Z ulomki lahko izvajate različne operacije, na primer seštevanje ulomkov. Seštevanje ulomkov lahko razdelimo na več vrst. Vsaka vrsta dodajanja ulomkov ima svoja pravila in algoritem dejanj. Oglejmo si podrobneje vsako vrsto dodatka.
Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.
Oglejmo si primer seštevanja ulomkov s skupnim imenovalcem.
Turisti so se odpravili na pohod od točke A do točke E. Prvi dan so prehodili od točke A do B oziroma \(\frac(1)(5)\) celotno pot. Drugi dan so prehodili celotno pot od točke B do D ali \(\frac(2)(5)\). Koliko so prevozili od začetka poti do točke D?
Če želite najti razdaljo od točke A do točke D, morate sešteti ulomke \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).
Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci pomeni, da morate sešteti števce teh ulomkov, vendar bo imenovalec ostal enak.
\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)
V dobesedni obliki bo vsota ulomkov z enakimi imenovalci videti takole:
\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)
Odgovor: turisti so celotno pot prehodili \(\frac(3)(5)\).
Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.
Poglejmo primer:
Sešteti morate dva ulomka \(\frac(3)(4)\) in \(\frac(2)(7)\).
Če želite sešteti ulomke z različnimi imenovalci, morate najprej najti, nato pa uporabite pravilo za seštevanje ulomkov s podobnimi imenovalci.
Za imenovalca 4 in 7 bo skupni imenovalec število 28. Prvi ulomek \(\frac(3)(4)\) je treba pomnožiti s 7. Drugi ulomek \(\frac(2)(7)\ ) je treba pomnožiti s 4.
\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(rdeča) (7) + 2 \times \color(rdeča) (4))(4 \ krat \barva(rdeča) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)
V dobesedni obliki dobimo naslednjo formulo:
\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)
Seštevanje mešanih števil ali mešanih ulomkov.
Seštevanje poteka po zakonu seštevanja.
Pri mešanih ulomkih seštejemo cele dele s celimi deli in ulomke z ulomki.
Če imajo ulomki mešanih števil enake imenovalce, potem števce seštejemo, imenovalec pa ostane enak.
Seštejmo mešani števili \(3\frac(6)(11)\) in \(1\frac(3)(11)\).
\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\barva(rdeča) (3) + \barva(modra) (\frac(6)(11))) + ( \barva(rdeča) (1) + \barva(modra) (\frac(3)(11))) = (\barva(rdeča) (3) + \barva(rdeča) (1)) + (\barva( modra) (\frac(6)(11)) + \barva(modra) (\frac(3)(11))) = \barva(rdeča)(4) + (\barva(modra) (\frac(6) + 3)(11))) = \barva(rdeča)(4) + \barva(modra) (\frac(9)(11)) = \barva(rdeča)(4) \barva(modra) (\frac (9)(11))\)
Če imajo ulomki mešanih števil različne imenovalce, potem najdemo skupni imenovalec.
Izvedimo seštevanje mešanih števil \(7\frac(1)(8)\) in \(2\frac(1)(6)\).
Imenovalec je drugačen, zato moramo najti skupni imenovalec, enak je 24. Prvi ulomek \(7\frac(1)(8)\) pomnožimo z dodatnim faktorjem 3, drugi ulomek pa \( 2\frac(1)(6)\) s 4.
\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(rdeča) (3))(8 \times \color(rdeča) (3) ) = 2\frac(1\krat \barva(rdeča) (4))(6\krat \barva(rdeča) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)
Vprašanja na temo:
Kako sešteti ulomke?
Odgovor: najprej se morate odločiti, za kakšno vrsto izraza gre: ulomki imajo enake imenovalce, različne imenovalce ali mešane ulomke. Glede na vrsto izraza nadaljujemo z algoritmom rešitve.
Kako rešiti ulomke z različnimi imenovalci?
Odgovor: najti morate skupni imenovalec in nato upoštevati pravilo seštevanja ulomkov z enakimi imenovalci.
Kako rešiti mešane ulomke?
Odgovor: cela števila seštevamo s celimi števili, ulomke pa z ulomki.
Primer #1:
Ali lahko vsota dveh povzroči pravi ulomek? Nepravilen ulomek? Navedite primere.
\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)
Ulomek \(\frac(5)(7)\) je pravi ulomek, je rezultat vsote dveh pravih ulomkov \(\frac(2)(7)\) in \(\frac(3) (7)\).
\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \krat 9 + 8 \krat 5)(5 \krat 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)
Ulomek \(\frac(58)(45)\) je nepravi ulomek, je rezultat vsote pravih ulomkov \(\frac(2)(5)\) in \(\frac(8) (9)\).
Odgovor: Odgovor na obe vprašanji je pritrdilen.
Primer #2:
Seštejte ulomke: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .
a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)
b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(rdeča) (3))(3 \times \color(rdeča) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)
Primer #3:
Mešani ulomek zapišite kot vsoto naravnega števila in pravega ulomka: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)
a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)
b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)
Primer #4:
Izračunajte vsoto: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)
a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)
b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11) )(13) \)
c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\krat 3)(5\krat 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)
Naloga #1:
Pri kosilu smo jedli \(\frac(8)(11)\) iz torte, zvečer pri večerji pa \(\frac(3)(11)\). Mislite, da je bila torta v celoti pojedena ali ne?
rešitev:
Imenovalec ulomka je 11 in pove, na koliko delov je bila torta razdeljena. Pri kosilu smo pojedli 8 kosov torte od 11. Pri večerji smo pojedli 3 kose torte od 11. Seštejmo 8 + 3 = 11, pojedli smo kose torte od 11, torej celotno torto.
\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)
Odgovor: cela torta je bila pojedena.
Je vaš otrok prinesel domačo nalogo iz šole, vi pa ne veste, kako bi jo rešili? Potem je ta mini lekcija za vas!
Kako sešteti decimalke
Bolj priročno je dodati decimalne ulomke v stolpcu. Če želite dodati decimalke, morate upoštevati eno preprosto pravilo:
- Mesto mora biti pod mestom, vejica pod vejico.
Kot lahko vidite v primeru, se cele enote nahajajo ena pod drugo, desetinke in stotinke pa ena pod drugo. Sedaj seštevamo števila, pri čemer ne upoštevamo vejice. Kaj storiti z vejico? Vejica se premakne na mesto, kjer je stala v kategoriji celo število.
Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
Če želite izvesti seštevanje s skupnim imenovalcem, morate ohraniti imenovalec nespremenjen, poiskati vsoto števcev in dobiti ulomek, ki bo skupna vsota.
Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci z metodo skupnega večkratnika
Prva stvar, na katero morate biti pozorni, so imenovalci. Imenovalci so različni, ne glede na to, ali je eden deljiv z drugim ali pa so praštevila. Najprej ga morate spraviti na en skupni imenovalec;
- 1/3 + 3/4 = 13/12, moramo za rešitev tega primera najti najmanjši skupni večkratnik (LCM), ki bo deljiv z 2 imenovalcema. Za označevanje najmanjšega večkratnika a in b – LCM (a;b). V tem primeru LCM (3;4)=12. Preverjamo: 12:3=4; 12:4=3.
- Faktorje pomnožimo in dobljena števila seštejemo, dobimo 13/12 - nepravilen ulomek.
- Da nepravi ulomek pretvorimo v pravilnega, števec delimo z imenovalcem, dobimo celo število 1, ostanek 1 je števec, 12 pa imenovalec.
Seštevanje ulomkov z metodo navzkrižnega množenja
Če želite dodati ulomke z različnimi imenovalci, obstaja še ena metoda, ki uporablja formulo "križ v križ". To je zajamčen način za izenačitev imenovalcev; pomnožite števce z imenovalcem enega ulomka in obratno. Če ste šele na začetni stopnji učenja ulomkov, potem je ta metoda najpreprostejši in najbolj natančen način za pravilen rezultat pri seštevanju ulomkov z različnimi imenovalci.
Ena najpomembnejših ved, katere uporabo lahko vidimo v disciplinah, kot so kemija, fizika in celo biologija, je matematika. Študij te znanosti vam omogoča, da razvijete nekatere duševne lastnosti in izboljšate svojo sposobnost koncentracije. Ena od tem, ki si pri predmetu matematika zasluži posebno pozornost, je seštevanje in odštevanje ulomkov. Veliko študentov se težko uči. Morda vam bo naš članek pomagal bolje razumeti to temo.
Kako odšteti ulomke, katerih imenovalci so enaki
Ulomki so enaka števila, s katerimi lahko izvajate različne operacije. Njihova razlika od celih števil je v prisotnosti imenovalca. Zato morate pri izvajanju operacij z ulomki preučiti nekatere njihove značilnosti in pravila. Najenostavnejši primer je odštevanje navadnih ulomkov, katerih imenovalci so predstavljeni kot isto število. Izvajanje tega dejanja ne bo težko, če poznate preprosto pravilo:
- Da od enega ulomka odštejemo sekundo, je treba od števca ulomka, ki ga zmanjšujemo, odšteti števec odštetega ulomka. To število zapišemo v števec razlike, imenovalec pustimo enak: k/m - b/m = (k-b)/m.
Primeri odštevanja ulomkov z enakimi imenovalci
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
Od števca ulomka "7" odštejemo števec ulomka "3", ki ga želimo odšteti, dobimo "4". To številko zapišemo v števec odgovora, v imenovalec pa postavimo isto številko, ki je bila v imenovalcih prvega in drugega ulomka - "19".
Spodnja slika prikazuje še več podobnih primerov.
Oglejmo si bolj zapleten primer, kjer se odštejejo ulomki s podobnimi imenovalci:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
Od števca ulomka "29", ki se zmanjša z odštevanjem števcev vseh naslednjih ulomkov - "3", "8", "2", "7". Kot rezultat dobimo rezultat "9", ki ga zapišemo v števec odgovora, v imenovalec pa zapišemo število, ki je v imenovalcih vseh teh ulomkov - "47".
Seštevanje ulomkov z enakim imenovalcem
Seštevanje in odštevanje navadnih ulomkov poteka po istem principu.
- Če želite sešteti ulomke, katerih imenovalci so enaki, morate sešteti števce. Dobljeno število je števec vsote, imenovalec pa bo ostal enak: k/m + b/m = (k + b)/m.
Poglejmo, kako je to videti na primeru:
1/4 + 2/4 = 3/4.
Števcu prvega člena ulomka - "1" - dodajte števec drugega člena ulomka - "2". Rezultat - "3" - se zapiše v števec vsote, imenovalec pa ostane enak tistemu, ki je prisoten v ulomkih - "4".
Ulomki z različnimi imenovalci in njihovo odštevanje
Upoštevali smo že operacijo z ulomki, ki imajo enak imenovalec. Kot lahko vidite, je ob poznavanju preprostih pravil reševanje takšnih primerov precej enostavno. Kaj pa, če morate izvesti operacijo z ulomki, ki imajo različne imenovalce? Mnogi srednješolci so takšni primeri zbegani. Toda tudi tukaj, če poznate princip rešitve, vam primeri ne bodo več težki. Tukaj je tudi pravilo, brez katerega je reševanje takih ulomkov preprosto nemogoče.
- 2/3 - ena trojka in ena dve manjkata v imenovalcu:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18. - 7/9 ali 7/(3 x 3) - v imenovalcu manjka dvojka:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18. - 5/6 ali 5/(2 x 3) - v imenovalcu manjka trojka:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18. - Število 18 je sestavljeno iz 3 x 2 x 3.
- Število 15 je sestavljeno iz 5 x 3.
- Skupni večkratnik bodo naslednji faktorji: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.
- 90 deljeno s 15. Dobljeno število "6" bo množitelj za 3/15.
- 90 deljeno z 18. Dobljeno število "5" bo množitelj za 4/18.
- Pretvori vse ulomke, ki imajo celo število, v neprave. Preprosto povedano, odstranite celoten del. Če želite to narediti, pomnožite število celega dela z imenovalcem ulomka in dodajte dobljeni produkt k števcu. Število, ki se pojavi po teh dejanjih, je števec nepravilnega ulomka. Imenovalec ostane nespremenjen.
- Če imajo ulomki različne imenovalce, jih je treba zmanjšati na isti imenovalec.
- Izvedite seštevanje ali odštevanje z istimi imenovalci.
- Ko prejmete nepravilni ulomek, izberite cel del.
Če želite odšteti ulomke z različnimi imenovalci, jih je treba zmanjšati na enak najmanjši imenovalec.
O tem, kako to storiti, bomo podrobneje govorili.
Lastnost ulomka
Da bi več ulomkov spravili na isti imenovalec, morate v rešitvi uporabiti glavno lastnost ulomka: po deljenju ali množenju števca in imenovalca z istim številom dobite ulomek, ki je enak danemu.
Tako ima lahko na primer ulomek 2/3 imenovalce, kot so "6", "9", "12" itd., kar pomeni, da ima lahko obliko poljubnega števila, ki je večkratnik "3". Ko pomnožimo števec in imenovalec z "2", dobimo ulomek 4/6. Ko pomnožimo števec in imenovalec prvotnega ulomka s »3«, dobimo 6/9, če pa podobno operacijo izvedemo s številom »4«, dobimo 8/12. Eno enakost lahko zapišemo takole:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Kako pretvoriti več ulomkov na isti imenovalec
Poglejmo, kako zmanjšati več ulomkov na isti imenovalec. Za primer vzemimo ulomke, prikazane na spodnji sliki. Najprej morate ugotoviti, katero število lahko postane imenovalec za vse. Za lažjo stvar razložimo obstoječe imenovalce.
Imenovalec ulomka 1/2 in ulomka 2/3 ni mogoče faktorizirati. Imenovalec 7/9 ima dva faktorja 7/9 = 7/(3 x 3), imenovalec ulomka 5/6 = 5/(2 x 3). Zdaj moramo določiti, kateri faktorji bodo najmanjši za vse te štiri ulomke. Ker ima prvi ulomek v imenovalcu številko "2", to pomeni, da mora biti prisoten v vseh imenovalcih; v ulomku 7/9 sta dva trojčka, kar pomeni, da morata biti oba prisotna tudi v imenovalcu. Ob upoštevanju zgoraj navedenega ugotovimo, da je imenovalec sestavljen iz treh faktorjev: 3, 2, 3 in je enak 3 x 2 x 3 = 18.
Razmislimo o prvem ulomku - 1/2. V imenovalcu je "2", vendar ni niti ene številke "3", ampak bi morali biti dve. Da bi to naredili, pomnožimo imenovalec z dvema trojkama, glede na lastnost ulomka pa moramo števec pomnožiti z dvema trojkama:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.
Enake operacije izvajamo s preostalimi frakcijami.
Vse skupaj izgleda takole:
Kako odštevati in seštevati ulomke, ki imajo različne imenovalce
Kot je navedeno zgoraj, je treba ulomke, ki imajo različne imenovalce, dodati ali odšteti, jih zmanjšati na isti imenovalec in nato uporabiti pravila za odštevanje ulomkov z enakim imenovalcem, o katerih smo že govorili.
Poglejmo to kot primer: 4/18 - 3/15.
Iskanje večkratnika števil 18 in 15:
Ko je imenovalec najden, je treba izračunati faktor, ki bo za vsak ulomek drugačen, to je število, s katerim bo treba pomnožiti ne samo imenovalec, ampak tudi števec. To naredimo tako, da najdeno število (skupni večkratnik) delimo z imenovalcem ulomka, za katerega moramo določiti dodatne faktorje.
Naslednja stopnja naše rešitve je zmanjšanje vsakega ulomka na imenovalec "90".
O tem, kako se to naredi, smo že govorili. Poglejmo, kako je to zapisano na primeru:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Če imajo ulomki majhna števila, potem lahko določite skupni imenovalec, kot je prikazano v primeru na spodnji sliki.
Enako velja za tiste z različnimi imenovalci.
Odštevanje in ob celih delih
O odštevanju ulomkov in njihovem seštevanju smo že podrobno govorili. Toda kako odšteti, če ima ulomek celo število? Spet uporabimo nekaj pravil:
Obstaja še en način, na katerega lahko seštevate in odštevate ulomke s celimi deli. Za to se dejanja izvajajo ločeno s celimi deli, dejanja z ulomki ločeno, rezultati pa se zabeležijo skupaj.
Podani primer je sestavljen iz ulomkov z enakim imenovalcem. V primeru, da so imenovalci različni, jih je treba spraviti na isto vrednost in nato izvesti dejanja, kot je prikazano v primeru.
Odštevanje ulomkov od celih števil
Druga vrsta operacije z ulomki je primer, ko je treba ulomek odšteti. Tak primer se na prvi pogled zdi težko rešljiv. Vendar je tukaj vse precej preprosto. Če ga želite rešiti, morate pretvoriti celo število v ulomek in z enakim imenovalcem, kot je v odštetem ulomku. Nato izvedemo odštevanje podobno odštevanju z enakimi imenovalci. Na primeru je videti takole:
7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
Odštevanje ulomkov (6. razred), predstavljeno v tem članku, je osnova za reševanje zahtevnejših primerov, ki jih obravnavamo v naslednjih razredih. Znanje te teme se kasneje uporabi za reševanje funkcij, odvodov ipd. Zato je zelo pomembno razumeti in razumeti zgoraj obravnavane operacije z ulomki.
Dejanja z ulomki.
Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")
Torej, kaj so ulomki, vrste ulomkov, transformacije - spomnili smo se. Pojdimo k glavnemu vprašanju.
Kaj lahko storite z ulomki? Ja, vse je tako kot pri navadnih številkah. Seštevajte, odštevajte, množite, delite.
Vsa ta dejanja z decimalno delo z ulomki se ne razlikuje od dela s celimi števili. Pravzaprav je to tisto, kar je dobro pri njih, decimalnih. Edina stvar je, da morate vejico pravilno postaviti.
Mešane številke, kot sem že rekel, so malo uporabni za večino dejanj. Še vedno jih je treba pretvoriti v navadne ulomke.
Toda dejanja z navadni ulomki bolj zviti bodo. In še veliko bolj pomembno! Naj vas spomnim: vsa dejanja z ulomki s črkami, sinusi, neznankami in tako naprej in tako naprej se ne razlikujejo od dejanj z navadnimi ulomki! Operacije z navadnimi ulomki so osnova vse algebre. Zaradi tega razloga bomo tukaj zelo podrobno analizirali vso to aritmetiko.
Seštevanje in odštevanje ulomkov.
Vsak zna seštevati (odštevati) ulomke z enakimi imenovalci (močno upam!). No, čisto pozabljive naj spomnim: pri seštevanju (odštevanju) se imenovalec ne spremeni. Števci se seštejejo (odštejejo), da dobimo števec rezultata. Tip:
Skratka na splošno:
Kaj pa, če so imenovalci različni? Nato z uporabo osnovne lastnosti ulomka (tukaj pride spet prav!) naredimo imenovalce enake! Na primer:
Tukaj smo morali narediti ulomek 4/10 iz ulomka 2/5. Z edinim namenom, da bi bili imenovalci enaki. Naj za vsak slučaj pripomnim, da sta 2/5 in 4/10 isti ulomek! Samo 2/5 nam je neprijetnih, 4/10 pa je res v redu.
Mimogrede, to je bistvo reševanja kakršnih koli matematičnih problemov. Ko smo iz neprijetno delamo izraze ista stvar, vendar bolj priročna za reševanje.
Še en primer:
Situacija je podobna. Tukaj iz 16 naredimo 48. S preprostim množenjem s 3. Vse je jasno. Toda naleteli smo na nekaj takega:
Kako biti?! Težko je iz sedmice narediti devet! Ampak smo pametni, poznamo pravila! Preobrazimo se vsak ulomek, tako da sta imenovalca enaka. To se imenuje "zreduciraj na skupni imenovalec":
Vau! Kako sem vedel za 63? Zelo preprosto! 63 je število, ki je deljivo s 7 in 9 hkrati. Takšno število lahko vedno dobimo z množenjem imenovalcev. Če število pomnožimo na primer s 7, bo rezultat zagotovo deljiv s 7!
Če morate sešteti (odšteti) več ulomkov, tega ni treba narediti v parih, korak za korakom. Samo najti morate imenovalec, ki je skupen vsem ulomkom, in vsak ulomek zmanjšati na ta isti imenovalec. Na primer:
In kaj bo skupni imenovalec? Seveda lahko pomnožite 2, 4, 8 in 16. Dobimo 1024. Nočna mora. Lažje je oceniti, da je število 16 popolnoma deljivo z 2, 4 in 8. Zato je iz teh števil enostavno dobiti 16. To število bo skupni imenovalec. Spremenimo 1/2 v 8/16, 3/4 v 12/16 in tako naprej.
Mimogrede, če vzamete 1024 za skupni imenovalec, se bo vse izšlo, na koncu se bo vse zmanjšalo. A do tega konca ne bodo prišli vsi, zaradi izračunov ...
Sami dopolnite primer. Ne nekakšen logaritem... Moralo bi biti 29/16.
Torej je seštevanje (odštevanje) ulomkov jasno, upam? Seveda je lažje delati v skrajšani različici, z dodatnimi množitelji. Toda ta užitek je na voljo tistim, ki so pošteno delali v nižjih razredih ... In niso ničesar pozabili.
In zdaj bomo naredili enaka dejanja, vendar ne z ulomki, ampak z ulomki izrazi. Tukaj bodo razkrite nove rake, ja ...
Sešteti moramo torej dva ulomka:
Imenovalci morajo biti enaki. In samo s pomočjo množenje! To narekuje glavna lastnost ulomka. Zato X v prvem ulomku v imenovalcu ne morem dodati ena. (to bi bilo lepo!). Če pa imenovalce pomnožiš, vidiš, vse skupaj raste! Torej zapišemo vrstico ulomka, pustimo na vrhu prazen prostor, nato ga seštejemo, spodaj pa zapišemo produkt imenovalcev, da ne pozabimo:
In seveda ničesar ne množimo na desni strani, ne odpiramo oklepajev! In zdaj, ko pogledamo skupni imenovalec na desni strani, ugotovimo: da bi dobili imenovalec x(x+1) v prvem ulomku, morate števec in imenovalec tega ulomka pomnožiti z (x+1) . In v drugem ulomku - do x. Tole dobite:
Opomba! Tukaj so oklepaji! To so grablje, na katere stopi marsikdo. Seveda ne oklepaji, ampak njihova odsotnost. Oklepaj se pojavi, ker množimo vseštevnik in vse imenovalec! In ne njihovih posameznih kosov...
V števec desne strani zapišemo vsoto števcev, vse je kot pri številskih ulomkih, nato v števcu desne strani odpremo oklepaje, tj. Vse pomnožimo in damo podobno. Ni vam treba odpirati oklepajev v imenovalcih ali ničesar množiti! Na splošno je v imenovalcih (kateri koli) izdelek vedno prijetnejši! Dobimo:
Tako smo dobili odgovor. Postopek se zdi dolg in težaven, vendar je odvisen od prakse. Ko rešiš primere, se navadiš, bo vse postalo preprosto. Tisti, ki so ulomke obvladali pravočasno, delajo vse te operacije z eno levo roko, samodejno!
In še ena opomba. Mnogi se pametno ukvarjajo z ulomki, zataknejo pa se pri primerih z celaštevilke. Na primer: 2 + 1/2 + 3/4=? Kam pritrditi dvodelno? Ni vam ga treba nikamor pritrditi, iz dveh morate narediti delček. Ni lahko, ampak zelo preprosto! 2=2/1. Všečkaj to. Vsako celo število lahko zapišemo kot ulomek. Števec je samo število, imenovalec je ena. 7 je 7/1, 3 je 3/1 in tako naprej. Enako je s črkami. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 itd. In potem s temi ulomki delamo po vseh pravilih.
No, osvežili smo znanje seštevanja in odštevanja ulomkov. Ponavljalo se je pretvarjanje ulomkov iz ene vrste v drugo. Lahko se tudi pregledate. Naj se malo dogovorimo?)
Izračunaj:
Odgovori (v neredu):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Množenje/deljenje ulomkov – v naslednji lekciji. Na voljo so tudi naloge za vse operacije z ulomki.
Če vam je všeč ta stran ...
Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)
Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)
Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.
Ulomki so navadna števila in jih je mogoče tudi seštevati in odštevati. Toda ker imajo imenovalec, zahtevajo bolj zapletena pravila kot za cela števila.
Razmislimo o najpreprostejšem primeru, ko obstajata dva ulomka z enakima imenovalcema. Nato:
Če želite sešteti ulomke z enakimi imenovalci, morate njihove števce sešteti, imenovalec pa pustiti nespremenjen.
Če želite odšteti ulomke z enakimi imenovalci, morate števec drugega odšteti od števca prvega ulomka in ponovno pustiti imenovalec nespremenjen.
Znotraj vsakega izraza sta imenovalca ulomka enaka. Po definiciji seštevanja in odštevanja ulomkov dobimo:
Kot lahko vidite, ni nič zapletenega: samo seštejemo ali odštejemo števce in to je to.
Toda tudi pri tako preprostih dejanjih ljudje delajo napake. Najpogosteje se pozablja, da se imenovalec ne spreminja. Na primer, ko jih dodajajo, se tudi začnejo seštevati, kar je v osnovi napačno.
Znebiti se slabe navade seštevanja imenovalcev je povsem preprosto. Poskusite isto pri odštevanju. Posledično bo imenovalec enak nič, ulomek pa bo (nenadoma!) izgubil pomen.
Zato si enkrat za vselej zapomnite: pri seštevanju in odštevanju se imenovalec ne spremeni!
Veliko ljudi se zmoti tudi pri seštevanju več negativnih ulomkov. Obstaja zmeda z znaki: kje dati minus in kje dati plus.
Tudi to težavo je zelo enostavno rešiti. Dovolj je, da se spomnimo, da lahko minus pred znakom ulomka vedno prenesemo na števec - in obratno. In seveda ne pozabite na dve preprosti pravili:
- Plus z minusom daje minus;
- Dve nikalnici pomenita pritrdilno.
Poglejmo vse to s konkretnimi primeri:
Naloga. Poiščite pomen izraza:
V prvem primeru je vse preprosto, v drugem pa dodamo minuse števcem ulomkov:
Kaj storiti, če sta imenovalca različna
Ulomkov z različnimi imenovalci ne morete neposredno seštevati. Vsaj meni ta metoda ni znana. Vendar pa lahko izvirne ulomke vedno prepišemo tako, da postanejo imenovalci enaki.
Obstaja veliko načinov za pretvorbo ulomkov. Tri izmed njih so obravnavane v lekciji "Zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec", zato se na njih tukaj ne bomo zadrževali. Oglejmo si nekaj primerov:
Naloga. Poiščite pomen izraza:
V prvem primeru ulomke reduciramo na skupni imenovalec po metodi »križ-navzkriž«. V drugem bomo iskali NOC. Upoštevajte, da je 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Zadnji faktorji v teh razširitvah so enaki, prvi pa relativno praštevilni. Zato je LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.
Kaj storiti, če ima ulomek celo število
Lahko vas potešim: različni imenovalci v ulomkih niso največje zlo. Veliko več napak se pojavi, če je v ulomkih seštevka označen cel del.
Seveda obstajajo lastni algoritmi seštevanja in odštevanja za takšne ulomke, vendar so precej zapleteni in zahtevajo dolgo študijo. Bolje uporabite spodnji preprost diagram:
- Pretvori vse ulomke, ki vsebujejo celo število, v neprave. Dobimo običajne člene (tudi z različnimi imenovalci), ki jih izračunamo po zgoraj obravnavanih pravilih;
- Pravzaprav izračunajte vsoto ali razliko dobljenih ulomkov. Posledično bomo praktično našli odgovor;
- Če je to vse, kar je bilo v nalogi zahtevano, izvedemo inverzno transformacijo, tj. Nepravilnega ulomka se znebimo tako, da poudarimo cel del.
Pravila za premikanje na nepravilne ulomke in poudarjanje celotnega dela so podrobno opisana v lekciji "Kaj je številski ulomek". Če se ne spomnite, ga obvezno ponovite. Primeri:
Naloga. Poiščite pomen izraza:
Tukaj je vse preprosto. Imenovalci znotraj vsakega izraza so enaki, tako da ostane le še, da pretvorimo vse ulomke v neprave in preštejemo. Imamo:
Za poenostavitev izračunov sem v zadnjih primerih preskočil nekaj očitnih korakov.
Majhna opomba o zadnjih dveh primerih, kjer se ulomka s poudarjenim celim delom odštejeta. Minus pred drugim ulomkom pomeni, da se odšteje celoten ulomek in ne le njegov cel del.
Še enkrat preberite ta stavek, poglejte primere – in razmislite o tem. Tu naredijo začetniki ogromno napak. Na testih radi dajejo takšne težave. Večkrat jih boste srečali tudi v testih za to lekcijo, ki bodo objavljeni v kratkem.
Povzetek: splošna računska shema
Na koncu bom podal splošen algoritem, ki vam bo pomagal najti vsoto ali razliko dveh ali več ulomkov:
- Če ima eden ali več ulomkov celo število, te ulomke pretvorite v neprave;
- Vse ulomke spravite na skupni imenovalec na kakršen koli način, ki vam ustreza (razen če seveda tega niso storili pisci težav);
- Dobljena števila seštejte ali odštejte po pravilih za seštevanje in odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci;
- Če je mogoče, skrajšajte rezultat. Če ulomek ni pravilen, izberite cel del.
Ne pozabite, da je bolje poudariti celoten del na samem koncu naloge, tik preden zapišete odgovor.
