Geometrijski lik s središčem simetrije. Obstajajo figure, ki nimajo ene simetrične osi

Opredelitev simetrije;

• Opredelitev simetrije;

• Centralna simetrija;

• osna simetrija;

• Simetrija glede na ravnino;

• Rotacijska simetrija;

• Zrcalna simetrija;

• Simetrija podobnosti;

• Simetrija rastlin;

• Živalska simetrija;

• Simetrija v arhitekturi;

• Ali je človek simetrično bitje?

• Simetrija besed in številk;

SIMETRIJA

• SIMETRIJA- sorazmernost, enakost v razporeditvi delov česa na nasprotnih straneh točke, ravne črte ali ravnine.

• (Razlagalni slovar Ozhegov)

• Geometrični predmet se torej šteje za simetričnega, če je z njim mogoče nekaj narediti, po čemer bo ostal nespremenjeno.

O O O klical središče simetrije figure.

• Lik naj bi bil simetričen glede na točko O, če za vsako točko slike obstaja točka, ki ji je simetrična glede na točko O spada tudi k tej figuri. Pika O klical središče simetrije figure.

krog in paralelogram središče kroga ). Urnik nenavadna funkcija

Primeri figur s centralno simetrijo so krog in paralelogram. Središče simetrije kroga je središče kroga, in središče simetrije paralelograma je presečišče njegovih diagonal. Vsaka ravna črta ima tudi centralno simetrijo ( vsaka točka na premici je njeno središče simetrije). Urnik nenavadna funkcija simetričen glede izvora.

• Primer figure, ki nima središča simetrije, je poljuben trikotnik.

A A a klical simetrična os figure.

• Lik naj bi bil simetričen glede na ravno črto A, če za vsako točko slike obstaja točka, ki ji je simetrična glede na ravno črto A spada tudi k tej figuri. Naravnost a klical simetrična os figure.

Na neobrnjen vogalu ena simetrična os simetrala kota ena simetrična os tri simetrične osi dve simetrični osi, in kvadrat je štiri simetrične osi glede na y-os.

Na neobrnjen vogalu ena simetrična os- ravna črta, na kateri se nahaja simetrala kota. Enakokraki trikotnik ima tudi ena simetrična os, in enakostranični trikotnik je tri simetrične osi. Pravokotnik in romb, ki nista kvadrata, imata dve simetrični osi, in kvadrat je štiri simetrične osi. Krog jih ima neskončno veliko. Graf sode funkcije je simetričen, ko je sestavljen glede na y-os.

• Obstajajo figure, ki nimajo ene simetrične osi. Takšne številke vključujejo paralelogram, razen pravokotnika, skalen trikotnik.

Točke A in A1 A A AA1 in pravokotno Ašteje simetrična sama sebi

Točke A in A1 se imenujejo simetrični glede na ravnino A(ravnina simetrije), če je ravnina A poteka skozi sredino segmenta AA1 in pravokotno na ta segment. Vsaka točka ravnine Ašteje simetrična sama sebi. Dva lika se imenujeta simetrična glede na ravnino (ali zrcalno simetrična relativna), če sta sestavljena iz parov simetričnih točk. To pomeni, da za vsako točko ene figure leži točka, ki ji je (relativno) simetrična, v drugi sliki.

Telo (ali postava) ima rotacijska simetrija, če pri obračanju kota 360º/n, kjer je n celo število popolnoma združljiv

• Telo (ali postava) ima rotacijska simetrija, če pri obračanju kota 360º/n, kjer je n celo število, blizu neke ravne črte AB (simetrijske osi) it popolnoma združljiv s prvotnim položajem.

• Radialna simetrija- oblika simetrije, ki se ohrani, ko se predmet vrti okoli določene točke ali črte. Pogosto ta točka sovpada s težiščem predmeta, to je s točko, na kateri seka neskončno število simetrijskih osi. Podobni predmeti so lahko krog, krogla, valj ali stožec.

Zrcalna simetrija zavezuje kogarkoli

Zrcalna simetrija zavezuje kogarkoli predmet in njegov odsev v ravnem zrcalu. Za eno figuro (ali telo) pravimo, da je zrcalno simetrična drugi, če skupaj tvorita zrcalno simetrično figuro (ali telo). Simetrično zrcaljene figure se kljub vsem podobnostim bistveno razlikujejo med seboj. Dve zrcalno simetrični ploski figuri se lahko vedno postavita drug na drugega. Vendar je za to potrebno enega od njiju (ali oba) odstraniti iz njune skupne ravnine.

Simetrija podobnosti gnezdeče lutke.

