Koncept neposredne sorazmernosti

Predstavljajte si, da nameravate kupiti svoje najljubše bonbone (ali karkoli, kar vam je res všeč). Sladkarije v trgovini imajo svojo ceno. Recimo 300 rubljev na kilogram. Več bonbonov kot kupite, več denarja plačate. Se pravi, če želite 2 kilograma, plačajte 600 rubljev, če želite 3 kilograme, pa 900 rubljev. Zdi se, da je vse jasno, kajne?

Če je odgovor pritrdilen, potem vam je zdaj jasno, kaj je neposredna sorazmernost - to je koncept, ki opisuje razmerje dveh količin, ki sta odvisni druga od druge. In razmerje med temi količinami ostane nespremenjeno in konstantno: za koliko delov se ena od njih poveča ali zmanjša, za enako število delov se sorazmerno poveča ali zmanjša druga.

Neposredno sorazmernost lahko opišemo z naslednjo formulo: f(x) = a*x, pri čemer je a v tej formuli konstantna vrednost (a = const). V našem primeru o sladkarijah je cena stalna vrednost, konstanta. Ne poveča se ali zmanjša, ne glede na to, koliko bonbonov se odločite kupiti. Neodvisna spremenljivka (argument)x je, koliko kilogramov bonbonov boste kupili. In odvisna spremenljivka f(x) (funkcija) je, koliko denarja na koncu plačate za svoj nakup. Tako lahko številke nadomestimo s formulo in dobimo: 600 rubljev. = 300 rubljev. * 2 kg.

Vmesni zaključek je naslednji: če se argument poveča, se poveča tudi funkcija, če se argument zmanjša, se zmanjša tudi funkcija

Funkcija in njene lastnosti

Direktna proporcionalna funkcija je poseben primer linearne funkcije. Če je linearna funkcija y = k*x + b, potem za direktno sorazmernost izgleda takole: y = k*x, kjer se k imenuje sorazmernostni koeficient in je vedno neničelno število. K je enostavno izračunati - najdemo ga kot kvocient funkcije in argumenta: k = y/x.

Da bo bolj jasno, vzemimo še en primer. Predstavljajte si, da se avto premika od točke A do točke B. Njegova hitrost je 60 km/h. Če predpostavimo, da hitrost gibanja ostane konstantna, jo lahko vzamemo kot konstanto. In potem zapišemo pogoje v obliki: S = 60*t, in ta formula je podobna funkciji neposredne sorazmernosti y = k *x. Nadaljujmo vzporednico: če je k = y/x, potem lahko hitrost avtomobila izračunamo ob poznavanju razdalje med A in B ter časa, porabljenega na cesti: V = S /t.

In zdaj, od uporabne uporabe znanja o neposredni sorazmernosti, se vrnimo nazaj k njeni funkciji. Lastnosti, ki vključujejo:

njegova definicijska domena je množica vseh realnih števil (kot tudi njenih podmnožic);

funkcija je čudna;

sprememba spremenljivk je premosorazmerna vzdolž celotne dolžine številske premice.

Direktna sorazmernost in njen graf

Graf funkcije preme sorazmernosti je premica, ki seka izhodišče. Če ga želite zgraditi, je dovolj, da označite samo še eno točko. In poveži to in izhodišče koordinat z ravno črto.

V primeru grafa je k naklon. Če je naklon manjši od nič (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), graf in os x tvorita oster kot, funkcija pa narašča.

In še ena lastnost grafa funkcije neposredne sorazmernosti je neposredno povezana z naklonom k. Recimo, da imamo dve neidentični funkciji in s tem dva grafa. Torej, če so koeficienti k teh funkcij enaki, so njihovi grafi nameščeni vzporedno s koordinatno osjo. In če koeficienti k med seboj niso enaki, se grafa sekata.

Primeri težav

Zdaj pa rešimo par težave z direktno sorazmernostjo

Začnimo z nečim preprostim.

Problem 1: Predstavljajte si, da je 5 kokoši v 5 dneh zneslo 5 jajc. In če je 20 kokoši, koliko jajc bodo znesle v 20 dneh?

