Matematična točka je volumetrična. Kritična točka (matematika)

Koncept kritične točke lahko posplošimo na primer diferenciabilnih preslikav in na primer diferenciabilnih preslikav poljubnih mnogoterosti f: N n → M m (\displaystyle f:N^(n)\do M^(m)). V tem primeru je definicija kritične točke ta, da je rang Jakobove matrike preslikave f (\displaystyle f) vsebuje manj kot največjo možno vrednost, ki je enaka .

Kritične točke funkcij in preslikav igrajo pomembno vlogo na področjih matematike, kot so diferencialne enačbe, variacijski račun, teorija stabilnosti, pa tudi v mehaniki in fiziki. Preučevanje kritičnih točk gladkih preslikav je eno glavnih vprašanj teorije katastrof. Koncept kritične točke posplošimo tudi na primer funkcionalov, definiranih na neskončnodimenzionalnih funkcijskih prostorih. Iskanje kritičnih točk takih funkcionalov je pomemben del variacijskega računa. Kritične točke funkcionalov (ki so posledično funkcije) se imenujejo ekstremni športi.

Formalna opredelitev

Kritično(oz poseben oz stacionarni) točka zvezno diferenciabilne preslikave f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\do \mathbb (R) ^(m)) točka, v kateri se kliče diferencial tega preslikave f ∗ = ∂ f ∂ x (\displaystyle f_(*)=(\frac (\partial f)(\partial x))) je degeneriran linearna transformacija ustreznih tangentnih prostorov T x 0 R n (\displaystyle T_(x_(0))\mathbb (R) ^(n)) in T f (x 0) R m (\displaystyle T_(f(x_(0)))\mathbb (R) ^(m)), to je dimenzija transformacijske slike f ∗ (x 0) (\displaystyle f_(*)(x_(0))) manj min ( n , m ) (\displaystyle \min\(n,m\)). V koordinatnem zapisu ko n = m (\displaystyle n=m) to pomeni, da je Jacobian determinanta Jacobianove matrike preslikave f (\displaystyle f), sestavljeno iz vseh delnih izpeljank ∂ f j ∂ x i (\displaystyle (\frac (\partial f_(j))(\partial x_(i))))- v točki postane nič. Presledki in R m (\displaystyle \mathbb (R) ^(m)) v tej definiciji se lahko nadomestijo z sortami N n (\displaystyle N^(n)) in M m (\displaystyle M^(m)) enake dimenzije.

Sardov izrek

Vrednost preslikave na kritični točki se imenuje njegova kritična vrednost. Po Sardovem izreku je niz kritičnih vrednosti katerega koli dovolj gladkega preslikave f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\do \mathbb (R) ^(m)) ima ničelno Lebesguevo mero (čeprav je lahko poljubno število kritičnih točk; na primer, za preslikavo identitete je vsaka točka kritična).

Prikazi stalne uvrstitve

Če v bližini točke x 0 ∈ R n (\displaystyle x_(0)\in \mathbb (R) ^(n)) rang zvezno diferenciabilnega preslikave f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\do \mathbb (R) ^(m)) enako enakemu številu r (\displaystyle r), nato pa v bližini te točke x 0 (\displaystyle x_(0)) tam so lokalne koordinate s središčem x 0 (\displaystyle x_(0)), in v bližini njegove slike - točke y 0 = f (x 0) (\displaystyle y_(0)=f(x_(0)))- obstajajo lokalne koordinate (y 1 , … , y m) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(m))) osredotočeno na f (\displaystyle f) podana z razmerji:

Y 1 = x 1 , … , y r = x r , y r + 1 = 0 , … , y m = 0. (\displaystyle y_(1)=x_(1),\ \ldots ,\ y_(r)=x_(r ),\ y_(r+1)=0,\ \lpike ,\ y_(m)=0.)

Še posebej, če r = n = m (\displaystyle r=n=m), potem so tu še lokalne koordinate (x 1 , … , x n) (\displaystyle (x_(1),\ldots ,x_(n))) osredotočeno na x 0 (\displaystyle x_(0)) in lokalne koordinate (y 1 , … , y n) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(n))) osredotočeno na y 0 (\displaystyle y_(0)), tako da je v njih preslikava f (\displaystyle f) je enaka.

Dogajanje m = 1

V tem primeru ta definicija pomeni, da gradient ∇ f = (f x 1 ′ , … , f x n ′) (\displaystyle \nabla f=(f"_(x_(1)),\ldots ,f"_(x_(n)))) na tej točki izgine.

Predpostavimo, da funkcija f: R n → R (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\do \mathbb (R) ) ima razred gladkosti, ki ni nižji C 3 (\displaystyle C^(3)). Kritična točka funkcije f klical nedegeneriran, če vsebuje Hessian | ∂ 2 f ∂ x 2 | (\displaystyle (\Bigl |)(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))(\Bigr |)) drugačen od nič. V okolici nedegenerirane kritične točke so koordinate, v katerih je funkcija f ima kvadratno normalno obliko (Morsejeva lema).

Naravna posplošitev Morsejeve leme za degenerirane kritične točke je Tujronov izrek: v okolici degenerirane kritične točke funkcije f, ki jih je mogoče diferencirati neskončno velikokrat () končne mnogoternosti μ (\displaystyle \mu ) obstaja koordinatni sistem, v katerem ima gladka funkcija obliko polinoma stopnje μ + 1 (\displaystyle \mu +1)(kot P μ + 1 (x) (\displaystyle P_(\mu +1)(x)) lahko vzamemo Taylorjev polinom funkcije f (x) (\displaystyle f(x)) na točki v prvotnih koordinatah).

pri m = 1 (\displaystyle m=1) Smiselno se je vprašati o maksimumu in minimumu funkcije. Glede na dobro znano izjavo matematične analize zvezno diferencibilna funkcija f (\displaystyle f), definiran po celotnem prostoru R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) ali v svoji odprti podmnožici lahko doseže lokalni maksimum (minimum) samo na kritičnih točkah, in če je točka nedegenerirana, potem matrika (∂ 2 f ∂ x 2) = (∂ 2 f ∂ x i ∂ x j) , (\displaystyle (\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))( \Bigr))=(\Bigl ()(\frac (\delni ^(2)f)(\delni x_(i)\delni x_(j)))(\Bigr)),) i , j = 1 , … , n , (\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,) mora biti negativno (pozitivno) določeno. Slednje je tudi zadosten pogoj za lokalni maksimum (oziroma minimum).

