Kaj od naslednjega je faktorizacija polinoma. Primeri faktoriziranja polinomov s celimi koreni

Pri reševanju enačb in neenačb je pogosto treba faktorizirati polinom s stopnjo tri ali več. V tem članku si bomo ogledali, kako to najlažje storiti.

Kot ponavadi se za pomoč obrnemo na teorijo.

Bezoutov izrek navaja, da je ostanek pri deljenju polinoma z binomom .

Toda za nas ni pomemben sam izrek, ampak posledica tega:

Če je število koren polinoma, potem je polinom deljiv z binomom brez ostanka.

Soočeni smo z nalogo, da nekako najdemo vsaj en koren polinoma, nato pa polinom delimo z , kjer je koren polinoma. Kot rezultat dobimo polinom, katerega stopnja je za ena manjša od stopnje prvotnega. In potem, če je potrebno, lahko postopek ponovite.

Ta naloga je razdeljena na dvoje: kako najti koren polinoma in kako polinom deliti z binomom.

Oglejmo si te točke podrobneje.

1. Kako najti koren polinoma.

Najprej preverimo, ali sta števili 1 in -1 korenini polinoma.

Tu nam bodo v pomoč naslednja dejstva:

Če je vsota vseh koeficientov polinoma enaka nič, potem je število koren polinoma.

Na primer, v polinomu je vsota koeficientov nič: . Preprosto je preveriti, kaj je koren polinoma.

Če je vsota koeficientov polinoma pri sodih potencah enaka vsoti koeficientov pri lihih potencah, potem je število koren polinoma. Prosti člen se šteje za koeficient za sodo stopnjo, saj je , a sodo število.

Na primer, v polinomu je vsota koeficientov za sode potence: , vsota koeficientov za lihe potence pa je: . Preprosto je preveriti, kaj je koren polinoma.

Če niti 1 niti -1 nista korena polinoma, gremo naprej.

Za reducirani polinom stopnje (to je polinom, pri katerem je vodilni koeficient - koeficient at - enak enoti) velja formula Vieta:

Kje so korenine polinoma.

Obstajajo tudi Vieta formule za preostale koeficiente polinoma, vendar nas zanima ta.

Iz te formule Vieta sledi, da če so korenine polinoma cela števila, potem so delitelji njegovega prostega člena, ki je prav tako celo število.

Na podlagi tega, prosti člen polinoma moramo razložiti na faktorje in zaporedno od najmanjšega do največjega preveriti, kateri izmed faktorjev je koren polinoma.

Razmislite na primer o polinomu

Delitelji prostega člena: ; ; ;

Vsota vseh koeficientov polinoma je enaka , torej število 1 ni koren polinoma.

Vsota koeficientov za sode potence:

Vsota koeficientov za lihe potence:

Zato tudi število -1 ni koren polinoma.

Preverimo, ali je število 2 koren polinoma: torej je število 2 koren polinoma. To pomeni, da je po Bezoutovem izreku polinom deljiv z binomom brez ostanka.

2. Kako polinom razdeliti na binom.

Polinom lahko s stolpcem razdelimo na binom.

Polinom razdelite na binom z uporabo stolpca:

Obstaja še en način za delitev polinoma z binomom - Hornerjeva shema.

Oglejte si ta video, da boste razumeli kako deliti polinom z binomom s stolpcem in z uporabo Hornerjevega diagrama.

Opažam, da če pri deljenju s stolpcem v prvotnem polinomu manjka neka stopnja neznanke, na njeno mesto zapišemo 0 - enako kot pri sestavljanju tabele za Hornerjevo shemo.

Torej, če moramo polinom deliti z binomom in kot rezultat delitve dobimo polinom, potem lahko poiščemo koeficiente polinoma s pomočjo Hornerjeve sheme:

Lahko tudi uporabimo Hornerjeva shema da bi preverili, ali je dano število koren polinoma: če je število koren polinoma, potem je ostanek pri deljenju polinoma z enak nič, to je v zadnjem stolpcu druge vrstice Hornerjev diagram dobimo 0.

