). Te formule vam omogočajo, da se premaknete od vsote ali razlike sinusov in kosinusov kotov do produkta sinusov in/ali kosinusov kotov in. V tem članku bomo najprej našteli te formule, nato prikazali njihovo izpeljavo in na koncu preučili nekaj primerov njihove uporabe.
Navigacija po straneh.
Seznam formul
Zapišimo formuli za vsoto in razliko sinusov in kosinusov. Kot razumete, so štirje: dva za sinuse in dva za kosinuse.
Zdaj pa navedimo njihove formulacije. Pri oblikovanju formul za vsoto in razliko sinusov in kosinusov se kot imenuje polovična vsota kotov in, kot pa polovična razlika. Torej,
Omeniti velja, da formule za vsoto in razliko sinusov in kosinusov veljajo za vse kote in.
Izpeljava formul
Za izpeljavo formul za vsoto in razliko sinusov lahko uporabite formule za dodajanje, zlasti formule
sinus vsote,
sinusna razlika,
kosinus vsote in
kosinus razlike.
Potrebujemo tudi predstavitev kotov v obliki 
in 
. Ta predstavitev velja, saj za vse kote in .
Zdaj pa si ga poglejmo podrobno izpeljava formule za vsoto sinusov dveh kotov prijazen
Najprej zamenjamo skupno z , in naprej , in dobimo. Zdaj pa k 
uporabite sinus formule vsote in na 
- formula za sinus razlike: 
Po zmanjšanju podobnih pogojev dobimo 
. Kot rezultat imamo formulo za vsoto sinusov oblike .
Če želite izpeljati preostale formule, morate narediti podobne korake. Tukaj je izpeljava formul za razliko sinusov ter vsoto in razliko kosinusov: 
Za razliko kosinusov smo podali dve vrsti formul oz 
. So enakovredne, ker 
, kar izhaja iz lastnosti sinusov nasprotnih kotov.
Tako smo preučili dokaz vseh formul za vsoto in razliko sinusov in kosinusov.
Primeri uporabe
Oglejmo si nekaj primerov uporabe formul za vsoto sinusov in kosinusov ter razliko sinusov in kosinusov.
Na primer, preverimo veljavnost formule za vsoto sinusov oblike , pri čemer in . Če želite to narediti, izračunajmo vrednosti leve in desne strani formule za dane kote. Ker in (če je potrebno, glejte tabelo osnovnih vrednosti sinusov in kosinusov), potem . Kdaj in imamo 
in 
, potem . Tako vrednosti leve in desne strani formule za vsoto sinusov za in sovpadajo, kar potrjuje veljavnost te formule.
V nekaterih primerih uporaba formul za vsoto in razliko sinusov in kosinusov omogoča izračun vrednosti trigonometričnih izrazov, ko se koti razlikujejo od osnovnih kotov ( 
). Naj navedemo primer rešitve, ki potrjuje to idejo.
Primer.
Izračunajte natančno vrednost razlike med sinusoma 165 in 75 stopinj.
rešitev.
Ne poznamo natančnih vrednosti sinusov 165 in 75 stopinj, zato ne moremo neposredno izračunati vrednosti dane razlike. Toda formula za razliko sinusov nam omogoča, da odgovorimo na vprašanje problema. Dejansko je polovična vsota kotov 165 in 75 stopinj enaka 120, polovična razlika pa je enaka 45, točne vrednosti sinusa 45 stopinj in kosinusa 120 stopinj pa so znane.
Tako imamo 
odgovor:
.
Nedvomno je glavna vrednost formul za vsoto in razliko sinusov in kosinusov ta, da vam omogočajo prehod od vsote in razlike do produkta trigonometričnih funkcij (zaradi tega se te formule pogosto imenujejo formule za premikanje od vsota produkta trigonometričnih funkcij). In to je lahko koristno, na primer, ko pretvarjanje trigonometričnih izrazov ali kdaj reševanje trigonometričnih enačb. Toda te teme zahtevajo ločeno razpravo.
Bibliografija.
