V članku opisano je bistvo metode vzporedno oblikovanje in njegove lastnosti. Toda kot kaže praksa, je študentom težko zaznati teoretične koncepte brez demonstracije s konkretnimi primeri.
V tem članku bomo pokazali, kako uporabiti lastnosti vzporedne projekcije in lastnosti ravninskih likov, ki jih šolarji poznajo (trikotnik, paralelogram, trapez, krog in šestkotnik) za slike teh figur med vzporednim oblikovanjem .
1. Slika trikotnika
1) Vsak trikotnik (pravokoten, enakokrak, pravilen) je prikazan kot poljuben trikotnik na primernem mestu na sliki.
2) Če je ΔA 1 B 1 C 1 pravokoten, potem je podana slika smeri njegovih dveh višin (krakov). Poljubno sta upodobljeni višina, spuščena na hipotenuzo, in središče včrtanega kroga. Slika navpičnice, spuščene iz dane točke hipotenuze na kateri koli krak, je odsek, ki je vzporeden z drugim krakom.
3) Če je ΔA 1 B 1 C 1 enakokrak, potem je slika mediane B 1 D 1 slika višine in simetrale ΔA 1 B 1 C 1 . Podobi središča včrtane in opisane krožnice pripadata BD.
4) Če je ΔA 1 B 1 C 1 pravilna (enakostranična), potem središči včrtane in opisane krožnice sovpadata in ležita na presečišču median. Zato konstrukcija slike tega trikotnika ne more biti poljubna, če je na primer podano središče enega od teh krogov.
2. Slika paralelograma
Vsak dani paralelogram A 1 B 1 C 1 D 1 (vključno s pravokotnikom, kvadratom, rombom) lahko predstavimo s poljubnim paralelogramom ABCD.
Na sliki poljubnega paralelograma lahko poljubno sestavimo sliki njegovih dveh višin, izrisanih iz enega oglišča. Še več, višine, narisane iz oglišča ostrega kota paralelograma - izvirnika - ležijo zunaj paralelograma, višine, narisane iz oglišča topega kota, pa znotraj njega.
1) Če je A 1 B 1 C 1 D 1 romb, potem je na sliki določen par medsebojno pravokotnih ravnih črt - to sta diagonali ABCD. Zato je mogoče poljubno sestaviti sliko samo ene višine iz danega oglišča romba na njegovo stran.
Pri upodabljanju druge višine romba upoštevajte, da osnove teh višin ležijo na ravni črti, vzporedni z diagonalo romba.
Navpičnice, narisane na stranice romba iz katere koli točke na njegovi diagonali, so upodobljene na podoben način.
2) Če je A 1 B 1 C 1 D 1 kvadrat, potem je njegova slika poljuben paralelogram ABCD. Poleg tega slik višin, simetral, kotov, pravokotnic na stranice ni mogoče sestaviti poljubno.
3. Slika trapeza
Vsak trapez A 1 B 1 C 1 D 1 (pa tudi enakokraki in pravokotnik) lahko predstavimo s poljubnim trapezom ABCD.
1) Če je A 1 B 1 C 1 D 1 splošen trapez, potem lahko sliko njegove višine in ene od navpičnic, spuščenih iz osnovne točke na stranice, poljubno sestavimo.
2) Če je A 1 B 1 C 1 D 1 pravokotni trapez, potem je C 1 B 1 ⊥ A 1 B 1 , slika višine trapeza je že podana na sliki, torej le pravokotnica na nagnjeno stranico. lahko poljubno upodobimo.
3) Če je A 1 B 1 C 1 D 1 enakokraki trapez (obstaja simetrijska os), potem je slika višine segment, ki povezuje središča zgornje in spodnje osnove trapeza (ali vzporedno z njo ).
4. Slika kroga
Vzporedna projekcija kroga je elipsa. Središče kroga na sliki je presečišče konjugiranih premerov elipse. Dva premera kroga (elipse) imenujemo konjugirana, če vsak od njiju razpolovi vse tetive, vzporedne z drugim premerom.
