Opredelitev 10.4.Kanonični pogled kvadratno obliko (10.1) imenujemo naslednjo obliko: . (10,4)
Pokažimo, da v bazi lastnih vektorjev kvadratna oblika (10.1) prevzame kanonično obliko. Pustiti
- normalizirani lastni vektorji, ki ustrezajo lastnim vrednostim λ 1 , λ 2 , λ 3 matrike (10.3) v ortonormirani bazi. Potem bo matrika prehoda iz stare osnove v novo matrika
. V novi osnovi matriko A bo dobila diagonalno obliko (9.7) (zaradi lastnosti lastnih vektorjev). Tako preoblikovanje koordinat z uporabo formul:
,
v novi bazi dobimo kanonično obliko kvadratne oblike s koeficienti, enakimi lastnim vrednostim λ 1, λ 2, λ 3:
Opomba 1. Z geometrijskega vidika je obravnavana koordinatna transformacija rotacija koordinatnega sistema, ki združuje stare koordinatne osi z novimi.
Opomba 2. Če katera koli lastna vrednost matrike (10.3) sovpada, lahko ustreznim ortonormiranim lastnim vektorjem dodamo enotski vektor, ki je pravokoten na vsako od njih, in tako zgradimo osnovo, v kateri kvadratna oblika prevzame kanonično obliko.
Pripravimo kvadratno obliko v kanonično obliko
x² + 5 l² + z² + 2 xy + 6xz + 2yz.
Njena matrika ima obliko V primeru, obravnavanem v predavanju 9, so lastne vrednosti in ortonormirani lastni vektorji te matrike najdeni:
Ustvarimo matriko prehoda na osnovo iz teh vektorjev:
(vrstni red vektorjev se spremeni tako, da tvorijo desnosučni trojček). Preoblikujemo koordinate z uporabo formul:
.
Torej se kvadratna oblika reducira na kanonično obliko s koeficienti, ki so enaki lastnim vrednostim matrike kvadratne oblike.
Predavanje 11.
Krivulje drugega reda. Elipsa, hiperbola in parabola, njihove lastnosti in kanonične enačbe. Redukcija enačbe drugega reda na kanonično obliko.
Opredelitev 11.1.Krivulje drugega reda na ravnini se imenujejo presečišča krožnega stožca z ravninami, ki ne potekajo skozi njegovo oglišče.
Če taka ravnina seka vse generatrise ene votline stožca, potem se v odseku izkaže elipsa, na presečišču generatris obeh votlin – hiperbola, in če je rezalna ravnina vzporedna s katerim koli generatorjem, potem je odsek stožca parabola.
Komentiraj. Vse krivulje drugega reda so določene z enačbami druge stopnje v dveh spremenljivkah.
Elipsa.
Opredelitev 11.2.Elipsa je množica točk v ravnini, za katere je vsota razdalj do dveh fiksnih točk F 1 in F triki, je konstantna vrednost.
Komentiraj. Ko točke sovpadajo F 1 in F 2 se elipsa spremeni v krog.
Izpeljimo enačbo elipse z izbiro kartezičnega sistema
y M(x,y) koordinira tako, da os Oh sovpadala z ravno črto F 1 F 2, začetek
r 1 r 2 koordinate – s sredino segmenta F 1 F 2. Naj dolžina tega
segment je enak 2 z, nato v izbranem koordinatnem sistemu
F 1 O F 2 x F 1 (-c, 0), F 2 (c, 0). Naj bistvo M(x, y) leži na elipsi in
vsota razdalj od njega do F 1 in F 2 je enako 2 A.
Potem r 1 + r 2 = 2a, ampak ,
zato uvajamo notacijo b² = a²- c² in po izvedbi preprostih algebrskih transformacij dobimo kanonična enačba elipse: (11.1)
Opredelitev 11.3.Ekscentričnost elipse imenujemo magnituda e=s/a (11.2)
Opredelitev 11.4.Ravnateljica D i elipsa, ki ustreza gorišču F i F i glede na os OU pravokotno na os Oh na daljavo a/e od izvora.