Dogajanje n = m = 2

Kdaj n=m=2 imamo zaslon f ravnina na ravnino (ali dvodimenzionalni mnogoternik na drug dvodimenzionalni mnogoternik). Predpostavimo, da preslikava f diferencialno neskončno število krat ( C ∞ (\displaystyle C^(\infty ))). V tem primeru tipične kritične točke preslikave f so tiste, pri katerih je determinanta jakobove matrike enaka nič, vendar je njen rang enak 1, zato je diferencial preslikave f na takih točkah ima enodimenzionalno jedro. Drugi pogoj tipičnosti je, da v bližini zadevne točke na ravnini inverzne slike množica kritičnih točk tvori pravilno krivuljo S in na skoraj vseh točkah krivulje S jedro ker f ∗ (\displaystyle \ker \,f_(*)) ne zadeva S, in točke, kjer temu ni tako, so izolirane in je tangenca na njih prvega reda. Kritične točke prve vrste se imenujejo pregibne točke in druga vrsta - zbirne točke. Gube in sklopi so edini tipi singularnosti preslikav ravnina v ravnino, ki so stabilni glede na majhne motnje: pri majhnih motnjah se gube in sklopi le rahlo premikajo skupaj z deformacijo krivulje. S, vendar ne izginejo, ne degenerirajo in se ne sesujejo v druge značilnosti.

MKOOUST SANATORIJSKA ŠOLA - INTERNAT

Točka in geometrijske oblike.

Raziskovalno delo v matematiki.

Izpolnil: Anatolij Vasiljev, učenec 3. razreda

Vodja dela:

Dubovaja Natalija Leonidovna,

Učitelj v osnovni šoli.

Tommot, 2013

1. Kratek povzetek. ................................................. ...... ....................2
2. Opomba. ................................................. ...... ................................3
3. Raziskovalni članek. ................................................. .........................................6
4. Zaključek..................................................... ............................................7

Bibliografija.

Kratek povzetek.

Delo preučuje točko in geometrijske like: premico, žarek, segment, kot, trikotnik, štirikotnik, krog in krog ter vlogo točke pri sestavi in ​​konstrukciji teh likov.

Opomba.

Namen študije:ugotoviti, kaj pomenijo pojmi točka in iz česa so sestavljeni geometrijski liki: premica, žarek, kot, štirikotnik, trikotnik, krog.

Predmet študija:točka in definicije geometrijskih likov: premica, žarek, kot, štirikotnik, trikotnik, krog.

Predmet študija:točka in geometrijski liki: premica, žarek, kot, štirikotnik, trikotnik, krog.

Raziskovalna hipoteza:točka je edini geometrijski lik, vsi ostali pa so sestavljeni iz številnih točk.

Raziskovalni cilji:

1. študijsko gradivo na temo: "Točka in geometrijske figure: ravna črta, žarek, kot, štirikotnik, trikotnik, krog.";
2. poiščejo definicije točke, premice, štirikotnika, trikotnika, kota, žarka, kroga;
3. predstavite svoje analize in razmišljanja o tej temi;
4. pripravi predstavitev na podlagi tega raziskovalnega dela.

Raziskovalne metode:študij literature, delo s slovarji, analiza raziskave, zaključek.

Raziskovalni članek.

Matematika je nastala v starih časih iz praktičnih potreb ljudi. Nihče ne bo razpravljal o antiki matematike, vendar obstaja drugačno mnenje o tem, kaj je ljudi spodbudilo k njenemu študiju. Po njegovih besedah ​​so matematiko, tako kot poezijo, slikarstvo, glasbo, gledališče in umetnost nasploh, oživele duhovne potrebe človeka, njegova morda še ne povsem uresničena želja po znanju in lepem.

Ste se kdaj vprašali, kaj je konica in iz česa so sestavljeni geometrijski liki?

Na prvi pogled je tukaj vse jasno: točka je točka, ravna črta je ravna črta, kaj bi lahko bilo tukaj nerazumljivo? No, še vedno, kako to razložiti nekomu, ki tega sploh ne ve in poleg tega vse razume zelo dobesedno? Je res tako preprosto? Izkazalo se je, da sploh ne!

Pri pouku dela, ko smo se učili tehniko izonit, sem domneval, da so vsi geometrijski liki sestavljeni iz pik. Tej temi sem se odločila posvetiti svoje raziskovalno delo.

»Vem, da nič ne vem,« je dejal Sokrat in skozi dialog s sogovornikom poskušal ugotoviti, kaj točno ve. Zato sem se odločil, da najprej ugotovim, kaj vem o geometrijskih oblikah.

Pa si poglejmo definicije geometrijskih oblik, ki jih označuje tema mojega raziskovalnega dela.

1. Pika - to je znamenje, znamenje od dotika, injekcija z nečim ostrim; majhna okrogla lisa, pikica; nekaj zelo majhnega, komaj vidnega. Točka je osnovni geometrijski lik

1. vrstica- to je niz točk. Če je osnova za gradnjo geometrije koncept razdalje med točkami v prostoru, potem lahko premico definiramo kot črto, vzdolž katere je razdalja med dvema točkama najkrajša. neposredno - obstaja črta, ki je enako locirana glede na vse svoje točke. Izraz "linija" izvira iz latinske besede linum - "lan, lanena nit".

_________________________________________________

1. žarek je del premice, ki je sestavljen iz vseh točk te premice, ki ležijo na eni strani dane točke.

