Gaussova metoda nima rešitev. Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb, v katerih število enačb ne sovpada s številom neznank ali je glavna matrika sistema singularna, z uporabo Gaussove metode

Danes si ogledujemo Gaussovo metodo za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb. Kaj so ti sistemi, si lahko preberete v prejšnjem članku, posvečenem reševanju istih SLAE z metodo Cramer. Gaussova metoda ne zahteva posebnega znanja, potrebujete le pozornost in doslednost. Kljub temu, da z matematičnega vidika za uporabo zadostuje šolska izobrazba, učenci pogosto težko obvladajo to metodo. V tem članku jih bomo poskušali zmanjšati na nič!

Gaussova metoda

M Gaussova metoda– najbolj univerzalna metoda za reševanje SLAE (z izjemo zelo velikih sistemov). Za razliko od prej omenjenega je primeren ne le za sisteme, ki imajo eno samo rešitev, ampak tudi za sisteme, ki imajo neskončno število rešitev. Tukaj so možne tri možnosti.

1. Sistem ima edinstveno rešitev (determinanta glavne matrike sistema ni enaka nič);
2. Sistem ima neskončno število rešitev;
3. Ni rešitev, sistem je nekompatibilen.

Torej imamo sistem (naj ima eno rešitev) in rešili ga bomo po Gaussovi metodi. Kako deluje?

Gaussova metoda je sestavljena iz dveh stopenj - naprej in inverzno.

Neposredna poteza Gaussove metode

Najprej zapišimo razširjeno matriko sistema. Če želite to narediti, glavni matriki dodajte stolpec brezplačnih članov.

Celotno bistvo Gaussove metode je spraviti to matriko v stopničasto (ali, kot pravijo tudi, trikotno) obliko z elementarnimi transformacijami. V tej obliki naj bodo pod (ali nad) glavno diagonalo matrike samo ničle.

Kaj lahko narediš:

1. Vrstice matrike lahko preuredite;
2. Če so v matriki enake (ali sorazmerne) vrstice, lahko odstranite vse razen ene;
3. Niz lahko pomnožite ali delite s poljubnim številom (razen z ničlo);
4. Ničelne vrstice so odstranjene;
5. Nizu lahko dodate niz, pomnožen s številom, ki ni nič.

Reverzna Gaussova metoda

Potem ko sistem preoblikujemo na ta način, ena neznanka Xn postane znan, vse preostale neznanke pa lahko poiščete v obratnem vrstnem redu, tako da že znane x-e nadomestite v enačbe sistema, do prvega.

Ko je internet vedno pri roki, lahko rešite sistem enačb po Gaussovi metodi na spletu. Samo koeficiente morate vnesti v spletni kalkulator. Vendar morate priznati, da je veliko bolj prijetno spoznati, da primera ni rešil računalniški program, ampak vaši možgani.

Primer reševanja sistema enačb z Gaussovo metodo

In zdaj - primer, da bo vse postalo jasno in razumljivo. Naj bo podan sistem linearnih enačb, ki ga morate rešiti z Gaussovo metodo:

Najprej zapišemo razširjeno matriko:

Zdaj pa naredimo transformacije. Ne pozabimo, da moramo doseči trikoten videz matrice. Pomnožimo 1. vrstico s (3). Pomnožite 2. vrstico z (-1). Dodajte 2. vrstico 1. in dobite:

Nato pomnožite 3. vrstico z (-1). Dodajmo 3. vrstico 2. vrstici:

Pomnožimo 1. vrstico s (6). Pomnožimo 2. vrstico z (13). Dodajmo 2. vrstico 1.:

Voila - sistem je pripeljan v ustrezno obliko. Ostaja še iskanje neznank:

Sistem v tem primeru ima edinstveno rešitev. Reševanje sistemov z neskončnim številom rešitev bomo obravnavali v posebnem članku. Morda sprva ne boste vedeli, kje začeti preoblikovati matriko, a po primerni vaji se boste tega naučili in boste SLAE z Gaussovo metodo razbijali kot orehe. In če nenadoma naletite na SLA, ki se izkaže za pretrd oreh, se obrnite na naše avtorje! lahko tako, da pustite zahtevo v dopisni pisarni. Skupaj bomo rešili vsako težavo!

Ena od univerzalnih in učinkovitih metod za reševanje linearnih algebraičnih sistemov je Gaussova metoda , ki sestoji iz zaporednega izločanja neznank.

Spomnimo se, da se imenujeta dva sistema enakovreden (ekvivalentni), če množice njihovih rešitev sovpadajo. Z drugimi besedami, sistemi so enakovredni, če je vsaka rešitev enega od njih rešitev drugega in obratno. Enakovredne sisteme dobimo, ko elementarne transformacije enačbe sistema:

množenje obeh strani enačbe s številom, ki ni nič;

dodajanje v neko enačbo ustreznih delov druge enačbe, pomnoženih s številom, ki ni nič;

preurejanje dveh enačb.

Naj bo podan sistem enačb

Postopek reševanja tega sistema z Gaussovo metodo je sestavljen iz dveh stopenj. Na prvi stopnji (neposredno gibanje) se sistem z uporabo elementarnih transformacij zmanjša na postopno , oz trikotne obliki, na drugi stopnji (obratno) pa je zaporedno, začenši od zadnje številke spremenljivke, določanje neznank iz nastalega sistema korakov.

Predpostavimo, da je koeficient tega sistema
, sicer lahko v sistemu prvo vrstico zamenjamo s katero koli drugo vrstico, tako da je koeficient pri je bil drugačen od nič.

Preoblikujemo sistem z odpravo neznanega v vseh enačbah razen v prvi. Če želite to narediti, pomnožite obe strani prve enačbe z in seštejte člen za členom z drugo enačbo sistema. Nato pomnožite obe strani prve enačbe z in ga dodajte tretji enačbi sistema. Z nadaljevanjem tega procesa dobimo enakovreden sistem

Tukaj
– nove vrednosti koeficientov in prostih členov, ki jih dobimo po prvem koraku.

Podobno, če upoštevamo glavni element
, izključite neznano iz vseh enačb sistema razen prve in druge. Nadaljujmo s tem postopkom čim dlje in kot rezultat bomo dobili stopenjski sistem

,

Kje ,
,…,– glavni elementi sistema
.

Če se v procesu redukcije sistema na stopenjsko obliko pojavijo enačbe, tj.
, se zavržejo, ker jih zadovolji kateri koli nabor števil
. Če pri
Če se pojavi enačba oblike, ki nima rešitev, to kaže na nekompatibilnost sistema.

