Rotor (matematika)

Rotor, oz vrtinec- vektorski diferencialni operator nad vektorskim poljem.

Določeno

(v ruskojezični literaturi) oz

(v angleški literaturi),

in tudi kot vektorsko množenje diferencialnega operatorja z vektorskim poljem:

Rezultat delovanja tega operatorja na določenem vektorskem polju F klical poljski rotor F ali na kratko samo rotor F in predstavlja novo vektorsko polje:

Rot polje F(dolžina in smer vrtenja vektorja F na vsaki točki v prostoru) v nekem smislu označuje rotacijsko komponento polja F oziroma na vsaki točki.

Intuitivna slika

če v(x,y,z) je polje hitrosti plina (ali toka tekočine), torej gnitje v- vektor, ki je sorazmeren z vektorjem kotne hitrosti zelo majhnega in lahkega prahu (ali krogle), ki se nahaja v toku (in ga odnaša gibanje plina ali tekočine; čeprav se lahko središče krogle po želji fiksira, dokler se lahko prosto vrti okoli njega).

Konkretno gnitje v = 2 ω , Kje ω - ta kotna hitrost.

Za preprost prikaz tega dejstva glejte spodaj.

To analogijo je mogoče formulirati precej strogo (glej spodaj). Osnovno definicijo skozi kroženje (podano v naslednjem odstavku) lahko štejemo za enakovredno tako pridobljeni.

Matematična definicija

Zavoj vektorskega polja je vektor, katerega projekcija na vsako smer n je meja razmerja kroženja vektorskega polja vzdolž konture L, ki je rob ravnega območja Δ S, pravokotno na to smer, na velikost tega območja, ko se dimenzije območja nagibajo k nič, območje samo pa se skrči v točko:

Smer prečkanja konture je izbrana tako, da gledano v smeri kontura L hodil v smeri urinega kazalca.

V tridimenzionalnem kartezičnem koordinatnem sistemu se rotor (kot je definiran zgoraj) izračuna na naslednji način (tukaj F- označuje določeno vektorsko polje s kartezičnimi komponentami in - enotske vektorje kartezičnih koordinat):

Zaradi udobja lahko rotor formalno predstavimo kot vektorski produkt operatorja nabla (na levi) in vektorskega polja:

(Zadnja enakost formalno predstavlja vektorski produkt kot determinanto.)

Sorodne definicije

Imenuje se vektorsko polje, katerega curl je nič na kateri koli točki irotacijski in je potencial. Ker sta ta pogoja drug za drugega nujna in zadostna, sta oba pojma praktična sinonima. (Vendar to velja le za primer polj, definiranih na preprosto povezani domeni).

Za nekaj več podrobnosti o medsebojni pogojenosti potencialnosti in irotacijske narave polja glej spodaj (Osnovne lastnosti).

Nasprotno, običajno se pokliče polje, katerega curl ni enak nič vrtinec , tako polje ne more biti potencialno.

Posploševanje

Najbolj neposredna posplošitev rotorja, ki se uporablja za vektorska (in psevdovektorska) polja, definirana na prostorih poljubne dimenzije (pod pogojem, da dimenzija prostora sovpada z dimenzijo vektorja polja), je naslednja:

z indeksi m in n od 1 do dimenzije prostora.

To lahko zapišemo tudi kot zunanji izdelek:

V tem primeru je rotor antisimetrično tenzorsko polje valence dva.

V primeru dimenzije 3 konvolucija tega tenzorja s simbolom Levi-Civita daje običajno definicijo tridimenzionalnega rotorja, podano v zgornjem članku.

Za dvodimenzionalni prostor lahko poleg tega po želji uporabimo podobno formulo s psevdoskalarnim produktom (takšen rotor bo psevdoskalar, ki sovpada s projekcijo tradicionalnega vektorskega produkta na os, pravokotno na dano dvodimenzionalno prostor - če menimo, da je dvodimenzionalni prostor vpet v nek tridimenzionalni prostor, tako da ima tradicionalni vektorski produkt pomen).

Najpomembnejši značilnosti vektorskega polja sta rotor in divergenca. V tem razdelku bomo obravnavali matematični opis teh značilnosti vektorskih polj in metode za njihov izračun z uporabo diferencialnih operacij. V tem primeru bomo uporabili le kartezični koordinatni sistem. V naslednjem poglavju bomo obravnavali popolnejšo definicijo divergence in rotorja ter njun fizični pomen. Izračun teh količin v krivuljnih koordinatnih sistemih bomo obravnavali kasneje.