• Simetrija podobnosti so edinstveni analogi prejšnjih simetrij z edino razliko, da so povezani z hkratno zmanjšanje ali povečanje podobnih delov figure in razdalje med njimi. Najenostavnejši primer takšne simetrije je gnezdeče lutke.

• Včasih imajo lahko figure različne vrste simetrije. Na primer, nekatere črke imajo rotacijsko in zrcalno simetrijo: IN, N, M, O, A.

• Obstaja veliko drugih vrst simetrij, ki so po naravi abstraktne. Na primer:

• Komutacijska simetrija, ki je sestavljen iz dejstva, da če se enaki delci zamenjajo, potem ne pride do sprememb;

• Merilne simetrije povezan s spremembo povečave. V neživi naravi se simetrija pojavlja predvsem v takem naravnem pojavu, kot je kristali, iz katerega so sestavljene skoraj vse trdne snovi. To je tisto, kar določa njihove lastnosti. Najbolj očiten primer lepote in popolnosti kristalov je dobro znani snežinka.

Povsod srečamo simetrijo: v naravi, tehnologiji, umetnosti, znanosti. Koncept simetrije se prepleta skozi celotno večstoletno zgodovino človeške ustvarjalnosti. Načela simetrije igrajo pomembno vlogo v fiziki in matematiki, kemiji in biologiji, tehniki in arhitekturi, slikarstvu in kiparstvu, poeziji in glasbi. Naravni zakoni so prav tako podvrženi načelom simetrije.

simetrična os.

• Številne rože imajo zanimivo lastnost: vrtijo jih lahko tako, da vsak cvetni list zavzame položaj svojega soseda, cvet pa se poravna sam s seboj. Ta cvet ima simetrična os.

• Vijačna simetrija opazimo pri razporeditvi listov na steblih večine rastlin. Listi, razporejeni v spiralo vzdolž stebla, se zdijo razprti v vse smeri in drug drugega ne blokirajo pred svetlobo, ki je izjemno potrebna za življenje rastlin.

• Dvostranska simetrija Prisotni so tudi rastlinski organi, na primer stebla mnogih kaktusov. Pogosto najdemo v botaniki radialno simetrično razporejenih cvetov.

ločnica.

• Simetrija pri živalih pomeni ujemanje velikosti, oblike in obrisa ter relativno razporeditev delov telesa, ki se nahajajo na nasprotnih straneh. ločnica.

• Glavne vrste simetrije so radialno(radialni) – imajo ga iglokožci, kolčniki, meduze itd.; oz dvostranski(dvostransko) - lahko rečemo, da je vsaka žival (naj bo to žuželka, riba ali ptica) sestavljena iz dveh polovic- desno in levo.

• Sferična simetrija pojavlja se pri radiolarijah in sončnih ribah. Vsaka ravnina, narisana skozi središče, deli žival na enaki polovici.

• Simetrija strukture je povezana z organizacijo njenih funkcij. Projekcija simetrijske ravnine - os stavbe - običajno določa lokacijo glavnega vhoda in začetek glavnih prometnih tokov.

• Vsaka podrobnost v simetričnem sistemu obstaja kot dvojnik vašemu obveznemu paru, ki se nahaja na drugi strani osi, in jo zaradi tega lahko obravnavamo le kot del celote.

• Najpogostejši v arhitekturi zrcalna simetrija. Podrejene so mu zgradbe starega Egipta in templji stare Grčije, amfiteatri, kopeli, bazilike in slavoloki Rimljanov, palače in cerkve renesanse ter številne zgradbe sodobne arhitekture.

poudarki

• Da bi bolje odražali simetrijo, so postavljene zgradbe poudarki- posebej pomembni elementi (kupole, zvoniki, šotori, glavni vhodi in stopnišča, balkoni in erkerji).

• Za oblikovanje dekoracije arhitekture se uporablja ornament - ritmično ponavljajoč se vzorec, ki temelji na simetrični sestavi njegovih elementov in je izražen s črto, barvo ali reliefom. V zgodovini se je razvilo več vrst okraskov, ki temeljijo na dveh virih - naravnih oblikah in geometrijskih likih.

• Toda arhitekt je predvsem umetnik. In zato so bili tudi najbolj "klasični" slogi pogosteje uporabljeni disimetrija– niansirano odstopanje od čiste simetrije oz asimetrija- namenoma asimetrična konstrukcija.