- Algebra: Učbenik za 9. razred. povpr. šola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.: Izobraževanje, 1990. - 272 str.: ilustr
- Bašmakov M. I. Algebra in začetki analize: Učbenik. za 10-11 razrede. povpr. šola - 3. izd. - M .: Izobraževanje, 1993. - 351 str .: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra in začetek analize: Proc. za 10-11 razrede. Splošna izobrazba ustanove / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn in drugi; Ed. A. N. Kolmogorov, 14. izd.: Izobraževanje, 2004. - il.
- Gusev V. A., Mordkovič A. G. Matematika (priročnik za kandidate za tehnične šole): Proc. dodatek.- M.; višje šola, 1984.-351 str., ilustr.
Pretvarjanje vsote (razlike) kosinusov dveh kotov v zmnožek
Za vsoto in razliko kosinusov dveh kotov sta pravilni naslednji formuli:
Vsota kosinusov dveh kotov je enaka dvakratnemu produktu kosinusa polvsote in kosinusa polrazlike teh kotov.
Razlika med kosinusoma dveh kotov je enaka minus dvakratnemu produktu sinusa polvsote in sinusa polrazlike teh kotov.
Primeri
Formuli (1) in (2) lahko dobimo na več načinov. Dokažimo na primer formulo (1).
cos α cos β = 1 / 2 .
Verjeti vanjo (α + β) = X , (α - β) = pri, pridemo do formule (1). Ta metoda je podobna tisti, s katero smo v prejšnjem odstavku dobili formulo za vsoto sinusov dveh kotov.
2. metoda. V prejšnjem odstavku je bila formula dokazana
Verjeti vanjo α = X +π/2, β = pri + π/2, dobimo:
Ampak po redukcijskih formulah greh( X+ π / 2) == cos x, sin (y + π / 2) = cos y;
torej
Q.E.D.
Učence povabimo, da samostojno dokažejo formulo (2). Poskusite najti vsaj dva različna načina dokazovanja!
vaje
1. Izračunajte brez tabel z uporabo formul za vsoto in razliko kosinusov dveh kotov:
A). cos 105° + cos 75°. G). cos 11π / 12-cos 5π/12..
b). cos 105° - cos 75°. d). cos 15° -sin 15°.
V). cos 11π / 12+cos 5π/12.. f). greh π/12+cos 11π / 12.
2 . Poenostavite te izraze:
A). cos( π/3 + α ) + cos ( π/3 - α ).
b). cos( π/3 + α ) - cos ( π/3 - α ).
3. Vsaka od identitet
greh α +cos α = \/ 2 greh( α + π/4)
greh α -cos α = \/ 2 greh( α - π/4)
dokazati na vsaj dva različna načina.
4. Te izraze predstavite v obliki izdelkov:
A). \/ 2 + 2cos α . V). greh x +cos l.
b). \/ 3 - 2 cos α . G). greh x -cos l.
5 . Poenostavite izraz sin 2 ( α - π/8) - cos 2 ( α + π/8) .
6 .Razloži te izraze na faktorje (št. 1156-1159):
A). 1 + greh α -cos α
b). greh α + greh (α + β) + greh β .
V). cos α +cos 2α+cos 3α
G). 1 + greh α +cos α
7. Dokažite te identitete
8. Dokaži, da kosinusov kotov α in β enako, če in samo če
α = ± β + 2nπ,
kjer je n neko celo število.
Formule za vsoto in razliko sinusov in kosinusov za dva kota α in β nam omogočajo, da preidemo od vsote teh kotov do produkta kotov α + β 2 in α - β 2. Naj takoj opozorimo, da formul za vsoto in razliko sinusov in kosinusov ne zamenjujte s formulami za sinuse in kosinuse vsote in razlike. Spodaj navajamo te formule, podajamo njihove izpeljave in prikazujemo primere uporabe za specifične probleme.
Formule za vsoto in razliko sinusov in kosinusov
Zapišimo, kako izgledata formuli za vsoto in razliko za sinuse in kosinuse
Formule vsote in razlike za sinuse
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Formule vsote in razlike za kosinuse
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2
Te formule veljajo za poljubna kota α in β. Kota α + β 2 in α - β 2 imenujemo polvsota in polrazlika kotov alfa oziroma beta. Podajamo formulacijo za vsako formulo.
