Je kateri koli neskončni periodični decimalni ulomek. Neskončne periodične decimalke

Se spomnite, kako sem v prvi lekciji o decimalkah rekel, da obstajajo številski ulomki, ki jih ni mogoče predstaviti kot decimalke (glejte lekcijo »Decimalke«)? Naučili smo se tudi, kako faktorizirati imenovalce ulomkov, da bi ugotovili, ali obstaja še kakšno število, razen 2 in 5.

Torej: lagal sem. In danes se bomo naučili, kako pretvoriti absolutno kateri koli številski ulomek v decimalko. Hkrati se bomo seznanili s celim razredom ulomkov z neskončnim pomembnim delom.

Periodična decimalka je katera koli decimalka, ki:

1. Pomembni del je sestavljen iz neskončnega števila števk;
2. V določenih intervalih se številke v pomembnem delu ponavljajo.

Niz ponavljajočih se števk, ki sestavljajo pomemben del, imenujemo periodični del ulomka, število števk v tem nizu pa periodo ulomka. Preostali del pomembnega dela, ki se ne ponavlja, imenujemo neperiodični del.

Ker obstaja veliko definicij, je vredno podrobneje razmisliti o nekaterih od teh frakcij:

Ta frakcija se najpogosteje pojavlja pri težavah. Neperiodični del: 0; periodični del: 3; dolžina obdobja: 1.

Neperiodični del: 0,58; periodični del: 3; dolžina obdobja: ponovno 1.

Neperiodični del: 1; periodični del: 54; dolžina obdobja: 2.

Neperiodični del: 0; periodični del: 641025; dolžina obdobja: 6. Zaradi udobja so ponavljajoči se deli med seboj ločeni s presledkom – to v tej rešitvi ni potrebno.

Neperiodični del: 3066; periodični del: 6; dolžina obdobja: 1.

Kot lahko vidite, definicija periodičnega ulomka temelji na konceptu pomemben del števila. Zato, če ste pozabili, kaj je, priporočam, da ga ponovite - glejte lekcijo "".

Prehod na periodični decimalni ulomek

Razmislite o navadnem ulomku oblike a /b. Razložimo njegov imenovalec na prafaktorje. Obstajata dve možnosti:

1. Razširitev vsebuje samo faktorja 2 in 5. Ti ulomki se zlahka pretvorijo v decimalke - glejte lekcijo “Decimalke”. Taki ljudje nas ne zanimajo;
2. V razširitvi je še nekaj drugega kot 2 in 5. V tem primeru ulomka ni mogoče predstaviti kot decimalno število, lahko pa ga pretvorimo v periodično decimalno število.

Če želite definirati periodični decimalni ulomek, morate najti njegov periodični in neperiodični del. kako Pretvorite ulomek v nepravilni ulomek in nato števec delite z imenovalcem z vogalom.

Zgodilo se bo naslednje:

1. Najprej se bo razdelil cel del, če obstaja;
2. Za decimalno vejico je lahko več številk;
3. Čez nekaj časa se bodo začele številke ponovite.

To je vse! Številke, ki se ponavljajo za decimalno vejico, so označene s periodičnim delom, tiste pred njimi pa z neperiodičnim delom.

Naloga. Pretvori navadne ulomke v periodične decimalke:

Vsi ulomki brez celega dela, zato preprosto delimo števec z imenovalcem z "votilom":

Kot lahko vidite, se ostanki ponavljajo. Zapišimo ulomek v »pravilni« obliki: 1,733 ... = 1,7(3).

Rezultat je ulomek: 0,5833 ... = 0,58(3).

Zapišemo ga v normalni obliki: 4,0909 ... = 4,(09).

Dobimo ulomek: 0,4141 ... = 0.(41).

Prehod iz periodičnega decimalnega ulomka v navadni ulomek

Razmislite o periodičnem decimalnem ulomku X = abc (a 1 b 1 c 1). Potrebno ga je predelati v klasično "dvonadstropno". Če želite to narediti, sledite štirim preprostim korakom:

1. Poiščite periodo ulomka, tj. preštejte, koliko števk je v periodičnem delu. Naj bo to število k;
2. Poiščite vrednost izraza X · 10 k. To je enakovredno premikanju decimalne vejice v desno za celotno piko - glejte lekcijo "Množenje in deljenje decimalnih mest";
3. Prvotni izraz je treba odšteti od nastalega števila. V tem primeru se periodični del "zažge" in ostane navadni ulomek;
4. Poiščite X v nastali enačbi. Vse decimalne ulomke pretvorimo v navadne ulomke.

