Prvotno sem želel vključiti tehnike skupnega imenovalca v razdelek Seštevanje in odštevanje ulomkov. Vendar se je izkazalo, da je toliko informacij in da je njihov pomen tako velik (navsezadnje nimajo le številčni ulomki skupnih imenovalcev), da je bolje to vprašanje preučiti ločeno.
Torej, recimo, da imamo dva ulomka z različnima imenovalcema. Želimo zagotoviti, da bodo imenovalci enaki. Na pomoč priskoči osnovna lastnost ulomka, ki, naj vas spomnim, zveni takole:
Ulomek se ne spremeni, če njegov števec in imenovalec pomnožimo z istim številom, ki ni nič.
Torej, če pravilno izberete faktorje, bodo imenovalci ulomkov postali enaki - ta proces se imenuje zmanjšanje na skupni imenovalec. In zahtevana števila, ki "izravnavajo" imenovalce, se imenujejo dodatni faktorji.
Zakaj moramo ulomke zreducirati na skupni imenovalec? Tukaj je le nekaj razlogov:
- Seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci. Ni drugega načina za izvedbo te operacije;
- Primerjanje ulomkov. Včasih redukcija na skupni imenovalec močno poenostavi to nalogo;
- Reševanje problemov z ulomki in odstotki. Odstotki so v bistvu običajni izrazi, ki vsebujejo ulomke.
Obstaja veliko načinov za iskanje števil, pri katerih bodo imenovalci ulomkov enaki, če jih pomnožimo. Upoštevali bomo le tri od njih - po naraščajoči kompleksnosti in v nekem smislu učinkovitosti.
Navzkrižno množenje
Najenostavnejša in najbolj zanesljiva metoda, ki zajamčeno izenači imenovalce. Delovali bomo »glavoglavo«: prvi ulomek pomnožimo z imenovalcem drugega ulomka, drugega pa z imenovalcem prvega. Posledično bosta imenovalca obeh ulomkov postala enaka produktu prvotnih imenovalcev. Poglej:
Kot dodatne dejavnike upoštevajte imenovalce sosednjih ulomkov. Dobimo:
Da, tako preprosto je. Če šele začenjate preučevati ulomke, je bolje delati po tej metodi - na ta način se boste zavarovali pred številnimi napakami in zagotovo boste dobili rezultat.
Edina pomanjkljivost te metode je, da morate veliko šteti, saj se imenovalci množijo »do konca«, rezultat pa so lahko zelo velike številke. To je cena, ki jo je treba plačati za zanesljivost.
Metoda skupnega delitelja
Ta tehnika pomaga znatno zmanjšati izračune, vendar se na žalost uporablja zelo redko. Metoda je naslednja:
- Preden greste naravnost naprej (tj. z uporabo metode navzkriž), si oglejte imenovalce. Morda je eden od njih (tisti, ki je večji) razdeljen na drugega.
- Število, ki izhaja iz te delitve, bo dodaten faktor za ulomek z manjšim imenovalcem.
- V tem primeru ulomka z velikim imenovalcem sploh ni treba pomnožiti z ničemer – tu je prihranek. Hkrati se verjetnost napake močno zmanjša.
Naloga. Poiščite pomene izrazov:
Upoštevajte, da je 84: 21 = 4; 72 : 12 = 6. Ker v obeh primerih en imenovalec brez ostanka delimo z drugim, uporabimo metodo skupnih faktorjev. Imamo:
Upoštevajte, da drugi ulomek sploh ni bil pomnožen z ničemer. Pravzaprav smo prepolovili količino računanja!
Mimogrede, ulomkov v tem primeru nisem vzel po naključju. Če vas zanima, jih poskusite prešteti po metodi navzkriž. Po znižanju bodo odgovori enaki, a dela bo veliko več.
To je moč metode skupnih deliteljev, vendar jo je mogoče uporabiti le, če je eden od imenovalcev deljiv z drugim brez ostanka. Kar se zgodi precej redko.
Najmanj pogosta večkratna metoda
Ko ulomke reduciramo na skupni imenovalec, v bistvu poskušamo najti število, ki je deljivo z vsakim imenovalcem. Nato temu številu prinesemo imenovalca obeh ulomkov.
