Namen: povzeti in sistematizirati znanje študentov o temi "Periodičnost funkcij"; razvijajo spretnosti pri uporabi lastnosti periodične funkcije, iskanju najmanjšega pozitivnega obdobja funkcije, konstruiranju grafov periodičnih funkcij; spodbujati zanimanje za študij matematike; gojiti opazovanje in natančnost.
Oprema: računalnik, multimedijski projektor, kartice z nalogami, diapozitivi, ure, tabele z okraski, elementi ljudske obrti
"Matematika je tisto, kar ljudje uporabljajo za nadzor narave in sebe."
A.N. Kolmogorov
Med poukom
I. Organizacijska faza.
Preverjanje pripravljenosti učencev na pouk. Sporočite temo in cilje lekcije.
II. Preverjanje domače naloge.
Domače naloge preverjamo z vzorci in razpravljamo o najtežjih točkah.
III. Posploševanje in sistematizacija znanja.
1. Ustno frontalno delo.
Teorijska vprašanja.
1) Oblikujte definicijo periode funkcije
2) Poimenujte najmanjšo pozitivno periodo funkcij y=sin(x), y=cos(x)
3). Kakšna je najmanjša pozitivna perioda funkcij y=tg(x), y=ctg(x)
4) S krožnico dokažite pravilnost odnosov:
y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)
tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z
sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z
5) Kako narisati periodično funkcijo?
Ustne vaje.
1) Dokažite naslednje relacije
a) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)
2. Dokažite, da je kot 540º ena od period funkcije y= cos(2x)
3. Dokažite, da je kot 360º ena od period funkcije y=tg(x)
4. Preoblikujte te izraze tako, da koti, vključeni v njih, absolutno ne presegajo 90º.
a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)
5. Kje ste zasledili besedi PERIODIČNOST, PERIODIČNOST?
Odgovori učencev: Obdobje v glasbi je zgradba, v kateri je predstavljena bolj ali manj celovita glasbena misel. Geološko obdobje je del dobe in je razdeljeno na epohe z obdobjem od 35 do 90 milijonov let.
Razpolovna doba radioaktivne snovi. Periodični ulomek. Periodični tisk je tiskana publikacija, ki izhaja v točno določenih rokih. Mendelejev periodni sistem.
6. Slike prikazujejo dele grafov periodičnih funkcij. Določite periodo funkcije. Določite periodo funkcije.
Odgovori: T=2; T=2; T=4; T=8.
7. Kje v življenju ste se srečali s konstrukcijo ponavljajočih se elementov?
Odgovor študenta: Elementi ornamentov, ljudska umetnost.
IV. Kolektivno reševanje problemov.
(Reševanje nalog na diapozitivih.)
Razmislimo o enem od načinov preučevanja funkcije za periodičnost.
Ta metoda se izogne težavam, povezanim z dokazovanjem, da je določena perioda najmanjša, in tudi odpravi potrebo po dotikanju vprašanj o aritmetičnih operacijah na periodičnih funkcijah in periodičnosti kompleksne funkcije. Utemeljitev temelji le na definiciji periodične funkcije in na naslednjem dejstvu: če je T perioda funkcije, potem je nT(n?0) njena perioda.
Naloga 1. Poiščite najmanjšo pozitivno periodo funkcije f(x)=1+3(x+q>5)
Rešitev: Predpostavimo, da je T-perioda te funkcije. Potem je f(x+T)=f(x) za vse x € D(f), tj.
1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)
Postavimo x=-0,25, kar dobimo
(T)=0<=>T=n, n € Z
Dobili smo, da so vse periode obravnavane funkcije (če obstajajo) med celimi števili. Med temi števili izberimo najmanjše pozitivno število. to 1 . Preverimo, ali bo res menstruacija 1 .
f(x+1) =3(x+1+0,25)+1
Ker je (T+1)=(T) za katerikoli T, potem je f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x), tj. 1 – obdobje f. Ker je 1 najmanjše od vseh pozitivnih celih števil, potem je T=1.
Naloga 2. Pokažite, da je funkcija f(x)=cos 2 (x) periodična in poiščite njeno glavno periodo.
Naloga 3. Poiščite glavno periodo funkcije
f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
Predpostavimo T-periodo funkcije, potem za poljubno X razmerje velja
sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
Če je x = 0, potem
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5
Če je x=-T, potem
sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)
5= – sin(1,5T)+5cos(0,75T)
| sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 – sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 |
Če seštejemo, dobimo:
10cos(0,75T)=10
2π n, n € Z
Izberimo najmanjše pozitivno število izmed vseh “sumljivih” števil za periodo in preverimo, ali je to perioda za f. Ta številka
f(x+)=sin(1,5x+4π )+5cos(0,75x+2π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)
To pomeni, da je to glavna perioda funkcije f.
Naloga 4. Preverimo, ali je funkcija f(x)=sin(x) periodična
Naj bo T perioda funkcije f. Potem za kateri koli x
sin|x+Т|=sin|x|
Če je x=0, potem je sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.
Predpostavimo. Da je za nekaj n število π n perioda
obravnavana funkcija π n>0. Potem je sin|π n+x|=sin|x|
To pomeni, da mora biti n hkrati sodo in liho število, vendar je to nemogoče. Zato ta funkcija ni periodična.
Naloga 5. Preverite, ali je funkcija periodična
f(x)= 
Naj bo torej T obdobje f
, torej sinT=0, T=π n, n € Z. Predpostavimo, da je za nek n število π n res perioda te funkcije. Potem bo število 2π n obdobje
Ker sta števca enaka, sta enaka tudi njuna imenovalca
To pomeni, da funkcija f ni periodična.
Delo v skupinah.
Naloge za skupino 1.
Naloge za skupino 2.
Preverite, ali je funkcija f periodična in poiščite njeno osnovno periodo (če obstaja).
f(x)=cos(2x)+2sin(2x)
Naloge za skupino 3.
Na koncu dela skupine predstavijo svoje rešitve.
VI. Povzetek lekcije.
Odsev.
Učitelj učencem podeli kartice z risbami in jih prosi, naj pobarvajo del prve risbe v skladu z obsegom, za katerega menijo, da so obvladali metode preučevanja funkcije za periodičnost, in del druge risbe - v skladu s svojim prispevek k delu pri pouku.
