Na enotskem krogu so označene točke. Kako si zapomniti točke na enotskem krogu

Recimo, da Ahil teče desetkrat hitreje od želve in je tisoč korakov za njo. V času, ki ga potrebuje Ahil, da preteče to razdaljo, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. Ko Ahil preteče sto korakov, se želva plazi še deset korakov in tako naprej. Proces se bo nadaljeval ad infinitum, Ahil ne bo nikoli dohitel želve.

To razmišljanje je postalo logični šok za vse naslednje generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... Vsi so tako ali drugače obravnavali Zenonove aporije. Šok je bil tako močan, da " ... razprave se nadaljujejo še danes; znanstvena skupnost še ni uspela priti do skupnega mnenja o bistvu paradoksov ... v preučevanje problematike so bili vključeni matematična analiza, teorija množic, novi fizikalni in filozofski pristopi ; nobeden od njih ni postal splošno sprejeta rešitev problema ..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Vsi razumejo, da so preslepljeni, vendar nihče ne razume, v čem je prevara.

Z matematičnega vidika je Zenon v svoji aporiji jasno prikazal prehod od kvantitete k . Ta prehod pomeni uporabo namesto stalnih. Kolikor razumem, matematični aparat za uporabo spremenljivih merskih enot še ni bil razvit ali pa ni bil uporabljen pri Zenonovi aporiji. Uporaba naše običajne logike nas pripelje v past. Mi pa zaradi vztrajnosti mišljenja na recipročno vrednost dodajamo stalne časovne enote. S fizičnega vidika je to videti kot upočasnjevanje časa, dokler se popolnoma ne ustavi v trenutku, ko Ahil dohiti želvo. Če se čas ustavi, Ahil ne more več prehiteti želve.

Če obrnemo našo običajno logiko, se vse postavi na svoje mesto. Ahil teče s konstantno hitrostjo. Vsak naslednji segment njegove poti je desetkrat krajši od prejšnjega. Skladno s tem je čas, porabljen za njegovo premagovanje, desetkrat manjši od prejšnjega. Če v tej situaciji uporabimo koncept "neskončnosti", potem bi bilo pravilno reči, da bo Ahil dohitel želvo neskončno hitro."

Kako se izogniti tej logični pasti? Ostanite v stalnih časovnih enotah in ne preklopite na recipročne enote. V Zenonovem jeziku je to videti takole:

V času, ki ga potrebuje Ahil, da preteče tisoč korakov, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. V naslednjem časovnem intervalu, ki je enak prvemu, bo Ahil pretekel še tisoč korakov, želva pa se bo plazila sto korakov. Zdaj je Ahil osemsto korakov pred želvo.

Ta pristop ustrezno opisuje realnost brez logičnih paradoksov. Vendar to ni popolna rešitev problema. Einsteinova izjava o neustavljivosti svetlobne hitrosti je zelo podobna Zenonovi aporiji "Ahil in želva". Ta problem moramo še preučiti, premisliti in rešiti. In rešitev je treba iskati ne v neskončno velikem številu, ampak v merskih enotah.

Druga zanimiva Zenonova aporija govori o leteči puščici:

Leteča puščica je negibna, saj v vsakem trenutku miruje, in ker v vsakem trenutku miruje, vedno miruje.

V tej aporiji je logični paradoks premagan zelo preprosto - dovolj je pojasniti, da leteča puščica v vsakem trenutku miruje na različnih točkah v prostoru, kar je pravzaprav gibanje. Tukaj je treba opozoriti na drugo točko. Iz ene fotografije avtomobila na cesti ni mogoče ugotoviti niti dejstva njegovega gibanja niti razdalje do njega. Če želite ugotoviti, ali se avto premika, potrebujete dve fotografiji, posneti z iste točke v različnih časovnih točkah, vendar ne morete določiti razdalje od njiju. Za določitev razdalje do avtomobila potrebujete dve fotografiji, posneti iz različnih točk v prostoru v enem trenutku, vendar iz njih ne morete ugotoviti dejstva gibanja (seveda še vedno potrebujete dodatne podatke za izračune, trigonometrija vam bo pomagala ). Posebno pozornost želim opozoriti na to, da sta dve točki v času in dve točki v prostoru različni stvari, ki ju ne smemo zamenjevati, saj ponujata različne možnosti za raziskovanje.

