Kako je Diofant sestavljal in reševal kvadratne enačbe. Od tod enačba: (10+x)(10 -x) =96 ali: 100 - x2 =96 x2 - 4=0 (1) Rešitev x = -2 za Diofanta ne obstaja, saj je grška matematika poznala samo pozitivna števila. .

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt="Kvadratne enačbe v Indiji. ax2 + bx = c, a>0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}

Kvadratne enačbe v al-Khorezmi. 1) »Kvadrati so enaki koreni«, tj. ax2 + c = bx. 2) "Kvadrati so enaki številom", tj. ax2 = c. 3) "Korenine so enake številu", tj. ax = c. 4) »Kvadrati in števila so enaki korenom«, tj. ax2 + c = bx. 5) "Kvadrati in koreni so enaki številu", tj. ax2 + bx = c. 6) "Koreni in števila so enaki kvadratom," tj. bx + c = ax2.

Kvadratne enačbe v Evropi v 13. in 17. stoletju. x2 + bx = c, za vse možne kombinacije znakov koeficientov b, c je v Evropi šele leta 1544 oblikoval M. Stiefel.

O Vietovem izreku. "Če je B + D krat A - A 2 enako BD, potem je A enako B in enako D." V jeziku sodobne algebre zgornja formulacija Vieta pomeni: če je (a + b)x - x2 = ab, tj. x2 - (a + b)x + ab = 0, potem je x1 = a, x2 = b.

Metode reševanja kvadratnih enačb. 1. METODA: faktoriziranje leve strani enačbe. Rešimo enačbo x2 + 10 x - 24 = 0. Razložimo levo stran na faktorje: x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12) (x - 2). Zato lahko enačbo prepišemo na naslednji način: (x + 12)(x - 2) = 0 Ker je produkt enak nič, je vsaj eden od njegovih faktorjev enak nič. Zato leva stran enačbe postane nič pri x = 2 in tudi pri x = - 12. To pomeni, da sta številu 2 in - 12 korena enačbe x2 + 10 x - 24 = 0.

2. METODA: Metoda ekstrakcije polnega kvadrata. Rešimo enačbo x2 + 6 x - 7 = 0. Izberimo celoten kvadrat na levi strani. Za to zapišemo izraz x2 + 6 x v naslednji obliki: x2 + 6 x = x2 + 2 x 3. V dobljenem izrazu je prvi člen kvadrat števila x, drugi pa dvojnik produkt x s 3. Če želite torej dobiti celoten kvadrat, morate dodati 32, saj je x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2. Zdaj preoblikujemo levo stran enačbe x2 + 6 x - 7 = 0, ji prištejemo in odštejemo 32. Imamo: x2 + 6 x - 7 = x2 + 2 x 3 + 32 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3)2 - 16. Tako lahko to enačbo zapišemo takole: (x + 3)2 - 16 = 0, (x + 3)2 = 16. Zato je x + 3 - 4 = 0, x1 = 1 ali x + 3 = -4, x2 = -7.

3. METODA: Reševanje kvadratnih enačb po formuli. Pomnožimo obe strani enačbe ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 s 4 a in zaporedno imamo: 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0, ((2 ax)2 + 2 ax b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 ax + b)2 = b 2 - 4 ac, 2 ax + b = ± √ b 2 - 4 ac, 2 ax = - b ± √ b 2 - 4 ac,

4. METODA: Reševanje enačb z uporabo Vietovega izreka. Kot je znano, ima reducirana kvadratna enačba obliko x2 + px + c = 0. (1) Njeni koreni zadoščajo Vietovemu izreku, ki ima za a = 1 obliko x 1 x 2 = q, x 1 + x 2 = - p a) x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 in x 2 = 1, saj je q = 2 > 0 in p = - 3 0 in p = 8 > 0. b) x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 in x 2 = 1, saj je q= - 5 0; x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 in x 2 = - 1, ker je q = - 9

5. METODA: Reševanje enačb z metodo »metanja«. Razmislimo o kvadratni enačbi ax2 + bx + c = 0, kjer je a ≠ 0. Če obe strani pomnožimo z a, dobimo enačbo a 2 x2 + abx + ac = 0. Naj bo ax = y, od koder je x = y/a; potem pridemo do enačbe y2 + by + ac = 0, ki je enakovredna dani. Njegovi korenini y1 in y2 najdemo z uporabo Vietovega izreka. Končno dobimo x1 = y1/a in x1 = y2/a.

Primer. Rešimo enačbo 2 x2 – 11 x + 15 = 0. Rešitev. "Vrzimo" koeficient 2 na prosti člen, kot rezultat dobimo enačbo y2 – 11 y + 30 = 0. Po Vietovem izreku je y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2 Odgovor: 2, 5; 3. x 1 = 2. 5 x 2 = 3.

6. METODA: Lastnosti koeficientov kvadratne enačbe. A. Naj bo podana kvadratna enačba ax2 + bx + c = 0, kjer je a ≠ 0. 1) Če je a + b + c = 0 (tj. vsota koeficientov je nič), potem je x1 = 1, x2 = c/ A. Dokaz. Če obe strani enačbe delimo z a ≠ 0, dobimo reducirano kvadratno enačbo x 2 + b/a x + c/a = 0. Po Vietovem izreku je x 1 + x 2 = - b/a, x 1 x 2 = 1 c/a. Po pogoju je a – b + c = 0, od koder je b = a + c. Tako je x 1 + x 2 = - a + b/a= -1 – c/a, x 1 x 2 = - 1 (- c/a), tj. x1 = -1 in x2 = c/ a, kar je kar je bilo treba dokazati.

B. Če je drugi koeficient b = 2 k sodo število, potem je formula za korenine B. Zgornja enačba x2 + px + q = 0 sovpada s splošno enačbo, v kateri je a = 1, b = p in c = q. Zato je za pomanjšano kvadratno enačbo korenska formula

7. METODA: Grafično reševanje kvadratne enačbe. Če v enačbi x2 + px + q = 0 premaknemo drugi in tretji člen na desno stran, dobimo x2 = - px - q. Zgradimo grafa odvisnosti y = x2 in y = - px - q.

Primer 1) Rešimo grafično enačbo x2 - 3 x - 4 = 0 (slika 2). rešitev. Enačbo zapišimo v obliki x2 = 3 x + 4. Konstruirajmo parabolo y = x2 in premico y = 3 x + 4. Premico y = 3 x + 4 lahko konstruiramo z dvema točkama M (0; 4) in N (3; 13) . Odgovor: x1 = - 1; x2 = 4

8. METODA: Reševanje kvadratnih enačb s šestilom in ravnilom. iskanje korenin kvadratnega šestila in ravnila (slika 5). enačbe Potem imamo po sekantnem izreku OB OD = OA OC, od koder je OC = OB OD/ OA = x1 x2/ 1 = c/a. ax2 + bx + c = 0 z uporabo

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="1) Polmer kroga je večji od ordinate središča (AS > SK ali R > a +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.!}

9. METODA: Reševanje kvadratnih enačb z nomogramom. z 2 + pz + q = 0. Krivočrtna lestvica nomograma je zgrajena po formulah (slika 11): Ob predpostavki OS = p, ED = q, OE = a (vse v cm), Iz podobnosti trikotnikov SAN in CDF dobimo delež

Primeri. 1) Za enačbo z 2 - 9 z + 8 = 0 nomogram podaja korena z 1 = 8, 0 in z 2 = 1, 0 (slika 12). 2) Z nomogramom rešimo enačbo 2 z 2 - 9 z + 2 = 0. Koeficiente te enačbe delimo z 2, dobimo enačbo z 2 - 4, 5 z + 1 = 0. Nomogram daje korena z 1 = 4 in z 2 = 0, 5. 3) Za enačbo z 2 - 25 z + 66 = 0 sta koeficienta p in q zunaj lestvice, izvedemo zamenjavo z = 5 t, dobimo enačba t 2 - 5 t + 2, 64 = 0, ki jo rešimo z nomogrami in dobimo t 1 = 0,6 in t 2 = 4, 4, iz česar z 1 = 5 t 1 = 3, 0 in z 2 = 5 t 2 = 22,0.