VII. Domača naloga
1). Preverite, ali je funkcija f periodična in poiščite njeno osnovno periodo (če obstaja)
b). f(x)=x 2 -2x+4
c). f(x)=2tg(3x+5)
2). Funkcija y=f(x) ima periodo T=2 in f(x)=x 2 +2x za x € [-2; 0]. Poiščite vrednost izraza -2f(-3)-4f(3,5)
Literatura/
- Mordkovich A.G. Algebra in začetki analize s poglobljenim študijem.
- Matematika. Priprava na enotni državni izpit. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
- Sheremeteva T.G. , Tarasova E.A. Algebra in začetna analiza za razrede 10-11.
Argument x, potem se imenuje periodično, če obstaja število T tako, da je za vsak x F(x + T) = F(x). To število T imenujemo perioda funkcije.
Lahko je več obdobij. Na primer, funkcija F = const ima enako vrednost za katero koli vrednost argumenta, zato se lahko katero koli število šteje za njeno obdobje.
Običajno vas zanima najmanjša različna od nič perioda funkcije. Zaradi kratkosti se preprosto imenuje obdobje.
Klasičen primer periodičnih funkcij je trigonometrija: sinus, kosinus in tangens. Njihova perioda je enaka in enaka 2π, to je sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) in tako naprej. Seveda pa trigonometrične funkcije niso edine periodične.
Za preproste, osnovne funkcije je edini način, da ugotovimo, ali so periodične ali neperiodične, z izračunom. Toda za zapletene funkcije že obstaja več preprostih pravil.
Če je F(x) s periodo T in je zanjo definiran odvod, potem je tudi ta odvod f(x) = F′(x) periodična funkcija s periodo T. Navsezadnje je vrednost odvoda v točki x je enak tangensu tangentnega kota grafa njegovega antiodvoda na tej točki na os x, in ker se protiodvod ponavlja periodično, se mora ponoviti tudi odvod. Na primer, odvod funkcije sin(x) je enak cos(x) in je periodičen. Če vzamemo izpeljanko cos(x), dobimo –sin(x). Frekvenca ostane nespremenjena.
Vendar pa nasprotno ne drži vedno. Tako je funkcija f(x) = const periodična, njena protiodpeljava F(x) = const*x + C pa ni.
Če je F(x) periodična funkcija s periodo T, potem je G(x) = a*F(kx + b), kjer so a, b in k konstante in k ni enak nič, prav tako periodična funkcija , njegova doba pa je T/k. Na primer, sin(2x) je periodična funkcija, njena perioda pa je π. To je mogoče vizualno predstaviti na naslednji način: z množenjem x z nekim številom se zdi, da stisnete graf funkcije vodoravno natanko tolikokrat
Če sta F1(x) in F2(x) periodični funkciji in sta njuni periodi enaki T1 oziroma T2, potem je lahko tudi vsota teh funkcij periodična. Vendar pa njegovo obdobje ne bo preprosta vsota obdobij T1 in T2. Če je rezultat deljenja T1/T2 racionalno število, potem je vsota funkcij periodična, njena perioda pa enaka najmanjšemu skupnemu večkratniku (LCM) period T1 in T2. Na primer, če je obdobje prve funkcije 12, obdobje druge pa 15, bo obdobje njihove vsote enako LCM (12, 15) = 60.
To lahko vizualno predstavimo na naslednji način: funkcije imajo različne »širine korakov«, a če je razmerje med njihovimi širinami racionalno, potem bodo prej ali slej (ali bolje rečeno, ravno skozi LCM korakov) spet postale enake in njihov seštevek bo začel novo obdobje.
Če pa je razmerje obdobij iracionalno, potem skupna funkcija sploh ne bo periodična. Naj bo na primer F1(x) = x mod 2 (ostanek, ko je x deljen z 2) in F2(x) = sin(x). T1 bo tukaj enak 2, T2 pa bo enak 2π. Razmerje obdobij je enako π – iracionalnemu številu. Zato funkcija sin(x) + x mod 2 ni periodična.
Pri proučevanju naravnih pojavov in reševanju tehničnih problemov se srečujemo s periodičnimi procesi, ki jih lahko opišemo s funkcijami posebne vrste.
Funkcija y = f(x) z domeno D se imenuje periodična, če obstaja vsaj eno število T > 0, tako da sta izpolnjena naslednja dva pogoja:
1) točke x + T, x − T pripadajo domeni definicije D za vsak x ∈ D;
2) za vsak x iz D velja razmerje:
f(x) = f(x + T) = f(x − T).
Število T imenujemo perioda funkcije f(x). Z drugimi besedami, periodična funkcija je funkcija, katere vrednosti se ponavljajo po določenem intervalu. Na primer, funkcija y = sin x je periodična (slika 1) s periodo 2π.
Upoštevajte, da če je število T obdobje funkcije f(x), potem bo število 2T tudi njeno obdobje, kot tudi 3T in 4T itd., tj. periodična funkcija ima neskončno veliko različnih period. Če je med njimi najmanjši (ni enak nič), so vsa druga obdobja funkcije večkratniki tega števila. Upoštevajte, da nima vsaka periodična funkcija tako najmanjše pozitivne periode; na primer funkcija f(x)=1 nima take periode. Pomembno je tudi upoštevati, da na primer vsota dveh periodičnih funkcij, ki imata enako najmanjšo pozitivno periodo T 0, nima nujno enake pozitivne periode. Tako vsota funkcij f(x) = sin x in g(x) = −sin x sploh nima najmanjše pozitivne periode, vsota funkcij f(x) = sin x + sin 2x in g(x) = −sin x, katerega najmanjše periode so enake 2π, ima najmanjšo pozitivno periodo enako π.
Če je razmerje obdobij dveh funkcij f(x) in g(x) racionalno število, bosta tudi vsota in produkt teh funkcij periodični funkciji. Če je razmerje period povsod definiranih in zveznih funkcij f in g iracionalno število, potem bosta funkciji f + g in fg že neperiodični funkciji. Tako sta na primer funkciji cos x sin √2 x in cosj √2 x + sin x neperiodični, čeprav sta funkciji sin x in cos x periodični s periodo 2π, funkciji sin √2 x in cos √2 x sta periodična s periodo √2 π .