S Hornerjevo shemo »ubijemo dve muhi na en mah«: hkrati preverimo, ali je število koren polinoma in ta polinom delimo z binomom.

Primer. Reši enačbo:

1. Zapišimo delitelje prostega člena in med delitelji prostega člena poiščimo korenine polinoma.

Delitelji 24:

2. Preverimo, ali je število 1 koren polinoma.

Vsota koeficientov polinoma, torej je število 1 koren polinoma.

3. Prvotni polinom razdeli na binom s pomočjo Hornerjeve sheme.

A) Zapišimo koeficiente prvotnega polinoma v prvo vrstico tabele.

Ker vsebni člen manjka, v stolpec tabele, v katerega naj bo zapisan koeficient, vpišemo 0. Na levi vpišemo najdeni koren: število 1.

B) Izpolnite prvo vrstico tabele.

V zadnjem stolpcu smo po pričakovanjih dobili ničlo; prvotni polinom smo delili z binomom brez ostanka. Koeficienti polinoma, ki izhajajo iz deljenja, so prikazani modro v drugi vrstici tabele:

Preprosto je preveriti, da števili 1 in -1 nista korena polinoma

B) Nadaljujmo tabelo. Preverimo, ali je število 2 koren polinoma:

Torej je stopnja polinoma, ki ga dobimo kot rezultat deljenja z ena, manjša od stopnje prvotnega polinoma, zato je število koeficientov in število stolpcev manjše za eno.

V zadnjem stolpcu smo dobili -40 - število, ki ni enako nič, zato je polinom deljiv z binomom z ostankom, število 2 pa ni koren polinoma.

C) Preverimo, ali je število -2 koren polinoma. Ker prejšnji poskus ni uspel, bom v izogib zmedi s koeficienti izbrisal vrstico, ki ustreza temu poskusu:

Super! Kot ostanek smo dobili ničlo, zato smo polinom razdelili na binom brez ostanka, torej je število -2 koren polinoma. Koeficienti polinoma, ki ga dobimo z deljenjem polinoma z binomom, so v tabeli označeni z zeleno barvo.

Kot rezultat deljenja dobimo kvadratni trinom , katerega korenine lahko zlahka najdemo z uporabo Vietovega izreka:

Torej, korenine izvirne enačbe so:

{}

Odgovor: ( }

Kaj se je zgodilo faktorizacija? To je način, da neprijeten in zapleten primer spremenite v preprostega in ljubkega.) Zelo močna tehnika! Najdemo ga na vsakem koraku tako v osnovni kot višji matematiki.

Take transformacije v matematičnem jeziku imenujemo identične transformacije izrazov. Za tiste, ki se ne spoznate, si oglejte povezavo. Enostavnega in uporabnega je zelo malo.) Smisel vsake transformacije identitete je zapis izražanja v drugi obliki hkrati pa ohranja svoje bistvo.

Pomen faktorizacija zelo preprosto in jasno. Že iz imena samega. Morda pozabite (ali ne veste), kaj je množitelj, vendar lahko ugotovite, da ta beseda izvira iz besede "pomnožiti"?) Faktoring pomeni: predstavljajo izraz v obliki množenja nečesa z nečim. Naj mi matematika in ruski jezik oprostita ...) To je vse.

Na primer, morate razširiti številko 12. Lahko varno napišete:

Tako smo število 12 predstavili kot množenje 3 s 4. Upoštevajte, da sta števili na desni (3 in 4) popolnoma drugačni kot na levi (1 in 2). Ampak popolnoma dobro razumemo, da 12 in 3 4 enako. Bistvo števila 12 iz transformacije se ni spremenilo.

Ali je mogoče 12 razstaviti drugače? Enostavno!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........

Možnosti razgradnje so neskončne.

