sledi?
Za reševanje problemov v geometriji se podobnost trikotnikov uporablja na naslednji način. Če poznamo dolžini dveh ustreznih elementov podobnih trikotnikov, potem poiščemo koeficient podobnosti (enega delimo z drugim). Od koder so dolžine vseh drugih elementov med seboj povezane s popolnoma enako vrednostjo.
Lastnosti trikotnikov, ki ležijo na stranski stranici, in diagonale trapeza
Razmislite o dveh trikotnikih, ki ležita na stranskih stranicah trapeza AB in CD. To sta trikotnika AOB in COD. Kljub temu, da so lahko velikosti posameznih stranic teh trikotnikov popolnoma drugačne, vendar ploščini trikotnikov, ki jih tvorita stranski stranici in presečišče diagonal trapeza, sta enaki, to pomeni, da sta trikotnika enako velika.
Če stranice trapeza podaljšamo proti manjši osnovici, bo presečišče stranic sovpadajo z ravno črto, ki poteka skozi sredino baz.
Tako lahko vsak trapez razširimo v trikotnik. pri čemer:
- Trikotniki, ki jih tvorijo osnove trapeza s skupnim vrhom v presečišču podaljšanih stranic, so podobni
- Premica, ki povezuje razpolovišči osnov trapeza, je hkrati mediana sestavljenega trikotnika.
Lastnosti segmenta, ki povezuje osnove trapeza
Če narišete segment, katerega konci ležijo na osnovi trapeza, ki leži na presečišču diagonal trapeza (KN), potem je razmerje njegovih sestavnih segmentov od strani baze do presečišča diagonal (KO/ON) bo enako razmerju osnov trapeza(pr. n. št./n. št.).
KO/ON = BC/AD
Ta lastnost izhaja iz podobnosti ustreznih trikotnikov (glej zgoraj).
Lastnosti odseka, vzporednega z osnovami trapeza
Če narišemo segment, ki je vzporeden z osnovami trapeza in poteka skozi presečišče diagonal trapeza, bo imel naslednje lastnosti:
- Določena razdalja (KM) razpolovljeno s presečiščem diagonal trapeza
- Dolžina odseka ki poteka skozi presečišče diagonal trapeza in vzporedno z osnovami, je enako KM = 2ab/(a + b)
Formule za iskanje diagonal trapeza
a, b- trapezne osnove
c,d- stranice trapeza
d1 d2- diagonale trapeza
α β - koti z večjo osnovo trapeza
Formule za iskanje diagonal trapeza skozi osnove, stranice in kote na dnu
Prva skupina formul (1-3) odraža eno glavnih lastnosti trapeznih diagonal:
1. Vsota kvadratov diagonal trapeza je enaka vsoti kvadratov stranic plus dvakratni produkt njegovih osnov. To lastnost trapeznih diagonal lahko dokažemo kot ločen izrek
2 . To formulo dobimo s transformacijo prejšnje formule. Kvadrat druge diagonale vržemo skozi znak enačaja, nato pa izvlečemo kvadratni koren iz leve in desne strani izraza.
3 . Ta formula za iskanje dolžine diagonale trapeza je podobna prejšnji, s to razliko, da na levi strani izraza ostane še ena diagonala
Naslednja skupina formul (4-5) je po pomenu podobna in izraža podobno razmerje.
Skupina formul (6-7) vam omogoča, da najdete diagonalo trapeza, če so znani večja osnova trapeza, ena stranica in kot pri dnu.
Formule za iskanje diagonal trapeza skozi višino
Naloga.
Diagonali trapeza ABCD (AD | | BC) se sekata v točki O. Poiščite dolžino osnovke BC trapeza, če je osnovica AD = 24 cm, dolžina AO = 9 cm, dolžina OS = 6 cm.
rešitev.
Rešitev tega problema je ideološko popolnoma enaka prejšnjim problemom.
Trikotnika AOD in BOC sta si podobna v treh kotih - AOD in BOC sta navpična, preostali koti pa so po paru enaki, saj nastanejo s presečiščem ene premice in dveh vzporednih premic.
Ker sta si trikotnika podobna, so vse njune geometrijske dimenzije med seboj povezane, tako kot geometrijske mere odsekov AO in OC, ki jih poznamo glede na pogoje problema. To je
AO/OC = AD/BC
9/6 = 24/BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16
Odgovori: 16 cm
Naloga .