Upoštevajte, da če je f(x) periodična funkcija s periodo T, potem je kompleksna funkcija (če je seveda smiselna) F(f(x)) tudi periodična funkcija in število T bo služilo kot njena obdobje. Na primer, funkcije y = sin 2 x, y = √(cos x) (slika 2.3) so periodične funkcije (tukaj: F 1 (z) = z 2 in F 2 (z) = √z). Ne smemo pa misliti, da če ima funkcija f(x) najmanjšo pozitivno periodo T 0, potem bo imela tudi funkcija F(f(x)) enako najmanjšo pozitivno periodo; na primer, funkcija y = sin 2 x ima najmanjšo pozitivno periodo, 2-krat manjšo od funkcije f(x) = sin x (slika 2).
Zlahka je pokazati, da če je funkcija f periodična s periodo T, definirana in diferencibilna v vsaki točki realne premice, potem je funkcija f"(x) (odvod) prav tako periodična funkcija s periodo T, vendar protiodvod funkcija F(x) (glej Integralni račun) za f(x) bo periodična funkcija le, če
F(T) − F(0) = T o ∫ f(x) dx = 0.
Iz šolskih ur matematike se vsi spomnijo sinusnega grafa, ki se razteza v daljavo v enakomernih valovih. Številne druge funkcije imajo podobno lastnost - ponavljanje v določenem intervalu. Imenujejo se periodični. Periodičnost je zelo pomembna kakovost funkcije, ki jo pogosto najdemo v različnih nalogah. Zato je koristno, če lahko ugotovimo, ali je funkcija periodična.
Navodila
1. Če je F(x) funkcija argumenta x, se imenuje periodična, če obstaja število T tako, da je za vsak x F(x + T) = F(x). To število T imenujemo perioda funkcije. Period je lahko več. Recimo, da ima funkcija F = const enako vrednost za vse vrednosti argumenta, zato se lahko katero koli število šteje za njeno obdobje. Tradicionalno se matematika ukvarja z minimalno neničelno periodo funkcije. Za kratkost se imenuje primitivno obdobje.
2. Tipičen primer periodičnih funkcij je trigonometrija: sinus, kosinus in tangens. Njihova perioda je enaka in enaka 2?, to je sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) in tako naprej. Seveda pa trigonometrične funkcije niso izključno periodične.
3. Kar zadeva primitivne, osnovne funkcije, so edina metoda za ugotavljanje njihove periodičnosti ali neperiodičnosti izračuni. Toda za težke funkcije že obstaja več primitivnih pravil.
4. Če je F(x) periodična funkcija s periodo T in je zanjo definiran odvod, potem je ta odvod f(x) = F?(x) prav tako periodična funkcija s periodo T. Vrednost odvoda v točki x je enak tangensu tangente kota grafa njenega protiodvoda na tej točki na os x, in ker se protiodvod periodično ponavlja, se mora ponoviti tudi odvod. Recimo, da je odvod funkcije sin(x) enak cos(x) in je periodičen. Če vzamemo odvod cos(x), dobimo –sin(x). Periodičnost ostaja nespremenjena, vendar ne velja vedno nasprotno. Tako je funkcija f(x) = const periodična, njena protiodpeljava F(x) = const*x + C pa ni.
5. Če je F(x) periodična funkcija s periodo T, potem je G(x) = a*F(kx + b), kjer so a, b in k konstante in k ni enak nič, prav tako periodična funkcija , njegova doba pa je T/k. Recimo, da je sin(2x) periodična funkcija in je njena perioda enaka?. To je mogoče vizualno predstaviti na naslednji način: z množenjem x s poljubnim številom se zdi, da stisnete graf funkcije vodoravno natanko tolikokrat
6. Če sta F1(x) in F2(x) periodični funkciji in sta njuni periodi enaki T1 oziroma T2, potem je lahko tudi vsota teh funkcij periodična. Vendar pa njegovo obdobje ne bo lahka vsota obdobij T1 in T2. Če je rezultat deljenja T1/T2 razumno število, potem je vsota funkcij periodična, njena perioda pa je enaka najmanjšemu univerzalnemu večkratniku (LCM) period T1 in T2. Recimo, če je obdobje prve funkcije 12, obdobje druge pa 15, potem bo obdobje njihove vsote enako LCM (12, 15) = 60. To lahko vizualno predstavimo na naslednji način: funkcije prihajajo z različnimi »širinami korakov«, a če je razmerje med njihovimi širinami smiselno, potem se bodo prej ali slej (oziroma prav skozi LCM korakov) ponovno izenačile in njihov seštevek bo začel novo obdobje.
7. Če pa je razmerje obdobij iracionalno, potem skupna funkcija sploh ne bo periodična. Recimo, naj bo F1(x) = x mod 2 (ostanek deljenja x z 2) in F2(x) = sin(x). T1 bo tukaj enak 2, T2 pa 2?. Ali je razmerje obdobij enako? - iracionalno število. Posledično funkcija sin(x) + x mod 2 ni periodična.
Številne matematične funkcije imajo eno specifično lastnost, zaradi katere jih je lažje sestaviti - to je periodičnost, to je ponovljivost grafa na koordinatni mreži v enakih intervalih.
Navodila
1. Najbolj znani periodični funkciji v matematiki sta sinus in kosinus. Te funkcije imajo valovito naravo in vrtilno obdobje, ki je enako 2P. Tudi poseben primer periodične funkcije je f(x)=const. Vsako število se prilega položaju x; funkcija nima glavne točke, ker je ravna črta.
2. Na splošno je funkcija periodična, če obstaja celo število N, ki ni nič in izpolnjuje pravilo f(x)=f(x+N), kar zagotavlja ponovljivost. Perioda funkcije je najmanjše število N, ne pa nič. To pomeni, da je funkcija sin x enaka funkciji sin (x+2PN), kjer je N=±1, ±2 itd.
3. Občasno ima lahko funkcija množitelja (recimo sin 2x), ki poveča ali zmanjša obdobje funkcije. Da bi zaznali obdobje po grafika, morate določiti ekstreme funkcije - najvišjo in najnižjo točko grafa funkcije. Ker imajo sinusni in kosinusni valovi valovito naravo, je to zelo enostavno narediti. Iz teh točk zgradite pravokotne ravne črte, dokler se ne sekajo z osjo X.
4. Razdalja od zgornjega ekstrema do spodnjega bo polovica periode funkcije. Za vse je bolj priročno izračunati obdobje od presečišča grafa z osjo Y in s tem ničelne oznake na osi x. Po tem morate dobljeno vrednost pomnožiti z dvema in dobiti vrtilno obdobje funkcije.