Faktoring števil je uporabna stvar. Zelo pomaga na primer pri delu s koreninami. Toda faktoriziranje algebrskih izrazov ni le uporabno, ampak je potrebno! Samo za primer:

Poenostavite:

Tisti, ki ne znajo faktorizirati izraza, počivajo ob strani. Tisti, ki znate - poenostavite in dobite:

Učinek je neverjeten, kajne?) Mimogrede, rešitev je precej preprosta. Spodaj se boste prepričali sami. Ali na primer ta naloga:

Reši enačbo:

x 5 - x 4 = 0

Mimogrede, odloča se v mislih. Uporaba faktorizacije. Spodaj bomo rešili ta primer. odgovor: x 1 = 0; x 2 = 1.

Ali pa isto, samo za starejše):

Reši enačbo:

V teh primerih sem pokazal glavni namen faktorizacija: poenostavitev ulomkov in reševanje nekaterih vrst enačb. Tukaj je pravilo, ki si ga morate zapomniti:

Če imamo pred seboj strašljiv ulomek, lahko poskusimo faktorizirati števec in imenovalec. Zelo pogosto je ulomek zmanjšan in poenostavljen.

Če imamo pred seboj enačbo, kjer je na desni nič, na levi pa, ne razumem, kaj, lahko poskusimo faktorizirati levo stran. Včasih pomaga).

Osnovne metode faktorizacije.

Tukaj so najbolj priljubljene metode:

4. Razširitev kvadratnega trinoma.

Te metode si je treba zapomniti. Točno v tem vrstnem redu. Kompleksni primeri so preverjeni za vse možne metode razgradnje. In bolje je, da preverite po vrstnem redu, da se ne zmedete ... Torej začnimo po vrstnem redu.)

1. Izvzem skupnega faktorja iz oklepaja.

Preprost in zanesljiv način. Nič slabega ne prihaja od njega! Zgodi se dobro ali pa sploh ne.) Zato je on na prvem mestu. Ugotovimo.

Vsi poznajo (verjamem!) pravilo:

a(b+c) = ab+ac

Ali bolj na splošno:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Vse enakosti delujejo od leve proti desni in obratno, od desne proti levi. Lahko napišete:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+oglas+.... = a(b+c+d+.....)

To je bistvo jemanja skupnega faktorja iz oklepajev.

Na levi strani A - skupni množitelj za vse termine. Pomnoženo z vsem, kar obstaja). Na desni je največ A se že nahaja zunaj oklepaja.

Praktično uporabo metode bomo obravnavali na primerih. Sprva je možnost preprosta, celo primitivna.) Toda v tej možnosti bom označil (zeleno) zelo pomembne točke za vsako faktorizacijo.

Faktoriziraj:

ah+9x

Katera splošno ali se množitelj pojavlja v obeh izrazih? X, seveda! Izvzeli ga bomo iz oklepaja. Naredimo to. Izven oklepaja takoj zapišemo X:

ax+9x=x(

In v oklepajih zapišemo rezultat deljenja vsak izraz prav na tem X. Po vrstnem redu:

To je vse. Seveda ga ni treba tako podrobno opisovati, to se naredi v mislih. Vendar je priporočljivo razumeti, kaj je kaj). V spomin beležimo:

Skupni faktor zapišemo izven oklepaja. V oklepajih zapišemo rezultate deljenja vseh členov s tem skupnim faktorjem. Po vrstnem redu.

Tako smo izraz razširili ah+9x z množitelji. Spremenil v množenje x s (a+9). Opažam, da je bilo v izvirnem izrazu tudi množenje, celo dva: a·x in 9·x. Ampak to ni bil faktoriziran! Ker je ta izraz poleg množenja vseboval tudi seštevanje, znak “+”! In v izražanju x(a+9) Ni drugega kot množenje!

Kako to!? - slišim ogorčen glas ljudi - In v oklepajih!?)

Da, v oklepaju je dodatek. Toda trik je v tem, da jih upoštevamo, medtem ko oklepaji niso odprti kot ena črka. In vsa dejanja izvajamo v celoti z oklepaji, kot z eno črko. V tem smislu v izrazu x(a+9) Ničesar ni, razen množenja. To je bistvo faktorizacije.