Med vzvratno potezo je prva neznanka izražena iz zadnje enačbe transformiranega sistema korakov skozi vse druge neznanke
ki se imenujejo prost . Nato izraz spremenljivke iz zadnje enačbe sistema nadomestimo v predzadnjo enačbo in iz nje izrazimo spremenljivko
. Spremenljivke so definirane zaporedno na podoben način
. Spremenljivke
, izražene s prostimi spremenljivkami, imenujemo osnovni (odvisno). Rezultat je splošna rešitev sistema linearnih enačb.

Najti zasebna rešitev sistemi, prosti neznan
v splošni rešitvi so dodeljene poljubne vrednosti in izračunane so vrednosti spremenljivk
.

Tehnično bolj priročno je, da elementarnim transformacijam ne podvržemo sistemskih enačb samih, temveč razširjeno matriko sistema

.

Gaussova metoda je univerzalna metoda, ki vam omogoča reševanje ne samo kvadratnih, ampak tudi pravokotnih sistemov, v katerih je število neznank
ni enako številu enačb
.

Prednost te metode je tudi v tem, da v procesu reševanja sistem istočasno preverjamo na združljivost, saj po podani razširjeni matriki
v stopenjsko obliko je enostavno določiti range matrike in razširjeno matriko
in se prijavi Kronecker-Capellijev izrek .

Primer 2.1 Rešite sistem z Gaussovo metodo

rešitev. Število enačb
in število neznank
.

Ustvarimo razširjeno matriko sistema z dodelitvijo koeficientov na desni strani matrike stolpec za brezplačne člane .

Predstavimo matrico na trikotni pogled; Da bi to naredili, bomo pridobili "0" pod elementi, ki se nahajajo na glavni diagonali, z uporabo elementarnih transformacij.

Če želite dobiti "0" na drugem mestu prvega stolpca, pomnožite prvo vrstico z (-1) in jo dodajte drugi vrstici.

To transformacijo zapišemo kot številko (-1) proti prvi vrstici in jo označimo s puščico, ki gre iz prve v drugo vrstico.

Če želite dobiti "0" na tretjem mestu prvega stolpca, pomnožite prvo vrstico z (-3) in dodajte tretji vrstici; Pokažimo to dejanje s puščico, ki gre od prve vrstice do tretje.

.

V dobljeni matriki, zapisani drugi v verigi matrik, dobimo v drugem stolpcu na tretjem mestu »0«. Da bi to naredili, smo drugo vrstico pomnožili z (-4) in jo dodali tretji. V dobljeni matriki drugo vrstico pomnožite z (-1) in tretjo delite z (-8). Vsi elementi te matrike, ki ležijo pod diagonalnimi elementi, so ničle.

Ker , sistem je sodelovalen in definiran.

Sistem enačb, ki ustreza zadnji matriki, ima trikotno obliko:

Iz zadnje (tretje) enačbe
. Nadomestimo v drugo enačbo in dobimo
.

Zamenjajmo
in
v prvo enačbo, najdemo


.

1. Sistem linearnih algebrskih enačb

1.1 Koncept sistema linearnih algebrskih enačb

Sistem enačb je pogoj, ki ga sestavlja hkratno izvajanje več enačb glede na več spremenljivk. Sistem linearnih algebrskih enačb (v nadaljevanju SLAE), ki vsebuje m enačb in n neznank, imenujemo sistem oblike:

kjer se števila a ij imenujejo sistemski koeficienti, števila b i pa prosti členi, a ij in b i(i=1,…, m; b=1,…, n) predstavljajo nekatera znana števila in x 1 ,…, x n– neznano. Pri označevanju koeficientov a ij prvi indeks i označuje številko enačbe, drugi j pa številko neznanke, pri kateri stoji ta koeficient. Treba je najti števila x n. Takšen sistem je priročno zapisati v kompaktni matrični obliki: AX=B. Tukaj je A matrika sistemskih koeficientov, imenovana glavna matrika;

Produkt matrik A*X je definiran, saj je v matriki A toliko stolpcev, kot je vrstic v matriki X (n kosov).

Razširjena matrika sistema je matrika A sistema, dopolnjena s stolpcem prostih členov

1.2 Reševanje sistema linearnih algebrskih enačb

Rešitev sistema enačb je urejena množica števil (vrednosti spremenljivk), ko jih nadomestimo namesto spremenljivk, se vsaka enačba sistema spremeni v pravo enakost.

Rešitev sistema je n vrednosti neznank x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, pri zamenjavi katerih vse enačbe sistema postanejo prave enačbe. Vsako rešitev sistema lahko zapišemo kot stolpčno matriko

Sistem enačb imenujemo konsistenten, če ima vsaj eno rešitev, in nekonzistenten, če nima nobene rešitve.

Za konsistenten sistem pravimo, da je določen, če ima eno samo rešitev, in nedoločen, če ima več kot eno rešitev. V slednjem primeru se vsaka njegova rešitev imenuje posebna rešitev sistema. Množico vseh partikularnih rešitev imenujemo splošna rešitev.

Reševanje sistema pomeni ugotoviti, ali je združljiv ali neskladen. Če je sistem skladen, poiščite njegovo splošno rešitev.

Dva sistema imenujemo enakovredna (ekvivalentna), če imata enako splošno rešitev. Z drugimi besedami, sistemi so enakovredni, če je vsaka rešitev enega od njih rešitev drugega in obratno.

Transformacija, katere uporaba spremeni sistem v nov sistem, enakovreden prvotnemu, se imenuje ekvivalentna ali enakovredna transformacija. Primeri enakovrednih transformacij vključujejo naslednje transformacije: zamenjava dveh enačb sistema, zamenjava dveh neznank skupaj s koeficienti vseh enačb, množenje obeh strani katere koli enačbe sistema s številom, ki ni nič.

Sistem linearnih enačb se imenuje homogen, če so vsi prosti členi enaki nič:

Homogen sistem je vedno konsistenten, saj je x1=x2=x3=…=xn=0 rešitev sistema. Ta rešitev se imenuje ničelna ali trivialna.

2. Gaussova eliminacijska metoda

2.1 Bistvo Gaussove eliminacijske metode

Klasična metoda reševanja sistemov linearnih algebrskih enačb je metoda zaporednega izločanja neznank - Gaussova metoda(imenuje se tudi Gaussova eliminacijska metoda). To je metoda zaporednega izločanja spremenljivk, ko se z uporabo elementarnih transformacij sistem enačb reducira na enakovredni sistem stopničaste (ali trikotne) oblike, iz katere se zaporedno najdejo vse druge spremenljivke, začenši z zadnjo (z število) spremenljivke.

Postopek reševanja po Gaussovi metodi je sestavljen iz dveh stopenj: premik naprej in nazaj.