Rešitev: Označimo neznanko s kx. In razmišljali bomo takole: kolikokrat več piščancev je postalo? 20 delite s 5 in ugotovite, da je 4-krat. Kolikokrat več jajc bo 20 kokoši zneslo v istih 5 dneh? Tudi 4-krat več. Našo torej ugotovimo takole: 5*4*4 = 80 jajc bo v 20 dneh zneslo 20 kokoši.

Zdaj je primer nekoliko bolj zapleten, parafrazirajmo problem iz Newtonove "Splošne aritmetike". Problem 2: Pisatelj lahko sestavi 14 strani nove knjige v 8 dneh. Če bi imel pomočnike, koliko ljudi bi potrebovalo, da bi v 12 dneh napisali 420 strani?

Rešitev: Sklepamo, da se število ljudi (pisatelj + pomočniki) povečuje z obsegom dela, če ga je treba opraviti v enakem času. Toda kolikokrat? Če 420 delimo s 14, ugotovimo, da se poveča za 30-krat. Ker pa je glede na pogoje naloge za delo namenjeno več časa, se število pomočnikov ne poveča za 30-krat, ampak na ta način: x = 1 (pisatelj) * 30 (krat): 12/8 ( dnevi). Preoblikujemo in ugotovimo, da bo x = 20 ljudi napisalo 420 strani v 12 dneh.

Rešimo še en problem, podoben tistim v naših primerih.

Problem 3: Dva avtomobila se odpravita na isto pot. Eden se je gibal s hitrostjo 70 km/h in je enako razdaljo prevozil v 2 urah, drugi pa v 7 urah. Poiščite hitrost drugega avtomobila.

Rešitev: Kot se spomnite, je pot določena s hitrostjo in časom - S = V *t. Ker sta oba avtomobila prevozila enako razdaljo, lahko oba izraza enačimo: 70*2 = V*7. Kako ugotovimo, da je hitrost drugega avtomobila V = 70*2/7 = 20 km/h.

In še nekaj primerov nalog s funkcijami preme sorazmernosti. Včasih težave zahtevajo iskanje koeficienta k.

4. naloga: Glede na funkciji y = - x/16 in y = 5x/2 določi njuni sorazmernostni koeficient.

Rešitev: Kot se spomnite, je k = y/x. To pomeni, da je za prvo funkcijo koeficient enak -1/16, za drugo pa k = 5/2.

Morda boste naleteli tudi na nalogo, kot je Naloga 5: Zapišite neposredno sorazmernost s formulo. Njen graf in graf funkcije y = -5x + 3 se nahajata vzporedno.

Rešitev: Funkcija, ki nam je dana v pogoju, je linearna. Vemo, da je direktna sorazmernost poseben primer linearne funkcije. Vemo tudi, da če so koeficienti k funkcij enaki, so njihovi grafi vzporedni. To pomeni, da je vse, kar je potrebno, izračunati koeficient znane funkcije in nastaviti neposredno sorazmernost z uporabo nam znane formule: y = k *x. Koeficient k = -5, direktna sorazmernost: y = -5*x.

Zaključek

Zdaj ste se naučili (ali spomnili, če ste to temo že obravnavali), kaj se imenuje premo sorazmernost, in si ga ogledal primeri. Pogovarjali smo se tudi o funkciji preme sorazmernosti in njenem grafu ter rešili več primerov nalog.

Če je bil ta članek koristen in vam je pomagal razumeti temo, nam o tem povejte v komentarjih. Da vemo, ali bi vam lahko koristili.

blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.

Vrste odvisnosti

Poglejmo si polnjenje baterije. Kot prvo količino vzemimo čas, ki je potreben za polnjenje. Druga vrednost je čas delovanja po polnjenju. Dlje kot polnite baterijo, dlje bo zdržala. Postopek se bo nadaljeval, dokler baterija ni popolnoma napolnjena.

Odvisnost časa delovanja baterije od časa polnjenja

Opomba 1

Ta odvisnost se imenuje naravnost:

Ko se ena vrednost poveča, se poveča tudi druga. Ko se ena vrednost zmanjša, se zmanjša tudi druga vrednost.