Takšnih števil je veliko in ni nujno, da bo najmanjše od njih enako neposrednemu produktu imenovalcev prvotnih ulomkov, kot se predvideva v metodi "navzkrižno".
Na primer, za imenovalce 8 in 12 je številka 24 povsem primerna, saj je 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. To število je veliko manjše od produkta 8 · 12 = 96.
Najmanjše število, ki je deljivo z vsakim od imenovalcev, se imenuje njihov najmanjši skupni večkratnik (LCM).
Zapis: Najmanjši skupni večkratnik a in b je označen z LCM(a ; b) . Na primer, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24.
Če vam uspe najti takšno številko, bo skupni znesek izračunov minimalen. Oglejte si primere:
Naloga. Poiščite pomene izrazov:
Upoštevajte, da je 234 = 117 2; 351 = 117 3. Faktorja 2 in 3 sta enaka (nimata skupnih faktorjev razen 1), faktor 117 pa je skupen. Zato je LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Podobno je 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktorja 3 in 4 sta soprama, faktor 5 pa je pogost. Zato je LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Zdaj pa ulomke skrčimo na skupne imenovalce:
Opazite, kako koristno je bilo faktorizirati prvotne imenovalce:
- Ko smo odkrili enake faktorje, smo takoj prišli do najmanjšega skupnega večkratnika, kar je na splošno netrivialen problem;
- Iz nastale razširitve lahko ugotovite, kateri faktorji "manjkajo" v vsakem ulomku. Na primer, 234 · 3 = 702, zato je za prvi ulomek dodatni faktor 3.
Če želite oceniti, koliko razlike naredi metoda najmanjšega skupnega večkratnika, poskusite te iste primere izračunati z navzkrižno metodo. Seveda brez kalkulatorja. Mislim, da bodo po tem komentarji nepotrebni.
Ne mislite, da v resničnih primerih ne bo tako zapletenih ulomkov. Srečujejo se ves čas in zgornje naloge niso meja!
Edina težava je, kako najti prav ta NOC. Včasih je vse mogoče najti v nekaj sekundah, dobesedno "na oko", a na splošno je to zapletena računska naloga, ki zahteva ločeno obravnavo. Tukaj se tega ne bomo dotikali.
Ta metoda je smiselna, če stopnja polinoma ni nižja od dve. V tem primeru je lahko skupni faktor ne samo binom prve stopnje, ampak tudi višjih stopenj.
Da bi našli skupno dejavnik glede na polinom, je potrebno izvesti številne transformacije. Najenostavnejši binom ali monom, ki ga lahko vzamemo iz oklepaja, bo ena od korenin polinoma. Očitno bo v primeru, ko polinom nima prostega člena, na prvi stopnji neznanka - polinom, enak 0.
Težje najti skupni faktor je primer, ko prosti člen ni enak nič. Takrat so uporabne metode preprostega izbora ali združevanja. Na primer, naj bodo vse korenine polinoma racionalne in vsi koeficienti polinoma cela števila: y^4 + 3 y³ – y² – 9 y – 18.
Zapišite vse cele delitelje prostega člena. Če ima polinom racionalne korenine, potem so med njimi. Kot rezultat izbire dobimo korenine 2 in -3. To pomeni, da bosta skupna faktorja tega polinoma binoma (y - 2) in (y + 3).
Metoda skupnega faktoriziranja je ena od komponent faktorizacije. Zgoraj opisana metoda je uporabna, če je koeficient najvišje stopnje 1. Če temu ni tako, je treba najprej izvesti vrsto transformacij. Na primer: 2y³ + 19 y² + 41 y + 15.
Izvedite zamenjavo v obliki t = 2³·y³. Če želite to narediti, pomnožite vse koeficiente polinoma s 4: 2³·y³ + 19·2²·y² + 82·2·y + 60. Po zamenjavi: t³ + 19·t² + 82·t + 60. Zdaj, da najdemo skupni faktor, uporabimo zgornjo metodo.