Oglejmo si vektorsko polje, definirano v tridimenzionalnem prostoru.

Definicija 1. Divergenca vektorskega polja je število, ki je definirano z izrazom

Predpostavlja se, da v obravnavani točki obstajajo ustrezni delni odvodi. Divergenco vektorskega polja, tako kot gradient, lahko zapišemo z operatorjem nabla

Tukaj je divergenca predstavljena kot skalarni produkt vektorjev in F. Naj brez dokaza opozorimo, da divergenca opisuje gostoto virov, ki ustvarjajo polje.

Primer 1. Izračunajte divergenco vektorskega polja v točki.

Definicija 2. Curl vektorskega polja je vektor, ki je definiran z izrazom

Upoštevajte, da se v predstavljenem seštevku indeksi v sosednjih členih spreminjajo po pravilu krožne permutacije, pri čemer se upošteva pravilo.

Zavihek vektorskega polja lahko zapišemo z uporabo operatorja nabla

Rotor označuje težnjo vektorskega polja po vrtenju ali vrtinčenju, zato ga včasih imenujemo vrtinec in ga imenujemo curlF.

Primer 1. Izračunaj zvitost vektorskega polja v točki.

Včasih je treba izračunati gradient vektorskega polja. V tem primeru se izračuna gradient vsake komponente vektorskega polja. Rezultat je tenzor drugega ranga, ki določa gradient vektorja. Ta tenzor lahko opišemo z matriko

Za opis takšnih objektov je priročno uporabiti tenzorski zapis

verjeti. Uporaba tenzorskih metod poenostavlja matematične operacije na takih objektih. Natančna predstavitev aparature tenzorskega računa je podana v predmetu "Osnove tenzorske analize", ki se poučuje vzporedno s predmetom "Dodatna poglavja višje matematike".

Primer 1. Izračunaj gradient vektorskega polja.

rešitev. Za izračune uporabljamo tenzorski zapis. Imamo

Tukaj je Kroneckerjev simbol identitetna matrika.

Primer 2. Izračunajte gradient skalarnega polja in primerjajte izraza in.

Nekatere lastnosti operatorja nabla

Prej smo predstavili operator vektorske diferenciacije

S tem operatorjem smo zapisali glavne diferencialne operacije v tenzorskih poljih:

Operator je posplošitev operatorja diferenciacije in ima ustrezne lastnosti odvoda:

1) odvod vsote je enak vsoti odvodov

2) konstantni množitelj se lahko odstrani iz znaka operaterja

Prevedeno v jezik vektorskih funkcij imajo te lastnosti obliko:

Te formule so izpeljane na enak način kot ustrezne formule za odvode funkcije ene spremenljivke.

Uporaba Hamiltonovega operatorja nam omogoča poenostavitev številnih operacij, povezanih z diferenciacijo v tenzorskih poljih. Vendar ne pozabite, da je ta operator vektorski in da je treba z njim ravnati previdno. Oglejmo si nekaj aplikacij tega operaterja. V tem primeru so ustrezne formule zapisane tako z uporabo Hamiltonovega operaterja kot v običajnem zapisu.

Koncept divergence kot lokalne lastnosti vektorskega polja je bil uveden pri obravnavi toka vektorskega polja na zaprti površini. Podobno lahko uvedemo ustrezno karakteristiko, ko obravnavamo kroženje vektorskega polja.

Razmislimo o nekaterih točkah M in vektorsko polje a . Izberimo neko smer, ki jo označuje enotski vektor n in ravnino, pravokotno na vektor n in poteka skozi točko M. Obkrožimo točko M kontura L, ki leži v dani ravnini. Izračunajmo kroženje vektorskega polja vzdolž te konture in vzemimo razmerje med tem kroženjem in površino S, omejen s konturo L:

Poiščimo zdaj mejo tega razmerja pri S®0, pod pogojem, da kontura L skrči do točke M ne da bi zapustili letalo. Ta meja se imenuje rotor vektorsko polje a na točki M:

. (7.6)

Opomba 3. Rotor je značilnost "rotacijske komponente" vektorskega polja, zato ga označujemo kot rot. Vendar pa včasih namesto besede rotor izraz " vrtinec« in je označen s simbolom curl.

