Dodatek matrike:
Odštevanje in seštevanje matrik reducira na ustrezne operacije na njihovih elementih. Operacija dodajanja matrike vpisan samo za matrice enake velikosti, torej za matrice, v katerem je število vrstic oziroma stolpcev enako. Vsota matrik A in B se imenujeta matrica C, katerega elementi so enaki vsoti ustreznih elementov. C = A + B c ij = a ij + b ij Definirano podobno matrična razlika.
Množenje matrike s številom:
Operacija množenja (deljenja) matrike poljubne velikosti s poljubnim številom se zmanjša na množenje (deljenje) vsakega elementa matrice za to številko. Izdelek Matrix In imenujemo število k matrica B, tako da
b ij = k × a ij. B = k × A b ij = k × a ij . Matrix- A = (-1) × A se imenuje nasprotje matrica A.
Lastnosti seštevanja matrik in množenja matrike s številom:
Operacije seštevanja matrik in matrično množenje na številu imajo te lastnosti: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5. 1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; , kjer so A, B in C matrike, α in β sta števili.
Matrično množenje (Matrični produkt):
Operacija množenja dveh matrik se vnese samo za primer, ko je število stolpcev prvega matrice enako številu vrstic drugega matrice. Izdelek Matrix In m×n naprej matrica V n×p imenovano matrica Z m×p tako, da z ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , tj. najdemo vsoto produktov elementov i-te vrstice matrice In na ustrezne elemente j-tega stolpca matrice B. Če matrice A in B sta kvadrata enake velikosti, potem produkta AB in BA vedno obstajata. Enostavno je pokazati, da je A × E = E × A = A, kjer je A kvadrat matrica, E - enota matrica enake velikosti.
Lastnosti matričnega množenja:
Matrično množenje ni komutativno, tj. AB ≠ BA, tudi če sta definirana oba produkta. Vendar, če za katero matrice izpolnjeno razmerje AB=BA, potem tak matrice se imenujejo komutativne. Najbolj značilen primer je en sam matrica, ki vozi na delo s katerim koli drugim matrica enake velikosti. Zamenljivi so lahko samo kvadratni matrice istega reda. A × E = E × A = A
Matrično množenje ima naslednje lastnosti: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T V T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;
2. Determinante 2. in 3. reda. Lastnosti determinant.
Matrična determinanta drugega reda, oz determinanta drugi red je število, ki se izračuna po formuli:
Matrična determinanta tretjega reda, oz determinanta tretji red je število, ki se izračuna po formuli:
To število predstavlja algebraično vsoto, sestavljeno iz šestih členov. Vsak izraz vsebuje točno en element iz vsake vrstice in vsakega stolpca matrice. Vsak člen je sestavljen iz produkta treh faktorjev.
Znaki, s katerimi člani determinanta matrike vključeno v formulo iskanje determinante matrike tretjega reda lahko določimo z dano shemo, ki jo imenujemo pravilo trikotnikov ali Sarrusovo pravilo. Prvi trije členi so vzeti s predznakom plus in določeni z leve slike, naslednji trije členi pa z znakom minus in določeni z desne slike.
Določite število izrazov, ki jih želite najti determinanta matrike, v algebraični vsoti lahko izračunate faktorial: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6
Lastnosti matričnih determinant
Lastnosti matričnih determinant:
Lastnost #1:
Matrična determinanta se ne spremeni, če njegove vrstice zamenjamo s stolpci, vsako vrstico s stolpcem z isto številko in obratno (Transpozicija). |A| = |A| T
Posledica:
Stolpci in vrstice determinanta matrike so enaki, zato so lastnosti, ki so del vrstic, izpolnjene tudi za stolpce.
Lastnost #2:
Pri preurejanju 2 vrstic ali stolpcev matrična determinanta spremeni predznak v nasprotni, pri čemer ohrani absolutno vrednost, tj.
Lastnost #3:
Matrična determinanta imeti dve enaki vrstici je enako nič.
Lastnost #4:
Skupni faktor elementov katere koli serije determinanta matrike lahko vzamemo kot znak determinanta.
Posledice lastnosti št. 3 in št. 4:
Če so vsi elementi določene serije (vrstice ali stolpca) sorazmerni z ustreznimi elementi vzporedne serije, potem je tak matrična determinanta enako nič.