Sreda, 4. julij 2018

Razlike med množico in množico so zelo dobro opisane na Wikipediji. Pa poglejmo.

Kot lahko vidite, »v nizu ne moreta biti dva enaka elementa«, če pa so v nizu enaki elementi, se tak niz imenuje »multiset«. Razumna bitja ne bodo nikoli razumela takšne absurdne logike. To je raven govorečih papig in dresiranih opic, ki nimajo pameti od besede "popolnoma". Matematiki delujejo kot navadni trenerji in nam pridigajo svoje absurdne ideje.

Nekoč so bili inženirji, ki so gradili most, v čolnu pod mostom, medtem ko so preizkušali most. Če se je most zrušil, je povprečen inženir umrl pod ruševinami svoje stvaritve. Če je most zdržal obremenitev, je nadarjeni inženir zgradil druge mostove.

Ne glede na to, kako se matematiki skrivajo za besedno zvezo »pozor, jaz sem v hiši« ali bolje rečeno »matematika preučuje abstraktne pojme«, obstaja ena popkovina, ki jih neločljivo povezuje z realnostjo. Ta popkovina je denar. Uporabimo matematično teorijo množic za same matematike.

Matematiko smo učili zelo dobro in zdaj sedimo za blagajno in delimo plače. Matematik torej pride k nam po svoj denar. Celoten znesek mu preštejemo in ga razporedimo po svoji mizi v različne kupčke, v katere damo bankovce enakih vrednosti. Nato iz vsakega kupa vzamemo po en račun in damo matematiku njegov »matematični nabor plače«. Pojasnimo matematiku, da bo preostale račune prejel šele, ko bo dokazal, da množica brez enakih elementov ni enaka množici z enakimi elementi. Tukaj se začne zabava.

Najprej bo delovala logika poslancev: "To lahko velja za druge, zame pa ne!" Potem nas bodo začeli prepričevati, da imajo bankovci istega apoena različne številke bankovcev, kar pomeni, da jih ni mogoče šteti za iste elemente. V redu, preštejmo plače v kovancih - na kovancih ni številk. Tu se bo matematik začel mrzlično spominjati fizike: različni kovanci imajo različno količino umazanije, kristalna struktura in razporeditev atomov je edinstvena za vsak kovanec ...

In zdaj imam najbolj zanimivo vprašanje: kje je črta, za katero se elementi množice spreminjajo v elemente množice in obratno? Takšna linija ne obstaja – o vsem odločajo šamani, znanost tu niti približno ne laže.

Poglej tukaj. Izberemo nogometne stadione z enako površino igrišča. Območja polj so enaka – kar pomeni, da imamo multimnožico. Če pa pogledamo imena teh istih stadionov, jih dobimo veliko, saj so imena različna. Kot lahko vidite, je ista množica elementov hkrati množica in multimnožica. Katera je pravilna? In tu matematik-šaman-oštar potegne iz rokava asa adutov in nam začne pripovedovati ali o množici ali multimnožici. V vsakem primeru nas bo prepričal, da ima prav.

Da bi razumeli, kako sodobni šamani operirajo s teorijo množic in jo povezujejo z realnostjo, je dovolj odgovoriti na eno vprašanje: kako se elementi enega sklopa razlikujejo od elementov drugega? Pokazal vam bom, brez kakršnih koli "predstavljivo kot enotna celota" ali "ni predstavljivo kot ena sama celota."

Nedelja, 18. marec 2018

Vsota števk števila je ples šamanov s tamburinom, ki nima nobene zveze z matematiko. Da, pri pouku matematike nas učijo najti vsoto števk števila in jo uporabiti, a zato so šamani, da svoje potomce učijo svojih veščin in modrosti, sicer bodo šamani preprosto izumrli.

Potrebujete dokaz? Odprite Wikipedijo in poskusite najti stran "Vsota števk števila." Ona ne obstaja. V matematiki ni formule, s katero bi lahko našli vsoto števk katerega koli števila. Navsezadnje so številke grafični znaki, s katerimi pišemo števila, v matematičnem jeziku pa naloga zveni takole: »Poišči vsoto grafičnih znakov, ki predstavljajo poljubno število.« Matematiki tega problema ne morejo rešiti, šamani pa to z lahkoto.