10. METODA: Geometrijska metoda reševanja kvadratnih enačb. Primeri. 1) Rešimo enačbo x2 + 10 x = 39. V izvirniku je ta problem formuliran takole: »Kvadratni in deseti koren sta enaka 39« (slika 15). Za zahtevano stran x prvotnega kvadrata dobimo

y2 + 6 y - 16 = 0. Rešitev je prikazana na sl. 16, kjer je y2 + 6 y = 16 ali y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. Rešitev. Izraza y2 + 6 y + 9 in 16 + 9 geometrijsko predstavljata isti kvadrat in izvirna enačba y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 je ista enačba. Iz tega dobimo, da je y + 3 = ± 5 ali y1 = 2, y2 = - 8 (slika 16).

Kvadratne enačbe v starodavnem Babilonu Potrebo po reševanju enačb ne le prve, ampak tudi druge stopnje, že v starih časih, je povzročila potreba po reševanju problemov, povezanih z iskanjem površin zemljišč in z izkopavanjem vojaške narave, pa tudi z razvojem same astronomije in matematike. Babilonci so bili sposobni reševati kvadratne enačbe približno 2000 let pred našo vero. Z uporabo sodobnega algebraičnega zapisa lahko rečemo, da so v njihovih klinopisnih besedilih poleg nepopolnih na primer popolne kvadratne enačbe: Pravilo za reševanje teh enačb, zapisano v babilonskih besedilih, sovpada s sodobnim, vendar ni znano, kako so Babilonci dobili tam pravila. Skoraj vsa doslej najdena klinopisna besedila predstavljajo le težave z rešitvami, ki so podane v obliki receptov, brez navedbe, kako so bile najdene. Kljub visoki stopnji razvoja algebre v Babiloniji klinopisnim besedilom manjka koncept negativnega števila in splošne metode za reševanje kvadratnih enačb.

Kako je Diofant sestavil in rešil kvadratne enačbe »Poišči dve števili, vedoč, da je njuna vsota 20 in njun produkt 96.« Diofant razmišlja takole: iz pogojev naloge sledi, da zahtevani števili nista enaki, ker če bi bila enaka, potem njun produkt ne bi bil 96, temveč 100. Tako bi bil eden od njiju več kot polovica njune vsote, tj. 10+X, drugo je manj, tj. 10-X. Razlika med njima je 2X, torej X=2. Eno od zahtevanih števil je 12, drugo 8. Rešitev X = -2 za Diofanta ne obstaja, saj je grška matematika poznala samo pozitivna števila. ENAČBA: ali:

Kvadratne enačbe v Indiji Težave o kvadratnih enačbah najdemo tudi v astronomski razpravi »Aryabhattiam«, ki jo je leta 499 sestavil indijski matematik in astronom Aryabhatta. Drugi indijski znanstvenik, Brahmagupta, je orisal splošno pravilo za reševanje kvadratnih enačb, zmanjšanih na eno samo kanonično obliko: ax ² +bx=c, a>0 Eden od problemov slavnega indijskega matematika iz 12. stoletja Bhaskara Jata živahnih opic , ki sta se v slast najedla, zabavala. Osmi del jih je na trgu Zabaval sem se na jasi. In dvanajst na trtah ... Začele so skakati med obešanjem ... Koliko opic je bilo, povejte mi, v tej jati? Enačba, ki ustreza problemu: Baskara zapiše pod obliko: Dopolnil levo stran do kvadrata, 0 Eden od problemov slavnega indijskega matematika iz 12. stoletja Bhaskare. Jata živahnih opic, ki so jedli v slast, se je zabavala. Osmi del jih je na trgu Zabaval sem se na jasi. In dvanajst na trtah ... Začele so skakati med obešanjem ... Koliko opic je bilo, povejte mi, v tej jati? Enačba, ki ustreza problemu: Baskara zapiše pod obrazec: Dopolnil levo stran do kvadrata,">

Kvadratne enačbe v starodavni Aziji Takole je srednjeazijski znanstvenik al-Khwarizmi rešil to enačbo: Zapisal je: »Pravilo je: podvojite število korenin, x = 2x 5, v tem problemu dobite pet, pomnožite 5 s tem enakim temu bo petindvajset, 5 ·5=25 to prištejte k devetintridesetim, štiriinšestdeset bo, 64 iz tega izvlecite koren, to bo osem, 8 in od tega odštejte polovico števila korenin, tj. pet, 8-5 bo ostalo 3, to bo kvadratni koren, ki sem ga iskal." Kaj pa drugi koren? Drugi koren ni bil najden, ker negativna števila niso bila znana. x x = 39

Kvadratne enačbe v Evropi XIII-XVII stoletja. Splošno pravilo za reševanje kvadratnih enačb, reduciranih na eno samo kanonično obliko x2+inx+c=0, je v Evropi oblikoval šele leta 1544. Formule za reševanje kvadratnih enačb v Evropi je leta 1202 prvi izrekel italijanski matematik Leonard Fibonacci. Izpeljava formule za reševanje kvadratne enačbe v splošni obliki je na voljo pri Viètu, vendar je Viète priznaval samo pozitivne korene. Šele v 17. stol. zahvaljujoč delom Descartesa, Newtona in drugih znanstvenikov dobi metoda reševanja kvadratnih enačb sodobno obliko

O Vietovem izreku Izrek, ki izraža razmerje med koeficienti kvadratne enačbe in njenimi koreni, ki nosi ime Vieta, je prvič formuliral leta 1591 takole: »Če je B + D, pomnoženo z A-A, enako BD, potem je A enak B in je enak D." Da bi razumeli Vieto, si je treba zapomniti, da je A kot vsak samoglasnik pomenil neznano (naš x), medtem ko sta samoglasnika B, D koeficienta za neznano. V jeziku sodobne algebre zgornja Vieta formulacija pomeni: Če ima dana kvadratna enačba x 2 +px+q=0 realne korene, potem je njihova vsota enaka -p, produkt pa je enak q, to ​​je, x 1 + x 2 = -p, x 1 x 2 = q (vsota korenin zgornje kvadratne enačbe je enaka drugemu koeficientu, vzetem z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je enak prostemu členu ).