Lastnost #5:
determinanta matrike so enake nič, potem matrična determinanta enako nič.
Lastnost #6:
Če vsi elementi vrstice ali stolpca determinanta predstavljeno kot vsota 2 členov, torej determinanta matrice lahko predstavimo kot vsoto 2 determinante po formuli:
Lastnost #7:
Če v katero koli vrstico (ali stolpec) determinanta nato dodajte ustrezne elemente druge vrstice (ali stolpca), pomnožene z istim številom matrična determinanta ne bo spremenila svoje vrednosti.
Primer uporabe lastnosti za izračun determinanta matrike:
Ta priročnik vam bo pomagal naučiti se izvajati operacije z matricami: seštevanje (odštevanje) matrik, transpozicija matrike, množenje matrik, iskanje inverzne matrike. Vse gradivo je predstavljeno v preprosti in dostopni obliki, podani so ustrezni primeri, tako da se lahko tudi nepripravljena oseba nauči izvajati dejanja z matricami. Za samokontrolo in samotestiranje si lahko brezplačno prenesete matrični kalkulator >>>.
Poskušal bom zmanjšati teoretične izračune, ponekod so možne razlage "na prste" in uporaba neznanstvenih izrazov. Ljubitelji trdnih teorij, prosimo, da se ne ukvarjajo s kritiko, naša naloga je naučiti se izvajati operacije z matricami.
Za SUPER HITRO pripravo na temo (kdo "gori") je na voljo intenzivni pdf tečaj Matrika, determinanta in test!
Matrica je pravokotna tabela nekaterih elementi. Kot elementi obravnavali bomo števila, torej numerične matrike. ELEMENT je izraz. Izraz si je priporočljivo zapomniti, pojavljal se bo pogosto, ni naključje, da sem ga poudaril s krepko pisavo.
Oznaka: matrike običajno označujemo z velikimi latiničnimi črkami
primer: Razmislite o matriki dva proti tri:
Ta matrika je sestavljena iz šestih elementi:
Vsa števila (elementi) znotraj matrike obstajajo sama po sebi, kar pomeni, da ni nobenega vprašanja o odštevanju: 
To je samo tabela (niz) številk!
Se bomo tudi strinjali ne preurediteštevilke, razen če je v pojasnilih navedeno drugače. Vsaka številka ima svojo lokacijo in je ni mogoče premešati!
Zadevna matrika ima dve vrstici: 
in trije stolpci: 
STANDARD: ko govorimo o velikostih matrik, torej najprej navedite število vrstic in šele nato število stolpcev. Pravkar smo razčlenili matriko dva proti tri.
Če je število vrstic in stolpcev matrike enako, se matrika imenuje kvadrat, Na primer: 
– matriko tri proti tri.
Če ima matrika en stolpec ali eno vrstico, se takšne matrike tudi pokličejo vektorji.
Pravzaprav že od šole poznamo koncept matrike; razmislite o, na primer, točki s koordinatama "x" in "y": . V bistvu so koordinate točke zapisane v matriko ena proti dve. Mimogrede, tukaj je primer, zakaj je vrstni red številk pomemben: in sta dve popolnoma različni točki na ravnini.
Zdaj pa preidimo na študij operacije z matricami:
1) Prvo dejanje. Odstranjevanje minusa iz matrike (vnos minusa v matriko).
Vrnimo se k naši matrici 
. Kot ste verjetno opazili, je v tej matriki preveč negativnih števil. To je zelo neprijetno z vidika izvajanja različnih dejanj z matriko, neprijetno je napisati toliko minusov in preprosto izgleda grdo v dizajnu.
Premaknimo minus izven matrike tako, da VSAKEMU elementu matrike spremenimo predznak:
Pri ničli, kot razumete, se znak ne spremeni; ničla je tudi ničla v Afriki.
Obratni primer: 
. Izgleda grdo.
V matriko vnesemo minus tako, da VSAKEMU elementu matrike spremenimo predznak:
No, izpadlo je veliko lepše. In kar je najpomembneje, LAŽJE bo izvajati kakršna koli dejanja z matriko. Ker obstaja tako matematično ljudsko znamenje: več ko je minusov, več je zmede in napak.