Ugotovimo, kaj in kako naredimo, da bi našli vsoto števk danega števila. In tako imamo številko 12345. Kaj je treba storiti, da bi našli vsoto števk tega števila? Razmislimo o vseh korakih po vrstnem redu.

1. Zapišite številko na list papirja. Kaj smo storili? Število smo pretvorili v grafični številski simbol. To ni matematična operacija.

2. Eno nastalo sliko razrežemo na več slik, ki vsebujejo posamezne številke. Rezanje slike ni matematična operacija.

3. Posamezne grafične znake pretvorite v številke. To ni matematična operacija.

4. Seštej dobljena števila. Zdaj je to matematika.

Vsota števk števila 12345 je 15. To so »tečaji krojenja in šivanja«, ki jih poučujejo šamani, uporabljajo pa jih matematiki. A to še ni vse.

Z matematičnega vidika ni vseeno, v katerem številskem sistemu zapišemo število. Torej bo v različnih številskih sistemih vsota števk istega števila različna. V matematiki je številski sistem označen kot indeks na desni strani števila. Z velikim številom 12345 si ne želim delati glave, razmislimo o številki 26 iz članka o. Zapišimo to število v dvojiškem, osmiškem, decimalnem in šestnajstiškem številskem sistemu. Ne bomo pogledali vsakega koraka pod mikroskopom; Poglejmo rezultat.

Kot lahko vidite, je v različnih številskih sistemih vsota števk istega števila različna. Ta rezultat nima nobene zveze z matematiko. To je enako, kot če bi določili površino pravokotnika v metrih in centimetrih, bi dobili popolnoma drugačne rezultate.

Ničla je videti enako v vseh številskih sistemih in nima vsote števk. To je še en argument v prid dejstvu, da. Vprašanje za matematike: kako se v matematiki označi nekaj, kar ni številka? Kaj, za matematike ne obstaja nič razen številk? Šamanom to lahko dovolim, znanstvenikom pa ne. Realnost niso samo številke.

Dobljeni rezultat je treba obravnavati kot dokaz, da so številski sistemi merske enote za števila. Navsezadnje ne moremo primerjati števil z različnimi merskimi enotami. Če enaka dejanja z različnimi merskimi enotami iste količine po primerjavi privedejo do različnih rezultatov, potem to nima nobene zveze z matematiko.

Kaj je prava matematika? To je takrat, ko rezultat matematične operacije ni odvisen od velikosti števila, uporabljene merske enote in od tega, kdo to dejanje izvaja.

Oh! Ali ni to žensko stranišče?
- Mlada ženska! To je laboratorij za preučevanje nedefilske svetosti duš med njihovim vnebovzetjem v nebesa! Halo na vrhu in puščica navzgor. Kakšno drugo stranišče?

Ženska... Avreol na vrhu in puščica navzdol sta moški.

Če se vam takšno umetniško delo večkrat na dan zasveti pred očmi,

Potem ni presenetljivo, da nenadoma najdete čudno ikono v svojem avtomobilu:

Osebno se trudim, da pri kakajočem človeku vidim minus štiri stopinje (ena slika) (kompozicija večih slik: znak minus, številka štiri, oznaka stopinj). In mislim, da to dekle ni bedak, ki ne pozna fizike. Samo ima močan stereotip dojemanja grafičnih podob. In tega nas matematiki ves čas učijo. Tukaj je primer.

1A ni "minus štiri stopinje" ali "en a". To je "človek, ki se pokaka" ali številka "šestindvajset" v šestnajstiškem zapisu. Tisti ljudje, ki nenehno delajo v tem sistemu številk, samodejno zaznajo številko in črko kot en grafični simbol.

Upam, da ste že brali o številskem krogu in veste, zakaj se imenuje številski krog, kje je na njem izhodišče koordinat in katera stran je pozitivna smer. Če ne, potem teci! Razen seveda, če boste našli točke na številskem krogu.