5. Za lažje risanje sinusnih in kosinusnih krivulj morate upoštevati, da če ima funkcija celo število, se bo njeno obdobje podaljšalo (to pomeni, da je treba 2P pomnožiti s tem indikatorjem) in graf bo videti bolj mehak in gladek ; in če je število delno, se bo, nasprotno, zmanjšalo in graf bo postal bolj "oster", po videzu podoben skoku.
Video na temo
Priloga št. 7
Mestna izobraževalna ustanova
Srednja šola št. 3
učiteljica
Korotkova
Asya Edikovna
Kurganinsk
2008
VSEBINA
Uvod………………………………………………………………… 2-3
Periodične funkcije in njihove lastnosti……………. 4-6
Težave……………………………………………………………………… 7-14
Uvod
Naj opozorimo, da problemi periodičnosti v izobraževalni in metodološki literaturi nimajo lahke usode. To je razloženo s čudno tradicijo dopuščanja določenih malomarnosti pri določanju periodičnih funkcij, ki vodijo do kontroverznih odločitev in povzročajo incidente na izpitih.
Na primer, v knjigi "Razlagalni slovar matematičnih izrazov" - M, 1965 je podana naslednja definicija: "periodična funkcija je funkcija
y = f(x), za katero obstaja število t > 0, kar za vse x in x+t iz področja f(x + t) = f(x).
Naj navedemo nasprotni primer, ki kaže na napačnost te definicije. Po tej definiciji bo funkcija periodična s periodo t = 2π
с(x) = Cos(√x) 2 – Cos(√4π - x) 2 z omejeno domeno definicije, kar je v nasprotju s splošno sprejetim stališčem o periodičnih funkcijah.
Številni novejši alternativni šolski učbeniki se soočajo s podobnimi težavami.
V učbeniku A.N. Kolmogorova je podana naslednja definicija: »Ko govorimo o periodičnosti funkcije f, se domneva, da obstaja takšno število T ≠ 0, da domena definicije D (f) skupaj z vsako točko x, vsebuje tudi točke, dobljene iz x z vzporednim premikom vzdolž osi Ox (desno in levo) na razdalji T. Funkcija f se imenuje periodično z obdobjem T ≠ 0, če so za katero koli področje definicije vrednosti te funkcije v točkah x, x – T, x + T enake, tj. f (x + T) = f (x) = f (x – T).« Nadalje v učbeniku piše: »Ker sta sinus in kosinus definirana na celotni številski premici in je Sin (x + 2π) = Sin x,
Cos (x + 2π) = Cos x za kateri koli x, sinus in kosinus sta periodi funkcije s periodo 2π.”
V tem primeru iz nekega razloga zahtevani pogoj v definiciji ni preverjen:
Sin (x – 2π) = Sin x. Kaj je narobe? Dejstvo je, da je ta pogoj v definiciji odveč. Dejansko, če je T > 0 obdobje funkcije f(x), potem bo T tudi obdobje te funkcije.
Rad bi dal še eno definicijo iz učbenika M. I. Bashmakova "Algebra in začetki analize 10-11 letnikov." “Funkcija y = f(x) se imenuje periodična, če obstaja število T ≠ 0 tako, da velja enakost
f (x + T) = f (x) velja enako za vse vrednosti x.«
Zgornja definicija ne pove ničesar o domeni funkcije, čeprav pomeni x v domeni definicije, ne katerega koli realnega x. Po tej definiciji je lahko funkcija y = Sin (√x) periodična 2 , definiran le za x ≥ 0, kar ni pravilno.
Na Enotnem državnem izpitu so naloge za periodičnost. V eni znanstveni periodični reviji je bila kot vadba za oddelek C enotnega državnega izpita podana rešitev problema: "je funkcija y (x) = Sin 2 (2+x) – 2 Sin 2 Sin x Cos (2+x) periodično?«
Rešitev pokaže, da je y (x – π) = y (x) v odgovoru dodaten vnos
"T = π" (navsezadnje se vprašanje iskanja najmanjšega pozitivnega obdobja ne postavlja). Ali je za rešitev tega problema res potrebno izvesti kompleksno trigonometrično izobraževanje? Navsezadnje se tukaj lahko osredotočite na koncept periodičnosti, kot ključnega v pogoju problema.
rešitev.
f 1 (x) = Sin x – periodična funkcija s periodo T = 2π
f 2 (x) = Cos x je periodična funkcija s periodo T = 2π, potem je 2π perioda za funkcije f 3 (x) = Sin (2 + x) in f 4 (x) = Cos (2 + x), (to izhaja iz definicije periodičnosti)
f 5 (x) = - 2 Sin 2 = Const, njegova perioda je poljubno število, vključno z 2π.
Ker vsota in zmnožek periodičnih funkcij s skupno periodo T tudi T-periodična, potem je ta funkcija periodična.
Upam, da bo gradivo, predstavljeno v tem delu, pomagalo pri pripravi na enotni državni izpit pri reševanju težav s periodičnostjo.
Periodične funkcije in njihove lastnosti
Definicija: funkcijo f(t) imenujemo periodična, če je za kateri koli t iz domene definicije te funkcije D f obstaja število ω ≠ 0, tako da:
1) številke (t ± ω) є D f ;
2) f (t + ω) = f(t).
1. Če je število ω = periodi funkcije f (t), potem je število kω, kjer je k = ±1, ±2, ±3, ... tudi perioda funkcije f(t).
PRIMER f (t) = Sin t. Število T = 2π je najmanjša pozitivna perioda te funkcije. Naj T 1 = 4π. Pokažimo, da je T 1 je tudi obdobje te funkcije.
F (t + 4π) = f (t + 2π + 2π) = Sin (t + 2π) = Sin t.
Torej T 1 – perioda funkcije f (t) = Sin t.
2. Če je funkcija f(t) – ω periodična funkcija, sta periodični tudi funkciji f (аt), kjer а є R, in f (t + с), kjer je s poljubna konstanta.
Poiščimo periodo funkcije f (аt).
f(аt) = f(аt + ω) = f (а(t + ω/а)), tj. f (аt) = f (а(t + ω/а).
Zato je perioda funkcije f(аt) – ω 1 = ω/a.
Primer 1. Poiščite periodo funkcije y = Sin t/2.
Primer 2. Poiščite periodo funkcije y = Sin (t + π/3).
Naj bo f(t) = Sin t; y 0 = Sin (t 0 + π/3).