1. Neposredni udarec.

Na prvi stopnji se izvede tako imenovana direktna poteza, ko se z elementarnimi preobrazbami po vrstah sistem spravi v stopničasto ali trikotno obliko ali pa se ugotovi, da je sistem nekompatibilen. Med elementi prvega stolpca matrike namreč izberemo neničelnega, ga s preurejanjem vrstic premaknemo na skrajno zgornjo lego in od preostalih vrstic po prerazporeditvi odštejemo nastalo prvo vrstico in jo pomnožimo z vrednostjo enaka razmerju med prvim elementom vsake od teh vrstic in prvim elementom prve vrstice, s čimer je stolpec pod njim ničel.

Ko so te transformacije končane, se prva vrstica in prvi stolpec miselno prečrta in nadaljuje, dokler ne ostane matrika ničelne velikosti. Če pri kateri koli ponovitvi med elementi prvega stolpca ni neničelnega elementa, pojdite na naslednji stolpec in izvedite podobno operacijo.

Na prvi stopnji (neposredni hod) se sistem zmanjša na stopničasto (zlasti trikotno) obliko.

Spodnji sistem ima postopno obliko:

Koeficienti aii se imenujejo glavni (vodilni) elementi sistema.

Transformirajmo sistem tako, da izločimo neznanko x1 v vseh enačbah razen v prvi (z uporabo elementarnih transformacij sistema). Če želite to narediti, pomnožite obe strani prve enačbe z

Če nadaljujemo s tem postopkom, dobimo enakovreden sistem:

Tako se v prvem koraku uničijo vsi koeficienti, ki ležijo pod prvim vodilnim elementom a 11

Če se v procesu redukcije sistema na stopenjsko obliko pojavijo ničelne enačbe, tj. enakosti oblike 0=0, se zavržejo. Če se pojavi enačba oblike

Tu se neposredno napredovanje Gaussove metode konča.

2. Povratni hod.

Na drugi stopnji se izvede tako imenovana obratna poteza, katere bistvo je izraziti vse nastale osnovne spremenljivke v smislu nebazičnih in zgraditi temeljni sistem rešitev ali, če so vse spremenljivke bazične , nato numerično izrazite edino rešitev sistema linearnih enačb.

Ta postopek se začne z zadnjo enačbo, iz katere se izrazi ustrezna osnovna spremenljivka (v njej je samo ena) in se nadomesti s prejšnjimi enačbami in tako naprej po »stopnicah«.

Vsaka vrstica ustreza natanko eni bazni spremenljivki, tako da na vsakem koraku, razen na zadnjem (najvišjem), situacija natančno ponavlja primer zadnje vrstice.

Opomba: v praksi je bolj priročno delati ne s sistemom, ampak z njegovo razširjeno matriko, ki izvaja vse osnovne transformacije v svojih vrsticah. Primerno je, da je koeficient a11 enak 1 (enačbe preuredite ali delite obe strani enačbe z a11).

2.2 Primeri reševanja SLAE z Gaussovo metodo

V tem razdelku bomo na treh različnih primerih pokazali, kako lahko Gaussova metoda reši SLAE.

Primer 1. Rešite SLAE 3. reda.

Ponastavimo koeficiente na

Nadaljujemo z obravnavanjem sistemov linearnih enačb. Ta lekcija je tretja na temo. Če imate nejasno predstavo o tem, kaj je na splošno sistem linearnih enačb, če se počutite kot čajnik, potem priporočam, da začnete z osnovami na strani Naprej, koristno je preučiti lekcijo.

Gaussova metoda je enostavna! Zakaj? Slavni nemški matematik Johann Carl Friedrich Gauss je že v času svojega življenja prejel priznanje za največjega matematika vseh časov, genija in celo vzdevek »kralj matematike«. In vse genialno, kot veste, je preprosto! Mimogrede, denarja ne dobijo le naivneži, ampak tudi geniji - Gaussov portret je bil na bankovcu za 10 nemških mark (pred uvedbo evra), Gauss pa se še danes skrivnostno nasmiha Nemcem z običajnih poštnih znamk.

Gaussova metoda je preprosta v tem, da ZNANJE PETOŠOLCA ZADOSTOJA, da jo obvlada. Moraš znati seštevati in množiti! Ni naključje, da učitelji pri izbirnih predmetih matematike pogosto upoštevajo metodo zaporednega izločanja neznank. To je paradoks, vendar se študentom Gaussova metoda zdi najtežja. Nič presenetljivega - vse je v metodologiji in poskušal bom govoriti o algoritmu metode v dostopni obliki.

Najprej sistematizirajmo nekaj znanja o sistemih linearnih enačb. Sistem linearnih enačb lahko:

1) Imejte edinstveno rešitev. 2) Imeti neskončno veliko rešitev. 3) Nimate rešitev (bodite neskupni).

Gaussova metoda je najmočnejše in univerzalno orodje za iskanje rešitve kaj sistemi linearnih enačb. Kot se spomnimo, Cramerjevo pravilo in matrična metoda niso primerni v primerih, ko ima sistem neskončno veliko rešitev ali je nekonzistenten. In metoda zaporednega izločanja neznank Kakorkoli že nas bo pripeljal do odgovora! V tej lekciji bomo ponovno obravnavali Gaussovo metodo za primer št. 1 (edina rešitev sistema), članek je posvečen situacijam točk št. 2-3. Opažam, da algoritem same metode deluje enako v vseh treh primerih.

Vrnimo se k najpreprostejšemu sistemu iz lekcije Kako rešiti sistem linearnih enačb? in ga rešite z Gaussovo metodo.

Prvi korak je zapisovanje razširjena sistemska matrika: . Mislim, da lahko vsak vidi, po kakšnem principu so napisani koeficienti. Navpična črta znotraj matrike nima matematičnega pomena - je preprosto prečrtana zaradi lažjega oblikovanja.

Referenca : Priporočam, da se spomnite pogoji linearna algebra. Sistemska matrica je matrika, sestavljena samo iz koeficientov za neznanke, v tem primeru matrika sistema: . Razširjena sistemska matrica – to je ista matrika sistema plus stolpec prostih izrazov, v tem primeru: . Za kratkost lahko katero koli matriko preprosto imenujemo matrika.

Ko je razširjena sistemska matrika napisana, je potrebno z njo izvesti nekaj dejanj, ki se imenujejo tudi elementarne transformacije.