Metoda faktorizacije pripelje splošno kvadratno enačbo do oblike: A(x)·B(x)=0, kjer sta A(x) in B(x) polinoma glede na x. Cilj: vzeti skupni faktor iz oklepaja; Uporaba formul za skrajšano množenje; Metoda združevanja. Metode: Primer:

Korenine kvadratne enačbe: če je D>0, če je D 0, če je D"> 0, če je D"> 0, če je D" title="Korenine kvadratne enačbe: če je D>0, če je D"> title="Korenine kvadratne enačbe: če je D>0, če je D"> !}

X 1 in x 2 – korena enačbe Reševanje enačb z uporabo Vietovega izreka X 2 + 3X – 10 = 0 X 1 · X 2 = – 10, kar pomeni, da imajo koreni različne predznake X 1 + X 2 = – 3, kar pomeni koren ima večji modul - negativen Z izbiro najdemo korene: X 1 = – 5, X 2 = 2 Na primer:

0, z izrekom, inverznim Vietovemu izreku, dobimo korene: 5;6, nato se vrnemo h korenom prvotne enačbe: 2,5; 3. Odgovor: 2,5; 3. Rešitev enačbe" title="Reši enačbo: 2x 2 - 11x +15 = 0. Prenesimo koeficient 2 na prosti člen 2 - 11y +30= 0. D>0, glede na izreku, inverznemu izreku Vieta, dobimo korene: 5;6, nato pa se vrnemo na korene izhodiščne enačbe: 3. Odgovor: 2,5;" class="link_thumb"> 14 !} Reši enačbo: 2x x +15 = 0. Prenesimo koeficient 2 na prosti člen y y +30= 0. D>0, po izreku, inverznem Vietovemu izreku, dobimo korene: 5;6, potem dobimo vrnitev h koreninam prvotne enačbe: 2, 5; 3. Odgovor: 2,5; 3. Reševanje enačb z metodo »meta«. 0, z izrekom, inverznim Vietovemu izreku, dobimo korene: 5;6, nato se vrnemo h korenom prvotne enačbe: 2,5; 3. Odgovor: 2,5; 3. Rešitev enačbe "> 0, po izreku, inverznem Vietovemu izreku, dobimo korene: 5;6, nato se vrnemo h korenom prvotne enačbe: 2,5; 3. Odgovor: 2,5; 3. Rešitev enačb z metodo »prenosa«.« > 0, z izrekom, inverznim Vietovemu izreku, dobimo korene: 5;6, nato se vrnemo h korenom prvotne enačbe: 2,5; 3. Odgovor: 2,5; 3. Rešitev enačbe" title="Reši enačbo: 2x 2 - 11x +15 = 0. Prenesimo koeficient 2 na prosti člen 2 - 11y +30= 0. D>0, glede na izreku, inverznemu izreku Vieta, dobimo korene: 5;6, nato pa se vrnemo na korene izhodiščne enačbe: 3. Odgovor: 2,5;"> title="Rešimo enačbo: 2x 2 - 11x +15 = 0. Koeficient 2 prenesemo na prosti člen y 2 - 11y +30= 0. D>0, z izrekom, inverznim Vietovemu izreku, dobimo korene: 5; 6, potem se vrnemo h koreninam prvotnih enačb: 2,5; 3. Odgovor: 2,5; 3. Rešitev enačbe"> !}

Če je v kvadratni enačbi a+b+c=0, potem je eden od korenov enak 1, drugi pa je po Vietovem izreku enak drugemu po Vietovem izreku Če je v kvadratni enačbi a+c=b , potem je eden od korenov enak (-1), drugi pa je po Vietovem izreku enak Primer: Lastnosti koeficientov kvadratne enačbe 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, odgovor: 1; 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, odgovor: 1;

Grafična metoda reševanja kvadratne enačbe Brez uporabe formul lahko kvadratno enačbo rešimo grafično. Rešimo enačbo, zgradimo dva grafa: X Y X 01 Y012 Odgovor: Abscise presečišč grafov bodo korenine enačbe. Če se grafa sekata v dveh točkah, ima enačba dva korena. Če se grafa sekata v eni točki, ima enačba en koren. Če se grafa ne sekata, potem enačba nima korenin. 1)y=x2 2)y=x+1

Reševanje kvadratnih enačb z uporabo nomograma To je stara in nezasluženo pozabljena metoda reševanja kvadratnih enačb, ki je objavljena na str. 83 “Štirimestne matematične tabele” Bradis V.M. Preglednica XXII. Nomogram za reševanje enačbe Ta nomogram omogoča, brez reševanja kvadratne enačbe, določitev korenov enačbe iz njenih koeficientov. Za enačbo nomogram daje korenine

Geometrijska metoda za reševanje kvadratnih enačb V starih časih, ko je bila geometrija bolj razvita od algebre, kvadratnih enačb niso reševali algebraično, ampak geometrijsko. Ampak, na primer, kako so stari Grki rešili enačbo: ali izrazi in geometrijsko predstavljajo isti kvadrat, prvotna enačba pa je ista enačba. Kje kaj dobimo, oz

Zaključek Te metode reševanja si zaslužijo pozornost, saj se vse ne odražajo v šolskih učbenikih matematike; obvladovanje teh tehnik bo študentom pomagalo prihraniti čas in učinkovito reševati enačbe; potreba po hitri rešitvi je posledica uporabe testnega sistema za sprejemne izpite;

Zgodovina razvoja rešitev kvadratnih enačb

Aristotel

D.I.Mendelejev

Poiščite stranice polja v obliki pravokotnika, če je njegova površina 12 , A

Razmislimo o tem problemu.

• Naj bo x dolžina polja, nato njegova širina,
• – njegovo območje.
• Sestavimo kvadratno enačbo:
• Papirus podaja pravilo za rešitev: "Deli 12 s."
• 12: .
• Torej, .
• "Dolžina polja je 4," navaja papirus.

• Zmanjšana kvadratna enačba
• kje so realna števila.

V enem od babilonskih problemov je bilo treba določiti tudi dolžino pravokotnega polja (označimo ga) in njegovo širino ().

Če dodate dolžino in dve širini pravokotnega polja, dobite 14, površina polja pa je 24. Poiščite njegove stranice.

Ustvarimo sistem enačb:

Od tu dobimo kvadratno enačbo.

Da jo rešimo, izrazu dodamo določeno število,

da dobimo celoten kvadrat:

Zato,.

V bistvu kvadratna enačba

Ima dva korena:

• DIOFANT
• Starogrški matematik, ki naj bi živel v 3. stoletju pr. e. Avtor knjige "Aritmetika" - knjige, posvečene reševanju algebrskih enačb.
• Dandanes "diofantske enačbe" običajno pomenijo enačbe s celimi koeficienti, katerih rešitve je treba najti med celimi števili. Diofant je bil tudi eden prvih, ki je razvil matematični zapis.

"Poišči dve števili, pri čemer veš, da je njuna vsota 20 in njun produkt 96."

Eno od števil bo več kot polovica njihove vsote, to je 10+, medtem ko bo drugo manj, to je 10-.

Zato enačba ()()=96

Predstavimo enega od problemov slavnih

Indijski matematik iz 12. stoletja Bhaskara:

Jata živahnih opic

Ko sem se do sitega najedla, sem se zabavala.

Osmi del jih je na kvadrat

Zabaval sem se na jasi.

In dvanajst po trtah...

Začeli so skakati, viseti ...

Koliko opic je bilo tam?

Povej mi, v tem paketu?