1. Odsek črte je del premice, ki ga sestavljajo vse točke te premice, ki ležijo med dvema danima točkama.

1. kotiček- To je figura, ki je sestavljena iz oglišča kota in dveh različnih polpremic, ki se spuščata iz te točke, strani kota.

1. Štirikotnikje lik, ki je sestavljen iz štirih točk in štirih zaporednih segmentov, ki jih povezujejo.

1. Trikotnik - lik, sestavljen iz treh točk, ki ne ležijo na isti premici, povezanih z odseki.

1. Krog -

Krog je lik, ki je sestavljen iz vseh točk ravnine, ki so enako oddaljene od dane točke. Sklenjena črta okoli kroga.

ZAKLJUČEK.

Koncepta točke in ravne črte najdemo povsod v našem življenju. Na primer, če pogledate ruski jezik, je pika ločilo (.), ki ločuje celoten stavek. Tudi v ruskem jeziku obstajajo takšna ločila, kot so podpičje, dvopičje, elipsa.

V fiziki je točka določena vrednost količine.

V geografiji se točka obravnava kot določena lokacija v prostoru.

V biologiji je to točka rasti rastlin.

V kemiji – ledišče, vrelišče, tališče.

V glasbi je pika znak, ki je eden glavnih elementov notnega zapisa.

V matematiki je točka osnovni geometrijski lik; presečišče dveh premic, meja daljice, začetek žarka itd.

Za sestavo katere koli figure potrebujemo točko. Na podlagi definicije ravne črte,ČRTA JE VELIKO PIK, iz definicij pa vemo, da je vsak lik sestavljen s pomočjo točke in premice, zato so vsi liki sestavljeni iz točk.

V našem življenju je pika ikona injekcije, majhna pikica.

Moje raziskovalno delo mi omogoča sklepati, da je točka edini geometrijski lik. Vse se začne s piko in konča z njo in še ni znano, kakšno odkritje bo služilo kot začetek.

Literatura:

1 .Aksenova M.D. Enciklopedija za otroke. T.11. - Matematika, M.: Avanta+, 1999. Stran 575.

2 .Atanasyan L.S., geometrija, 7-9: učbenik za izobraževalne ustanove / 12. izd. - M .: Izobraževanje, 2002. Str. 5, 146, 177,178.

3. Atanasyan L.S., geometrija, 10-11: učbenik za izobraževalne ustanove / 15. izd., dodatno. - M .: Izobraževanje, 2006. Str. 5-7.

4 .Vinogradov I.M., matematična enciklopedija/M .: Sovjetska enciklopedija. Strani 410, 722.

5 .Evgenieva A.P. Slovar ruskega jezika. - M.: Izobraževanje, 1984.

6 .Kabardin O.F. Fizika: referenčni materiali. - M.: Izobraževanje, 1991.

7 .Kramer G. Matematične metode statistike, prevod iz angleščine, 2. izd., M., 1975.

8 .Lapatukhin M.S. Šolski razlagalni slovar ruskega jezika. - M.: Izobraževanje, 1981.

9 .Prohorov A.M. Veliki enciklopedični slovar. - M.: Izobraževanje, 1998.

10. Prokhorov Yu.V. Matematični enciklopedični slovar. - M.: Izobraževanje, 1998.

11 .Savin A.P. Enciklopedični slovar mladega matematika. - M.: Pedagogika, 1985, str.

12 Sharygin I.F. Vizualna geometrija. - M.: Izobraževanje, 1995.

Pika- abstrakten objekt v prostoru, ki nima nobenih merljivih lastnosti (ničdimenzionalni objekt). Točka je eden temeljnih pojmov v matematiki.

Točka v evklidski geometriji

Evklid je točko definiral kot »predmet, ki nima delov«. V sodobni aksiomatiki evklidske geometrije je točka primarni pojem, definiran le s seznamom svojih lastnosti – aksiomi.

V izbranem koordinatnem sistemu lahko vsako točko v dvodimenzionalnem evklidskem prostoru predstavimo kot urejen par ( x; l) realna števila. Prav tako točka n-dimenzionalni evklidski prostor (kot tudi vektorski ali afini prostor) je mogoče predstaviti kot tuple ( a 1 , a 2 , … , a n) od nštevilke.

Povezave

• Točka(angleščina) na spletni strani PlanetMath.
• Weisstein, Eric W. Point (angleščina) na spletni strani Wolfram MathWorld.

točka je:

Vzorec pik. | Točka vbrizgavanja. | Mesto je na zemljevidu označeno z majhno piko in lahko le ugibamo o prisotnosti obvozne ceste.

2. Pika- to je nekaj zelo majhnega, težko vidnega zaradi razdalje ali drugih razlogov.

Pika na obzorju. | Ko se je krogla približevala obzorju na zahodnem nebu, se je začela počasi zmanjševati, dokler ni postala točka.

3. Pika- ločilo, ki se postavlja na koncu stavka ali pri krajšanju besed.

Povej bistvo. | Ne pozabite dati pike na koncu stavka

4. Pri matematiki, geometriji in fiziki pika- to je enota, ki ima položaj v prostoru, mejo odseka črte.

Matematična točka.

5. Pika poimenovati določeno mesto v prostoru, na tleh ali na površini česa.

Točka namestitve. | Točka bolečine.

6. Pika imenujejo kraj, kjer se nekaj nahaja ali izvaja, določeno vozlišče v sistemu ali mreži nekaterih točk.

Vsako maloprodajno mesto mora imeti svoj znak.

7. Pika Imenujejo mejo razvoja nečesa, določeno stopnjo ali trenutek v razvoju.

Najvišja točka. | Točka v razvoju. | Stanje je doseglo kritično točko. | To je najvišja točka manifestacije človeške duhovne moči.

8. Pika Imenujejo temperaturno mejo, pri kateri pride do pretvorbe snovi iz enega agregatnega stanja v drugo.

Vrelišče. | Zmrzišče. | Tališče. | Višja kot je nadmorska višina, nižje je vrelišče vode.