Komentiraj. Z drugačno izbiro koordinatnega sistema je mogoče elipso določiti ne s kanonično enačbo (11.1), temveč z enačbo druge stopnje drugega tipa.
Lastnosti elipse:
1) Elipsa ima dve medsebojno pravokotni simetrijski osi (glavni osi elipse) in simetrično središče (središče elipse). Če je elipsa podana s kanonično enačbo, potem so njene glavne osi koordinatne osi, središče pa izhodišče. Ker so dolžine segmentov, ki jih tvori presečišče elipse z glavnimi osmi, enake 2 A in 2 b (2a>2b), potem se glavna os, ki gre skozi žarišča, imenuje velika os elipse, druga glavna os pa mala os.
2) Celotna elipsa je v pravokotniku
3) Ekscentričnost elipse e< 1.
res, 
4) Direktrise elipse se nahajajo zunaj elipse (ker je razdalja od središča elipse do direktrise a/e, A e<1, следовательно, a/e>a, celotna elipsa pa leži v pravokotniku)
5) Razmerje razdalje r i od točke elipse do fokusa F i na daljavo d i od te točke do direktrise, ki ustreza gorišču, je enaka ekscentričnosti elipse.
Dokaz.
Razdalje od točke M(x, y) do žarišč elipse lahko predstavimo na naslednji način:
Ustvarimo direktrisne enačbe:
(D 1), (D 2). Potem 
Od tod r i / d i = e, kar je bilo treba dokazati.
Hiperbola.
Opredelitev 11.5.Hiperbola je množica točk v ravnini, za katere je modul razlike razdalj do dveh fiksnih točk F 1 in F 2 tega letala, imenovanega triki, je konstantna vrednost.
Izpeljimo kanonično enačbo hiperbole po analogiji z izpeljavo enačbe elipse z istim zapisom.
|r 1 - r 2 | = 2a, od koder Če označimo b² = c² - a², od tu lahko dobite
- enačba kanonične hiperbole. (11.3)
Opredelitev 11.6.Ekscentričnost hiperbolo imenujemo količina e = c/a.
Opredelitev 11.7.Ravnateljica D i hiperbola, ki ustreza gorišču F i, se imenuje ravna črta, ki se nahaja v isti polravnini z F i glede na os OU pravokotno na os Oh na daljavo a/e od izvora.
Lastnosti hiperbole:
1) Hiperbola ima dve simetrijski osi (glavni osi hiperbole) in simetrijsko središče (središče hiperbole). V tem primeru se ena od teh osi seka s hiperbolo v dveh točkah, ki ju imenujemo oglišči hiperbole. Imenuje se realna os hiperbole (os Oh za kanonično izbiro koordinatnega sistema). Druga os nima skupnih točk s hiperbolo in se imenuje njena namišljena os (v kanoničnih koordinatah - os OU). Na obeh straneh sta desna in leva veja hiperbole. Žarišča hiperbole se nahajajo na njeni realni osi.
2) Veje hiperbole imajo dve asimptoti, določeni z enačbami
3) Poleg hiperbole (11.3) lahko upoštevamo tako imenovano konjugirano hiperbolo, ki jo definira kanonična enačba
pri katerem se realna in imaginarna os zamenjata, pri čemer se ohranijo iste asimptote.
4) Ekscentričnost hiperbole e> 1.
5) Razmerje razdalje r i od točke hiperbole do fokusa F i na daljavo d i od te točke do direktrise, ki ustreza gorišču, je enaka ekscentričnosti hiperbole.
Dokaz lahko izvedemo na enak način kot za elipso.
Parabola.
Opredelitev 11.8.Parabola je množica točk na ravnini, za katere je razdalja do neke fiksne točke F ta ravnina je enaka razdalji do neke fiksne premice. Pika F klical fokus parabole, premica pa je njena ravnateljica.