Obstajajo naslednje osnovne transformacije:

1) Strune matrice Lahko preurediti ponekod. Na primer, v obravnavani matriki lahko neboleče preuredite prvo in drugo vrstico:

2) Če v matriki obstajajo (ali so se pojavile) sorazmerne (kot poseben primer - enake) vrstice, potem morate izbrisati Vse te vrstice so iz matrike razen ene. Razmislite na primer o matriki . V tej matriki so zadnje tri vrstice sorazmerne, zato je dovolj, da pustite samo eno od njih: .

3) Če se v matriki med transformacijami pojavi ničelna vrstica, potem bi morala biti tudi izbrisati. Seveda ne bom risal, ničelna črta je črta, v kateri vse ničle.

4) Vrstica matrike je lahko pomnožiti (deliti) na poljubno številko različen od nič. Razmislite na primer o matriki. Tukaj je priporočljivo, da prvo vrstico delite z –3 in drugo vrstico pomnožite z 2: . To dejanje je zelo uporabno, saj poenostavi nadaljnje transformacije matrike.

5) Ta preobrazba povzroča največ težav, vendar v resnici tudi ni nič zapletenega. V vrstico matrike lahko dodajte še en niz, pomnožen s številom, drugačen od nič. Oglejmo si našo matriko iz praktičnega primera: . Najprej bom zelo podrobno opisal transformacijo. Pomnožite prvo vrstico z –2: , In drugi vrstici dodamo prvo vrstico pomnoženo z –2: . Zdaj lahko prvo vrstico razdelimo "nazaj" z –2: . Kot lahko vidite, vrstica, ki ADD LI – se ni spremenilo. Nenehno spremeni se vrstica KATERI JE DODANO UT.

V praksi tega seveda ne napišejo tako podrobno, ampak napišejo na kratko: Še enkrat: v drugo vrstico dodal prvo vrstico, pomnoženo z –2. Vrstica se običajno množi ustno ali na osnutku, pri čemer proces miselnega izračuna poteka nekako takole:

»Prepišem matriko in prepišem prvo vrstico: »

»Prvi stolpec. Na dnu moram dobiti ničlo. Zato tistega na vrhu pomnožim z –2: , v drugo vrstico pa dodam prvega: 2 + (–2) = 0. Rezultat zapišem v drugo vrstico: »

»Zdaj pa drugi stolpec. Na vrhu pomnožim -1 z -2: . V drugo vrstico prištejem prvo: 1 + 2 = 3. Rezultat zapišem v drugo vrstico: »

»In tretji stolpec. Na vrhu pomnožim -5 z -2: . V drugo vrstico prištejem prvo: –7 + 10 = 3. Rezultat zapišem v drugo vrstico: »

Prosimo, da natančno razumete ta primer in razumete algoritem zaporednega izračuna, če to razumete, potem je Gaussova metoda praktično v vašem žepu. Seveda pa bomo še vedno delali na tej transformaciji.

Elementarne transformacije ne spremenijo rešitve sistema enačb

! POZOR: obravnavane manipulacije ne more uporabljati, če vam ponudijo nalogo, pri kateri so matrike podane »same od sebe«. Na primer s "klasično" operacije z matricami V nobenem primeru ne smete ničesar preurediti znotraj matric! Vrnimo se k našemu sistemu. Tako rekoč razrezana je na koščke.

Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo z elementarnimi transformacijami reduciramo na stopničast pogled:

(1) Prva vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z –2. In še enkrat: zakaj prvo vrstico pomnožimo z –2? Da bi dobili ničlo na dnu, kar pomeni, da se znebite ene spremenljivke v drugi vrstici.

(2) Drugo vrstico delite s 3.

Namen elementarnih transformacij – reduciraj matriko na postopno obliko: . Pri zasnovi naloge samo označijo "stopnice" s preprostim svinčnikom in obkrožijo tudi številke, ki se nahajajo na "stopnicah". Sam izraz "stopničasti pogled" ni povsem teoretičen, v znanstveni in izobraževalni literaturi se pogosto imenuje trapezni pogled oz trikotni pogled.

Kot rezultat elementarnih transformacij smo dobili enakovreden izvirni sistem enačb:

Zdaj je treba sistem "odviti" v nasprotni smeri - od spodaj navzgor se imenuje ta postopek obratno od Gaussove metode.

V spodnji enačbi imamo že pripravljen rezultat: .

Razmislimo o prvi enačbi sistema in vanjo nadomestimo že znano vrednost "y":

Razmislimo o najpogostejši situaciji, ko Gaussova metoda zahteva reševanje sistema treh linearnih enačb s tremi neznankami.

Primer 1

Rešite sistem enačb z Gaussovo metodo:

Zapišimo razširjeno matriko sistema:

Zdaj bom takoj izrisal rezultat, do katerega bomo prišli med reševanjem: In ponavljam, naš cilj je spraviti matriko v postopno obliko z uporabo elementarnih transformacij. Kje začeti?

Najprej poglejte številko zgoraj levo: Skoraj vedno bi moral biti tukaj enota. Na splošno velja –1 (in včasih tudi druge številke), vendar se je nekako tradicionalno zgodilo, da je ena običajno tam. Kako organizirati enoto? Pogledamo prvi stolpec - imamo končano enoto! Prva transformacija: zamenjajte prvo in tretjo vrstico:

Zdaj bo prva vrstica ostala nespremenjena do konca rešitve. Zdaj pa dobro.

Enota v zgornjem levem kotu je organizirana. Zdaj morate dobiti ničle na teh mestih:

Ničle dobimo s "težko" transformacijo. Najprej se ukvarjamo z drugo vrstico (2, –1, 3, 13). Kaj je treba narediti, da dobimo ničlo na prvem mestu? Moram drugi vrstici dodajte prvo vrstico, pomnoženo z –2. Miselno ali na osnutku pomnožite prvo vrstico z –2: (–2, –4, 2, –18). In dosledno izvajamo (spet mentalno ali na osnutku) dodajanje, drugi vrstici dodamo prvo vrstico, že pomnoženo z –2:

Rezultat zapišemo v drugo vrstico:

Na enak način ravnamo s tretjo vrstico (3, 2, –5, –1). Če želite dobiti ničlo na prvem mestu, potrebujete tretji vrstici dodajte prvo vrstico, pomnoženo z –3. Miselno ali na osnutku pomnožite prvo vrstico z –3: (–3, –6, 3, –27). IN tretji vrstici dodamo prvo vrstico pomnoženo z –3:

Rezultat zapišemo v tretjo vrstico:

V praksi se ta dejanja običajno izvajajo ustno in zapišejo v enem koraku:

Ni treba šteti vsega naenkrat in ob istem času. Vrstni red izračunov in »vpisovanje« rezultatov dosledno in običajno je tako: najprej prepišemo prvo vrstico in se počasi napihnemo - DOSLEDNO in POZORNO:
Zgoraj sem že razpravljal o mentalnem procesu samih izračunov.