9. Podpičje (;) imenovano ločilo, ki se uporablja za ločevanje običajnih, samostojnejših delov zapletenega stavka.

V angleščini se uporabljajo skoraj enaka ločila kot v ruščini: pika, vejica, podpičje, pomišljaj, apostrof, oklepaj, elipsa, vprašaj in klicaj, vezaj.

10. Ko govorijo o mnenje, pomeni mnenje nekoga o določenem problemu, pogled na stvari.

Drugo stališče, prej skoraj splošno sprejeto, je zdaj manj priljubljeno. | Nihče ne deli tega stališča v našem času.

11. Če o ljudeh rečejo, da imajo stične točke, kar pomeni, da imata skupne interese.

Mogoče najdeva skupni jezik.

12. Če se kaj reče od točke do točke, mislimo na popolnoma natančno ujemanje.

Pika do pike, na mestu, kjer je bilo označeno, je stal avto v barvi kave.

13. Če o osebi rečejo, da je dosegel bistvo To pomeni, da je dosegel skrajno mejo v manifestaciji nekaterih negativnih lastnosti.

Dosegli smo bistvo! Tako ne moreš več živeti! | Ne morete mu reči, da so specialne službe pod njegovim modrim vodstvom dosegle točko.

14. Če nekdo temu naredi konec v nekem poslu pomeni, da ga ustavi.

Potem se je vrnil iz emigracije v domovino, v Rusijo, v Sovjetsko zvezo in s tem končal vsa svoja iskanja in razmišljanja.

15. Če nekdo pike na "i".(oz čez i), kar pomeni, da stvari pripelje do logičnega zaključka in ničesar ne pusti neizrečenega.

Dajmo piko na i. O vaši pobudi nisem vedel nič.

16. Če nekdo zadene eno točko, kar pomeni, da je vse svoje moči osredotočil na dosego enega cilja.

Zato so njegove podobe tako jasne; vedno zadene isto točko, nikoli ga ne zanesejo manjše podrobnosti. | Zelo dobro razume, kaj je naloga njegovega posla in namerno zadene eno točko.

17. Če nekdo zadel v bistvo, pomeni, da je rekel ali naredil natanko tisto, kar je bilo treba, prav je uganil.

Že prvo pismo, ki je prišlo v naslednji krog natečaja, je uredništvo prijetno presenetilo – v eni izmed naštetih možnosti je naš bralec takoj zadel žebljico na glavico!

Akupresura.

Razlagalni slovar ruskega jezika Dmitrieva. D. V. Dmitriev. 2003.

Pika

Pika Lahko pomeni:

• Točka je abstrakten objekt v prostoru, ki nima nobenih merljivih lastnosti razen koordinat.
• Pika je diakritični znak, ki ga lahko postavite nad, pod ali na sredino črke.
• Točka je enota za merjenje razdalje v ruskem in angleškem sistemu mer.
• Pika je ena od predstavitev decimalnega ločila.
• Pika (omrežne tehnologije) - oznaka korenske domene v hierarhiji domen globalnega omrežja.
• Tochka - veriga trgovin z elektroniko in zabavo
• Tochka - album skupine "Leningrad"
• Točka je ruski film iz leta 2006, posnet po istoimenski zgodbi Grigorija Rjažskega
• Tochka je drugi studijski album rap umetnika Stana.
• Tochka - divizijski raketni sistem.
• Tochka - Krasnoyarsk mladinska subkulturna revija.
• Tochka je klubsko in koncertno prizorišče v Moskvi.
• Pika je eden od simbolov Morsejeve abecede.
• Bistvo je kraj bojne dolžnosti.
• Konica (obdelava) - postopek obdelave, struženja, ostrenja.
• TOČKA - Informacijski in analitični program na NTV.
• Tochka je rock skupina iz Norilska, ustanovljena leta 2012.

Toponim

Kazahstan

• Pika- do leta 1992 ime vasi Bayash Utepov v okrožju Ulan regije Vzhodni Kazahstan.

Rusija

• Tochka je vas v okrožju Sheksninsky Vologdske regije.
• Tochka je vas v okrožju Volotovsky v regiji Novgorod.
• Tochka je vas v okrožju Lopatinsky v regiji Penza.

Ali lahko definirate koncepta, kot sta točka in premica?

Naše šole in univerze teh definicij niso imele, čeprav so po mojem mnenju ključne (ne vem, kako je v drugih državah). Te koncepte lahko opredelimo kot »uspešne in neuspešne« in razmislimo, ali je to koristno za razvoj mišljenja.

Rokoborec

Nenavadno je, vendar so nam dali definicijo točke. To je abstrakten objekt (konvencija), ki se nahaja v prostoru, ki nima dimenzij. To je prva stvar, ki so nam jo vbili v glavo že v šoli - točka nima dimenzij, je "ničdimenzionalni" objekt. Pogojni koncept, kot vse v geometriji.

Z ravno črto je še težje. Najprej je to linija. Drugič, to je niz točk, ki se na določen način nahajajo v prostoru. V najpreprostejši definiciji je to črta, ki jo določata dve točki, skozi kateri poteka.

Medivh

Točka je neke vrste abstraktni predmet. Točka ima koordinate, vendar nima mase ali dimenzij. V geometriji se vse začne prav s točko; to je začetek vseh drugih likov (mimogrede, tudi brez točke ne bo začetka besede). Ravna črta je razdalja med dvema točkama.

Leonid Kutnij

Vse je mogoče definirati na kakršen koli način. Vendar obstaja vprašanje: ali bo ta definicija "delovala" v določeni znanosti? Glede na to, kar imamo, nima smisla podajati definicij točke, premice in ravnine. Zelo so mi bili všeč Arthurjevi komentarji. Rad bi dodal, da ima točka veliko lastnosti: nima dolžine, širine, višine, nima mase ali teže itd. Toda glavna lastnost točke je, da jasno kaže lokacijo. predmet, predmet na ravnini, v prostoru. Zato pa rabimo piko na i, bo pa pameten bralec rekel, da potem lahko za piko na i vzamemo knjigo, stol, uro in še kaj. Popolnoma prav! Zato nima smisla podajati definicije točke. S spoštovanjem, L.A. Kutniy

Ravna črta je eden od osnovnih konceptov geometrije.