Mimogrede, ali je mogoče nekako preveriti, ali smo vse naredili pravilno? Enostavno! Dovolj je, da tisto, kar ste dali ven (x), pomnožite z oklepaji in preverite, ali je delovalo original izražanje? Če deluje, je vse super!)

x(a+9)=ax+9x

Zgodilo se je.)

V tem primitivnem primeru ni težav. Če pa je več izrazov, pa še z različnimi predznaki... Skratka vsak tretji učenec zamoči). Zato:

Če je treba, faktorizacijo preverimo z inverznim množenjem.

Faktoriziraj:

3ax+9x

Iščemo skupni dejavnik. No, z X je vse jasno, lahko ga vzamete ven. Ali obstaja več splošno dejavnik? ja! To je trojka. Izraz lahko zapišete takole:

3ax+3 3x

Tu je takoj jasno, da bo skupni faktor 3x. Tukaj ga vzamemo ven:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Razširiti.

Kaj se zgodi, če ga vzamete ven samo x? Nič posebnega:

3ax+9x=x(3a+9)

To bo tudi faktorizacija. Toda v tem fascinantnem procesu je običajno vse postaviti do meje, dokler obstaja priložnost. Tukaj v oklepaju je priložnost za trojko. Izkazalo se bo:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

Ista stvar, le z enim dodatnim dejanjem.) Ne pozabite:

Ko jemljemo skupni faktor iz oklepaja, poskušamo vzeti ven maksimum skupni množitelj.

Naj nadaljujemo z zabavo?)

Faktoriraj izraz:

3akh+9х-8а-24

Kaj bomo odnesli? Tri, X? Ne... Ne moreš. Opomnim vas, da lahko vzamete samo ven splošno multiplikator, tj v vsem pogoji izraza. Zato je on splošno. Pri nas tega množitelja ni ... Kaj, saj ga ni treba razširiti!? No, ja, tako smo bili veseli ... Spoznajte:

2. Združevanje.

Pravzaprav združevanja v skupine težko imenujemo neodvisna metoda faktorizacije. To je bolj način, kako se rešiti zapletenega primera.) Izraze morate združiti v skupine, da bo vse delovalo. To je mogoče pokazati le z zgledom. Torej imamo izraz:

3akh+9х-8а-24

Vidi se, da obstaja nekaj običajnih črk in številk. ampak... Splošno v vseh pogojih ni množitelja. Ne izgubimo srca in Izraz razbijemo na koščke. Združimo se. Tako, da ima vsak kos skupni dejavnik, je nekaj za odvzeti. Kako ga zlomimo? Da, samo oklepaje smo postavili.

Naj vas spomnim, da lahko oklepaje postavite kamor koli in kakor koli želite. Samo bistvo primera se ni spremenilo. To lahko na primer storite:

3akh+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)

Prosimo, bodite pozorni na druge oklepaje! Pred njimi je znak minus in 8a in 24 postal pozitiven! Če za preverjanje odpremo oklepaje nazaj, se bodo znaki spremenili in dobili bomo original izražanje. Tisti. bistvo izraza iz oklepaja se ni spremenilo.

Če pa ste samo vstavili oklepaj, ne da bi upoštevali spremembo predznaka, na primer takole:

3akh+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )

to bi bila napaka. Na desni - že drugo izražanje. Odprite oklepaje in vse bo postalo vidno. Ni se vam treba več odločati, ja ...)

Toda vrnimo se k faktorizaciji. Poglejmo prve oklepaje (3ax+9x) in mislimo, ali lahko kaj vzamemo ven? No, ta zgornji primer smo rešili, lahko ga vzamemo 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

Preučimo druge oklepaje, tam lahko dodamo osmico:

(8a+24)=8(a+3)

Naš celoten izraz bo:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

Faktorizirano? št. Rezultat razgradnje naj bi bil samo množenje pri nas pa minus vse pokvari. Ampak ... Oba pojma imata skupni dejavnik! to (a+3). Nisem zaman rekel, da so celotni oklepaji tako rekoč ena črka. To pomeni, da je te oklepaje mogoče odstraniti iz oklepajev. Da, točno tako se sliši.)