Izpeljimo zdaj formulo za rotor v kartezičnem koordinatnem sistemu. Pustiti n sovpada s smerjo osi Oz, in konturo L je pravokotnik s stranicami D x in D l, medtem ko se vezje premika v nasprotni smeri urinega kazalca (glej sliko 7.3). Potem dobimo

Za prvi mandat dobimo

(segmenti D.A. in B.C. lahko prezrete, saj tukaj x=konst in dx=0). Nadalje

Podobno dobimo za drugi člen

Posledično najdemo

Podobno izračunamo projekcije na druge koordinatne osi:

, .

V vektorski obliki je to mogoče narediti na naslednji način:

To formulo lahko zapišemo bolj strnjeno v simbolni obliki:

. (7.8)

Formulo (7.7) dobimo iz (7.8) z razširitvijo determinante vzdolž prve vrstice.

Primer 7.4. Izračunaj ukrivljenost vektorskega polja a =x 2 l 3 jaz +j +z k v točki M(1;1;1).

rešitev. Snemanje

torej

Primer 7.5. Poiščite rotor polja hitrosti rotirajočega telesa v =–w l jaz +w x j .

rešitev. Zaradi v x=–w l, v l=w x, v z=0, torej

Torej je hitrost rotorja togega telesa na kateri koli točki enaka dvakratni kotni hitrosti. Ugotovljen mehanski pomen rotorja ima širši pomen. Na primer, kolo z rezili v toku tekočine bo imelo največjo hitrost vrtenja, če je os vrtenja usmerjena vzdolž gnilobe a , hitrost vrtenja pa bo enaka .

Teorija polja

Poznan tudi kot vektorska analiza. In za nekatere vektorska analiza, znana kot teorija polja =) Končno smo prišli do te zanimive teme. Tega dela višje matematike ne moremo imenovati preprosto, vendar bom v prihodnjih člankih poskušal doseči dva cilja:

a) tako da vsi razumejo, o čem govori pogovor;

b) in tako, da se "teleki" naučijo reševati vsaj preproste stvari - vsaj na ravni nalog, ki se ponujajo izrednim študentom.

Vse gradivo bo predstavljeno v priljubljenem slogu, in če potrebujete bolj stroge in popolne informacije, lahko vzamete na primer 3. zvezek Fichtenholtza ali si ogledate Wiki.

In takoj razvozlajmo naslov. Mislim, da je s teorijo vse jasno - v najboljših tradicijah spletnega mesta bomo analizirali njegove osnove in se osredotočili na prakso. No, s čim povezujete besedo "polje"?

Travnato igrišče, nogometno igrišče... Več? Področje delovanja, polje eksperimentov. Lep pozdrav humanisti! ...Iz šolskega tečaja? Električno polje, magnetno, elektromagnetno ..., prav. Gravitacijsko polje Zemlje, v katerem se nahajamo. Super! Torej, kdo je to rekel o terenu? veljaven in kompleksna števila? ...nekatere pošasti so se zbrale tukaj! =) Na srečo algebraže minilo.

V naslednjih lekcijah se bomo seznanili s posebnim konceptom polja, konkretne primere iz življenja in se tudi naučijo reševati tematske probleme vektorske analize. Teorijo polja se najbolje uči, kot pravilno ugibate, na terenu - v naravi, kjer je gozd, reka, jezero, vaška hiša, in vabim vse, da se potopite, če ne v toplo poletno realnost, potem v prijetnih spominih:

Polja v današnjem smislu so skalar in vektor, začeli pa bomo z njihovimi »gradniki«.

Prvič, skalar. Pogosto se ta izraz napačno identificira število. Ne, stvari so nekoliko drugačne: skalar je količina, katere vsako vrednost je mogoče izraziti samo ena številka. V fiziki je veliko primerov: dolžina, širina, površina, prostornina, gostota, temperatura itd. Vse to so skalarne količine. In, mimogrede, zgled je tudi masa.

Drugič, vektor. Algebraične definicije vektorja sem se dotaknil v lekciji o linearne transformacije in ena njegovih zasebnih inkarnacij Preprosto nemogoče je ne vedeti=) Tipično vektor je izražena dva ali več številke(z vašimi koordinatami). In celo za enodimenzionalni vektor samo ena številka ne dovolj– iz razloga, ker ima vektor tudi smer. In točka uporabe, če je vektor ni samski. Vektorji označujejo polja fizične sile, hitrost in številne druge količine.