Označujemo števila \(2π\), \(π\), \(\frac(π)(2)\), \(-\frac(π)(2)\), \(\frac(3π) (2 )\)

Kot veste iz prejšnjega članka, je polmer številskega kroga \(1\). To pomeni, da je obseg enak \(2π\) (izračunano po formuli \(l=2πR\)). Ob upoštevanju tega na številskem krogu označimo \(2π\). Da označimo to število, moramo iti od \(0\) vzdolž številskega kroga, razdalja je enaka \(2π\) v pozitivni smeri, in ker je dolžina kroga \(2π\), je Izkazalo se je, da bomo naredili popolno revolucijo. To pomeni, da števili \(2π\) in \(0\) ustrezata isti točki. Ne skrbite, več vrednosti za eno točko je normalno za številski krog.

Označimo zdaj število \(π\) na številskem krogu. \(π\) je polovica \(2π\). Če želite torej označiti to številko in ustrezno točko, morate iti pol kroga od \(0\) v pozitivni smeri.

Označimo točko \(\frac(π)(2)\) . \(\frac(π)(2)\) je polovica \(π\), zato morate za označevanje te številke iti od \(0\) v pozitivni smeri razdalja, ki je enaka polovici \( π\), to je četrt kroga.

Označimo točke na krogu \(-\)\(\frac(π)(2)\) . Premaknemo se na isto razdaljo kot zadnjič, vendar v negativno smer.

Postavimo \(-π\). Če želite to narediti, prehodimo razdaljo, ki je enaka polovici kroga v negativni smeri.

Zdaj pa poglejmo bolj zapleten primer. Na krogu označimo število \(\frac(3π)(2)\). Da bi to naredili, prevedemo ulomek \(\frac(3)(2)\) v \(\frac(3)(2)\) \(=1\)\(\frac(1)(2)\ ), tj. \(\frac(3π)(2)\) \(=π+\)\(\frac(π)(2)\) . To pomeni, da morate iti od \(0\) v pozitivni smeri razdaljo pol kroga in še eno četrtino.

1. vaja. Označite točke \(-2π\),\(-\)\(\frac(3π)(2)\) na številskem krogu.

Označujemo števila \(\frac(π)(4)\), \(\frac(π)(3)\), \(\frac(π)(6)\) ,\(\frac(7π) (6 )\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\)

Zgoraj smo našli vrednosti v točkah presečišča številskega kroga z osema \(x\) in \(y\). Zdaj pa določimo položaj vmesnih točk. Najprej narišimo točke \(\frac(π)(4)\) , \(\frac(π)(3)\) in \(\frac(π)(6)\) .
\(\frac(π)(4)\) je polovica \(\frac(π)(2)\) (to je \(\frac(π)(4)\) \(=\)\ ( \frac(π)(2)\) \(:2)\), torej je razdalja \(\frac(π)(4)\) pol četrtine kroga.

\(\frac(π)(4)\) je tretjina \(π\) (z drugimi besedami,\(\frac(π)(3)\) \(=π:3\)), torej razdalja \ (\frac(π)(3)\) je tretjina polkroga.

\(\frac(π)(6)\) je polovica \(\frac(π)(3)\) (navsezadnje \(\frac(π)(6)\) \(=\)\( \frac (π)(3)\) \(:2\)), tako da je razdalja \(\frac(π)(6)\) polovica razdalje \(\frac(π)(3)\) .

Tako se nahajajo drug glede na drugega:

komentar: Lokacija točk z vrednostjo \(0\), \(\frac(π)(2)\) ,\(π\), \(\frac(3π)(2)\) , \(\frac(π) ( 4)\) , \(\frac(π)(3)\) , \(\frac(π)(6)\) bolje si je samo zapomniti. Brez njih se številski krog, tako kot računalnik brez monitorja, zdi uporabna stvar, vendar je zelo neprijeten za uporabo.

Označimo zdaj točko na krogu \(\frac(7π)(6)\) , za to naredimo naslednje transformacije: \(\frac(7π)(6)\) \(=\)\(\ frac(6π + π )(6)\) \(=\)\(\frac(6π)(6)\) \(+\)\(\frac(π)(6)\) \(=π+ \)\(\ frac(π)(6)\) . Iz tega lahko vidimo, da moramo od ničle v pozitivni smeri prepotovati razdaljo \(π\) in nato še \(\frac(π)(6)\) .