4. Slika pravilnega šesterokotnika
Pravilni šestkotnik A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 upodobimo takole: najprej narišemo poljuben paralelogram BCEF in narišemo njegovi diagonali BE in CF; potem so od točke njihovega presečišča O enaki segmenti poljubne dolžine (vendar večji od polovice stranice BC) položeni vzporedno s stranicama BC in EF. Konci konstruiranih segmentov so točki A in D.
Torej smo preučili vse možne možnosti. slike ravnih likov na ravnini z metodo vzporedne projekcije .
V naslednjem članku si bomo ogledali podoba prostorskih likov na ravnini.
V nekaterih primerih je bolj priročno začeti konstruirati aksonometrične projekcije s konstruiranjem osnovne figure. Zato razmislimo, kako so v aksonometriji upodobljene ravne geometrijske figure, ki se nahajajo vodoravno.
1. kvadrat prikazano na sl. 1, a in b.
Vzdolž osi X položi stran kvadrata a vzdolž osi pri- pol strani a/2 za čelno dimetrično projekcijo in stransko A za izometrično projekcijo. Konci segmentov so povezani z ravnimi črtami.
riž. 1. Aksonometrične projekcije kvadrata:
2. Izdelava aksonometrične projekcije trikotnik prikazano na sl. 2, a in b.
Simetrično na točko O(izhodišče koordinatnih osi) vzdolž osi X odložite polovico stranice trikotnika A/ 2, in vzdolž osi pri- njegova višina h(za čelno dimetrično projekcijo polovična višina h/2). Dobljene točke so povezane z ravnimi segmenti.
riž. 2. Aksonometrične projekcije trikotnika:
a - čelni dimetrični; b - izometrična
3. Izdelava aksonometrične projekcije pravilni šesterokotnik prikazano na sl. 3.
os X desno in levo od točke O položite segmente, ki so enaki strani šesterokotnika. os pri simetrično na točko O položite segmente s/2, enaka polovici razdalje med nasprotnimi stranicami šesterokotnika (za čelno dimetrično projekcijo so ti segmenti prepolovljeni). Od točk m in n, dobljeno na osi pri, povlecite desno in levo vzporedno z osjo X segmenti, ki so enaki polovici stranice šesterokotnika. Dobljene točke so povezane z ravnimi segmenti.
riž. 3. Aksonometrične projekcije pravilnega šesterokotnika:
a - čelni dimetrični; b - izometrična
4. Izdelava aksonometrične projekcije krog .
Frontalna dimetrična projekcija priročno za upodobitev predmetov z ukrivljenimi obrisi, podobnim tistim, prikazanim na sl. 4.
Slika 4. Čelne dimetrične projekcije delov
Na sl. 5. dano frontalni dimetrični projekcija kocke z vpisanimi krogi v njene ploskve. Krogi, ki se nahajajo na ravninah, pravokotnih na osi x in z, so predstavljeni z elipsami. Sprednja stran kocke, pravokotna na os y, je projicirana brez popačenja, krog, ki se nahaja na njej, pa je upodobljen brez popačenja, t.j. opisan s kompasom.
Slika 5. Čelne dimetrične projekcije krogov, včrtanih v ploskve kocke
Konstrukcija čelne dimetrične projekcije ravnega dela z valjasto luknjo .
Čelna dimetrična projekcija ravnega dela z valjasto luknjo se izvede na naslednji način.
1. Konstruirajte obris sprednje strani dela s pomočjo kompasa (slika 6, a).
2. Skozi središča kroga in loke, vzporedne z osjo y, narišemo ravne črte, na katere položimo polovico debeline dela. Dobijo se središča kroga in loki, ki se nahajajo na zadnji površini dela (slika 6, b). Iz teh središč se narišejo krog in loki, katerih polmeri morajo biti enaki polmerom kroga in lokov sprednje ploskve.
3. Nariši tangente na loka. Odstranite odvečne črte in začrtajte vidno konturo (slika 6, c).
riž. 6. Konstrukcija čelne dimetrične projekcije dela s cilindričnimi elementi
Izometrične projekcije krogov .