No, zdaj lahko začnete nabirati aluminijaste kumare:

Skalarno polje

če vsak nekaj točke območja prostora je dodeljena določena številka (običajno resnično), potem pravijo, da je na tem območju dano skalarno polje.

Razmislite na primer o pravokotnici, ki izhaja iz zemlje žarek. Stisnite lopato za jasnost =) Kaj skalarna polja lahko vprašam na tem žarku? Prva stvar, ki mi pride na misel, je višinsko polje– ko je vsaki točki žarka dodeljena njena višina nad nivojem tal. ali npr. polje atmosferskega tlaka– tukaj vsaka točka žarka ustreza številčni vrednosti atmosferskega tlaka na dani točki.

Zdaj pa se približajmo jezeru in v mislih narišimo ravnino čez njegovo gladino. Če je vsaka točka "vodnega" fragmenta ravnine povezana z globino jezera, potem je podano skalarno polje. Na teh istih točkah lahko upoštevate druge skalarne količine, na primer temperaturo vodne površine.

Najpomembnejša lastnost skalarnega polja je njegov invariantnost glede na koordinatni sistem. Če prevedemo v človeški jezik, potem ne glede na to, s katere strani pogledamo lopato / jezero - skalarno polje (višina, globina, temperatura itd.) to se ne bo spremenilo. Poleg tega lahko skalarno polje, recimo globino, nastavite na drugo površino, na primer na primerno hemisfera, ali neposredno na sami vodni gladini. Zakaj ne? Ali ni mogoče vsaki točki poloble, ki se nahaja nad jezerom, dodeliti številko? Ploskost sem predlagal izključno zaradi udobja.

Dodajmo še eno koordinato. Vzemite kamen v roko. Vsako točko tega kamna lahko pripišemo svoji fizična gostota. In spet - ne glede na to, v katerem koordinatnem sistemu ga obravnavamo, ne glede na to, kako ga vrtimo v roki - polje skalarne gostote bo ostalo nespremenjeno. Vendar pa nekateri ljudje lahko oporekajo temu dejstvu =) Takšen je kamen modrosti.

S čisto matematičnega vidika (izven fizičnega ali drugega zasebnega pomena) skalarna polja tradicionalno podajajo naše "navadne" funkcije eno , dva , tri in več spremenljivk. Hkrati se v teoriji polja široko uporabljajo tradicionalni atributi teh funkcij, kot npr domena, ravne črte in površine.

S tridimenzionalnim prostorom je vse podobno:
– tukaj je vsaka dopustna točka v prostoru povezana z vektorjem z začetkom v dani točki. "Dopustnost" je določena z domenami definicije funkcij in če je vsaka od njih definirana za vse "X", "E", "Z", bo vektorsko polje določeno v celotnem prostoru.

! Poimenovanja : vektorska polja so označena tudi s črko ali, njihove komponente pa z ali.

Iz zgoraj navedenega je že dolgo jasno, da je mogoče, vsaj matematično, skalarna in vektorska polja definirati v celotnem prostoru. Vendar sem bil še vedno previden z ustreznimi fizikalnimi primeri, saj so takšni koncepti, kot so temperaturo, gravitacija(ali drugi) navsezadnje nekje morda sploh ne obstaja. Ampak to ni več grozljivka, ampak znanstvena fantastika =) In ne samo znanstvena fantastika. Ker veter praviloma ne piha znotraj kamnov.

Opozoriti je treba, da nekatera vektorska polja (enaka polja hitrosti) se s časom hitro spreminjajo, zato mnogi fizični modeli upoštevajo dodatno neodvisno spremenljivko. Mimogrede, enako velja za skalarna polja - temperatura pravzaprav tudi ni "zamrznjena" v času.

Vendar se bomo v okviru matematike omejili na trojstvo in ko se taka polja »srečajo«, bomo implicirali nek fiksen trenutek v času ali čas, v katerem se polje ni spremenilo.

Vektorske črte

Če so opisana skalarna polja črte in ravne površine, potem je mogoče opisati "obliko" vektorskega polja vektorske črte. Verjetno se mnogi spomnijo te šolske izkušnje: magnet je postavljen pod list papirja in na vrh (pa poglejmo!) železni opilki se razsujejo, ki se kar »zvrstijo« vzdolž poljskih črt.