• Nihče ne bo dvomil, da je navzven človek zgrajen simetrično: leva roka vedno ustreza desni in obe roki sta popolnoma enaki. Toda podobnosti med našimi rokami, ušesi, očmi in drugimi deli telesa so enake kot med predmetom in njegovim odsevom v ogledalu.

prav njegov pol grobe lastnosti značilnost moškega spola. Leva polovica

To so pokazale številne meritve obraznih parametrov pri moških in ženskah prav njegov pol v primerjavi z levim ima bolj izrazite prečne dimenzije, kar daje obrazu več grobe lastnosti značilnost moškega spola. Leva polovica obraz izrazitejših vzdolžnih dimenzij, kar daje gladke linije in ženstvenost. To dejstvo pojasnjuje prevladujočo željo žensk, da pozirajo pred umetniki z levo stranjo obraza, moški pa z desno.

Palindrom

• Palindrom(iz gr. Palindromos - tek nazaj) je predmet, v katerem je simetrija njegovih komponent določena od začetka do konca in od konca do začetka. Na primer besedna zveza ali besedilo.

• Ravno besedilo palindroma, ki se bere v skladu z običajno smerjo branja dane pisave (običajno od leve proti desni), se imenuje pokonci, vzvratno – z roverjem oz vzvratno(od desne proti levi). Nekatera števila imajo tudi simetrijo.

Homotetičnost in podobnost.Homotetija je transformacija, pri kateri vsaka točka M (ravnina ali prostor) je dodeljen točki M", ki leži na OM (slika 5.16) in razmerje OM":OM= λ enako za vse točke razen O. Fiksna točka O imenovano središče homotetije. Odnos OM": OM velja za pozitivno, če M" in M ležati na eni strani O, negativno - na nasprotnih straneh. številka X imenovan koeficient homotetije. pri X< 0 homotetijo imenujemo inverzna. priλ = - 1 homotetija se spremeni v simetrijsko transformacijo glede točke O. S homotetijo ravna črta preide v ravno črto, ohrani se vzporednost ravnih črt in ravnin, ohranijo se koti (linearni in diedrski), vsaka figura gre vanjo podobno (slika 5.17).

Velja tudi obratno. Homotetijo lahko definiramo kot afino transformacijo, pri kateri premice, ki povezujejo ustrezne točke, potekajo skozi eno točko – središče homotetije. Homotetijo uporabljamo za povečavo slik (projekcijska svetilka, kino).

Centralna in zrcalna simetrija.Simetrija (v širšem smislu) je lastnost geometrijske figure F, ki označuje določeno pravilnost njene oblike, njeno nespremenljivost pod vplivom gibanja in refleksije. Lik Φ ima simetrijo (simetrično), če obstajajo neidentične ortogonalne transformacije, ki to figuro jemljejo vase. Množica vseh ortogonalnih transformacij, ki združujejo figuro Φ s seboj, je skupina te figure. Torej, ravna figura (slika 5.18) s točko M, preoblikovanje-

gledanje vase v ogledalu odboj, simetričen glede na ravno os AB. Tu je skupina simetrije sestavljena iz dveh elementov - točke M pretvorjen v M".

Če je lik Φ na ravnini takšen, da se vrti glede na katero koli točko O na kot 360°/n, kjer je n > 2 celo število, ga prevedemo vase, potem ima lik F simetrijo n-tega reda glede na točko O - središče simetrije. Primer takih figur so pravilni poligoni, na primer v obliki zvezde (slika 5.19), ki ima simetrijo osmega reda glede na svoje središče. Simetrična skupina tukaj je tako imenovana ciklična skupina n-tega reda. Krog ima simetrijo neskončnega reda (ker je združljiv sam s seboj z rotacijo za kateri koli kot).

Najenostavnejše vrste prostorske simetrije so centralna simetrija (inverzija). V tem primeru glede na točko O lik F se združi sam s seboj po zaporednih odbojih od treh med seboj pravokotnih ravnin, tj. O - sredina segmenta, ki povezuje simetrične točke F. Torej, za kocko (sl. 5.20) točka O je središče simetrije. Točke M in M" kocka

Simetrija je povezana s harmonijo in redom. In z dobrim razlogom. Ker na vprašanje, kaj je simetrija, obstaja odgovor v obliki dobesednega prevoda iz stare grščine. In izkaže se, da pomeni sorazmernost in nespremenljivost. In kaj je lahko bolj urejenega kot stroga opredelitev lokacije? In kaj lahko imenujemo bolj harmonično kot nekaj, kar strogo ustreza velikosti?

Kaj pomeni simetrija v različnih znanostih?

Biologija. Pomembna sestavina simetrije v njem je, da imajo živali in rastline pravilno razporejene dele. Poleg tega v tej znanosti ni stroge simetrije. Vedno je nekaj asimetrije. Priznava, da deli celote ne sovpadajo z absolutno natančnostjo.

