Metoda akordov (metoda, znana tudi kot Metoda sekanta ) ena od metod za reševanje nelinearnih enačb in temelji na zaporednem oženju intervala, ki vsebuje edini koren enačbe. Iterativni postopek se izvaja, dokler ni dosežena določena natančnost.

Za razliko od metode polovične delitve metoda akordov predlaga, da se razdelitev obravnavanega intervala ne izvede na njegovi sredini, temveč na presečišču tetive z osjo abscise (os X). Upoštevati je treba, da se tetiva razume kot segment, ki je narisan skozi točke obravnavane funkcije na koncih obravnavanega intervala. Obravnavana metoda zagotavlja hitrejše iskanje korena kot metoda polovic, če je podana enak obravnavani interval.

Geometrično je metoda tetive enakovredna zamenjavi z ukrivljeno tetivo, ki poteka skozi točke in (glej sliko 1.).

Slika 1. Konstrukcija segmenta (tetive) funkciji.

Enačba premice (tetive), ki poteka skozi točki A in B, ima naslednjo obliko:

Ta enačba je tipična enačba za opis premice v kartezičnem koordinatnem sistemu. Naklon krivulje je določen vzdolž ordinate in abscise z uporabo vrednosti v imenovalcu oziroma.

Za točko presečišča premice z abscisno osjo bomo zgoraj napisano enačbo prepisali v naslednji obliki:

Kot nov interval za prehod skozi iterativni proces izberemo enega od dveh ali , na koncu katerih funkcija zavzema vrednosti različnih predznakov. Nasprotne znake funkcijskih vrednosti na koncih segmenta je mogoče določiti na več načinov. Ena od mnogih teh metod je množenje vrednosti funkcije na koncih segmenta in določitev znaka produkta s primerjavo rezultata množenja z ničlo:

oz .

Iterativni postopek prečiščevanja korena se konča, ko pogoj bližine dveh zaporednih približkov postane manjši od podane natančnosti, tj.

Slika 2. Razlaga definicije računske napake.

Upoštevati je treba, da je konvergenca metode tetiv linearna, vendar hitrejša od konvergence metode bisekcije.

Algoritem za iskanje korena nelinearne enačbe z metodo tetiv

1. Poiščite začetni interval negotovosti z uporabo ene od metod ločevanja korenin. Znavedite računsko napako (majhno pozitivno število) In začetni korak ponovitve () .

2. Poiščite presečišče tetive z osjo abscise:

3. Treba je najti vrednost funkcije v točkah , in . Nato morate preveriti dva pogoja:

Če je pogoj izpolnjen , potem se želeni koren nahaja znotraj levega segmenta put, ;

Če je pogoj izpolnjen , potem se želeni koren nahaja znotraj desnega segmenta accept , .

Posledično se najde nov interval negotovosti, na katerem se nahaja želeni koren enačbe:

4. Približno vrednost korena enačbe preverimo za navedeno točnost, v primeru:

Če razlika med dvema zaporednima približkoma postane manjša od podane natančnosti, se iterativni proces konča. Približna vrednost korena je določena s formulo:

Če razlika med dvema zaporednima približkoma ne doseže zahtevane natančnosti, je treba nadaljevati iterativni postopek in preiti na 2. korak obravnavanega algoritma.

Primer reševanja enačb z metodo akordov

Kot primer razmislite o reševanju nelinearne enačbe z metodo tetiv. Koren je treba najti v obravnavanem območju z natančnostjo .

Možnost reševanja nelinearne enačbe v programskem paketuMathCAD.

Rezultati izračuna, in sicer dinamika sprememb približne vrednosti korena, kot tudi računske napake glede na iteracijski korak, so predstavljeni v grafični obliki (glej sliko 1).

Slika 1. Rezultati izračuna z metodo akordov

Za zagotovitev navedene natančnosti pri iskanju enačbe v območju je potrebno izvesti 6 iteracij. V zadnjem koraku ponovitve bo približna vrednost korena nelinearne enačbe določena z vrednostjo: .

Opomba:

Modifikacija te metode je metoda lažnega položaja(False Position Method), ki se od sekantne metode razlikuje le po tem, da se vsakič ne vzameta zadnji 2 točki, temveč tiste točke, ki se nahajajo okoli korena.