Naloga. Število pretvorite v navaden nepravilni ulomek:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Delamo s prvim ulomkom: X = 9,(6) = 9,666 ...

Oklepaj vsebuje samo eno števko, zato je obdobje k = 1. Nato ta ulomek pomnožimo z 10 k = 10 1 = 10. Imamo:

10X = 10 9,6666... ​​​​= 96,666...

Odštejte prvotni ulomek in rešite enačbo:

10X − X = 96,666 ... − 9,666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Zdaj pa poglejmo drugi ulomek. Torej X = 32,(39) = 32,393939...

Obdobje k = 2, torej vse pomnožite z 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Ponovno odštejte prvotni ulomek in rešite enačbo:

100X − X = 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Preidimo na tretji ulomek: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Diagram je enak, zato bom podal le izračune:

Perioda k = 1 ⇒ vse pomnožimo z 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Na koncu še zadnji ulomek: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Ponovno, zaradi priročnosti so periodični deli med seboj ločeni s presledki. Imamo:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10.000X = 10.000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10.000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475 : 9999 = 25/101.

Že v osnovni šoli so učenci izpostavljeni ulomkom. In potem se pojavijo v vsaki temi. S temi številkami ne morete pozabiti dejanj. Zato morate poznati vse informacije o navadnih in decimalnih ulomkih. Ti koncepti niso zapleteni, glavna stvar je razumeti vse v redu.

Zakaj so potrebni ulomki?

Svet okoli nas je sestavljen iz celih predmetov. Zato delnice niso potrebne. Toda vsakdanje življenje nenehno potiska ljudi k delu z deli predmetov in stvari.

Na primer, čokolada je sestavljena iz več kosov. Razmislite o situaciji, ko je njegova ploščica sestavljena iz dvanajstih pravokotnikov. Če ga razdelite na dvoje, dobite 6 delov. Brez težav ga lahko razdelimo na tri. Ne bo pa mogoče petim ljudem dati celega števila čokoladnih rezin.

Mimogrede, te rezine so že ulomki. In njihova nadaljnja delitev vodi do pojava bolj zapletenih števil.

Kaj je "ulomek"?

To je število, sestavljeno iz delov enote. Navzven je videti kot dve številki, ločeni z vodoravno ali poševnico. Ta funkcija se imenuje frakcijska. Zgoraj (levo) zapisano število imenujemo števec. Kar je spodaj (desno), je imenovalec.

V bistvu se poševnica izkaže kot znak delitve. To pomeni, da števec lahko imenujemo dividenda, imenovalec pa delitelj.

Kateri ulomki so tam?

V matematiki obstajata samo dve vrsti: navadni in decimalni ulomki. S prvimi se šolarji seznanijo že v osnovni šoli in jih preprosto imenujejo »ulomki«. Slednje se bomo učili v 5. razredu. Takrat se pojavijo ta imena.

Navadni ulomki so vsi tisti, ki so zapisani kot dve števili, ločeni s črto. Na primer 4/7. Decimalka je število, pri katerem ima ulomek položajni zapis in je od celega števila ločen z vejico. Na primer, 4.7. Učenci morajo jasno razumeti, da sta podana primera popolnoma različni številki.

Vsak preprost ulomek lahko zapišemo kot decimalko. Ta izjava je skoraj vedno resnična obratno. Obstajajo pravila, ki vam omogočajo, da decimalni ulomek zapišete kot navadni ulomek.

Katere podvrste imajo te vrste ulomkov?

Bolje je začeti v kronološkem vrstnem redu, saj so preučeni. Navadni ulomki so na prvem mestu. Med njimi je mogoče razlikovati 5 podvrst.

Pravilno. Njegov števec je vedno manjši od imenovalca.

Narobe. Njegov števec je večji ali enak imenovalcu.