Definicije formul za vsote in razlike sinusov in kosinusov
Vsota sinusov dveh kotov je enak dvakratnemu produktu sinusa polvsote teh kotov in kosinusa polrazlike.
Razlika sinusov dveh kotov je enak dvakratnemu produktu sinusa polovične razlike teh kotov in kosinusa polovične vsote.
Vsota kosinusov dveh kotov je enak dvakratnemu produktu kosinusa polvsote in kosinusa polrazlike teh kotov.
Razlika kosinusov dveh kotov je enak dvakratnemu zmnožku sinusa polvsote in kosinusa polrazlike teh kotov, vzetega z negativnim predznakom.
Izpeljava formul za vsoto in razliko sinusov in kosinusov
Za izpeljavo formul za vsoto in razliko sinusa in kosinusa dveh kotov se uporabljajo formule za dodajanje. Spodaj jih naštejmo
sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Predstavljajmo si tudi same kote kot vsoto polvsot in polrazlik.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Nadaljujemo neposredno z izpeljavo formul vsote in razlike za sin in cos.
Izpeljava formule za vsoto sinusov
V vsoti sin α + sin β zamenjamo α in β z zgoraj navedenima izrazoma za ta kota. Dobimo
sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2
Zdaj na prvi izraz uporabimo formulo dodatka, na drugega pa formulo za sinus kotnih razlik (glej formule zgoraj)
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Odprite oklepaje, dodajte podobne izraze in dobite zahtevano formulo
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2
Koraki za izpeljavo preostalih formul so podobni.
Izpeljava formule za razliko sinusov
sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Izpeljava formule za vsoto kosinusov
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2
Izpeljava formule za razliko kosinusov
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2
Primeri reševanja praktičnih problemov
Najprej preverimo eno od formul tako, da vanjo nadomestimo določene vrednosti kota. Naj bo α = π 2, β = π 6. Izračunajmo vrednost vsote sinusov teh kotov. Najprej bomo uporabili tabelo osnovnih vrednosti trigonometričnih funkcij, nato pa bomo uporabili formulo za vsoto sinusov.
Primer 1. Preverjanje formule za vsoto sinusov dveh kotov
α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Razmislimo zdaj o primeru, ko se vrednosti kotov razlikujejo od osnovnih vrednosti, predstavljenih v tabeli. Naj bo α = 165°, β = 75°. Izračunajmo razliko med sinusi teh kotov.
Primer 2. Uporaba formule razlike sinusov
α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - 75 ° 2 cos 165 ° + 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Z uporabo formul za vsoto in razliko sinusov in kosinusov se lahko premaknete od vsote ali razlike do produkta trigonometričnih funkcij. Pogosto se te formule imenujejo formule za prehod od vsote na produkt. Formule za vsoto in razliko sinusov in kosinusov se pogosto uporabljajo pri reševanju trigonometričnih enačb in pretvorbi trigonometričnih izrazov.
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
Tema lekcije. Vsota in razlika sinusov. Vsota in razlika kosinusov.
(Lekcija učenja novega znanja.)
Cilji lekcije.
Didaktika:
izpeljejo formule za vsoto sinusov in vsoto kosinusov ter olajšajo njuno asimilacijo pri reševanju nalog;
še naprej razvijati spretnosti in sposobnosti pri uporabi trigonometričnih formul;
preverite stopnjo asimilacije gradiva na temo.
Izobraževalni:
spodbujati razvoj spretnosti samostojne uporabe znanja;
razvijajo veščine samokontrole in medsebojnega nadzora;
nadaljevanje dela na razvoju logičnega mišljenja in ustnega matematičnega govora pri iskanju rešitve zastavljenega problema.
Izobraževalni:
učiti sposobnost komuniciranja in poslušanja drugih;
gojiti pozornost in opazovanje;
spodbujanje motivacije in zanimanja za učenje trigonometrije.
Oprema: predstavitev, interaktivna tabla, formule.
Med predavanji:
Organiziranje časa. - 2 minuti.
Posodabljanje osnovnega znanja. Ponavljanje. – 12 min.
Postavljanje ciljev. - 1 min.
Zaznavanje in razumevanje novega znanja. - 3 min.