Poglejmo še en primer.

Več knjig kot učenec prebere, manj napak bo naredil pri nareku. Ali višje ko se dvignete v gore, nižji bo atmosferski tlak.

Opomba 2

Ta odvisnost se imenuje vzvratno:

Ko se ena vrednost poveča, se druga zmanjša. Ko se ena vrednost zmanjša, se druga vrednost poveča.

Tako, v primeru neposredna odvisnost obe količini se spreminjata enako (obe bodisi naraščata bodisi padata), in v primeru inverzno razmerje– nasprotno (ena se povečuje, druga zmanjšuje ali obratno).

Ugotavljanje odvisnosti med količinami

Primer 1

Čas, potreben za obisk prijatelja, je 20 $ minut. Če se hitrost (prva vrednost) poveča za $2$-krat, bomo ugotovili, kako se bo spremenil čas (druga vrednost), ki ga bomo porabili na poti do prijatelja.

Očitno se bo čas zmanjšal za $2$-krat.

Opomba 3

Ta odvisnost se imenuje sorazmerno:

Kolikokrat se spremeni ena količina, tolikokrat se spremeni druga količina.

Primer 2

Za 2$ štruce kruha v trgovini morate plačati 80 rubljev. Če morate kupiti štruce kruha za 4$ (količina kruha se poveča za 2$-krat), kolikokrat več boste morali plačati?

Očitno se bodo tudi stroški povečali za 2$-krat. Imamo primer proporcionalne odvisnosti.

V obeh primerih so bile upoštevane proporcionalne odvisnosti. Toda v primeru s štrucami kruha se količine spreminjajo v eno smer, zato je odvisnost naravnost. In v primeru odhoda k prijatelju je razmerje med hitrostjo in časom vzvratno. Tako obstaja neposredno sorazmerno razmerje in obratno sorazmerno razmerje.

Neposredna sorazmernost

Vzemimo $2$ proporcionalne količine: število štruc kruha in njihovo ceno. Naj 2$ kruha stane 80$ rubljev. Če se število žemljic poveča za 4$-krat (8$ žemljic), bo njihov skupni strošek znašal 320$ rubljev.

Razmerje med številom zvitkov: $\frac(8)(2)=4$.

Razmerje stroškov žemljice: $\frac(320)(80)=4$.

Kot lahko vidite, so ta razmerja med seboj enaka:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Definicija 1

Enakost dveh razmerij se imenuje delež.

Z neposredno sorazmerno odvisnostjo dobimo razmerje, ko sprememba prve in druge količine sovpada:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Definicija 2

Ti dve količini se imenujeta neposredno sorazmerna, če se ob spremembi ene od njiju (povečanje ali zmanjšanje) tudi druga vrednost spremeni (poveča oziroma zmanjša) za enako vrednost.

Primer 3

Avto je prevozil 180$ km v 2$ urah. Poiščite čas, v katerem bo pretekel 2$-kratnik razdalje z enako hitrostjo.

rešitev.

Čas je neposredno sorazmeren z razdaljo:

$t=\frac(S)(v)$.

Kolikokrat se bo razdalja povečala, pri konstantni hitrosti, za toliko se bo povečal čas:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Avto je prevozil 180$ km v 2$ urah

Avto bo prevozil $180 \cdot 2=360$ km - v $x$ urah

Dlje kot bo avto potoval, dlje bo trajalo. Posledično je razmerje med količinama premo sorazmerno.

Naredimo razmerje:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Odgovori: Avto bo potreboval 4$ ure.

Obratna sorazmernost

Definicija 3

rešitev.

Čas je obratno sorazmeren s hitrostjo:

$t=\frac(S)(v)$.

Za kolikokrat se poveča hitrost, pri enaki poti se čas zmanjša za toliko:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Zapišimo pogoj problema v obliki tabele:

Avto je prevozil 60$ km - v 6$ urah

Avto bo prevozil 120$ km – v $x$ urah

Hitreje ko avto vozi, manj časa bo potreboval. Posledično je razmerje med količinama obratno sorazmerno.

Naredimo razmerje.