Potem bo funkcija f(t) = Sin t zavzela isto vrednost 0 pri t = t 0 + π/3.
Tisti. vse vrednosti, ki jih ima funkcija y, prevzame tudi funkcija f(t). Če t interpretiramo kot čas, potem vsaka vrednost y 0 funkcija y = Sin (t + π/3) je sprejeta π/3 časovne enote prej kot funkcija f(t), "premaknjena" v levo za π/3. Očitno se obdobje funkcije zaradi tega ne bo spremenilo, tj. T y = T 1.
3. Če je F(x) neka funkcija in je f(t) periodična funkcija in taka, da f(t) spada v domeno definicije funkcije F(x) – D F , potem je funkcija F(f (t)) periodična funkcija.
Naj bo F(f (t)) = φ.
Φ (t + ω) = F(f (t + ω)) = F(f (t)) = φ (t) za katero koli t є D f.
PRIMER Preglejte funkcijo glede periodičnosti: F(x) = ℓ sinx.
Domena te funkcije D f sovpada z množico realnih števil R. f (x) = Sin x.
Nabor vrednosti za to funkcijo je [-1; 1]. Ker segment [-1; 1] pripada D f , potem je funkcija F(x) periodična.
F(x+2π) = ℓ sin (x + 2π) = ℓ sin x = F(x).
2 π – perioda te funkcije.
4. Če sta funkciji f 1 (t) in f 2 (t) periodične oziroma s periodami ω 1 in ω 2 in ω 1 /ω 2 = r, kjer je r racionalno število, potem funkcije
C 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t) in f 1 (t) f 2 (t) so periodični (C 1 in C 2 sta konstanti).
Opomba: 1) Če je r = ω 1 /ω 2 = p/q, ker r je torej racionalno število
ω 1 q = ω 2 p = ω, kjer je ω najmanjši skupni večkratnik ω 1 in ω 2 (NOC).
Razmislite o funkciji C 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t).
Dejansko je ω = LCM (ω 1, ω 2 ) - obdobje te funkcije
С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) = С 1 f 1 (t+ ω 1 q) + С 2 f 2 (t+ ω 2 p) + С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) .
2) ω – perioda funkcije f 1 (t) f 2 (t), ker
f 1 (t + ω) f 2 (t + ω =f 1 (t + ω 1 q) f 2 (t = ω 2 p) = f 1 (t) f 2 (t).
Definicija: Naj bo f 1 (t) in f (t) sta periodični funkciji s periodami ω 1 in ω 2 , potem pravimo, da sta dve obdobji sorazmerni, čeω 1 /ω 2 = r je racionalno število.
3) Če sta periodi ω 1 in ω 2 niso somerljive, potem funkcije f 1 (t) + f 2 (t) in
f 1 (t) f 2 (t) niso periodični. To pomeni, če f 1 (t) in f 2 (t) so drugačni od stalnih, periodičnih, zveznih, njihova obdobja niso sorazmerna, potem f 1 (t) + f 2 (t), f 1 (t) f 2 (t) niso periodični.
4) Naj bo f(t) = C, kjer je C poljubna konstanta. Ta funkcija je periodična. Njegova perioda je poljubno racionalno število, kar pomeni, da nima najmanjše pozitivne periode.
5) Trditev velja tudi za večje število funkcij.
Primer 1. Raziščite periodičnost funkcije
F(x) = Sin x + Cos x.
rešitev. Naj bo f 1 (x) = Sin x, potem je ω 1 = 2πk, kjer je k ê Z.
T 1 = 2π – najmanjša pozitivna perioda.
f 2 (x) = Cos x, T 2 = 2π.
Razmerje T 1 / T 2 = 2π/2π = 1 – racionalno število, tj. obdobja funkcij f 1 (x) in f 2 (x) so sorazmerni. To pomeni, da je ta funkcija periodična. Poiščimo njegovo obdobje. Po definiciji periodične funkcije imamo
Sin (x + T) + Cos (x + T) = Sin x + Cos x,
Sin (x + T) - Sin x = Cos x - Cos (x + T),
2 Cos 2х+ π/2 · Sin Т/2 = 2 Sin 2х+Т/2 · Sin Т/2,
Sin T/2 (Cos T+2x/2 - Sin T+2x/2) =0,
√2 Sin Т/2 Sin (π/4 – Т+2х/2) = 0, torej
Sin Т/2 = 0, potem je Т = 2πk.
Ker (х ± 2πk) є D f , kjer je f(x) = Sin x + Cos x,
f(x + t) = f(x), potem je funkcija f(x) periodična z najmanjšo pozitivno periodo 2π.
Primer 2. Ali je funkcija f(x) = Cos 2x · Sin x periodična, kakšna je njena perioda?
rešitev. Naj bo f 1 (x) = Cos 2x, potem je T 1 = 2π: 2 = π (glej 2)
Naj bo f 2 (x) = Sin x, potem je T 2 = 2π. Ker π/2π = ½ je racionalno število, potem je ta funkcija periodična. Njegova doba T = NOC
(π, 2π) = 2π.
Torej je ta funkcija periodična s periodo 2π.
5. Naj bo funkcija f(t), ki ni identično enaka konstanti, zvezna in periodična, potem ima najmanjšo pozitivno periodo ω 0 , ima katera koli druga perioda njenega ω obliko: ω= kω 0, kjer je k ê Z.
Opomba: 1) Pri tej lastnosti sta zelo pomembna dva pogoja:
f(t) je zvezna, f(t) ≠ C, kjer je C konstanta.
2) Nasprotna trditev ne drži. To pomeni, da če so vsa obdobja sorazmerna, potem ne sledi, da obstaja najmanjša pozitivna doba. Tisti. periodična funkcija morda nima najmanjše pozitivne periode.
Primer 1. f(t) = C, periodično. Njegova perioda je katero koli realno število; ni najmanjše periode.
Primer 2. Dirichletova funkcija:
D(x) =
Vsako racionalno število je njegova doba; ni najmanjše pozitivne periode.
6. Če je f(t) zvezna periodična funkcija in ω 0 njena najmanjša pozitivna perioda, potem ima funkcija f(αt + β) najmanjšo pozitivno periodo ω 0 //α/. Ta izjava izhaja iz 2. odst.
Primer 1. Poiščite periodo funkcije y = Sin (2x – 5).
rešitev. y = Sin (2x – 5) = Sin (2(x – 5/2)).