Uporaba pridobljenega znanja. - 20 minut.
Analiza dosežkov in popravek dejavnosti. - 5 minut.
Odsev. - 1 min.
Domača naloga. - 1 min.
1. Organiziranje časa.(diapozitiv 1)
- Zdravo! Trigonometrija je eden najzanimivejših razdelkov matematike, vendar se iz neznanega razloga večini študentov zdi najtežji. To je najverjetneje mogoče pojasniti z dejstvom, da je v tem razdelku več formul kot v katerem koli drugem. Uspešno reševanje trigonometričnih problemov zahteva zanesljivo poznavanje številnih formul. Veliko formul je bilo že preučenih, vendar se je izkazalo, da niso vse. Zato bo moto te lekcije Pitagorov rek »Kdor hodi, obvlada pot, kdor pa razmišlja, obvlada matematiko.« Razmislimo!
2. Posodabljanje temeljnega znanja. Ponavljanje.
1) matematični diktat z medsebojnim preverjanjem(diapozitivi 2-5)
Prva naloga. Uporaba naučenih formul izračunaj:
1 možnost
Možnost 2
greh 390 0
cos 420 0
1 – cos 2 30 0
1 – greh 2 60 0
сos 120 0 ∙cos 30 0 + sin 120 0 ∙sin 30 0
sin 30 0 ∙cos 150 0 + cos 30 0 ∙sin 150 0
Odgovori: ; 1 ; -; ; - ; - 1 ; 1 ; ; ; 0 ; ; 3. – medsebojno preverjanje.
Merila za ocenjevanje: (dela se oddajo učitelju)
"4" - 10 - 11
2) problematična naloga(diapozitiv 6) – poročilo študenta.
Poenostavite izraz s trigonometričnimi formulami:
Ali je mogoče ta problem rešiti drugače? (Da, z uporabo novih formul.)
3. Postavljanje ciljev(diapozitiv 7)
Tema lekcije:
Vsota in razlika sinusov. Vsota in razlika kosinusov. - pisanje v zvezek
Cilji lekcije:
izpeljati formule za vsoto in razliko sinusov, vsoto in razliko kosinusov;
jih znati uporabiti v praksi.
4. Zaznavanje in razumevanje novega znanja. ( diapozitiv 8-9)
Izpeljimo formulo za vsoto sinusov: - učitelj
Preostale formule dokazujemo podobno: (formule za pretvorbo vsote v produkt)
Pravila pomnjenja!
Katere druge trigonometrične formule so bile uporabljene za dokazovanje adicijskih formul?
5. Uporaba pridobljenega znanja.(prosojnice 10-11)
Uporaba novih formul:
1) Izračunaj: (pri tabli) - Kakšen bo odgovor? (število)
Diktat z učiteljem
6. Analiza dosežkov in popravek dejavnosti.(diapozitiv 13)
Diferencirano samostojno delo s samotestiranjem
Izračunajte:
7. Razmislek.(diapozitiv 14)
Ali ste zadovoljni s svojim delom pri pouku?
Kakšno oceno bi si dal za celotno lekcijo?
Kateri trenutek je bil najbolj zanimiv v lekciji?
Kje ste se morali najbolj osredotočiti?
8. Domača naloga: učenje formul, individualne naloge na kartončkih.
Redukcijske formule
Redukcijske formule omogočajo iskanje vrednosti trigonometričnih funkcij za vse kote (ne le za ostre). Z njihovo pomočjo lahko naredite transformacije, ki poenostavijo videz trigonometričnih izrazov.
Slika 1.
Poleg redukcijskih formul se pri reševanju nalog uporabljajo naslednje osnovne formule.
1) Formule za en kot:
2) Izražanje nekaterih trigonometričnih funkcij z drugimi:
Komentiraj
V teh formulah mora biti pred radikalnim znakom znak $"+"$ ali $"-"$, odvisno od tega, v katerem kvadrantu je kot.