Fizika. Sistem teles in spremembe v njem opišemo z enačbami. Vsebujejo simetrične komponente, kar poenostavi celotno rešitev. To se doseže z iskanjem ohranjenih količin.

Matematika. Tam je v bistvu pojasnjeno, kaj je simetrija. Poleg tega ima večji pomen v geometriji. Tu je simetrija zmožnost prikaza v figurah in telesih. V ožjem smislu gre preprosto za zrcalno sliko.

Kako različni slovarji opredeljujejo simetrijo?

Ne glede na to, katerega od njih pogledamo, se bo beseda "sorazmernost" pojavila povsod. Pri Dahlu je mogoče videti tudi takšno interpretacijo kot enotnost in enakost. Z drugimi besedami, simetrično pomeni enako. Piše tudi, da je dolgočasen; nekaj, kar ga nima, je videti bolj zanimivo.

Na vprašanje, kaj je simetrija, Ožegov slovar že govori o enakosti v položaju delov glede na točko, črto ali ravnino.

Ušakov slovar omenja tudi sorazmernost, pa tudi popolno ujemanje dveh delov celote drug z drugim.

Kdaj govorimo o asimetriji?

Predpona "a" zanika pomen glavnega samostalnika. Zato asimetrija pomeni, da razporeditev elementov ni primerna za določen vzorec. V njem ni nespremenljivosti.

Ta izraz se uporablja v primerih, ko dve polovici predmeta nista popolnoma enaki. Najpogosteje si sploh niso podobni.

V živi naravi ima asimetrija pomembno vlogo. Poleg tega je lahko koristno in škodljivo. Na primer, srce je nameščeno v levi polovici prsnega koša. Zaradi tega je levo pljučno krilo bistveno manjše. Ampak je nujno.

O centralni in osni simetriji

V matematiki ločimo naslednje vrste:

• osrednji, to je glede na eno točko;
• aksialni, ki ga opazimo blizu ravne črte;
• zrcalno, temelji na refleksijah;
• prenosna simetrija.

Kaj je os in simetrično središče? To je točka ali črta, glede na katero lahko katera koli točka na telesu najde drugo. Poleg tega tako, da je razdalja od prvotne do nastale razpolovljena z osjo ali središčem simetrije. Ko se te točke premikajo, opisujejo enake trajektorije.

V situacijah, ko je treba najti središče simetrije, morate ravnati na naslednji način. Če sta figuri dve, poiščite njuni enaki točki in ju povežite z odsekom. Nato razdelite na pol. Ko je samo ena figura, lahko pomaga poznavanje njenih lastnosti. Pogosto to središče sovpada s presečiščem diagonal ali višin.

Katere oblike so simetrične?

Geometrijske figure imajo lahko osno ali centralno simetrijo. Vendar to ni nujen pogoj, veliko je predmetov, ki ga sploh nimajo. Na primer, paralelogram ima središčno, nima pa osne. Toda neenakokraki trapezi in trikotniki sploh nimajo simetrije.

Če upoštevamo centralno simetrijo, jo ima kar veliko figur. To so odsek in krog, paralelogram in vsi pravilni mnogokotniki s številom stranic, ki je deljivo z dve.

Središče simetrije segmenta (tudi kroga) je njegovo središče, pri paralelogramu pa sovpada s presečiščem diagonal. Medtem ko pri pravilnih mnogokotnikih ta točka sovpada tudi s središčem figure.

Če je na sliki mogoče narisati ravno črto, vzdolž katere jo je mogoče prepogniti, in obe polovici sovpadata, potem bo (ravna črta) simetrijska os. Zanimivo je, koliko simetrijskih osi imajo različne oblike.

Na primer, oster ali tup kot ima samo eno os, ki je njegova simetrala.

Če morate najti os v enakokrakem trikotniku, morate narisati višino do njegove osnove. Črta bo simetrična os. In samo enega. In v enakostraničnem bodo trije naenkrat. Poleg tega ima trikotnik tudi središčno simetrijo glede na presečišče višin.

Krog ima lahko neskončno število simetrijskih osi. Vsaka ravna črta, ki gre skozi njegovo središče, lahko opravlja to vlogo.

Pravokotnik in romb imata dve simetrijski osi. V prvem potekajo skozi sredine stranic, v drugem pa sovpadajo z diagonalami.

Kvadrat združuje prejšnji dve sliki in ima hkrati 4 osi simetrije. Enaki so kot pri rombu in pravokotniku.

"Točka simetrije" - Simetrija v arhitekturi. Primeri simetrije ravninskih likov. Dve točki A in A1 se imenujeta simetrični glede na O, če je O razpolovišče odseka AA1. Primera figur s centralno simetrijo sta krog in paralelogram. Točka C se imenuje središče simetrije. Simetrija v znanosti in tehnologiji.