Poleg tega so učinkovita metoda za iskanje skupnega faktorja elementi polinoma. Še posebej je uporaben, kadar prva metoda ne, tj. Polinom nima racionalnih korenin. Vendar skupine niso vedno očitne. Na primer: polinom y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 nima celih korenin.
Uporabite združevanje: y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 = y^4 + 4 y³ – 2 y² + y² – 8 y – 2 = (y^4 – 2 y²) + ( 4 y³ – 8 y) + y² – 2 = (y² - 2)*(y² + 4 y + 1). Skupni faktor elementov tega polinoma je (y² - 2).
Množenje in deljenje sta tako kot seštevanje in odštevanje osnovni aritmetični operaciji. Ne da bi se naučili reševati primere množenja in deljenja, bo oseba naletela na številne težave ne le pri študiju bolj zapletenih vej matematike, ampak tudi v najbolj običajnih vsakdanjih zadevah. Množenje in deljenje sta tesno povezana, neznane komponente primerov in problemov, ki vključujejo eno od teh operacij, pa se izračunajo z uporabo druge operacije. Hkrati je treba jasno razumeti, da pri reševanju primerov ni popolnoma vseeno, katere predmete delite ali množite.
Boste potrebovali
- - tabela množenja;
- - kalkulator ali list papirja in svinčnik.
Navodila
Zapišite primer, ki ga potrebujete. Označite neznano dejavnik kot X. Primer bi lahko izgledal takole: a*x=b. Namesto faktorja a in zmnožka b v primeru so lahko poljubne ali številke. Zapomnite si osnovno načelo množenja: zamenjava mest faktorjev ne spremeni produkta. Tako neznano dejavnik x lahko postavite popolnoma kamor koli.
Najti neznano dejavnik v primeru, kjer sta samo dva faktorja, morate produkt le deliti z znanim dejavnik. To pomeni, da se to naredi na naslednji način: x=b/a. Če težko operirate z abstraktnimi količinami, si poskusite ta problem predstavljati v obliki konkretnih predmetov. Vi, imate samo jabolka in koliko jih boste pojedli, vendar ne veste, koliko jabolk bo vsak dobil. Na primer, imate 5 družinskih članov in 15 jabolk označite s x. Potem bo enačba videti takole: 5(jabolka)*x=15(jabolka). Neznano dejavnik najdemo na enak način kot v enačbi s črkami, torej 15 jabolk razdelimo med pet družinskih članov, na koncu se izkaže, da je vsak pojedel 3 jabolka.
Na enak način se najde neznano dejavnik s številom dejavnikov. Na primer, primer izgleda kot a*b*c*x*=d. V teoriji poiščite s dejavnik možno je na enak način kot v kasnejšem primeru: x=d/a*b*c. Toda enačbo lahko poenostavite tako, da produkt znanih faktorjev označite z drugo črko - na primer m. Poiščite, koliko je m, tako da pomnožite števila a, b in c: m=a*b*c. Potem lahko celoten primer predstavimo kot m*x=d, neznana količina pa bo enaka x=d/m.
Če je znano dejavnik in zmnožek sta ulomka, primer rešujemo na povsem enak način kot pri . Toda v tem primeru se morate spomniti dejanj. Pri množenju ulomkov se pomnožijo njihovi števci in imenovalci. Pri deljenju ulomkov se števec dividende pomnoži z imenovalcem delitelja, imenovalec dividende pa s števcem delitelja. To pomeni, da bo v tem primeru primer videti takole: a/b*x=c/d. Če želite najti neznano količino, morate produkt razdeliti na znano dejavnik. To je x=a/b:c/d =a*d/b*c.
Video na temo
Opomba
Pri reševanju primerov z ulomki lahko ulomek znanega faktorja preprosto obrnemo in dejanje izvedemo kot množenje ulomkov.
Polinom je vsota monomov. Monom je produkt več faktorjev, ki so številka ali črka. stopnja neznanka je, kolikokrat je pomnožena sama s seboj.
Navodila
Navedite ga, če še ni bil storjen. Podobni monomi so monomi iste vrste, torej monomi z enakimi neznankami iste stopnje.
Vzemimo za primer polinom 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y². Ta polinom ima dve neznanki - x in y.