Kvadrat v izometrični projekciji se projicira v romb. Krogi, vpisani v kvadrate, na primer na ploskvah kocke (slika 7), so v izometrični projekciji prikazani kot elipse. V praksi elipse nadomestijo ovali, ki jih narišemo s štirimi loki krogov.
riž. 7. Izometrične projekcije krogov, včrtanih v ploskve kocke
Konstrukcija ovala, vpisanega v romb.
1. Konstruirajte romb s stranico, ki je enaka premeru prikazanega kroga (slika 8, a). Če želite to narediti, skozi točko O risanje izometričnih osi X in y, in na njih s točke O položite segmente, ki so enaki polmeru prikazanega kroga. Skozi pike a, b, zin d narišite ravne črte, vzporedne z osemi; dobite romb. Velika os ovala se nahaja na veliki diagonali romba.
2. Oval vstavite v romb. Če želite to narediti, iz vrhov topih kotov (točk A in IN) opisujejo loke s polmerom R, enaka razdalji od vrha topega kota (točke A in IN) na točke a, b oz s, d oz. Od točke IN do točk A in b narišite ravne črte (slika 8, b); presečišče teh črt z večjo diagonalo romba daje točke Z in D, ki bodo središča majhnih lokov; polmer R 1 manjši loki je enako Sa (Db). Loki tega polmera konjugirajo velike loke ovala.
riž. 8. Konstrukcija ovala v ravnini, pravokotni na os z.
Tako je zgrajen oval, ki leži v ravnini, pravokotni na os z(oval 1 na sliki 7). Ovali, ki se nahajajo v ravninah, pravokotnih na osi X(ovalne 3) in pri(oval 2), zgrajen na enak način kot oval 1, le oval 3 je zgrajen na oseh pri in z(slika 9, a) in oval 2 (glej sliko 7) - na oseh X in z(Slika 9, b).
riž. 9. Konstrukcija ovala v ravninah, pravokotnih na osi X in pri
Konstruiranje izometrične projekcije dela s cilindrično luknjo.
Če morate na izometrični projekciji dela prikazati skoznjo cilindrično luknjo, izvrtano pravokotno na sprednjo stran, prikazano na sliki. 10, a.
Gradnja se izvaja na naslednji način.
1. Poiščite položaj središča luknje na sprednji strani dela. Skozi najdeno središče so narisane izometrične osi. (Za določitev njihove smeri je priročno uporabiti sliko kocke na sliki 7.) Na osi od središča so položeni segmenti, ki so enaki polmeru prikazanega kroga (slika 10, a).
2. Zgradite romb, katerega stranica je enaka premeru prikazanega kroga; narišite veliko diagonalo romba (slika 10, b).
3. Opišite velike ovalne loke; poiščite središča za majhne loke (slika 10, c).
4. Izvajajo se majhni loki (slika 10, d).
5. Konstruirajte enak oval na hrbtni strani dela in narišite tangente na oba ovala (slika 10, e).
riž. 10. Konstrukcija izometrične projekcije dela s cilindrično luknjo
31*. Narišite pravokotnico iz točke C na premico AB (slika 29,a, kjer je AB || pl. V).
rešitev. Znano je, da se pravi kot projicira na ravnino v obliki pravega kota, če je ena od njegovih stranic vzporedna s projekcijsko ravnino, druga pa seka to ravnino pod ostrim kotom.
V tem primeru (sl. 29, a) je ravna črta AB vzporedna s kvadratom. V. Zato je mogoče iz točke c" (slika 29, b) narisati ravno črto, pravokotno na a"b" in poiskati projekcije točke K, v kateri CK seka AB. Dobimo projekcije c"k " in ck želene pravokotnice.
