Določena so razmerja med osnovnimi trigonometričnimi funkcijami - sinus, kosinus, tangens in kotangens. trigonometrične formule. In ker je med trigonometričnimi funkcijami precej povezav, to pojasnjuje obilico trigonometričnih formul. Nekatere formule povezujejo trigonometrične funkcije istega kota, druge - funkcije večkratnega kota, druge - omogočajo zmanjšanje stopnje, četrte - izražajo vse funkcije skozi tangento polovice kota itd.
V tem članku bomo po vrsti našteli vse osnovne trigonometrične formule, ki zadostujejo za rešitev velike večine trigonometričnih problemov. Zaradi lažjega pomnjenja in uporabe jih bomo združili po namenu in vnesli v tabele.
Navigacija po strani.
Osnovne trigonometrične identitete
Osnovne trigonometrične identitete določi razmerje med sinusom, kosinusom, tangensom in kotangensom enega kota. Izhajajo iz definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa ter koncepta enotskega kroga. Omogočajo vam, da izrazite eno trigonometrično funkcijo v smislu katere koli druge.
Za podroben opis teh trigonometričnih formul, njihovo izpeljavo in primere uporabe glejte članek.
Redukcijske formule
Redukcijske formule izhajajo iz lastnosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa, to pomeni, da odražajo lastnost periodičnosti trigonometričnih funkcij, lastnost simetrije, pa tudi lastnost premika za danim kotom. Te trigonometrične formule vam omogočajo prehod z dela s poljubnimi koti na delo s koti v razponu od nič do 90 stopinj.
Utemeljitev teh formul, mnemonično pravilo za njihovo pomnjenje in primere njihove uporabe lahko preučite v članku.
Adicijske formule
Trigonometrične adicijske formule pokazati, kako so trigonometrične funkcije vsote ali razlike dveh kotov izražene s trigonometričnimi funkcijami teh kotov. Te formule služijo kot osnova za izpeljavo naslednjih trigonometričnih formul.
Formule za dvojno, trojno itd. kota
Formule za dvojno, trojno itd. kot (imenujejo jih tudi formule več kotov) prikazujejo, kako trigonometrične funkcije dvojne, trojne itd. koti () so izraženi s trigonometričnimi funkcijami posameznega kota. Njihova izpeljava temelji na adicijskih formulah.
Podrobnejše informacije so zbrane v članku formule za dvojno, trojno itd. kota
Formule polovičnega kota
Formule polovičnega kota pokažite, kako so trigonometrične funkcije polovičnega kota izražene s kosinusom celega kota. Te trigonometrične formule izhajajo iz formul dvojnega kota.
Njihov zaključek in primere uporabe najdete v članku.
Formule za zmanjšanje stopnje
Trigonometrične formule za zmanjšanje stopinj so oblikovani tako, da olajšajo prehod od naravnih potenc trigonometričnih funkcij do sinusov in kosinusov na prvi stopnji, vendar več kotov. Z drugimi besedami, omogočajo vam zmanjšanje moči trigonometričnih funkcij na prvo.
Formule za vsoto in razliko trigonometričnih funkcij
Glavni namen formule za vsoto in razliko trigonometričnih funkcij je preiti na produkt funkcij, kar je zelo uporabno pri poenostavitvi trigonometričnih izrazov. Te formule se pogosto uporabljajo tudi pri reševanju trigonometričnih enačb, saj omogočajo faktorizacijo vsote in razlike sinusov in kosinusov.
Formule za zmnožek sinusov, kosinusov in sinus za kosinus
Prehod od zmnožka trigonometričnih funkcij na vsoto ali razliko se izvede z uporabo formul za zmnožek sinusov, kosinusov in sinusa za kosinusom.
Avtorske pravice cleverstudents
Vse pravice pridržane.
Zaščiten z zakonom o avtorskih pravicah. Nobenega dela www.site, vključno z notranjimi materiali in videzom, ni dovoljeno reproducirati v kakršni koli obliki ali uporabljati brez predhodnega pisnega dovoljenja imetnika avtorskih pravic.
Najpogostejša vprašanja
Ali je možno izdelati žig na dokument po predloženem vzorcu? Odgovori Ja, možno je. Pošljite skenirano kopijo ali kakovostno fotografijo na naš elektronski naslov in izdelali bomo potrebni dvojnik.
Katere vrste plačil sprejemate?
Odgovori Dokument lahko plačate po prejemu s strani kurirja, potem ko preverite pravilnost izpolnjevanja in kakovost izvedbe diplome. To lahko storite tudi na poslovalnicah poštnih podjetij, ki ponujajo plačilo po povzetju.
Vsi pogoji dostave in plačila dokumentov so opisani v razdelku »Plačilo in dostava«. Pripravljeni smo prisluhniti tudi vašim predlogom glede pogojev dostave in plačila dokumenta.