Za izpeljavo enačbe parabole izberemo kartezijansko
koordinatnem sistemu tako, da je njegovo izhodišče sredina
D M(x,y) pravokotna FD, izpuščen iz fokusa na direktivo
r su, koordinatne osi pa so bile vzporedne in
pravokotno na režiserja. Naj dolžina segmenta FD
D O F x je enako R. Potem iz enakosti r = d temu sledi
zaradi
Z uporabo algebrskih transformacij lahko to enačbo zmanjšamo na obliko: l² = 2 px, (11.4)
klical enačba kanonične parabole. Magnituda R klical parameter parabole.
Lastnosti parabole:
1) Parabola ima simetrijsko os (os parabole). Točka, kjer parabola seka os, se imenuje vrh parabole. Če je parabola podana s kanonično enačbo, potem je njena os os Oh, in vrh je izhodišče koordinat.
2) Celotna parabola se nahaja v desni polravnini ravnine ooh
Komentiraj. Z uporabo lastnosti direktris elipse in hiperbole ter definicije parabole lahko dokažemo naslednjo trditev:
Množica točk na ravnini, za katere velja relacija e razdalja do neke fiksne točke do razdalje do neke premice je konstantna vrednost, je elipsa (z e<1), гиперболу (при e>1) ali parabolo (s e=1).
Povezane informacije.
Redukcija kvadratnih oblik
Oglejmo si najpreprostejšo in v praksi najpogosteje uporabljeno metodo redukcije kvadratne oblike na kanonično obliko, imenovano Lagrangeova metoda. Temelji na izolaciji celotnega kvadrata v kvadratni obliki.
Izrek 10.1(Lagrangeov izrek) Vsaka kvadratna oblika (10.1):
z uporabo ne-posebne linearne transformacije (10.4) lahko reduciramo na kanonično obliko (10.6):
,
□ Izrek bomo dokazali na konstruktiven način z uporabo Lagrangeove metode identifikacije popolnih kvadratov. Naloga je najti nesingularno matriko, tako da linearna transformacija (10.4) rezultira v kvadratni obliki (10.6) kanonične oblike. To matriko bomo dobili postopoma kot zmnožek končnega števila matrik posebne vrste.
1. točka (pripravljalna).
1.1. Izberimo med spremenljivkami tisto, ki je hkrati vključena v kvadratno obliko na kvadrat in na prvo potenco (imenujmo jo vodilna spremenljivka). Preidimo na točko 2.
1.2. Če v kvadratni obliki ni vodilnih spremenljivk (za vse : ), potem izberemo par spremenljivk, katerih produkt je vključen v obrazec s koeficientom, ki ni nič, in nadaljujemo na 3. korak.
1.3. Če v kvadratni obliki ni produktov nasprotnih spremenljivk, potem je ta kvadratna oblika že predstavljena v kanonični obliki (10.6). Dokaz izreka je končan.
2. točka (izbira celotnega kvadrata).
2.1. Z uporabo vodilne spremenljivke izberemo celoten kvadrat. Brez izgube splošnosti predpostavimo, da je vodilna spremenljivka . Če združimo izraze, ki vsebujejo , dobimo
.
Izbira popolnega kvadrata s spremenljivko v 
, dobimo
.
Tako kot rezultat izolacije celotnega kvadrata s spremenljivko dobimo vsoto kvadrata linearne oblike
ki vključuje vodilno spremenljivko, in kvadratno obliko 
iz spremenljivk , v katerih vodilna spremenljivka ni več vključena. Spremenimo spremenljivke (uvedimo nove spremenljivke)
dobimo matrico
() nesingularna linearna transformacija, zaradi katere ima kvadratna oblika (10.1) naslednjo obliko
S kvadratno obliko 
Naredimo enako kot v 1. točki.
2.1. Če je vodilna spremenljivka spremenljivka , potem lahko to storite na dva načina: bodisi izberete celoten kvadrat za to spremenljivko ali izvedete preimenovanje (preštevilčenje) spremenljivke:
z nesingularno transformacijsko matriko:
.