"Konstrukcija geometrijskih likov" - Izobraževalni vidik. Nadzor in korekcija asimilacije. Študij teorije, na kateri temelji metoda. V stereometriji ni strogih konstrukcij. Stereometrične konstrukcije. Algebraična metoda. Metoda transformacij (podobnost, simetrija, vzporedni prevod itd.). Na primer: ravno; simetrala kota; sredinsko pravokotno.

"Človeška figura" - Obliko in gibanje človeškega telesa v veliki meri določa okostje. Sejem z gledališko predstavo. Mislite, da bo v cirkusu delo za umetnika? Okostje igra vlogo okvirja v strukturi figure. Glavno telo (želodec, prsni koš) Nisem bil pozoren na glavo, obraz, roke. A. Mathis. Proporcije. Antična grčija.

"Simetrija glede na ravno črto" - Simetrija glede na ravno črto se imenuje osna simetrija. Premica a je simetrijska os. Simetrija je relativno ravna. Bulavin Pavel, 9B razred. Koliko simetrijskih osi ima vsak lik? Lik ima lahko eno ali več simetrijskih osi. Centralna simetrija. Enakokraki trapez. Pravokotnik.

"Območja geometrije figur" - Pitagorov izrek. Območja različnih figur. Reši uganko. Številke z enakimi površinami imenujemo enake površine. Enote za merjenje površine. Območje trikotnika. Pravokotnik, trikotnik, paralelogram. Kvadratni centimeter. Številke enake površine. Enake številke b). Kvadratni milimeter. V). Kakšna je ploščina figure, sestavljene iz številk A in D?

“Meja funkcije v točki” - , Potem v tem primeru. Pri prizadevanju. Limit funkcije v točki. Neprekinjeno v točki. Enako vrednosti funkcije v. Toda pri izračunu limita funkcije pri. Enako vrednosti. Izraz. Aspiracija. Ali lahko rečemo takole: v dokaj majhni okolici točke. Sestavljeno iz. rešitev. Neprekinjeno v intervalih. Vmes.

SIMETRIJA PROSTORSKIH LIK

Po mnenju slavnega nemškega matematika G. Weyla (1885-1955) je "simetrija ideja, s pomočjo katere je človek stoletja poskušal razumeti in ustvariti red, lepoto in popolnost."
Čudovite podobe simetrije prikazujejo umetniška dela: arhitektura, slikarstvo, kiparstvo itd.
Pojem simetrije likov na ravnini smo obravnavali pri predmetu planimetrije. Predvsem sta bila opredeljena koncepta centralne in osne simetrije. Za prostorske like je pojem simetrije definiran na podoben način.
Najprej si poglejmo centralno simetrijo.
simetrično glede na točko O klical središče simetrije, če je O središče odseka AA." Točka O velja za simetrično sama sebi.
Transformacija prostora, v kateri je vsaki točki A pridružena točka A, ki ji je simetrična (glede na dano točko O), se imenuje centralna simetrija. Točka O se imenuje središče simetrije.
Imenujeta se dve figuri Ф in Ф". središčno simetrična, če obstaja simetrična transformacija, ki popelje enega od njiju v drugega.
Slika F se imenuje središčno simetrična, če je sama sebi središčno simetrična.
Na primer, paralelepiped je središčno simetričen glede na presečišče svojih diagonal. Žoga in krogla sta središčno simetrični glede na svoja središča.
Od pravilnih poliedrov so središčno simetrični kocka, oktaeder, ikozaeder in dodekaeder. Tetraeder ni središčno simetrična figura.
Razmislimo o nekaterih lastnostih centralne simetrije.
Lastnost 1.Če O 1, O 2 sta središči simetrije lika F, nato točka O 3, simetričen O 1 glede na O 2 je tudi središče simetrije te figure.
Dokaz. Naj bo A točka v prostoru, A 2 – točko, ki je nanjo simetrična glede na O 2, A 1 – točka simetrična na A 2 glede na O 1 in A 3 – simetrična točka A 1 glede na O 2 (slika 1).

Nato trikotniki O 2 O 1 A 1 in O 2 O 3 A 3 , O 2 O 1 A 2 in O 2 O 3 A sta enaka. Zato A in A 3 simetrično glede na O 3 . Tako je simetrija glede O 3 je kompozicija simetrij glede na O 2, O 1 in O 2 . Posledično se s to simetrijo lik F spremeni vase, tj. O 3 je središče simetrije figure F.