V tem primeru je to enostavno; drugo vrstico delimo z –5 (ker so vsa števila deljiva s 5 brez ostanka). Istočasno tretjo vrstico delimo z –2, saj manjša kot so števila, enostavnejša je rešitev:

Na zadnji stopnji elementarnih transformacij morate tukaj dobiti še eno ničlo:

Za to tretji vrstici dodamo drugo vrstico pomnoženo z –2:
Poskusite sami ugotoviti to dejanje - v mislih pomnožite drugo vrstico z –2 in izvedite seštevanje.

Zadnje izvedeno dejanje je pričeska rezultata, tretjo vrstico razdelite s 3.

Kot rezultat elementarnih transformacij smo dobili enakovredni sistem linearnih enačb: Kul.

Zdaj pride v poštev obratna Gaussova metoda. Enačbe se "razvijajo" od spodaj navzgor.

V tretji enačbi že imamo pripravljen rezultat:

Poglejmo drugo enačbo: . Pomen "zet" je že znan, tako:

In končno, prva enačba: . "Igrek" in "zet" sta znana, gre le za malenkosti:

Odgovori:

Kot je bilo že večkrat omenjeno, je za vsak sistem enačb možno in potrebno preveriti najdeno rešitev, na srečo pa je to enostavno in hitro.

Primer 2

To je primer samostojne rešitve, vzorec končne zasnove in odgovor na koncu lekcije.

Treba je opozoriti, da vaš napredek odločitve morda ne sovpada z mojim odločanjem, in to je značilnost Gaussove metode. Toda odgovori morajo biti enaki!

Primer 3

Rešite sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo

Pogledamo zgornjo levo "stopničko". Enega bi morali imeti tam. Težava je v tem, da v prvem stolpcu sploh ni enot, zato preurejanje vrstic ne bo rešilo ničesar. V takšnih primerih mora biti enota organizirana z uporabo elementarne transformacije. To je običajno mogoče storiti na več načinov. Naredil sem tole: (1) Prvi vrstici dodamo drugo vrstico, pomnoženo z –1. To pomeni, da smo drugo vrstico v mislih pomnožili z –1 ter sešteli prvo in drugo vrstico, medtem ko se druga vrstica ni spremenila.

Zdaj zgoraj levo je "minus ena", kar nam zelo ustreza. Kdor želi dobiti +1, lahko izvede dodatno potezo: prvo vrstico pomnoži z –1 (spremeni predznak).

(2) Prva vrstica, pomnožena s 5, je bila dodana drugi vrstici, pomnoženi s 3.

(3) Prva vrstica je bila pomnožena z –1, načeloma je to zaradi lepote. Spremenili smo tudi predznak tretje vrstice in jo premaknili na drugo mesto, tako da smo na drugi “stopnici” imeli zahtevano enoto.

(4) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z 2.

(5) Tretja vrstica je bila deljena s 3.

Slab znak, ki kaže na napako v izračunih (redkeje tipkarsko napako), je "slab" rezultat. To je, če bi dobili nekaj podobnega, spodaj, in v skladu s tem, , potem lahko z veliko verjetnostjo rečemo, da je prišlo do napake pri elementarnih transformacijah.

Mi zaračunavamo obratno, pri oblikovanju primerov pogosto ne prepišejo samega sistema, ampak so enačbe »vzete neposredno iz podane matrike«. Obratna poteza, spomnim vas, deluje od spodaj navzgor. Ja, tukaj je darilo:

Odgovori: .

Primer 4

Rešite sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo

To je primer, ki ga morate rešiti sami, je nekoliko bolj zapleten. Nič hudega, če se kdo zmede. Celotna rešitev in vzorčna zasnova na koncu lekcije. Vaša rešitev se lahko razlikuje od moje rešitve.

V zadnjem delu si bomo ogledali nekatere značilnosti Gaussovega algoritma. Prva značilnost je, da včasih nekatere spremenljivke manjkajo v sistemskih enačbah, na primer: Kako pravilno napisati matriko razširjenega sistema? O tej točki sem že govoril v razredu. Cramerjevo pravilo. Matrična metoda. V razširjeni matriki sistema smo namesto manjkajočih spremenljivk postavili ničle: Mimogrede, to je dokaj enostaven primer, saj ima prvi stolpec že eno ničlo in je treba izvesti manj osnovnih transformacij.

Druga značilnost je ta. V vseh obravnavanih primerih smo na "stopnice" postavili -1 ali +1. Ali so tam lahko druge številke? V nekaterih primerih lahko. Razmislite o sistemu: .

Tukaj na zgornji levi "stopnici" imamo dva. Opazimo pa dejstvo, da so vsa števila v prvem stolpcu deljiva z 2 brez ostanka – drugi pa je dva in šest. In dva levo zgoraj nam bosta prav prišla! V prvem koraku morate izvesti naslednje transformacije: dodati prvo vrstico, pomnoženo z –1, drugi vrstici; tretji vrstici dodajte prvo vrstico, pomnoženo z –3. Tako bomo v prvem stolpcu dobili zahtevane ničle.

Ali drug običajen primer: . Tukaj nam ustreza tudi trojka na drugem “stopenju”, saj je 12 (mesto, kjer moramo dobiti ničlo) deljivo s 3 brez ostanka. Potrebno je izvesti naslednjo transformacijo: tretjo vrstico dodajte drugo vrstico, pomnoženo z –4, zaradi česar bomo dobili ničlo, ki jo potrebujemo.

Gaussova metoda je univerzalna, vendar ima eno posebnost. Lahko se samozavestno naučite reševati sisteme z drugimi metodami (Cramerjeva metoda, matrična metoda) dobesedno prvič - imajo zelo strog algoritem. Toda, da bi se počutili samozavestni v Gaussovi metodi, bi morali "dobiti zobe" in rešiti vsaj 5-10 deset sistemov. Zato lahko sprva pride do zmede in napak v izračunih in v tem ni nič nenavadnega ali tragičnega.

Zunaj okna deževno jesensko vreme.... Zato za vse, ki želite bolj zapleten primer, ki bi ga rešili sami:

Primer 5

Rešite sistem 4 linearnih enačb s štirimi neznankami z Gaussovo metodo.

Takšna naloga v praksi ni tako redka. Mislim, da bo tudi čajnik, ki je temeljito preučil to stran, intuitivno razumel algoritem za rešitev takšnega sistema. V bistvu je vse enako - samo dejanj je več.

V lekciji obravnavamo primere, ko sistem nima rešitev (nekonsistenten) ali ima neskončno veliko rešitev. Nekompatibilni sistemi in sistemi s skupno rešitvijo. Tam lahko popravite obravnavani algoritem Gaussove metode.