Pika je ločilo pri pisanju v mnogih jezikih.

Tudi pika je eden od simbolov Morsejeve abecede

Toliko definicij :D

Definicije točke, premice in ravnine sem podal že v poznih 80. in zgodnjih 90. letih 20. stoletja. dam link:

https://yadi.sk/d/bn5Cr4iirZwDP

Zvezek na 328 straneh na popolnoma nov način opisuje kognitivno bistvo teh konceptov, ki so razloženi na podlagi resničnega fizičnega pogleda na svet in občutka »jaz sem«, kar pomeni »jaz« obstajam, tako kot vesolje samo ki ji pripadam obstaja.

Vse, kar je zapisano v tem delu, potrjuje človeško poznavanje narave in njenih lastnosti, ki so že dolgo odkrite in se v tem trenutku še raziskujejo. Matematiko je postalo tako težko razumeti in konceptualizirati, da bi njene abstraktne podobe uporabili v praksi tehnoloških prebojev. Z razkritjem Osnov, ki so temeljna načela, je mogoče tudi osnovnošolcem razložiti razloge za obstoj vesolja. Preberite in se približajte Resnici. Bodite pogumni, svet v katerem obstajamo se pred vami odpira v novi luči.

Ali obstaja definicija pojma "točka" v matematiki in geometriji.

Mihail Levin

Je "nedoločljiv koncept" definicija?

Pravzaprav je ravno negotovost konceptov tista, ki omogoča uporabo matematike na različnih predmetih.

Matematik lahko celo reče "s točko bom razumel evklidsko ravnino, z ravnino - evklidsko točko" - preveri vse aksiome in pridobi novo geometrijo ali nove izreke.

Dejstvo je, da morate za definiranje izraza A uporabiti izraz B. Za definiranje B potrebujete izraz C. In tako naprej ad infinitum. In da bi se rešili te neskončnosti, moramo nekatere pojme sprejeti brez definicij in na njih graditi definicije drugih. ©

Grigorij Piven

V matematiki Piven Gregory Točka je del prostora, ki je abstraktno (zrcalno) vzet kot najmanjši segment dolžine, enak 1, ki se uporablja za merjenje drugih delov prostora. Zato oseba izbere lestvico točke za udobje, za produktiven postopek merjenja: 1 mm, 1 cm, 1 m, 1 km, 1a. e., 1 sv. leto. itd.

Ko smo razumeli, kaj so merske enote in dimenzije, lahko zdaj preidemo na dejanske meritve. Pri šolski matematiki se uporabljata dva merilna instrumenta - (1) ravnilo za merjenje razdalj in (2) kotomer za merjenje kotov.

Pika

Razdalja se vedno meri med katerima koli dvema točkama. V praksi je pika majhna pikica, ki ostane na papirju, če jo zbodemo s svinčnikom ali pisalom. Drug, bolj zaželen način za definiranje točke je risanje križa z dvema tankima črtama, kar ima za posledico definiranje pika njihova križišča. Na risbah v knjigah je točka pogosto upodobljena kot majhen črn krog. Toda vse to so samo približne vizualne podobe in v strogem matematičnem smislu, pika - je namišljen objekt, katerega velikost v vseh smereh je nič. Za matematike je ves svet sestavljen iz točk. Pike so povsod. Ko zabodemo pisalo v papir ali narišemo križec, ne ustvarimo nove točke, ampak samo označimo obstoječo, da bi nanjo pritegnili pozornost nekoga. Če ni navedeno drugače, se predpostavlja, da so točke nepremične in ne spreminjajo svojih relativnih položajev. Vendar si ni težko predstavljati premikajoče se točke, ki se premika iz kraja v kraj, kot da bi se združila z eno fiksno točko, nato z drugo.

Naravnost

Če ravnilo postavimo na dve točki, lahko skozi njiju narišemo ravno črto in še več edina pot. Imaginarna matematika naravnost, narisano vzdolž namišljenega idealnega ravnila, ima debelino nič in se razteza v obe smeri do neskončnosti. V resnični risbi ima ta namišljena struktura obliko:

Pravzaprav je vse na tej risbi napačno. Debelina črte tukaj je očitno večja od nič in ni mogoče reči, da se črta razteza v neskončnost. Kljub temu so takšne nepravilne risbe zelo uporabne kot podpora domišljiji in jih bomo nenehno uporabljali. Da bi bilo lažje razlikovati eno točko od druge, so običajno označene z velikimi črkami latinske abecede. Na tej sliki so na primer točke označene s črkami A in B. Premica, ki poteka skozi točke A in B, samodejno prejme ime »straight AB" Za kratkost zapis ( AB), kjer je beseda »ravna« izpuščena in dodan oklepaj. Ravne črte lahko označimo tudi z malimi črkami. Na zgornji sliki ravna črta AB označen s črko n.

Onkraj pik A in B na ravni črti n obstaja ogromno drugih točk, od katerih je vsako mogoče predstaviti kot presečišče s kakšno drugo premico. Skozi isto točko lahko narišemo veliko različnih ravnih črt.

Če vemo, da na premici obstajajo točke, ki se ne ujemajo A, B, C in D, potem ga lahko upravičeno označimo ne le kot ( AB), pa tudi kako ( A.C.), (BD), (CD) in tako naprej.

Odsek črte. Dolžina segmenta. Razdalja med točkami

Del premice, ki je omejen z dvema točkama, se imenuje segment. Te mejne točke prav tako pripadajo segmentu in se imenujejo njegove konča. Odsek, katerega konci padejo na točke A in B, označeno kot »segment AB"ali, nekoliko krajše, [ AB].