V trapezu ABCD je znano, da je AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Poiščite območje trapeza. 
rešitev
Da poiščemo višino trapeza iz oglišč manjše osnovke B in C, spustimo dve višini na večjo osnovo. Ker je trapez neenakomeren, označimo dolžino AM = a, dolžino KD = b ( ne smemo zamenjevati z zapisom v formuli iskanje površine trapeza). Ker sta osnovki trapeza vzporedni in smo spustili dve višini pravokotno na večjo osnovo, je MBCK pravokotnik.
Pomeni
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
Trikotnika DBM in ACK sta pravokotna, zato njuna prava kota tvorita višini trapeza. Višino trapeza označimo s h. Potem pa po Pitagorejskem izreku
H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
in
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2
Upoštevajmo, da je a = 16 - b, potem v prvi enačbi
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2
Nadomestimo vrednost kvadrata višine v drugo enačbo, dobljeno s pomočjo Pitagorovega izreka. Dobimo:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Torej KD = 12
Kje
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5
Poiščite površino trapeza skozi njegovo višino in polovico vsote njegovih baz
, kjer a b - osnova trapeza, h - višina trapeza
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 cm 2
Odgovori: površina trapeza je 80 cm2.
Trapez je poseben primer štirikotnika, pri katerem je en par stranic vzporeden. Izraz "trapez" izhaja iz grške besede τράπεζα, kar pomeni "miza", "miza". V tem članku si bomo ogledali vrste trapeza in njegove lastnosti. Poleg tega bomo ugotovili, kako izračunati posamezne elemente tega. Na primer diagonalo enakokrakega trapeza, središčnico, ploščino itd. Gradivo je predstavljeno v slogu elementarne popularne geometrije, torej v lahko dostopni obliki. .
Splošne informacije
Najprej ugotovimo, kaj je štirikotnik. Ta slika je poseben primer mnogokotnika, ki vsebuje štiri stranice in štiri oglišča. Dve oglišči štirikotnika, ki nista sosednji, imenujemo nasprotni. Enako lahko rečemo za dve nesosednji stranici. Glavne vrste štirikotnikov so paralelogram, pravokotnik, romb, kvadrat, trapez in deltoid.
Pa se vrnimo k trapezom. Kot smo že povedali, ima ta številka dve vzporedni strani. Imenujejo se baze. Drugi dve (nevzporedni) sta stranski stranici. V gradivih izpitov in različnih testov lahko pogosto najdete težave, povezane s trapezi, katerih rešitev pogosto od študenta zahteva znanje, ki ni predvideno v programu. Šolski predmet geometrije učence seznani z lastnostmi kotov in diagonal ter srednje črte enakokrakega trapeza. Toda poleg tega ima omenjena geometrijska figura še druge lastnosti. A o njih malo kasneje ...
Vrste trapeza
Obstaja veliko vrst te figure. Vendar pa je najpogosteje običajno upoštevati dva od njih - enakokrake in pravokotne.
1. Pravokotni trapez je figura, pri kateri je ena od stranic pravokotna na osnove. Njena dva kota sta vedno enaka devetdeset stopinj.
2. Enakokraki trapez je geometrijski lik, katerega stranice so med seboj enake. To pomeni, da sta tudi kota pri osnovah v parih enaka.
Glavna načela metodologije za preučevanje lastnosti trapeza
Glavno načelo vključuje uporabo tako imenovanega pristopa nalog. Pravzaprav ni potrebe po uvajanju novih lastnosti te figure v teoretični potek geometrije. Lahko jih odkrijemo in oblikujemo v procesu reševanja različnih problemov (po možnosti sistemskih). Obenem je zelo pomembno, da učitelj ve, katere naloge mora učencem v določenem trenutku naložiti med izobraževalnim procesom. Poleg tega lahko vsako lastnost trapeza predstavimo kot ključno nalogo v sistemu nalog.
Drugo načelo je tako imenovana spiralna organizacija preučevanja "izjemnih" lastnosti trapeza. To pomeni vrnitev v procesu učenja k posameznim značilnostim dane geometrijske figure. Tako si jih učenci lažje zapomnijo. Na primer, lastnost štirih točk. To je mogoče dokazati tako pri proučevanju podobnosti kot pozneje z uporabo vektorjev. Enakovrednost trikotnikov, ki mejijo na stranske stranice figure, je mogoče dokazati z uporabo ne le lastnosti trikotnikov z enakimi višinami, narisanimi na straneh, ki ležijo na isti ravni črti, ampak tudi z uporabo formule S = 1/2( ab*sinα). Poleg tega lahko delate na včrtanem trapezu ali pravokotnem trikotniku na včrtanem trapezu itd.