Zmanjšljiv/nezmanjšljiv. Lahko se izkaže za pravilno ali napačno. Druga pomembna stvar je, ali imata števec in imenovalec skupne faktorje. Če obstajajo, je treba oba dela ulomka razdeliti nanje, to je zmanjšati.

Mešano. Celo število je pripisano njegovemu običajnemu pravilnemu (nepravilnemu) ulomku. Poleg tega je vedno na levi strani.

Sestavljeno. Sestavljen je iz dveh frakcij, ki sta med seboj razdeljeni. To pomeni, da vsebuje tri ulomke naenkrat.

Decimalni ulomki imajo samo dve podvrsti:

končen, to je tisti, katerega delni del je omejen (ima konec);

neskončno - število, katerega števke za decimalno vejico se ne končajo (lahko jih pišemo neskončno).

Kako pretvoriti decimalni ulomek v navadni ulomek?

Če je to končno število, se uporabi asociacija po pravilu - kakor slišim, tako pišem. To pomeni, da ga morate pravilno prebrati in zapisati, vendar brez vejice, vendar z ulomkom.

Kot namig o zahtevanem imenovalcu se morate spomniti, da je vedno ena in več ničel. Slednjih morate napisati toliko, kolikor števk je v ulomku zadevnega števila.

Kako pretvoriti decimalne ulomke v navadne ulomke, če njihov celoštevilski del manjka, torej je enak nič? Na primer 0,9 ali 0,05. Po uporabi navedenega pravila se izkaže, da morate napisati nič celih števil. Vendar ni navedeno. Ostane le še zapisati ulomke. Prvo število bo imelo imenovalec 10, drugo pa 100. Se pravi, dani primeri bodo imeli kot odgovore naslednja števila: 9/10, 5/100. Poleg tega se izkaže, da je slednje mogoče zmanjšati za 5. Zato je treba rezultat zanj zapisati kot 1/20.

Kako pretvorite decimalni ulomek v navaden ulomek, če je njegov celoštevilski del različen od nič? Na primer 5,23 ali 13,00108. V obeh primerih se prebere cel del in zapiše njegova vrednost. V prvem primeru je 5, v drugem pa 13. Nato se morate premakniti na delni del. Enako operacijo naj bi izvedli tudi z njimi. Prva številka se pojavi 23/100, druga - 108/100000. Drugo vrednost je treba ponovno zmanjšati. Odgovor daje naslednje mešane ulomke: 5 23/100 in 13 27/25000.

Kako pretvoriti neskončni decimalni ulomek v navaden ulomek?

Če je neperiodično, potem takšna operacija ne bo mogoča. To dejstvo je posledica dejstva, da se vsak decimalni ulomek vedno pretvori v končni ali periodični ulomek.

Edino, kar lahko storite s takšnim ulomkom, je, da ga zaokrožite. Ampak potem bo decimalka približno enaka tej neskončnosti. Lahko se že spremeni v navadnega. Toda obratni postopek: pretvorba v decimalko nikoli ne bo dala začetne vrednosti. To pomeni, da se neskončni neperiodični ulomki ne pretvorijo v navadne ulomke. To si je treba zapomniti.

Kako zapisati neskončni periodični ulomek kot navaden ulomek?

V teh številkah je za decimalno vejico vedno ena ali več števk, ki se ponavljajo. Imenujejo se obdobje. Na primer 0,3(3). Tukaj je "3" v obdobju. Uvrščamo jih med racionalne, ker jih je mogoče pretvoriti v navadne ulomke.

Tisti, ki so se srečali s periodičnimi ulomki, vedo, da so lahko čisti ali mešani. V prvem primeru se pika začne takoj od vejice. V drugem se ulomek začne z nekaj številkami, nato pa se začne ponavljanje.

Pravilo, po katerem morate zapisati neskončno decimalko kot navadni ulomek, bo različno za dve navedeni vrsti števil. Čiste periodične ulomke je precej enostavno zapisati kot navadne ulomke. Kot pri končnih jih je treba pretvoriti: piko zapišite v števec in imenovalec bo število 9, ki se ponovi tolikokrat, kolikor števk vsebuje pika.

Na primer 0,(5). Število nima celega dela, zato morate takoj začeti z delnim delom. Zapišite 5 kot števec in 9 kot imenovalec. To pomeni, da bo odgovor ulomek 5/9.

