Iteracijska metoda za sisteme nelinearnih enačb. Numerične metode: reševanje nelinearnih enačb

Preučevanje različnih pojavov ali procesov z matematičnimi metodami se izvaja z uporabo matematičnega modela . Matematični model je formaliziran opis preučevanega predmeta s pomočjo sistemov linearnih, nelinearnih ali diferencialnih enačb, sistemov neenačb, določenega integrala, polinoma z neznanimi koeficienti itd. Matematični model mora zajemati najpomembnejše značilnosti predmeta preučujejo in odražajo povezave med njimi.

Ko je matematični model sestavljen, nadaljujte s formulacijo računskega problema . Hkrati se ugotovi, katere značilnosti matematičnega modela so začetni (vhodni) podatki , kateri - parametri modela , in kateri - izhodni podatki. Nastali problem analiziramo z vidika obstoja in edinstvenosti rešitve.

Na naslednji stopnji je izbrana metoda za rešitev problema. V mnogih specifičnih primerih ni mogoče najti rešitve problema v eksplicitni obliki, saj ta ni izražena skozi elementarne funkcije. Takšne težave je mogoče rešiti le približno. Računske (numerične) metode pomenijo približne postopke, ki omogočajo pridobitev rešitve v obliki določenih numeričnih vrednosti. Računalniške metode se običajno izvajajo na računalniku. Za rešitev istega problema je mogoče uporabiti različne računske metode, zato morate znati oceniti kakovost različnih metod in učinkovitost njihove uporabe za določen problem.

Nato se za izvedbo izbrane računske metode sestavi algoritem in računalniški program . Za sodobnega inženirja je pomembno, da zna problem preoblikovati v obliko, primerno za izvedbo na računalniku, in sestaviti algoritem za rešitev takšnega problema.

Trenutno se pogosto uporabljajo kot paketi, ki izvajajo najbolj splošne metode za reševanje širokega spektra problemov (na primer Mathcad,
MatLAB), kot tudi pakete, ki izvajajo metode za reševanje posebnih problemov.

Rezultati izračuna se analizirajo in interpretirajo. Po potrebi se prilagodijo parametri metode, včasih tudi matematični model, in začne se nov cikel reševanja problema.

1.1. Oblikovanje problema

Naj bo dana neka funkcija in morate najti vse ali nekatere vrednosti, za katere .

Vrednost, pri kateri , se imenuje korenina(oz odločitev) enačbe. Pogosto se domneva, da je funkcija dvakrat zvezno diferencibilna v okolici korena.

Koren enačbe se imenuje preprosto,če prvi odvod funkcije v točki ni enak nič, tj. Če , potem se imenuje koren večkratni koren.

Geometrijsko gledano je koren enačbe presečišče grafa funkcije z abscisno osjo. Na sl. Slika 1 prikazuje graf funkcije, ki ima štiri korenine: dve enostavni in dve večkratni.

Večina metod za reševanje enačb je osredotočena na iskanje preprostih korenin.

1.2. Glavne faze iskanja rešitve

V procesu približno iskanja korenin enačbe običajno ločimo dve stopnji: lokalizacija(oz ločitev) korenine in razjasnitev korenin.

Lokalizacija korena vključuje definiranje segmenta, ki vsebuje eno in samo eno korenino. Univerzalnega algoritma za lokalizacijo korena ni. Včasih je priročno lokalizirati koren z izdelavo grafa ali tabele funkcijskih vrednosti. Prisotnost korena na segmentu je označena z razliko v predznakih funkcije na koncih segmenta. Osnova za to je naslednji izrek.

Izrek . Če je funkcija zvezna na segmentu in na svojih koncih zavzame vrednosti različnih predznakov, tako da , potem segment vsebuje vsaj en koren enačbe.

Vendar sodega množičnega korena na ta način ni mogoče lokalizirati, saj ima funkcija v bližini takega korena konstanten predznak. Na stopnji prečiščevanja korena se izračuna približna vrednost korena z dano natančnostjo. Približna vrednost korena se izboljša z različnimi iterativnimi metodami. Bistvo teh metod je zaporedno izračunavanje vrednosti, ki so približki korenu.

1.3. Metoda polovične delitve

Polovična metoda je najenostavnejši in najbolj zanesljiv način za reševanje nelinearne enačbe. Iz predhodne analize naj bo znano, da je koren enačbe na segmentu , tj. tako da . Naj bo funkcija zvezna na segmentu in zavzema vrednosti različnih predznakov na koncih segmenta, tj. .