Uporaba "izvenšolskih" značilnosti geometrijske figure v vsebini šolskega tečaja je tehnologija za njihovo poučevanje, ki temelji na nalogah. Nenehno sklicevanje na lastnosti, ki se preučujejo, medtem ko gredo skozi druge teme, omogoča učencem, da pridobijo globlje znanje o trapezu in zagotavlja uspeh pri reševanju zadanih problemov. Torej, začnimo preučevati to čudovito figuro.
Elementi in lastnosti enakokrakega trapeza
Kot smo že omenili, ima ta geometrijska figura enake stranice. Znan je tudi kot pravilni trapez. Zakaj je tako izjemen in zakaj je dobil tako ime? Posebnost te figure je, da niso enake samo stranice in koti na osnovah, ampak tudi diagonale. Poleg tega je vsota kotov enakokrakega trapeza 360 stopinj. A to še ni vse! Od vseh znanih trapezov lahko le enakokrakega opišemo kot krog. To je posledica dejstva, da je vsota nasprotnih kotov te figure enaka 180 stopinj in le pod tem pogojem je mogoče opisati krog okoli štirikotnika. Naslednja lastnost obravnavane geometrijske figure je, da bo razdalja od vrha osnove do projekcije nasprotnega vrha na ravno črto, ki vsebuje to osnovo, enaka srednji črti.
Zdaj pa ugotovimo, kako najti kote enakokrakega trapeza. Razmislimo o rešitvi tega problema, če so znane dimenzije strani figure.
rešitev
Običajno je štirikotnik običajno označen s črkami A, B, C, D, kjer sta BS in AD osnovi. V enakokrakem trapezu sta stranici enaki. Predpostavili bomo, da je njihova velikost enaka X, velikosti baz pa Y in Z (manjši oziroma večji). Za izračun je potrebno iz kota B narisati višino H. Rezultat je pravokotni trikotnik ABN, kjer je AB hipotenuza, BN in AN pa kraka. Izračunamo velikost kraka AN: manjšo odštejemo od večje osnove in rezultat delimo z 2. Zapišemo jo v obliki formule: (Z-Y)/2 = F. Zdaj pa za izračun akutne kota trikotnika, uporabimo funkcijo cos. Dobimo naslednji vnos: cos(β) = X/F. Zdaj izračunamo kot: β=arcos (X/F). Nadalje, če poznamo en kot, lahko določimo drugega, za to izvedemo osnovno aritmetično operacijo: 180 - β. Vsi koti so definirani.
Za to težavo obstaja druga rešitev. Najprej ga spustimo iz kota na višino H. Izračunamo vrednost kraka BN. Vemo, da je kvadrat hipotenuze pravokotnega trikotnika enak vsoti kvadratov katet. Dobimo: BN = √(X2-F2). Nato uporabimo trigonometrično funkcijo tg. Kot rezultat imamo: β = arctan (BN/F). Najden je bil ostri kot. Nato ga definiramo podobno kot prvo metodo.
Lastnost diagonal enakokrakega trapeza
Najprej si zapišimo štiri pravila. Če sta diagonali v enakokrakem trapezu pravokotni, potem:
Višina figure bo enaka vsoti baz, deljeni z dva;
Njegova višina in srednja črta sta enaki;
Središče kroga je točka, na kateri ;
Če je stranska stranica razdeljena s točko dotika na segmenta H in M, potem je enaka kvadratnemu korenu produkta teh segmentov;
Štirikotnik, ki ga tvorijo tangentne točke, oglišče trapeza in središče včrtanega kroga, je kvadrat, katerega stranica je enaka polmeru;
Ploščina figure je enaka produktu baz in produktu polovične vsote baz in njene višine.
Podobni trapezi
Ta tema je zelo priročna za preučevanje lastnosti tega. Na primer, diagonale delijo trapez na štiri trikotnike in tisti, ki mejijo na osnove, so podobni, tisti, ki mejijo na stranice, pa so enake velikosti. To trditev lahko imenujemo lastnost trikotnikov, na katere je trapez razdeljen s svojimi diagonalami. Prvi del te izjave je dokazan z znakom podobnosti pod dvema kotoma. Za dokaz drugega dela je bolje uporabiti spodaj navedeno metodo.