Ker sorazmernost je obratna, drugo razmerje v sorazmerju je obratno:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Odgovori: Avto bo potreboval 3$ ure.

Neposredna in obratna sorazmernost

Če je t čas gibanja pešca (v urah), s prevožena razdalja (v kilometrih) in se premika enakomerno s hitrostjo 4 km/h, potem lahko razmerje med tema količinama izrazimo s formulo s = 4t. Ker vsaka vrednost t ustreza eni sami vrednosti s, lahko rečemo, da je funkcija definirana s formulo s = 4t. Imenuje se direktna sorazmernost in je definirana na naslednji način.

Opredelitev. Neposredna sorazmernost je funkcija, ki jo je mogoče določiti s formulo y=kx, kjer je k realno število, ki ni nič.

Ime funkcije y = k x je posledica dejstva, da sta v formuli y = k x spremenljivki x in y, ki sta lahko vrednosti količin. In če je razmerje dveh količin enako številu, ki je različno od nič, se imenujejo neposredno sorazmerna . V našem primeru = k (k≠0). Ta številka se imenuje sorazmernostni koeficient.

Funkcija y = k x je matematični model številnih realnih situacij, obravnavanih že v začetnem tečaju matematike. Eden od njih je opisan zgoraj. Drug primer: če ena vreča moke vsebuje 2 kg in je bilo kupljenih x takih vreč, potem lahko celotno maso kupljene moke (označeno z y) predstavimo s formulo y = 2x, tj. razmerje med številom vreč in skupno maso nabavljene moke je premo sorazmerno s koeficientom k=2.

Spomnimo se nekaterih lastnosti neposredne sorazmernosti, ki se preučujejo v šolskem tečaju matematike.

1. Domena definicije funkcije y = k x in obseg njenih vrednosti je niz realnih števil.

2. Graf neposredne sorazmernosti je premica, ki poteka skozi izhodišče. Zato je za izgradnjo grafa neposredne sorazmernosti dovolj, da poiščemo samo eno točko, ki mu pripada in ne sovpada z izvorom koordinat, nato pa skozi to točko in izvor koordinat narišemo ravno črto.

Na primer, za izdelavo grafa funkcije y = 2x je dovolj, da imamo točko s koordinatami (1, 2), nato pa skozi njo in izhodišče koordinat narišemo ravno črto (slika 7).

3. Pri k > 0 funkcija y = khx narašča na celotnem področju definicije; pri k< 0 - убывает на всей области определения.

4. Če je funkcija f neposredna sorazmernost in (x 1, y 1), (x 2, y 2) so pari ustreznih vrednosti spremenljivk x in y ter x 2 ≠0 potem.

Dejansko, če je funkcija f neposredna sorazmernost, jo lahko podamo s formulo y = khx in nato y 1 = kh 1, y 2 = kh 2. Ker je pri x 2 ≠0 in k≠0, potem je y 2 ≠0. Zato in to pomeni.

Če sta vrednosti spremenljivk x in y pozitivna realna števila, potem lahko dokazano lastnost neposredne sorazmernosti formuliramo na naslednji način: z večkratnim povečanjem (zmanjšanjem) vrednosti spremenljivke x se za toliko poveča (zmanjša) ustrezna vrednost spremenljivke y.

Ta lastnost je neločljivo povezana samo z neposredno sorazmernostjo in jo je mogoče uporabiti pri reševanju besedilnih nalog, v katerih so obravnavane neposredno sorazmerne količine.

Naloga 1. V 8 urah je strugar izdelal 16 delov. Koliko ur bo potreboval strugar za izdelavo 48 delov, če bo delal pri enaki produktivnosti?

rešitev. Problem obravnava naslednje količine: delovni čas strugarja, število delov, ki jih izdela, in produktivnost (tj. število delov, ki jih strugar izdela v 1 uri), pri čemer je zadnja vrednost konstantna, drugi dve pa zavzemata različne vrednosti. Poleg tega sta število izdelanih delov in delovni čas premosorazmerni količini, saj je njuno razmerje enako določenemu številu, ki ni enako nič, in sicer številu delov, ki jih strugar izdela v 1 uri izdelanih delov označimo s črko y, delovni čas je x, produktivnost pa k, potem dobimo, da je = k ali y = khx, tj. Matematični model situacije, predstavljene v problemu, je direktna sorazmernost.