Poveži podobne monome. Monomi z drugo potenco y in tretjo potenco x bodo prišli v obliko y²*x³, monomi s četrto potenco y pa se bodo črtali. Izkazalo se je y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³.
Vzemite y kot glavno neznano črko. Poiščite največjo stopnjo za neznano y. To je monom y²*x³ in s tem 2. stopnja.
Potegnite zaključek. stopnja polinom 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y² v x je enako tri, v y pa je enako dve.
Poiščite diplomo polinom√x+5*y z y. Je enak največji stopnji y, to je ena.
Poiščite diplomo polinom√x+5*y v x. Neznani x se nahaja, kar pomeni, da bo njegova stopnja ulomek. Ker je koren kvadratni koren, je potenca x 1/2.
Potegnite zaključek. Za polinom√x+5*y je potenca x 1/2, potenca y pa 1.
Video na temo
Poenostavitev algebraičnih izrazov je potrebna na številnih področjih matematike, vključno z reševanjem enačb višjega reda, diferenciacijo in integracijo. Uporablja se več metod, vključno s faktorizacijo. Če želite uporabiti to metodo, morate najti in narediti splošno dejavnik zadaj oklepaji.
Večina operacij z algebrskimi ulomki, kot sta seštevanje in odštevanje, zahteva najprej zreduciranje teh ulomkov na iste imenovalce. Takšni imenovalci se pogosto imenujejo tudi "skupni imenovalec". V tej temi si bomo ogledali definicijo pojmov »skupni imenovalec algebrskih ulomkov« in »najmanjši skupni imenovalec algebrskih ulomkov (LCD)«, razmislili o algoritmu za iskanje skupnega imenovalca točko za točko in rešili več problemov na tema.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Skupni imenovalec algebraičnih ulomkov
Če govorimo o navadnih ulomkih, potem je skupni imenovalec število, ki je deljivo s katerim koli od imenovalcev prvotnih ulomkov. Za navadne ulomke 1 2 in 5 9 število 36 je lahko skupni imenovalec, saj je deljivo z 2 in 9 brez ostanka.
Skupni imenovalec algebrskih ulomkov se določi na podoben način, le da se namesto števil uporabljajo polinomi, saj so le-ti števci in imenovalci algebrskega ulomka.
Definicija 1
Skupni imenovalec algebraičnega ulomka je polinom, ki je deljiv z imenovalcem poljubnega ulomka.
Zaradi posebnosti algebraičnih ulomkov, o katerih bomo govorili v nadaljevanju, bomo pogosto obravnavali skupne imenovalce, predstavljene kot produkt in ne kot standardni polinom.
Primer 1
Polinom, zapisan kot produkt 3 x 2 (x + 1), ustreza polinomu standardne oblike 3 x 3 + 3 x 2. Ta polinom je lahko skupni imenovalec algebraičnih ulomkov 2 x, - 3 x y x 2 in y + 3 x + 1, ker je deljiv z x, na x 2 in naprej x+1. Informacije o deljivosti polinomov so na voljo v ustrezni temi našega vira.
Najmanjši skupni imenovalec (LCD)
Za dane algebraične ulomke je lahko število skupnih imenovalcev neskončno.
Primer 2
Vzemimo za primer ulomka 1 2 x in x + 1 x 2 + 3. Njihov skupni imenovalec je 2 x (x 2 + 3), všeč − 2 x (x 2 + 3), všeč x (x 2 + 3), všeč 6, 4 x (x 2 + 3) (y + y 4), všeč − 31 x 5 (x 2 + 3) 3, in tako naprej.
Pri reševanju nalog si lahko delo olajšamo z uporabo skupnega imenovalca, ki ima najpreprostejšo obliko med vsemi imenovalci. Ta imenovalec se pogosto imenuje najmanjši skupni imenovalec.
Definicija 2
Najmanjši skupni imenovalec algebraičnih ulomkov je skupni imenovalec algebraičnih ulomkov, ki ima najpreprostejšo obliko.
Mimogrede, izraz "najmanjši skupni imenovalec" ni splošno sprejet, zato je bolje, da se omejimo na izraz "skupni imenovalec". In zato.