Želim ti uspeh!

Rešitve in odgovori:

Primer 2: rešitev : Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike.
Izvedene osnovne transformacije: (1) Prva vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z –2. Prva vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z –1. Pozor! Tu vas bo morda zamikalo, da bi odšteli prvo od tretje vrstice; toplo priporočam, da je ne odštejete - tveganje napake se močno poveča. Samo zložite ga! (2) Spremenjen je bil predznak druge vrstice (pomnožen z –1). Druga in tretja vrstica sta zamenjani. Opomba , da se na “stopnicah” zadovoljimo ne samo z enico, ampak tudi z –1, kar je še bolj priročno. (3) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena s 5. (4) Spremenjen je bil predznak druge vrstice (pomnožen z –1). Tretja vrstica je bila deljena s 14.

Zadaj:

Odgovori : .

Primer 4: rešitev : Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike:

Izvedene konverzije: (1) Prvi vrstici je bila dodana druga vrstica. Tako je želena enota organizirana na zgornji levi “stopnici”. (2) Prva vrstica, pomnožena s 7, je bila dodana drugi vrstici, pomnoženi s 6.

Z drugim "korakom" se vse poslabša , sta »kandidata« zanjo števili 17 in 23, potrebujemo pa eno ali –1. Transformacije (3) in (4) bodo namenjene pridobivanju želene enote (3) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z –1. (4) Tretja vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z –3. Zahtevani element v drugem koraku je bil prejet. . (5) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena s 6. (6) Druga vrstica je bila pomnožena z –1, tretja vrstica je bila deljena z –83.

Zadaj:

Odgovori :

Primer 5: rešitev : Zapišimo matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike:

Izvedene konverzije: (1) Prva in druga vrstica sta bili zamenjani. (2) Prva vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z –2. Prva vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z –2. Prva vrstica je bila dodana četrti vrstici, pomnožena z –3. (3) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnoženi s 4. Druga vrstica je bila dodana četrti vrstici, pomnoženi z –1. (4) Spremenjen je bil predznak druge vrstice. Četrta vrstica je bila razdeljena s 3 in postavljena namesto tretje vrstice. (5) Tretja vrstica je bila dodana četrti vrstici, pomnožena z –5.

Zadaj:

Odgovori :

Gaussova metoda kot nalašč za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb (SLAE). V primerjavi z drugimi metodami ima številne prednosti:

• prvič, sistema enačb ni treba najprej preučiti glede skladnosti;
• drugič, Gaussova metoda lahko reši ne samo SLAE, v katerih število enačb sovpada s številom neznanih spremenljivk in glavna matrika sistema ni singularna, ampak tudi sisteme enačb, v katerih število enačb ne sovpada s številom enačb. število neznanih spremenljivk ali determinanta glavne matrike je enaka nič;
• tretjič, Gaussova metoda vodi do rezultatov z relativno majhnim številom računskih operacij.

Kratek pregled članka.

Najprej podamo potrebne definicije in uvedemo oznake.

Nato bomo opisali algoritem Gaussove metode za najpreprostejši primer, to je za sisteme linearnih algebrskih enačb, v katerih število enačb sovpada s številom neznanih spremenljivk, determinanta glavne matrike sistema pa je ni enako nič. Pri reševanju tovrstnih sistemov enačb je najbolj jasno vidno bistvo Gaussove metode, ki je zaporedno izločanje neznanih spremenljivk. Zato Gaussovo metodo imenujemo tudi metoda zaporednega izločanja neznank. Prikazali bomo podrobne rešitve več primerov.

Za zaključek bomo obravnavali rešitev z Gaussovo metodo sistemov linearnih algebrskih enačb, katerih glavna matrika je pravokotna ali singularna. Rešitev takih sistemov ima nekaj funkcij, ki jih bomo podrobneje preučili na primerih.

Navigacija po straneh.

Osnovne definicije in zapisi.

Razmislite o sistemu p linearnih enačb z n neznankami (p je lahko enak n):

Kjer so neznane spremenljivke, so števila (realna ali kompleksna) in prosti izrazi.

če , potem se imenuje sistem linearnih algebrskih enačb homogena, drugače - heterogena.

Imenuje se niz vrednosti neznanih spremenljivk, za katere vse enačbe sistema postanejo identitete odločitev SLAU.

Če obstaja vsaj ena rešitev sistema linearnih algebrskih enačb, se imenuje sklep, drugače - neskupni.

Če ima SLAE edinstveno rešitev, se ta pokliče določene. Če obstaja več kot ena rešitev, se sistem pokliče negotova.

Pravijo, da je sistem zapisan v koordinatna oblika, če ima obliko
.

Ta sistem v matrična oblika evidenca ima obliko kje - glavna matrika SLAE, - matrika stolpca neznanih spremenljivk, - matrika prostih členov.

Če matriki A dodamo matriko-stolpec prostih členov kot (n+1) stolpec, dobimo t.i. razširjena matrika sistemi linearnih enačb. Običajno je razširjena matrika označena s črko T, stolpec prostih izrazov pa je ločen z navpično črto od preostalih stolpcev, to je

Kvadratna matrika A se imenuje degeneriran, če je njegova determinanta nič. Če , potem je matrika A klicana nedegeneriran.

Upoštevati je treba naslednjo točko.

Če izvedete naslednja dejanja s sistemom linearnih algebrskih enačb

• zamenjaj dve enačbi,
• pomnožite obe strani poljubne enačbe s poljubnim realnim (ali kompleksnim) številom k, ki ni nič,
• obema stranema katere koli enačbe dodajte ustrezne dele druge enačbe, pomnožene s poljubnim številom k,

potem dobite enakovreden sistem, ki ima enake rešitve (ali, tako kot izvirni, nima rešitev).

Za razširjeno matriko sistema linearnih algebrskih enačb bodo ta dejanja pomenila izvedbo elementarnih transformacij z vrsticami:

• zamenjava dveh vrstic,
• množenje vseh elementov katerekoli vrstice matrike T z neničelnim številom k,
• dodajanje elementom poljubne vrstice matrike ustreznih elementov druge vrstice, pomnoženih s poljubnim številom k.

Zdaj lahko nadaljujemo z opisom Gaussove metode.

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb, v katerih je število enačb enako številu neznank in je glavna matrika sistema nesingularna, z uporabo Gaussove metode.

Kaj bi počeli v šoli, če bi dobili nalogo najti rešitev sistema enačb? .

Nekateri bi to storili.