Pravilo, kako zapisati navaden decimalni periodični ulomek, ki je mešan.

Poglejte dolžino obdobja. Toliko 9 bo imel imenovalec.

Zapišite imenovalec: najprej devetice, nato ničle.

Če želite določiti števec, morate zapisati razliko dveh števil. Vse številke za decimalno vejico bodo zmanjšane skupaj s piko. Odbitna franšiza - je brez obdobja.

Na primer 0,5(8) - periodični decimalni ulomek zapišite kot navadni ulomek. Ulomek pred piko vsebuje eno števko. Torej bo ena ničla. V obdobju je tudi samo ena številka - 8. Se pravi, samo ena devetka. To pomeni, da morate v imenovalec napisati 90.

Če želite določiti števec, morate od 58 odšteti 5. Izkaže se 53. Na primer, odgovor bi morali zapisati kot 53/90.

Kako se ulomki pretvorijo v decimalke?

Najenostavnejša možnost je število, katerega imenovalec je število 10, 100 itd. Nato se imenovalec preprosto zavrže, med ulomki in celo število pa se postavi vejica.

Obstajajo situacije, ko se imenovalec zlahka spremeni v 10, 100 itd. Na primer številke 5, 20, 25. Dovolj je, da jih pomnožite z 2, 5 oziroma 4. Morate samo pomnožiti ne samo imenovalec, ampak tudi števec z istim številom.

Za vse druge primere je uporabno preprosto pravilo: števec delite z imenovalcem. V tem primeru lahko dobite dva možna odgovora: končni ali periodični decimalni ulomek.

Operacije z navadnimi ulomki

Seštevanje in odštevanje

Učenci se z njimi seznanijo prej kot drugi. Poleg tega imajo ulomki najprej enake imenovalce, nato pa različne. Splošna pravila se lahko zmanjšajo na ta načrt.

Poiščite najmanjši skupni večkratnik imenovalcev.

Zapišite dodatne faktorje za vse navadne ulomke.

Pomnožite števce in imenovalce s faktorji, določenimi zanje.

Seštejte (odštejte) števce ulomkov in pustite skupni imenovalec nespremenjen.

Če je števec manjšega manjši od odštevanca, potem moramo ugotoviti, ali imamo mešano število ali pravi ulomek.

V prvem primeru si morate enega izposoditi iz celotnega dela. Števcu ulomka dodajte imenovalec. In nato naredite odštevanje.

V drugem je treba uporabiti pravilo odštevanja večjega števila od manjšega števila. To pomeni, da od modula subtrahenda odštejemo modul minuenda in kot odgovor postavimo znak "-".

Pozorno si oglejte rezultat seštevanja (odštevanja). Če dobite nepravilen ulomek, morate izbrati cel del. To pomeni, da števec delite z imenovalcem.

Množenje in deljenje

Za njihovo izvedbo ulomkov ni treba reducirati na skupni imenovalec. To olajša izvajanje dejanj. Vendar še vedno zahtevajo, da upoštevate pravila.

Ko množite ulomke, morate pogledati številke v števcih in imenovalcih. Če imata kateri koli števec in imenovalec skupni faktor, ju je mogoče zmanjšati.

Pomnoži števce.

Pomnožite imenovalce.

Če je rezultat zmanjšljiv ulomek, ga je treba znova poenostaviti.

Pri deljenju je treba deljenje najprej zamenjati z množenjem, delitelj (drugi ulomek) pa z recipročnim ulomkom (števec in imenovalec zamenjati).

Nato nadaljujte kot pri množenju (začenši od točke 1).

Pri nalogah, kjer je treba množiti (deliti) s celim številom, naj bo slednje zapisano kot nepravi ulomek. To je z imenovalcem 1. Nato ravnajte, kot je opisano zgoraj.



Operacije z decimalkami

Seštevanje in odštevanje

Seveda lahko decimalko vedno pretvorite v ulomek. In ukrepajte po že opisanem načrtu. Toda včasih je bolj priročno delovati brez tega prevoda. Potem bodo pravila za njihovo seštevanje in odštevanje popolnoma enaka.

Izenačite število števk v ulomku števila, to je za decimalno vejico. Dodajte mu manjkajoče število ničel.