Vsota in razlika sinusov, vsota in razlika kosinusov
Formule za vsoto in razliko funkcij:
Poleg formul za vsoto in razliko funkcij so lahko pri reševanju nalog uporabne formule za produkt funkcij:
Osnovna razmerja med elementi poševnih trikotnikov
Oznake:
$a$, $b$, $c$ - stranice trikotnika;
$A$, $B$, $C$ - koti nasproti navedenim stranicam;
$p=\frac(a+b+c)(2) $ - polobod;
$S$ - območje;
$R$ - polmer opisanega kroga;
$r$ je polmer včrtanega kroga.
Osnovna razmerja:
1) $\frac(a)(\sin A) =\frac(b)(\sin B) =\frac(c)(\sin C) =2\cdot R$ - sinusni izrek;
2) $a^(2) =b^(2) +c^(2) -2\cdot b\cdot c\cdot \cos A$ - kosinusni izrek;
3) $\frac(a+b)(a-b) =\frac(tg\frac(A+B)(2) )(tg\frac(A-B)(2) ) $ - tangentni izrek;
4) $S=\frac(1)(2) \cdot a\cdot b\cdot \sin C=\sqrt(p\cdot \levo(p-a\desno)\cdot \levo(p-b\desno)\cdot \ levo(p-c\desno)) =r\cdot p=\frac(a\cdot b\cdot c)(4\cdot R) $ - formule ploščin.
Reševanje poševnih trikotnikov
Reševanje poševnih trikotnikov vključuje določitev vseh njegovih elementov: stranice in vogali.
Primer 1
Dane so tri stranice $a$, $b$, $c$:
1) v trikotniku je za izračun kotov mogoče uporabiti le kosinusni izrek, saj je le glavna vrednost arkkosinusa znotraj $0\le \arccos x\le +\pi $, ki ustreza trikotniku;
3) poiščite kot $B$ z uporabo kosinusnega izreka $\cos B=\frac(a^(2) +c^(2) -b^(2) )(2\cdot a\cdot c) $, in nato inverzna trigonometrična funkcija $B=\arccos \left(\cos B\right)$;
Primer 2
Dani sta strani $a$, $b$ in kot $C$ med njima:
1) poiščite stran $c$ z uporabo kosinusnega izreka $c^(2) =a^(2) +b^(2) -2\cdot a\cdot b\cdot \cos C$;
2) poiščite kot $A$ z uporabo kosinusnega izreka $\cos A=\frac(b^(2) +c^(2) -a^(2) )(2\cdot b\cdot c) $, in nato inverzna trigonometrična funkcija $A=\arccos \left(\cos A\right)$;
3) poiščite kot $B$ z uporabo formule $B=180()^\circ -\left(A+C\right)$.
Primer 3
Dana dva kota $A$, $B$ in stranica $c$:
1) poiščite kot $C$ z uporabo formule $C=180()^\circ -\left(A+B\right)$;
2) poiščite stran $a$ z uporabo izreka sinusov $a=\frac(c\cdot \sin A)(\sin C) $;
3) poiščite stran $b$ z uporabo sinusnega izreka $b=\frac(c\cdot \sin B)(\sin C) $.
Primer 4
Dane stranice $a$, $b$ in kot $B$ nasproti strani $b$:
1) zapišite kosinusni izrek $b^(2) =a^(2) +c^(2) -2\cdot a\cdot c\cdot \cos B$ z uporabo danih vrednosti; od tu dobimo kvadratno enačbo $c^(2) -\left(2\cdot a\cdot \cos B\right)\cdot c+\left(a^(2) -b^(2) \right)= 0$ glede na stranice $c$;
2) po rešitvi nastale kvadratne enačbe lahko teoretično dobimo enega od treh primerov - dve pozitivni vrednosti za stran $c$, eno pozitivno vrednost za stran $c$, brez pozitivnih vrednosti za stran $c$; v skladu s tem bo imel problem dve, ena ali nič rešitev;
3) z uporabo določene pozitivne vrednosti stranice $c$ najdemo kot $A$ z uporabo kosinusnega izreka $\cos A=\frac(b^(2) +c^(2) -a^(2 ) )(2\cdot b\cdot c) $ in nato inverzna trigonometrična funkcija $A=\arccos \left(\cos A\right)$;
4) poiščite kot $C$ z uporabo formule $C=180()^\circ -\left(A+B\right)$.