• Bhaskarina rešitev kaže, da je vedel, da so koreni kvadratnih enačb dvovredni.
• Ustrezna rešitev enačbe

• Bhaskara zapiše v obrazec in za dokončanje leve strani te enačbe na kvadrat obema stranema dodamo 32 2, tako da dobimo

“AL-JEBR” – OBNOVA – AL-KHWAZMI JE IMENOVAL OPERACIJO IZKLJUČEVANJA NEGATIVNIH ČLENOV IZ OBEH DELOV ENAČBE Z DODANJEM ENAKIH ČLENOV, VENDAR NASPROTNEGA V PREZNAKU.

“AL-MUQABALAH” – KONTRASTICIJA – ZMANJŠANJE PODOBNIH ČLENOV V DELIH ENAČBE.

PRAVILO "AL-JEBR"

PRI REŠEVANJU ENAČBE

ČE V PRVEM DELU,

NI POMEMBNO KAJ

SPOZNAJTE NEGATIVNEGA ČLANA,

SMO NA OBA DELA

DALI BOMO ENAKOPRAVNEGA ČLANA,

SAMO Z DRUGIM ZNAKOM,

IN NAŠLI BOMO POZITIVEN REZULTAT.

1) kvadrati so enaki koreninam, to je;

2) kvadrati so enaki številkam, to je;

3) korenine so enake številu, to je;

4) kvadrati in števila so enaki koreninam, tj.

5) kvadrati in koreni so enaki številu, tj.

6) koreni in števila so enaki kvadratom, tj.

Naloga . Kvadrat in število 21 sta enaka 10 korenin. Poiščite koren.

rešitev. Število korenin razdelite na polovico - dobite 5, pomnožite 5 s samim seboj,

Od zmnožka odštejte 21 in ostane 4.

Vzemite koren iz 4 in dobite 2.

Odštejte 2 od 5 - dobite 3, to bo želeni koren. Ali pa ga dodajte k 5, kar daje 7, to je tudi koren.

Fibonacci se je rodil v italijanskem trgovskem središču Pisa, verjetno v 1170. letih. . Leta 1192 je bil imenovan za predstavnika pisanske trgovske kolonije v Severni Afriki. Na očetovo željo se je preselil v Alžirijo in tam študiral matematiko. Leta 1200 se je Leonardo vrnil v Piso in začel pisati svoje prvo delo, Knjigo o abaku. [ . Po mnenju zgodovinarja matematike A.P. Juškeviča Abakova knjiga »se močno dviga nad evropsko aritmetično-algebraično literaturo 12.-14. stoletja z raznolikostjo in močjo metod, bogastvom problemov, dokazi predstavitve ... Poznejši matematiki so iz nje črpali tako probleme kot metode za njihovo reševanje ».

Narišimo funkcijo

• Graf je parabola, katere veje so usmerjene navzgor, saj

2) Koordinate vrha parabole

Govoril je W. Sawyer :

»Za človeka, ki študira algebro, je pogosto koristneje rešiti isti problem na tri različne načine kot rešiti tri ali štiri različne probleme. Pri reševanju ene težave z različnimi metodami lahko s primerjavami ugotovite, katera je krajša in učinkovitejša. Tako se razvijajo izkušnje.”

"Mesto je enotnost različnosti"

Aristotel

"Število, izraženo kot decimalni znak, lahko enako berejo Nemec, Rus, Arabec in Jenki."

a) Kvadratne enačbe v starem Babilonu

Potreba po reševanju enačb ne samo prve, ampak tudi druge stopnje, že v starih časih, je nastala zaradi potrebe po reševanju problemov, povezanih z iskanjem površin zemljišč in z izkopavanji vojaške narave, kot tudi tako kot pri samem razvoju astronomije in matematike. Kvadratne enačbe je bilo mogoče rešiti okoli leta 2000 pr. Babilonci. Z uporabo sodobnega algebraičnega zapisa lahko rečemo, da so v njihovih klinopisnih besedilih poleg nepopolnih tudi takšne, na primer, popolne kvadratne enačbe:

x 2 + x = , x 2 – x = 14

Pravilo za reševanje teh enačb, zapisano v babilonskih besedilih, se v bistvu ujema s sodobnim, vendar ni znano, kako so Babilonci prišli do tega pravila. Skoraj vsa doslej najdena klinopisna besedila ponujajo samo probleme z rešitvami, ki so podane v obliki receptov, brez navedbe, kako so bili najdeni.

Kljub visoki stopnji razvoja algebre v Babilonu klinopisnim besedilom manjka koncept negativnega števila in splošne metode za reševanje kvadratnih enačb.

Diofantova Aritmetika ne vsebuje sistematičnega prikaza algebre, vsebuje pa sistematično vrsto problemov, ki jih spremljajo razlage in se rešujejo s sestavljanjem enačb različnih stopenj.

Pri sestavljanju enačb Diofant spretno izbira neznanke, da poenostavi rešitev.

Tukaj je na primer ena od njegovih nalog.

Problem 2. "Poišči dve števili, pri čemer veš, da je njuna vsota 20 in produkt 96."

Diofant razmišlja takole: iz pogojev problema sledi, da zahtevana števila niso enaka, saj če bi bila enaka, potem njihov produkt ne bi bil enak 96, ampak 100. Tako bo eno od njih več kot polovica njihove vsote, tj. 10 + x. Drugi je manjši, tj. 10 - x. Razlika med njima je 2x. Od tod enačba:

(10+x)(10-x) =96,

oz

Zato je x = 2. Eno od zahtevanih števil je 12, drugo 8. Rešitev x = - 2 za Diofanta ne obstaja, saj je grška matematika poznala samo pozitivna števila.

Če to nalogo rešite tako, da kot neznanko izberete eno od zahtevanih števil, lahko pridete do rešitve enačbe:

Jasno je, da z izbiro polovične razlike zahtevanih števil kot neznanke Diofant poenostavi rešitev; uspe mu zmanjšati problem na reševanje nepopolne kvadratne enačbe.
b) Kvadratne enačbe v Indiji.

Težave s kvadratnimi enačbami najdemo že v astronomski razpravi "Aryabhattiam", ki jo je leta 499 sestavil indijski matematik in astronom Aryabhatta. Drugi indijski znanstvenik, Brahmagupta (7. stoletje), je določil splošno pravilo za reševanje kvadratnih enačb, zmanjšanih na eno samo kanonično obliko.

Oh 2 + bx = c, a > 0

V enačbi so koeficienti razen A, je lahko negativna. Brahmaguptino pravilo je v bistvu enako našemu.

Javna tekmovanja pri reševanju težkih problemov so bila v Indiji običajna. Ena od starih indijskih knjig pravi o tovrstnih tekmovanjih tole: »Kakor sonce zasenči zvezde s svojim sijajem, tako bo učen človek zasenčil svojo slavo na javnih zborovanjih s predlaganjem in reševanjem algebrskih problemov.« Problemi so bili pogosto predstavljeni v poetični obliki.

To je eden od problemov slavnega indijskega matematika iz 12. stoletja. Bhaskars.

Naloga 3.