Upoštevajte, da se lahko z dodajanjem leve strani prve k levi strani druge enačbe in desne strani k desni strani znebite neznanih spremenljivk x 2 in x 3 ter takoj najdete x 1:

Najdeno vrednost x 1 =1 nadomestimo v prvo in tretjo enačbo sistema:

Če obe strani tretje enačbe sistema pomnožimo z -1 in ju prištejemo ustreznim delom prve enačbe, se znebimo neznane spremenljivke x 3 in lahko najdemo x 2:

Dobljeno vrednost x 2 = 2 nadomestimo v tretjo enačbo in poiščemo preostalo neznano spremenljivko x 3:

Drugi bi naredili drugače.

Razrešimo prvo enačbo sistema glede na neznano spremenljivko x 1 in dobljeni izraz nadomestimo v drugo in tretjo enačbo sistema, da to spremenljivko izločimo iz njiju:

Zdaj pa rešimo drugo enačbo sistema za x 2 in dobljeni rezultat nadomestimo s tretjo enačbo, da izločimo neznano spremenljivko x 2 iz nje:

Iz tretje enačbe sistema je jasno, da je x 3 =3. Iz druge enačbe najdemo , in iz prve enačbe dobimo .

Znane rešitve, kajne?

Najbolj zanimivo pri tem je, da je druga metoda reševanja v bistvu metoda zaporednega izločanja neznank, torej Gaussova metoda. Ko smo neznane spremenljivke izrazili (najprej x 1, na naslednji stopnji x 2) in jih nadomestili v preostale enačbe sistema, smo jih s tem izločili. Izločanje smo izvajali, dokler v zadnji enačbi ni ostala samo ena neznana spremenljivka. Postopek zaporednega izločanja neznank se imenuje direktna Gaussova metoda. Po končanem premikanju naprej imamo možnost izračunati neznano spremenljivko, ki jo najdemo v zadnji enačbi. Z njegovo pomočjo poiščemo naslednjo neznano spremenljivko iz predzadnje enačbe itd. Imenuje se postopek zaporednega iskanja neznanih spremenljivk med premikanjem od zadnje enačbe k prvi obratno od Gaussove metode.

Upoštevati je treba, da ko v prvi enačbi izrazimo x 1 z x 2 in x 3 in nato dobljeni izraz nadomestimo v drugo in tretjo enačbo, naslednja dejanja vodijo do enakega rezultata:

Pravzaprav tak postopek omogoča tudi izločitev neznane spremenljivke x 1 iz druge in tretje enačbe sistema:

Nianse pri izločanju neznanih spremenljivk z uporabo Gaussove metode nastanejo, ko enačbe sistema ne vsebujejo nekaterih spremenljivk.

Na primer v SLAU v prvi enačbi ni neznane spremenljivke x 1 (z drugimi besedami, koeficient pred njo je nič). Zato ne moremo rešiti prve enačbe sistema za x 1, da bi izločili to neznano spremenljivko iz preostalih enačb. Izhod iz te situacije je zamenjava enačb sistema. Ker obravnavamo sisteme linearnih enačb, katerih determinante glavnih matrik so različne od nič, vedno obstaja enačba, v kateri je spremenljivka, ki jo potrebujemo, in to enačbo lahko preuredimo na položaj, ki ga potrebujemo. Za naš primer je dovolj, da zamenjamo prvo in drugo enačbo sistema , potem lahko razrešite prvo enačbo za x 1 in jo izključite iz preostalih enačb sistema (čeprav x 1 ni več prisoten v drugi enačbi).

Upamo, da razumete bistvo.

Naj opišemo Algoritem Gaussove metode.

Recimo, da moramo rešiti sistem n linearnih algebrskih enačb z n neznanimi spremenljivkami oblike , in naj bo determinanta njegove glavne matrike drugačna od nič.

Predpostavili bomo, da , saj lahko to vedno dosežemo s preureditvijo enačb sistema. Izločimo neznano spremenljivko x 1 iz vseh enačb sistema, začenši z drugo. Da bi to naredili, drugi enačbi sistema dodamo prvo, pomnoženo z , tretji enačbi dodamo prvo, pomnoženo z , in tako naprej, n-ti enačbi dodamo prvo, pomnoženo z . Sistem enačb po takih transformacijah bo dobil obliko

kje in .

Do enakega rezultata bi prišli, če bi x 1 izrazili z drugimi neznanimi spremenljivkami v prvi enačbi sistema in dobljeni izraz nadomestili v vse druge enačbe. Tako je spremenljivka x 1 izključena iz vseh enačb, začenši z drugo.

V nadaljevanju postopamo na podoben način, vendar le z delom nastalega sistema, ki je označen na sliki

Da bi to naredili, tretji enačbi sistema dodamo drugo, pomnoženo z , četrti enačbi dodamo drugo, pomnoženo z , in tako naprej, n-ti enačbi dodamo drugo, pomnoženo z . Sistem enačb po takih transformacijah bo dobil obliko

kje in . Tako je spremenljivka x 2 izključena iz vseh enačb, začenši s tretjo.

Nato nadaljujemo z izločanjem neznanke x 3, pri čemer ravnamo podobno z delom sistema, ki je označen na sliki.

Tako nadaljujemo z neposrednim napredovanjem Gaussove metode, dokler sistem ne prevzame oblike

Od tega trenutka začnemo obratno Gaussovo metodo: izračunamo x n iz zadnje enačbe kot .

Oglejmo si algoritem na primeru.

Primer.

Gaussova metoda.

rešitev.

Koeficient a 11 je drugačen od nič, zato pojdimo na neposredno napredovanje Gaussove metode, to je na izločitev neznane spremenljivke x 1 iz vseh enačb sistema razen prve. Če želite to narediti, levi in ​​desni strani druge, tretje in četrte enačbe dodajte levo in desno stran prve enačbe, pomnoženo z. in:

Neznana spremenljivka x 1 je bila izločena, pojdimo k izločitvi x 2 . Levi in ​​desni strani tretje in četrte enačbe sistema dodamo levo in desno stran druge enačbe, pomnožene s in :

Za dokončanje nadaljnjega napredovanja Gaussove metode moramo odstraniti neznano spremenljivko x 3 iz zadnje enačbe sistema. Levi in ​​desni strani četrte enačbe prištejmo levo in desno stran tretje enačbe, pomnoženo z :

Lahko začnete obratno od Gaussove metode.

Iz zadnje enačbe imamo ,
iz tretje enačbe dobimo,
od drugega,
od prvega.

Če želite preveriti, lahko dobljene vrednosti neznanih spremenljivk nadomestite z izvirnim sistemom enačb. Vse enačbe se spremenijo v identitete, kar pomeni, da je bila rešitev z Gaussovo metodo najdena pravilno.

odgovor:

Zdaj pa dajmo rešitev za isti primer z uporabo Gaussove metode v matričnem zapisu.