Ulomke zapiši tako, da bo vejica pod vejico.

Seštevamo (odštevamo) kot naravna števila.

Odstranite vejico.

Množenje in deljenje

Pomembno je, da vam tukaj ni treba dodajati ničel. Ulomke pustite tako, kot so podani v primeru. In potem pojdite po načrtu.

Za množenje morate ulomke pisati enega pod drugim, ne da bi upoštevali vejice.

Množite kot naravna števila.

V odgovor postavite vejico in od desnega konca odgovora odštejte toliko števk, kolikor jih je v ulomkih obeh faktorjev.

Če želite deliti, morate najprej transformirati delitelj: naj bo naravno število. To pomeni, da ga pomnožite z 10, 100 itd., odvisno od tega, koliko števk je v delčku delitelja.

Pomnožite dividendo z istim številom.

Decimalni ulomek delite z naravnim številom.

V odgovor postavite vejico v trenutku, ko se konča deljenje celega dela.



Kaj pa, če en primer vsebuje obe vrsti ulomkov?

Da, v matematiki pogosto obstajajo primeri, v katerih morate izvajati operacije na navadnih in decimalnih ulomkih. Pri takih nalogah sta možni dve rešitvi. Številke morate objektivno pretehtati in izbrati optimalno.

Prvi način: predstavlja navadne decimalke

Primerno je, če deljenje ali prevajanje povzroči končne ulomke. Če vsaj ena številka daje periodični del, potem je ta tehnika prepovedana. Torej, tudi če vam ni všeč delo z navadnimi ulomki, jih boste morali prešteti.

Drugi način: decimalne ulomke zapišite kot navadne

Ta tehnika se izkaže za priročno, če del za decimalno vejico vsebuje 1-2 števki. Če jih je več, lahko na koncu dobite zelo velik navadni ulomek, z decimalnim zapisom pa bo naloga hitrejša in lažja za izračun. Zato morate vedno trezno oceniti nalogo in izbrati najpreprostejši način rešitve.

Dejstvo, da je veliko kvadratnih korenov iracionalna števila, sploh ne zmanjša njihovega pomena; zlasti se število $\sqrt2$ zelo pogosto uporablja v različnih inženirskih in znanstvenih izračunih. To število je mogoče izračunati z natančnostjo, ki je potrebna v vsakem posameznem primeru. To število lahko navedete na toliko decimalnih mest, kolikor imate potrpljenja.

Na primer, število $\sqrt2$ je mogoče določiti z natančnostjo šestih decimalnih mest: $\sqrt2=1,414214$. Ta vrednost se ne razlikuje zelo od prave vrednosti, saj je $1,414214 \times 1,414214=2,000001237796$. Ta odgovor se od 2 razlikuje komaj za več kot milijoninko. Zato se vrednost $\sqrt2$, ki je enaka $1,414214$, šteje za povsem sprejemljivo za reševanje večine praktičnih problemov. V primerih, ko je potrebna večja natančnost, ni težko dobiti toliko pomembnih števk za decimalno vejico, kot je v tem primeru potrebno.

Vendar, če pokažete redko trmo in poskusite izvleči Kvadratni koren od števila $\sqrt2$, dokler ne dosežete točnega rezultata, ne boste nikoli dokončali svojega dela. To je proces brez konca. Ne glede na to, koliko decimalnih mest dobite, jih bo vedno ostalo nekaj več.

To dejstvo vas lahko preseneti prav tako kot spreminjanje $\frac13$ v neskončno decimalno $0,333333333…$ in tako naprej v nedogled ali spreminjanje $\frac17$ v $0,142857142857142857…$ in tako naprej v nedogled. Na prvi pogled se morda zdi, da so ti neskončni in iracionalni kvadratni koreni pojavi istega reda, vendar temu sploh ni tako. Navsezadnje imajo ti neskončni ulomki delni ekvivalent, medtem ko $\sqrt2$ nima takšnega ekvivalenta. Zakaj točno? Dejstvo je, da so decimalni ekvivalent $\frac13$ in $\frac17$, pa tudi neskončno število drugih ulomkov, periodični neskončni ulomki.

Hkrati je decimalni ekvivalent $\sqrt2$ neperiodični ulomek. Ta trditev velja tudi za vsako iracionalno število.