32. Iz točke C nariši premico pravokotno na premico AB: 1) AB || pl. H (sl. 30, a), 2) AB || pl. W (slika 30, b).
33*. Presekajte ravni črti AB in CD (sl. 31, a) s tretjo ravno črto, ki je pravokotna nanju, tj. poiščite najkrajšo razdaljo med križajočima se ravnima črtama AB in CD, od katerih je ena ravna črta (CD) pravokotna na kvadrat. projekcije N.
rešitev. Ker je premica CD pravokotna na kvadrat. H, potem je katera koli pravokotnica nanjo vzporedna s kvadratom. N. Zato je na kvadratu upodobljen pravi kot med želeno črto in ravnico AB. H v obliki pravega kota. Horizont. projekcija presečišča želene črte s črto CD - točka m - sovpada z (d) (slika 31, b). Skozi točko m narišemo obzorje. projekcija premice, pravokotne na ab, dokler se z njo ne preseka v točki k, in poiščite k". Sprednja stran, projekcija želene premice (k"m") je vzporedna z osjo x.
34*. Konstruirajte romb ABCD, pri čemer veste, da je segment BD ena od njegovih diagonal (BD || pl. V), oglišče A pa mora biti na premici EF (slika 32, a).
rešitev. Diagonali romba sta medsebojno pravokotni in se v presečni točki razpolovita. Zato razdelimo (sl. 32, b) projekcije diagonale BD na polovico. Od BD || pl. V, nato iz točke k" narišemo pravokotno na črto b"d". To ustreza pravilom za konstruiranje projekcije pravega kota na ravnino, glede na katero je diagonala BD vzporedna. Točka presečišča ta navpičnica s projekcijo e"f" predstavlja fronto, projekcija a "želeno oglišče romba A. Za konstrukcijo točke c" odložimo odsek k"c" na nadaljevanje premice a"k", različno iz segmenta a"k". Iz točke a" zgradimo točko a na ef. Ostalo je razvidno iz risbe.
35. Sestavi enakokraki trikotnik ABC z osnovo, ki je enaka BC (BC || pl. H). Oglišče A naj bo na premici EF (slika 33).
36. Sestavi pravokotni trikotnik ABC, katerega stranica A B leži na premici MN (MN || pl. V) in je enaka l. Za krak BC je podana njegova projekcija bс (slika 34).
37*. Konstruirajte enakokraki trikotnik z osnovo BC na premici MN (MN || kvadrat H) in vrhom A na premici EF (slika 35, a). Osnovica BC mora biti enaka višini trikotnika AK, za točko K pa sta podana njen horizont in projekcija.
rešitev. Če želite sestaviti trikotnik, morate najti njegovo višino AK in polovico njegove vrednosti položiti na ravno črto M N na obeh straneh točke K. Na sl. 35, b, iz točke k zgradimo točko k". Iz točke k narišemo pravokotno na ravno črto mn (pravi kot med višino AK in osnovo BC, ki leži na MN, je upodobljen na projekcijski ravnini H v obliki pravega kota, saj je premica MN vzporedna s kvadratom H). dobimo sprednji del. AK višinska projekcija.
Zdaj lahko najdete dejansko višino AK. Da bi to naredili, sestavimo pravokotni trikotnik akK, katerega krak kK je enak razliki oddaljenosti točk A in K od kvadrata. H. Hipotenuza aK izraža višino AK. Če na premico mn nanesemo odseke kb n kc, enake polovici višine AK (tj. polovici odseka aK), dobimo točki b in c, iz njiju pa projekciji b" in c". Ostalo je razvidno iz risbe.
38. Na premici MM sestavi kvadrat ABCD s stranico BC, ki || pl. V (slika 36).
39. Sestavi pravokotni trikotnik ABC s stranico BC na premici MN (MN || ploščina H). Za krak AB je podana projekcija a"b". Krak BC mora biti 1,5-krat večji od kraka AB (slika 37).
8.1. Frontalne dimetrične projekcije krogov. Če želijo nekaj elementov na aksonometrični sliki. na primer, krogi (slika 64) ostanejo nepopačeni, nato se uporabi čelna dimetrična projekcija. Konstrukcija čelne dimetrične projekcije dela s cilindrično luknjo, katere dva pogleda sta prikazana na sliki 64, a, se izvede na naslednji način:
- Z osi x, y, z narišite tanke črte, da označite zunanjo obliko dela (slika 64, b).