Primer.

Poiščite rešitev sistema enačb Gaussova metoda.

rešitev.

Razširjena matrika sistema ima obliko . Na vrhu vsakega stolpca so neznane spremenljivke, ki ustrezajo elementom matrike.

Neposredni pristop Gaussove metode tukaj vključuje redukcijo razširjene matrike sistema na trapezoidno obliko z uporabo elementarnih transformacij. Ta proces je podoben izločanju neznanih spremenljivk, ki smo ga naredili s sistemom v koordinatni obliki. Zdaj boste videli to.

Preoblikujemo matriko tako, da vsi elementi v prvem stolpcu, začenši z drugim, postanejo nič. Da bi to naredili, elementom druge, tretje in četrte vrstice dodamo ustrezne elemente prve vrstice, pomnožene z , in temu primerno:

Nato transformiramo nastalo matriko tako, da v drugem stolpcu vsi elementi, začenši s tretjim, postanejo nič. To bi ustrezalo izločitvi neznane spremenljivke x 2 . Da bi to naredili, elementom tretje in četrte vrstice dodamo ustrezne elemente prve vrstice matrike, pomnožene z oz. in :

Ostaja še izključitev neznane spremenljivke x 3 iz zadnje enačbe sistema. Da bi to naredili, elementom zadnje vrstice dobljene matrike dodamo ustrezne elemente predzadnje vrstice, pomnožene z :

Opozoriti je treba, da ta matrika ustreza sistemu linearnih enačb

ki je bil pridobljen prej po premiku naprej.

Čas je, da se obrnemo. V matričnem zapisu inverz Gaussove metode vključuje transformacijo nastale matrike tako, da matrika, označena na sliki

postala diagonalna, to je dobila obliko

kje so neke številke.

Te transformacije so podobne naprej transformacijam Gaussove metode, vendar se ne izvajajo od prve vrstice do zadnje, ampak od zadnje do prve.

Elementom tretje, druge in prve vrstice dodajte ustrezne elemente zadnje vrstice, pomnožene s , naprej in naprej oziroma:

Sedaj elementom druge in prve vrstice dodajte ustrezne elemente tretje vrstice, pomnožene z oz.

V zadnjem koraku reverzne Gaussove metode elementom prve vrstice dodamo ustrezne elemente druge vrstice, pomnožene z:

Dobljena matrika ustreza sistemu enačb , od koder najdemo neznane spremenljivke.

odgovor:

OPOMBA.

Pri uporabi Gaussove metode za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb se je treba izogibati približnim izračunom, saj lahko to povzroči popolnoma napačne rezultate. Priporočamo, da decimalnih mest ne zaokrožujete. Bolje je preiti z decimalnih ulomkov na navadne ulomke.

Primer.

Rešite sistem treh enačb z Gaussovo metodo .

rešitev.

Upoštevajte, da imajo v tem primeru neznane spremenljivke drugačno oznako (ne x 1, x 2, x 3, temveč x, y, z). Pojdimo k navadnim ulomkom:

Izključimo neznanko x iz druge in tretje enačbe sistema:

V dobljenem sistemu neznana spremenljivka y ni v drugi enačbi, vendar je y prisoten v tretji enačbi, zato zamenjajmo drugo in tretjo enačbo:

S tem je dokončano neposredno napredovanje Gaussove metode (iz tretje enačbe ni treba izključiti y, ker ta neznana spremenljivka ne obstaja več).

Začnimo z obratnim gibom.

Iz zadnje enačbe najdemo ,
od predzadnjega


iz prve enačbe, ki jo imamo

odgovor:

X = 10, y = 5, z = -20.

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb, v katerih število enačb ne sovpada s številom neznank ali je glavna matrika sistema singularna, z uporabo Gaussove metode.

Sistemi enačb, katerih glavna matrika je pravokotna ali kvadratna singularna, morda nimajo rešitev, lahko imajo eno samo rešitev ali pa neskončno število rešitev.

Zdaj bomo razumeli, kako nam Gaussova metoda omogoča ugotavljanje združljivosti ali neskladnosti sistema linearnih enačb in v primeru njegove združljivosti določitev vseh rešitev (ali ene same rešitve).

Načeloma ostaja postopek izločanja neznanih spremenljivk v primeru takih SLAE enak. Vendar pa je vredno podrobneje opisati nekatere situacije, ki se lahko pojavijo.

Pojdimo na najpomembnejšo fazo.

Predpostavimo torej, da ima sistem linearnih algebrskih enačb po zaključku napredovanja Gaussove metode obliko in niti ena enačba ni bila reducirana na (v tem primeru bi sklepali, da je sistem nekompatibilen). Postavlja se logično vprašanje: "Kaj storiti naprej"?

Zapišimo neznane spremenljivke, ki so prve v vseh enačbah nastalega sistema:

V našem primeru so to x 1, x 4 in x 5. Na levih straneh enačb sistema pustimo le tiste člene, ki vsebujejo zapisane neznane spremenljivke x 1, x 4 in x 5, preostale člene prenesemo na desno stran enačb z nasprotnim predznakom:

Dajmo neznanim spremenljivkam, ki so na desni strani enačb, poljubne vrednosti, kjer - poljubna števila:

Po tem desne strani vseh enačb našega SLAE vsebujejo števila in lahko nadaljujemo z obratno Gaussovo metodo.

Iz zadnje enačbe sistema imamo, iz predzadnje enačbe najdemo, iz prve enačbe dobimo

Rešitev sistema enačb je niz vrednosti neznanih spremenljivk

Dajanje številk različne vrednosti, bomo dobili različne rešitve sistema enačb. To pomeni, da ima naš sistem enačb neskončno veliko rešitev.

odgovor:

Kje - poljubna števila.

Za utrjevanje gradiva bomo podrobno analizirali rešitve več primerov.

Primer.

Rešite homogeni sistem linearnih algebrskih enačb Gaussova metoda.

rešitev.

Izključimo neznano spremenljivko x iz druge in tretje enačbe sistema. Da bi to naredili, levi in ​​desni strani druge enačbe dodamo levo in desno stran prve enačbe, pomnoženo z , ter levi in ​​desni strani tretje enačbe dodamo levo in desne strani prve enačbe, pomnožene z:

Zdaj pa izključimo y iz tretje enačbe nastalega sistema enačb:

Nastali SLAE je enakovreden sistemu .

Na levi strani sistemskih enačb pustimo samo člene, ki vsebujejo neznani spremenljivki x in y, člene z neznano spremenljivko z pa premaknemo na desno stran: