Srednja črta trikotnika je odsek, ki povezuje središči njegovih dveh strani. V skladu s tem ima vsak trikotnik tri srednje črte. Če poznate kakovost srednje črte, pa tudi dolžine strani trikotnika in njegovih kotov, lahko določite dolžino srednje črte.

Boste potrebovali

Stranice trikotnika, koti trikotnika

Navodila

1. Naj bo v trikotniku ABC MN srednjica, ki povezuje razpolovišči stranic AB (točka M) in AC (točka N). to. To pomeni, da bo srednja črta MN vzporedna s stranico BC in enaka BC/2. Posledično je za določitev dolžine srednje črte trikotnika dovolj vedeti dolžino stranice te tretje stranice.

2. Naj sta zdaj znani stranici, katerih razpolovišči povezuje srednjica MN, torej AB in AC, ter kot BAC med njima. Ker je MN srednja črta, potem je AM = AB/2 in AN = AC/2. Potem, glede na kosinusni izrek, objektivno: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM. *AN*cos (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Zato je MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).

3. Če sta znani stranici AB in AC, lahko srednjico MN najdemo tako, da poznamo kot ABC ali ACB. Recimo vogal ABC je znan. Ker je po lastnosti srednjice MN vzporedna z BC, sta si kota ABC in AMN ustrezna in posledično ABC = AMN. Potem, v skladu s kosinusnim izrekom: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Posledično je stran MN mogoče najti iz kvadratne enačbe (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0.

2. nasvet: Kako najti stranico kvadratnega trikotnika

Kvadratni trikotnik je pravilneje imenovati pravokotni trikotnik. Odnosi med stranicami in koti tega geometrijskega lika so podrobno obravnavani v matematični disciplini trigonometriji.

Boste potrebovali

- papir;
- pero;
– mize Bradis;
- kalkulator.

Navodila

1. Odkrij strani pravokotne trikotnik s podporo Pitagorovega izreka. Po tem izreku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov katet: c2 = a2+b2, kjer je c hipotenuza. trikotnik, a in b sta njegova kraka. Če želite uporabiti to enačbo, morate poznati dolžino poljubnih dveh strani pravokotnika trikotnik .

2. Če pogoji določajo dimenzije nog, poiščite dolžino hipotenuze. Če želite to narediti, s kalkulatorjem izvlecite kvadratni koren vsote nog, vsakega od njih vnaprej kvadrirajte.

3. Izračunajte dolžino enega od krakov, če poznate mere hipotenuze in drugega kraka. S pomočjo kalkulatorja izluščite kvadratni koren razlike med hipotenuzo na kvadrat in glavnim krakom, prav tako na kvadrat.

4. Če je problemu podana hipotenuza in eden od ostrih kotov, ki mejijo nanjo, uporabite Bradisove tabele. Zagotavljajo vrednosti trigonometričnih funkcij za veliko število kotov. Uporabite kalkulator s funkcijama sinusa in kosinusa ter trigonometrične izreke, ki opisujejo razmerja med stranicami in koti pravokotnika trikotnik .

5. Poiščite krake z uporabo osnovnih trigonometričnih funkcij: a = c*sin?, b = c*cos?, kjer je a krak nasproti vogala?, b je krak ob vogalu?. Na enak način izračunajte velikost stranic trikotnik, če sta podana hipotenuza in drug ostri kot: b = c*sin?, a = c*cos?, kjer je b krak, ki je nasproten kotu?, in ali je krak, ki meji na kot?.

6. V primeru, ko vzamemo krak a in ostri kot, ki meji nanj?, ne pozabite, da je v pravokotnem trikotniku vsota ostrih kotov vedno enaka 90°: ? + ? = 90°. Poiščite vrednost kota nasproti kraka a: ? = 90° – ?. Ali pa uporabite formule za trigonometrično redukcijo: sin? = sin (90° – ?) = cos ?; tg? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/tg?.

7. Če imamo krak a in ostri kot nasproti njega?, z uporabo Bradisovih tabel, kalkulatorja in trigonometričnih funkcij izračunamo hipotenuzo po formuli: c=a*sin?, krak: b=a*tg?.

Video na temo

Slika 1 prikazuje dva trikotnika. Trikotnik ABC je podoben trikotniku A1B1C1. In sosednji stranici sta sorazmerni, kar pomeni, da je AB glede na A1B1 kot AC glede na A1C1. Iz teh dveh pogojev sledi podobnost trikotnikov.

Kako najti srednjo črto trikotnika - znak vzporednosti črt

Slika 2 prikazuje premici a in b, sekanto c. To ustvari 8 vogalov. Kota 1 in 5 sta ustrezna, če sta premici vzporedni, sta tudi ustrezna kota enaka in obratno.

Kako najti srednjo črto trikotnika

Na sliki 3 je M sredina AB, N pa sredina AC, BC je osnova. Segment MN imenujemo srednja črta trikotnika. Sam izrek pravi: Srednja črta trikotnika je vzporedna z osnovnico in enaka njeni polovici.

Da bi dokazali, da je MN srednjica trikotnika, potrebujemo drugi preizkus podobnosti trikotnikov in test vzporednosti premic.

Trikotnik AMN je po drugi lastnosti podoben trikotniku ABC. V podobnih trikotnikih sta ustrezna kota enaka, kot 1 je enak kotu 2, ti koti pa so ustrezni, ko se dve premici sekata s prečnico, torej sta premici vzporedni, MN je vzporedna z BC. Kot A je skupen, AM/AB = AN/AC = ½

Koeficient podobnosti teh trikotnikov je ½, iz tega sledi, da je ½ = MN/BC, MN = ½ BC

Tako smo našli srednjo črto trikotnika in dokazali izrek o srednji črti trikotnika. Če še vedno ne razumete, kako najti srednjo črto, si oglejte spodnji video.

Boste potrebovali

Stranice trikotnika, koti trikotnika

Navodila

Kvadratni trikotnik je pravilneje imenovati pravokotni trikotnik. Odnosi med stranicami in koti tega geometrijskega lika so podrobno obravnavani v matematični disciplini trigonometriji.

Boste potrebovali

- papir;
- pero;
— mize Bradis;
- kalkulator.

Navodila

2. Če pogoji določajo dimenzije nog, poiščite dolžino hipotenuze. Če želite to narediti, s kalkulatorjem izvlecite kvadratni koren vsote nog, vsakega od njih vnaprej kvadrirajte.

7. Če imamo krak a in ostri kot nasproti njega?, z uporabo Bradisovih tabel, kalkulatorja in trigonometričnih funkcij izračunamo hipotenuzo po formuli: c=a*sin?, krak: b=a*tg?.

Video na temo

Video tečaj »Get an A« vključuje vse teme, ki so potrebne za uspešno opravljen enotni državni izpit iz matematike s 60-65 točkami. Popolnoma vse naloge 1-13 profilnega enotnega državnega izpita iz matematike. Primeren tudi za opravljanje osnovnega enotnega državnega izpita iz matematike. Če želite opraviti enotni državni izpit z 90-100 točkami, morate 1. del rešiti v 30 minutah in brez napak!

Pripravljalni tečaj za enotni državni izpit za 10.-11. razred, pa tudi za učitelje. Vse, kar potrebujete za rešitev 1. dela Enotnega državnega izpita iz matematike (prvih 12 težav) in 13. naloga (trigonometrija). In to je več kot 70 točk na Enotnem državnem izpitu in brez njih ne more niti študent s 100 točkami niti študent humanistike.

Vsa potrebna teorija. Hitre rešitve, pasti in skrivnosti enotnega državnega izpita. Analizirane so vse trenutne naloge 1. dela iz banke nalog FIPI. Tečaj v celoti ustreza zahtevam Enotnega državnega izpita 2018.

Tečaj obsega 5 velikih tem, vsaka po 2,5 ure. Vsaka tema je podana od začetka, preprosto in jasno.

Na stotine nalog enotnega državnega izpita. Besedne težave in teorija verjetnosti. Preprosti in lahko zapomniti si algoritme za reševanje problemov. Geometrija. Teorija, referenčni material, analiza vseh vrst nalog enotnega državnega izpita. Stereometrija. Zapletene rešitve, uporabne goljufije, razvoj prostorske domišljije. Trigonometrija od začetka do problema 13. Razumevanje namesto nabijanja. Jasne razlage kompleksnih konceptov. Algebra. Koreni, potence in logaritmi, funkcija in odvod. Osnova za reševanje kompleksnih problemov 2. dela enotnega državnega izpita.

1 Dodatna konstrukcija, ki vodi do izreka o središčnici trikotnika, lastnosti trapeza in podobnosti trikotnikov.

In ona enaka polovici hipotenuze.
Posledica 1.
Posledica 2.

2 Vsi pravokotni trikotniki z enakim ostrim kotom so si podobni. Pogled na trigonometrične funkcije.

3 Primer dodatne konstrukcije je višina, spuščena na hipotenuzo. Izpeljava Pitagorovega izreka na podlagi podobnosti trikotnikov.