Točka 3 (ustvarjanje vodilne spremenljivke). Izbrani par spremenljivk nadomestimo z vsoto in razliko dveh novih spremenljivk, preostale stare spremenljivke pa nadomestimo z ustreznimi novimi spremenljivkami. Če je bil na primer v 1. odstavku poudarjen izraz
potem ima ustrezna sprememba spremenljivk obliko
in v kvadratni obliki (10.1) bomo dobili vodilno spremenljivko.
Na primer, v primeru spreminjanja spremenljivk:
matrika te nesingularne linearne transformacije ima obliko
.
Kot rezultat zgornjega algoritma (zaporedna uporaba točk 1, 2, 3) bo kvadratna oblika (10.1) reducirana na kanonično obliko (10.6).
Upoštevajte, da smo kot rezultat transformacij, izvedenih na kvadratni obliki (izbira celotnega kvadrata, preimenovanje in ustvarjanje vodilne spremenljivke), uporabili elementarne nesingularne matrike treh vrst (so matrike prehoda od baze do baze). Zahtevano matriko nesingularne linearne transformacije (10.4), pod katero ima oblika (10.1) kanonično obliko (10.6), dobimo z množenjem končnega števila elementarnih nesingularnih matrik treh vrst. ■
Primer 10.2. Podajte kvadratno obliko
v kanonično obliko po Lagrangeovi metodi. Označite ustrezno nesingularno linearno transformacijo. Izvedite preverjanje.
rešitev. Izberimo vodilno spremenljivko (koeficient). Združevanje izrazov, ki vsebujejo , In izbiro celotnega kvadrata iz njega, dobimo
kjer je navedeno
Spremenimo spremenljivke (uvedimo nove spremenljivke)
Izražanje starih spremenljivk z novimi:
dobimo matrico
220400 Algebra in geometrija Tolstikov A.V.
Predavanja 16. Bilinearne in kvadratne oblike.
Načrtujte
1. Bilinearna oblika in njene lastnosti.
2. Kvadratna oblika. Matrika kvadratne oblike. Transformacija koordinat.
3. Redukcija kvadratne oblike na kanonično obliko. Lagrangeova metoda.
4. Vztrajnostni zakon kvadratnih oblik.
5. Redukcija kvadratne oblike na kanonično obliko z uporabo metode lastnih vrednosti.
6. Silverstov kriterij za pozitivno določenost kvadratne oblike.
1. Tečaj analitične geometrije in linearne algebre. M.: Nauka, 1984.
2. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Elementi linearne algebre in analitične geometrije. 1997.
3. Voevodin V.V. Linearna algebra.. M.: Nauka 1980.
4. Zbirka nalog za fakultete. Linearna algebra in osnove matematične analize. Ed. Efimova A.V., Demidovich B.P.. M.: Nauka, 1981.
5. Butuzov V.F., Krutitskaya N.Ch., Šiškin A.A. Linearna algebra v vprašanjih in nalogah. M.: Fizmatlit, 2001.
, , , ,
1. Bilinearna oblika in njene lastnosti. Pustiti V - n-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem p.
Definicija 1.Bilinearna oblika, opredeljeno dne V, tako preslikavo imenujemo g: V 2 ® p, ki vsakemu naročenemu paru ( x , l ) vektorji x , l od vnese V ujemaj številko iz polja p, označeno g(x , l ), in linearni v vsaki od spremenljivk x , l , tj. ki ima lastnosti:
1) ("x , l , z Î V)g(x + l , z ) = g(x , z ) + g(l , z );
2) ("x , l Î V) ("a O p)g(a x , l ) = a g(x , l );
3) ("x , l , z Î V)g(x , l + z ) = g(x , l ) + g(x , z );
4) ("x , l Î V) ("a O p)g(x , a l ) = a g(x , l ).
Primer 1. Vsak pikčasti produkt, definiran v vektorskem prostoru V je bilinearna oblika.
2 . funkcija h(x , l ) = 2x 1 l 1 - x 2 l 2 +x 2 l 1 kje x = (x 1 ,x 2), l = (l 1 ,l 2)O R 2, bilinearna oblika naprej R 2 .