2) Drugo dejanje. Množenje matrike s številom.
primer:
Preprosto je, če želite pomnožiti matriko s številom, potrebujete vsak matrični element pomnožen z danim številom. V tem primeru - trojka.
Še en uporaben primer:
– množenje matrike z ulomkom
Najprej poglejmo, kaj storiti NI POTREBNO:
Ulomka NI POTREBNO vnašati v matriko, prvič, to samo oteži nadaljnja dejanja z matriko, in drugič, učitelju oteži preverjanje rešitve (še posebej, če 
– končni odgovor naloge).
In še posebej, NI POTREBNO vsak element matrike delite z minus sedem:
Iz članka Matematika za telebane ali kje začeti, spomnimo se, da se v višji matematiki na vse možne načine poskušajo izogniti decimalnim ulomkom z vejicami.
Edina stvar je po možnosti Kaj storiti v tem primeru je, da matriki dodate minus:
Ampak če le VSE elementi matrike so bili deljeni s 7 brez sledu, potem bi bilo možno (in potrebno!) razdeliti.
primer:
V tem primeru lahko MORAM pomnožite vse elemente matrike z , saj so vsa števila matrike deljiva z 2 brez sledu.
Opomba: v teoriji visokošolske matematike ni pojma »delitev«. Namesto da rečete »to deljeno s tem«, lahko vedno rečete »to pomnoženo z ulomkom«. To pomeni, da je deljenje poseben primer množenja.
3) Tretje dejanje. Prenos matrice.
Če želite matriko transponirati, morate njene vrstice zapisati v stolpce transponirane matrike.
primer:
Transponiraj matriko
Tukaj je samo ena vrstica in po pravilu mora biti zapisana v stolpcu:
– transponirana matrika.
Transponirana matrika je običajno označena z nadnapisom ali praštevilko zgoraj desno.
Primer korak za korakom:
Transponiraj matriko 
Najprej prepišemo prvo vrstico v prvi stolpec:
Nato prepišemo drugo vrstico v drugi stolpec: 
In končno, tretjo vrstico prepišemo v tretji stolpec:
pripravljena V grobem transponiranje pomeni obračanje matrice na stran.
4) Četrto dejanje. Vsota (razlika) matrik.
Vsota matrik je preprosta operacija.
VSEH MATRIK NI MOGOČE ZLOŽITI. Za seštevanje (odštevanje) matrik je potrebno, da so ENAKE VELIKOSTI.
Na primer, če je podana matrika dva proti dva, jo je mogoče dodati samo z matriko dva proti dva in nobeno drugo! 
primer:
Dodajte matrice 
in 
Če želite dodati matrike, morate dodati njihove ustrezne elemente:
Za razliko matrik je pravilo podobno, treba je najti razliko ustreznih elementov.
primer:
Poišči razliko matrike 
, 
Kako lahko lažje rešiš ta primer, da se ne zmedeš? Priporočljivo je, da se znebite nepotrebnih minusov, dodajte minus v matrico:
Opomba: v teoriji visokošolske matematike ni pojma "odštevanje". Namesto da bi rekli "od tega odštej to", lahko vedno rečeš "temu dodaj negativno število." To pomeni, da je odštevanje poseben primer seštevanja.
5) Peto dejanje. Matrično množenje.
Katere matrike je mogoče pomnožiti?
Da se matrika pomnoži z matriko, je potrebno tako da je število stolpcev matrike enako številu vrstic matrike.
primer:
Ali je mogoče matriko pomnožiti z matriko?
To pomeni, da je mogoče matrične podatke pomnožiti.
Če pa so matrike preurejene, potem v tem primeru množenje ni več mogoče!
Zato množenje ni mogoče:
Ni tako redko, da naletimo na naloge s trikom, ko se od učenca zahteva, da pomnoži matrike, katerih množenje je očitno nemogoče.
Upoštevati je treba, da je v nekaterih primerih mogoče matrike množiti na oba načina.
Na primer za matrike in možno je tako množenje kot množenje
1. letnik, višja matematika, štud matrice in osnovna dejanja na njih. Tukaj sistematiziramo osnovne operacije, ki jih lahko izvajamo z matricami. Kje začeti seznanjati z matricami? Seveda od najpreprostejših stvari – definicij, osnovnih pojmov in preprostih operacij. Zagotavljamo vam, da bo matrice razumel vsak, ki jim bo posvetil vsaj malo časa!