Težava je v tem, da je vsaka decimalka, ki je približek kvadratnega korena iz 2 neperiodični ulomek. Ne glede na to, kako daleč gremo v naših izračunih, bo vsak ulomek, ki ga dobimo, neperiodičen.

Predstavljajte si ulomek z ogromnim številom neperiodičnih števk za decimalno vejico. Če se nenadoma po milijonti številki ponovi celotno zaporedje decimalnih mest, to pomeni decimalno- periodično in zanj obstaja ekvivalent v obliki razmerja celih števil. Če ima ulomek z ogromnim številom (milijarde ali milijone) neperiodičnih decimalnih mest na neki točki neskončen niz ponavljajočih se števk, na primer $...55555555555...$, to tudi pomeni, da je ta ulomek periodičen in obstaja ekvivalent v obliki razmerja celih števil.

Vendar pa so njihovi decimalni ekvivalenti popolnoma neperiodični in ne morejo postati periodični.

Seveda lahko postavite naslednje vprašanje: »Kdo lahko ve in z gotovostjo trdi, kaj se zgodi z ulomkom, recimo, za znakom bilijona? Kdo lahko jamči, da ulomek ne bo postal periodičen?« Obstajajo načini, kako dokončno dokazati, da so iracionalna števila neperiodična, vendar takšni dokazi zahtevajo zapleteno matematiko. Če pa se nenadoma izkaže, da postane iracionalno število periodični ulomek, bi to pomenilo popoln propad temeljev matematičnih znanosti. In v resnici je to komaj mogoče. Ni vam lahko, da ga mečete z ene strani na drugo na členkih, tukaj je zapletena matematična teorija.

Če poznajo teorijo nizov, potem brez nje ni mogoče uvesti metamatskih konceptov. Poleg tega ti ljudje verjamejo, da je vsakdo, ki ga ne uporablja široko, neveden. Pustimo stališča teh ljudi njihovi vesti. Razumejmo bolje, kaj je neskončni periodični ulomek in kako naj se z njim spopadamo mi, nepoučeni ljudje, ki ne poznamo meja.

Delimo 237 s 5. Ne, ni vam treba zagnati kalkulatorja. Raje se spomnimo srednje (ali kar osnovne?) šole in jo preprosto razdelimo v stolpec:

No, si se spomnil? Potem se lahko lotite posla.

Koncept "frakcije" v matematiki ima dva pomena:

1. Necelo število.
2. Necela oblika.

1. Enostavno (oz navpično) ulomki, na primer 1/2 ali 237/5.
2. Decimalni ulomki, na primer 0,5 ali 47,4.

V matematiki je bilo na splošno desetiško štetje vedno sprejeto, zato so decimalni ulomki bolj priročni kot preprosti, to je ulomek z decimalnim imenovalcem (Vladimir Dal. Razlagalni slovar živega velikoruskega jezika. "Deset") .

Tudi popolnoma nepoučena oseba bo opazila: ne glede na to, kako dolgo traja, se ne bo ločilo: trojčki se bodo pojavljali ad infinitum. Zapišimo torej: 0,33 ... Mislimo na »število, ki ga dobimo, ko 1 delimo s 3« ali na kratko »ena tretjina«. Tretjina je seveda ulomek v prvem pomenu besede, »1/3« in »0,33 ...« pa sta ulomka v drugem pomenu besede, tj. vpisniceštevilo, ki se nahaja na številski premici tako daleč od nič, da če ga trikrat odložite, dobite ena.

Zdaj pa poskusimo deliti 5 s 6:

Zapišimo še enkrat: 0,833... Mislimo na »število, ki ga dobiš, ko 5 deliš s 6« ali na kratko »pet šestin«. Vendar tukaj nastane zmeda: ali to pomeni 0,83333 (in potem se trojčki ponovijo) ali 0,833833 (in potem se ponovi 833). Zato nam zapis z elipso ne ustreza: ni jasno, kje se začne ponavljajoči se del (imenuje se "pika"). Zato bomo piko dali v oklepaj, takole: 0,(3); 0,8 (3).

0,(3) ni enostavno enako ena tretjina, to je Tukaj je ena tretjina, ker smo posebej izumili ta zapis, da to število predstavimo kot decimalni ulomek.

Ta vnos se imenuje neskončni periodični ulomek, ali preprosto periodični ulomek.

Kadarkoli eno število delimo z drugim, če ne dobimo končnega ulomka, dobimo neskončni periodični ulomek, se pravi, nekoč se bodo zaporedja števil zagotovo začela ponavljati. Zakaj je tako, lahko razumemo povsem špekulativno, če natančno pogledamo algoritem delitve stolpcev:

Na mestih, ki so označena s kljukicami, ne moremo vedno dobiti različnih parov števil (ker je takih parov načeloma končno število). In takoj ko se tam pojavi tak par, ki je že obstajal, bo tudi razlika enaka - in takrat se bo celoten proces začel ponavljati. Tega ni treba preverjati, saj je povsem očitno, da bodo rezultati enaki, če ponavljate ista dejanja.

Zdaj, ko dobro razumemo bistvo periodični ulomek, poskusimo eno tretjino pomnožiti s tri. Ja, seveda ga boš dobil, a zapišimo ta ulomek v decimalni obliki in ga pomnožimo v stolpec (zaradi elipse tu ne nastane dvoumnost, saj so vse številke za decimalno vejico enake):

In spet opazimo, da se bodo za decimalno vejico ves čas pojavljale devetice, devetice in devetice. To pomeni, da z uporabo zapisa z oklepajem dobimo 0,(9). Ker vemo, da je zmnožek ene tretjine in treh ena, potem je 0.(9) tako eleganten način zapisa ena. Vendar je uporaba takega zapisa neprimerna, saj lahko enoto popolnoma zapišemo brez uporabe pike, takole: 1.

Kot lahko vidite, je 0,(9) eden tistih primerov, ko je celo število zapisano v obliki ulomka, na primer 3/3 ali 7,0. To pomeni, da je 0,(9) ulomek le v drugem pomenu besede, ne pa tudi v prvem.

Tako smo brez kakršnih koli omejitev ali serij ugotovili, kaj je 0.(9) in kako z njim ravnati.

A vseeno ne pozabimo, da smo pravzaprav pametni in študiramo analizo. Dejansko je težko zanikati, da:

Toda morda nihče ne bo oporekal dejstvu, da:

Vse to je seveda res. Dejansko je 0,(9) vsota reducirane serije in dvojni sinus navedenega kota ter naravni logaritem Eulerjevega števila.

A ne eno, ne drugo, ne tretje ni definicija.

Reči, da je 0,(9) vsota neskončnega niza 9/(10 n), pri čemer je n enak ena, je enako, kot če bi rekli, da je sinus vsota neskončnega Taylorjevega niza:

to popolnoma prav, in to je najpomembnejše dejstvo za računalniško matematiko, vendar ni definicija in, kar je najpomembneje, človeka ne približa razumevanju v bistvu sinusov Bistvo sinusa določenega kota je, da ga prav vse razmerje kraka nasproti kota s hipotenuzo.

Torej, periodični ulomek je prav vse decimalni ulomek, ki ga dobimo, ko pri delitvi s stolpcem isti niz številk se bo ponovil. Tukaj ni sledi analize.

In tu se pojavi vprašanje: od kod izvira? nasploh smo vzeli število 0,(9)? Kaj na kaj delimo s stolpcem, da dobimo? Dejansko ni takšnih števil, da bi ob razdelitvi v stolpec imeli neskončno pojavljajoče se devetice. Toda to številko nam je uspelo dobiti z množenjem 0,(3) s 3 s stolpcem? res ne. Navsezadnje morate množiti od desne proti levi, da pravilno upoštevate prenose števk, in to smo storili od leve proti desni, pri čemer smo zvito izkoristili dejstvo, da do prenosov tako ali tako ne pride nikjer. Zato je zakonitost zapisa 0,(9) odvisna od tega, ali priznavamo zakonitost takšnega množenja s stolpcem ali ne.

Zato lahko na splošno rečemo, da zapis 0,(9) ni pravilen - in do neke mere drži. Ker pa je zapis a ,(b ) sprejet, ga je preprosto grdo opustiti, ko je b = 9; Bolje je, da se odločite, kaj tak vnos pomeni. Torej, če na splošno sprejmemo zapis 0,(9), potem ta zapis seveda pomeni številko ena.