Dokaz izreka
Sprejmemo, da je lik ABSD (AD in BS osnovici trapeza) razdeljen z diagonalama VD in AC. Točka njihovega presečišča je O. Dobimo štiri trikotnike: AOS - na spodnji podlagi, BOS - na zgornji podlagi, ABO in SOD na straneh. Trikotnika SOD in BOS imata skupno višino, če sta dolžini BO in OD njuni osnovici. Ugotovimo, da je razlika med njihovimi površinami (P) enaka razliki med temi segmenti: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Zato je PSOD = PBOS/K. Podobno imata trikotnika BOS in AOB skupno višino. Za osnovo vzamemo segmenta CO in OA. Dobimo PBOS/PAOB = CO/OA = K in PAOB = PBOS/K. Iz tega sledi, da je PSOD = PAOB.
Za utrjevanje snovi se učencem priporoča, da z reševanjem naslednje naloge poiščejo povezavo med ploščinami nastalih trikotnikov, na katere je trapez razdeljen s svojimi diagonalami. Znano je, da imata trikotnika BOS in AOD enaka območja; treba je najti površino trapeza. Ker je PSOD = PAOB, to pomeni PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Iz podobnosti trikotnikov BOS in AOD sledi, da je BO/OD = √(PBOS/PAOD). Zato je PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Dobimo PSOD = √(PBOS*PAOD). Potem je PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.
Lastnosti podobnosti
Če nadaljujemo z razvojem te teme, lahko dokažemo druge zanimive značilnosti trapeza. Tako je mogoče z uporabo podobnosti dokazati lastnost segmenta, ki poteka skozi točko, ki jo tvori presečišče diagonal te geometrijske figure, vzporedno z bazami. Za to rešimo naslednjo nalogo: najti moramo dolžino odseka RK, ki poteka skozi točko O. Iz podobnosti trikotnikov AOD in BOS sledi, da je AO/OS = AD/BS. Iz podobnosti trikotnikov AOP in ASB sledi AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Od tu dobimo, da je RO=BS*BP/(BS+BP). Podobno iz podobnosti trikotnikov DOC in DBS sledi OK = BS*AD/(BS+AD). Od tu dobimo, da je RO=OK in RK=2*BS*AD/(BS+AD). Odsek, ki poteka skozi presečišče diagonal, vzporedno z osnovami in povezuje dve stranski stranici, je razdeljen na polovico s presečiščem. Njegova dolžina je harmonična sredina baz figure.
Razmislite o naslednji lastnosti trapeza, ki se imenuje lastnost štirih točk. Presečišča diagonal (O), presečišča nadaljevanja stranic (E) ter razpolovišča osnov (T in F) vedno ležijo na isti premici. To je enostavno dokazati z metodo podobnosti. Nastala trikotnika BES in AED sta si podobna, v vsakem od njih pa mediani ET in EJ delita vrhnji kot E na enake dele. Zato ležijo točke E, T in F na isti premici. Na enak način se točke T, O in Zh nahajajo na isti premici. Vse to izhaja iz podobnosti trikotnikov BOS in AOD. Od tu sklepamo, da bodo vse štiri točke - E, T, O in F - ležale na isti premici.
Z uporabo podobnih trapezov lahko od učencev zahtevate, da najdejo dolžino segmenta (LS), ki deli lik na dva podobna. Ta segment mora biti vzporeden z osnovami. Ker sta nastala trapeza ALFD in LBSF podobna, je BS/LF = LF/AD. Iz tega sledi LF=√(BS*AD). Ugotovimo, da ima odsek, ki trapez deli na dva podobna, dolžino, ki je enaka geometrični sredini dolžin osnovnih likov.
Razmislite o naslednji lastnosti podobnosti. Temelji na segmentu, ki deli trapez na dve enaki sliki. Predpostavimo, da je trapez ABSD razdeljen z odsekom EH na dva podobna. Iz oglišča B je izpuščena višina, ki jo segment EN deli na dva dela - B1 in B2. Dobimo: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 in PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Nato sestavimo sistem, katerega prva enačba je (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 in druga (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Iz tega sledi B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) in BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Ugotovimo, da je dolžina odseka, ki deli trapez na dva enaka, enaka kvadratni vrednosti dolžin osnov: √((BS2+AD2)/2).