Enačba, ki ustreza problemu 3, je:

Bhaskara piše pod krinko:

x 2 - 64x = - 768

in za dokončanje leve strani te enačbe na kvadrat obema stranema prišteje 32 2, pri čemer dobimo:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

c) Kvadratne enačbe Al-Khorezmija

Al-Khwarizmijeva algebraična razprava podaja klasifikacijo linearnih in kvadratnih enačb. Avtor šteje 6 vrst enačb, ki jih izrazi na naslednji način:

1. 
   »Kvadrati so enaki korenom«, tj. ax 2 = bx.
2. 
   »Kvadrati so enaki številom«, tj. ax 2 = c.
3. 
   "Korenine so enake številu", tj. ax = c.
4. 
   »Kvadrati in števila so enaki korenom«, tj. ax 2 + c = bx.
5. 
   "Kvadrati in koreni so enaki številu," tj. ax 2 + bx = c.
6. 
   "Koreni in števila so enaki kvadratom," tj. bx + c == ax 2.

Dajmo primer.

Naloga 4. »Kvadrat in število 21 sta enaka 10 korenin. Poišči koren” (kar pomeni koren enačbe x 2 + 21 = 10x).

Rešitev: število korenov razdelite na pol, dobite 5, pomnožite 5 s samim seboj, od zmnožka odštejte 21, ostane 4. Izvlecite koren iz 4, dobite 2. Odštejte 2 od 5, dobite 3, to bo želeni koren. Ali dodajte 2 k 5, kar daje 7, to je tudi koren.

Al-Khorezmijeva razprava je prva knjiga, ki je prišla do nas, ki sistematično določa klasifikacijo kvadratnih enačb in daje formule za njihovo rešitev.

d) Kvadratne enačbe v Evropi v 13.-17. stoletju.

Formule za reševanje kvadratnih enačb po zgledu al-Hvarizmija v Evropi so bile prvič navedene v »Knjigi o abaku«, ki jo je leta 1202 napisal italijanski matematik Leonardo Fibonacci. To obsežno delo, ki odraža vpliv matematike iz islamskih držav in stare Grčije, odlikujeta celovitost in jasnost predstavitve. Avtor je samostojno razvil nekaj novih algebrskih primerov reševanja nalog in prvi v Evropi pristopil k uvajanju negativnih števil. Njegova knjiga je prispevala k širjenju algebraičnega znanja ne samo v Italiji, ampak tudi v Nemčiji, Franciji in drugih evropskih državah. Številne naloge iz Abakove knjige so bile uporabljene v skoraj vseh evropskih učbenikih 16.–17. in deloma XVIII.

Splošno pravilo za reševanje kvadratnih enačb, reduciranih na eno samo kanonično obliko

x 2 + bx = c,

za vse možne kombinacije predznakov koeficientov b, z je v Evropi šele leta 1544 oblikoval M. Stiefel.

Izpeljava formule za reševanje kvadratne enačbe v splošni obliki je na voljo v Vieti, vendar je Vieta priznavala samo pozitivne korene. Med prvimi v 16. stoletju so bili italijanski matematiki Tartaglia, Cardano, Bombelli. Poleg pozitivnih se upoštevajo tudi negativni koreni. Šele v 17. stol. Zahvaljujoč delom Girarda, Descartesa, Newtona in drugih znanstvenikov je metoda reševanja kvadratnih enačb dobila sodobno obliko.

Začetki algebraičnih metod za reševanje praktičnih problemov so povezani z znanostjo starega sveta. Kot je znano iz zgodovine matematike, je bil velik del problemov matematične narave, ki so jih rešili egipčanski, sumerski, babilonski pisarji-kalkulatorji (XX-VI stoletja pred našim štetjem), računalniške narave. Toda že takrat so se občasno pojavljale težave, pri katerih je bila želena vrednost količine določena z nekaterimi posrednimi pogoji, ki so z našega sodobnega vidika zahtevali sestavo enačbe ali sistema enačb. Sprva so se za reševanje takšnih problemov uporabljale aritmetične metode. Kasneje so se začeli oblikovati zametki algebraičnih konceptov. Na primer, babilonski kalkulatorji so lahko rešili probleme, ki jih je z vidika sodobne klasifikacije mogoče zmanjšati na enačbe druge stopnje. Nastala je metoda za reševanje besedilnih nalog, ki je kasneje služila kot osnova za izolacijo algebraične komponente in njeno samostojno študijo.

To študijo so izvedli v drugem obdobju, najprej arabski matematiki (VI-X stoletja našega štetja), ki so identificirali značilne ukrepe, s katerimi so bile enačbe privedene v standardno obliko: prinašanje podobnih členov, prenos členov iz enega dela enačbe v drugega z sprememba predznaka. In potem evropski matematiki renesanse, ki so kot rezultat dolgega iskanja ustvarili jezik moderne algebre, uporabo črk, uvedbo simbolov za računske operacije, oklepaje itd. Na prelomu 16. 17. stoletja. algebra kot poseben del matematike s svojim predmetom, metodo in področji uporabe se je že oblikovala. Njen nadaljnji razvoj vse do našega časa je bil sestavljen iz izboljšav metod, širjenja obsega uporabe, razjasnitve konceptov in njihovih povezav s koncepti drugih vej matematike.

Torej, glede na pomen in obsežnost gradiva, povezanega s konceptom enačbe, je njeno preučevanje v sodobnih matematičnih metodah povezano s tremi glavnimi področji njenega izvora in delovanja.

Ministrstvo za izobraževanje Ruske federacije

Mestna izobraževalna ustanova

"Srednja šola št. 22"

Kvadratne enačbe in enačbe višjega reda

Dokončano:

Učenci 8 "B" razreda

Evgenij Kuznecov in Aleksej Rudi

Nadzornik:

Zenina Alevtina Dmitrievna

učiteljica matematike

Uvod

1.1 Enačbe v starem Babilonu

1.2 Arabske enačbe

1.3 Enačbe v Indiji

Poglavje 2. Teorija kvadratnih enačb in enačb višjega reda

2.1 Osnovni pojmi

2.2 Formule za sodi koeficient pri x

2.3 Vietov izrek

2.4 Kvadratne enačbe posebne narave

2.5 Vietov izrek za polinome (enačbe) višjih stopenj

2.6 Enačbe, zvodljive na kvadratne (bikvadratne)

2.7 Preučevanje bikvadratnih enačb

2.8 Formule Cordano

2.9 Simetrične enačbe tretje stopnje

2.10 Recipročne enačbe

2.11 Hornerjeva shema

Zaključek

Bibliografija

Priloga 1

Dodatek 2

Dodatek 3

Uvod

Enačbe zasedajo vodilno mesto v šolskem tečaju algebre. Njihovemu študiju se posveti več časa kot kateri koli drugi temi. Dejansko enačbe nimajo le pomembnega teoretičnega pomena, ampak služijo tudi povsem praktičnim namenom. Ogromno število problemov o prostorskih oblikah in kvantitativnih razmerjih v resničnem svetu se zmanjša na reševanje različnih vrst enačb. Z obvladovanjem načinov njihovega reševanja najdemo odgovore na različna vprašanja iz znanosti in tehnike (promet, kmetijstvo, industrija, komunikacije itd.).

V tem eseju bi rad prikazal formule in metode za reševanje različnih enačb. V ta namen so podane enačbe, ki se ne obravnavajo v šolskem kurikulumu. To so predvsem enačbe posebne narave in enačbe višjih stopenj. Za razširitev te teme so podani dokazi teh formul.

Cilji našega eseja:

Izboljšati veščine reševanja enačb

Razvijte nove načine za reševanje enačb

Naučite se nekaj novih načinov in formul za reševanje teh enačb.

Predmet študija je elementarna algebra. Predmet študija so enačbe. Izbira te teme je temeljila na dejstvu, da so enačbe vključene tako v osnovnošolski kurikulum kot v vsak naslednji razred srednjih šol, licejev in višjih šol. Številni geometrijski problemi, problemi v fiziki, kemiji in biologiji se rešujejo z enačbami. Enačbe so bile rešene pred petindvajsetimi stoletji. Nastajajo še danes - tako za uporabo v izobraževalnem procesu kot za tekmovalne izpite na univerzah, za olimpijade najvišje ravni.

Poglavje 1. Zgodovina kvadratnih enačb in enačb višjega reda

1.1 Enačbe v starem Babilonu

Algebra je nastala v povezavi z reševanjem različnih problemov z uporabo enačb. Običajno težave zahtevajo iskanje ene ali več neznank, pri čemer poznamo rezultate nekaterih dejanj, izvedenih na želenih in danih količinah. Takšni problemi se zmanjšajo na reševanje ene ali sistema več enačb, na iskanje zahtevanih z uporabo algebrskih operacij na danih količinah. Algebra proučuje splošne lastnosti operacij s količinami.

Nekatere algebrske tehnike za reševanje linearnih in kvadratnih enačb so poznali že pred 4000 leti v starem Babilonu. Potreba po reševanju enačb ne le prve, ampak tudi druge stopnje, že v starih časih, je nastala zaradi potrebe po reševanju problemov, povezanih z iskanjem območij zemljiških parcel in zemljiških del vojaške narave, pa tudi z razvojem same astronomije in matematike. Kot smo že omenili, so kvadratne enačbe rešili Babilonci okoli leta 2000 pr. Z uporabo sodobnega algebraičnega zapisa lahko rečemo, da se v njihovih klinopisnih besedilih pojavljajo nepopolne in popolne kvadratne enačbe.

Pravilo za reševanje teh enačb, zapisano v babilonskih besedilih, se v bistvu ujema s sodobnimi, vendar ni znano, kako so Babilonci prišli do tega pravila. Skoraj vsa doslej najdena klinopisna besedila ponujajo samo probleme z rešitvami, ki so podane v obliki receptov, brez navedbe, kako so bili najdeni.

Kljub visoki stopnji razvoja algebre v Babilonu klinopisnim besedilom manjka koncept negativnega števila in splošne metode za reševanje kvadratne enačbe.

1.2 Arabske enačbe

Nekatere metode za reševanje tako kvadratnih kot enačb višjega reda so razvili Arabci. Tako je slavni arabski matematik Al-Khorezmi v svoji knjigi "Al-Jabar" opisal številne načine reševanja različnih enačb. Njihova posebnost je bila v tem, da je Al-Khorezmi uporabljal kompleksne radikale za iskanje korenin (rešitev) enačb. Potreba po reševanju takih enačb je bila potrebna pri vprašanjih o delitvi dediščine.

1.3 Enačbe v Indiji

Kvadratne enačbe so reševali tudi v Indiji. Težave s kvadratnimi enačbami najdemo že v astronomski razpravi "Aryabhattiam", ki jo je leta 499 sestavil indijski matematik in astronom Aryabhatta. Drugi indijski znanstvenik, Brahmagupta (7. stoletje), je določil splošno pravilo za reševanje kvadratnih enačb, zmanjšanih na eno stožčasto obliko:

aх² + bx= c, kjer je a > 0

V tej enačbi so lahko koeficienti, razen a, negativni. Brahmaguptino pravilo je v bistvu enako našemu.

V starodavni Indiji so bila javna tekmovanja v reševanju težkih problemov običajna. Ena od starih indijskih knjig pravi o tovrstnih tekmovanjih naslednje: »Kakor sonce zasenči zvezde s svojim sijajem, tako bo učenec zasenčil slavo drugega na javnih zborovanjih, predlaganju in reševanju algebrskih problemov.« Problemi so bili pogosto predstavljeni v poetični obliki.

Različne enačbe, tako kvadratne kot enačbe višjih stopenj, so reševali že naši daljni predniki. Te enačbe so reševali v zelo različnih in oddaljenih državah. Potreba po enačbah je bila velika. Enačbe so bile uporabljene v gradbeništvu, v vojaških zadevah in v vsakdanjih situacijah.

Poglavje 2. Kvadratne enačbe in enačbe višjega reda

2.1 Osnovni pojmi

Kvadratna enačba je enačba oblike

kjer so koeficienti a, b, c poljubna realna števila in a ≠ 0.

Kvadratno enačbo imenujemo zmanjšana, če je njen vodilni koeficient 1.

Primer :

x 2 + 2x + 6 = 0.

Kvadratna enačba se imenuje nereducirana, če je vodilni koeficient drugačen od 1.

Primer :

2x 2 + 8x + 3 = 0.

Popolna kvadratna enačba je kvadratna enačba, v kateri so prisotni vsi trije členi, z drugimi besedami, je enačba, v kateri sta koeficienta b in c različna od nič.

Primer :

3x 2 + 4x + 2 = 0.

Nepopolna kvadratna enačba je kvadratna enačba, v kateri je vsaj en koeficient b, c enak nič.

Tako obstajajo tri vrste nepopolnih kvadratnih enačb:

1) ax² = 0 (ima dva sovpadajoča korena x = 0).

2) ax² + bx = 0 (ima dva korena x 1 = 0 in x 2 = -)

Primer :

x 1 = 0, x 2 = -5.

Odgovori: x 1 =0, x 2 = -5.

Če -<0 - уравнение не имеет корней.

Primer :

Odgovori: Enačba nima korenin.

Če je –> 0, potem je x 1,2 = ±

Primer :

Odgovori: x 1,2 =±

Vsako kvadratno enačbo je mogoče rešiti z uporabo diskriminante (b² - 4ac). Običajno je izraz b² - 4ac označen s črko D in se imenuje diskriminanta kvadratne enačbe ax² + bx + c = 0 (ali diskriminanta kvadratnega tričlena ax² + bx + c)

Primer :

x 2 +14x – 23 = 0

D = b 2 – 4ac = 144 + 92 = 256

x 2 =

Odgovori: x 1 = 1, x 2 = - 15.

Odvisno od diskriminante ima lahko enačba rešitev ali pa tudi ne.

1) Če D< 0, то не имеет решения.

2) Če je D = 0, ima enačba dve sovpadajoči rešitvi x 1,2 =

3) Če je D > 0, potem ima dve rešitvi, najdeni po formuli:

x 1,2 =

2.2 Formule za sodi koeficient pri x

Navajeni smo, da so korenine kvadratne enačbe

ax² + bx + c = 0 najdemo po formuli

x 1,2 =

Toda matematiki ne bodo nikoli zamudili priložnosti, da bi si olajšali izračune. Ugotovili so, da je to formulo mogoče poenostaviti v primeru, ko je koeficient b b = 2k, zlasti če je b sodo število.

Pravzaprav naj bo koeficient b kvadratne enačbe ax² + bx + c = 0 b = 2k. Če v našo formulo zamenjamo številko 2k namesto b, dobimo:

Torej lahko korenine kvadratne enačbe ax² + 2kx + c = 0 izračunamo po formuli:

x 1,2 =

Primer :

5x 2 - 2x + 1 = 0

Prednost te formule je v tem, da se ne kvadrira število b, ampak njegova polovica; od tega kvadrata se ne odšteje 4ac, ampak preprosto ac, in nazadnje v imenovalcu ni 2a, ampak preprosto a. .

Če je podana kvadratna enačba, bo naša formula videti takole:

Primer :

x 2 – 4x + 3 = 0

Odgovori: x 1 = 3, x 2 = 1.

2.3 Vietov izrek

Zelo zanimivo lastnost korenov kvadratne enačbe je odkril francoski matematik Francois Viète. To lastnost so poimenovali Vietov izrek:

Tako da sta števili x 1 in x 2 korenini enačbe:

ax² + bx + c = 0

je potrebno in zadostno za izpolnitev enakosti

x 1 + x 2 = -b/a in x 1 x 2 = c/a

Vietov izrek nam omogoča presojo predznakov in absolutne vrednosti kvadratne enačbe

x² + bx + c = 0

1. Če je b>0, c>0, sta oba korena negativna.

2. Če b<0, c>0, sta oba korena pozitivna.

3. Če je b>0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.

4. Če b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.

2.4 Kvadratne enačbe posebne narave

1) Če je a + b + c = 0 v enačbi ax² + bx + c = 0, potem

x 1 = 1 in x 2 = .

Dokaz :

V enačbi ax² + bx + c = 0 so njene korenine

x 1,2 = (1).

Predstavimo b iz enačbe a + b + c = 0

Zamenjajmo ta izraz v formulo (1):

=

Če dva korena enačbe obravnavamo ločeno, dobimo:

1) x 1 =

2) x 2 =

Sledi: x 1 = 1 in x 2 =.

1. Primer :

2x² - 3x + 1 = 0

a = 2, b = -3, c = 1.

a + b + c = 0, torej

2. Primer :

418x² - 1254x + 836 = 0

Ta primer je zelo težko rešiti z uporabo diskriminante, vendar ga je mogoče zlahka rešiti, če poznamo zgornjo formulo.

a = 418, b = -1254, c = 836.

x 1 = 1 x 2 = 2

2) Če je a - b + c = 0, v enačbi ax² + bx + c = 0, potem:

x 1 =-1 in x 2 =-.

Dokaz :

Razmislite o enačbi ax² + bx + c = 0, iz katere sledi:

x 1,2 = (2).

Predstavimo b iz enačbe a - b + c = 0

b = a + c, nadomestimo v formulo (2):

=

Dobimo dva izraza:

1) x 1 =

2) x 2 =

Ta formula je podobna prejšnji, vendar je pomembna tudi zato, ker ... Primeri te vrste so pogosti.

1) Primer :

2x² + 3x + 1 = 0

a = 2, b = 3, c = 1.

a - b + c = 0, torej

2)Primer :

Odgovori: x 1 = -1; x 2 = -

3) Metoda " prenosi ”

Koreni kvadratnih enačb y² + by + ac = 0 in ax² + bx + c = 0 so povezani z naslednjimi razmerji:

x 1 = in x 2 =

Dokaz :

a) Razmislite o enačbi ax² + bx + c = 0

x 1,2 = =

b) Razmislite o enačbi y² + by + ac = 0

y 1,2 =

Upoštevajte, da sta diskriminanta obeh rešitev enaka; primerjajmo korenine teh dveh enačb. Med seboj se razlikujejo po vodilnem faktorju, koreni prve enačbe so za a manjši od korenov druge. Z uporabo Vietovega izreka in zgornjega pravila ni težko rešiti različnih enačb.

Primer :

Imamo poljubno kvadratno enačbo

10x² - 11x + 3 = 0

Transformirajmo to enačbo po danem pravilu

y² - 11y + 30 = 0

Dobimo pomanjšano kvadratno enačbo, ki jo lahko zelo enostavno rešimo z uporabo Vietovega izreka.

Naj bosta y 1 in y 2 korena enačbe y² - 11y + 30 = 0

y 1 y 2 = 30 y 1 = 6

y 1 + y 2 = 11 y 2 = 5

Če vemo, da se koreni teh enačb med seboj razlikujejo za a, torej

x 1 = 6/10 = 0,6

x 2 = 5/10 = 0,5

V nekaterih primerih je priročno, da najprej ne rešimo dane enačbe ax² + bx + c = 0, ampak zmanjšano y² + by + ac = 0, ki jo dobimo iz danega koeficienta »prenosa« a, in nato delimo najdeno korenine z a, da bi našli prvotno enačbo.

2.5 Vieta formula za polinome (enačbe) višjih stopenj

Formule, ki jih je izpeljal Viète za kvadratne enačbe, veljajo tudi za polinome višjih stopenj.

Naj polinom

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

Ima n različnih korenin x 1, x 2..., x n.

V tem primeru ima faktorizacijo oblike:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

Obe strani te enačbe delimo z 0 ≠ 0 in v prvem delu odprimo oklepaje. Dobimo enakost:

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … + (-1) n x 1 x 2 … x n

Toda dva polinoma sta identično enaka, če in samo če sta koeficienta istih potenc enaka. Iz tega sledi, da enakost

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Na primer za polinome tretje stopnje

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Imamo identitete

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Kar zadeva kvadratne enačbe, se ta formula imenuje Vietove formule. Leve strani teh formul so simetrični polinomi iz korenin x 1, x 2 ..., x n te enačbe, desne strani pa so izražene s koeficientom polinoma.

2.6 Enačbe, zvodljive na kvadratne (bikvadratne)

Enačbe četrte stopnje se zmanjšajo na kvadratne enačbe:

ax 4 + bx 2 + c = 0,

imenovan bikvadraten in a ≠ 0.

Dovolj je, da v to enačbo vnesemo x 2 = y, torej

ay² + by + c = 0

poiščimo korenine nastale kvadratne enačbe

y 1,2 =

Če želite takoj najti korenine x 1, x 2, x 3, x 4, zamenjajte y z x in dobite

x² =

x 1,2,3,4 = .

Če ima enačba četrte stopnje x 1, potem ima tudi koren x 2 = -x 1,

Če ima x 3, potem je x 4 = - x 3. Vsota korenin takšne enačbe je nič.

Primer :

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Nadomestimo enačbo v formulo za korenine bikvadratnih enačb:

x 1,2,3,4 = ,

če vemo, da je x 1 = -x 2 in x 3 = -x 4, potem:

x 3,4 =

Odgovori: x 1,2 = ±2; x 1,2 =

2.7 Preučevanje bikvadratnih enačb

Vzemimo bikvadratno enačbo

ax 4 + bx 2 + c = 0,

kjer so a, b, c realna števila in a > 0. Z uvedbo pomožne neznanke y = x² preučimo korene te enačbe in rezultate vnesemo v tabelo (glej prilogo št. 1)

2.8 Formula Cardano

Če uporabimo sodobno simboliko, lahko izpeljava formule Cardano izgleda takole:

x =

Ta formula določa korenine splošne enačbe tretje stopnje:

ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Ta formula je zelo okorna in kompleksna (vsebuje več kompleksnih radikalov). Ne bo veljalo vedno, ker... zelo težko izpolniti.