Poskušal bom formulirati bolj preprosto: vsaka točka vektorske črte je začetek vektor polja, ki leži na tangenti v dani točki:

Seveda imajo črtni vektorji v splošnem primeru različne dolžine, zato se na zgornji sliki pri premikanju od leve proti desni njihova dolžina povečuje - tukaj lahko domnevamo, da se približujemo na primer magnetu. V fizičnih poljih sile vektorske črte imenujemo - daljnovodi. Drug, preprostejši primer je gravitacijsko polje Zemlje: njegove poljske črte so žarki z začetkom v središču planeta in vektorji gravitacija ki se nahaja neposredno na samih žarkih.

Vektorske črte polj hitrosti imenujemo trenutne vrstice. Ponovno si predstavljajte prašno nevihto – prašni delci se skupaj z molekulami zraka gibljejo vzdolž teh linij. Podobno je z reko: trajektorije, po katerih se gibljejo molekule tekočine (in ne le), so v dobesednem pomenu črte toka. Na splošno mnogi koncepti teorije polja izhajajo iz hidrodinamike, s katero se bomo večkrat srečali.

Če je "plosko" vektorsko polje podano z neničelno funkcijo, potem lahko njegove poljske črte najdemo iz diferencialna enačba. Rešitev te enačbe daje družina vektorske črte na ravnini. Včasih je pri nalogah potrebno narisati več takih črt, kar običajno ne povzroča težav - izbrali smo več priročnih vrednosti "tse", narisali nekaj hiperbole, in red.

Bolj zanimiva je situacija s prostorskim vektorskim poljem. Njene poljske črte so določene z razmerji . Tukaj se moramo odločiti sistem dveh diferencialnih enačb in dobili dve družini prostorske površine. Presečišča teh družin bodo prostorske vektorske črte. Če so vse komponente ("pe", "ku", "er") različne od nič, potem obstaja več tehničnih rešitev. Ne bom upošteval vseh teh metod. (ker bo članek dosegel nespodobne razsežnosti), vendar se bom osredotočil na pogost poseben primer, ko je ena od komponent vektorskega polja enaka nič. Naštejmo vse možnosti hkrati:

če , potem je treba sistem rešiti;
če , potem sistem;
in če, potem.

In iz neznanega razloga že dolgo nismo imeli prakse:

Primer 1

Poiščite poljske črte vektorskega polja

rešitev: v tem problemu, torej rešujemo sistem:

Pomen je zelo preprost. Torej, če funkcija določa skalarno polje globine jezera, potem ustrezna vektorska funkcija definira niz nesvoboden vektorji, od katerih vsak označuje smer hiter dvig dno na eni ali drugi točki in hitrost tega dviga.

Če funkcija določa skalarno temperaturno polje določene regije prostora, potem ustrezno vektorsko polje označuje smer in hitrost najhitrejše ogrevanje prostora na vsaki točki tega območja.

Oglejmo si splošni matematični problem:

Primer 3

Dana skalarno polje in točka. Zahtevano:

1) sestavite gradientno funkcijo skalarnega polja;

Kar je enako potencialna razlika .

Z drugimi besedami, v potencialnem polju sta pomembni samo začetna in končna točka poti. In če te točke sovpadajo, bo skupno delo sil vzdolž zaprte konture enako nič:

Poberemo pero s tal in ga odnesemo na izhodišče. V tem primeru je tirnica našega gibanja spet poljubna; pero lahko celo spustiš, ga spet dvigneš itd.

Zakaj je končni rezultat nič?

Ali je pero padlo od točke "a" do točke "b"? Padel je. Svoje je opravila sila težnosti.

Je pero zadelo točko "a" nazaj? Razumem. To pomeni, da je bilo opravljeno popolnoma enako delo proti gravitaciji, in ni pomembno, s kakšnimi "pustolovščinami" in s kakšnimi silami - tudi če ga je veter odpihnil nazaj.

Opomba : V fiziki znak minus simbolizira nasprotno smer.

Tako je celotno delo, ki ga opravijo sile, enako nič:

Kot sem že omenil, se fizični in laični koncept dela razlikujeta. In ta razlika vam bo pomagala dobro razumeti ne pero ali celo opeko, ampak na primer klavir :)

Skupaj dvignite klavir in ga spustite po stopnicah. Povlecite ga po ulici. Kolikor želite in kjerkoli želite. In če nihče ni poklical norca, prinesite instrument nazaj. Ste delali? Vsekakor. Do sedmega znoja. Toda z vidika fizike delo ni bilo opravljeno.

