Kako narisati vektor iz točke. Vektorji Vektorji Zgodovinsko ozadje Pojem vektorja Enakost vektorjev Odlaganje vektorja iz dane točke Vsota dveh vektorjev Zakoni seštevanja Odštevanje

ov, najprej morate razumeti koncept, kot je odlaganje vektorja od dane točke.

Definicija 1

Če je točka $A$ začetek katerega koli vektorja $\overrightarrow(a)$, potem pravimo, da vektor $\overrightarrow(a)$ zamuja od točke $A$ (slika 1).

Slika 1. $\overrightarrow(a)$, narisano od točke $A$

Predstavimo naslednji izrek:

1. izrek

Iz katere koli točke $K$ lahko narišemo vektor $\overrightarrow(a)$ in še več, samo enega.

Dokaz.

Obstoj: Tukaj je treba upoštevati dva primera:

Vektor $\overrightarrow(a)$ je nič.

V tem primeru je očitno, da je želeni vektor vektor $\overrightarrow(KK)$.

Vektor $\overrightarrow(a)$ ni nič.

S točko $A$ označimo začetek vektorja $\overrightarrow(a)$, s točko $B$ pa konec vektorja $\overrightarrow(a)$. Narišimo premico $b$ skozi točko $K$ vzporedno z vektorjem $\overrightarrow(a)$. Na to premico narišimo odseka $\left|KL\right|=|AB|$ in $\left|KM\right|=|AB|$. Razmislite o vektorjih $\overrightarrow(KL)$ in $\overrightarrow(KM)$. Od teh dveh vektorjev bo želeni tisti, ki je sosmeren z vektorjem $\overrightarrow(a)$ (slika 2)

Slika 2. Ponazoritev izreka 1

Edinstvenost: edinstvenost takoj izhaja iz konstrukcije, izvedene v točki »obstoja«.

Izrek je dokazan.

Odštevanje vektorjev. Prvo pravilo

Naj imamo dana vektorja $\overrightarrow(a)$ in $\overrightarrow(b)$.

Definicija 2

Razlika dveh vektorjev $\overrightarrow(a)$ in $\overrightarrow(b)$ je vektor $\overrightarrow(c)$, ki doda vektorju $\overrightarrow(b)$ vektor $\ overrightarrow(a)$, to je

\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\]

Oznaka:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(c)$.

Razmislimo o konstruiranju razlike med dvema vektorjema s pomočjo problema.

Primer 1

Naj sta podana vektorja $\overrightarrow(a)$ in $\overrightarrow(b)$. Konstruirajte vektor $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$.

rešitev.

Konstruirajmo poljubno točko $O$ in iz nje narišemo vektorja $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ in $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b)$. S povezavo točke $B$ s točko $A$ dobimo vektor $\overrightarrow(BA)$ (slika 3).

Slika 3. Razlika dveh vektorjev

Z uporabo pravila trikotnika za konstruiranje vsote dveh vektorjev vidimo to

\[\overrightarrow(OB)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(OA)\]

\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(a)\]

Iz definicije 2 dobimo to

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)\]

odgovor:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)$.

Iz tega problema dobimo naslednje pravilo za iskanje razlike dveh vektorjev. Če želite najti razliko $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$, morate narisati vektorja $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ in $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b) iz poljubno točko $O$ )$ in povežite konec drugega vektorja s koncem prvega vektorja.

Odštevanje vektorjev. Drugo pravilo

Zapomnimo si naslednji koncept, ki ga potrebujemo.

Definicija 3

Vektor $\overrightarrow(a_1)$ se imenuje poljuben za vektor $\overrightarrow(a)$, če sta ti vektorji nasprotnih smeri in enako dolgi.

Oznaka: Vektor $(-\overrightarrow(a))$ je nasprotje vektorja $\overrightarrow(a)$.

Da bi uvedli drugo pravilo za razliko dveh vektorjev, moramo najprej uvesti in dokazati naslednji izrek.

Izrek 2

Za poljubna dva vektorja $\overrightarrow(a)$ in $\overrightarrow(b)$ velja naslednja enakost:

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\]

Dokaz.

Po definiciji 2 imamo

Obema deloma dodamo vektor $\left(-\overrightarrow(b)\right)$, dobimo

Ker sta vektorja $\overrightarrow(b)$ in $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ nasprotna, potem $\overrightarrow(b)+\left(-\overrightarrow(b)\right)=\ puščica zgoraj desno (0)$. Imamo

Izrek je dokazan.

Iz tega izreka dobimo naslednje pravilo za razliko med dvema vektorjema: Da bi našli razliko $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$, moramo narisati vektor $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a )$ iz poljubne točke $O$, nato iz nastale točke $A$ narišite vektor $\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(b)$ in povežite začetek prvega vektorja s koncem drugi vektor.

Primer naloge na koncept vektorske razlike

Primer 2

Naj bo podan paralelogram $ADCD$, katerega diagonali se sekata v točki $O$. $\overrightarrow(AB)=\overrightarrow(a)$, $\overrightarrow(AD)=\overrightarrow(b)$ (slika 4). Skozi vektorja $\overrightarrow(a)$ in $\overrightarrow(b)$ izrazite naslednje vektorje:

a) $\desna puščica(DC)+\desna puščica(CB)$

b) $\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)$

Slika 4. Paralelogram

rešitev.

a) Seštevanje izvedemo po pravilu trikotnika, dobimo

\[\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)=\overrightarrow(DB)\]

Iz prvega pravila za razliko dveh vektorjev dobimo

\[\overrightarrow(DB)=\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)\]

b) Ker je $\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(AO)$, dobimo

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)\]

Po izreku 2 imamo

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)=\overrightarrow(BO)+\left(-\overrightarrow(AO)\right)=\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)\]

Z uporabo pravila trikotnika končno imamo

\[\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(BA)=-\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(a)\]

1. Določite enakost geometrijskih vektorjev.

Za dva geometrijska vektorja pravimo, da sta enaka, če:

so kolinearni in enosmerni;

njuni dolžini sta enaki.