Prej smo vašo pozornost usmerili na besedno zvezo "najenostavnejši imenovalec." Glavni pomen tega izraza je naslednji: imenovalec najpreprostejše oblike mora brez ostanka deliti kateri koli drug skupni imenovalec podatkov v pogoju problema algebraičnih ulomkov. V tem primeru lahko v produktu, ki je skupni imenovalec ulomkov, uporabimo različne številske koeficiente.
Primer 3
Vzemimo ulomka 1 2 · x in x + 1 x 2 + 3 . Ugotovili smo že, da nam bo najlažje delati s skupnim imenovalcem oblike 2 · x · (x 2 + 3). Tudi skupni imenovalec teh dveh ulomkov je lahko x (x 2 + 3), ki ne vsebuje številskega koeficienta. Vprašanje je, kateri od teh dveh skupnih imenovalcev velja za najmanjši skupni imenovalec ulomkov. Dokončnega odgovora ni, zato je pravilneje preprosto govoriti o skupnem imenovalcu in delati z možnostjo, s katero bo delo najbolj priročno. Torej lahko uporabimo takšne skupne imenovalce, kot so x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) oz − 15 x 5 (x 2 + 3) 3, ki imajo bolj zapleten videz, vendar je z njimi morda težje izvajati akcije.
Iskanje skupnega imenovalca algebraičnih ulomkov: algoritem dejanj
Recimo, da imamo več algebraičnih ulomkov, za katere moramo najti skupni imenovalec. Za rešitev te težave lahko uporabimo naslednji algoritem dejanj. Najprej moramo faktorizirati imenovalce prvotnih ulomkov. Nato sestavimo delo, v katerega zaporedno vključimo:
- vsi faktorji iz imenovalca prvega ulomka skupaj s potencami;
- vsi faktorji, ki so prisotni v imenovalcu drugega ulomka, vendar jih v pisnem zmnožku ni ali pa je njihova stopnja nezadostna;
- vsi manjkajoči faktorji iz imenovalca tretjega ulomka itd.
Dobljeni produkt bo skupni imenovalec algebraičnih ulomkov.
Kot faktorje zmnožka lahko vzamemo vse imenovalce ulomkov, podanih v postavitvi naloge. Vendar bo multiplikator, ki ga bomo na koncu dobili, po pomenu daleč od NCD in njegova uporaba bo neracionalna.
Primer 4
Določite skupni imenovalec ulomkov 1 x 2 y, 5 x + 1 in y - 3 x 5 y.
rešitev
V tem primeru nam ni treba faktorizirati imenovalcev prvotnih ulomkov. Zato bomo algoritem začeli uporabljati s sestavljanjem dela.
Iz imenovalca prvega ulomka vzamemo množitelj x 2 l, iz imenovalca drugega ulomka množitelj x+1. Dobimo izdelek x 2 y (x + 1).
Imenovalec tretjega ulomka nam lahko da množitelj x 5 let, vendar izdelek, ki smo ga sestavili prej, že ima faktorje x 2 in l. Zato dodajamo več x 5 − 2 = x 3. Dobimo izdelek x 2 y (x + 1) x 3, ki se lahko reducira na obliko x 5 y (x + 1). To bo naš NOZ algebraičnih ulomkov.
odgovor: x 5 · y · (x + 1) .
Zdaj pa si poglejmo primere nalog, kjer imenovalci algebrskih ulomkov vsebujejo cele številske faktorje. Tudi v takšnih primerih se ravnamo po algoritmu, tako da cele številske faktorje predhodno razgradimo na enostavne faktorje.
Primer 5
Poišči skupni imenovalec ulomkov 1 12 x in 1 90 x 2.
rešitev
Če števila v imenovalcih ulomkov razdelimo na prafaktorje, dobimo 1 2 2 · 3 · x in 1 2 · 3 2 · 5 · x 2 . Zdaj lahko nadaljujemo s sestavljanjem skupnega imenovalca. Da bi to naredili, iz imenovalca prvega ulomka vzamemo produkt 2 2 3 x in mu prištejte faktorje 3, 5 in x od imenovalca drugega ulomka. Dobimo 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. To je naš skupni imenovalec.
odgovor: 180 x 2.