Ugotovitve o podobnosti
Tako smo dokazali, da:
1. Odsek, ki povezuje razpolovišči stranskih stranic trapeza, je vzporeden z AD in BS in je enak aritmetični sredini BS in AD (dolžina osnove trapeza).
2. Premica, ki poteka skozi točko O presečišča diagonal, vzporednih z AD in BS, bo enaka harmonični sredini števil AD in BS (2*BS*AD/(BS+AD)).
3. Odsek, ki deli trapez na enake, ima dolžino geometrične sredine osnov BS in AD.
4. Element, ki deli lik na dva enaka, ima dolžino kvadratnega korena števil AD in BS.
Za utrjevanje gradiva in razumevanje povezave med obravnavanimi segmenti jih mora študent sestaviti za določen trapez. Z lahkoto lahko prikaže srednjo črto in segment, ki poteka skozi točko O - presečišče diagonal figure - vzporedno z bazami. Kje pa bosta tretji in četrti? Ta odgovor bo študenta pripeljal do odkritja želenega razmerja med povprečnimi vrednostmi.
Odsek, ki povezuje središčni točki diagonal trapeza
Razmislite o naslednji lastnosti te figure. Predpostavimo, da je odsek MH vzporeden z osnovama in razpolavlja diagonali. Poimenujmo presečišče Š in Š. Ta segment bo enak polovici razlike baz. Oglejmo si to podrobneje. MS je srednja črta trikotnika ABS, enaka je BS/2. MSH je srednjica trikotnika ABD, enaka je AD/2. Potem dobimo, da je ShShch = MSh-MSh, torej ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.
Težišče
Poglejmo, kako je ta element določen za dano geometrijsko figuro. Da bi to naredili, je potrebno razširiti baze v nasprotnih smereh. Kaj to pomeni? Spodnjo osnovo morate dodati zgornji podlagi - v kateri koli smeri, na primer v desno. In spodnjega podaljšamo za dolžino zgornjega v levo. Nato jih povežemo diagonalno. Točka presečišča tega segmenta s srednjo črto slike je težišče trapeza.
Včrtani in opisani trapezi
Naštejmo značilnosti takšnih številk:
1. Trapezu lahko včrtamo krog le, če je enakokrak.
2. Trapez lahko opišemo okrog kroga, če je vsota dolžin njunih osnov enaka vsoti dolžin stranic.
Posledice vpisanega kroga:
1. Višina opisanega trapeza je vedno enaka dvema polmeroma.
2. Stranico opisanega trapeza opazujemo iz središča kroga pod pravim kotom.
Prva posledica je očitna, za dokaz druge pa je treba ugotoviti, da je kot SOD pravi, kar pravzaprav tudi ni težko. Toda poznavanje te lastnosti vam bo omogočilo uporabo pravokotnega trikotnika pri reševanju problemov.
Zdaj pa določimo te posledice za enakokraki trapez, včrtan v krog. Ugotovimo, da je višina geometrična sredina osnov lika: H=2R=√(BS*AD). Ob vadbi osnovne tehnike reševanja nalog za trapez (princip risanja dveh višin) mora učenec rešiti naslednjo nalogo. Predpostavimo, da je BT višina enakokrakega lika ABSD. Najti je treba segmenta AT in TD. Z uporabo zgoraj opisane formule to ne bo težko narediti.
Zdaj pa ugotovimo, kako določiti polmer kroga z uporabo območja opisanega trapeza. Višino spustimo iz oglišča B na osnovo AD. Ker je krog vpisan v trapez, potem je BS+AD = 2AB ali AB = (BS+AD)/2. Iz trikotnika ABN dobimo sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Dobimo PABSD = (BS+BP)*R, iz tega sledi R = PABSD/(BS+BP).
Vse formule za srednjo črto trapeza
Zdaj je čas, da preidemo na zadnji element te geometrijske figure. Ugotovimo, čemu je enaka srednja črta trapeza (M):
1. Skozi baze: M = (A+B)/2.
2. Skozi višino, dno in vogale:
M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;
M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.
3. Skozi višino, diagonale in kot med njimi. Na primer, D1 in D2 sta diagonali trapeza; α, β - koti med njimi:
M = D1*D2*sinα/2Н = D1*D2*sinβ/2Н.
4. Skozi območje in višina: M = P/N.
Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.
Zbiranje in uporaba osebnih podatkov
Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.
Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.
Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.