2. Določite vsoto vektorjev in množenje vektorja s številom.

Vsoto a + b dveh vektorjev a in b imenujemo vektor c, konstruiran po naslednjem pravilu trikotnika. Poravnajmo začetek vektorja b s koncem vektorja a. Potem bo vsota teh vektorjev vektor c, katerega začetek sovpada z začetkom a, konec pa s koncem b.

Poleg pravila trikotnika obstaja pravilo paralelograma. Ko izberemo skupno izhodišče za vektorja a in b, na teh vektorjih sestavimo paralelogram. Nato diagonala paralelograma, ki izhaja iz skupnega izvora vektorjev, določa njihovo vsoto.

Pri množenju vektorja s številom se smer vektorja ne spremeni, temveč se dolžina vektorja pomnoži s številom.

3. Podajte definicije kolinearnih in komplanarnih vektorjev.

Dva geometrijska vektorja imenujemo kolinearna, če ležita na isti premici ali na vzporednih premicah.

Trije geometrijski vektorji se imenujejo koplanarni, če ti vektorji ležijo na premicah, vzporednih z neko ravnino.

4. Definiraj linearno odvisen in linearno neodvisen sistem vektorjev.

Vektorji a 1 , … , a n se imenujejo linearno odvisni, če obstaja taka množica koeficientov α 1 , . . . , α n , da je α 1 a 1 + . . . + α n a n = 0 in vsaj eden od teh koeficientov je različen od nič.

Če navedeni niz koeficientov ne obstaja, se vektorji imenujejo linearno neodvisni.

5. Oblikujte geometrijska merila za linearno odvisnost 2 in 3 vektorja.

Dva vektorja sta linearno odvisna, če in samo če sta kolinearna.

6. Določite osnovo in koordinate vektorja.

Osnova je niz vektorjev v vektorskem prostoru, tako da je vsak vektor v tem prostoru mogoče enolično predstaviti kot linearno kombinacijo vektorjev iz tega niza - bazisnih vektorjev.

Koordinate vektorjev so koeficienti edine možne linearne kombinacije baznih vektorjev v izbranem koordinatnem sistemu, enake danemu vektorju.

7. Formulirajte izrek o razgradnji vektorja glede na bazo.

Vsak vektor vektorskega prostora je mogoče razširiti v njegovo osnovo in poleg tega na edinstven način.

Če = (̅		– osnova , ̅		= (1, 2, 3) , potem obstaja niz števil (	...) tako, da

	̅ + + ̅̅, kjer je (		...) – koordinate vektorja v bazi.

8. Določite pravokotno skalarno projekcijo vektorja na smer.

Pravokotno projekcijo vektorja na smer vektorja imenujemo skalarna količina Pr = | | cos(), kjer je angle kot med vektorjema.

9. Definirajte skalarni produkt vektorjev.

Skalarni produkt dveh vektorjev je število, ki je enako cos -

produkt dolžin | | in| | teh vektorjev s kosinusom kota med njima.

10. Formulirajte lastnost linearnosti skalarnega produkta.

λ(̅ ̅ ).

= ̅ s̅+ ̅ s̅.

11. Napišite formulo za izračun skalarnega produkta dveh vektorjev, podanih v ortonormirani bazi.

̅ = { , }, ̅ = { , }

̅ ̅ = + +

12. Zapišite formulo za kosinus kota med vektorji, določenimi v ortonormirani bazi.

̅ ̅ cos =̅ |̅|| |

13. Določite desno in levo trojko vektorjev.

Urejeni trojček nekoplanarnih vektorjev a, b, c imenujemo desni, če smer vektorja združimo s smerjo vektorja b z uporabo najkrajše rotacije vektorja v ravnini teh vektorjev, ki je s strani vektorja opravljena v nasprotni smeri urinega kazalca. . V nasprotnem primeru (vrtenje v smeri urinega kazalca) se ta trojka imenuje levo.

14. Definirajte vektorski produkt vektorjev.

Vektorska umetnina nekolinearna vektorja ̅ in ̅ imenujemo vektor ̅, ki izpolnjuje naslednje tri pogoje:

vektor c je pravokoten na vektorja a in b;

dolžina vektorja c je enaka |с̅ | = |̅ | |̅ |sin ϕ, kjer je ϕ kot med vektorjema ̅ in ̅ ;

urejena trojka vektorjev ̅ ,̅ ,с̅ je desnosučna.

15. Formulirajte lastnost komutativnosti (simetričnosti) skalarnega produkta in lastnost antikomutativnosti (antisimimetričnosti) vektorskega produkta.

Skalarni produkt je komutativen: ̅ ̅ =̅ ̅ .

Vektorski produkt je antikomutativen: ̅ x̅ =− ̅ x̅ .

16. Formulirajte lastnost linearnosti vektorskega produkta vektorjev.

lastnost asociativnosti skupaj z množenjem s številom (λ ̅ )×̅ = λ(̅ ×̅ );

lastnost distributivnosti glede na seštevanje (̅ +̅ )×с̅ =̅ ×с̅ +̅ ×с̅ .

Lastnosti asociativnosti in distributivnosti vektorskega produkta sta podobno kot pri skalarnem produktu združena v lastnost linearnosti vektorskega produkta

glede na prvi faktor. Zaradi lastnosti antikomutativnosti vektorskega produkta je vektorski produkt linearen glede na drugi faktor:

̅ ×(λ̅ ) = −(λ̅ )×̅ = −λ(̅ ×̅ ) = λ(̅ ×̅ )

̅ ×(̅ +̅с ) = −(̅ +̅с )×̅ = −(̅ ×̅ +̅с ×̅ ) =̅ ×̅ +̅ ×̅с .

17. Zapišite formulo za izračun vektorskega produkta v desni ortonormirani bazi.

̅ = { , }, ̅ = { , }.

18. Definirajte mešani produkt vektorjev.

Mešano delo treh vektorjev̅ ,̅ ,с̅ imenujemo število, ki je enako (̅ ×̅ )с̅ - skalarni produkt vektorskega produkta prvih dveh vektorjev in tretjega vektorja.

19. Formulirajte lastnost permutacije (poševne simetrije) mešanega produkta.

Velja za mešano delo pravilo ciklične permutacije:


	̅ с̅ = с̅ ̅		= ̅с ̅= − ̅ с̅	= − ̅ ̅= − ̅ ̅с.
20. Formulirajte lastnost linearnosti mešanega produkta.
Za mešani izdelek lastnost asociativnosti glede na

	množenje vektorjev s številom: (λ ̅ )с̅				= λ(̅ s̅ ).

	Za mešani izdelek velja lastnost distributivnosti: (̅̅̅ +̅̅̅ )с̅					= ̅̅̅

	̅s + ̅̅̅
	̅s + ̅̅̅	z.

Te lastnosti mešanega izdelka so oblikovane za prvi faktor. Vendar pa lahko z uporabo ciklične permutacije dokažemo podobno

izjave za drugi in tretji faktor, tj. enakosti držijo

̅ (λ̅) ̅s = λ (̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ (λ̅s) = λ (̅ ̅ ̅ ̅s), ̅ (̅̅̅ 1 +̅̅̅ 2) ̅s = ̅ ̅̅̅ 1 ̅s +̅ 2 ̅s, ̅ ̅ (̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 1 +̅ 2 ) =̅ ̅ 1 +̅ ̅ 2 ,

in posledično imamo lastnost linearnosti mešanega produkta za vsak faktor.

21. Napišite formulo za izračun mešanega produkta v desni ortonormirani bazi.

̅ = { , }, ̅ = { , }, ̅= { , }

22. Zapišite splošno enačbo ravnine in enačbo »v segmentih«. Pojasnite geometrijski pomen parametrov, vključenih v te enačbe.

Enačba Ax + By + Cz + D = 0 se imenuje splošna enačba ravnine. Koeficienti A, B, C za neznanke v tej enačbi imajo jasen geometrijski pomen: vektor n = (A; B; C) je pravokoten na ravnino. Imenuje se normalni vektor ravnine. Tako kot splošna enačba ravnine je določena do (različnega od nič) numeričnega faktorja.

Enačba + + = 1 se imenuje enačba ravnine v segmentih, kjer a, b, c –

ustrezne koordinate točk, ki ležijo na oseh OX, OY oziroma OZ.

23. Zapišite enačbo ravnine, ki poteka skozi 3 podane točke.

Naj so 1 (1 , 1 , 1 ), 2 (2 , 2 , 2 ), 3 (3 , 3 , 3 ) podane točke in točka M(x, y, z) točka, ki pripada ravnini, ki jo tvorita točke 1 , 2 in 3, potem ima enačba ravnine

− 1	− 1	− 1
\| 2 −1	2 − 1	2 −1 \| = 0
3 − 1	3 − 1	3 − 1

24. Formulirajte pogoje vzporednosti in pravokotnosti dveh ravnin.

Dve letali pravokotno, če so njihovi normalni vektorji pravokotni.

Dve ravnini sta vzporedni, če sta njuna normalna vektorja kolinearna.

25. Zapišite formulo za razdaljo od točke do ravnine, ki jo določa splošna enačba.

Da bi našli razdaljo od točke 0 (0, 0, 0) do ravnine

: + + + = 0 se uporablja formula:(,) = | 0 + 0 + 0 + |

√ 2 +2 +2

26. Zapišite kanonične in parametrične enačbe premice v prostoru. Pojasnite geometrijski pomen parametrov, vključenih v te enačbe.

Enačba ( = 0 + , kjer so (l; m; n) koordinate smernega vektorja = premica L in

(0 ;0 ;

– imenujemo koordinate točke 0 L v pravokotnem koordinatnem sistemu

parametrične enačbe premice v prostoru.

Enačba

− 0

imenujemo kanonične enačbe premice

prostora.

27. Zapišite enačbo premice, ki poteka skozi dve dani točki v prostoru.

Enačbe

− 1

imenujemo enačbe premice, ki poteka skozi dve točki

1 (1 ,1 ,1 ) in 2 (2 ,2 ,2 ).

28. Zapiši pogoj, da dve premici pripadata isti ravnini.

Naj bosta a in b smerna vektorja teh premic, točki M1 in M2 pa naj pripadata premici il 1 oziroma 2. Potem bosta dve premici pripadali isti ravnini, če je mešani produkt (a, b, M1 M2) enak 0.

29. Zapišite formulo za razdaljo od točke do premice v prostoru.

Razdaljo od točke 1 do ravne črte L lahko izračunamo po formuli:

30. Zapišite formulo za razdaljo med križiščema.

Razdaljo med križiščema črt 1 in 2 lahko izračunate po formuli:

v neposredni lasti

1. Dokaži geometrijski kriterij za linearno odvisnost treh vektorjev.

Trije vektorji so linearno odvisni, če in samo če so komplanarni.

Dokaz:

Če so trije vektorji ̅ ,̅ ,̅ linearno odvisni, potem je po izreku 2.1 (o linearni odvisnosti vektorjev) eden izmed njih, na primer ̅ , linearna kombinacija ostalih: ̅ = β̅ + γ̅ . Združimo izhodišča vektorjev ̅ in ̅ v točki A. Potem bosta imela vektorja β̅ , γ̅ skupno izhodišče v točki A in po pravilu paralelograma njuna vsota, tj. vektor̅ bo vektor z začetkom A in koncem ogliščem paralelograma, zgrajenega na vektorjih členov. Tako vsi vektorji ležijo v isti ravnini, tj. komplanaren.

Naj bodo vektorji ̅ , ̅ , ̅ koplanarni. Če je eden od teh vektorjev enak nič, potem je očitno, da bo to linearna kombinacija ostalih. Dovolj je, da so vsi koeficienti linearne kombinacije enaki nič. Zato lahko predpostavimo, da vsi trije vektorji niso nič. Združimo začetke teh vektorjev v skupni točki O. Naj bodo njihovi konci točke A, B, C (slika 2.1). Skozi točko C narišemo premice, vzporedne premicam, ki potekajo skozi pare točk O, A in O, B. Če presečišča označimo kot A’ in B’, dobimo


paralelogram OA’CB’, torej = ′ + ′ . Vektor′ in neničelni vektor̅
so kolinearne, zato lahko prvega od njih dobimo z množenjem drugega s

realno število α: ′ = . Podobno′ = , β R. Kot rezultat dobimo, Kaj
	̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
= ′ + ′ , tj. vektor̅ je linearna kombinacija vektorjev̅ in. Po izreku
		̅ sta linearno odvisna.
2.1 (o linearni odvisnosti vektorjev), vektorji ̅ ,		̅ sta linearno odvisna.

2. Dokaži izrek o razširitvi vektorja glede na bazo.
Izrek o razgradnji vektorja glede na bazo. Če = (̅			– osnova , ̅		= (1, 2, 3), torej

obstaja niz številk (	...) tako, da je̅= ̅̅̅	̅ + + ̅ ̅, kjer je (		...) – koordinate

vektor v osnovi.

Dokaz: (za i = 2)

(̅1, ̅2)– osnova 2, ̅2

Po definiciji prostora V2: x, e1, e2 so komplanarni => (kriterij za linearno odvisnost 3 vektorjev) => ̅ , ̅ 1, ̅ 2 so linearno odvisni => 0 , 1 , 2 .

0 ̅+1 ̅1 +2 ̅2 = 0̅ ,0 2 +1 2 +2 2 ≠ 0

Primer 1: 0 = 0, potem je 1 ̅ 1 + 2 ̅ 2 = 0 ̅,1 2 + 2 2 ≠ 0, kar pomeni, da sta 1, 2 linearno odvisna (̅ 1, ̅ 2) – linearna. odvisno ̅ 1 in ̅ 2 sta kolinearna.

Primer 2: 0 ≠ 0

̅= (− 1 ) ̅1 + (−2 ) ̅2 0 0

Dokazano obstaja.

Naj bosta 2 pogleda:

̅= 1 ̅1 +2 ̅2

Razlika:

0 ̅ = ̅− ̅= 1 ̅ 1 + 2 ̅ 2 − 1 ̅ 1 − 2 ̅ 2 = (1 − 1 )̅ 1 + (2 − 2 )̅ 2 => linearno odvisno, kar je v nasprotju z definicijo a osnova.

3. Dokažite lastnost linearnosti skalarnega produkta.

Skupaj z množenjem s številom je operacija skalarnega množenja asociativna: (λ̅ )̅ =

λ(̅ ̅ ).

Skalarno množenje in seštevanje vektorjev sta povezana z distribucijsko lastnostjo: (̅ +̅ )с̅

= ̅ s̅+ ̅ s̅.

Q.E.D.

4. Izpeljite formulo za izračun skalarnega produkta vektorjev, podanih v ortonormirani bazi.

Izpeljava formule za izračun skalarnega produkta vektorjev, podanih v ortonormirani bazi.

Naj sta vektorja ̅ in ̅ iz3 določena s svojimi koordinatami v ortonormirani bazi, ̅ ,̅ ̅ :̅ = ( ; ; ),̅ = ( ; ; ). To pomeni, da obstajajo razširitve =̅ +̅ +̅,

̅ =̅ +̅ +̅ . Z njimi in z lastnostmi skalarnega produkta računamo

̅̅ = (̅+ ̅+̅ )(̅+ ̅+̅ )

= ̅ ̅+ ̅ ̅+ ̅̅ + ̅ ̅+ ̅ ̅+ ̅̅ +̅ ̅+̅ ̅ +̅ ̅ =2 ̅+2 ̅+̅ 2 = + + .

Končni odgovor je bil pridobljen ob upoštevanju dejstva, da je ortonormiranost baze,̅ ,̅

̅ pomeni enakosti ̅̅ = ̅ ̅ = ̅ ̅ = 0, 2 ̅= 2 ̅= 2 = 1 . torej

̅ ̅ = + +

5. Izpeljite formulo za izračun vektorskega produkta vektorjev, podanih v desni ortonormirani bazi.

Izpeljava formule za izračun vektorskega produkta vektorjev, določenih v ortonormirani bazi.

Razmislite o dveh vektorjih ̅

in podane z njihovimi koordinatami v desni ortonormirani bazi

̅ = {

). Nato pride do raztezanja teh vektorjev: ̅ =̅ +̅

, ̅, ̅:

= ̅ +̅ +

Na podlagi teh

predložitve

algebrski

vektorsko množenje,

dobimo

= ̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅ ̅

× ̅+ × ̅+

× = (

)̅+ (

Za poenostavitev dobljene formule upoštevajte, da je podobna formuli za razgradnjo determinante tretjega reda v 1. vrstici, le da so namesto numeričnih koeficientov vektorji. Zato lahko to formulo zapišemo kot determinanto, ki se izračuna po običajnih pravilih. Dve vrstici te determinante bosta sestavljeni iz števil, ena pa iz vektorjev. Tako lahko formulo za izračun vektorskega produkta v desni ortonormirani bazi,̅ ,̅ ̅ zapišemo kot:

6. Dokaži lastnost linearnosti mešanega produkta.

Z uporabo lastnosti mešanega produkta lahko dokažemo linearnost vektorja

izdelki po prvem faktorju:

(̅ + ̅ , ̅)= (̅,)̅+ (̅ ,)̅

Da bi to naredili, poiščemo skalarni produkt vektorja na levi strani enakosti in enotskega vektorja standardne baze. Ob upoštevanju linearnosti mešanega produkta glede na drugi faktor,

dobimo

tiste. Abscisa vektorja na levi strani enakosti, ki jo dokazujemo, je enaka abscisi vektorja na njeni desni strani. Podobno dokažemo, da so ordinate in tudi aplike vektorjev na obeh straneh enakosti enake. Posledično sta to enaka vektorja, saj njune koordinate glede na standardno bazo sovpadajo.

7. Izpeljite formulo za izračun mešanega produkta treh vektorjev v desni ortonormirani bazi.

Izpeljava formule za izračun mešanega produkta treh vektorjev v desni ortonormirani bazi.

Naj so vektorji a, b, c podani s svojimi koordinatami v desni ortonormirani bazi: ̅ = ( ;

), = ( ; ; ), ̅с = ( ; ; ). Če želite najti njihov mešani izdelek,

Uporabimo formule za izračun skalarnega in vektorskega produkta:

̅̅= ̅(× ̅)= ̅ (|

8. Izpelji formulo za razdaljo od točke do ravnine, podane s splošno enačbo.

Izpeljava formule za razdaljo od točke do ravnine, podane s splošno enačbo.

Oglejmo si v prostoru neko ravnino π in poljubno točko 0. Izberimo

za ravnino enotni normalni vektor n z izhodiščem v neki točki 1 π in naj bo ρ(0,

od | ̅ | = 1.

Če je ravnina π določena v pravokotnem koordinatnem sistemu z njegovo splošno enačbo
Ax + By + Cz + D = 0, potem je njegov normalni vektor vektor s koordinatami (A; B; C).
Naj bodo (0 , 0 , 0 ) in (1 , 1 , 1 ) koordinate točk 0				in 1. Potem enakost velja
A 1 +B1 +C1 +D = 0, ker točka M1 pripada ravnini, koordinate pa je mogoče najti
̅̅̅̅̅̅̅̅		̅̅̅̅̅̅̅̅					̅̅̅̅̅̅̅̅
Vektor 1 0:		1 0 = (0 − 1; 0 − 1; 0 − 1) . Zapis skalarnega produkta ̅ 1 0
koordinatno obliko in transformacijo (5.8), dobimo
	\| (0 −1 ) + (0 −1 ) + (0 −1 )\|				\| 0 +0 +0 − (1 +1 +1 )\|

			2 + 2+ 2			2 + 2+ 2

= |0 +0 +0 + | √2 +2 +2

saj je 1 + 1 + 1 = − . Če želite torej izračunati razdaljo od točke do ravnine, morate koordinate točke nadomestiti s splošno enačbo ravnine in nato absolutno vrednost rezultata deliti z normalizacijskim faktorjem, ki je enak dolžini ustrezne ravnine. normalni vektor.

9. Izpeljite formulo za razdaljo od točke do premice v prostoru.

Izpeljava formule za razdaljo od točke do premice v prostoru.

Razdaljo od točke 1 (1, 1, 1) do premice L, podano s kanoničnimi enačbami L:− 0 = − 0 = − 0, je mogoče izračunati z uporabo vektorskega produkta. res,

kanonične enačbe premice nam dajo točko 0 (0, 0, 0) na premici

in smerni vektor ̅ = (l; m; n) te premice. Na vektorjih ̅ in ̅̅̅̅̅̅̅̅ sestavimo paralelogram.

Potem bo razdalja od točke 1 do ravne črte L enaka višini h paralelograma (slika 6.6).

To pomeni, da je potrebno razdaljo mogoče izračunati s formulo

	̅̅̅̅̅̅̅̅
(1 ,) =	\| 0 1 × \|

10. Izpeljite formulo za razdaljo med križiščema.

Izpeljava formule za razdaljo med prečkami.

Razdaljo med prečnimi črtami je mogoče najti z mešanjem

delo. Naj ravne črte 1	in 2		kanonične enačbe. Ker so
			̅̅̅̅̅̅̅̅

se križajo, njihovi smerni vektorji 1 , 2 in vektor 1 2 , ki povezuje točke na premicah, niso koplanarni. Zato lahko na njih zgradimo paralelepiped (slika 6.7).

Potem je razdalja med premicama enaka višini h tega paralelopipeda. Po drugi strani pa se lahko višina paralelepipeda izračuna kot razmerje med prostornino paralelepipeda in površino njegove osnove. Prostornina paralelopipeda je enaka modulu mešanega produkta treh navedenih vektorjev, površina paralelograma na dnu paralelopipeda pa je enaka modulu vektorskega produkta usmerjevalnih vektorjev ravne. vrstice. Kot rezultat dobimo formulo za razdaljo

(1, 2) med vrsticami:

̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅

(1 ,2 ) =

| 1 2

1 2|

Vektor je usmerjen odsek premice v evklidskem prostoru, katerega en konec (točka A) imenujemo začetek vektorja, drugi konec (točka B) pa konec vektorja (slika 1). Vektorji so označeni:

Če se začetek in konec vektorja ujemata, se vektor imenuje ničelni vektor in je določen 0 .

Primer. Naj ima začetek vektorja v dvodimenzionalnem prostoru koordinate A(12.6) , konec vektorja pa so koordinate B(12,6). Potem je vektor ničelni vektor.

Dolžina segmenta AB klical modul (dolžina, norma) vektor in je označen z | a|. Imenuje se vektor z dolžino, ki je enaka ena enotski vektor. Poleg modula je za vektor značilna smer: vektor ima smer od A Za B. Vektor se imenuje vektor, nasprotje vektor.

Dva vektorja se imenujeta kolinearni, če ležijo na isti premici ali na vzporednih premicah. Na sliki sl. 3 rdeči vektorji so kolinearni, ker ležijo na isti premici in modri vektorji so kolinearni, ker ležijo na vzporednih premicah. Imenujemo dva kolinearna vektorja enako usmerjeni, če njihovi konci ležijo na isti strani premice, ki povezuje njihove začetke. Imenujemo dva kolinearna vektorja nasprotno usmerjeni, če njuna konca ležita na nasprotnih straneh ravne črte, ki povezuje njuna začetka. Če dva kolinearna vektorja ležita na isti ravni črti, se imenujeta enako usmerjena, če eden od žarkov, ki jih tvori en vektor, v celoti vsebuje žarek, ki ga tvori drugi vektor. V nasprotnem primeru pravimo, da sta vektorja nasprotno usmerjena. Na sliki 3 sta modra vektorja enako usmerjena, rdeča pa nasprotno usmerjena.

Dva vektorja se imenujeta enakače imajo enake module in enake smeri. Na sliki 2 sta vektorja enaka, ker njihovi moduli so enaki in imajo isto smer.

Vektorji se imenujejo komplanaren, če ležijo na isti ravnini ali v vzporednih ravninah.

IN n V dimenzionalnem vektorskem prostoru upoštevajte množico vseh vektorjev, katerih začetna točka sovpada z izhodiščem koordinat. Potem lahko vektor zapišemo v naslednji obliki:

(1)

Kje x 1, x 2, ..., x n koordinate končne točke vektorja x.

Vektor, zapisan v obliki (1), imenujemo vrstični vektor, in vektor zapisan v obliki

(2)

klical stolpčni vektor.

številka n klical razsežnost (v redu) vektor. če potem se imenuje vektor ničelni vektor(od začetne točke vektorja ). Dva vektorja x in l so enaki, če in samo če so njihovi ustrezni elementi enaki.

1. Splošne določbe

1.1. Za ohranjanje poslovnega ugleda in zagotavljanje skladnosti z zvezno zakonodajo Zvezna državna ustanova Državni raziskovalni inštitut za tehnologijo "Informika" (v nadaljevanju Družba) kot najpomembnejšo nalogo šteje zagotavljanje zakonitosti obdelave in varnosti osebnih podatkov. podatkov subjektov v poslovnih procesih družbe.

1.2. Za reševanje tega problema ima družba uveden, deluje in se občasno pregleduje (monitoring) sistem varovanja osebnih podatkov.

1.3. Obdelava osebnih podatkov v podjetju temelji na naslednjih načelih:

Zakonitost namenov in načinov obdelave osebnih podatkov ter celovitost;

Skladnost namenov obdelave osebnih podatkov s cilji, ki so vnaprej določeni in navedeni pri zbiranju osebnih podatkov, ter s pristojnostmi družbe;

Skladnost obsega in narave obdelanih osebnih podatkov, načinov obdelave osebnih podatkov z nameni obdelave osebnih podatkov;

Zanesljivost osebnih podatkov, njihova relevantnost in zadostnost za namene obdelave, nedopustnost prekomerne obdelave osebnih podatkov glede na namene zbiranja osebnih podatkov;

Upravičenost organizacijskih in tehničnih ukrepov za zagotavljanje varnosti osebnih podatkov;

Nenehno izboljševanje ravni znanja zaposlenih v družbi na področju zagotavljanja varnosti osebnih podatkov pri njihovi obdelavi;

Prizadevanje za nenehno izboljševanje sistema varstva osebnih podatkov.

2. Nameni obdelave osebnih podatkov

2.1. Skladno z načeli obdelave osebnih podatkov je družba določila sestavo in namene obdelave.

Nameni obdelave osebnih podatkov:

Sklenitev, podpora, sprememba, odpoved pogodb o zaposlitvi, ki so podlaga za nastanek ali prenehanje delovnega razmerja med družbo in zaposlenimi;

Nudenje portala, storitev osebnega računa za učence, starše in učitelje;

Shranjevanje rezultatov učenja;

Izpolnjevanje obveznosti, ki jih določa zvezna zakonodaja in drugi regulativni pravni akti;

3. Pravila obdelave osebnih podatkov

3.1. Družba obdeluje samo tiste osebne podatke, ki so predstavljeni v potrjenem Seznamu osebnih podatkov, ki se obdelujejo v Zvezni državni avtonomni ustanovi Državni raziskovalni inštitut za tehnologijo "Informika"

3.2. Družba ne dovoljuje obdelave naslednjih kategorij osebnih podatkov:

dirka;

Politični nazori;

filozofska prepričanja;

O zdravstvenem stanju;

Stanje intimnega življenja;

Državljanstvo;

Verska prepričanja.

3.3. Družba ne obdeluje biometričnih osebnih podatkov (podatkov, ki označujejo fiziološke in biološke lastnosti osebe, na podlagi katerih je mogoče ugotoviti njeno identiteto).

3.4. Družba ne izvaja čezmejnega prenosa osebnih podatkov (prenos osebnih podatkov na ozemlje tuje države organu tuje države, tujemu posamezniku ali tuji pravni osebi).

3.5. Družba prepoveduje sprejemanje odločitev v zvezi s posamezniki, na katere se osebni podatki nanašajo, izključno na podlagi avtomatizirane obdelave njihovih osebnih podatkov.

3.6. Podjetje ne obdeluje podatkov o kazenskih evidencah subjektov.

3.7. Podjetje osebnih podatkov subjekta ne objavlja v javno dostopnih virih brez njegovega predhodnega soglasja.

4. Implementirane zahteve za zagotavljanje varnosti osebnih podatkov

4.1. Da bi zagotovili varnost osebnih podatkov med obdelavo, družba izvaja zahteve naslednjih regulativnih dokumentov Ruske federacije na področju obdelave in zagotavljanja varnosti osebnih podatkov:

Zvezni zakon z dne 27. julija 2006 št. 152-FZ "O osebnih podatkih";

Odlok vlade Ruske federacije z dne 1. novembra 2012 N 1119 "O odobritvi zahtev za varstvo osebnih podatkov med njihovo obdelavo v informacijskih sistemih osebnih podatkov";

Odlok Vlade Ruske federacije z dne 15. septembra 2008 št. 687 "O odobritvi Pravilnika o posebnostih obdelave osebnih podatkov, ki se izvaja brez uporabe orodij za avtomatizacijo";

Odredba FSTEC Rusije z dne 18. februarja 2013 N 21 "O odobritvi sestave in vsebine organizacijskih in tehničnih ukrepov za zagotavljanje varnosti osebnih podatkov med njihovo obdelavo v informacijskih sistemih osebnih podatkov";

Osnovni model groženj varnosti osebnih podatkov med njihovo obdelavo v informacijskih sistemih osebnih podatkov (odobren s strani namestnika direktorja FSTEC Rusije 15. februarja 2008);

Metodologija za določanje trenutnih groženj varnosti osebnih podatkov med njihovo obdelavo v informacijskih sistemih osebnih podatkov (odobril namestnik direktorja FSTEC Rusije 14. februarja 2008).

4.2. Podjetje ocenjuje škodo, ki bi lahko bila povzročena posameznikom, na katere se nanašajo osebni podatki, in identificira grožnje varnosti osebnih podatkov. V skladu z ugotovljenimi aktualnimi grožnjami družba izvaja potrebne in zadostne organizacijske in tehnične ukrepe, vključno z uporabo orodij za informacijsko varnost, odkrivanjem nepooblaščenih dostopov, obnovitvijo osebnih podatkov, vzpostavitvijo pravil za dostop do osebnih podatkov ter spremljanjem in ocena učinkovitosti uporabljenih ukrepov.

4.3. Družba ima imenovane osebe, odgovorne za organizacijo obdelave in zagotavljanje varnosti osebnih podatkov.

4.4. Vodstvo družbe se zaveda potrebe in je zainteresirano za zagotovitev ustrezne ravni varnosti osebnih podatkov, ki se obdelujejo v okviru osnovne dejavnosti družbe, tako v smislu zahtev regulativnih dokumentov Ruske federacije kot upravičeno z vidika ocenjevanja poslovnih tveganj.

Vektor je eden od osnovnih geometrijskih pojmov. Vektor je označen s številom (dolžino) in smerjo. Vizualno si ga lahko predstavljamo kot usmerjen segment, čeprav je, ko govorimo o vektorju, pravilneje misliti na cel razred usmerjenih segmentov, ki so vsi med seboj vzporedni, imajo enako dolžino in isto smer (slika 1). ). Primeri fizikalnih veličin, ki so vektorske narave, so hitrost (prečno gibajočega se telesa), pospešek, sila itd.

Koncept vektorja se je pojavil v delih nemškega matematika iz 19. stoletja. G. Grassmann in irski matematik W. Hamilton; potem so jo brez težav sprejeli številni matematiki in fiziki. V sodobni matematiki in njenih aplikacijah ima ta koncept ključno vlogo. Vektorji se uporabljajo v klasični Galileo-Newtonovi mehaniki (v njeni sodobni predstavitvi), v teoriji relativnosti, kvantni fiziki, v matematični ekonomiji in mnogih drugih vejah naravoslovja, da ne omenjamo uporabe vektorjev na različnih področjih matematike.

Vsakega od usmerjenih segmentov, ki sestavljajo vektor (slika 1), lahko imenujemo predstavnik tega vektorja. Vektor, katerega predstavnik je usmerjen segment, ki poteka od točke do točke, je označen z . Na sl. 1 imamo, tj. in je isti vektor (katerega predstavnika sta oba usmerjena segmenta, poudarjena na sliki 1). Včasih je vektor označen z malo črko s puščico: , .

Vektor, predstavljen z usmerjenim "odsekom", katerega začetek in konec sovpadata, se imenuje nič; označena je z , tj. . Dva vzporedna vektorja, ki imata enako dolžino, a nasprotni smeri, se imenujeta nasprotna. Če je vektor označen z , potem je njegov nasprotni vektor označen z .

Poimenujmo osnovne operacije, povezane z vektorji.

I. Odmik vektorja od točke. Naj bo vektor in točka. Med usmerjenimi odseki, ki so predstavniki vektorja, je usmerjeni odsek, ki se začne v točki. Konec tega usmerjenega segmenta se imenuje točka, ki izhaja iz risanja vektorja iz točke (slika 2). Ta operacija ima naslednje lastnosti:

I1. Za vsako točko in vsak vektor obstaja in samo ena točka, za katero .

Vektorski dodatek. Naj in sta dva vektorja. Vzemimo poljubno točko in iz točke narišemo vektor, tj. poiščemo točko tako, da (slika 3). Nato iz točke narišemo vektor, tj. najdemo točko tako, da . Vektor se imenuje vsota vektorjev in je označena z . Dokažemo lahko, da vsota ni odvisna od izbire točke, tj. če zamenjate z drugo točko, dobite vektor enak (slika 3). Iz definicije vsote vektorjev sledi, da za poljubne tri točke velja enakost

I2:

(»pravilo treh točk«). Če vektorji, ki niso nič, niso vzporedni, je njihovo vsoto priročno najti s pravilom paralelograma (slika 4).

II. Glavne lastnosti vsote vektorjev so izražene z naslednjimi 4 enakostmi (veljajo za vse vektorje , , ):

II2. .

Upoštevajte tudi, da se vsota več vektorjev najde tako, da se zaporedoma najde vsota dveh izmed njih. Na primer: .

Še več, ne glede na to, v kakšnem vrstnem redu dodamo dane vektorje, bo rezultat (kot izhaja iz lastnosti, imenovanih v odstavkih II1 in II2) vedno enak. Na primer:

Nadalje, geometrijsko lahko dobimo vsoto več vektorjev na naslednji način: usmerjene segmente, ki so predstavniki teh vektorjev, je treba postaviti enega za drugim (tj. Tako, da začetek drugega usmerjenega segmenta sovpada s koncem prvega). , začetek tretjega s koncem drugega itd.); potem vektor bo imel za svojega predstavnika "zapiralni" usmerjen segment, ki poteka od začetka prvega do konca zadnjega (slika 5). (Upoštevajte, da če tako zaporedno odlaganje povzroči "prekinjeno črto zaprtega vektorja", potem .)

III. Množenje vektorja s številom. Naj bo vektor različen od nič in je število različno od nič. Skozi označuje vektor, ki ga definirata naslednja dva pogoja: a) dolžina vektorja je enaka ; b) vektor je vzporeden z vektorjem, njegova smer pa sovpada s smerjo vektorja pri in nasproti nje pri (slika 6). Če je vsaj ena od enakosti resnična, velja, da je produkt enak . Tako je produkt definiran za poljubni vektor in poljubno število.

Naslednje 4 enakosti (veljajo za poljubne vektorje in poljubna števila) izražajo osnovne lastnosti operacije množenja vektorja s številom:

Iz teh lastnosti izhaja še vrsta nadaljnjih dejstev, povezanih z obravnavanimi operacijami na vektorjih. Omenimo nekatere izmed njih, ki se pogosto uporabljajo pri reševanju problemov.

a) Če je točka na segmentu tako, da , potem za katero koli točko enakost velja, zlasti če je sredina segmenta, potem .

b) Če je točka presečišča median trikotnika, potem ; poleg tega za vsako točko enakost velja (veljajo tudi obratni izreki).

c) Naj bo točka na premici in naj bo neničelni vektor, vzporeden s to premico. Točka pripada premici, če in samo če (kjer je določeno število).

d) Pustiti je točka na ravnini in , so neničelni in nevzporedni vektorji, vzporedni s to ravnino. Točka pripada ravnini, če in samo če je vektor izražen z in , tj. .

Na koncu omenimo še lastnost razsežnosti, ki izraža dejstvo, da je prostor tridimenzionalen.

IV. V prostoru obstajajo trije vektorji , , , tako da nobenega od njih ni mogoče izraziti z drugimi dvema; vsak četrti vektor je izražen s temi tremi vektorji: . je definiran z enakostjo: naveden je skalarni produkt vektorja (in potem kot med njima ni določen).

Zgoraj naštete lastnosti vektorskih operacij so v marsičem podobne lastnostim seštevanja in množenja števil. Hkrati je vektor geometrijski objekt, pri definiciji vektorskih operacij pa se uporabljajo geometrijski koncepti, kot sta dolžina in kot; To pojasnjuje uporabnost vektorjev za geometrijo (in njene aplikacije v fiziki in drugih področjih znanja). Vendar pa se morate za reševanje geometrijskih problemov z uporabo vektorjev najprej naučiti, kako "prevesti" pogoj geometrijskega problema v vektorski "jezik". Po takem "prevodu" se izvedejo algebraični izračuni z vektorji, nato pa se nastala vektorska rešitev ponovno "prevede" v geometrijski "jezik". To je vektorska rešitev geometrijskih problemov.

Pri predstavitvi predmeta geometrije v šoli je vektor podan kot določljiv koncept (glej Definicija), zato aksiomatika, sprejeta v šolskem učbeniku (glej Aksiomatika in aksiomatska metoda) geometrije, ne govori ničesar o lastnostih vektorjev, tj. vse te lastnosti je treba dokazati kot izreke.

Obstaja pa še drug način predstavitve geometrije, pri katerem se za izhodiščna (nedefinirana) pojma štejeta vektor in točka, lastnosti I1, I2, II1-II4, III1-III4, IV, V1-V4 pa so zapisane. zgoraj vzeti kot aksiomi. Ta način konstruiranja geometrije je leta 1917 predlagal nemški matematik G. Weyl. Tukaj so ravne črte in ravnine definirani pojmi. Prednost takšne konstrukcije je njena kratkost in organska povezanost s sodobnim razumevanjem geometrije tako v sami matematiki kot na drugih področjih znanja. Zlasti aksiomi II1-II4, III1-III4 uvajajo tako imenovani vektorski prostor, ki se uporablja v sodobni matematiki, fiziki, matematični ekonomiji itd.