Če natančno pogledate rezultate obeh analiziranih primerov, boste opazili, da skupni imenovalci ulomkov vsebujejo vse faktorje, ki so prisotni v razširitvah imenovalcev, in če je določen faktor prisoten v več imenovalcih, potem je vzet z največjim razpoložljivim eksponentom. In če imajo imenovalci cele koeficiente, potem skupni imenovalec vsebuje numerični faktor, ki je enak najmanjšemu skupnemu večkratniku teh numeričnih koeficientov.
Primer 6
Imenovalca obeh algebrskih ulomkov 1 12 x in 1 90 x 2 imata faktor x. V drugem primeru je faktor x na kvadrat. Da ustvarimo skupni imenovalec, moramo ta faktor vzeti v največji meri, tj. x 2. Drugih množiteljev s spremenljivkami ni. Celoštevilski koeficienti prvotnih ulomkov 12 in 90 , njihov najmanjši skupni večkratnik pa je 180 . Izkaže se, da ima želeni skupni imenovalec obliko 180 x 2.
Zdaj lahko zapišemo še en algoritem za iskanje skupnega faktorja algebrskih ulomkov. Za to mi:
- faktoriziraj imenovalce vseh ulomkov;
- sestavimo produkt vseh črkovnih faktorjev (če je faktor v več razširitvah, vzamemo možnost z največjim eksponentom);
- dobljenemu produktu prištejemo LCM numeričnih koeficientov raztezkov.
Podani algoritmi so enakovredni, zato lahko katerega koli od njih uporabimo za reševanje problemov. Pomembno je biti pozoren na podrobnosti.
Obstajajo primeri, ko so skupni faktorji v imenovalcih ulomkov lahko nevidni za številskimi koeficienti. Tukaj je priporočljivo najprej postaviti numerične koeficiente pri višjih potencah spremenljivk izven oklepaja v vsakem od dejavnikov, ki so prisotni v imenovalcu.
Primer 7
Kakšen skupni imenovalec imata ulomka 3 5 - x in 5 - x · y 2 2 · x - 10?
rešitev
V prvem primeru je treba minus ena vzeti iz oklepaja. Dobimo 3 - x - 5 . Števec in imenovalec pomnožimo z - 1, da se znebimo minusa v imenovalcu: - 3 x - 5.
V drugem primeru damo oba iz oklepaja. To nam omogoča, da dobimo ulomek 5 - x · y 2 2 · x - 5.
Očitno je, da je skupni imenovalec teh algebrskih ulomkov - 3 x - 5 in 5 - x · y 2 2 · x - 5 2 (x − 5).
odgovor:2 (x − 5).
Podatki v pogoju problema ulomkov imajo lahko delne koeficiente. V teh primerih se morate najprej znebiti delnih koeficientov tako, da pomnožite števec in imenovalec z določenim številom.
Primer 8
Poenostavite algebraične ulomke 1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 in - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 ter nato določite njihov skupni imenovalec.
rešitev
Znebimo se ulomkov koeficientov tako, da števec in imenovalec v prvem primeru pomnožimo s 14, v drugem pa s 3. Dobimo:
1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 in - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .
Po transformacijah postane jasno, da je skupni imenovalec 2 (x 2 + 2).
odgovor: 2 (x 2 + 2).
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
Če želite rešiti primere z ulomki, morate znati najti najmanjši skupni imenovalec. Spodaj so podrobna navodila.
Kako najti najmanjši skupni imenovalec – koncept
Najmanjši skupni imenovalec (LCD), preprosto povedano, je najmanjše število, ki je deljivo z imenovalci vseh ulomkov v danem primeru. Z drugimi besedami se imenuje najmanjši skupni večkratnik (LCM). NOS se uporablja le, če sta imenovalca ulomkov različna.
Kako najti najmanjši skupni imenovalec - primeri
Poglejmo si primere iskanja NOC.
Izračunaj: 3/5 + 2/15.
Rešitev (zaporedje dejanj):
- Ogledamo si imenovalce ulomkov, pazimo, da so različni in da so izrazi čim bolj skrajšani.