Posledica.Katera koli figura nima središča simetrije ali ima eno središče simetrije ali ima neskončno veliko središč simetrije

Dejansko, če O 1, O 2 sta središči simetrije lika F, nato točka O 3, simetričen O 1 glede na O 2 je tudi središče simetrije te figure. Prav tako točka O 4 simetričen O 2 glede na O 3 je tudi središče simetrije lika Ф, itd. Tako ima v tem primeru lik Ф neskončno veliko centrov simetrije.

Oglejmo si zdaj koncept osna simetrija.
Točki A in A" v prostoru imenujemo simetrična glede na ravno črto a, poklical simetrična os, če naravnost a poteka skozi sredino segmenta AA" in je pravokoten na ta segment. Vsaka točka ravne črte a velja za simetričnega samemu sebi.
Transformacija prostora, v kateri je vsaka točka A povezana s točko A, ki ji je simetrična (glede na dano premico a), poklicali osna simetrija. Naravnost a v tem primeru se imenuje simetrična os.
Dve figuri se imenujeta simetrična glede na ravno črto a, če transformacija simetrije glede te premice eno od njih pretvori v drugo.
Slika F v prostoru se imenuje simetrično glede na ravno a, če je simetrična sama sebi.
Na primer, pravokotni paralelepiped je simetričen glede na ravno črto, ki poteka skozi središča nasprotnih ploskev. Pravi krožni valj je simetričen glede na svojo os, krogla in krogla sta simetrična glede na vse premice, ki potekajo skozi njuna središča itd.
Kocka ima tri simetrijske osi, ki potekajo skozi središča nasprotnih ploskev, in šest simetrijskih osi, ki potekajo skozi sredine nasprotnih robov.
Tetraeder ima tri simetrične osi, ki potekajo skozi središča nasprotnih robov.
Oktaeder ima tri simetrijske osi, ki potekajo skozi nasprotna oglišča, in šest simetrijskih osi, ki potekajo skozi središča nasprotnih robov.
Ikozaeder in dodekaeder imata po petnajst simetrijskih osi, ki potekajo skozi središča nasprotnih robov.
Nepremičnina 3.čea 1 , a 2 – simetrične osi figure Ф, nato premicaa 3, simetrično a 1 sorodnik a 2 je tudi simetrijska os tega lika.

Dokaz je podoben dokazu lastnosti 1.

Lastnina 4.Če sta dve sekajoči se pravokotni črti v prostoru simetrični osi dane figure F, potem bo premica, ki poteka skozi točko presečišča in je pravokotna na ravnino teh črt, tudi simetrijska os figure F.
Dokaz. Upoštevajte koordinatne osi O x, O l, O z. Simetrija glede na os O x x, l, z) do točke figure Ф s koordinatami ( x, –y, –z). Podobno simetrija glede na os O l prevaja točko figure F s koordinatami ( x, –l, –z) do točke figure Ф s koordinatami (– x, –y, z) . Tako sestava teh simetrij prevaja točko figure F s koordinatami ( x, y, z) do točke figure Ф s koordinatami (– x, –y, z). Zato je os O z je simetrijska os figure F.

Posledica.Nobena figura v prostoru ne more imeti sodega (različnega od nič) števila simetrijskih osi.
Dejansko popravimo neko simetrično os a. če b– simetrijska os, se ne seka a ali ga ne seka pod pravim kotom, potem zanj obstaja druga simetrijska os b', simetrično glede na a. Če je simetrijska os b križi a pod pravim kotom, potem je zanj še ena simetrijska os b', ki poteka skozi presečišče in je pravokotna na ravnino črt a in b. Zato poleg osi simetrije a možno je sodo ali neskončno število simetrijskih osi. Tako je skupno sodo (različno od nič) število simetrijskih osi nemogoče.
Poleg zgoraj definiranih simetrijskih osi upoštevamo tudi simetrična os n-th red, n 2 .
Naravnost a klical simetrična os n-th red lik Ф, če pri vrtenju lika Ф okrog ravne črte a pod kotom je številka F združena sama s seboj.