Upoštevati je treba, da če je drugi odvod mogoče vzeti iz nelinearne funkcije, je algoritem iskanja mogoče poenostaviti. Predpostavimo, da drugi derivat ohranja konstanten predznak in razmislimo o dveh primerih:

Primer #1:

Iz prvega pogoja se izkaže, da je fiksna stranica segmenta stranica a.

Primer #2:

Navodila. Vnesite izraz F(x) , kliknite Naprej. Nastala rešitev se shrani v datoteko Word. V Excelu je izdelana tudi predloga rešitve. Spodaj je video navodilo.

Pravila za vnos funkcije

Razmislimo o hitrejšem načinu iskanja korena na intervalu ob predpostavki, da je f(a)f(b)<0.
f''(x)>0 f''(x)<0
f(b)f''(b)>0 f(a)f''(a)>0


Sl.1a Sl. 1b

Poglejmo sliko 1a. Skozi točki A in B narišimo tetivo. Enačba tetiv
.
V točki x=x 1 , y=0, kot rezultat dobimo prvi približek korena
. (3.8)
Preverjanje pogojev
(a) f(x 1)f(b)<0,
(b) f(x 1)f(a)<0.
Če je pogoj (a) izpolnjen, potem v formuli (3.8) zamenjamo točko a z x 1, dobimo

.

Če nadaljujemo s tem postopkom, dobimo za n-ti približek
. (3.9)
Tukaj je konec a premakljiv, to je f(x i)f(b)<0. Аналогичная ситуация на рис 2а.
Oglejmo si primer, ko je konec a fiksen.
f''(x)<0 f’’(x)>0
f(b)f''(b)<0 f(a)f’’(a)<0


Slika 2a Slika 2b

Na sliki 1b, 2b se izvede f(x i)f(a).<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x 1 (см. (3.8)). Здесь выполняется f(x 1)f(a)<0. Затем вводим b 1 =x 1 (в формуле (3.8) точку b заменяем на x 1), получим
.

Z nadaljevanjem postopka pridemo do formule
. (3.10)
Ustavitev postopka

|x n – x n-1 |<ε; ξ≈x n

riž. 3
Na sliki 3 f’’(x) spremeni predznak, tako da bosta oba konca gibljiva.
Preden preidemo na vprašanje konvergence iterativnega procesa metode akordov, uvedemo koncept konveksne funkcije.

Opredelitev. Funkcijo, zvezno na njem, imenujemo konveksna (konkavna), če za kateri koli dve točki x 1 ,x 2, ki izpolnjujeta a≤x 1 f(αx 1 + (1-α)x 2) ≤ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - konveksno.
f(αx 1 + (1-α)x 2) ≥ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - konkavno
Za konveksno funkcijo f’’(x)≥0.
Za konkavno funkcijo f’’(x)≤0

Izrek 3.Če je funkcija f(x) konveksna (konkavna) na odseku , potem na poljubnem odseku graf funkcije f(x) ne leži višje (ne nižje) od tetive, ki poteka skozi točke grafa z abscisama x 1 in x 2.

Dokaz:

Razmislimo o konveksni funkciji. Enačba tetive: skozi x 1 in x 2 ima obliko:
.
Upoštevajte točko c= αx 1 + (1-α)x 2 , kjer je aО

Po drugi strani pa imamo po definiciji konveksne funkcije f(αx 1 + (1-α)x 2) ≤ αf 1 + (1-α)f 2 ; torej f(c) ≤ g(c) itd.

Za konkavno funkcijo je dokaz podoben.
Upoštevali bomo dokaz konvergence iterativnega procesa za primer konveksne (konkavne) funkcije.