- Poiščemo najmanjše število, ki je deljivo s 5 in 15. To število bo 15. Torej je 3/5 + 2/15 = ?/15.
- Ugotovili smo imenovalec. Kaj bo v števcu? Dodatni množitelj nam bo pomagal ugotoviti to. Dodaten faktor je število, ki ga dobimo, če NZ delimo z imenovalcem določenega ulomka. Za 3/5 je dodatni faktor 3, ker je 15/5 = 3. Za drugi ulomek je dodatni faktor 1, ker je 15/15 = 1.
- Ko ugotovimo dodatni faktor, ga pomnožimo s števci ulomkov in dodamo dobljene vrednosti. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.
Odgovor: 3/5 + 2/15 = 11/15.
Če v primeru ne dodamo ali odštejemo 2, ampak 3 ali več ulomkov, je treba NCD iskati po toliko ulomkih, kot je danih.
Izračunajte: 1/2 – 5/12 + 3/6
Rešitev (zaporedje dejanj):
- Iskanje najmanjšega skupnega imenovalca. Najmanjše število, deljivo z 2, 12 in 6, je 12.
- Dobimo: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
- Iščemo dodatne multiplikatorje. Za 1/2 – 6; za 5/12 – 1; za 3/6 – 2.
- Pomnožimo s števci in priredimo ustrezne predznake: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.
Odgovor: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.
Če želite ulomke skrčiti na najmanjši skupni imenovalec, morate: 1) poiskati najmanjši skupni večkratnik imenovalcev danih ulomkov, to bo najmanjši skupni imenovalec. 2) poiščite dodatni faktor za vsak ulomek tako, da novi imenovalec delite z imenovalcem vsakega ulomka. 3) pomnožite števec in imenovalec vsakega ulomka z njegovim dodatnim faktorjem.
Primeri. Zmanjšajte naslednje ulomke na njihov najmanjši skupni imenovalec.
Poiščemo najmanjši skupni večkratnik imenovalcev: LCM(5; 4) = 20, saj je 20 najmanjše število, ki je deljivo s 5 in 4. Za 1. ulomek poiščite dodatni faktor 4 (20 : 5=4). Za 2. ulomek je dodatni faktor 5 (20 : 4=5). Števec in imenovalec 1. ulomka pomnožimo s 4, števec in imenovalec 2. ulomka pa s 5. Te ulomke smo skrčili na najmanjši skupni imenovalec ( 20 ).
Najmanjši skupni imenovalec teh ulomkov je število 8, saj je 8 deljivo s 4 in samim seboj. Za 1. ulomek ne bo dodatnega faktorja (lahko rečemo, da je enak ena), za 2. ulomek je dodatni faktor 2 (8 : 4=2). Števec in imenovalec 2. ulomka pomnožimo z 2. Te ulomke smo skrčili na najmanjši skupni imenovalec ( 8 ).
Ti ulomki niso nezmanjšljivi.
Zmanjšajmo 1. ulomek za 4, 2. ulomek pa za 2. ( glej primere zmanjševanja navadnih ulomkov: Zemljevid strani → 5.4.2. Primeri zmanjševanja navadnih ulomkov). Poiščite LOC (16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Dodatni množitelj za 1. ulomek je 5 (80 : 16=5). Dodatni faktor za 2. ulomek je 4 (80 : 20=4). Števec in imenovalec 1. ulomka pomnožimo s 5, števec in imenovalec 2. ulomka pa s 4. Te ulomke smo skrčili na najmanjši skupni imenovalec ( 80 ).
Najdemo najmanjši skupni imenovalec NCD (5 ; 6 in 15)=NOK(5 ; 6 in 15)=30. Dodatni faktor k prvemu ulomku je 6 (30 : 5=6), je dodatni faktor k 2. ulomku 5 (30 : 6=5), je dodatni faktor k 3. ulomku 2 (30 : 15=2). Števec in imenovalec 1. ulomka pomnožimo s 6, števec in imenovalec 2. ulomka s 5, števec in imenovalec 3. ulomka z 2. Te ulomke smo skrčili na najmanjši skupni imenovalec ( 30 ).
Stran 1 od 1 1