Segment razdelite na pol. Vzemimo bistvo. Izračunajmo vrednost funkcije na tej točki: . Če je , potem je želeni koren in problem je rešen. Če , potem - številka določenega znaka: bodisi. Nato imajo vrednosti funkcije na koncu segmenta ali na koncu segmenta različne predznake. Označimo tak segment. Očitno je, da je dolžina segmenta dvakrat manjša od dolžine segmenta. Naredimo enako s segmentom. Kot rezultat dobimo koren ali nov segment itd. (slika 2).

Sredina th segmenta. Očitno bo dolžina segmenta enaka , In ker , potem

Kriterij prenehanja. Iz relacije (1) sledi, da je za dano aproksimacijsko natančnost izračun se konča, ko je neenakost ali neenakost izpolnjena. Tako je mogoče vnaprej določiti število ponovitev. Vrednost je vzeta kot približna vrednost korena.

Primer. Najdemo ga približno z natančnostjo. Ta problem je enakovreden reševanju enačbe ali iskanju ničle funkcije. Vzemimo segment kot začetni segment. Na koncu tega segmenta funkcija prevzame vrednosti z različnimi predznaki: . Poiščimo število delitev segmenta, ki je potrebno za doseganje zahtevane natančnosti. Imamo:

Zato bomo najkasneje do 6. delitve z zahtevano natančnostjo našli . Rezultati izračuna so predstavljeni v tabeli 1.

Tabela 1

1.4. Enostavna iteracijska metoda

Naj enačbo nadomestimo z enakovredno enačbo

Izberimo na nek način začetni približek. Izračunajmo vrednost funkcije pri in poiščimo prečiščeno vrednost. Zamenjajmo zdaj v enačbo (1) in dobimo nov približek itd. Če ta proces nadaljujemo v nedogled, dobimo zaporedje približkov korenu:

Formula (3) je formula za izračun enostavna iteracijska metoda.

Če zaporedje konvergira pri , tj. obstaja

in je funkcija zvezna, potem s prehodom na limito v (3) in ob upoštevanju (4) dobimo: .

Tako je torej koren enačbe (2).

Konvergenca metode. Konvergenco metode enostavne iteracije ugotavlja naslednji izrek.

Izrek. Naj bo funkcija definirana in diferencibilna na intervalu, vse njene vrednosti pa so . Potem, če je pogoj izpolnjen:

1) iteracijski proces konvergira ne glede na začetno vrednost;

2) mejna vrednost je edini koren enačbe na intervalu.

Dokaz. Ker in , Lahko pišemo

V skladu s izrekom o srednji vrednosti (navaja, da če je odvod funkcije zvezen na določenem intervalu, potem je tangens naklonskega kota tetive, narisane med točkama in , (tj. enak odvodu funkcije) na neki vmesni točki, ki leži med in ) bo količnik v zadnjem izrazu enak , kjer je neka vmesna točka v intervalu iskanja korenov.

Če uvedemo zapis za celoten interval iskanja, lahko prejšnjo enakost prepišemo kot:

Prav tako. Potem bo neenakost veljala za: itd. Če nadaljujemo s temi izračuni, je rezultat , kjer je naravno število. Da bi torej metoda konvergirala, mora biti izpolnjena naslednja neenakost: .

Iz tega sledi, da mora biti manj kot ena. Po drugi strani pa lahko za vse druge vrednosti, manjše od , zapišemo: . Število določimo iz relacije. Potem velja naslednja neenakost (glej izpeljavo spodaj): . Če postavimo pogoj, da se mora prava vrednost korena razlikovati od približne vrednosti za toliko, tj. , potem je treba izračunati približke, dokler ni neenakost izpolnjena

ali in potem.

Izpeljava neenakosti Upoštevajte dva zaporedna približka: in . Od tod.

Z uporabo izreka o srednji vrednosti dobimo:

potem lahko na podlagi pogoja zapišemo:

Po drugi strani pa naj. Očitno je, da. Od tu, ob upoštevanju tega, dobimo

Potem oz.

Z uporabo prejšnje formule lahko dobite:

Prestavimo se na limit v enačbi (3), zaradi kontinuitete funkcije dobimo , torej koren enačbe (2). Drugih korenin ni, saj če , potem , potem , kje . Enakost na nič bo dosežena, če . To pomeni, da je samo en koren.

Izrek je dokazan.

Zmanjšanje enačbe na obliko
zagotoviti izpolnitev neenakosti

V splošnem primeru je mogoče pridobiti ustrezno iterativno obliko z izvedbo ekvivalentne transformacije izvirne enačbe, na primer z množenjem s koeficientom: . S tem ko dodamo na obe strani enačbe in označimo, lahko zahtevamo izpolnitev zadostnega pogoja. Od tu se določi zahtevana vrednost. Ker mora biti pogoj izpolnjen na celotnem segmentu, je treba za izbor uporabiti največjo vrednost na tem segmentu, tj.

To razmerje določa razpon vrednosti koeficienta, spreminjanje vrednosti v mejah.

Običajno sprejeto.

Na sl. 3-6 prikazuje štiri primere relativnih položajev črt in pripadajoče iterativne procese. riž. 3 in 4 ustrezata primeru , iterativni proces pa konvergira. V tem primeru, če (slika 3), je konvergenca enostranska, če (slika 4), pa je konvergenca dvostranska, oscilatorna. riž. 5 in 6 ustrezata primeru - postopek iteracije se razlikuje. V tem primeru lahko pride do enostranske (slika 5) in dvostranske (slika 6) divergence.

Napaka metode. Ocena napake je bila dokazana (5).

Kriterij prenehanja. Iz ocene (5) sledi, da je treba z izračuni nadaljevati, dokler neenakost ni izpolnjena. Če je , potem je ocena poenostavljena: .

Primer 1. Za rešitev enačbe z natančnostjo uporabljamo preprosto iteracijsko metodo. Pretvorimo enačbo v obliko:

, tj. .

Preprosto je preveriti, da je koren enačbe na segmentu. Po izračunu vrednosti na koncih segmenta dobimo: , a, tj. funkcija na koncih segmenta ima različne znake,

zato je znotraj segmenta koren. Lokacija korenine je jasno prikazana na sl. 7.

Izračunajmo prvi in ​​drugi odvod funkcije:

Ker na odseku , odvod monotono narašča na tem odseku in dobi največjo vrednost na desnem koncu odseka, to je v točki . Zato je naslednja ocena pravična:

Tako je pogoj izpolnjen in lahko uporabimo kriterij za zaključek izračunov. V tabeli 2 prikazuje približke, dobljene z uporabo formule za izračun. Vrednost, izbrana kot začetni približek, je .

tabela 2

Merilo odpovedi je izpolnjeno, ko . Konvergenca je dvosmerna; kvalitativna narava takšne konvergence je prikazana na sl. 4. Približna vrednost korena z zahtevano natančnostjo.

Primer 2. Rešite enačbo na segmentu z uporabo enostavne iteracijske metode z natančnostjo 0,025. Za rešitev se prvotna enačba reducira na obliko . Za izbiro vrednosti uporabimo zgornjo formulo. Potem je formula za izračun videti takole. Kot začetni približek lahko izberete zgornjo mejo danega segmenta.

Od takrat.

1.5. Newtonova metoda (tangentna metoda)

Newtonova metoda je najučinkovitejša metoda za reševanje nelinearnih enačb. Naj korenina , tj. Predpostavimo, da je funkcija zvezna na intervalu in dvakrat zvezno diferencibilna na intervalu. Postavimo . Na graf funkcije narišimo tangento v točki (slika 8).

Tangentna enačba bo videti takole: .

Prvo presečišče dobimo tako, da vzamemo absciso presečišča te tangente z osjo, to je tako, da postavimo: .

Enako bomo naredili s točko, nato s točko itd., tako da dobimo zaporedje približkov in

Formula (6) je formula za izračun Newtonove metode.

Newtonovo metodo lahko obravnavamo kot poseben primer metode preproste iteracije, za katero .

Konvergenca metode. Konvergenca Newtonove metode je dokazana z naslednjim izrekom.

Izrek. Naj bo preprost koren enačbe in v neki okolici tega korena je funkcija dvakrat zvezno diferenciabilna. Potem obstaja tako majhna okolica korena, da s poljubno izbiro začetnega približka iz te okolice iteracijsko zaporedje, definirano s formulo (6), ne preseže te okolice in je ocena veljavna:

Konvergenca Newtonove metode je odvisna od tega, kako blizu korena je izbrana začetna ugibanja.

Izbira začetnega približka. Naj bo segment, ki vsebuje koren. Če kot začetni približek izberemo konec odseka, za katerega , potem iteracije (6) konvergirajo in to monotono. riž. 8 ustreza primeru, ko je bil desni konec segmenta izbran kot začetni približek: (Tukaj).

Napaka metode. Ocena (7) je neprimerna za praktično uporabo. V praksi se uporabljajo naslednje ocene napak:

Končna merila . Ocena (8) nam omogoča, da oblikujemo naslednje merilo za konec iteracij Newtonove metode. Za določeno natančnost je treba izračune izvajati, dokler neenakost ni izpolnjena

Primer. Izračunajte negativni koren enačbe z uporabo Newtonove metode z natančnostjo 0,0001. Z ločevanjem korena se lahko prepričate, da je koren lokaliziran na intervalu. V tem intervalu in. Ker in, potem lahko vzamemo .

. Zato . Torej, kot rezultat dobimo naslednje, in na , torej .

Od takrat

Rešitev je sestavljena v Word formatu.

Pravila za vnos funkcije

Eden najučinkovitejših načinov za numerično reševanje enačb je iteracijska metoda. Bistvo te metode je naslednje. Naj bo podana enačba f(x)=0.
Zamenjajmo jo z enakovredno enačbo
Izberimo začetni približek korena x 0 in ga nadomestimo v desno stran enačbe (1). Potem dobimo neko številko

x 1 =φ(x 0). (2)

x n =φ(x n-1) (n=1,2..). (3)

Ali ξ=φ(ξ).
Tako je meja ξ koren enačbe (1) in jo je mogoče izračunati s formulo (3) s poljubno stopnjo natančnosti.

riž. 1a sl. 1b

riž. 2.

|φ′(x)|>1 - divergentni proces

Na sliki 1a, 1b je v bližini korena |φ′(x)|<1 и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай |φ′(x)|>1, potem je postopek iteracije lahko divergenten (glej sliko 2).

Zadostni pogoji za konvergenco iteracijske metode

φ′(x n)(x n -x n-1)

Kjer je x n ∈
Potem dobimo

|x n+1 -x n |≤φ′(x n)|x n -x n-1 |≤q|x n -x n-1 |

|x 2 -x 1 |≤q|x 1 -x 0 |
|x 3 -x 2 |≤q|x 2 -x 1 |≤q²|x 1 -x 0 |
|x n+1 -x n ≤q n |x 1 -x 0 | (4)

ξ-x n = φ′(c 1)(ξ-x n-1)+φ′(c)(x n -x n-1)
oz
|ξ-x n |≤q|ξ-x n |+q|x n -x n-1 |

, (5)

. (6)

|x n -x n -1 |<ε

Konvergenca iteracijske metode linearna s konvergenčnim koeficientom α=q. Res, imamo
ξ-x n =φ(ξ)-φ n-1 = φ′(c)·(ξ-x n-1), torej |ξ-x n |≤q·|ξ-x n-1 |.

Komentiraj. Naj v neki okolici korena ξ∈(a,b) enačbe x= φ(x) odvod φ’(x) ohrani konstanten predznak in neenakost |φ’(x)|≤q<1. Тогда, если φ’(x) положительна, то последовательные приближения x n = φ(x n -1) сходятся к корню монотонно.
Če je φ’(x) negativen, potem zaporedni približki nihajo okoli korena.
Oglejmo si način, kako predstaviti enačbo f(x)=0 v obliki x= φ(x).
Funkcijo φ(x) je treba določiti tako, da |φ’(x)| je bil majhen v bližini korenine.
Naj sta znana m 1 in M ​​1 - najmanjša in največja vrednost odvoda f’(x)
0Zamenjajmo enačbo f(x)=0 z enakovredno enačbo
x = x - λf(x).
Postavimo φ(x) = x- λf(x). Izberimo parameter λ tako, da je v okolici korena ξ neenakost

0≤|φ′(x)|=|1-λ·f′(x)|≤q≤1

0≤|1-λM 1 |≤|1-λm 1 |≤q

x n = x n -1 – f(x n)/f’(x).

Metoda ponavljanja v Excelu

Postopek iskanja ničel funkcije z uporabo iteracijske metode je sestavljen iz naslednjih korakov:

1. Pridobite predlogo s to storitvijo.
2. Določite intervale v celicah B2, B3.
3. Kopirajte iteracijske vrstice z zahtevano natančnostjo (stolpec D).

Primer. Poiščite koren enačbe e -x -x=0, x=∈, ε=0,001 (8)
rešitev.
Predstavimo enačbo (8) v obliki x=x-λ(e -x -x)
Poiščimo največjo vrednost odvoda funkcije f(x)= e - x -x.
max f′(x)=max(-(e -x +1)) ≈ -1,37. Pomen . Tako rešimo naslednjo enačbo
x=x+0,73(e - x -x)
Vrednosti zaporednih približkov so podane v tabeli.

Reševanje nelinearnih enačb

Recimo, da moramo rešiti enačbo

Kje
– nelinearna zvezna funkcija.

Metode za reševanje enačb delimo na neposredne in iterativne. Neposredne metode so metode, ki vam omogočajo izračun rešitve z uporabo formule (na primer iskanje korenin kvadratne enačbe). Iterativne metode so metode, pri katerih je določen začetni približek in konstruirano konvergentno zaporedje približkov k natančni rešitvi, pri čemer je vsak naslednji približek izračunan z uporabo prejšnjih

Celovito rešitev problema lahko razdelimo na 3 stopnje:

Določite število, naravo in lokacijo korenin enačbe (1).

Poiščite približne vrednosti korenin, tj. navedite intervale, v katerih bodo korenine rasle (ločite korenine).

Poiščite vrednost korenin z zahtevano natančnostjo (določite korenine).

Za reševanje prvih dveh problemov obstajajo različne grafične in analitične metode.

Najbolj očitna metoda za ločevanje korenin enačbe (1) je določitev koordinat presečišč grafa funkcije
z abscisno osjo. Abscise presečišča grafov
z osjo
so koreni enačbe (1)

Izolacijske intervale za korenine enačbe (1) lahko dobimo analitično na podlagi izrekov o lastnostih funkcij, zveznih na intervalu.

Če je npr
neprekinjeno na segmentu
in
, nato v skladu z Bolzano–Cauchyjevim izrekom na segmentu
obstaja vsaj en koren enačbe (1) (liho število korenov).

Če funkcija
izpolnjuje pogoje Bolzano-Cauchyjevega izreka in je monoton na tem intervalu, potem na
obstaja samo en koren enačbe (1). Tako ima enačba (1).
en sam koren, če so izpolnjeni naslednji pogoji:

Če je funkcija zvezno diferencibilna na danem intervalu, potem lahko uporabimo posledico iz Rollejevega izreka, po katerem je med parom korenin vedno vsaj ena stacionarna točka. Algoritem za rešitev problema v tem primeru bo naslednji:

Uporabno orodje za ločevanje korenov je tudi uporaba Sturmovega izreka.

Rešitev tretjega problema se izvaja z različnimi iterativnimi (numeričnimi) metodami: metoda dihotomije, metoda preproste iteracije, Newtonova metoda, metoda akordov itd.

Primer Rešimo enačbo
metoda preprosta ponovitev. Postavimo
. Zgradimo graf funkcije.

Graf kaže, da koren naše enačbe pripada segmentu
, tj.
je izolacijski segment korena naše enačbe. Preverimo to analitično, tj. izpolnjevanje pogojev (2):

Spomnimo se, da se izvirna enačba (1) v metodi enostavne iteracije pretvori v obliko
in ponovitve se izvajajo po formuli:

(3)

Izvajanje izračunov z uporabo formule (3) se imenuje ena iteracija. Ponovitve se ustavijo, ko je pogoj izpolnjen
, Kje - absolutna napaka pri iskanju korena, oz
, Kje - relativna napaka.

Metoda preproste iteracije konvergira, če je pogoj izpolnjen
Za
. Izbira funkcije
v formuli (3) za iteracije lahko vplivate na konvergenco metode. V najpreprostejšem primeru
z znakom plus ali minus.

V praksi se pogosto izraža
neposredno iz enačbe (1). Če konvergenčni pogoj ni izpolnjen, ga transformirajte v obliko (3) in ga izberite. Predstavimo našo enačbo v obliki
(iz enačbe izrazi x). Preverimo konvergenčni pogoj metode:

Za
. Upoštevajte, da pogoj konvergence ni izpolnjen
, zato vzamemo segment korenske izolacije
. Mimogrede opazimo, da pri predstavitvi naše enačbe v obliki
, konvergenčni pogoj metode ni izpolnjen:
na segmentu
. Graf to kaže
narašča hitreje kot funkcija
(|tg| kot naklona tangente na
na segmentu
)

Izberimo
. Iteracije organiziramo po formuli:

Proces iteracije programsko organiziramo z dano natančnostjo:

> fv:=proc(f1,x0,eps)

> k:=0:

x:=x1+1:

medtem ko abs(x1-x)> eps

x1:=f1(x):

natisni (evalf (x1,8)):

natisni (abs(x1-x)):

:printf("Število iter.=%d ",k):

konec:

Pri iteraciji 19 smo dobili koren naše enačbe

z absolutno napako

Rešimo našo enačbo Newtonova metoda. Ponovitve v Newtonovi metodi se izvajajo po formuli:

Newtonovo metodo lahko obravnavamo kot metodo enostavne iteracije s funkcijo, potem bo pogoj za konvergenco Newtonove metode zapisan kot:

.

V našem zapisu
in konvergenčni pogoj je na segmentu izpolnjen
, kot je razvidno iz grafa:

Spomnimo se, da Newtonova metoda konvergira s kvadratno hitrostjo in da mora biti začetni približek izbran dovolj blizu korenu. Naredimo izračune:
, začetni približek, . Iteracije organiziramo po formuli:

Proces iteracije programsko organiziramo z dano natančnostjo. Pri iteraciji 4 dobimo koren enačbe

z
Ogledali smo si metode za reševanje nelinearnih enačb na primeru kubičnih enačb; seveda te metode rešujejo različne vrste nelinearnih enačb. Na primer, reševanje enačbe

Newtonova metoda z
, poiščite koren enačbe pri [-1,5;-1]:

telovadba: Natančno rešite nelinearne enačbe

0.

delitev segmenta na pol (dihotomija)

preprosta ponovitev.

Newton (tangente)

sekante - akordi.

Možnosti nalog se izračunajo na naslednji način: število na seznamu je deljeno s 5 (
), celo število ustreza številki enačbe, preostanek pa številki metode.

Vaja:

1) Z metodo iteracije rešite sistem

2) Z Newtonovo metodo rešite sistem

nelinearne enačbe z natančnostjo 0,001.

Naloga št. 1 Z metodo iteracije rešite sistem nelinearnih enačb z natančnostjo 0,001.

Teoretični del.

Metoda ponavljanja je metoda numeričnega reševanja matematičnih problemov. Njegovo bistvo je iskanje iskalnega algoritma na podlagi znanega približka (približne vrednosti) želene vrednosti za naslednji, natančnejši približek. Uporablja se v primeru, ko zaporedje približkov po določenem algoritmu konvergira.

To metodo imenujemo tudi metoda zaporednih približkov, metoda ponavljajočih se substitucij, metoda preprostih iteracij itd.

Newtonova metoda, Newtonov algoritem (znan tudi kot tangentna metoda) je iterativna numerična metoda za iskanje korena (ničle) dane funkcije. Metodo je prvi predlagal angleški fizik, matematik in astronom Isaac Newton (1643-1727). Iskanje rešitve poteka s konstruiranjem zaporednih približkov in temelji na principih enostavne iteracije. Metoda ima kvadratno konvergenco. Izboljšava metode je metoda tetiv in tangent. Newtonovo metodo lahko uporabimo tudi za reševanje optimizacijskih problemov, pri katerih je treba določiti ničlo prvega odvoda ali gradienta v primeru večdimenzionalnega prostora. Utemeljitev

Za numerično rešitev enačbe z metodo enostavne iteracije jo je treba reducirati na naslednjo obliko: , kjer je preslikava krčenja.

Za najboljšo konvergenco metode mora biti pogoj izpolnjen v točki naslednjega približka. Rešitev te enačbe iščemo v obliki , potem:

Ob predpostavki, da je točka približka "dovolj blizu" korenu in da je dana funkcija zvezna, je končna formula za:

Ob upoštevanju tega je funkcija definirana z izrazom:

Ta funkcija v bližini korena izvede kompresijsko preslikavo, algoritem za iskanje numerične rešitve enačbe pa se zmanjša na iterativni računski postopek:

.

Možnosti nalog

№1. 1)
2)

№2. 1)
2)

№3. 1)
2)

№4. 1)
2)

№5. 1)
2)

№6. 1)
2)

№7. 1)
2)

№8. 1)
2)

№9. 1)
2)

№10.1)
2)

№11.1)
2)

№12.1)
2)

№13.1)
2)

№14.1)
2)

№15.1)
2)

№16.1)
2)

№17.1)
2)

№18.1)
2)

№19.1)
2)

№20.1)
2)

№21. 1)
2)

№22. 1)
2)

№23. 1)
2)

№24. 1)
2)

№25. 1)
2)

№26. 1)
2)

№27. 1)
2)

№28. 1)
2)

№29. 1)
2)

№30. 1)
2)

Vzorčna naloga

№1. 1)
2)

Primer reševanja sistema nelinearnih enačb z metodo iteracije

Prepišimo ta sistem v obliki:

Korenine ločimo grafično (slika 1). Iz grafa vidimo, da ima sistem eno rešitev, vsebovano v regiji D: 0<X<0,3;-2,2<l<-1,8.

Prepričajmo se, da je iteracijska metoda uporabna za izpopolnjevanje rešitve sistema, za kar jo zapišemo v naslednji obliki:

Od takrat imamo v regiji D

+ = ;

+ =

Tako so konvergenčni pogoji izpolnjeni.

Tabela št. 2

p
	0,15	-2	-0,45	-0,4350	-0,4161	-0,1384
	0,1616	-2,035	-0,4384	-0,4245	-0,4477	-0,1492
	0,1508	-2.0245	-0,4492	-0,4342	-0,4382	-0,1461
	0.1539	-2,0342.	-0,4461	-0.4313	-0,4470	-0,1490
	0.1510	-2,0313	-0,4490	-0,4341	-0,4444	-0.1481
	0,1519	-2,0341	-0,4481	-0,4333	-0,4469	-0,1490
	0,1510	-2.0333	-0.449	-0,4341	-0.4462	-0,1487
	0.1513	-2.0341	-0,4487	-0,4340	-0,4469	-0.1490
	0.1510	-2,0340

Vzamemo kot začetne približke x o=0,15, y 0 =-2.

(Tabela št. 2). Nato bo odgovor napisan:

Primer reševanja sistema nelinearnih enačb po Newtonovi metodi

Korenine ločimo grafično (slika 2). Za izdelavo grafov funkcij ustvarimo tabelo funkcijskih vrednosti in vključeni v prvo in drugo enačbo (tabela I).

Vrednosti za x se lahko vzamejo na podlagi naslednjih pogojev: iz prve enačbe 1≤1,2x+0,4≤1, tj. 1,16≤х≤0,5; iz druge enačbe, tj. . torej .

Sistem ima dve rešitvi. Naj pojasnimo enega izmed njih, ki pripada regiji D: 0,4<x<0,5;

0,76<l<0,73. За начальное приближение примем Имеем:

Tabela št. 3

Korenine izboljšujemo po Newtonovi metodi:

Kje ; ;

;
;

Vsi izračuni se izvajajo v skladu s tabelo 3

Kontrolna vprašanja

1) Na grafu predstavi možne primere reševanja sistema dveh nelinearnih enačb.

2) Formulirajte izjavo o problemu reševanja sistema n-linearnih enačb.

3) Podajte iteracijske formule metode enostavne iteracije v primeru sistema dveh nelinearnih enačb.

4) Formulirajte izrek o lokalni konvergenci Newtonove metode.

5) Naštejte težave, ki nastanejo pri uporabi Newtonove metode v praksi.

6) Pojasnite, kako je mogoče spremeniti Newtonovo metodo.

7) V obliki blokovnih diagramov narišite algoritem za reševanje sistemov dveh nelinearnih enačb z uporabo preprostih iteracijskih in Newtonovih metod.

Laboratorijsko delo št. 3

Metoda enostavne ponovitve, imenovana tudi metoda zaporednega približevanja, je matematični algoritem za iskanje vrednosti neznane količine s postopnim izboljšanjem. Bistvo te metode je v tem, da, kot že ime pove, s postopnim izražanjem naslednjih od začetnega približka dobimo vedno bolj izpopolnjene rezultate. Ta metoda se uporablja za iskanje vrednosti spremenljivke v dani funkciji, pa tudi pri reševanju sistemov linearnih in nelinearnih enačb.

Poglejmo, kako se ta metoda izvaja pri reševanju SLAE. Preprosta iteracijska metoda ima naslednji algoritem:

1. Preverjanje izpolnjevanja konvergenčnega pogoja v izvirni matriki. Konvergenčni izrek: če ima prvotna matrika sistema diagonalno prevlado (tj. v vsaki vrstici morajo biti elementi glavne diagonale večji po absolutni vrednosti od vsote elementov sekundarnih diagonal po absolutni vrednosti), potem je preprosta iteracijska metoda je konvergentna.

2. Matrika izvirnega sistema nima vedno diagonalne prevlade. V takih primerih je mogoče sistem pretvoriti. Enačbe, ki izpolnjujejo konvergenčni pogoj, ostanejo nedotaknjene, linearne kombinacije pa se naredijo s tistimi, ki ne izpolnjujejo, tj. enačbe množimo, odštevamo, seštevamo, dokler ne dobimo želenega rezultata.

Če so v nastalem sistemu na glavni diagonali neprimerni koeficienti, se na obe strani takšne enačbe dodajo členi oblike z i * x i, katerih znaki morajo sovpadati z znaki diagonalnih elementov.

3. Pretvorba nastalega sistema v normalno obliko:

x - =β - +α*x -

To je mogoče storiti na več načinov, na primer takole: iz prve enačbe izrazite x 1 glede na druge neznanke, iz druge - x 2, iz tretje - x 3 itd. V tem primeru uporabljamo formule:

α ij = -(a ij / a ii)

i = b i /a ii
Ponovno se morate prepričati, da nastali sistem normalne oblike izpolnjuje konvergenčni pogoj:

∑ (j=1) |α ij |≤ 1, medtem ko je i= 1,2,...n

4. Začnemo uporabljati pravzaprav samo metodo zaporednih približkov.

x (0) je začetni približek, x (1) bomo izrazili skozi njega, nato bomo x (2) izrazili skozi x (1). Splošna formula v matrični obliki izgleda takole:

x (n) = β - +α*x (n-1)

Računamo, dokler ne dosežemo zahtevane natančnosti:

max |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε

Torej, uporabimo preprosto iteracijsko metodo v praksi. primer:
Reši SLAE:

4,5x1-1,7x2+3,5x3=2
3,1x1+2,3x2-1,1x3=1
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4 z natančnostjo ε=10 -3

Poglejmo, ali v modulu prevladujejo diagonalni elementi.

Vidimo, da samo tretja enačba izpolnjuje konvergenčni pogoj. Pretvorimo prvo in drugo ter prvi enačbi dodamo drugo:

7,6x1+0,6x2+2,4x3=3

Od tretjega odštejemo prvega:

2,7x1+4,2x2+1,2x3=2

Prvotni sistem smo pretvorili v enakovrednega:

7,6x1+0,6x2+2,4x3=3
-2,7x1+4,2x2+1,2x3=2
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4

Zdaj pa sistem pripeljemo v normalno obliko:

x1=0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2=0,4762+0,6429x1-0,2857x3
x3= 0,8511-0,383x1-0,5319x2

Preverimo konvergenco iterativnega procesa:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319= 0,9149 ≤ 1, tj. pogoj je izpolnjen.

0,3947
Začetno ugibanje x(0) = 0,4762
0,8511

Če nadomestimo te vrednosti v enačbo normalne oblike, dobimo naslednje vrednosti:

0,08835
x(1) = 0,486793
0,446639

Če zamenjamo nove vrednosti, dobimo:

0,215243
x(2) = 0,405396
0,558336

Nadaljujemo z izračuni, dokler se ne približamo vrednostim, ki izpolnjujejo dani pogoj.

x (7) = 0,441091

Preverimo pravilnost dobljenih rezultatov:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3,1*0,1880+2,3*0,441-1,1x*0,544=0,9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

Rezultati, dobljeni s substitucijo ugotovljenih vrednosti v izvirnih enačbah, v celoti izpolnjujejo pogoje enačbe.

Kot lahko vidimo, preprosta iteracijska metoda daje dokaj natančne rezultate, vendar smo morali za rešitev te enačbe porabiti veliko časa in narediti okorne izračune.