Besedna zveza »potencialna razlika« je mamljiva, da bi več govorili o potencialnem elektrostatičnem polju, a šokirati bralce nekako ni prav nič humano =) Še več, primerov je nešteto, saj vsako gradientno polje je potencialno, ki jih je cent ducat.

Toda preprosto je reči "dime ducat": tukaj imamo vektorsko polje - kako ugotoviti ali je potencialna ali ne?

Vektorski poljski rotor

Ali njega vrtinec komponento, ki je izražena tudi z vektorji.

Ponovno vzemimo pero v roke in ga previdno spustimo po reki navzdol. Zaradi čistosti poskusa bomo predpostavili, da je homogen in simetričen glede na svoje središče. Os štrli navzgor.

Razmislimo vektorsko polje trenutna hitrost in določena točka na vodni površini, nad katero se nahaja središče peresa.

Če v na tej točki pero se vrti v nasprotni smeri urinega kazalca, potem ga bomo uskladili z odhodnim nesvoboden vektor navzgor. Hkrati pa, hitreje ko se pero vrti, daljši je ta vektor, ... iz nekega razloga se mi zdi tako črn v svetlih sončnih žarkih ... Če pride do vrtenja v smeri urinega kazalca, potem vektor "gleda" navzdol. Če se pero sploh ne vrti, je vektor enak nič.

Spoznaj - to je to vektor rotorja vektorsko polje hitrosti, označuje smer "vrtinčenja" tekočine v na tej točki in kotna hitrost vrtenja peresa (vendar ne smer ali hitrost samega toka!).

Popolnoma jasno je, da imajo vse točke reke rotacijski vektor (vključno s tistimi, ki so "pod vodo"), torej za vektorsko polje trenutne hitrosti definirali smo novo vektorsko polje!

Če je vektorsko polje podano s funkcijo, potem je njegovo rotorsko polje podano z naslednjim vektorska funkcija:

Še več, če vektorji polje rotorja reke so velike in ponavadi spreminjajo smer, to sploh ne pomeni, da govorimo o vijugasti in nemirni reki (nazaj na primer). To stanje lahko opazimo tudi v ravnem kanalu – ko je na primer hitrost na sredini višja, ob bregovih pa manjša. To pomeni, da se ustvari vrtenje peresa različne stopnje pretoka V sosednji trenutne vrstice.

Po drugi strani pa, če so vektorji rotorja kratki, potem je to lahko "ovinkasta" gorska reka! Pomembno je, da v sosednje tokovne linije hitrost samega toka (hitro ali počasi) nekoliko razlikovala.

In na koncu odgovorimo na zgoraj zastavljeno vprašanje: na kateri koli točki potencialnega polja je njegov rotor enak nič:

Oziroma ničelni vektor.

Imenuje se tudi potencialno polje irotacijski polje.

"Idealni" tok seveda ne obstaja, vendar ga lahko pogosto opazimo hitrostno polje reke so blizu potenciala - razni predmeti mirno plavajo in se ne vrtijo, ...ste si tudi vi zamislili to sliko? Lahko pa plavajo zelo hitro in v ovinku, nato pa upočasnijo, nato pospešijo - pomembno je, da je hitrost toka v sosednje tokovne linije je bil ohranjen konstantna.

In, seveda, naše smrtno gravitacijsko polje. Za naslednji poskus je zelo primeren kateri koli dokaj težek in homogen predmet, na primer zaprta knjiga, neodprta pločevinka piva ali, mimogrede, opeka, ki je čakala na svoja krila =) Držite njene konce z rokami , ga dvignite in previdno spustite v prosti pad. Ne bo se vrtel. In če se, potem je to vaš "osebni trud" ali pa je bila opeka, ki ste jo dobili, napačna. Ne bodite leni in preverite to dejstvo! Samo ne vrzi ničesar skozi okno, to ni več pero

Po tem se lahko s čisto vestjo in povečanim tonom vrnete k praktičnim nalogam:

Primer 5

Pokažite, da je vektorsko polje potencialno in poiščite njegov potencial

rešitev: pogoj neposredno navaja potencialnost polja in naša naloga je to dejstvo dokazati. Poiščimo rotorsko funkcijo ali, kot pogosteje pravijo, rotor danega polja:

Za udobje zapišemo komponente polja:

in začnimo jih iskati delni derivati– priročno jih je »razvrstiti« v »rotacijskem« vrstnem redu, od leve proti desni:
- In takoj preveri to (da bi se izognili dodatnemu delu v primeru rezultata, ki ni enak nič). Gremo naprej: