Kako sestaviti ravno črto, pravokotno na ravnino. Algoritem za konstruiranje ravnine, pravokotne na dano

KONSTRUKCIJA MEDSEBOJNO PRAVOKOTNE RAVNICE IN RAVNINE

Med vsemi možnimi položaji premice, ki seka ravnino, omenimo primer, ko je premica pravokotna na ravnino, in upoštevamo lastnosti projekcij takšne premice.

Na sl. 185 je podana ravnina, ki jo določata dve sekajoči se ravnini AN in AM, pri čemer je AN vodoravna in AM fronta te ravnine. Premica AB, prikazana na isti risbi, je pravokotna na AN in AM in je torej pravokotna na ravnino, ki ju določata.

Navpičnica na ravnino je pravokotna na katero koli premico, narisano v tej ravnini. Toda, da bi bila projekcija pravokotnice na splošno ravnino pravokotna na istoimensko projekcijo katere koli ravne črte te ravnine, mora biti ravna črta vodoravna, čelna ali profilna ravna ravnina. Zato, ko želijo zgraditi pravokotno na ravnino, v splošnem primeru vzamejo dve taki ravni črti (na primer vodoravno in čelno, kot je prikazano na sliki 185).

Torej, pri pravokotnici na ravnino je njena vodoravna projekcija pravokotna na vodoravno projekcijo vodoravnice, čelna projekcija je pravokotna na čelno projekcijo fronte, profilna projekcija je pravokotna na profilno projekcijo profilne črte tega letalo.

Očitno je, da v primeru, ko je ravnina izražena s sledmi (slika 186), dobimo naslednji zaključek: če je ravna črta pravokotna na ravnino, potem je vodoravna projekcija te črte pravokotna na vodoravno sled ravnine , čelna projekcija pa je pravokotna na čelno sled ravnine.

Torej, če je v sistemu π 1 p 2 vodoravna projekcija črte pravokotna na vodoravno sled in je čelna projekcija črte pravokotna na čelno sled ravnine, potem v primeru ravnin splošnega položaja (Sl. 186), kot tudi vodoravno in čelno štrlečo črto, je pravokotna na ravnino. Toda za ravnino, ki projicira profil, se lahko izkaže, da premica na to ravnino ni pravokotna, čeprav so projekcije premice ustrezno pravokotne na vodoravno in čelno sled ravnine. Zato je treba tudi pri profilni projekcijski ravnini upoštevati relativni položaj profilne projekcije premice in profilne sledi dane ravnine in šele nato ugotoviti, ali sta dana premica in ravnina. bodo pravokotni drug na drugega.

Očitno (slika 187) se vodoravna projekcija navpičnice na ravnino združi z vodoravno projekcijo nagnjene črte, ki je v ravnini narisana skozi vznožje navpičnice.

Na sl. 186 iz točke A je potegnjena navpičnica na kvadrat. a (А"С" ⊥ f" 0a, А"С" ⊥ h" 0a) in prikazuje konstrukcijo točke E, v kateri navpičnica AC seka pl. A. Konstrukcija je bila narejena z vodoravno štrlečim kvadratom. β, narisano skozi navpičnico AE.

Na sl. 188 prikazuje konstrukcijo navpičnice na ravnino, ki jo določa trikotnik ABC. Skozi točko A je narisana navpičnica.

Ker mora biti čelna projekcija pravokotnice na ravnino pravokotna na čelno projekcijo fronte ravnine, njena vodoravna projekcija pa je pravokotna na vodoravno projekcijo vodoravnice, potem v ravnini skozi točko A nastane fronta s projekcijami A Narisana sta "D" in A"D" ter vodoravni A"E", A"E". Seveda ni treba, da so te črte potegnjene natančno skozi točko A.

Sledijo projekcije navpičnice: M"N" ⊥ A"D", M"N" ⊥ A"E". Zakaj so projekcije na sl. 188 v razdelkih A"N" in "A"M" sta prikazana s črtkano črto? Ker tukaj obravnavamo ravnino, ki jo določa trikotnik ABC, in ne samo ta trikotnik: navpičnica je deloma pred ravnino, deloma za njo.

Na sl. 189 in 190 prikazujeta konstrukcijo ravnine, ki poteka skozi točko A pravokotno na premico BC. Na sl. 189 je ravnina izražena s sledmi. Konstrukcija se je začela z risanjem vodoravne črte želene ravnine skozi točko A: ker mora biti vodoravna sled ravnine pravokotna na B "C", mora biti vodoravna projekcija vodoravne črte pravokotna na B "C". Zato A"N" ⊥ B"C. Projekcija A"N" || osi x, kot bi morala biti na vodoravni ravnini. Nato narišite skozi točko N" (N" je čelna projekcija čelne sledi vodoravno AN) sled f" 0a ⊥ B "C", dobimo točko X a in narišemo sled h" 0a || A"N" (h" 0a ⊥ B"C).

Na sl. 190 je ravnina določena s sprednjim delom AM in vodoravnim AN. Te črte so pravokotne na BC (А"М"" ⊥ В"С", A"N" ⊥ В"С); ravnina, ki jo definirajo, je pravokotna na sonce.

Ker je navpičnica na ravnino pravokotna na vsako premico, narisano v tej ravnini, potem ko ste se naučili narisati ravnino, pravokotno na premico, lahko s tem narišete navpičnico iz določene točke A na splošno premico BC. Očitno lahko začrtamo naslednji načrt za izdelavo projekcij želene črte:

1) skozi točko A nariši ravnino (recimo ji ϒ), pravokotno na BC;

2) določite točko K presečišča premice BC s kvadratom. ϒ;

3) povežite točki A in K z ravnim odsekom.

Premici AK in BC sta medsebojno pravokotni.

Primer konstrukcije je podan na sl. 191. Skozi točko A je narisana ravnina (ϒ), pravokotna na BC. To naredimo s fronto, katere čelna projekcija A"F" je pravokotna na čelno projekcijo B"C" in vodoravno, katere vodoravna projekcija je pravokotna na B"C".

Nato najdemo točko K, v kateri premica BC seka kvadrat. ϒ. V ta namen narišemo vodoravno štrlečo ravnino β skozi premico BC (na risbi je določena le z vodoravno sledjo β"). Kvadrat β seka kvadrat ϒ v ravni črti s projekcijama 1"2' in 1"2 ". V presečišču te premice s premico BC dobimo točko K premico AK želeno pravokotno na BC. Dejansko premica AK seka premico BC in je v kvadratu. ϒ, pravokotna na premico BC; torej AK ⊥ BC.

Na sl. 192 prikazuje ravnino splošne lege a, ki poteka skozi točko A, in pravokotno AM na to ravnino, razširjeno do presečišča z ravnino. n 1, v točki B".

Kot f 1 med pl. a in pl. n 1 in kot f med premico AM in kvadratom. p 1 so ostri koti pravokotnega trikotnika B "AM" in zato φ 1 + φ = 90°. Prav tako, če pl. in je enako mn. p 2 kot σ 2, premica AM, pravokotna na a, pa tvori c pl. n 2 kot σ, potem je σ 2 + σ = 90°. Iz tega najprej sledi, da je ravnina splošne lege, ki naj bo enaka pl. p 1 kot f 1 a s pl. n 2 kot σ 2 lahko konstruiramo le, če je 180° > Ф 1 + σ2 > 90°.

Dejansko seštejemo člen za členom Ф 1 + Ф = 90° in σ 2 + σ = 90°, dobimo Ф 1 + σ 2 + Ф + σ = 180°, tj. Ф 1 + σ 2< 180, а так как Ф + σ < 90 , то Ф 1 + σ 2 >90°. Če vzamete F 1 + σ 2 =90°, dobite profilno projekcijsko ravnino, če pa vzamete F 1 + σ 2 = 180°, dobite profilno ravnino, tj. v obeh primerih ravnina ni splošno stališče, vendar posebnega.

KONSTRUKCIJA MEDSEBOJNO PRAVOKOTNIH RAVNIN

Konstrukcijo ravnine β, pravokotne na ravnino a, lahko izvedemo na dva načina: 1) pl. β je narisan skozi premico, pravokotno na kvadrat. A; 2) pl. β je narisan pravokotno na premico, ki leži v kvadratu. a ali vzporedno s to ravnino. Za pridobitev edinstvene rešitve so potrebni dodatni pogoji.

Na sl. 193 je prikazana konstrukcija ravnine, pravokotne na ravnino, ki jo določa trikotnik CDE. Dodaten pogoj pri tem je, da mora želena ravnina potekati skozi premico A B. Posledično je želena ravnina določena z ravnino AB in pravokotnico na ravnino trikotnika. Da to narišemo pravokotno na kvadrat. CDE v njem sta vzeta čelni CN in vodoravni CM: če B"F" ⊥ C“N" in B"F"⊥C"M", potem BF⊥ kvadrat CDE.

Ravnina, ki jo tvorita sekajoči se premici AB in BF, je pravokotna na kvadrat. COE, saj gre skozi pravokotnico na to ravnino. Na sl. 194 vodoravno projicirana ravnina β poteka skozi točko K pravokotno na ravnino, ki jo določa trikotnik ABC. Tu je bil dodatni pogoj pravokotnost želene ravnine na dve ravnini hkrati: na kvadrat. ABC in na pl. str 1. Zato je odgovor vodoravna projekcijska ravnina. In ker je narisana pravokotno na vodoravno črto AD, tj. na ravno črto, ki pripada pl. ABC, nato pl. β je pravokoten na kvadrat. ABC.

Ali lahko pravokotnost istoimenskih sledi ravnin služi kot znak pravokotnosti samih ravnin?

Očitni primeri, ko je temu tako, vključujejo medsebojno pravokotnost dveh vodoravno štrlečih ravnin, pri čemer sta vodoravni sledi medsebojno pravokotni. To se zgodi tudi, kadar so čelne sledi čelno štrlečih ravnin medsebojno pravokotne; ti ravnini sta medsebojno pravokotni.

Oglejmo si (sl. 195) vodoravno štrlečo ravnino β, pravokotno na splošno ravnino a.

Če pl. β je pravokoten na kvadrat. l, p 1 pl. a, potem β⊥h" 0a glede na presečišče ploskve a in ploskve p 1. Zato je h" 0a ⊥ β in zato h" 0a ⊥ β, kot ene od premic v območju β.

Torej, pravokotnost vodoravnih sledi splošne ravnine in vodoravno štrleče ravnine ustreza medsebojni pravokotnosti teh ravnin.

Očitno pravokotnost čelnih sledi frontalno štrleče ravnine in ravnine splošnega položaja ustreza tudi medsebojni pravokotnosti teh ravnin.

Če pa sta istoimenski sledi dveh ravnin v splošnem položaju medsebojno pravokotni, potem ravnini sami nista pravokotni druga na drugo, saj tukaj ni izpolnjen noben od pogojev, navedenih na začetku tega razdelka.

Za zaključek si poglejmo sl. 196. Tu gre za primer medsebojne pravokotnosti istoimenskih sledi v obeh njihovih parih in pravokotnosti samih ravnin: obeh ravnin posebnega (posebnega) položaja - profila ϒ in profila, ki štrli a.

Glagolska oblika	Grafična oblika
1. Znano je, da je za konstrukcijo ravne črte, pravokotne na ravnino, potrebno zgraditi vodoravno in čelno črto v ravnini. a) Upoštevajte, da je konstrukcija navpičnice poenostavljena, saj so stranice ravnine Q(D ABC) ravne premice: AB (A 1 B 1; A 2 B 2) – sprednja stran AC (A 1 C 1; A 2 C 2) – vodoravno . b) Vzemite ravno črto l poljubna točka K
2. Skozi točko K, ki pripada premici l, izvajamo direktno n^Q, tj. n 1 ^ A 1 C 1 in n 2 ^ A 2 B 2 . Želeno ravnino bosta določili dve sekajoči se črti, od katerih je ena podana - l, in drugi - n je pravokotna na dano ravnino: P( l n)^Q (D ABC)

Konec dela -

Ta tema spada v razdelek:

Opisna geometrija - T.V. Hrustaljeva

Če potrebujete dodatno gradivo o tej temi ali niste našli tistega, kar ste iskali, priporočamo iskanje v naši bazi del:

Kaj bomo naredili s prejetim materialom:

Če vam je bilo to gradivo koristno, ga lahko shranite na svojo stran v družabnih omrežjih:

Vse teme v tem razdelku:

OPISNA GEOMETRIJA
Priporoča Daljni vzhodni regionalni izobraževalni in metodološki center kot učbenik za študente specialnosti 210700 "Avtomatizacija, telemehanika in železniške komunikacije"

Geometrijske slike
1. Projekcijska ravnina: p – poljubna; p1 – vodoravno; p2 – čelni; p3 – profil; S – sredinska projekcija

Teoretični zapis
Bistvo projekcijske metode je, da projekcija Ap neke geometrijske slike

Centralna projekcija
Centralna je projekcija, pri kateri vsi štrleči žarki izhajajo iz ene točke S, imenovane projekcijsko središče. Na sl. 1.3 daje primer središčne projekcije, kjer je p ravno

Vzporedna projekcija
Vzporedna projekcija je projekcija, pri kateri so vsi štrleči žarki med seboj vzporedni. Vzporedne projekcije so lahko poševne (slika 1.7) in pravokotne (slika 1.8).

Lastnosti ortogonalnih projekcij
1. Projekcija točke je točka (slika 1.9). riž. 1.9 2. Projekcija premice na splošno

Reverzibilnost risbe. Metoda Monge
Metoda projiciranja projekcij na eno ravnino, obravnavana v § 2 in § 3, omogoča reševanje neposrednega problema (če imate predmet, lahko najdete njegovo projekcijo), vendar ne omogoča reševanja inverznega problema (imate

Sistem dveh med seboj pravokotnih ravnin
Reverzibilnost risbe, kot smo že omenili, tj. nedvoumno določitev položaja točke v prostoru iz njenih projekcij, lahko zagotovimo s projekcijo na dve medsebojno pravokotni

Sistem treh med seboj pravokotnih ravnin
V praksi, raziskavah in slikanju sistem dveh med seboj pravokotnih ravnin ne daje vedno možnosti enoznačne rešitve. Torej, na primer, če premaknete točko A vzdolž osi

Kompleksna risba in likovna predstavitev točke v oktantih I–IV
Oglejmo si primer konstruiranja točk A, B, C, D v različnih oktantih (tabela 2.4). Tabela 2.4 Oktant Vizualna predstavitev

Splošne določbe
Črta je enodimenzionalna geometrijska slika, ki ima dolžino; množica vseh zaporednih položajev gibljive točke. Po Evklidovi definiciji: "Črta je dolžina brez širine." Nadstropje

Neposredne ravni
Opredelitev Vizualna predstavitev Kompleksna risba Vodoravna črta je vsaka črta, ki je vzporedna z vodoravno

Projiciranje ravnih črt
Opredelitev Vizualna predstavitev Kompleksna risba Vodoravno štrleča črta je ravna črta, pravokotna na

Konstrukcija tretje projekcije segmenta na podlagi dveh danih
V našem primeru bomo upoštevali gradnjo generalne proge v prvem četrtletju (tabela 3.3). Tabela 3.3 Glagolska oblika

Metoda pravokotnega trikotnika. Določitev naravne velikosti odseka ravne črte in kotov naklona ravne črte na projekcijske ravnine
Konstruiranje projekcij segmenta ravne črte v splošnem in posebnem položaju omogoča reševanje ne le položajnih problemov (lokacija glede na projekcijske ravnine), temveč tudi metričnih - določanje dolžine od

Določitev naravne vrednosti daljice v splošnem položaju
Za določitev naravne vrednosti odseka ravne črte v splošnem položaju iz njegovih projekcij se uporablja metoda pravokotnega trikotnika. Oglejmo si zaporedje tega položaja (tabela.

Splošne določbe
Dve ravni črti v prostoru imata lahko različne lokacije: sekata (ležita v isti ravnini). Poseben primer presečišča je pod pravim kotom; lahko vzporedna

Ugotavljanje vidnosti premic glede na projekcijske ravnine
Konkurenčne točke se uporabljajo za določanje vidnosti črt glede na projekcijske ravnine. Oglejmo si kompleksno risbo sekajočih se premic a in b (sl. 4.1 in sl. 4.2). Ugotovimo, katere

Algoritem za gradnjo sekajočih se črt
Besedna oblika Grafična oblika 1. Skozi točko K nariši premico h|| p1 in sečišče a

Projektiranje letal
Opredelitev Vizualna slika Kompleksna risba Vodoravno štrleča ravnina je ravnina, ki je pravokotna

Ravne ravnine
Značilnosti Vizualna predstavitev Diagram Čelna ravnina je ravnina, vzporedna z ravnino p2. to

Premice posebne lege v ravnini
Premice posebnega položaja v ravnini so vodoravna h, čelna f in premice največjega naklona na projekcijske ravnine. Poglejmo si grafični prikaz teh črt (tabela 5.6). Ta

Algoritem frontalne konstrukcije
Besedna oblika Grafična oblika Glede na ravnino a (a|| b), torej a1 || b1; a2

Algoritem za izdelavo druge projekcije točke K
Besedna oblika Grafična oblika Ploščina a – definirana z ravnim likom a (D ABC), K2 – čelna projekcija točke K

Algoritem za konstruiranje ravnine, vzporedne z dano
Besedna oblika Grafična oblika 1. Za rešitev naloge v dani ravnini P(D ABC) vzamemo poljubne sekajoče se premice. Na primer AB

Sekajoče ravnine
Dve ravnini se sekata v premici. Če želite zgraditi črto njihovega presečišča, je treba najti dve točki, ki pripadata tej črti. Problem je poenostavljen, če je ena od sečnih ravnin zasedena

Algoritem za konstruiranje ravne črte, vzporedne z ravnino
Besedna oblika Grafična oblika 1. Konstruirajmo v ravnini P(D ABC) premico A1, ki pripada ravnini P

Algoritem za presečišče premice z generično ravnino
Besedna oblika Grafična oblika 1. Konstruirati presečišče premice l z ravnino

Algoritem za izdelavo pravokotnice na ravnino
Besedna oblika Grafična oblika 1. Če želite skozi točko D zgraditi pravokotnico na ravnino P(D ABC), morate najprej

Na 3. poglavje
1. Sestavite projekcijo premice AB (slika 3), če: a) je vzporedna s p1; b) vzporedno s p2; c) vzporedno z OX; d) pravokotno na p1

Na 5. poglavje
V ravnini, ki jo določata dve vzporedni ravni črti, zgradite fronto na razdalji 15 mm od p1 (slika 9):

Na 6. poglavje
1. Dana je ravnina P(a|| b) in čelna projekcija m2 premice m, ki poteka skozi točko D. Konstruirajte vodoravno projekcijo premice m1 tako, da bo premica m vzporedna z ravnino

Preizkusi za 3. poglavje
Izberite ujemanje med oznako segmenta AB in njegovo sliko (slika 6): 1. AB || p 1 2. AB || p 2 3. AB ^ p 1 4.

Preizkusi za 6. poglavje
1. Na kateri od risb (slika 12) je ravnina S (D ABC) vzporedna z ravnino P(m C n).

Priporočena bibliografija
1. GOST 2.001-70. Splošne določbe // V zbirki. Enotni sistem projektne dokumentacije. Temeljne določbe. – M.: Založba standardov, 1984. – Str. 3–5. 2. GOST 2.104-68. Glavni napisi // B

Znak pravokotnosti premice in ravnine nam omogoča, da konstruiramo medsebojno pravokotne premice in ravnine, torej dokazujemo obstoj takih premic in ravnin. Začnimo s konstruiranjem ravnine, pravokotne na dano premico in poteka skozi dano točko. Rešimo dva konstrukcijska problema, ki ustrezata dvema možnostma lokacije dane točke in dane premice.

Naloga 1. Skozi dano točko A na dani premici a nariši ravnino, pravokotno na to premico.

Narišimo poljubni dve ravnini skozi premico a in v vsako od teh ravnin skozi točko A narišimo premico, pravokotno na premico a, in ju označimo z b in c (slika 2.17). Ravnina a, ki poteka skozi premice bis, vsebuje točko A in je pravokotna na premico a (glede na pravokotnost premice in ravnine). Zato je želena ravnina a. Problem je rešen.

Problem ima samo eno (tj. edinstveno) rešitev. Dejansko predpostavimo nasprotno. Nato poteka skozi točko A poleg ravnine a še ena ravnina P, pravokotna na premico a (slika 2.18). V ravnino P vzemimo poljubno premico, ki poteka skozi točko A in ne leži v ravnini a. Narišimo ravnino y skozi sečišče a in . Ravnina y seka ravnino a po premici q. Premica q ne sovpada s premico , saj q leži v in ne leži v a. Obe premici ležita v ravnini y, potekata skozi točko A in sta pravokotni na premico a od in podobno od in. Toda to je v nasprotju z znanim izrekom planimetrije, po katerem v ravnini poteka skozi vsako točko samo ena premica, pravokotna na dano premico.

Torej, ob predpostavki, da dve ravnini, pravokotni na premico, potekata skozi točko A, smo prišli do protislovja. Zato ima problem edinstveno rešitev.

Naloga 2. Skozi dano točko A, ki ne leži na dani premici a, nariši ravnino, pravokotno na to premico.

Skozi točko A narišemo premico b pravokotno na premico a. Naj bo B presečišče a in b. Skozi točko B narišemo tudi premico c, pravokotno na premico a (slika 2.19). Ravnina, ki poteka skozi obe narisani premici, bo po kriteriju pravokotnosti (2. izrek) pravokotna na a.

Tako kot v nalogi 1 je konstruirana ravnina edinstvena. Res, vzemimo poljubno ravnino, ki poteka skozi točko A pravokotno na premico a. Takšna ravnina vsebuje premico, ki je pravokotna na premico a in poteka skozi točko A. Vendar obstaja samo ena taka premica. To je premica b, ki poteka skozi točko B. To pomeni, da mora ravnina, ki poteka skozi A in je pravokotna na premico a vsebovati točko B, skozi točko B, pravokotno na premico a, pa poteka samo ena ravnina (naloga 1). Ko smo torej rešili te konstrukcijske probleme in dokazali edinstvenost njihovih rešitev, smo dokazali naslednji pomemben izrek.

Izrek 3 (o ravnini, pravokotni na premico). Skozi vsako točko poteka ravnina, pravokotna na dano premico, poleg tega pa samo ena.

Posledica (o ravnini navpičnic). Premice, pravokotne na dano premico v dani točki, ležijo v isti ravnini in jo pokrivajo.

Naj bo a dana premica in A poljubna točka na njej. Skozi to leti letalo. Z definicijo pravokotnosti premice in ravnine je pokrita

prekrit z ravnimi črtami, pravokotnimi na ravnino a v točki A, tj. skozi vsako točko ravnine a poteka premica, pravokotna na premico a.

Predpostavimo, da premica poteka skozi točko A in ne leži v ravnini a. Skozi njo narišimo ravnino P in ravnina P bo sekala a po določeni ravnini c (slika 2.20). In ker se izkaže, da skozi točko A v ravnini P potekata premici b in c, pravokotni na premico a. To je nemogoče. To pomeni, da v točki A ni premic, ki so pravokotne na premico a in ne ležijo v ravnini a. Vsi ležijo v tej ravnini.

Primer posledice izreka 3 so napere v kolesu, pravokotne na njegovo os: pri vrtenju rišejo ravnino (natančneje krog), pri čemer zavzamejo vse položaje pravokotno na os vrtenja.

Izreka 2 in 3 pomagata zagotoviti preprosto rešitev naslednjega problema.

Naloga 3. Skozi točko na dani ravnini nariši premico, pravokotno na to ravnino.

Naj sta podani ravnina a in točka A v ravnini a. Narišimo premico a v ravnini a skozi točko A. Skozi točko A narišemo ravnino, pravokotno na premico a (1. naloga). Ravnina bo sekala ravnino a po neki premici b (slika 2.21). Narišimo premico c v ravnini P skozi točko A, pravokotno na premico b. Ker (ker c leži v ravnini

In), potem po izreku 2. Edinstvenost njegove rešitve je ugotovljena v razdelku 2.1.

Komentiraj. O konstrukcijah v prostoru. Spomnimo se, da v 1. poglavju preučujemo "strukturno geometrijo". In na tej točki smo rešili tri probleme o konstrukciji v prostoru. Kaj v stereometriji pomenijo izrazi "konstruirati", "risati", "vpisati" itd.? s tem dokažemo njegov obstoj. Na splošno pri reševanju konstrukcijskega problema dokažemo izrek o obstoju figure z danimi lastnostmi. Najenostavnejše operacije, ki vodijo do želenega rezultata, so risanje krogov in iskanje njihovih presečišč.

Torej ima v planimetriji rešitev konstrukcijskega problema tako rekoč dve plati: teoretično - konstrukcijski algoritem - in praktično - izvajanje tega algoritma, na primer s šestilom in ravnilom.

Stereometrična konstrukcijska naloga ima le še eno plat - teoretično, saj v prostoru ni orodij za gradnjo, kot sta šestilo in ravnilo.

Osnovne konstrukcije v prostoru so tiste, ki jih zagotavljajo aksiomi in izreki o obstoju premic in ravnin. To je risanje premice skozi dve točki, risanje ravnine (propozicije klavzule 1.1 in aksiom 1 klavzule 1.4), kot tudi konstruiranje črte presečišča katerih koli dveh konstruiranih ravnin (aksiom 2 klavzule 1.4). Poleg tega bomo seveda domnevali, da je možno izvajati planimetrične konstrukcije v že izdelanih ravninah.

Reševanje konstrukcijskega problema v prostoru pomeni nakazovanje zaporedja osnovnih konstrukcij, ki rezultirajo v želeni figuri. Običajno niso izrecno navedene vse osnovne konstrukcije, ampak se sklicuje na že rešene konstrukcijske probleme, t.j. na že dokazanih propozicijah in izrekih o možnosti takšnih konstrukcij.

Poleg konstrukcij - eksistencnih izrekov v stereometriji sta možni še dve vrsti problemov, povezanih s konstrukcijami.

Najprej so naloge na sliki ali risbi. To so težave za rezanje poliedrov ali drugih teles. Samega odseka pravzaprav ne gradimo, ampak ga le upodabljamo

risbo ali risbo, ki jo že imamo. Takšne konstrukcije se izvajajo kot planimetrične, ob upoštevanju aksiomov in izrekov stereometrije in slikovnih pravil. Težave te vrste se nenehno rešujejo v risarski in oblikovalski praksi.

Drugič, naloge o gradnji teles na površinah. Nalogo: "Konstruiraj točke na površini kocke, ki so oddaljene od danega vrha na določeni razdalji" - lahko rešimo s šestilom (kako?). Nalogo: "Konstruiraj točke na površini krogle, ki so od dane točke oddaljene na določeni razdalji" - lahko rešimo tudi s šestilom (kako?). Tovrstnih problemov se ne rešuje pri pouku geometrije - nenehno jih rešuje marker, seveda z natančnostjo, ki mu jo omogočajo njegova orodja. Toda pri reševanju tovrstnih problemov se opira na geometrijo.

Med vsemi možnimi položaji premice, ki seka ravnino, omenimo primer, ko je premica pravokotna na ravnino, in upoštevamo lastnosti projekcij takšne premice.

Na sl. 185 je podana ravnina, ki jo določata dve sekajoči se ravnini AN in AM, kjer je AN vodoravna in AM čelna na to ravnino. Premica AB, prikazana na isti risbi, je pravokotna na AN in AM in torej pravokotna na ravnino, ki ju določata.

Torej, pri pravokotnici na ravnino je njena vodoravna projekcija pravokotna na vodoravno projekcijo horizontale, čelna projekcija je pravokotna na čelno projekcijo fronte, profilna projekcija je pravokotna na profilno projekcijo profilne črte te ravnine.

Očitno je, da v primeru, ko je ravnina izražena s sledmi (slika 186), dobimo naslednji zaključek: če je premica pravokotna na ravnino, potem je vodoravna projekcija te premice pravokotna na vodoravno sled ravnine, čelna projekcija pa je pravokotna na čelno sled ravnine.

Torej, če je v sistemu π 1, π 2 vodoravna projekcija črte pravokotna na vodoravno sled in je čelna projekcija črte pravokotna na čelno sled ravnine, potem v primeru ravnin splošnega položaja (slika 186), pa tudi vodoravno in čelno štrleče, je ravna črta pravokotna na ravnino. Toda za profilno projekcijsko ravnino se lahko izkaže, da premica na to ravnino ni pravokotna, čeprav

projekciji premice sta pravokotni na vodoravno in čelno sled ravnine. Zato je treba tudi pri profilni projekcijski ravnini upoštevati relativni položaj profilne projekcije premice in profilne sledi dane ravnine in šele po tem ugotoviti, ali bosta dani premica in ravnina biti pravokotni drug na drugega,

Očitno (slika 187) se vodoravna projekcija navpičnice na ravnino združi z vodoravno projekcijo nagnjene črte, ki je v ravnini narisana skozi vznožje navpičnice.

Na sl. 186 iz točke A je potegnjena pravokotnica na kvadrat. α (А"С"⊥ f" 0α , А"С"⊥h" 0α) in prikazuje konstrukcijo točke E, v kateri navpičnica AC seka pl. α. Konstrukcija je bila narejena z vodoravno štrlečim kvadratom. β, narisano skozi navpičnico AE.

Na sl. 188 prikazuje konstrukcijo navpičnice na ravnino, ki jo določa trikotnik ABC. Skozi točko A je narisana navpičnica.

Ker mora biti čelna projekcija pravokotnice na ravnino pravokotna na čelno projekcijo fronte ravnine, njena vodoravna projekcija pa je pravokotna na vodoravno projekcijo vodoravnice, potem v ravnini skozi točko A nastane fronta s projekcijami A Narisana sta "D" in A"D" ter vodoravni A"E", A"E", seveda ni treba, da so te črte narisane točno skozi točko A.

Sledijo projekcije navpičnice: M"N"⊥A"D", M"N"⊥A"E". Zakaj so projekcije na sl. 188 v razdelkih A"N" in A"M" sta prikazana s črtkano črto? Ker tukaj obravnavamo ravnino, ki jo določa trikotnik ABC, in ne samo ta trikotnik: navpičnica je deloma pred ravnino, deloma za njo.

Na sl. 189 in 190 prikazujeta konstrukcijo ravnine, ki poteka skozi točko A pravokotno na premico BC. Na sl. 189 je ravnina izražena s sledmi. Konstrukcija se je začela z risanjem vodoravne črte želene ravnine skozi točko A: ker mora biti vodoravna sled ravnine pravokotna na B "C", mora biti vodoravna projekcija vodoravne črte pravokotna na B "C". Torej A"N"⊥B"C". Projekcija osi A"N"||x, kot bi morala biti vodoravna. Nato skozi točko N"(N" narišemo sled f" 0α ⊥B"C - čelno projekcijo čelne sledi premice AN), dobimo točko X α in sled h" 0α ||A "N" (h" 0α ⊥B" je narisano Z").

Na sl. 190 je ravnina določena s sprednjim delom AM in vodoravnim AN. Te črte so pravokotne na BC (A"M"⊥B"C", A"N"⊥B"C"); ravnina, ki jo definirajo, je pravokotna na sonce.

1) skozi točko A nariši ravnino (recimo ji γ) pravokotno na BC;

2) določite točko K presečišča premice BC s kvadratom. γ;

3) povežite točki A in K z ravnim odsekom.

Premici AK in BC sta medsebojno pravokotni.

Primer konstrukcije je podan na sl. 191. Skozi točko A je narisana ravnina (γ), pravokotna na BC. To naredimo s fronto, katere čelna projekcija A"F" je pravokotna na čelno projekcijo B"C", in horizontalo, katere vodoravna projekcija je pravokotna na B"C".

Nato najdemo točko K, v kateri premica BC seka kvadrat. γ. V ta namen narišemo vodoravno štrlečo ravnino β skozi premico BC (na risbi je določena samo z vodoravno sledjo (β"). Kvadrat β seka kvadrat γ vzdolž premice s projekcijama 1"2" in 1" 2". V presečišču te premice s premico ВС je točka K. Premica АК je zahtevana pravokotna na ВС. Dejansko premica AK seka premico ВС in se nahaja v območju γ, torej , АК⊥ВС.

V § 15 je bilo prikazano (slika 92), kako se da narisati navpičnico iz točke na premico. Toda tam je bilo to doseženo z uvedbo dodatne ravnine v sistem π 1, π 2 in s tem oblikovanjem sistema π 3, π 1, v katerem je pl. π 3 je narisana vzporedno z dano premico. Priporočamo primerjavo konstrukcij, prikazanih na sl. 92 in 191.

Na sl. 192 prikazuje ravnino v splošnem položaju - α, ki poteka skozi točko A, in pravokotno AM na to ravnino, podaljšano do presečišča s kvadratom. π 1 v točki B".

Kot φ 1 med kvadrati. α, in pl.π 1 ter kot φ med premico AM in pl. π 1 so ostri koti pravokotnega trikotnika B"AM", zato je φ 1 +φ=90°. Podobno, če je pl.α enako pl. π 2 je kot σ 2, premica AM, pravokotna na α, pa je sq. π 2 kot σ, potem σ 2 +σ=90°. Iz tega najprej sledi, da je ravnina v splošnem položaju, ki naj tvori kot φ 1 s pl.π 1, s pl. π 2 kot σ 2 lahko konstruiramo le, če je 180° > φ 1 +σ 2 >90°.

Če seštejemo člen za členom φ 1 + φ=90° in σ 2 +σ=90°, dobimo φ 1 +σ 2 +φ+σ=180°, tj. φ 1 +σ 2 90°. Če vzamemo φ 1 +σ 2 =90°, dobimo profilno projekcijsko ravnino, če vzamemo φ 1 +σ 2 =180°, pa dobimo profilno ravnino, tj. v obeh teh primerih ravnina ni splošnega položaja, ampak posebnega.

riž. 4.17 Sl. 4.18

Če je ravnina določena s sekajočimi se ravnimi črtami (slika 4.17), se rešitev problema zmanjša na risanje skozi točko A pari premic, ki so vzporedne z danimi.

Če je ravnina podana s sledmi (4.18), lahko konstrukcijo izvedemo z naslednjim algoritmom:

1. Skozi točko A narišemo npr. horizontalo želene ravnine Q, vzporedno s horizontalami dane ravnine R.

2. Skozi to vodoravno črto narišemo želeno ravnino vzporedno z dano. Čelna sled Q V izvedeno skozi frontalno projekcijo P"čelni tir vodoravno vzporedno s tirom P V; vodoravna sled QH- skozi točko Q X vzporedno s potjo R N.

Naloga 2. Skozi točko A(a, a") nariši ravnino Q, pravokotno na črto (slika 4.19).

a) Želeno ravnino je potrebno prikazati s presekajočimi se premicami. V tem primeru je najlažje sestaviti letalo Q glavne črte - vodoravne in čelne, ki potekajo skozi točko A (a, a").

riž. 4.19 Sl. 4.20

b) Potrebno je prikazati želeno ravnino s sledmi. Konstrukcijo lahko izvedete z naslednjim algoritmom. Skozi točko A narišite vodoravno ravnino Q pravokotno na segment sonce Nato skozi to horizontalo narišemo želeno ravnino pravokotno na ravno črto sonceČelna sled Q V izvedeno skozi frontalno projekcijo P"čelna sled vodoravna pravokotna b"s′; vodoravna sled QH- skozi točko Q X pravokotno na pr.

Problem 3. Skozi točko A (a, a") narisati ravnino Q, pravokotno na dano ravnino R in skozi točko izginotja tirov Q X na osi X(slika 4.20).

Znano je, da letalo Q bo pravokotna na dano ravnino R,če poteka skozi navpično nanjo ali pravokotno na premico, ki leži v ravnini R.

Na sl. 4.20 rešitev problema se izvaja po načrtu z uporabo prvega od teh pogojev:

1. Skozi dano točko A pravokotno na ravnino R(am+P H , a′m′+P V).

2. Skozi to navpičnico in dano točko Q X zahtevana ravnina je narisana Q. Hkrati pa sled Q N narisano skozi horizontalno projekcijo T vodoravna sled navpičnice in točke Q X; skladba Q V— skozi čelno projekcijo P'čelna sled navpičnice in točke Q X.

Želeno ravnino lahko sestavimo tudi s sekanjem ravnin, če gremo skozi točko Q X nariši premico, ki ima skupno točko s navpičnico.

Naloga 4. Skozi točko A (a, a")nariši premico pravokotno na premico sonce

Iskana navpičnica leži v ravnini, pravokotni na dano premico sonce

Zato je težavo mogoče rešiti z naslednjim algoritmom:

1. Skozi točko A nariši ravnino Q, pravokotno na premico sonce

2. Določite točko K (k, k") presečišče ravne črte sonce z letalom Q z uporabo vodoravne projekcijske ravnine S.

3. Povezovanje pik A in TO.

Na diagramu, ki rešuje problem s tem algoritmom, lahko prikažete ravnino z dvema sekajočima se glavnima črtama ( v×ž) (slika 4.21) ali sledi (slika 4.22).

riž. 4.21 Sl. 4.22

Naloga 5. Konstruirajte črto presečišča ravnin ABC in DEF.

Ta problem je mogoče rešiti s problemom presečišča premice in ravnine. Na sl. Slika 4.23 prikazuje konstrukcijo presečišča ravnin, določenih s trikotniki ABC in DEF. Naravnost MN zgrajena na podlagi najdenih presečišč stranic DF in E.F. trikotnik DEF s trikotno ravnino ABC.

Na primer, da bi našli točko M prečkanje strani DF z letalom ABC, skozi ravno črto DF narišite čelno projekcijsko ravnino R ABC v ravni črti I II df in 12 mželeno točko M. Nato poiščite čelno projekcijo m"pike M. Pika n presečišče ravne črte E.F. z letalom ABC najdemo s čelno projekcijsko ravnino Q, ki seka ravnino trikotnika ABC v ravni črti III IV. Na presečišču vodoravnih projekcij ef in 34 dobite vodoravno projekcijo nželeno točko n.

Povezovanje pik v parih m"In n", m in n, pridobite projekcije presečišča MN letala ABC in DEF.

Vidnost delov ravninskih odsekov ugotavljamo z metodo konkurenčnih točk.