Problem je mogoče rešiti na dva aritmetična načina:

1. način: 2. način:

1) 16:8 = 2 (otroci) 1) 48:16 = 3 (krat)

2) 48:2 = 24 (h) 2) 8-3 = 24 (h)

Pri reševanju problema na prvi način smo najprej našli sorazmernostni koeficient k, ta je enak 2, nato pa smo, ko smo vedeli, da je y = 2x, našli vrednost x pod pogojem, da je y = 48.

Pri reševanju problema na drugi način smo uporabili lastnost preme sorazmernosti: kolikorkrat se poveča število delov, ki jih izdela strugar, za toliko se poveča tudi čas za njihovo izdelavo.

Zdaj pa preidimo na funkcijo, imenovano obratna sorazmernost.

Če je t čas gibanja pešca (v urah), v njegova hitrost (v km/h) in je prehodil 12 km, potem razmerje med tema količinama lahko izrazimo s formulo v∙t = 20 ali v = .

Ker vsaka vrednost t (t ≠ 0) ustreza eni sami vrednosti hitrosti v, lahko rečemo, da je funkcija podana s formulo v =. Imenuje se obratna sorazmernost in je definirana na naslednji način.

Opredelitev. Inverzna sorazmernost je funkcija, ki jo je mogoče določiti s formulo y =, kjer je k realno število, ki ni enako nič.

Ime te funkcije je posledica dejstva, da y = obstajata spremenljivki x in y, ki sta lahko vrednosti količin. In če je produkt dveh količin enak nekemu številu, ki je različen od nič, potem se imenujejo obratno sorazmerni. V našem primeru je xy = k(k ≠0). To število k imenujemo sorazmernostni koeficient.

funkcija y = je matematični model številnih realnih situacij, ki so bile obravnavane že v začetnem tečaju matematike. Eden od njih je opisan pred definicijo obratne sorazmernosti. Drug primer: če ste kupili 12 kg moke in jo dali v pločevinke po l: y kg, potem lahko razmerje med temi količinami predstavimo kot x-y = 12, tj. je obratno sorazmeren s koeficientom k=12.

Spomnimo se nekaterih lastnosti obratne sorazmernosti, znanih iz šolskega tečaja matematike.

1.Domena definicije funkcije y = in obseg njegovih vrednosti x je niz realnih števil, ki niso nič.

2. Graf obratne sorazmernosti je hiperbola.

3. Pri k > 0 se veje hiperbole nahajajo v 1. in 3. četrtini in funkcija y = pada na celotnem področju definicije x (slika 8).

riž. 8 Slika 9

Na k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y = narašča na celotnem področju definicije x (slika 9).

4. Če je funkcija f inverzna sorazmernost in (x 1, y 1), (x 2, y 2) so pari ustreznih vrednosti spremenljivk x in y, potem.

Če je funkcija f obratno sorazmerna, jo lahko podamo s formulo y = ,in potem . Ker je x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, potem

Če sta vrednosti spremenljivk x in y pozitivna realna števila, potem lahko to lastnost obratne sorazmernosti formuliramo na naslednji način: s povečanjem (zmanjšanjem) vrednosti spremenljivke x večkrat, ustrezna vrednost spremenljivke y zmanjša (poveča) za enako količino.

Ta lastnost je neločljivo povezana samo z obratno sorazmernostjo in jo je mogoče uporabiti pri reševanju besedilnih nalog, v katerih se upoštevajo obratno sorazmerne količine.

Naloga 2. Kolesar, ki se je gibal s hitrostjo 10 km/h, je pot od A do B prevozil v 6 urah. Koliko časa bo kolesar porabil za pot nazaj, če bo vozil s hitrostjo 20 km/h?

rešitev. Problem obravnava naslednje količine: hitrost kolesarja, čas gibanja in razdaljo od A do B, pri čemer je zadnja količina konstantna, ostali dve pa imata različne vrednosti. Poleg tega sta hitrost in čas gibanja obratno sorazmerni količini, saj je njun produkt enak določenemu številu, in sicer prevoženi razdalji. Če čas gibanja kolesarja označimo s črko y, hitrost z x in razdaljo AB s k, dobimo, da je xy = k ali y =, tj. Matematični model situacije, predstavljene v problemu, je obratna sorazmernost.

Težavo lahko rešite na dva načina:

1. način: 2. način:

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (krat)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(h)

Pri reševanju problema na prvi način smo najprej našli sorazmernostni koeficient k, ta je enak 60, nato pa, ko smo vedeli, da je y =, smo našli vrednost y pod pogojem, da je x = 20.

Pri reševanju problema na drugi način smo uporabili lastnost obratne sorazmernosti: za kolikorkrat se poveča hitrost gibanja, se čas za pretekanje iste razdalje zmanjša za enako število.

Upoštevajte, da so pri reševanju specifičnih problemov z obratno sorazmernimi ali neposredno sorazmernimi količinami naložene nekatere omejitve za x in y; zlasti jih ni mogoče upoštevati za celotno množico realnih števil, temveč za njene podmnožice.

Problem 3. Lena je kupila x svinčnikov, Katya pa 2-krat več. Število svinčnikov, ki jih je kupila Katya, označimo z y, izrazimo y z x in zgradimo graf ugotovljene korespondence, če je x≤5. Je to dopisovanje funkcija? Kakšna je njegova domena opredelitve in obseg vrednosti?

rešitev. Katja je kupila = 2 svinčnika. Pri izrisu funkcije y=2x je treba upoštevati, da spremenljivka x označuje število svinčnikov in x≤5, kar pomeni, da lahko zavzame le vrednosti 0, 1, 2, 3, 4, 5. To bo domena definicije te funkcije. Če želite pridobiti obseg vrednosti te funkcije, morate vsako vrednost x iz območja definicije pomnožiti z 2, tj. to bo niz (0, 2, 4, 6, 8, 10). Zato bo graf funkcije y = 2x z domeno definicije (0, 1, 2, 3, 4, 5) množica točk, prikazanih na sliki 10. Vse te točke pripadajo premici y = 2x .

Danes si bomo pogledali, katere količine imenujemo obratno sorazmerne, kako izgleda graf obratne sorazmernosti in kako vam vse to lahko koristi ne le pri pouku matematike, ampak tudi izven šole.

Tako drugačna razmerja

Sorazmernost poimenuj dve količini, ki sta med seboj odvisni.

Odvisnost je lahko neposredna in obratna. Posledično so razmerja med količinami opisana z neposredno in obratno sorazmernostjo.

Neposredna sorazmernost– to je takšno razmerje med dvema količinama, v katerem povečanje ali zmanjšanje ene od njiju povzroči povečanje ali zmanjšanje druge. Tisti. njihov odnos se ne spremeni.

Na primer, več truda ko vložite v učenje za izpite, višje so vaše ocene. Ali pa več stvari kot boste vzeli s seboj na pohod, težji bo vaš nahrbtnik. Tisti. Količina truda, vloženega v priprave na izpite, je premosorazmerna z doseženimi ocenami. In število stvari, spakiranih v nahrbtniku, je neposredno sorazmerno z njegovo težo.

Obratna sorazmernost– to je funkcionalna odvisnost, pri kateri večkratno zmanjšanje ali povečanje neodvisne vrednosti (imenuje se argument) povzroči sorazmerno (tj. enako število krat) povečanje ali zmanjšanje odvisne vrednosti (imenuje se a funkcijo).

Ponazorimo s preprostim primerom. Na tržnici želite kupiti jabolka. Jabolka na pultu in količina denarja v vaši denarnici sta v obratnem sorazmerju. Tisti. Več jabolk ko kupite, manj denarja vam bo ostalo.

Funkcija in njen graf

Funkcijo obratne sorazmernosti lahko opišemo kot y = k/x. V katerem x≠ 0 in k≠ 0.

Ta funkcija ima naslednje lastnosti:

1. Njegova definicijska domena je množica vseh realnih števil, razen x = 0. D(l): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Obseg so vsa realna števila razen l= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nima najvišjih ali najmanjših vrednosti.
4. Je nenavaden in njegov graf je simetričen glede na izvor.
5. Neperiodično.
6. Njegov graf ne seka koordinatnih osi.
7. Nima ničel.
8. če k> 0 (tj. argument narašča), funkcija sorazmerno pada na vsakem svojem intervalu. če k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Ko se argument poveča ( k> 0) negativne vrednosti funkcije so v intervalu (-∞; 0), pozitivne vrednosti pa v intervalu (0; +∞). Ko se argument zmanjša ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graf inverzne sorazmernostne funkcije imenujemo hiperbola. Prikazano na naslednji način:

Problemi obratne sorazmernosti

Da bo bolj jasno, si poglejmo več nalog. Niso preveč zapleteni, njihovo reševanje pa vam bo pomagalo vizualizirati, kaj je obratna sorazmernost in kako vam lahko to znanje koristi v vsakdanjem življenju.

Naloga št. 1. Avto se giblje s hitrostjo 60 km/h. Potreboval je 6 ur, da je prišel do cilja. V kolikšnem času bo pretekel enako razdaljo, če se giblje dvakrat hitreje?

Začnemo lahko tako, da zapišemo formulo, ki opisuje razmerje med časom, razdaljo in hitrostjo: t = S/V. Strinjam se, da nas zelo spominja na funkcijo obratne sorazmernosti. In kaže, da sta čas, ki ga avto preživi na cesti, in hitrost, s katero se premika, v obratnem sorazmerju.

Da to preverimo, poiščemo V 2, ki je glede na pogoj 2-krat večji: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Nato izračunamo razdaljo po formuli S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Zdaj ni težko ugotoviti časa t 2, ki se od nas zahteva glede na pogoje problema: t 2 = 360/120 = 3 ure.

Kot lahko vidite, sta čas potovanja in hitrost res obratno sorazmerna: pri hitrosti, ki je 2-krat višja od prvotne hitrosti, bo avto na cesti porabil 2-krat manj časa.

Rešitev tega problema lahko zapišemo tudi kot delež. Torej, najprej ustvarimo ta diagram:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Puščice označujejo obratno sorazmerno razmerje. Predlagajo tudi, da je treba pri sestavljanju razmerja desno stran zapisa obrniti: 60/120 = x/6. Kje dobimo x = 60 * 6/120 = 3 ure.

Naloga št. 2. V delavnici je zaposlenih 6 delavcev, ki lahko zadano količino dela opravijo v 4 urah. Če se število delavcev prepolovi, koliko časa bodo preostali delavci potrebovali, da opravijo enako količino dela?

Zapišimo pogoje problema v obliki vizualnega diagrama:

↓ 6 delavcev – 4 ure

↓ 3 delavci – x h

Zapišimo to kot razmerje: 6/3 = x/4. In dobimo x = 6 * 4/3 = 8 ur. Če je delavcev 2-krat manj, bodo preostali porabili 2-krat več časa za vse delo.

Naloga št. 3. V bazen vodita dve cevi. Skozi eno cev teče voda s hitrostjo 2 l/s in napolni bazen v 45 minutah. Skozi drugo cev se bo bazen napolnil v 75 minutah. S kakšno hitrostjo teče voda skozi to cev v bazen?

Za začetek zreducirajmo vse količine, ki so nam dane glede na pogoje problema, na iste merske enote. Za to izrazimo hitrost polnjenja bazena v litrih na minuto: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Ker pogoj pomeni, da se bazen skozi drugo cev polni počasneje, to pomeni, da je pretok vode manjši. Sorazmernost je obratna. Izrazimo neznano hitrost skozi x in sestavimo naslednji diagram:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

In potem sestavimo razmerje: 120/x = 75/45, od koder je x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

V nalogi je stopnja polnjenja bazena izražena v litrih na sekundo, odgovor, ki smo ga prejeli, zreducirajmo na enako obliko: 72/60 = 1,2 l/s.