2.9 Simetrične enačbe tretje stopnje

Simetrične enačbe tretje stopnje so enačbe oblike

ax³ + bx² +bx + a = 0 ( 1 )

ax³ + bx² - bx – a = 0 ( 2 )

kjer sta a in b dani števili in a¹0.

Pokažimo, kako enačba ( 1 ).

ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1) (x² - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1) (ax² +(b – a)x + a).

Ugotovimo, da enačba ( 1 ) je enakovredna enačbi

(x + 1) (ax² + (b – a)x + a) = 0.

To pomeni, da bodo njegove korenine korenine enačbe

ax² +(b – a)x + a = 0

in število x = -1

enačba ( 2 )

ax³ + bx² - bx - a = a(x³ - 1) + bx(x - 1) = a(x - 1) (x² + x + 1) + bx(x - 1) = (x - 1) (ax 2 + ax + a + bx) = (x - 1) (ax² + (b + a)x + a).

1) Primer :

2x³ + 3x² - 3x – 2 = 0

Jasno je, da je x 1 = 1 in

x 2 in x 3 korena enačbe 2x² + 5x + 2 = 0,

Poiščimo jih skozi diskriminanto:

x 1,2 =

x 2 = -, x 3 = -2

2) Primer :

5x³ + 21x² + 21x + 5 = 0

Jasno je, da je x 1 = -1 in

x 2 in x 3 korena enačbe 5x² + 26x + 5 = 0,

Poiščimo jih skozi diskriminanto:

x 1,2 =

x 2 = -5, x 3 = -0,2.

2.10 Recipročne enačbe

Recipročna enačba – algebraična enačba

a 0 x n + a 1 x n – 1 + … + a n – 1 x + a n =0,

kjer je a k = a n – k, kjer je k = 0, 1, 2 …n in a ≠ 0.

Problem iskanja korenin recipročne enačbe se zmanjša na problem iskanja rešitev algebraične enačbe nižje stopnje. Izraz recipročne enačbe je uvedel L. Euler.

Enačba četrte stopnje oblike:

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bmx + am² = 0, (a ≠ 0).

Zmanjšanje te enačbe na obliko

a (x² + m²/x²) + b(x + m/x) + c = 0 in y = x + m/x in y² - 2m = x² + m²/x²,

od koder se enačba zmanjša na kvadratno

ay² + by + (c-2am) = 0.

3x 4 + 5x 3 – 14x 2 – 10x + 12 = 0

Če ga delimo z x 2, dobimo ekvivalentno enačbo

3x 2 + 5x – 14 – 5 × oz

Kje in

3(y 2 - 4) + 5y – 14 = 0, od koder

y 1 = y 2 = -2, torej

In kje

Odgovor: x 1,2 = x 3,4 = .

Poseben primer recipročnih enačb so simetrične enačbe. Prej smo govorili o simetričnih enačbah tretje stopnje, vendar obstajajo simetrične enačbe četrte stopnje.

Simetrične enačbe četrte stopnje.

1) Če je m = 1, je to simetrična enačba prve vrste, ki ima obliko

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 in rešeno z novo zamenjavo

2) Če je m = -1, je to simetrična enačba druge vrste, ki ima obliko

ax 4 + bx 3 + cx 2 - bx + a = 0 in rešeno z novo zamenjavo

2.11 Hornerjeva shema

Za delitev polinomov se uporablja pravilo "delitve po kotu" ali Hornerjeva shema . V ta namen so polinomi razvrščeni v padajoče stopnje X in poiščite vodilni člen količnika Q(x) iz pogoja, da ko ga pomnožimo z vodilnim členom delitelja D(x), dobimo vodilni člen dividende P(x). Dobljeni člen količnika pomnožimo, nato z deliteljem in odštejemo od dividende. Vodilni člen količnika je določen iz pogoja, da dobi vodilni člen diferenčnega polinoma, ko ga pomnožimo z vodilnim členom delitelja itd. Postopek se nadaljuje, dokler stopnja razlike ni manjša od stopnje delitelja (glej prilogo št. 2).

V primeru enačb R = 0 se ta algoritem nadomesti s Hornerjevo shemo.

Primer :

x 3 + 4x 2 + x – 6 = 0

Poiščite delitelje prostega člena ±1; ± 2; ± 3; ± 6.

Označimo levo stran enačbe s f(x). Očitno je f(1) = 0, x1 = 1. F(x) delimo z x – 1. (glej prilogo št. 3)

x 3 + 4x 2 + x – 6 = (x – 1) (x 2 + 5x + 6)

Zadnji faktor označimo s Q(x). Rešimo enačbo Q(x) = 0.

x 2,3 =

Odgovori : 1; -2; -3.

V tem poglavju smo podali nekaj formul za reševanje različnih enačb. Večina teh formul za reševanje parcialnih enačb. Te lastnosti so zelo priročne, ker je veliko lažje reševati enačbe z uporabo ločene formule za to enačbo, namesto z uporabo splošnega principa. Za vsako metodo smo zagotovili dokaz in več primerov.

Zaključek

Prvo poglavje je obravnavalo zgodovino nastanka kvadratnih enačb in enačb višjega reda. Različne enačbe so bile rešene pred več kot 25 stoletji. Veliko metod za reševanje takih enačb je bilo ustvarjenih v Babilonu v Indiji. Potreba po enačbah je bila in še bo.

Drugo poglavje ponuja različne načine reševanja (iskanje korenov) kvadratnih enačb in enačb višjega reda. V bistvu so to metode za reševanje enačb določene narave, to je, da je za vsako skupino enačb, ki jih združujejo nekatere skupne lastnosti ali vrsta, podano posebno pravilo, ki velja samo za to skupino enačb. Ta metoda (izbira lastne formule za vsako enačbo) je veliko lažja od iskanja korenin prek diskriminante.

V tem povzetku so vsi cilji doseženi in glavne naloge opravljene, dokazane in naučene so bile nove, prej neznane formule. Preučili smo številne različice primerov, preden smo jih vključili v povzetek, tako da že imamo idejo, kako rešiti nekatere enačbe. Vsaka rešitev nam bo koristila pri nadaljnjem študiju. Ta esej je pomagal razvrstiti staro znanje in se naučiti novega.

Bibliografija

1. Vilenkin N.Ya. “Algebra za 8. razred”, M., 1995.

2. Galitsky M.L. "Zbirka problemov v algebri", M. 2002.

3. Daan-Dalmedico D. "Poti in labirinti", M., 1986.

4. Zvavič L.I. “Algebra 8. razred”, M., 2002.

5. Kushnir I.A. "Enačbe", Kijev 1996.

6. Savin Yu.P. "Enciklopedični slovar mladega matematika", M., 1985.

7. Mordkovich A.G. “Algebra 8. razred”, M., 2003.

8. Khudobin A.I. "Zbirka problemov iz algebre", M., 1973.

9. Sharygin I.F. "Izbirni tečaj algebre", M., 1989.

Priloga 1

Študij bikvadratnih enačb

Dodatek 2

Deljenje polinoma na polinom s pomočjo vogala

Dodatek 3

Hornerjeva shema