Katere osebne podatke zbiramo:
- Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.
Kako uporabljamo vaše osebne podatke:
- Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
- Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
- Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
- Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.
Razkritje informacij tretjim osebam
Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.
Izjeme:
- Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javne pomembne namene.
- V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.
Varstvo osebnih podatkov
Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.
Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja
Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.
\[(\Large(\text(Prosti trapez)))\]
Definicije
Trapez je konveksen štirikotnik, v katerem sta dve strani vzporedni, drugi dve stranici pa nista vzporedni.
Vzporedni strani trapeza imenujemo njegove osnove, drugi dve stranici pa njegove stranice.
Višina trapeza je navpičnica, ki poteka iz katere koli točke ene osnove na drugo osnovo.
Izreki: lastnosti trapeza
1) Vsota kotov pri strani je \(180^\circ\) .
2) Diagonale delijo trapez na štiri trikotnike, od katerih sta dva podobna, druga dva pa enako velika.
Dokaz
1) Ker \(AD\vzporednik BC\), potem sta kota \(\kot BAD\) in \(\kot ABC\) enostranična za te premice in prečnico \(AB\), torej, \(\kot BAD +\kot ABC=180^\krog\).
2) Ker \(AD\vzporednik BC\) in \(BD\) sta sekanta, potem \(\kot DBC=\kot BDA\) ležita navzkrižno.
Tudi \(\kot BOC=\kot AOD\) kot navpično.
Torej pod dvema kotoma \(\trikotnik BOC \sim \trikotnik AOD\).
Dokažimo to \(S_(\trikotnik AOB)=S_(\trikotnik COD)\). Naj bo \(h\) višina trapeza. Potem \(S_(\trikotnik ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\trikotnik ACD)\). Nato: \
Opredelitev
Srednja črta trapeza je segment, ki povezuje središča stranic.
Izrek
Srednjica trapeza je vzporedna z osnovama in enaka njuni polvsoti.
Dokaz*
1) Dokažimo vzporednost.
Narišimo skozi točko \(M\) premico \(MN"\vzporednik AD\) (\(N"\v CD\) ). Potem, po Thalesovem izreku (od \(MN"\vzporedno AD\vzporedno BC, AM=MB\)) točka \(N"\) je sredina odseka \(CD\). To pomeni, da bosta točki \(N\) in \(N"\) sovpadali.
2) Dokažimo formulo.
Naredimo \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Pustiti \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).
Potem sta po Thalesovem izreku \(M"\) in \(N"\) razpolovišči odsekov \(BB"\) oziroma \(CC"\). To pomeni, da je \(MM"\) srednja črta \(\trikotnika ABB"\) , \(NN"\) srednja črta \(\trikotnika DCC"\) . Zato: \
Ker \(MN\vzporednik AD\vzporednik BC\) in \(BB", CC"\perp AD\), potem sta \(B"M"N"C"\) in \(BM"N"C\) pravokotnika. Po Thalesovem izreku iz \(MN\vzporednik AD\) in \(AM=MB\) sledi \(B"M"=M"B\) . Zato \(B"M"N"C "\) in \(BM"N"C\) sta enaka pravokotnika, torej \(M"N"=B"C"=BC\) .
Tako:
\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\desno)=\dfrac12\left(AD+BC\desno)\]
Izrek: lastnost poljubnega trapeza
Razpolovišča osnov, presečišče diagonal trapeza in presečišče podaljškov stranskih stranic ležijo na isti premici.
Dokaz*
Priporočljivo je, da se z dokazom seznanite po preučevanju teme "Podobnost trikotnikov".
1) Dokažimo, da točke \(P\) , \(N\) in \(M\) ležijo na isti premici.
Narišimo premico \(PN\) (\(P\) je presečišče podaljškov stranskih stranic, \(N\) je sredina \(BC\)). Naj seka stranico \(AD\) v točki \(M\) . Dokažimo, da je \(M\) razpolovišče \(AD\) .
Razmislite o \(\trikotniku BPN\) in \(\trikotniku APM\) . Podobna sta pri dveh kotih (\(\kot APM\) – splošno, \(\kot PAM=\kot PBN\) kot ustreza \(AD\vzporednik BC\) in \(AB\) sekans). Pomeni: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]
Razmislite o \(\trikotniku CPN\) in \(\trikotniku DPM\) . Podobna sta pri dveh kotih (\(\kot DPM\) – splošno, \(\kot PDM=\kot PCN\) kot ustreza \(AD\vzporednik BC\) in \(CD\) sekans). Pomeni: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]
Od tod \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Toda \(BN=NC\) torej \(AM=DM\) .