Naloga št. 4. Mala zasebna tiskarna tiska vizitke. Zaposleni v tiskarni dela s hitrostjo 42 vizitk na uro in dela cel dan - 8 ur. Če bi delal hitreje in v eni uri natisnil 48 vizitk, koliko prej bi lahko šel domov?

Sledimo preverjeni poti in sestavimo diagram glede na pogoje problema, pri čemer želeno vrednost označimo kot x:

↓ 42 vizitk/uro – 8 ur

↓ 48 vizitk/h – x h

Imamo obratno sorazmerno razmerje: kolikorkrat več vizitk zaposleni v tiskarni natisne na uro, tolikokrat manj časa bo potreboval za isto delo. Če vemo to, ustvarimo razmerje:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 ur.

Tako je lahko uslužbenec tiskarne, ko je delo opravil v 7 urah, odšel domov eno uro prej.

Zaključek

Zdi se nam, da so ti problemi obratne sorazmernosti res preprosti. Upamo, da zdaj tudi vi razmišljate o njih tako. In glavna stvar je, da vam lahko znanje o obratno sorazmerni odvisnosti količin resnično koristi večkrat.

Ne samo pri pouku in izpitih matematike. A tudi takrat, ko se pripravljate na izlet, nakupovanje, se odločite za kakšen dodaten zaslužek med počitnicami ipd.

V komentarjih nam povejte, katere primere obratnega in premosorazmernega razmerja opazite okoli sebe. Naj bo taka igra. Videli boste, kako razburljivo je. Ne pozabite deliti tega članka na družbenih omrežjih, da se bodo lahko igrali tudi vaši prijatelji in sošolci.

blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.

Ti dve količini se imenujeta neposredno sorazmerna, če ko se eden od njih večkrat poveča, se drugi poveča za enako količino. V skladu s tem, ko se eden od njih večkrat zmanjša, se drugi zmanjša za enako količino.

Razmerje med temi količinami je premo sorazmerno razmerje. Primeri neposredne sorazmerne odvisnosti:

1) pri konstantni hitrosti je prevožena razdalja neposredno sorazmerna s časom;

2) obseg kvadrata in njegova stranica sta neposredno sorazmerni količini;

3) stroški izdelka, kupljenega po eni ceni, so neposredno sorazmerni z njegovo količino.

Če želite razlikovati neposredno sorazmerno razmerje od obratnega, lahko uporabite pregovor: "Dlje v gozd, več drv."

Primerno je reševati probleme, ki vključujejo neposredno sorazmerne količine, z uporabo razmerij.

1) Za izdelavo 10 delov potrebujete 3,5 kg kovine. Koliko kovine bo šlo za izdelavo 12 takih delov?

(Mi razmišljamo takole:

1. V izpolnjen stolpec postavite puščico v smeri od največjega števila proti najmanjšemu.

2. Več ko je delov, več kovine je potrebno za njihovo izdelavo. To pomeni, da je to neposredno sorazmerno razmerje.

Naj bo za izdelavo 12 delov potrebnih x kg kovine. Sestavimo delež (v smeri od začetka puščice do njenega konca):

12:10=x:3,5

Če želite najti , morate produkt skrajnih členov razdeliti na znani srednji člen:

To pomeni, da bo potrebnih 4,2 kg kovine.

Odgovor: 4,2 kg.

2) Za 15 metrov tkanine so plačali 1680 rubljev. Koliko stane 12 metrov takšne tkanine?

(1. V izpolnjen stolpec postavite puščico v smeri od največjega števila proti najmanjšemu.

2. Manj blaga kot kupite, manj morate zanj plačati. To pomeni, da je to neposredno sorazmerno razmerje.

3. Zato je druga puščica v isti smeri kot prva).

Naj x rubljev stane 12 metrov blaga. Naredimo razmerje (od začetka puščice do njenega konca):

15:12=1680:x

Če želite najti neznani skrajni člen deleža, delite produkt srednjih členov z znanim skrajnim členom deleža:

To pomeni, da 12 metrov stane 1344 rubljev.

Odgovor: 1344 rubljev.