Označite točko \(-\)\(\frac(4π)(3)\) na krogu. Transformacija: \(-\)\(\frac(4π)(3)\) \(=-\)\(\frac(3π)(3)\) \(-\)\(\frac(π)( 3)\) \(=-π-\)\(\frac(π)(3)\) . To pomeni, da moramo od \(0\) iti v negativno smer razdaljo \(π\) in tudi \(\frac(π)(3)\) .

Narišimo točko \(\frac(7π)(4)\) , za to transformirajmo \(\frac(7π)(4)\) \(=\)\(\frac(8π-π)(4 )\) \ (=\)\(\frac(8π)(4)\) \(-\)\(\frac(π)(4)\) \(=2π-\)\(\frac(π )(4) \) . To pomeni, da če želite postaviti točko z vrednostjo \(\frac(7π)(4)\), morate iti od točke z vrednostjo \(2π\) na negativno stran na razdalji \(\ frac(π)(4)\) .

Naloga 2. Označite točke \(-\)\(\frac(π)(6)\) ,\(-\)\(\frac(π)(4)\) ,\(-\)\(\frac) na številski krog (π)(3)\) ,\(\frac(5π)(4)\) ,\(-\)\(\frac(7π)(6)\) ,\(\frac(11π) (6) \) , \(\frac(2π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(3π)(4)\) .

Označujemo števila \(10π\), \(-3π\), \(\frac(7π)(2)\) ,\(\frac(16π)(3)\), \(-\frac(21π\) )( 2)\), \(-\frac(29π)(6)\)

Zapišimo \(10π\) v obliki \(5 \cdot 2π\). Ne pozabimo, da je \(2π\) razdalja, ki je enaka dolžini kroga, zato se morate za označevanje točke \(10π\) premakniti od nič do razdalje, ki je enaka \(5\) krogov. Ni težko uganiti, da se bomo spet znašli v točki \(0\), samo naredite pet obratov.

Iz tega primera lahko sklepamo:

Števila z razliko \(2πn\), kjer \(n∈Z\) (to je \(n\) poljubno celo število) ustrezajo isti točki.

Če želite postaviti število z vrednostjo, večjo od \(2π\) (ali manjšo od \(-2π\)), morate iz njega izluščiti sodo število \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) in zavrzite. Tako bomo iz številk odstranili "prazne vrtljaje", ki ne vplivajo na položaj točke.

Še zaključek:

Točka, ki ji ustreza \(0\), ustreza tudi vsem sodim količinam \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).

Zdaj uporabimo \(-3π\) za krog. \(-3π=-π-2π\), kar pomeni, da sta \(-3π\) in \(–π\) na istem mestu v krogu (ker se razlikujeta po »praznem obratu« v \(-2π\) \)).

Mimogrede, tam bodo tudi vse lihe \(π\).

Točka, ki ji ustreza \(π\), ustreza tudi vsem lihim količinam \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).

Zdaj pa označimo število \(\frac(7π)(2)\) . Kot običajno transformiramo: \(\frac(7π)(2)\) \(=\)\(\frac(6π)(2)\) \(+\)\(\frac(π)(2) \ ) \(=3π+\)\(\frac(π)(2)\) \(=2π+π+\)\(\frac(π)(2)\) . Zavržemo dva pi in izkaže se, da morate za določitev števila \(\frac(7π)(2)\) iti od nič v pozitivni smeri do razdalje, ki je enaka \(π+\)\(\ frac(π)(2)\ ) (tj. pol kroga in še ena četrtina).

Pri študiju trigonometrije v šoli se vsak učenec sooči z zelo zanimivim pojmom "številski krog". Kako dobro se bo učenec pozneje naučil trigonometrije, je odvisno od sposobnosti učitelja, da razloži, kaj je to in zakaj je potrebna. Na žalost vsak učitelj tega gradiva ne zna jasno razložiti. Posledično je veliko študentov zmedenih celo glede tega, kako označevati točke na številskem krogu. Če preberete ta članek do konca, se boste naučili, kako to storiti brez težav.

Pa začnimo. Narišimo krog s polmerom 1. Skrajno desno točko tega kroga označimo s črko O:

Čestitamo, pravkar ste narisali enotski krog. Ker je polmer tega kroga 1, je njegova dolžina .

Vsako realno število lahko povežemo z dolžino poti vzdolž številskega kroga od točke O. Smer gibanja v nasprotni smeri urinega kazalca je vzeta kot pozitivna smer. Za negativno – v smeri urinega kazalca:

Lokacija točk na številskem krogu

Kot smo že ugotovili, je dolžina številskega kroga (enotski krog) enaka . Kje se bo potem številka nahajala na tem krogu? Očitno, s točke O v nasprotni smeri urnega kazalca moramo iti polovico dolžine kroga in se bomo znašli na želeni točki. Označimo ga s črko B:

Upoštevajte, da bi isto točko lahko dosegli s polkrožno hojo v negativni smeri. Nato bi število narisali na enotski krog. To pomeni, da številke ustrezajo isti točki.

Poleg tega ta ista točka ustreza tudi številom , , , in na splošno neskončni množici števil, ki jih lahko zapišemo v obliki , kjer , to je, pripada množici celih števil. Vse to zato, ker s točke B lahko naredite potovanje "okrog sveta" v katero koli smer (prištejte ali odštejte obseg) in pridete do iste točke. Dobimo pomemben zaključek, ki ga je treba razumeti in si zapomniti.

Vsaka številka ustreza eni točki na številskem krogu. Toda vsaka točka na številskem krogu ustreza neskončnemu številu števil.

Zgornji polkrog številskega kroga s točko razdelimo na enako dolge loke C. Preprosto je videti, da je dolžina loka O.C. enako . Odložimo zdaj od točke C lok enake dolžine v nasprotni smeri urinega kazalca. Posledično bomo prišli do bistva B. Rezultat je povsem pričakovan, saj. Ponovno položimo ta lok v isto smer, vendar zdaj od točke B. Posledično bomo prišli do bistva D, kar bo že ustrezalo številki:

Upoštevajte še enkrat, da ta točka ne ustreza samo številu, ampak tudi, na primer, številu, ker to točko lahko dosežete tako, da se oddaljite od točke Očetrt kroga v smeri urinega kazalca (negativna smer).

In na splošno znova ugotavljamo, da ta točka ustreza neskončno številnim številkam, ki jih je mogoče zapisati v obliki . Lahko pa jih zapišemo tudi v obliki . Ali, če želite, v obliki. Vsi ti zapisi so popolnoma enakovredni in jih je mogoče dobiti drug od drugega.

Zdaj razdelimo lok na O.C. pol pika M. Zdaj pa ugotovi, kakšna je dolžina loka OM? Tako je, pol loka O.C.. To je . Katerim številom ustreza pika? M na številskem krogu? Prepričan sem, da boste zdaj spoznali, da lahko te številke zapišemo kot .

Lahko pa se naredi drugače. Vzemimo . Potem to razumemo . To pomeni, da lahko te številke zapišemo v obliki . Enak rezultat bi lahko dobili z uporabo številskega kroga. Kot sem že rekel, sta oba zapisa enakovredna in ju je mogoče dobiti drug od drugega.

Zdaj lahko preprosto navedete primer številk, ki jim ustrezajo točke n, p in K na številskem krogu. Na primer, številki in:

Pogosto so minimalna pozitivna števila tista, ki označujejo ustrezne točke na številskem krogu. Čeprav to sploh ni potrebno, pika n, kot že veste, ustreza neskončnemu številu drugih števil. Vključno, na primer, s številko.

Če zlomite lok O.C. na tri enake loke s točkami S in L, torej to je bistvo S bo ležala med točkama O in L, nato dolžina loka OS bo enaka , in dolžina loka OL bo enako . Z znanjem, ki ste ga pridobili v prejšnjem delu lekcije, lahko enostavno ugotovite, kako so se izkazale preostale točke na številskem krogu:

Številke, ki niso večkratniki π na številskem krogu

Vprašajmo se zdaj: kje na številski premici označimo točko, ki ustreza številu 1? Če želite to narediti, morate začeti z najbolj "desne" točke enotskega kroga O narišemo lok, katerega dolžina bi bila enaka 1. Le približno lahko nakažemo lokacijo želene točke. Nadaljujmo takole.