Izrek 4. Naj bo zvezna, dvakrat diferenciabilna funkcija f(x) podana na in naj bo f(a)f(b)<0, а f’(x) и f’’(x) сохраняют свои знаки на (см. рис 1а,1б и рис 2а,2б). Тогда итерационный процесс метода хорд сходится к корню ξ с любой наперед заданной точностью ε.
Dokaz: Vzemimo na primer primer f(a)f''(a)<0 (см рис 1а и 2а). Из формулы (9) следует, что x n >x n -1, ker (b-x n -1)>0, in f n -1 /(f b -f n -1)<0. Это справедливо для любого n, то есть получаем возрастающую последовательность чисел
a≤x 0 Dokažimo zdaj, da so vsi približki x n< ξ, где ξ - корень. Пусть x n -1 < ξ. Покажем, что x n тоже меньше ξ. Введем
. (3.11)
Imamo
(3.12)
(to pomeni, da vrednost funkcije y(x) v točki x n na tetivi sovpada s f(ξ)).
Ker , potem iz (3.12) sledi
oz
. (3.13)
Za sl. 1a torej
oz
pomeni, da itd. (glej (3.11)).
Za sliko 2a. Posledično iz (3.12) dobimo
Pomeni
Ker itd.
Podoben dokaz za sliki 1b in sliki 2b. Tako smo dokazali, da je zaporedje števil konvergentno.
a≤x 0 a≤ξ To pomeni, da lahko za vsak ε podamo n tako, da velja |x n - ξ |<ε. Теорема доказана.
Konvergenca metode tetiv je linearna s koeficientom .
, (3.14)
kjer je m 1 =min|f’(x)|, M 1 =max|f’(x)|.
To izhaja iz naslednjih formul. Oglejmo si primer fiksnega konca b in f(b)>0.
Imamo od (3.9) . Od tod
. Glede na to lahko pišemo oz
.
Zamenjava (ξ-x n -1) v imenovalcu desne strani z (b-x n -1) in ob upoštevanju, da (ξ-x n -1)< (b-x n -1), получим , kar je bilo potrebno tudi dokazati (glej neenakost (3.14)).
Dokaz konvergence za primer na sliki 3 (f’’(x) spremeni predznak; v splošnem primeru lahko tako f’ kot f’’ spremenita predznak) je bolj zapleten in tukaj ni podan.

V nalogah določite število realnih korenin enačbe f(x) = 0, te korenine ločite in z metodo tetiv in tangent poiščite njihove približne vrednosti z natančnostjo 0,001.

Obravnavana metoda je, tako kot metoda polovic, namenjena razjasnitvi korena na intervalu

ima vrednosti različnih predznakov. Za razliko od metode polovic, naslednji približek ne vzamemo na sredini segmenta, ampak na točki , kjer premica (tetiva), narisana skozi točke, seka os x A in IN(slika 2.6).

Zapišimo enačbo premice, ki poteka skozi točke A in IN:

.

Za točko presečišča premice z abscisno osjo (
) dobimo enačbo

. (2.13)

Kot nov interval za nadaljevanje iterativnega procesa izberemo enega od obeh
in
, na koncih katerih funkcija
ima vrednosti različnih predznakov. Za obravnavani primer (slika 2.6) izberemo segment
, Ker
. Naslednja ponovitev je določitev novega približka kot presečišča tetive
z osjo x itd.

Postopek prečiščevanja korena zaključimo, ko razdalja med zaporednimi približki postane manjša od podane natančnosti, tj.

(2.14)

ali ko je izpolnjen pogoj (2.12).

Ø Komentiraj. Metoda bisekcije in metoda tetiv sta si zelo podobni, zlasti v postopku preverjanja znakov funkcije na koncih segmenta. Poleg tega drugi od njih v nekaterih primerih omogoča hitrejšo konvergenco iterativnega procesa. Vendar pa lahko v nekaterih primerih metoda tetive konvergira veliko počasneje kot metoda razpolovljenja. To stanje je prikazano na sl. 2.7. Obe obravnavani metodi ne zahtevata poznavanja dodatnih informacij o funkciji
. Na primer, ni treba, da je funkcija diferenciabilna. Tudi za diskontinuirane funkcije imajo obravnavane metode zagotovljeno konvergenco. Bolj zapletene metode prečiščevanja korena uporabljajo dodatne informacije o funkciji
, najprej lastnost diferenciabilnosti. Posledično imajo običajno hitrejšo konvergenco, hkrati pa so uporabni za ožji razred funkcij in njihova konvergenca ni vedno zagotovljena. Primer takšne metode je Newtonova metoda.<

1. Newtonova metoda (tangentna metoda)

Povejte nam začetni približek korenu (v nadaljevanju bomo podrobneje obravnavali vprašanje izbire začetnega približka). Na tej točki narišimo tangento na krivuljo
(slika 2.8). Ta tangenta bo sekala os x v točki , ki ga bomo obravnavali kot naslednji približek. Pomen enostavno najti na sliki:

,

izražanje od tukaj , dobimo

.

Podobno je mogoče najti naslednje približke. Formula za k+1. približek ima obliko

,
(2.15)

Iz formule (2.15) sledi pogoj za uporabnost metode: funkcija
mora biti razločljiv in
v bližini korena ne sme spremeniti predznaka.