Iz tega je razvidno, da

1 Vsi pravokotni trikotniki z enakim ostrim kotom so si podobni. Pogled na trigonometrične funkcije.

Trikotniki s šrafiranimi in nešrafiranimi stranicami so si podobni v tem, da sta si kota enaka. Torej kje

To pomeni, da so navedene relacije odvisne le od ostrega kota pravokotnega trikotnika in ga v bistvu določajo. To je eden od razlogov za pojav trigonometričnih funkcij:

Pogosto je pisanje trigonometričnih funkcij kotov v podobnih pravokotnih trikotnikih bolj jasno kot pisanje podobnostnih relacij!

2 Primer dodatne konstrukcije je višina, spuščena na hipotenuzo. Izpeljava Pitagorovega izreka na podlagi podobnosti trikotnikov.

Spustimo višino CH na hipotenuzo AB. Imamo tri podobne trikotnike ABC, AHC in CHB. Zapišimo izraze za trigonometrične funkcije:

Iz tega je razvidno, da . Če seštejemo, dobimo Pitagorov izrek, saj:

Za drug dokaz Pitagorovega izreka glej komentar k 4. nalogi.
3 Pomemben primer dodatne konstrukcije je konstrukcija kota, ki je enak enemu od kotov trikotnika.

Iz oglišča pravega kota narišemo odsek premice, ki tvori kot s krakom CA, ki je enak kotu CAB danega pravokotnega trikotnika ABC. Kot rezultat dobimo enakokraki trikotnik ACM z osnovnimi koti. Toda drugi trikotnik, ki izhaja iz te konstrukcije, bo tudi enakokrak, saj je vsak njegov kot na dnu enak (zaradi lastnosti kotov pravokotnega trikotnika in konstrukcije - kot je bil "odštet" od pravega kota). Ker sta trikotnika BMC in AMC enakokraka s skupno stranico MC, velja enakost MB=MA=MC, tj. M.C. mediana, potegnjena na hipotenuzo pravokotnega trikotnika, in ona enaka polovici hipotenuze.
Posledica 1. Središče hipotenuze je središče kroga, ki je obkrožen okoli tega trikotnika, saj se izkaže, da je središče hipotenuze enako oddaljeno od oglišč pravokotnega trikotnika.
Posledica 2. Srednja črta pravokotnega trikotnika, ki povezuje sredino hipotenuze in sredino kraka, je vzporedna z nasprotnim krakom in je enaka njegovi polovici.

V enakokrakih trikotnikih BMC in AMC spustimo višini MH in MG na osnovki. Ker je v enakokrakem trikotniku višina, spuščena na osnovo, tudi mediana (in simetrala), potem sta MH in MG črti pravokotnega trikotnika, ki povezuje sredino hipotenuze z razpolovišči nog. Po konstrukciji se izkaže, da so vzporedni z nasprotnimi kraki in enaki njihovim polovicam, saj sta trikotnika enaka MHC in MGC sta enaka (in MHCG je pravokotnik). Ta rezultat je osnova za dokaz izreka o srednji črti poljubnega trikotnika in nadalje srednji črti trapeza ter lastnosti sorazmernosti segmentov, ki jih odsekajo vzporedne črte na dveh ravnih črtah, ki ju sekata.

Naloge
Uporaba lastnosti podobnosti -1
Uporaba osnovnih lastnosti - 2
Uporaba dodatne formacije 3-4

1 2 3 4

Višina, spuščena z vrha pravega kota pravokotnega trikotnika, je enaka kvadratnemu korenu iz dolžin segmentov, na katere deli hipotenuzo.

Rešitev se zdi očitna, če poznate izpeljavo Pitagorovega izreka iz podobnosti trikotnikov:

\(\mathrm(tg)\beta=\frac(h)(c_1)=\frac(c_2)(h)\),
od koder \(h^2=c_1c_2\).

Poiščite geometrijsko mesto (GMT) presečišča median vseh možnih pravokotnih trikotnikov, katerih hipotenuza AB je fiksna.

Točka presečišča median katerega koli trikotnika odseka eno tretjino mediane, šteto od točke njegovega presečišča z ustrezno stranjo. V pravokotnem trikotniku je mediana, potegnjena iz pravega kota, enaka polovici hipotenuze. Zato je želeni GMT krog s polmerom, ki je enak 1/6 dolžine hipotenuze, s središčem na sredini te (fiksne) hipotenuze.