Koordinate x točke, ki ležijo na krogu, so enake cos(θ), koordinate pa l ustrezajo sin(θ), kjer je θ velikost kota.

• Če si težko zapomnite to pravilo, si le zapomnite, da je v paru (cos; sin) "sinus zadnji."
• To pravilo je mogoče izpeljati z upoštevanjem pravokotnih trikotnikov in definicije teh trigonometričnih funkcij (sinus kota je enak razmerju dolžine nasprotne stranice in kosinusa sosednje stranice proti hipotenuzi).

Če na koordinatno ravnino postavite številčni krog enote, lahko najdete koordinate za njegove točke. Številski krog je postavljen tako, da njegovo središče sovpada z izhodiščem ravnine, to je s točko O (0; 0).

Običajno so na krogu številk enote označene točke, ki ustrezajo izhodišču kroga

• četrtine - 0 ali 2π, π/2, π, (2π)/3,
• srednje četrtine - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• tretjine četrtin - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Na koordinatni ravnini z zgornjo lokacijo enotskega kroga lahko najdete koordinate, ki ustrezajo tem točkam kroga.

Koordinate koncev četrtin je zelo enostavno najti. V točki 0 kroga je koordinata x 1, koordinata y pa 0. Označimo jo lahko kot A (0) = A (1; 0).

Konec prvega četrtletja bo na pozitivni osi y. Zato je B (π/2) = B (0; 1).

Konec druge četrtine je na negativni pol-osi: C (π) = C (-1; 0).

Konec tretje četrtine: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Toda kako najti koordinate središč četrtin? Če želite to narediti, sestavite pravokotni trikotnik. Njegova hipotenuza je odsek od središča kroga (ali izhodišča) do sredine četrtine kroga. To je polmer kroga. Ker je krog enota, je hipotenuza enaka 1. Nato narišite pravokotnico iz točke na krogu na poljubno os. Naj bo proti osi x. Rezultat je pravokotni trikotnik, katerega dolžine krakov sta koordinati x in y točke na krogu.

Četrtina kroga je 90º. In pol četrtine je 45º. Ker je hipotenuza narisana na središče kvadranta, je kot med hipotenuzo in krakom, ki se razteza iz izhodišča, 45°. Toda vsota kotov katerega koli trikotnika je 180º. Posledično ostane tudi kot med hipotenuzo in drugo nogo 45º. Posledica tega je enakokraki pravokotni trikotnik.

Iz Pitagorovega izreka dobimo enačbo x 2 + y 2 = 1 2. Ker je x = y in 1 2 = 1, se enačba poenostavi na x 2 + x 2 = 1. Če jo rešimo, dobimo x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Tako so koordinate točke M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

V koordinatah središč drugih četrtin se bodo spremenili samo znaki, moduli vrednosti pa bodo ostali enaki, saj bo desni trikotnik le obrnjen. Dobimo:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

Pri določanju koordinat tretjih delov četrtin kroga se sestavi tudi pravokotni trikotnik. Če vzamemo točko π/6 in narišemo pravokotno na os x, bo kot med hipotenuzo in krakom, ki leži na osi x, 30°. Znano je, da je noga, ki leži nasproti kota 30º, enaka polovici hipotenuze. To pomeni, da smo našli koordinato y, enaka je ½.

Če poznamo dolžine hipotenuze in enega od krakov, z uporabo Pitagorovega izreka najdemo drugi krak:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

Tako je T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Za točko druge tretjine prve četrtine (π/3) je bolje narisati pravokotno os na os y. Potem bo tudi kot v izhodišču 30º. Tu bo koordinata x enaka ½, y pa √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Za druge točke tretjih četrtin se bodo znaki in vrstni red vrednosti koordinat spremenili. Vse točke, ki so bližje osi x, bodo imele koordinatno vrednost modula x enako √3/2. Tiste točke, ki so bližje osi y, bodo imele vrednost modula y enako √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)