Vsak segment je karakteriziran dolžina- število (po možnosti delno) "korakov", ki jih je treba narediti vzdolž segmenta, da pridete od enega konca do drugega. V tem primeru je dolžina samega "koraka" strogo fiksna vrednost, ki se vzame kot merska enota. Najbolj priročno je izmeriti dolžine segmentov, narisanih na list papirja centimetrov. Če konci segmenta padejo na točke A in B, potem je njegova dolžina označena kot | AB|.

Spodaj razdalja med dvema točkama je dolžina odseka, ki ju povezuje. Dejansko pa za merjenje razdalje ni treba risati segmenta - dovolj je, da na obe točki pritrdite ravnilo (na katerem so vnaprej označene sledi "korakov"). Ker je v matematiki točka fiktivni predmet, nam nič ne preprečuje, da bi v svoji domišljiji uporabili idealno ravnilo, ki meri razdaljo z absolutno natančnostjo. Ne smemo pa pozabiti, da pravo ravnilo, naneseno na lise ali središča križcev na papirju, omogoča nastavitev razdalje le približno - z natančnostjo enega milimetra. Razdalja je vedno nenegativna.

Položaj točke na premici

Naj nam bo dana neka ravna črta. Na njem označimo poljubno točko in jo označimo s črko O. Zraven postavimo številko 0. Poimenujmo eno od dveh možnih smeri vzdolž ravne črte "pozitivno", nasprotno pa "negativno". Običajno je pozitivna smer vzeta od leve proti desni ali od spodaj navzgor, vendar to ni potrebno. Označimo pozitivno smer s puščico, kot je prikazano na sliki:

Zdaj lahko določimo katero koli točko na premici položaj. Položaj točke A podana z vrednostjo, ki je lahko negativna, nič ali pozitivna. Njegova absolutna vrednost je enaka razdalji med točkama O in A(to je dolžina segmenta OA), predznak pa določa smer iz točke O premakniti se moraš, da prideš do bistva A. Če se morate premakniti v pozitivno smer, potem je znak pozitiven. Če je negativen, je predznak negativen. Namesto besede "položaj" se pogosto uporablja beseda "položaj" koordinirati».

Iracionalna in realna števila

Ko imamo opravka z realno risbo in s šolskim ravnilom določimo položaj realne točke na realni odprtini, dobimo vrednost, zaokroženo na najbližji milimeter. Z drugimi besedami, rezultat je vrednost, vzeta iz naslednje serije:

0 mm, 1 mm, −1 mm, 2 mm, −2 mm, 3 mm, −3 mm itd.

Rezultat ne more biti enak na primer 1/3 cm, ker, kot vemo, lahko tretjino centimetra predstavimo kot neskončni periodični ulomek

0,333333333... cm,

ki naj bi po zaokroževanju postala enaka 0,3 cm.

Druga stvar je, ko v svoji domišljiji manipuliramo z idealnimi matematičnimi objekti.

Prvič, v tem primeru lahko preprosto zavržete merske enote in delujete izključno z brezdimenzijskimi količinami. Nato pridemo do geometrijske konstrukcije, s katero smo se seznanili, ko smo šli skozi racionalna števila in smo jo poimenovali številska premica:

Ker je beseda "ravna" v geometriji že močno "obremenjena", se ta ista konstrukcija pogosto imenuje številska os ali preprosto os.

Drugič, dobro si lahko predstavljamo, da je koordinata točke podana z nekim periodičnim decimalnim ulomkom, npr.

Poleg tega si lahko predstavljamo neskončno neperiodično frakcija - kot je npr.

1 ,01 001 0001 00001 000001 0000001 ...

1 ,23 45 67 89 1011 1213 1415 1617 1819 2021 ...

Takšna imaginarna števila, ki jih je mogoče predstaviti kot neskončne neperiodične decimalne ulomke, imenujemo neracionalno. Iracionalna števila skupaj z nam že poznanimi racionalnimi števili tvorijo t.i veljavenštevilke. Namesto besede »pravi« bomo uporabili tudi besedo » resnično" Vsak možni položaj točke na premici je mogoče izraziti kot realno število. In obratno, če nam je dano neko realno število x, vedno si lahko predstavljamo točko X, katerega položaj je določen s številko x.

Pristranskost

Pustiti a- koordinata točke A, A b- koordinata točke B. Potem vrednost

v = b − a

je premik, ki prevaja bistvo A točno B. To postane še posebej očitno, če prejšnjo enakost prepišemo v obliki

b = a + v.

Včasih namesto besede "premik" uporabljajo besedo " vektor" To stanje je enostavno videti x poljubna točka X- to ni nič drugega kot odmik, ki prevaja točko O(s koordinato enako nič) na točko X:

x= 0 + x.

Odmike je mogoče med seboj seštevati in tudi odštevati. Torej, če je odmik ( b − a) prevede bistvo A točno B in odmik ( c − b) točka B točno C, nato odmik

(b − a) + (c − b) = c − a

prevaja točko A točno C.

Opomba. Logično bi bilo treba razjasniti, kako seštevati in odštevati iracionalna števila, saj se lahko izkaže, da je premik iracionalen. Seveda smo matematiki poskrbeli za razvoj ustreznih formalnih postopkov, vendar v praksi tega ne bomo storili, saj približni izračuni z zaokroženimi vrednostmi vedno zadostujejo za reševanje praktičnih problemov. Zaenkrat bomo preprosto verjeli, da sta pojma »seštevanje« in »odštevanje« - kot tudi »množenje« in »deljenje« - pravilno definirana za kateri koli dve realni števili (vendar z opozorilom, da ne more deliti z ničlo).

Tukaj bi bilo morda primerno opozoriti na subtilno razliko med pojmoma "premik" in "razdalja". Razdalja je vedno nenegativna. Dejansko predstavlja premik v absolutni vrednosti. Torej, če je odmik

v = b − a

prevaja točko A točno B, nato razdalja s med točkami A in B enako

s = |v| = |b − a|.