Definicija 2. Pustiti v = (v 1 , v 2 ,…, v n V.Matrika bilinearne oblikeg(x , l ) glede na osnovov imenovana matrika B=(b ij)n ´ n, katerega elementi se izračunajo po formuli b ij = g(v jaz, v j):
Primer 3. Bilinearna matrika h(x , l ) (glej primer 2) glede na osnovo e 1 = (1,0), e 2 = (0,1) je enako .
1. izrek. PustitiX, Y - koordinatni stolpci vektorjevx , l v osnoviv, B - matrika bilinearne oblikeg(x , l ) glede na osnovov. Nato lahko bilinearno obliko zapišemo kot
g(x , l )=X t BY. (1)
Dokaz. Iz lastnosti bilinearne oblike dobimo
Primer 3. Bilinearna oblika h(x
,
l
) (glej primer 2) lahko zapišemo v obliki h(x
, l
)=
.
2. izrek. Pustiti v = (v 1 , v 2 ,…, v n), u = (u 1 , u 2 ,…, u n) - dve vektorski vesoljski baziV, T - matrika prehoda iz osnovev na osnovou. Pustiti B= (b ij)n ´ n in Z=(z ij)n ´ n - bilinearne matrikeg(x , l ) oziroma glede na bazev inu. Potem
Z=T t BT.(2)
Dokaz. Z definicijo matrike prehoda in matrike bilinearne oblike najdemo:
Definicija 2. Bilinearna oblika g(x , l ) je poklican simetrično, Če g(x , l ) = g(l , x ) za katero koli x , l Î V.
Izrek 3. Bilinearna oblikag(x , l )- simetrična, če in samo če je matrika bilinearne oblike simetrična glede na katero koli bazo.
Dokaz. Pustiti v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - osnova vektorskega prostora V, B= (b ij)n ´ n- matrike bilinearne oblike g(x , l ) glede na osnovo v. Naj bilinearna oblika g(x , l ) - simetrično. Potem je po definiciji 2 za katerikoli jaz, j = 1, 2,…, n imamo b ij = g(v jaz, v j) = g(v j, v jaz) = b ji. Nato matrica B- simetrično.
Nasprotno pa naj matrika B- simetrično. Potem Bt= B in za vse vektorje x = x 1 v 1 + …+ x n v n =vX, l = l 1 v 1 + l 2 v 2 +…+ y n v n =vY Î V, po formuli (1) dobimo (upoštevamo, da je število matrika reda 1 in se med transpozicijo ne spreminja)
g(x , l ) =g(x , l )t = (X t BY)t = Y t B t X = g(l , x ).
2. Kvadratna oblika. Matrika kvadratne oblike. Transformacija koordinat.
Definicija 1.Kvadratna oblika opredeljeno na V, imenovano kartiranje f:V® p, ki za kateri koli vektor x od V je določena z enakostjo f(x ) = g(x , x ), Kje g(x , l ) je simetrična bilinearna oblika, definirana na V .
Lastnost 1.Glede na dano kvadratno oblikof(x )bilinearno obliko najdemo enolično s formulo
g(x , l ) = 1/2(f(x + l ) - f(x )-f(l )). (1)
Dokaz. Za vse vektorje x , l Î V dobimo iz lastnosti bilinearne oblike
f(x + l ) = g(x + l , x + l ) = g(x , x + l ) + g(l , x + l ) = g(x , x ) + g(x , l ) + g(l , x ) + g(l , l ) = f(x ) + 2g(x , l ) + f(l ).
Iz tega sledi formula (1).
Definicija 2.Matrika kvadratne oblikef(x ) glede na osnovov = (v 1 , v 2 ,…, v n) je matrika ustrezne simetrične bilinearne oblike g(x , l ) glede na osnovo v.
1. izrek. PustitiX= (x 1 ,x 2 ,…, x n)t- koordinatni stolpec vektorjax v osnoviv, B - matrika kvadratne oblikef(x ) glede na osnovov. Nato kvadratna oblikaf(x )