Ali sem lahko prepričan, da po oddaji naročila ne boste izginili z mojim denarjem? Odgovori Na področju izdelave diplom imamo kar nekaj izkušenj. Imamo več spletnih mest, ki se nenehno posodabljajo. Naši strokovnjaki delajo v različnih delih države in izdelajo več kot 10 dokumentov na dan. V preteklih letih so naši dokumenti mnogim ljudem pomagali pri reševanju težav z zaposlitvijo ali prehodu na bolje plačana delovna mesta. Med strankami smo pridobili zaupanje in prepoznavnost, zato za to ni prav nobenega razloga. Poleg tega je to preprosto fizično nemogoče storiti: naročilo plačate, ko ga prejmete v roke, predplačila ni.
Ali lahko naročim diplomo katere koli univerze? Odgovori Na splošno ja. Na tem področju delamo že skoraj 12 let. V tem času je bila oblikovana skoraj popolna baza dokumentov, ki so jih izdale skoraj vse univerze v državi in za različna leta izdaje. Vse kar potrebujete je, da izberete univerzo, posebnost, dokument in izpolnite naročilnico.
Kaj storiti, če v dokumentu najdete tipkarske napake in napake?
Odgovori Ko prejmete dokument od našega kurirja ali poštnega podjetja, priporočamo, da natančno preverite vse podrobnosti. Če se odkrije tipkarska napaka, napaka ali netočnost, imate pravico, da diplome ne prevzamete, vendar morate ugotovljene napake navesti osebno kurirju ali pisno po elektronski pošti.
Dokument bomo popravili v najkrajšem možnem času in ga ponovno poslali na navedeni naslov. Seveda bo poštnino plačalo naše podjetje.
Da bi se izognili tovrstnim nesporazumom, pred izpolnjevanjem originalnega obrazca kupcu po elektronski pošti pošljemo maketo bodočega dokumenta v pregled in potrditev končne verzije. Preden pošljemo dokument po kurirju ali po pošti, dodatno fotografiramo in posnamemo tudi video posnetke (tudi v ultravijolični svetlobi), da boste imeli jasno predstavo, kaj boste na koncu prejeli.
Kaj naj storim, da naročim diplomo pri vašem podjetju?
Odgovori Za naročilo dokumenta (spričevala, diplome, akademskega spričevala itd.) morate izpolniti spletno naročilnico na naši spletni strani ali posredovati vaš e-mail, da vam lahko pošljemo prijavnico, ki jo morate izpolniti in poslati nazaj nam.
Če v katerem koli polju naročilnice/vprašalnika ne veste, kaj navesti, ga pustite prazna. Zato bomo vse manjkajoče podatke razjasnili po telefonu.
Zadnje ocene
Valentina:
Rešil si najinega sina pred odpustitvijo! Dejstvo je, da se je moj sin, ko je opustil študij, pridružil vojski. In ko se je vrnil, si ni želel opomoči. Delal brez diplome. Toda pred kratkim so začeli odpuščati vse, ki nimajo "skorje". Zato smo se odločili stopiti v stik z vami in ni nam žal! Zdaj dela mirno in se ničesar ne boji! Hvala vam!
– zagotovo bodo naloge iz trigonometrije. Trigonometrija pogosto ni všeč, ker je treba strpati ogromno težkih formul, polnih sinusov, kosinusov, tangentov in kotangensov. Stran je že enkrat svetovala, kako si zapomniti pozabljeno formulo, na primeru Eulerjeve in Peelove formule.
In v tem članku bomo poskušali pokazati, da je dovolj, da trdno poznate le pet preprostih trigonometričnih formul, o ostalih pa imate splošno predstavo in jih izpeljete sproti. To je tako kot z DNK: molekula ne shrani popolnih načrtov končnega živega bitja. Namesto tega vsebuje navodila za sestavljanje iz razpoložljivih aminokislin. Tako bomo v trigonometriji ob poznavanju nekaterih splošnih načel dobili vse potrebne formule iz majhnega nabora tistih, ki jih je treba imeti v mislih.