Ostaja samo dodati, da če bi uporabili, recimo, ternarni številski sistem, bi pri deljenju s stolpcem ena (1 3) s tri (10 3) dobili 0,1 3 (beri "nič pika ena tretjina"), in pri deljenju ena z dve bi bilo 0,(1) 3.

Torej periodičnost ulomkov ni neka objektivna značilnost ulomka, temveč le stranski učinek uporabe enega ali drugega številskega sistema.

Obstaja še ena predstavitev racionalnega števila 1/2, drugačna od predstavitev v obliki 2/4, 3/6, 4/8 itd. Mislimo na predstavitev v obliki decimalnega ulomka 0,5. Nekateri ulomki imajo končno decimalno predstavitev, npr.

medtem ko so decimalne predstavitve drugih ulomkov neskončne:

Te neskončne decimalke lahko dobimo iz ustreznih racionalnih ulomkov tako, da števec delimo z imenovalcem. Na primer, v primeru ulomka 5/11, če 5.000 ... delimo z 11, dobimo 0,454545 ...

Kateri racionalni ulomki imajo končne decimalne predstavitve? Preden na splošno odgovorimo na to vprašanje, si poglejmo konkreten primer. Vzemimo, recimo, zadnji decimalni ulomek 0,8625. To vemo

in da je vsak končni decimalni ulomek mogoče zapisati kot racionalen decimalni ulomek z imenovalcem, ki je enak 10, 100, 1000 ali kakšni drugi potenci števila 10.

Če ulomek na desni skrčimo na nezmanjšani ulomek, dobimo

Imenovalec 80 dobimo tako, da 10.000 delimo s 125 – največjim skupnim deliteljem 10.000 in 8625. Zato prafaktorizacija števila 80, tako kot števila 10.000, vključuje le dva prafaktorja: 2 in 5. Če ne bi začeti z 0, 8625 in s katerim koli drugim končnim decimalnim ulomkom, potem bi imel nastali nezmanjšani racionalni ulomek tudi to lastnost. Z drugimi besedami, razširitev imenovalca b na prafaktorje bi lahko vključevala le praštevili 2 in 5, saj je b delitelj neke potence števila 10, a . Ta okoliščina se izkaže za odločilno, namreč velja naslednja splošna trditev:

Nezmanjšani racionalni ulomek ima končno decimalno predstavitev, če in samo če število b nima prafaktorjev 2 in 5.

Upoštevajte, da ni nujno, da ima b med prafaktorji obe števili 2 in 5: lahko je deljiv samo z enim od njiju ali pa sploh ni deljiv z njima. na primer

tukaj je b enako 25, 16 oziroma 1. Pomembno je, da b nima drugih deliteljev razen 2 in 5.

Zgornji stavek vsebuje izraz če in samo če. Doslej smo dokazali le tisti del, ki se nanaša na promet šele takrat. Pokazali smo, da bo razgradnja racionalnega števila v decimalni ulomek končna le v primeru, ko b nima prafaktorjev razen 2 in 5.

(Z drugimi besedami, če je b deljiv s praštevilom, ki ni 2 in 5, potem nezmanjšani ulomek nima končnega decimalnega izraza.)

Nato del stavka navaja, da če celo število b nima prafaktorjev razen 2 in 5, potem lahko nezmanjšani racionalni ulomek predstavimo s končnim decimalnim ulomkom. Da bi to dokazali, moramo vzeti poljuben nezmanjšljiv racionalni ulomek, v katerem b nima prafaktorjev razen 2 in 5, in preveriti, ali je ustrezni decimalni ulomek končen. Poglejmo si najprej primer. Pustiti

Da dobimo decimalno razširitev, pretvorimo ta ulomek v ulomek, katerega imenovalec je celoštevilska potenca števila deset. To lahko dosežete tako, da števec in imenovalec pomnožite z:

Zgornjo utemeljitev lahko razširimo na splošni primer na naslednji način. Recimo, da je b v obliki , kjer so tip nenegativna cela števila (tj. pozitivna števila ali nič). Možna sta dva primera: manjše ali enako (ta pogoj je zapisan) ali večji (kar je zapisano). Ko pomnožimo števec in imenovalec ulomka z