- Poiščite sredino luknje na sprednji strani. Skozi njo narišemo os luknje vzporedno z osjo y in nanjo položimo polovico debeline dela. Dobimo sredino luknje, ki se nahaja na hrbtni strani.
- Iz dobljenih točk, kot iz središč, se narišejo krogi, katerih premer je enak premeru luknje (slika 64, c).
- Odstranite odvečne črte in sledite vidnemu obrisu dela (slika 64, d).
riž. 64. Konstrukcija čelne dimetrične projekcije
V svojem delovnem zvezku sestavite čelno dimetrično projekcijo dela, prikazanega na sliki 64, a. Usmerite os y v drugo smer. Povečajte velikost slike približno dvakrat.
8.2. Izometrične projekcije krogov. Izometrična projekcija kroga (slika 65) je krivulja, imenovana elipsa. Elipse je težko sestaviti. V risarski praksi se namesto njih pogosto gradijo ovali. Oval je zaprta krivulja, obrobljena z loki krogov. Oval je priročno sestaviti tako, da ga vgradimo v romb, ki je izometrična projekcija kvadrata.
riž. 65. Slika v izometrični projekciji krogov, včrtanih v kocko
Konstrukcija ovala, vpisanega v romb, se izvede v naslednjem zaporedju.
Najprej je zgrajen romb s stranico, ki je enaka premeru prikazanega kroga (slika 66, a). Da bi to naredili, sta izometrični osi x in y narisani skozi točko O. Na njih so od točke O položeni segmenti, ki so enaki polmeru prikazanega kroga. Skozi točke a, b, c in d narišite ravne črte, vzporedne z osemi; dobite romb.
riž. 66. Konstruiranje ovala
Velika os ovala se nahaja na veliki diagonali romba.
Po tem je v romb vpisan oval. Da bi to naredili, se loki narišejo iz vrhov tupih kotov (točki A in B). Njihov polmer R je enak razdalji od vrha tupega kota (točki A in B) do točk c, d oziroma a, b (slika 66, b).
Skozi točke B in a, B in b so narisane premice. Na presečišču ravnih črt Ba in Bb z večjo diagonalo romba najdemo točki C in D (slika 66, a). Te točke bodo središča majhnih lokov. Njihov polmer R1 je enak Ca (ali Db). Loki tega polmera gladko povezujejo velike loke ovala.
Pregledali smo konstrukcijo ovala, ki leži v ravnini, pravokotni na os z (oval 1 na sliki 65). Konstruirani so tudi ovali, ki se nahajajo v ravninah, pravokotnih na os y (oval 2) in os x (oval 3). Samo za oval 2 se konstrukcija izvaja na oseh x in z (slika 67, a), za oval 3 - na oseh y in z (slika 67, b). Poglejmo, kako se proučevani konstrukti uporabljajo v praksi.
riž. 67. Konstrukcija ovalov: a leži v ravnini, pravokotni na os y; b - leži v ravnini, pravokotni na os x
riž. 68. Konstrukcija izometrične projekcije dela s cilindrično luknjo
8.3. Metoda za izdelavo aksonometričnih projekcij predmetov z okroglimi površinami. Slika 68a prikazuje izometrično projekcijo palice. Treba je upodobiti cilindrično luknjo, izvrtano pravokotno na sprednji rob. Gradnja je narejena tako:
- Poiščite sredino luknje na sprednji strani. Določite smer izometričnih osi, da sestavite romb (glej sliko 65). Iz najdenega središča narišemo osi (slika 68, a) in na njih položimo segmente, ki so enaki polmeru kroga.
- Gradijo romb. Narišite ga vzdolž velike diagonale (slika 68, b).
- Opišite velike loke. Poiščite središča za majhne loke (slika 68. c).
- Iz najdenih središč se narišejo majhni loki.
Isti oval je zgrajen na zadnjem robu, vendar je le njegov vidni del obrisan (slika 68, d).