Definicija matrice
Matrix je pravokotna tabela elementov. No, preprosto povedano – tabela številk.
Običajno so matrike označene z velikimi latiničnimi črkami. Na primer matrica A , matrika B in tako naprej. Matrike so lahko različnih velikosti: pravokotne, kvadratne, obstajajo pa tudi vrstične in stolpčne matrike, ki jih imenujemo vektorji. Velikost matrike je določena s številom vrstic in stolpcev. Na primer, zapišimo pravokotno matriko velikosti m na n , Kje m – število vrstic in n – število stolpcev.
Predmeti, za katere i=j (a11, a22, .. ) tvorijo glavno diagonalo matrike in se imenujejo diagonale.
Kaj lahko storite z matricami? Dodaj/odštej, pomnoži s številom, množijo med sabo, prestaviti. Zdaj o vseh teh osnovnih operacijah na matricah po vrstnem redu.
Operacije seštevanja in odštevanja matrik
Naj vas takoj opozorimo, da lahko dodajate le enako velike matrice. Rezultat bo matrika enake velikosti. Seštevanje (ali odštevanje) matrik je preprosto - le sešteti morate njihove ustrezne elemente . Dajmo primer. Izvedimo seštevanje dveh matrik A in B velikosti dva krat dva.
Odštevanje se izvede po analogiji, le z nasprotnim predznakom.
Vsako matriko lahko pomnožimo s poljubnim številom. Storiti to, vsak njen element morate pomnožiti s tem številom. Na primer, pomnožimo matriko A iz prvega primera s številom 5:
Operacija množenja matrik
Vseh matrik ni mogoče množiti skupaj. Na primer, imamo dve matriki - A in B. Med seboj ju je mogoče pomnožiti le, če je število stolpcev matrike A enako številu vrstic matrike B. V tem primeru vsak element dobljene matrike, ki se nahaja v i-ti vrstici in j-tem stolpcu, bo enak vsoti produktov ustreznih elementov v i-ti vrstici prvega faktorja in j-tem stolpcu faktorja drugi. Da bi razumeli ta algoritem, zapišimo, kako se pomnožita dve kvadratni matriki:
In primer z realnimi številkami. Pomnožimo matrike:
Transponiranje matrice
Transpozicija matrike je operacija, pri kateri se ustrezne vrstice in stolpci zamenjajo. Na primer, transponirajmo matriko A iz prvega primera:
Matrična determinanta
Determinanta ali determinanta je eden od osnovnih konceptov linearne algebre. Nekoč so se ljudje domislili linearnih enačb, za njimi pa je bilo treba priti do determinante. Na koncu je na tebi, da se spopadeš z vsem tem, tako da, zadnji pritisk!
Determinanta je numerična značilnost kvadratne matrike, ki je potrebna za reševanje številnih problemov.
Če želite izračunati determinanto najpreprostejše kvadratne matrike, morate izračunati razliko med produkti elementov glavne in sekundarne diagonale.
Determinanta matrike prvega reda, ki je sestavljena iz enega elementa, je enaka temu elementu.
Kaj pa, če je matrika tri krat tri? To je težje, vendar lahko obvladate.
Za takšno matriko je vrednost determinante enaka vsoti zmnožkov elementov glavne diagonale in zmnožkov elementov, ki ležijo na trikotnikih s ploskvijo, vzporedno z glavno diagonalo, iz katere je produkt odštejemo elemente sekundarne diagonale in produkt elementov, ki ležijo na trikotnikih s ploskvijo vzporedne sekundarne diagonale.
Na srečo je v praksi redko potrebno izračunati determinante velikih matrik.
Tu smo si ogledali osnovne operacije na matricah. Seveda v resničnem življenju morda nikoli ne boste naleteli niti na kanček matričnega sistema enačb ali pa, nasprotno, naleteli boste na veliko bolj zapletene primere, ko boste morali res nabijati možgane. Prav za takšne primere obstajajo strokovni študentski servisi. Prosite za pomoč, pridobite kakovostno in natančno rešitev, uživajte v študijskem uspehu in prostem času.