Ta enakost ostane veljavna ne glede na to, katero od obeh števil je večje - a oz b.

Letalo

V praktičnem smislu je letalo kos papirja, na katerega narišemo svoje geometrijske oblike. Namišljeno matematično ravnino se od lista papirja razlikuje po tem, da ima ničelno debelino in neomejeno površino, ki se razteza v različne smeri do neskončnosti. Poleg tega je matematična ravnina za razliko od lista papirja popolnoma toga: nikoli se ne upogne ali zmečka - tudi če je odtrgana od mize in kakor koli postavljena v prostor.

Položaj ravnine v prostoru je enolično določen s tremi točkami (razen če ležijo na kateri koli premici). Da si to bolj jasno predstavljamo, narišimo tri poljubne točke, O, A in B, in skozenj narišite dve ravni črti O.A. in O.B., kot je prikazano na sliki:

"Raztegniti" ravnino v vaši domišljiji na dveh sekajočih se ravnih črtah je nekoliko lažje kot jo "podpreti" na treh točkah. Toda za še večjo jasnost naredimo nekaj dodatnih konstrukcij. Vzemimo naključno nekaj točk: eno kjer koli na črti O.A., drugi pa - kjer koli na ravni črti O.B.. Narišimo novo črto skozi ta par točk. Nato na enak način izberite drug par točk in skozi njih narišite drugo ravno črto. Če ta postopek večkrat ponovimo, dobimo nekaj podobnega spletu:

Na takšno strukturo je že precej preprosto postaviti ravnino - še posebej, ker je ta namišljena mreža lahko tako debela, da bo pokrivala celotno ravnino brez vrzeli.

Upoštevajte, da če vzamemo par divergentnih točk na ravnini in skozi njih narišemo ravno črto, potem bo ta ravna črta nujno ležala v isti ravnini.

Povzetek

Pika (A, B, itd.): namišljen predmet, katerega velikost v vseh smereh je nič.

Naravnost (n, m ali ( AB)): neskončno tanka črta; je narisana skozi dve točki ( A in B) vzdolž črte na nedvoumen način; sega v obe smeri do neskončnosti.

Odsek črte ([AB]): del premice, omejen z dvema točkama ( A in B) - konci segmenta, za katere se prav tako šteje, da pripadajo segmentu.

Dolžina segmenta(|AB|): (delno) število centimetrov (ali druge merske enote), ki se prilega med koncema ( A in B).

Razdalja med dvema točkama: dolžina segmenta s koncema na teh točkah.

Položaj točke na premici (koordinirati): razdalja od točke do nekega vnaprej izbranega središča (tudi ležečega na premici) s pripisanim znakom plus ali minus, odvisno od tega, na kateri strani središča se točka nahaja.

Določen je položaj točke na premici veljaven(resnično)število, in sicer decimalni ulomek, ki je lahko (1) končen ali neskončno periodičen ( racionalna števila) ali (2) neskončno neperiodično ( iracionalna števila).

Pristranskost, ki prevaja bistvo A(s koordinat a) točno B(s koordinat b): v = b − a.

Razdalja je enaka odmiku, vzetemu v absolutni vrednosti: | AB| = |b − a|.

Letalo: neskončno tanek list papirja, ki se razteza na različne strani v neskončnost; je enolično določen s tremi točkami, ki ne ležijo na isti premici.

Glej tudi: http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_07

Dve tisočletji in pol je matematika uporabljala abstrakcijo brezrazsežne točke, ki je v nasprotju ne le z zdravo pametjo, ampak tudi z znanjem o svetu okoli nas, ki so ga pridobile vede, kot so fizika, kemija, kvantna mehanika in računalništvo.

V nasprotju z drugimi abstrakcijami abstrakcija brezdimenzionalne matematične točke ne idealizira realnosti, poenostavlja njeno znanje, ampak jo namerno izkrivlja in ji daje ravno nasprotni pomen, zaradi česar je predvsem bistveno nemogoče razumeti in preučevati prostore višje dimenzije!

Uporabo abstrakcije brezdimenzijske točke v matematiki lahko primerjamo z uporabo enote osnovne valute z vrednostjo nič v ekonomskih izračunih. Na srečo ekonomija tega ni pomislila.

Dokažimo absurdnost abstrakcije brezrazsežne točke.

Izrek. Matematična točka je volumetrična.

Dokaz.

Tako kot pri matematiki

velikost_točke = 0,

Za odsek končne (ničelne) dolžine imamo

Velikost_segmenta = 0 + 0 + ... + 0 = 0.

Nastala ničelna velikost segmenta kot zaporedja njegovih sestavnih točk je v nasprotju s pogojem, da je dolžina segmenta končna. Poleg tega je velikost ničelne točke absurdna, saj vsota ničel ni odvisna od števila členov, to pomeni, da število "ničelnih" točk v segmentu ne vpliva na velikost segmenta.

Zato je začetna predpostavka o ničelni velikosti matematične točke NAPAČNA.

Tako lahko trdimo, da ima matematična točka neničelno (končno) velikost. Ker točka ne pripada samo segmentu, ampak tudi prostoru, v katerem se segment nahaja, ima dimenzijo prostora, to pomeni, da je matematična točka volumetrična. Q.E.D.

Posledica.

Zgornji dokaz, izveden z matematičnim aparatom mlajše skupine vrtca, vliva ponos na brezmejno modrost duhovnikov in adeptov "kraljice vseh znanosti", ki jim je uspelo prenesti skozi tisočletja in ohraniti zanamcem v njegova prvotna oblika je starodavna zabloda človeštva.

Ocene

Dragi Aleksander! Nisem spreten v matematiki, a mogoče mi lahko VI poveste, kje in kdo pravi, da je točka enaka nič? Druga stvar je, da ima neskončno majhno vrednost, celo do dogovorjene točke, vendar sploh ni enaka nič. Tako se lahko vsak segment šteje za nič, saj obstaja drug segment, ki vsebuje neskončno število izvirnih segmentov, grobo rečeno. Mogoče ni treba mešati matematike in fizike. Matematika je veda o obstoju, fizika je veda o obstoju. S spoštovanjem.

Ahila sem dvakrat podrobno omenil in večkrat mimogrede:
"Zakaj Ahil ne dohiti želve"
"Ahil in želva - kockasti paradoks"

Morda je ena od rešitev Zenonovega paradoksa ta, da je prostor diskreten in čas neprekinjen. Verjel je, tako kot vi, da sta oba diskretna. Telo lahko nekaj časa ostane na neki točki v prostoru. Ne more pa biti hkrati na različnih mestih hkrati. Vse to je seveda amaterizem, tako kot celoten naš dialog. S spoštovanjem.
Mimogrede, če je točka tridimenzionalna, kakšne so njene dimenzije?

Diskretnost časa izhaja na primer iz aporije »Puščica«. Samo elektron lahko »ostane na različnih mestih hkrati« za fizike, ki načeloma ne razumejo in ne sprejemajo niti strukture etra niti strukture 4-dimenzionalnega prostora. Drugih primerov tega pojava ne poznam. V najinem pogovoru ne vidim nobenega "amaterstva". Nasprotno, vse je izjemno preprosto: točka je bodisi brezdimenzijska bodisi ima velikost; kontinuiteta in neskončnost obstajata ali pa ju ni. Tretje izbire ni – ali DRŽI ali NE JE! Temeljna načela matematike so na žalost zgrajena na napačnih dogmah, sprejetih iz nevednosti pred 2500 leti.

Velikost točke je odvisna od pogojev rešenega problema in od zahtevane natančnosti. Na primer, če načrtujete orodje za ročno uro, je lahko natančnost omejena z velikostjo atoma, to je osem decimalnih mest. Sam atom bo tukaj fizični analog matematične točke. Morda bo nekje zahtevana natančnost do 16 števk; potem bo vlogo točke igral delec etra. Upoštevajte, da se pogovori o domnevno "neskončni" natančnosti v praksi spremenijo v divjo neumnost ali, milo rečeno, absurd.

Še vedno ne razumem: ali smisel obstaja? Če obstaja objektivno, ima torej določeno fizično vrednost; če obstaja subjektivno, v obliki abstrakcije našega uma, potem ima matematično vrednost. Ničla nima NIČ, ne obstaja, to je abstraktna definicija Neobstoja v matematiki ali praznine v fiziki. Točka ne obstaja sama zase zunaj odnosov. Takoj ko se pojavi druga točka, se pojavi segment - Nekaj ​​itd. To temo je mogoče razvijati neskončno. Z uv.

Zdelo se mi je, da sem dal jasen primer, vendar verjetno ne dovolj podroben. Objektivno obstaja Svet, ki ga znanost spoznava in ga trenutno spoznava predvsem z matematičnimi metodami. Matematika razume svet z gradnjo matematičnih modelov. Za izdelavo teh modelov se uporabljajo predvsem osnovne matematične abstrakcije, kot so: točka, črta, kontinuiteta, neskončnost. Te abstrakcije so osnovne, ker jih ni več mogoče nadalje drobiti in poenostavljati. Vsaka od osnovnih abstrakcij je lahko bodisi ustrezna objektivni realnosti (resnična) bodisi neustrezna (napačna). Vse zgornje abstrakcije so same po sebi napačne, ker so v nasprotju z najnovejšimi spoznanji o resničnem svetu. To pomeni, da te abstrakcije preprečujejo pravilno razumevanje resničnega sveta. To bi lahko nekako tolerirali, medtem ko je znanost preučevala tridimenzionalni svet. Vendar pa abstrakcije brezdimenzionalne točke in kontinuitete naredijo vse svetove višje dimenzije načeloma nespoznavne!

Opeka vesolja - točka - ne more biti prazna. Vsi vedo, da nič ne nastane iz praznine. Fiziki, ki so razglasili, da eter ne obstaja, so svet napolnili s praznino. Verjamem, da jih je v to neumnost potisnila matematika s svojo prazno poanto. Da o atomih-točkah svetov višjih dimenzij od 4D niti ne govorim. Torej za vsako dimenzijo vlogo nedeljive (pogojno) matematične točke igra (pogojno) nedeljiv atom tega sveta (prostora, materije). Za 3D - fizični atom, za 4D - delec etra, za 5D - astralni atom, za 6D - mentalni atom in tako naprej. S spoštovanjem,

Ali ima torej opeka vesolja nekakšno absolutno vrednost? In kako je po vašem videti v eteričnem ali mentalnem svetu. Bojim se celo vprašati o svetovih samih. Z obrestmi...

Delci etra (to niso atomi!) so pari elektron-pozitron, v katerih se sami delci vrtijo relativno drug proti drugemu s svetlobno hitrostjo. To popolnoma pojasni strukturo vseh nukleonov, širjenje elektromagnetnih nihanj in vse učinke tako imenovanega fizičnega vakuuma. Struktura atoma misli ni znana nikomur. Obstaja le dokaz, da so VSI najvišji svetovi materialni, to pomeni, da imajo svoje atome. Vse do zadeve Absoluta. Si pa zaman ironičen. Se vam zdijo črvine in velike eksplozije bolj verjetne?

Kakšna ironija tukaj, samo malo sem bil začuden po takem plazu informacij. Jaz, za razliko od vas, nisem profesionalec in težko kaj rečem o pet- ali šestdimenzionalnosti prostorov. Govorim o naši dolgoletni točki ... Kolikor razumem, ste proti materialni kontinuiteti, in pika, imate resnično obstoječi "demokratski" atom. "Opeka vesolja." Mogoče sem bil nepozoren, a vseeno bi težko ponovil, kakšna je njegova struktura, fizikalni parametri, dimenzije itd.
In še odgovorite, ali enota obstaja sama po sebi, kot taka, zunaj kakršnih koli odnosov? Hvala vam.