2) Dokažimo, da točke \(N, O, M\) ležijo na isti premici.
Naj bo \(N\) razpolovišče \(BC\) in \(O\) točka presečišča diagonal. Narišimo premico \(NO\) , ta bo sekala stranico \(AD\) v točki \(M\) . Dokažimo, da je \(M\) razpolovišče \(AD\) .
\(\trikotnik BNO\sim \trikotnik DMO\) vzdolž dveh kotov (\(\kot OBN=\kot ODM\), ki ležita navzkrižno na \(BC\vzporednik AD\) in \(BD\) sekant; \(\kot BON=\kot DOM\) kot navpičnica). Pomeni: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]
Prav tako \(\trikotnik CON\sim \trikotnik AOM\). Pomeni: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]
Od tod \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Toda \(BN=CN\) torej \(AM=MD\) .
\[(\Velik(\text(Enakokraki trapez)))\]
Definicije
Trapez se imenuje pravokoten, če je eden od njegovih kotov pravi.
Trapez se imenuje enakokrak, če sta njegovi stranici enaki.
Izreki: lastnosti enakokrakega trapeza
1) Enakokraki trapez ima enake osnovne kote.
2) Diagonali enakokrakega trapeza sta enaki.
3) Dva trikotnika, ki ju tvorita diagonali in osnovo, sta enakokraka.
Dokaz
1) Razmislite o enakokrakem trapezu \(ABCD\) .
Iz oglišč \(B\) in \(C\) spustimo navpičnici \(BM\) oziroma \(CN\) na stranico \(AD\). Ker \(BM\perp AD\) in \(CN\perp AD\) , potem \(BM\parallel CN\) ; \(AD\vzporednik BC\) , potem je \(MBCN\) paralelogram, torej \(BM = CN\) .
Razmislite o pravokotnih trikotnikih \(ABM\) in \(CDN\) . Ker sta njuni hipotenuzi enaki in je krak \(BM\) enak kraku \(CN\), potem sta ta trikotnika enaka, torej \(\kot DAB = \kot CDA\) .
2) 
Ker \(AB=CD, \kot A=\kot D, AD\)– splošno, tedaj po prvem znaku. Zato \(AC=BD\) .
3) Ker \(\trikotnik ABD=\trikotnik ACD\), potem \(\kot BDA=\kot CAD\) . Zato je trikotnik \(\trikotnik AOD\) enakokrak. Podobno je dokazano, da je \(\trikotnik BOC\) enakokrak.
Izreki: znaki enakokrakega trapeza
1) Če ima trapez enake osnovne kote, je enakokrak.
2) Če ima trapez enaki diagonali, je enakokrak.
Dokaz
Razmislite o trapezu \(ABCD\), tako da \(\kotnik A = \kotnik D\) .
Dopolnimo trapez do trikotnika \(AED\), kot je prikazano na sliki. Ker je \(\kot 1 = \kot 2\) , potem je trikotnik \(AED\) enakokrak in \(AE = ED\) . Kota \(1\) in \(3\) sta enaka kot ustrezna kota za vzporedne premice \(AD\) in \(BC\) ter sekanto \(AB\). Podobno sta kota \(2\) in \(4\) enaka, vendar \(\kot 1 = \kot 2\), potem \(\kot 3 = \kot 1 = \kot 2 = \kot 4\), torej je tudi trikotnik \(BEC\) enakokrak in \(BE = EC\) .
Sčasoma \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), to je \(AB = CD\), kar je bilo treba dokazati.
2) Naj \(AC=BD\) . Ker \(\trikotnik AOD\sim \trikotnik BOC\), potem njihov koeficient podobnosti označimo kot \(k\) . Potem, če \(BO=x\) , potem \(OD=kx\) . Podobno \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .
Ker \(AC=BD\) , nato \(x+kx=y+ky \Puščica desno x=y\) . To pomeni, da je \(\trikotnik AOD\) enakokrak in \(\kotnik OAD=\kotnik ODA\) .
Tako, glede na prvi znak \(\trikotnik ABD=\trikotnik ACD\) (\(AC=BD, \kot OAD=\kot ODA, AD\)– splošno). Torej, \(AB=CD\) , zakaj.