Zanašali se bomo na naslednje formule:
Iz formul za sinusne in kosinusne vsote, ob poznavanju paritete kosinusne funkcije in lihosti sinusne funkcije, z zamenjavo -b namesto b, dobimo formule za razlike:
- Sinus razlike: greh(a-b) = grehacos(-b)+cosagreh(-b) = grehacosb-cosagrehb
- Kosinus razlike: cos(a-b) = cosacos(-b)-grehagreh(-b) = cosacosb+grehagrehb
Če vnesemo a = b v iste formule, dobimo formule za sinus in kosinus dvojnih kotov:
- Sinus dvojnega kota: greh2a = greh(a+a) = grehacosa+cosagreha = 2grehacosa
- Kosinus dvojnega kota: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-grehagreha = cos2a-greh2a
Formule za druge večkratne kote dobimo podobno:
- Sinus trojnega kota: greh3a = greh(2a+a) = greh2acosa+cos2agreha = (2grehacosa)cosa+(cos2a-greh2a)greha = 2grehacos2a+grehacos2a-greh 3 a = 3 grehacos2a-greh 3 a = 3 greha(1-greh2a)-greh 3 a = 3 greha-4greh 3a
- Kosinus trojnega kota: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-greh2agreha = (cos2a-greh2a)cosa-(2grehacosa)greha = cos 3 a- greh2acosa-2greh2acosa = cos 3 a-3 greh2acosa = cos 3 a-3(1- cos2a)cosa = 4cos 3 a-3 cosa
Preden gremo naprej, si poglejmo eno težavo.
Podano: kot je oster.
Poiščite njegov kosinus, če
Rešitev enega učenca:
Ker , To greha= 3,a cosa = 4.
(Iz matematičnega humorja)
Definicija tangente torej povezuje to funkcijo s sinusom in kosinusom. Vendar lahko dobite formulo, ki povezuje tangens samo s kosinusom. Za izpeljavo vzamemo glavno trigonometrično identiteto: greh 2 a+cos 2 a= 1 in ga delite s cos 2 a. Dobimo:
Rešitev tega problema bi bila torej:
(Ker je kot oster, se pri izvleku korenine vzame znak +)
Formula za tangens vsote je še ena, ki si jo je težko zapomniti. Izpišimo ga takole:
Takoj prikazano in
Iz formule za kosinus za dvojni kot lahko dobite formuli za sinus in kosinus za pol kota. Če želite to narediti, na levi strani uporabite formulo kosinusa dvojnega kota:
cos2
a = cos 2
a-greh 2
a
dodamo eno in desno - trigonometrično enoto, tj. vsota kvadratov sinusa in kosinusa.
cos2a+1 = cos2a-greh2a+cos2a+greh2a
2cos 2
a = cos2
a+1
Izražanje cosa skozi cos2
a in izvedemo spremembo spremenljivk, dobimo:
Predznak se vzame glede na kvadrant.
Podobno, če odštejemo eno od leve strani enakosti in vsoto kvadratov sinusa in kosinusa od desne, dobimo:
cos2a-1 = cos2a-greh2a-cos2a-greh2a
2greh 2
a = 1-cos2
a
In končno, za pretvorbo vsote trigonometričnih funkcij v produkt uporabimo naslednjo tehniko. Recimo, da moramo vsoto sinusov predstaviti kot produkt greha+grehb. Vstavimo spremenljivki x in y tako, da je a = x+y, b+x-y. Potem
greha+grehb = greh(x+y)+ greh(x-y) = greh x cos y+ cos x greh y+ greh x cos y- cos x greh y=2 greh x cos l. Izrazimo zdaj x in y z a in b.
Ker je a = x+y, b = x-y, potem . Zato
Takoj lahko umaknete
- Formula za razdelitev zmnožki sinusa in kosinusa V znesek: grehacosb = 0.5(greh(a+b)+greh(a-b))
Priporočamo, da vadite in sami izpeljete formule za pretvorbo razlike sinusov ter vsote in razlike kosinusov v zmnožek ter za deljenje zmnožkov sinusov in kosinusov v vsoto. Ko boste opravili te vaje, boste temeljito obvladali veščino izpeljave trigonometričnih formul in se ne boste izgubili niti v najtežjem testu, olimpijadi ali testiranju.
Trigonometrija je ena od vej matematike, ki se osredotoča na kote in razmerja med njimi. Temelji znanosti so postavljeni v šolskih letih, ko se uvajajo definicije kotnih funkcij. V prihodnosti se nastala osnova uporablja pri razvoju astronomije, izdelave instrumentov, arhitekture in drugih področij znanja. Kot vsaka natančna znanost tudi trigonometrija ne more brez formul. Izrazi za določanje dvojnega argumenta so našli praktično uporabo. Na primer, če se zatečete k ustrezni enačbi, lahko preprosto ugotovite dvojni sinusni kot.
Trigonometrični izraz za izračun
Izraz preprosto zapišemo in si ga zapomnimo: sinus dvojnega kota se izračuna kot dvojni produkt sinusa in kosinusa enega argumenta.
Ta formula izhaja iz izraza za sinus vsote kotov ( Q 1 + Q 2 ) :
greh( Q 1 + Q 2) = greh Q 1*cos Q 1 + greh Q 2*cos Q 2 .
Ob predpostavki, da so podani koti med seboj enaki, je formula zapisana v običajni obliki.
Izraz je mogoče uporabiti za katero koli vrednost argumenta funkcije. Povsem preprosto je izračunati dvojni sinusni kot; spodnji primeri vam bodo pomagali to preveriti.