Jasno je, da je simetrijska os 2. reda preprosto simetrijska os.
Na primer v pravilnem n- ogljikova piramida, premica, ki poteka skozi vrh in središče baze, je simetrijska os n-th red.
Ugotovimo, katere simetrijske osi imajo pravilni poliedri.
Kocka ima tri simetrijske osi 4. reda, ki potekajo skozi središča nasprotnih ploskev, štiri simetrijske osi 3. reda, ki potekajo skozi nasprotna oglišča, in šest simetrijskih osi 2. reda, ki potekajo skozi središča nasprotnih robov.
Tetraeder ima tri simetrične osi drugega reda, ki potekajo skozi središča nasprotnih robov.
Ikozaeder ima šest simetrijskih osi 5. reda, ki potekajo skozi nasprotna oglišča; deset simetrijskih osi 3. reda, ki potekajo skozi središča nasprotnih ploskev, in petnajst simetrijskih osi 2. reda, ki potekajo skozi središča nasprotnih robov.
Dodekaeder ima šest simetrijskih osi 5. reda, ki potekajo skozi središča nasprotnih ploskev; deset simetrijskih osi 3. reda, ki potekajo skozi nasprotna oglišča, in petnajst simetrijskih osi 2. reda, ki potekajo skozi središča nasprotnih robov.
Razmislimo o konceptu zrcalna simetrija.
Točki A in A" v prostoru imenujemo simetrična glede na ravnino, ali z drugimi besedami, zrcalno simetrično, če ta ravnina poteka skozi sredino segmenta AA" in je pravokotna nanj. Vsaka točka ravnine velja za simetrično sama sebi.
Transformacija prostora, v kateri je vsaki točki A pridružena točka A, ki ji je simetrična (glede na dano ravnino), se imenuje zrcalna simetrija. Letalo se imenuje simetrijsko ravnino.
Dve figuri se imenujeta zrcalno simetrično glede na ravnino, če transformacija simetrije glede na to ravnino pretvori enega od njih v drugega.
Slika F v prostoru se imenuje zrcalno simetrično, če je sama sebi zrcalno simetrična.
Na primer, pravokotni paralelepiped je zrcalno simetričen glede na ravnino, ki poteka skozi simetrijsko os in je vzporedna z enim od parov nasprotnih ploskev. Valj je zrcalno simetričen glede na katero koli ravnino, ki poteka skozi njegovo os itd.
Med pravilnimi poliedri imata kocka in oktaeder po devet simetrijskih ravnin. Tetraeder ima šest simetrijskih ravnin. Ikozaeder in dodekaeder imata po petnajst simetrijskih ravnin, ki potekajo skozi pare nasprotnih robov.
Lastnina 5. Sestava dveh zrcalnih simetrij glede vzporednih ravnin je vzporedna translacija na vektor, ki je pravokoten na ti ravnini in je po velikosti enak dvakratni razdalji med tema ravninama.
Posledica. Vzporedni transport si lahko predstavljamo kot sestavo dveh zrcalnih simetrij.
Lastnina 6. Sestava dveh zrcalnih simetrij glede na ravnini, ki se premo sekata, je rotacija okoli te premice za kot, ki je enak dvakratnemu diedrskemu kotu med tema ravninama. Zlasti je osna simetrija sestava dveh zrcalnih simetrij glede na pravokotne ravnine.
Posledica. Rotacijo si lahko predstavljamo kot sestavo dveh zrcalnih simetrij.
Lastnina 7. Centralno simetrijo lahko predstavimo kot sestavo treh zrcalnih simetrij.
Dokažimo to lastnost s koordinatno metodo. Naj točka A v prostoru ima koordinate ( x, y, z). Zrcalna simetrija glede na koordinatno ravnino spremeni predznak ustrezne koordinate. Na primer, zrcalna simetrija glede ravnine O xy prevede točko s koordinatami ( x, y, z) do točke s koordinatami ( x, y, –z). Sestava treh zrcalnih simetrij glede na koordinatne ravnine prevaja točko s koordinatami ( x, y, z) do točke s koordinatami (– x, –y, –z), ki je središčno simetrična na prvotno točko A.
Gibi, ki figuro F spreminjajo vase, tvorijo skupino glede na kompozicijo. Se imenuje simetrična skupina F številke
Poiščimo vrstni red simetrijske skupine kocke.
Jasno je, da vsako gibanje, ki prenese kocko vase, pusti središče kocke na mestu, središča ploskev prenese v središča ploskev, središča robov v središča robov in oglišča v oglišča.
Tako je za določitev gibanja kocke dovolj, da določite, kje poteka središče ploskve, sredina roba te ploskve in vrh roba.
Razmislimo o razdelitvi kocke na tetraedre, od katerih so oglišča vsakega središče kocke, središče ploskve, sredina roba te ploskve in oglišče roba. Takšnih tetraedrov je 48. Ker je gibanje popolnoma odvisno od tega, v kateri od tetraedrov se dani tetraeder prevede, bo vrstni red skupine simetrij kocke enak 48.
Na podoben način najdemo vrstni red simetrijskih skupin tetraedra, oktaedra, ikozaedra in dodekaedra.
Poiščimo simetrično skupino enotskega kroga S 1 . Ta skupina je označena z O(2). Je neskončna topološka skupina. Predstavljajmo si enotski krog kot skupino kompleksnih števil po modulu ena. Obstaja naravni epimorfizem p:O(2) --> S 1 , ki povezuje element u iz skupine O(2) z elementom u(1) v S 1 . Jedro tega preslikave je skupina Z 2 , ki ga ustvari simetrija enotskega kroga glede na os Ox. Zato O(2)/Z 2S 1 . Poleg tega, če ne upoštevamo strukture skupine, potem obstaja homeomorfizem O(2) in neposredni produkt S 1 in Z 2.
Podobno simetrična skupina dvodimenzionalne krogle S 2 je označena z O(3) in zanj obstaja izomorfizem O(3)/O(2) S 2 .
Simetrične skupine n-dimenzionalnih krogel igrajo pomembno vlogo v sodobnih vejah topologije: teoriji mnogoterosti, teoriji vlaknenskih prostorov itd.
Ena najbolj presenetljivih manifestacij simetrije v naravi so kristali. Lastnosti kristalov so določene z značilnostmi njihove geometrijske strukture, zlasti s simetrično razporeditvijo atomov v kristalni mreži. Zunanje oblike kristalov so posledica njihove notranje simetrije.
Prve, še nejasne domneve, da so atomi v kristalih razporejeni v pravilni, pravilni, simetrični razporeditvi, so bile izražene v delih različnih naravoslovcev že v času, ko je bil sam pojem atoma nejasen in ni bilo eksperimentalnih dokazov o atomska zgradba snovi. Simetrična zunanja oblika kristalov je nehote nakazala idejo, da mora biti notranja struktura kristalov simetrična in pravilna. Zakoni simetrije zunanje oblike kristalov so bili dokončno uveljavljeni sredi 19. stoletja, do konca tega stoletja pa so bili jasno in natančno izpeljani zakoni simetrije, ki jim podležejo atomske strukture v kristalih.
Ustanovitelj matematične teorije strukture kristalov je izjemen ruski matematik in kristalograf - Evgraf Stepanovič Fedorov (1853-1919). Matematika, kemija, geologija, mineralogija, petrografija, rudarstvo - E.S. Fedorov je pomembno prispeval k vsakemu od teh področij. Leta 1890 je striktno matematično izpeljal vse možne geometrijske zakonitosti kombinacije elementov simetrije v kristalnih strukturah, z drugimi besedami, simetrijo razporeditve delcev znotraj kristalov. Izkazalo se je, da je število takih zakonov omejeno. Fedorov je pokazal, da obstaja 230 prostorskih simetričnih skupin, ki so bile kasneje poimenovane Fedorov v čast znanstveniku. To je bilo velikansko delo, opravljeno 10 let pred odkritjem rentgenskih žarkov, 27 let preden so bili uporabljeni za dokaz obstoja same kristalne mreže. Obstoj 230 Fedorovljevih skupin je ena najpomembnejših geometrijskih zakonitosti sodobne strukturne kristalografije. "Ogromni znanstveni podvig E.S. Fedorova, ki je uspel spraviti celoten naravni "kaos" neštetih kristalnih formacij, še vedno vzbuja občudovanje kot odkritje periodnega sistema D.I Kraljestvo kristalov" je neomajen spomenik in končni vrh klasične kristalografije Fedorova," je dejal akademik A.V. Shubnikov.