Za zaključek iterativnega procesa lahko uporabimo pogoje (2.12) ali (2.14).

ØOpomba 1. Pri Newtonovi metodi za razliko od prejšnjih metod ni treba določiti segmenta
, ki vsebuje koren enačbe, in je dovolj, da najdemo nek začetni približek korena .<

Ø Opomba 2. Formulo Newtonove metode lahko dobimo iz drugih premislekov. Postavimo začetni približek korena
. Zamenjajmo funkcijo f(x) v bližini točke po segmentu serije Taylor:

in namesto nelinearne enačbe
reši linearizirano enačbo

obravnavanje njegove rešitve kot naslednjega (prvega) približka želene vrednosti korena. Rešitev te enačbe je očitna:

S ponavljanjem tega postopka pridemo do Newtonove formule (2.15).<

Konvergenca Newtonove metode. Ugotovimo glavne pogoje za konvergenco zaporedja vrednosti
, izračunano z uporabo formule (2.15), do korena enačbe (2.1). Predvidevam da
dvakrat zvezno razločljiv, razširimo
v seriji Taylor v soseski k th pristop

Zadnje razmerje delimo z
in s prenosom nekaterih izrazov z leve strani na desno dobimo:

.

Glede na to, da je izraz v oglatem oklepaju po (2.15) enak
, to relacijo prepišemo v obliki

.

. (2.16)

Iz (2.16) sledi, da

, (2.17)

Kje
,
.

Očitno se napaka zmanjša, če

. (2.18)

Nastali pogoj pomeni, da je konvergenca odvisna od izbire začetnega približka.

Ocena (2.17) označuje stopnjo zmanjšanja napake za Newtonovo metodo: pri vsakem koraku je napaka sorazmerna s kvadratom napake pri prejšnjem koraku. Zato ima Newtonova metoda kvadratno konvergenco.

IN izbira začetnega približka pri Newtonovi metodi. Kot izhaja iz pogoja (2.18), je konvergenca iteracijskega zaporedja, pridobljenega z Newtonovo metodo, odvisna od izbire začetnega približka . To je razvidno tudi iz geometrijske interpretacije metode. Torej, če točko vzamemo kot začetni približek (Sl. 2.9), potem ni mogoče računati na konvergenco iterativnega procesa.

Če kot začetni približek izberemo točko , potem dobimo konvergentno zaporedje.

Na splošno, če je podan segment
, ki vsebuje koren, in znano je, da funkcija
je na tem segmentu monoton, potem kot začetni približek lahko izberete to mejo segmenta
, kjer znaki funkcije sovpadajo
in drugo izpeljanko
. Ta izbira začetnega približka zagotavlja konvergenco Newtonove metode pod pogojem, da je funkcija monotona na segmentu lokalizacije korena.

3. Metoda akordov

Naj bo podana enačba f(x) = 0, kjer je f(x) zvezna funkcija, ki ima odvode prvega in drugega reda v intervalu (a, b). Korenina se šteje za ločeno in se nahaja na segmentu.

Ideja metode tetiv je, da lahko na dovolj majhnem intervalu lok krivulje y = f(x) nadomestimo s tetivo in točko presečišča z abscisno osjo vzamemo kot približno vrednost korenina. Oglejmo si primer (slika 1), ko imata prvi in ​​drugi derivat enake predznake, tj. f "(x)f ²(x) > 0. Potem ima enačba tetive, ki poteka skozi točki A0 in B obliko

Korenski približek x = x1, za katerega je y = 0, je definiran kot

.

Podobno se za tetivo, ki poteka skozi točki A1 in B, izračuna naslednji približek korena

.

Na splošno ima formula za metodo akordov obliko:

. (2)

Če imata prva in druga izpeljanka različna predznaka, tj.

f "(x)f "(x)< 0,

potem so vsi pristopi k korenu x * narejeni z desne meje segmenta, kot je prikazano na sl. 2 in se izračunajo po formuli:

. (3)

Izbira formule v vsakem posameznem primeru je odvisna od vrste funkcije f(x) in se izvaja po pravilu: meja segmenta korenske izolacije, za katero znak funkcije sovpada z znakom drugega derivata, je fiksno. Formula (2) se uporablja v primeru, ko je f(b)f "(b) > 0. Če je neenakost f(a)f "(a) > 0 resnična, potem je priporočljivo uporabiti formulo (3).

riž. 1 sl. 2

riž. 3 sl. 4

Iterativni proces tetivne metode se nadaljuje, dokler ne dobimo približnega korena z dano stopnjo natančnosti. Pri ocenjevanju aproksimacijske napake lahko uporabite naslednjo relacijo:

.

Potem je pogoj za dokončanje izračunov zapisan kot:

kjer je e določena računska napaka. Upoštevati je treba, da pri iskanju korena metoda tetive pogosto zagotavlja hitrejšo konvergenco kot metoda razpolovljenja.

4. Newtonova metoda (tangente)

Naj ima enačba (1) koren na intervalu, f "(x) in f "(x) pa sta zvezna in ohranjata konstantne predznake v celotnem intervalu.

Geometrični pomen Newtonove metode je, da se lok krivulje y = f(x) nadomesti s tangento. Če želite to narediti, izberite začetni približek korena x0 na intervalu in narišite tangento v točki C0(x0, f(x0)) na krivuljo y = f(x), dokler ne preseka osi x (sl. 3). Tangentna enačba v točki C0 ima obliko

Nato se skozi novo točko C1(x1, f(x1)) nariše tangenta in določi točka x2 njenega presečišča z 0x osjo itd. Na splošno je formula za metodo tangente:

Kot rezultat izračunov dobimo zaporedje približnih vrednosti x1, x2, ..., xi, ..., katerih vsak naslednji člen je bližje korenu x* kot prejšnji. Iterativni proces se običajno ustavi, ko je izpolnjen pogoj (4).

Začetni približek x0 mora izpolnjevati pogoj:

f(x0) f ¢¢(x0) > 0. (6)

V nasprotnem primeru konvergenca Newtonove metode ni zagotovljena, saj bo tangenta sekala os x v točki, ki ne pripada segmentu. V praksi je ena od meja intervala običajno izbrana kot začetni približek korena x0, tj. x0 = a ali x0 = b, pri katerih predznak funkcije sovpada s predznakom drugega odvoda.

Newtonova metoda zagotavlja visoko hitrost konvergence pri reševanju enačb, pri katerih je modul odvoda ½f ¢(x)½ blizu korena precej velik, tj. ima graf funkcije y = f(x) v okolici korena velik naklon. Če je krivulja y = f(x) v intervalu skoraj vodoravna, potem uporaba tangentne metode ni priporočljiva.

Pomembna pomanjkljivost obravnavane metode je potreba po izračunu derivatov funkcije za organizacijo iterativnega procesa. Če se vrednost f ¢(x) v intervalu malo spremeni, lahko za poenostavitev izračunov uporabite formulo

, (7)

tiste. dovolj je, da vrednost izpeljanke izračunamo samo enkrat na začetni točki. Geometrično to pomeni, da so tangente v točkah Ci(xi, f(xi)), kjer je i = 1, 2, ..., zamenjane z ravnimi črtami, vzporednimi s tangento, narisano na krivuljo y = f(x) na začetni točki C0(x0, f(x0)), kot je prikazano na sl. 4.

Na koncu je treba poudariti, da vse zgoraj navedeno velja v primeru, ko je začetni približek x0 izbran dovolj blizu pravemu korenu x* enačbe. Vendar to ni vedno enostavno narediti. Zato se Newtonova metoda pogosto uporablja v končni fazi reševanja enačb po izvajanju nekega zanesljivo konvergentnega algoritma, na primer metode razpolovljenja.

5. Preprosta iteracijska metoda

Za uporabo te metode za reševanje enačbe (1) jo je treba transformirati v obliko . Nato se izbere začetni približek in izračuna x1, nato x2 itd.:

x1 = j(x0); x2 = j(x1); ...; xk = j(xk-1); ...

koren nelinearne algebrske enačbe

Nastalo zaporedje konvergira h korenu, če so izpolnjeni naslednji pogoji:

1) funkcija j(x) je diferenciabilna na intervalu.

2) v vseh točkah tega intervala j¢(x) velja neenakost:

0 £ q £ 1. (8)

Pod takšnimi pogoji je stopnja konvergence linearna in iteracije je treba izvajati, dokler pogoj ne postane resničen:

.

Merilo vrste

se lahko uporablja le pri 0 £ q £ ½. V nasprotnem primeru se iteracije predčasno končajo in ne dosežejo podane natančnosti. Če je izračun q težak, potem lahko uporabite končni kriterij obrazca

; .

Enačbo (1) lahko pretvorimo v obliko . Izbrati je treba tisto, ki izpolnjuje pogoj (8), ki generira konvergentni iterativni proces, kot je na primer prikazano na sl. 5, 6. V nasprotnem primeru, zlasti ko je ½j¢(x)½>1, se iteracijski proces razhaja in ne omogoča pridobitve rešitve (slika 7).

riž. 5

riž. 6

riž. 7

Zaključek

Problem izboljšanja kakovosti izračunov nelinearnih enačb z različnimi metodami, kot je neskladje med želenim in dejanskim, obstaja in bo obstajal tudi v prihodnje. Njeno rešitev bo olajšal razvoj informacijske tehnologije, ki obsega tako izboljšanje metod organizacije informacijskih procesov kot njihovo implementacijo s posebnimi orodji - okolji in programskimi jeziki.

Seznam uporabljenih virov

1. Alekseev V. E., Vaulin A. S., Petrova G. B. - Računalniška tehnologija in programiranje. Delavnica programiranja: Praktični priročnik/ -M.: Viš. šola , 1991. - 400 str.

2. Abramov S.A., Zima E.V. - Začel programirati v Pascalu. - M.: Nauka, 1987. -112 str.

3. Računalniška tehnika in programiranje: Uč. za tehniko. univerze / A.V. Petrov, V.E. Aleksejev, A.S. Vaulin in drugi - M .: Višje. šola, 1990. - 479 str.

4. Gusev V.A., Mordkovič A.G. - Matematika: Refer. materiali: Knj. za študente. - 2. izd. - M .: Izobraževanje, 1990. - 416 str.

Točka približne rešitve, tj. Zaporedne aproksimacije (4) so ​​konstruirane po formulah: , (9) kjer je začetni približek točni rešitvi. 4.5 Seidelova metoda na podlagi linearizirane enačbe Iterativna formula za izdelavo približne rešitve nelinearne enačbe (2) na osnovi linearizirane enačbe (7) ima obliko: 4.6 Metoda najstrmejšega spusta Metode...

Metoda ponavljanja

Preprosta iteracijska metoda za enačbo f(x) = 0 je naslednji:

1) Prvotna enačba se pretvori v obliko, primerno za ponovitve:

x = φ (X). (2.2)

2) Izberite začetni približek X 0 in izračunajte nadaljnje približke z uporabo iterativne formule
x k = φ (x k -1), k =1,2, ... (2.3)

Če obstaja omejitev zaporedja ponovitev, je to koren enačbe f(x) = 0, tj. f(ξ ) =0.

l = φ (X)

a x 0 x 1 x 2 ξ b

riž. 2. Konvergentni iteracijski proces

Na sl. Slika 2 prikazuje postopek pridobivanja naslednjega približka z uporabo iteracijske metode. Zaporedje približkov konvergira h korenu ξ .

Teoretično osnovo za uporabo iteracijske metode podaja naslednji izrek.

Izrek 2.3. Naj bodo izpolnjeni naslednji pogoji:

1) koren enačbe X= φ(x) spada v segment [ A, b];

2) vse vrednosti funkcij φ (X) pripada segmentu [ A, b],T. e. A ≤ φ (X)≤b;

3) obstaja tako pozitivno število q< 1, kaj je izpeljanka φ "(x) na vseh točkah odseka [ A, b] izpolnjuje neenakost | φ "(x) | ≤ q.

1) zaporedje ponovitev x n= φ (x p- 1)(n = 1, 2, 3, ...) konvergira za katero koli x 0 Î [ A, b];

2) meja iteracijskega zaporedja je koren enačbe

x = φ(x), torej če x k= ξ, potem je ξ= φ (ξ);

3) neenakost, ki označuje stopnjo konvergence iteracijskega zaporedja, je resnična

| ξ -x k | ≤ (b-a)×q k .(2.4)

Očitno ta izrek postavlja precej stroge pogoje, ki jih je treba preveriti pred uporabo iteracijske metode. Če je odvod funkcije φ (x) je večja od ena v absolutni vrednosti, potem se postopek iteracije razlikuje (slika 3).

l = φ (x) l = x

riž. 3. Divergentni iteracijski proces

Kot pogoj za konvergenco iterativnih metod je neenakost

|x k - x k - 1 | ≤ ε . (2.5)

Metoda akordov je zamenjati krivuljo pri = f(x) odsek, ki poteka skozi točke ( A, f(a)) In ( b, f(b)) riž. 4). Abscisa točke presečišča premice z osjo OH se vzame kot naslednji pristop.

Da dobimo formulo za izračun metode tetiv, zapišemo enačbo premice, ki poteka skozi točke ( a, f(a)) In ( b, f(b)) in enačenje pri v nulo, bomo našli X:

Þ

Algoritem metode akordov :

1) naj k = 0;

2) izračunajte naslednjo iteracijsko številko: k = k + 1.

Poiščimo naslednjega k-e približek z uporabo formule:

x k= a- f(a)(b - a)/(f(b) - f(a)).

Izračunajmo f(x k);

3) če f(x k)= 0 (koren je najden), nato pojdite na 5. korak.

če f(x k) × f(b)>0, torej b= x k, drugače a = x k;

4) če |x k – x k -1 | > ε , nato pojdite na 2. korak;

5) prikaži vrednost korena x k ;

Komentiraj. Dejanja tretjega odstavka so podobna dejanjem metode polovične delitve. Pri tetivni metodi pa se lahko na vsakem koraku isti konec segmenta (desni ali levi) premakne, če je graf funkcije v okolici korena konveksen navzgor (slika 4, A) ali konkavno navzdol (slika 4, b).Zato se razlika med sosednjimi aproksimacijami uporablja v konvergenčnem kriteriju.

riž. 4. Metoda akordov

4. Newtonova metoda(tangente)

Najdemo približno vrednost korena enačbe f(x)= 0 in ga označimo x n.Izračunska formula Newtonova metoda določiti naslednji pristop x n+1 lahko dobite na dva načina.

Prva metoda izraža geometrijski pomen Newtonova metoda in je sestavljen iz dejstva, da namesto presečišča grafa funkcije pri= f(x) z osjo Oh išče presečišče z osjo Oh tangenta, narisana na graf funkcije v točki ( x n,f(x n)), kot je prikazano na sl. 5. Tangentna enačba ima obliko y - f(x n)= f"(x n)(x- x n).

riž. 5. Newtonova metoda (tangente)

Na presečišču tangente z osjo Oh spremenljivka pri= 0. Enačenje pri na nič, izražamo X in dobimo formulo tangentna metoda :

(2.6)

Drugi način: razširite funkcijo f(x) v Taylorjevo vrsto v bližini točke x = x n:

Omejimo se na linearne izraze glede na ( X- x n), nastavite na nič f(x) in izražanje neznanke iz dobljene enačbe X, ki ga označuje z x n+1 dobimo formulo (2.6).

Predstavimo zadostne pogoje za konvergenco Newtonove metode.

Izrek 2.4. Naj na segmentu [ A, b] so izpolnjeni pogoji:

1) funkcija f(x) in njegove izpeljanke f"(X)In f ""(x) neprekinjeno;

2) izvedeni finančni instrumenti f"(x) in f""(x) so različni od nič in ohranjajo določene konstantne znake;

3) f(a)× f(b) < 0 (funkcija f(x)spremeni predznak na segmentu).
Potem je tu segment [ α , β ], ki vsebuje želeni koren enačbe f(x) = 0, pri kateri iteracijsko zaporedje (2.6) konvergira. Če kot ničelni približek X 0 izberite to mejno točko [ α , β ], pri kateri predznak funkcije sovpada s predznakom drugega odvoda,

tiste. f(x 0)× f"(x 0)>0, potem iteracijsko zaporedje monotono konvergira

Komentiraj. Upoštevajte, da metoda akordov prihaja iz nasprotne smeri in obe metodi se lahko dopolnjujeta. Možna je tudi kombinacija metoda tetive tangente.

5. Metoda sekanta

Metodo sekanta lahko dobimo iz Newtonove metode tako, da odvod nadomestimo s približnim izrazom – formulo razlike:

, ,

. (2.7)

Formula (2.7) uporablja dva prejšnja približka x n in x n - 1. Zato za dani začetni približek X 0 je treba izračunati naslednji približek x 1 , na primer po Newtonovi metodi s približno zamenjavo derivata po formuli

,

Algoritem metode sekante:

1) nastavljena je začetna vrednost X 0 in napaka ε . Izračunajmo

;

2) za n = 1, 2, ... dokler je pogoj izpolnjen | x n – x n -1 | > ε , izračunaj x n+ 1 po formuli (2.7).