Primer uporabe
Tukaj je nekaj ilustracij uporabe dobljene formule. Recimo, da morate izračunati vrednost trigonometrične funkcije sinusa kota, ki je enak 60 stopinj. Ustrezen posamezen kot bi bil 30 stopinj. Ker sta znani vrednosti sinusa in kosinusa kota 30 stopinj, bo dvojni sinusni kot sin 60 = 2 * sin 30 * cos 30.
Formula se ne uporablja samo za ročne izračune; vrednosti je mogoče najti tudi z uporabo matematičnih paketov ali tabel MS Excel.
Kljub preprostosti trigonometrične identitete povzroča težave maturantom. Prav na to računajo razvijalci nalog enotnega državnega izpita, ko ponujajo teste za preverjanje osnovnih formul. Zaključek - za izračun dvojnega sinusnega kota ga morate znati na pamet!
Najpogostejša vprašanja
Ali je možno izdelati žig na dokument po predloženem vzorcu? Odgovori Ja, možno je. Pošljite skenirano kopijo ali kakovostno fotografijo na naš elektronski naslov in izdelali bomo potrebni dvojnik.
Katere vrste plačil sprejemate?
Odgovori Dokument lahko plačate po prejemu s strani kurirja, potem ko preverite pravilnost izpolnjevanja in kakovost izvedbe diplome. To lahko storite tudi na poslovalnicah poštnih podjetij, ki ponujajo plačilo po povzetju.
Vsi pogoji dostave in plačila dokumentov so opisani v razdelku »Plačilo in dostava«. Pripravljeni smo prisluhniti tudi vašim predlogom glede pogojev dostave in plačila dokumenta.
Ali sem lahko prepričan, da po oddaji naročila ne boste izginili z mojim denarjem? Odgovori Na področju izdelave diplom imamo kar nekaj izkušenj. Imamo več spletnih mest, ki se nenehno posodabljajo. Naši strokovnjaki delajo v različnih delih države in izdelajo več kot 10 dokumentov na dan. V preteklih letih so naši dokumenti mnogim ljudem pomagali pri reševanju težav z zaposlitvijo ali prehodu na bolje plačana delovna mesta. Med strankami smo pridobili zaupanje in prepoznavnost, zato za to ni prav nobenega razloga. Poleg tega je to preprosto fizično nemogoče storiti: naročilo plačate, ko ga prejmete v roke, predplačila ni.
Ali lahko naročim diplomo katere koli univerze? Odgovori Na splošno ja. Na tem področju delamo že skoraj 12 let. V tem času je bila oblikovana skoraj popolna baza dokumentov, ki so jih izdale skoraj vse univerze v državi in za različna leta izdaje. Vse kar potrebujete je, da izberete univerzo, posebnost, dokument in izpolnite naročilnico.
Kaj storiti, če v dokumentu najdete tipkarske napake in napake?
Odgovori Ko prejmete dokument od našega kurirja ali poštnega podjetja, priporočamo, da natančno preverite vse podrobnosti. Če se odkrije tipkarska napaka, napaka ali netočnost, imate pravico, da diplome ne prevzamete, vendar morate ugotovljene napake navesti osebno kurirju ali pisno po elektronski pošti.
Dokument bomo popravili v najkrajšem možnem času in ga ponovno poslali na navedeni naslov. Seveda bo poštnino plačalo naše podjetje.
Da bi se izognili tovrstnim nesporazumom, pred izpolnjevanjem originalnega obrazca kupcu po elektronski pošti pošljemo maketo bodočega dokumenta v pregled in potrditev končne verzije. Preden pošljemo dokument po kurirju ali po pošti, dodatno fotografiramo in posnamemo tudi video posnetke (tudi v ultravijolični svetlobi), da boste imeli jasno predstavo, kaj boste na koncu prejeli.
Kaj naj storim, da naročim diplomo pri vašem podjetju?
Odgovori Za naročilo dokumenta (spričevala, diplome, akademskega spričevala itd.) morate izpolniti spletno naročilnico na naši spletni strani ali posredovati vaš e-mail, da vam lahko pošljemo prijavnico, ki jo morate izpolniti in poslati nazaj nam.
Če v katerem koli polju naročilnice/vprašalnika ne veste, kaj navesti, ga pustite prazna. Zato bomo vse manjkajoče podatke razjasnili po telefonu.
Zadnje ocene
Valentina:
Rešil si najinega sina pred odpustitvijo! Dejstvo je, da se je moj sin, ko je opustil študij, pridružil vojski. In ko se je vrnil, si ni želel opomoči. Delal brez diplome. Toda pred kratkim so začeli odpuščati vse, ki nimajo "skorje". Zato smo se odločili stopiti v stik z vami in ni nam žal! Zdaj dela mirno in se ničesar ne boji! Hvala vam!