Literatura
1. Hadamard J. Elementarna geometrija. del II. Stereometrija. – 3. izd. – M.: Uchpedgiz, 1958.
2. Weil G. Simetrija. – M.: Nauka, 1968.
3. Wigner E. Študije o simetriji. – M.: Mir, 1971.
4. Gardner M. Ta desni, levi svet. – M.: Mir, 1967.
5. Gilde V. Zrcalni svet. – M.: Mir, 1982.
6. Kompaneets A.S. Simetrija v mikro- in makrokozmosu. – M.: Nauka, 1978.
7. Paramonova I.M. Simetrija v matematiki. – M.: MTsNMO, 2000.
8. Perepelkin D.I. Tečaj elementarne geometrije. del II. Geometrija v prostoru. – M.-L.: Državna založba. tehnično-teoretični književnost, 1949.
9. Sonin A.S. Razumevanje popolnosti (simetrija, asimetrija, disimetrija, antisimetrija). – M.: Znanje, 1987.
10. Tarasov L.V. Ta neverjetno simetričen svet. – M.: Izobraževanje, 1982.
11. Vzorci simetrije. – M.: Mir, 1980.
12. Šafranovski I.I. Simetrija v naravi. – 2. izd. – L.; 1985.
13. Shubnikov A.V., Koptsik V.A. Simetrija v znanosti in umetnosti. – M.: Nauka, 1972.