Delamo, kot je opisano zgoraj. Zapišemo skupni faktor (a+3), v drugem oklepaju zapišemo rezultate deljenja členov z (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Vse! Na desni ni ničesar razen množenja! To pomeni, da je bila faktorizacija uspešno zaključena!) Tukaj je:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Naj na kratko ponovimo bistvo skupine.

Če izraz ne splošno množitelj za vsi izraz razbijemo v oklepaje, tako da je znotraj oklepajev skupni faktor je bil. Vzamemo ga ven in vidimo, kaj se zgodi. Če imate srečo in v oklepajih ostanejo povsem enaki izrazi, te oklepaje premaknemo iz oklepaja.

Dodal bom, da je združevanje ustvarjalni proces). Ne uspe vedno prvič. V redu je. Včasih morate zamenjati izraze in razmisliti o različnih možnostih združevanja, dokler ne najdete uspešnega. Glavna stvar tukaj je, da ne izgubite srca!)

Primeri.

Zdaj, ko ste se obogatili z znanjem, lahko rešite zapletene primere.) Na začetku lekcije so bili trije od teh ...

Poenostavite:

V bistvu smo ta primer že rešili. Ne da bi sami vedeli.) Opomnim vas: če nam je dan strašen ulomek, poskušamo faktorizirati števec in imenovalec. Druge možnosti poenostavitve preprosto ne.

No, imenovalec tukaj ni razširjen, ampak števec ... Števec smo med poukom že razširili! Všečkaj to:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Rezultat razširitve zapišemo v števec ulomka:

Po pravilu zmanjševanja ulomkov (glavna lastnost ulomka) lahko delimo (hkrati!) števec in imenovalec z istim številom oziroma izrazom. Delček tega ne spremeni. Torej delimo števec in imenovalec z izrazom (3x-8). In tu in tam jih bomo dobili. Končni rezultat poenostavitve:

Posebej želim poudariti: zmanjševanje ulomka je možno, če in samo, če v števcu in imenovalcu poleg množenja izrazov tam ni ničesar. Zato pretvorba vsote (razlike) v množenje tako pomembna za poenostavitev. Seveda, če izrazi drugačen, potem se ne bo nič zmanjšalo. Zgodilo se bo. Ampak faktorizacija daje priložnost. Te možnosti brez razgradnje enostavno ni.

Primer z enačbo:

Reši enačbo:

x 5 - x 4 = 0

Izločimo skupni faktor x 4 iz oklepaja. Dobimo:

x 4 (x-1)=0

Zavedamo se, da je produkt faktorjev enak nič takrat in samo takrat, ko je katera koli od njih nič. Če ste v dvomih, mi poiščite nekaj neničelnih števil, ki bodo pri množenju dala nič.) Tako pišemo, najprej prvi faktor:

Pri takšni enakosti nas drugi dejavnik ne zadeva. Vsak je lahko, a na koncu bo vseeno nula. Katero število na četrto potenco daje nič? Samo nič! In nobena druga... Zato:

Ugotovili smo prvi faktor in našli en koren. Poglejmo drugi dejavnik. Zdaj nas prvi faktor ne zanima več.):

Tukaj smo našli rešitev: x 1 = 0; x 2 = 1. Katera koli od teh korenin ustreza naši enačbi.

Zelo pomembna opomba. Upoštevajte, da smo rešili enačbo kos za kosom! Vsak faktor je bil enak nič, ne glede na druge dejavnike. Mimogrede, če v taki enačbi nista dva faktorja, kot je naša, ampak trije, pet, kolikor želite, bomo rešili podobno. Kos za kosom. Na primer:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Kdor odpre oklepaje in vse pomnoži, bo za vedno obstal na tej enačbi.) Pravilen učenec bo takoj videl, da na levi ni ničesar razen množenja, na desni pa nič. In začel bo (v mislih!) enačiti vse oklepaje v ničlo. In dobil bo (v 10 sekundah!) pravilno rešitev: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.

Kul, kajne?) Tako elegantna rešitev je možna, če je leva stran enačbe faktorizirano. Ste razumeli namig?)

No, še zadnji primer, za starejše):

Reši enačbo:

Nekoliko je podoben prejšnjemu, se vam ne zdi?) Seveda. Čas je, da se spomnimo, da se v algebri sedmega razreda pod črkami lahko skrivajo sinusi, logaritmi in še kaj! Faktoring deluje v celotni matematiki.

Izločimo skupni faktor lg 4 x iz oklepaja. Dobimo:

log 4 x=0

To je ena korenina. Poglejmo drugi dejavnik.

Tukaj je končni odgovor: x 1 = 1; x 2 = 10.

Upam, da ste spoznali moč faktoriziranja pri poenostavljanju ulomkov in reševanju enačb.)

V tej lekciji smo se učili o skupnem faktoriziranju in združevanju. Ostaja še obravnavati formule za skrajšano množenje in kvadratni trinom.

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

V tej lekciji se bomo spomnili vseh predhodno preučenih metod faktoriziranja polinoma in razmislili o primerih njihove uporabe, poleg tega pa bomo preučili novo metodo - metodo izolacije celotnega kvadrata in se jo naučili uporabljati pri reševanju različnih problemov .

Zadeva:Faktoriziranje polinomov

Lekcija:Faktoriziranje polinomov. Metoda izbire celotnega kvadrata. Kombinacija metod

Spomnimo se osnovnih metod faktoriziranja polinoma, ki smo jih preučevali prej:

Metoda postavljanja skupnega faktorja iz oklepaja, to je faktorja, ki je prisoten v vseh členih polinoma. Poglejmo primer:

Spomnimo se, da je monom produkt potenc in števil. V našem primeru imata oba izraza nekaj skupnih, enakih elementov.

Torej, vzemimo skupni faktor iz oklepajev:

;

Naj vas spomnimo, da lahko z množenjem izvzetega faktorja z oklepajem preverite pravilnost izvzetega faktorja.

Metoda združevanja. V polinomu ni vedno mogoče izluščiti skupnega faktorja. V tem primeru morate njene člane razdeliti v skupine tako, da lahko v vsaki skupini vzamete skupni faktor in ga poskusite razčleniti tako, da se po izločitvi faktorjev v skupinah skupni faktor pojavi v celoten izraz in lahko nadaljujete z razgradnjo. Poglejmo primer:

Združimo prvi člen s četrtim, drugi s petim in tretji s šestim:

Izločimo skupne dejavnike v skupinah:

Izraz ima zdaj skupni faktor. Vzemimo ven:

Uporaba formul za skrajšano množenje. Poglejmo primer:

;

Zapišimo izraz podrobno:

Očitno imamo pred seboj formulo za kvadrat razlike, saj je vsota kvadratov dveh izrazov in njun dvojni produkt je odštet od tega. Uporabimo formulo:

Danes se bomo naučili druge metode - metode izbire celotnega kvadrata. Temelji na formulah kvadrata vsote in kvadrata razlike. Naj jih spomnimo:

Formula za kvadrat vsote (razlike);

Posebnost teh formul je, da vsebujejo kvadrata dveh izrazov in njun dvojni produkt. Poglejmo primer:

Zapišimo izraz:

Torej, prvi izraz je , drugi pa .

Da bi ustvarili formulo za kvadrat vsote ali razlike, dvakratni produkt izrazov ni dovolj. Treba je dodati in odšteti:

Dopolnimo kvadrat vsote:

Preoblikujemo dobljeni izraz:

Uporabimo formulo za razliko kvadratov, spomnimo se, da je razlika kvadratov dveh izrazov produkt in vsota njune razlike:

Torej, ta metoda je najprej sestavljena iz identifikacije izrazov a in b, ki sta kvadrirana, to je določanja, kateri izrazi so kvadrirani v tem primeru. Po tem morate preveriti prisotnost dvojnega produkta in če ga ni, ga dodajte in odštejte, to ne bo spremenilo pomena primera, vendar je polinom mogoče faktorizirati z uporabo formul za kvadrat vsoto ali razliko in razliko kvadratov, če je mogoče.

Pojdimo k reševanju primerov.

Primer 1 - faktorizacija:

Poiščimo izraze, ki so na kvadrat:

Zapišimo, kakšen naj bo njihov dvojni produkt:

Dodajmo in odštejmo dvojni produkt:

Dopolnimo kvadrat vsote in podamo podobne:

Zapišimo ga s formulo razlike kvadratov:

Primer 2 - reši enačbo:

;

Na levi strani enačbe je trinom. Razložiti ga morate na faktorje. Uporabljamo formulo kvadratne razlike:

Imamo kvadrat prvega izraza in dvojni produkt, kvadrat drugega izraza manjka, seštejmo in odštejmo ga:

Zložimo celoten kvadrat in podamo podobne izraze:

Uporabimo formulo razlike kvadratov:

Torej imamo enačbo

Vemo, da je produkt enak nič le, če je vsaj eden izmed faktorjev enak nič. Na podlagi tega sestavimo naslednje enačbe:

Rešimo prvo enačbo:

Rešimo drugo enačbo:

Odgovor: oz

;

Nadaljujemo podobno kot v prejšnjem primeru - izberemo kvadrat razlike.

Faktoriziranje enačbe je postopek iskanja tistih členov ali izrazov, ki pri množenju vodijo do začetne enačbe. Faktoring je uporabna veščina za reševanje osnovnih algebrskih problemov in postane skoraj nujna pri delu s kvadratnimi enačbami in drugimi polinomi. Faktoring se uporablja za poenostavitev algebraičnih enačb, da jih je lažje rešiti. Faktoring vam lahko pomaga odpraviti določene možne odgovore hitreje, kot bi jih z ročnim reševanjem enačbe.