Graf funkcije y dobimo iz grafa funkcije Sin x, najprej z dvakratnim »stiskanjem«, nato s »pomikom« v desno za 2,5. »Premik ne vpliva na periodičnost, T = π je perioda te funkcije.
Period te funkcije je enostavno pridobiti z uporabo lastnosti koraka 6:
Т = 2π/2 = π.
7. Če je f(t) – ω periodična funkcija in ima zvezni odvod f"(t), potem je tudi f"(t) periodična funkcija, Т = ω
Primer 1. f(t) = Sin t, Т = 2πk. Njegov derivat f"(t) = Cos t
F"(t) = Cos t, Т = 2πk, k є Z.
Primer 2. f(t) = Cos t, Т = 2πk. Njegova izpeljanka
F"(t) = - Sin t, T = 2πk, k є Z.
Primer 3. f(t) =tg t, njegova perioda T = πk.
F"(t) = 1/ Cos 2 t je tudi periodičen zaradi lastnosti koraka 7 in ima periodo T = πk. Njegova najmanjša pozitivna perioda je T = π.
NALOGE.
№ 1
Ali je funkcija f(t) = Sin t + Sin πt periodična?
rešitev. Za primerjavo, ta problem rešujemo na dva načina.
Prvič, z definicijo periodične funkcije. Predpostavimo, da je f(t) periodičen, potem za katero koli t є D f imamo:
Sin (t + T) + Sin π (t + T) = Sin t + Sin πt,
Sin (t + T) - Sin t = Sin πt - Sin π (t + T),
2 Cos 2t + Т/2 Sin Т/2 = -2 Cos 2 πt + πt/2 Sin πt/2.
Ker to velja za katero koli tê D f , potem še posebej za t 0 , pri čemer leva stran zadnje enakosti postane nič.
Potem imamo: 1) Cos 2t 0 +T/2 Sin T/2 = 0. Razrešimo glede na T.
Sin Т/2 = 0 pri Т = 2 πk, kjer k є Z.
2) Cos 2πt 0 + πt 0 /2 Sin πT/2 = 0. Razrešimo glede na T.
Sin πТ/2 = 0, potem je Т = 2πn/ π = 2n, n≠0, kjer je n є Z.
Ker imamo identiteto, potem je 2 πk = 2n, π = 2n/2 k = n/ k, kar pa ne more biti, ker π je iracionalno število, n/ k pa racionalno število. To pomeni, da je bila naša predpostavka, da je funkcija f(t) periodična, napačna.
Drugič, rešitev je veliko preprostejša, če uporabite zgornje lastnosti periodičnih funkcij:
Naj bo f 1 (t) = Sin t, T 1 = 2 π; f 2 (t) = Sin πt, T 2 - 2π/π = 2. Potem je T 1 / T 2 = 2π/2 = π je iracionalno število, tj. obdobja T 1, T 2 niso sorazmerne, kar pomeni, da f(t) ni periodičen.
Odgovor: ne.
№ 2
Pokažite, da če je α iracionalno število, potem funkcija
F(t) = Cos t + Cos αt
ni periodično.
rešitev. Naj bo f 1 (t) = Cos t, f 2 (t) = Cos αt.
Potem so njihova obdobja T 1 = 2π, T 2 = 2π//α/ - najmanjša pozitivna obdobja. Poiščimo, T 1 /T 2 = 2π/α//2π = /α/ je iracionalno število. Torej T 1 in T 2 so nesorazmerne in funkcija
f(t) ni periodičen.
№ 3
Poiščite najmanjšo pozitivno periodo funkcije f(t) = Sin 5t.
rešitev. Po postavki lastnosti 2 imamo:
f(t) – periodični; T = 2π/5.
Odgovor: 2π/5.
№ 4
Ali je funkcija F(x) = arccos x + arcsin x periodična?
rešitev. Razmislimo o tej funkciji
F(x) = arccos x + arcsin x = π - arcsin x + arcsin x = π,
tiste. F(x) je periodična funkcija (glej lastnost odstavka 5, primer 1.).
Odgovor: da.
№ 5
Je funkcija periodična?
F(x) = Sin 2x + Cos 4x + 5?
rešitev. Naj bo f 1 (x) = Sin 2x, potem je T 1 = π;
F 2 (x) = Cos 4x, potem je T 2 = 2π/4 = π/2;
F 3 (x) = 5, T 3 – poljubno realno število, zlasti T 3 lahko predpostavimo, da je enako T 1 ali T 2 . Potem je perioda te funkcije T = LCM (π, π/2) = π. To pomeni, da je f(x) periodičen s periodo T = π.
Odgovor: da.
№ 6
Ali je funkcija f(x) = x – E(x) periodična, kjer je E(x) funkcija, ki priredi argument x najmanjšemu celemu številu, ki ne presega danega.
rešitev. Pogosto funkcijo f(x) označujemo z (x) – ulomek števila x, tj.
F(x) = (x) = x – E(x).
Naj bo f(x) periodična funkcija, tj. obstaja število T > 0, tako da je x – E(x) = x + T – E(x + T). Zapišimo to enakost
(x) + E(x) – E(x) = (x + T) + E(x + T) – E(x + T),
(x) + (x + T) – velja za vsak x iz domene D f, pod pogojem, da je T ≠ 0 in T є Z. Najmanjši pozitivni izmed njih je T = 1, tj. T = 1 tako, da
X + T – E(x + T) = x – E(x),
Poleg tega (x ± Tk) є D f, kjer k je Z.
Odgovor: ta funkcija je periodična.
№ 7
Ali je funkcija f(x) = Sin x periodična? 2 .
rešitev. Predpostavimo, da je f(x) = Sin x 2 periodična funkcija. Potem po definiciji periodične funkcije obstaja število T ≠ 0 tako, da: Sin x 2 = Sin (x + T) 2 za vsak x є D f.
Sin x 2 = Sin (x + T) 2 = 0,
2 Cos x 2 + (x+T) 2 /2 Sin x 2 -(x+T) 2 /2 = 0, potem
Cos x 2 + (x+T) 2 /2 = 0 ali Sin x 2 -(x+T) 2 /2 = 0.
Razmislite o prvi enačbi:
Cos x 2 + (x+T) 2 /2 = 0,
X 2 + (x+T) 2 /2 = π(1+2 k)/2 (k є Z),
Т = √ π(1+2 k) – x 2 – x. (1)
Razmislite o drugi enačbi:
Sin x 2 -(x+T) 2 /2 = 0,
X + T = √- 2πk + x 2,
Т = √х 2 - 2πk – x. (2)
Iz izrazov (1) in (2) je jasno, da so ugotovljene vrednosti T odvisne od x, tj. ni T>0 tako, da
Sin x 2 = Sin (x+T) 2
Za vsak x iz domene definicije te funkcije. f(x) ni periodična.
Odgovor: ne
№ 8
Preglejte funkcijo f(x) = Cos glede periodičnosti 2 x.
rešitev. Predstavimo f(x) s formulo kosinusa dvojnega kota
F(x) = 1/2 + 1/2 Cos 2x.
Naj bo f 1 (x) = ½, potem je T 1 – lahko je poljubno realno število; f 2 (x) = ½ Cos 2x je periodična funkcija, ker produkt dveh periodičnih funkcij s skupno periodo T 2 = π. Nato najmanjša pozitivna doba te funkcije
T = LOC (T 1, T 2) = π.
Torej, funkcija f(x) = Cos 2 x – π – periodični.
Odgovor: π je periodičen.
№ 9
Ali je lahko domena periodične funkcije:
A) polpremica [a, ∞),
B) segment?
rešitev. Ne, ker
A) po definiciji periodične funkcije, če x ê D f, potem tudi x ± ω
Spadati mora v domeno funkcije. Naj bo torej x = a
X 1 = (a – ω) є [a, ∞);
B) naj bo x = 1, potem x 1 = (1 + T) є .
№ 10
Ali je lahko periodična funkcija:
A) strogo monotono;
B) celo;
C) niti ne?
rešitev. a) Naj bo f(x) periodična funkcija, tj. obstaja Т≠0 tako, da je za vsak x iz domene definicije funkcij D f zakaj
(x ±T) є D f in f (x±T) = f(x).
Popravimo poljuben x 0 je D f , Ker f(x) je periodičen, potem (x 0 +T) є D f in f(x 0) = f(x 0 +T).
Predpostavimo, da je f(x) strogo monoton in v celotnem področju definicije D f , na primer, poveča. Potem po definiciji naraščajoče funkcije za vsak x 1 in x 2 iz domene definicije D f iz neenakosti x 1 2 sledi, da je f(x 1) 2 ). Zlasti iz pogoja x 0 0 + T, iz tega sledi
F(x 0) 0 +T), kar je v nasprotju s pogojem.
To pomeni, da periodična funkcija ne more biti strogo monotona.
b) Da, periodična funkcija je lahko soda. Naj navedemo nekaj primerov.
F(x) = Cos x, Cos x = Cos (-x), T = 2π, f(x) je soda periodična funkcija.
0, če je x racionalno število;
D(x) =
1, če je x iracionalno število.
D(x) = D(-x), je domena definicije funkcije D(x) simetrična.
Direchletova funkcija D(x) je soda periodična funkcija.
f(x) = (x),
f(-x) = -x – E(-x) = (-x) ≠ (x).
Ta funkcija ni enakomerna.
c) Periodična funkcija je lahko liha.
f(x) = Sin x, f(-x) = Sin (-x) = - Sin = - f(x)
f(x) je liha periodična funkcija.
f(x) – Sin x Cos x, f(-x) = Sin (-x) Cos (-x) = - Sin x Cos x = - f(x) ,
f(x) – liho in periodično.
f(x) = ℓ Sin x, f(-x) = ℓ Sin(- x) = ℓ -Sin x ≠ - f(x),
f(x) ni liho.
f(x) = tan x – liha periodična funkcija.
Odgovor: ne; Da; ja
№ 11
Koliko ničel ima lahko periodična funkcija na:
1) ; 2) na celotni numerični osi, če je perioda funkcije enaka T?
Rešitev: 1. a) Na odseku [a, b] periodična funkcija ne sme imeti ničel, npr. f(x) = C, C≠0; f(x) = Cos x + 2.
b) Na intervalu [a, b] ima lahko periodična funkcija neskončno število ničel, na primer Direchletova funkcija
0, če je x racionalno število,
D(x) =
1, če je x iracionalno število.
c) Na intervalu [a, b] ima lahko periodična funkcija končno število ničel. Poiščimo to številko.
Naj bo T perioda funkcije. Označimo
X 0 = (min x є(a,b), tako da je f(x) = 0).
Nato število ničel na segmentu [a, b]: N = 1 + E (c-x 0 /T).
Primer 1. x є [-2, 7π/2], f(x) = Cos 2 x – periodična funkcija s periodo T = π; X 0 = -π/2; potem število ničel funkcije f(x) na danem intervalu
N = 1 + E (7π/2 – (-π/2)/2) = 1 + E (8π/2π) = 5.
Primer 2. f(x) = x – E(x), x є [-2; 8,5]. f(x) – periodična funkcija, T + 1,
x 0 = -2. Nato število ničel funkcije f(x) na danem intervalu
N = 1 + E (8,5 – (-2)/1) = 1 + E (10,5/1) = 1 + 10 = 11.
Primer 3. f(x) = Cos x, x є [-3π; π], T 0 = 2π, x 0 = - 5π/2.
Nato število ničel te funkcije na danem intervalu
N = 1 + E (π – (-5π/2)/2π) = 1 + E (7π/2π) = 1 + 3 = 4.
2. a) Neskončno število ničel, ker X 0 є D f in f(x 0 ) = 0, potem za vsa števila
Х 0 +Тk, kjer k є Z, f(х 0 ± Тk) = f(х 0 ) =0 in točke oblike x 0 ± Tk je neskončna množica;
b) nimajo ničel; če je f(x) periodičen in za katerikoli
x є D f funkcija f(x) >0 ali f(x)
F(x) = Sin x +3,6; f(x) = C, C ≠ 0;
F(x) = Sin x – 8 + Cos x;
F(x) = Sin x Cos x + 5.
№ 12
Ali je lahko vsota neperiodičnih funkcij periodična?
rešitev. Ja mogoče. Na primer:
- f 1 (x) = x – neperiodično, f 2 (x) = E(x) – neperiodično
F(x) = f 1 (x) – f 2 (x) = x – E(x) – periodično.
- f 1 (x) = x – neperiodično, f(x) = Sin x + x – neperiodično
F(x) = f 2 (x) – f 1 (x) = Sin x – periodični.
Odgovor: da.
№ 13
Funkciji f(x) in φ(x) sta periodični s periodami T 1 in T 2 oz. Ali je njihov produkt vedno periodična funkcija?
rešitev. Ne, samo ko T 1 in T 2 – so sorazmerni. na primer
F(x) = Sin x Sin πx, T 1 = 2π, T 2 = 2; nato T 1 / T 2 = 2π/2 = π je iracionalno število, kar pomeni, da f(x) ni periodično.
f(x) = (x) Cos x = (x – E(x)) Cos x. Naj bo f 1 (x) = x – E(x), T 1 = 1;
f 2 (x) = Cos (x), T 2 = 2π. T 2 / T 1 = 2π/1 = 2π, kar pomeni, da f(x) ni periodična.
Odgovor: Ne.
Težave, ki jih je treba rešiti neodvisno
Katere od funkcij so periodične, poiščite periodo?
1. f(x) = Sin 2x, 10. f(x) = Sin x/2 + tan x,
2. f(x) = Cos x/2, 11. f(x) = Sin 3x + Cos 4x,
3. f(x) = tan 3x, 12. f(x) = Sin 2 x+1,
4. f(x) = Cos (1 – 2x), 13. f(x) = tan x + ctg√2x,
5. f(x) = Sin x Cos x, 14. f(x) = Sin πx + Cos x,
6. f(x) = ctg x/3, 15. f(x) = x 2 – E(x 2),
7. f(x) = Sin (3x – π/4), 16. f(x) = (x – E(x)) 2 ,
8. f(x) = Sin 4 x + Cos 4 x, 17. f(x) = 2 x – E(x),
9. f(x) = Sin 2 x, 18. f(x) = x – n + 1, če je n ≤ x≤ n + 1, n = 0, 1, 2…
№ 14
Naj bo f(x) – T periodična funkcija. Katere funkcije so periodične (poiščite T)?
- φ(x) = f(x + λ) – periodično, ker "premik" vzdolž osi Ox ne vpliva na ω; njegova doba ω = T.
- φ(x) = a f(x + λ) + в – periodična funkcija s periodo ω = T.
- φ(х) = f(kh) – periodična funkcija s periodo ω = Т/k.
- φ(x) = f(ax + b) je periodična funkcija s periodo ω = T/a.
- φ(x) = f(√x) ni periodičen, ker njeno področje definicije Dφ = (x/x ≥ 0) in periodična funkcija ne more imeti domene, določene s pol-osjo.
- φ(x) = (f(x) + 1/(f(x) – 1) je periodična funkcija, ker
φ(x +T) = f(x+T) + 1/f(x +T) – 1 = φ(x), ω = T.
- φ(x) = a f 2 (x) + in f(x) + c.
Naj bo φ 1 (x) = a f 2 (x) – periodični, ω 1 = t/2;
φ 2 (x) = v f(x) – periodično, ω 2 = T/T = T;
φ 3 (x) = с – periodični, ω 3 – poljubno število;
potem je ω = LCM(T/2; T) = T, φ(x) je periodičen.
Sicer pa, ker domena definicije te funkcije je celotna številska premica, nato pa množica vrednosti funkcije f – E f є D φ , kar pomeni funkcijo
φ(x) je periodičen in ω = T.
- φ(x) = √φ(x), f(x) ≥ 0.
φ(x) – periodičen s periodo ω = T, ker za vsak x ima funkcija f(x) vrednosti f(x) ≥ 0, tj. njegov niz vrednosti E f є D φ , kjer
Dφ – domena definicije funkcije φ(z) = √z.
№ 15
Ali je funkcija f(x) = x 2 periodična?
rešitev. Če upoštevamo x ≥ 0, potem za f(x) obstaja inverzna funkcija √x, kar pomeni, da je na tem intervalu f(x) monotona funkcija, potem ne more biti periodična (glej št. 10).
№ 16
Podan je polinom P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + ... a n x.
Ali je P(x) periodična funkcija?
rešitev. 1. Če je identiteta enaka konstanti, potem je P(x) periodična funkcija, tj. če i = 0, kjer je i ≥ 1.
2. Naj bo P(x) ≠ с, kjer je s neka konstanta. Recimo, da je P(x) periodična funkcija in naj ima P(x) prave korenine, potem P(x) je periodična funkcija, potem jih mora biti neskončno veliko. In po temeljnem izreku algebre je njihovo število k takšno, da je k ≤ n. To pomeni, da P(x) ni periodična funkcija.
3. Naj bo P(x) identično različen od nič polinom in nima pravih korenin. Recimo, da je P(x) periodična funkcija. Vstavimo polinom q(x) = a 0 , q(x) je periodična funkcija. Upoštevajte razliko P(x) - q(x) = a 1 x 2 + … + a n x n.
Ker Na levi strani enačbe je periodična funkcija, potem je tudi funkcija na desni strani periodična in ima vsaj en pravi koren, x = 0. Ker Če je funkcija periodična, mora obstajati neskončno število ničel. Dobili smo protislovje.
P(x) ni periodična funkcija.
№ 17
Podana je funkcija f(t) – T – periodična. Ali je funkcija f do (t), kjer
k є Z, periodična funkcija, kako so povezane njihove periode?
rešitev. Dokaz bomo izvedli z metodo matematične funkcije. Pustiti
f 1 = f(t), potem f 2 = f 2 (t) = f(t) f(t),
F 3 = f 3 (t) = f (t) f 2 je periodična funkcija v skladu z lastnostjo koraka 4.
………………………………………………………………………….
Naj bo f k-1 = f k-1 (t) – periodična funkcija in njena perioda T k-1 primerljiva z obdobjem T. Če obe strani zadnje enakosti pomnožimo s f(t), dobimo f k-1 f(t) = f(t) f k-1 (t),
F k = f k (t) je periodična funkcija v skladu z lastnostjo koraka 4. ω ≤ T.
№ 18
Naj bo f(x) poljubna funkcija, definirana na . Ali je funkcija f((x)) periodična?
Odgovor: da, ker množica vrednosti funkcije (x) pripada domeni definicije funkcije f (x), potem je po lastnosti točke 3 f ((x)) periodična funkcija, njeno obdobje ω = Т = 1 .
№ 19
F(x) je poljubna funkcija, definirana na [-1; 1], ali je funkcija f(sinx) periodična?
Odgovor: da, njegova perioda je ω = Т = 2π (dokaz podoben št. 18).