Koraki

Faktorizacija števil in osnovni algebraični izrazi

Faktoring številke. Koncept faktoringa je preprost, vendar je v praksi faktoring lahko izziv (če je podana kompleksna enačba). Najprej si torej poglejmo koncept faktoriziranja z uporabo števil kot primera, nadaljujmo s preprostimi enačbami in nato preidimo na zapletene enačbe. Faktorji danega števila so števila, ki pri množenju dajo prvotno število. Na primer, faktorji števila 12 so števila: 1, 12, 2, 6, 3, 4, saj je 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.
- Podobno si lahko faktorje števila predstavljate kot njegove delitelje, to je števila, s katerimi je število deljivo.
- Poiščite vse faktorje števila 60. Pogosto uporabljamo število 60 (na primer 60 minut v eni uri, 60 sekund v minuti itd.) in to število ima precej veliko število faktorjev.
  - 60 množiteljev: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 in 60.
Ne pozabite:člene izraza, ki vsebujejo koeficient (število) in spremenljivko, je mogoče tudi faktorizirati. Če želite to narediti, poiščite faktorje koeficientov za spremenljivko. Če veste, kako faktorizirati člene enačb, lahko to enačbo enostavno poenostavite.
- Na primer, izraz 12x lahko zapišemo kot produkt 12 in x. 12x lahko zapišete tudi kot 3(4x), 2(6x) itd., tako da 12 razdelite na faktorje, ki vam najbolj ustrezajo.
  - Lahko delite 12-krat večkrat zapored. Z drugimi besedami, ne smete se ustaviti pri 3(4x) ali 2(6x); nadaljujte z razširitvijo: 3(2(2x)) ali 2(3(2x)) (očitno 3(4x)=3(2(2x)) itd.)
Uporabite distribucijsko lastnost množenja za faktorske algebraične enačbe.Če znate faktorizirati števila in izrazne člene (koeficiente s spremenljivkami), lahko preproste algebraične enačbe poenostavite tako, da poiščete skupni faktor števila in izraznega izraza. Običajno morate za poenostavitev enačbe najti največji skupni faktor (GCD). Ta poenostavitev je možna zaradi distribucijske lastnosti množenja: za poljubna števila a, b, c velja enakost a(b+c) = ab+ac.
- Primer. Faktorizirajte enačbo 12x + 6. Najprej poiščite gcd 12x in 6. 6 je največje število, ki deli 12x in 6, tako da lahko to enačbo faktorizirate s: 6(2x+1).
- Ta postopek velja tudi za enačbe, ki imajo negativne in delne člene. Na primer, x/2+4 je mogoče faktorizirati v 1/2(x+8); na primer, -7x+(-21) je mogoče faktorizirati v -7(x+3).
Faktoriziranje kvadratnih enačb
1. Prepričajte se, da je enačba podana v kvadratni obliki (ax 2 + bx + c = 0). Kvadratne enačbe imajo obliko: ax 2 + bx + c = 0, kjer so a, b, c numerični koeficienti, ki niso 0. Če vam je dana enačba z eno spremenljivko (x) in je v tej enačbi eden ali več členov s spremenljivko drugega reda lahko vse člene enačbe premaknete na eno stran enačbe in jih nastavite na nič.
  - Na primer, glede na enačbo: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. To lahko pretvorimo v enačbo x 2 + 6x + 9 = 0, ki je kvadratna enačba.
  - Enačbe s spremenljivko x velikega reda, na primer x 3, x 4 itd. niso kvadratne enačbe. To so kubične enačbe, enačbe četrtega reda in tako naprej (razen če je takih enačb mogoče poenostaviti na kvadratne enačbe s spremenljivko x na potenco 2).
2. Kvadratne enačbe, kjer je a = 1, so razširjene v (x+d)(x+e), kjer je d*e=c in d+e=b.Če ima podana kvadratna enačba obliko: x 2 + bx + c = 0 (to je koeficient pri x 2 enak 1), potem je takšno enačbo mogoče (vendar ni zajamčeno) razširiti na zgornje faktorje. Če želite to narediti, morate poiskati dve števili, ki pri množenju dajeta "c", pri seštevanju pa "b". Ko najdete ti dve števili (d in e), ju nadomestite v naslednji izraz: (x+d)(x+e), ki pri odpiranju oklepaja vodi do prvotne enačbe.
  - Na primer, dana je kvadratna enačba x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 in 3+2=5, tako da lahko to enačbo faktorizirate v (x+3)(x+2).
  - Za negativne člene naredite naslednje manjše spremembe v postopku faktorizacije:
    - Če ima kvadratna enačba obliko x 2 -bx+c, potem se razširi v: (x-_)(x-_).
    - Če ima kvadratna enačba obliko x 2 -bx-c, potem se razširi v: (x+_)(x-_).
  - Opomba: presledke lahko nadomestite z ulomki ali decimalkami. Na primer, enačba x 2 + (21/2)x + 5 = 0 se razširi v (x+10)(x+1/2).
3. Faktorizacija s poskusi in napakami. Preproste kvadratne enačbe je mogoče faktorizirati s preprosto zamenjavo števil v možnih rešitvah, dokler ne najdete pravilne rešitve. Če ima enačba obliko ax 2 +bx+c, kjer je a>1, so možne rešitve zapisane v obliki (dx +/- _)(ex +/- _), kjer sta d in e neničelna numerična koeficienta. , ki pri množenju dajo a. Bodisi d ali e (ali oba koeficienta) sta lahko enaka 1. Če sta oba koeficienta enaka 1, uporabite zgoraj opisano metodo.
  - Na primer, glede na enačbo 3x 2 - 8x + 4. Tukaj ima 3 samo dva faktorja (3 in 1), zato so možne rešitve zapisane kot (3x +/- _)(x +/- _). V tem primeru boste z zamenjavo -2 za presledke našli pravilen odgovor: -2*3x=-6x in -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x in -2*-2=4, kar pomeni, da bo takšna razširitev pri odpiranju oklepajev vodila do členov prvotne enačbe.

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, našim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse varovanja zasebnosti.