Največja in najmanjša vrednost funkcije. Največja in najmanjša vrednost funkcije – definicije, ilustracije

Naj funkcija y =f(X) je zvezna na intervalu [ a, b]. Kot je znano, taka funkcija na tem segmentu doseže svoje največje in najmanjše vrednosti. Funkcija lahko sprejme te vrednosti bodisi na notranji točki segmenta [ a, b] ali na meji segmenta.

Če želite najti največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu [ a, b] potrebno:

1) poiščite kritične točke funkcije v intervalu ( a, b);

2) izračunajte vrednosti funkcije na najdenih kritičnih točkah;

3) izračunajte vrednosti funkcije na koncih segmenta, to je kdaj x=A in x = b;

4) med vsemi izračunanimi vrednostmi funkcije izberite največjo in najmanjšo.

Primer. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije

na segmentu.

Iskanje kritičnih točk:

Te točke ležijo znotraj segmenta; l(1) = ‒ 3; l(2) = ‒ 4; l(0) = ‒ 8; l(3) = 1;

na točki x= 3 in v točki x= 0.

Preučevanje funkcije za konveksnost in prevojno točko.

funkcija l = f (x) klical izbočeno vmes (a, b) , če njegov graf leži pod tangento, narisano na kateri koli točki v tem intervalu, in se imenuje konveksno navzdol (konkavno), če njen graf leži nad tangento.

Imenuje se točka, skozi katero se konveksnost zamenja s konkavnostjo ali obratno prevojna točka.

Algoritem za pregled konveksnosti in prevoja:

1. Poiščite kritične točke druge vrste, to je točke, v katerih je drugi odvod enak nič ali ne obstaja.

2. Na številsko premico narišite kritične točke in jo razdelite na intervale. Poiščite predznak drugega odvoda na vsakem intervalu; če je funkcija konveksna navzgor, če pa je funkcija konveksna navzdol.

3. Če se pri prehodu skozi kritično točko druge vrste znak spremeni in je na tej točki drugi odvod enak nič, potem je ta točka abscisa prevojne točke. Poiščite njegovo ordinato.

Asimptote grafa funkcije. Študij funkcije za asimptote.

Opredelitev. Asimptota grafa funkcije se imenuje naravnost, ki ima lastnost, da se razdalja od katere koli točke na grafu do te premice nagiba k nič, ko se točka na grafu neomejeno premika od izhodišča.

Obstajajo tri vrste asimptot: navpično, vodoravno in nagnjeno.

Opredelitev. Ravna črta se imenuje navpična asimptota funkcijska grafika y = f(x), če je vsaj ena od enostranskih limitov funkcije na tej točki enaka neskončnosti, tj.

kjer je točka diskontinuitete funkcije, to pomeni, da ne spada v domeno definicije.

Primer.

D ( l) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – prelomna točka.

Opredelitev. Naravnost y =A klical horizontalna asimptota funkcijska grafika y = f(x) ob , če

Primer.

Opredelitev. Naravnost y =kx +b (k≠ 0). poševna asimptota funkcijska grafika y = f(x) pri , kje

Splošna shema za preučevanje funkcij in konstruiranje grafov.

Algoritem raziskovanja funkcijy = f(x) :

1. Poiščite domeno funkcije D (l).

2. Poiščite (če je mogoče) točke presečišča grafa s koordinatnimi osemi (če x= 0 in pri l = 0).

3. Preverite parnost in lihost funkcije ( l (‒ x) = l (x) ‒ pariteta; l(‒ x) = ‒ l (x) ‒ Čuden).

4. Poiščite asimptote grafa funkcije.

5. Poiščite intervale monotonosti funkcije.

6. Poiščite ekstreme funkcije.

7. Poiščite intervale konveksnosti (konkavnosti) in prevojne točke grafa funkcije.

8. Na podlagi opravljene raziskave sestavite graf funkcije.

Primer. Raziščite funkcijo in sestavite njen graf.

1) D (l) =

x= 4 – prelomna točka.

2) Kdaj x = 0,

(0; ‒ 5) – točka presečišča z oh.

pri l = 0,

3) l(‒ x)= funkcija splošne oblike (niti soda niti liha).

4) Pregledujemo asimptote.

a) navpično

b) vodoravno

c) poiščite poševne asimptote, kjer

‒enačba poševne asimptote

5) V tej enačbi ni potrebno najti intervalov monotonosti funkcije.

6)

Te kritične točke razdelijo celotno domeno definicije funkcije na interval (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) in (10; +∞). Dobljene rezultate je priročno predstaviti v obliki naslednje tabele.

Naj bo funkcija $z=f(x,y)$ definirana in zvezna v neki omejeni zaprti domeni $D$. Naj ima dana funkcija v tem območju končne delne odvode prvega reda (razen morda končnega števila točk). Za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije dveh spremenljivk v danem zaprtem območju so potrebni trije koraki preprostega algoritma.

Algoritem za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije $z=f(x,y)$ v zaprti domeni $D$.

1. Poiščite kritične točke funkcije $z=f(x,y)$, ki pripadajo domeni $D$. Izračunajte vrednosti funkcij na kritičnih točkah.
2. Raziščite obnašanje funkcije $z=f(x,y)$ na meji območja $D$ in poiščite točke možnih največjih in najmanjših vrednosti. Izračunajte vrednosti funkcije na dobljenih točkah.
3. Iz vrednosti funkcij, pridobljenih v prejšnjih dveh odstavkih, izberite največjo in najmanjšo.

Kaj so kritične točke? pokaži\skrij

Spodaj kritične točke pomenijo točke, v katerih sta oba delna odvoda prvega reda enaka nič (tj. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ in $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) ali vsaj ena delna izpeljanka ne obstaja.

Pogosto se imenujejo točke, v katerih so delni odvodi prvega reda enaki nič stacionarne točke. Tako so stacionarne točke podmnožica kritičnih točk.

Primer št. 1

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije $z=x^2+2xy-y^2-4x$ v zaprtem območju, ki ga omejujejo črte $x=3$, $y=0$ in $y=x +1 $.

Sledili bomo zgoraj navedenemu, vendar se bomo najprej lotili risanja dane ploskve, ki jo bomo označili s črko $D$. Dobimo enačbe treh ravnih črt, ki omejujejo to območje. Premica $x=3$ poteka skozi točko $(3;0)$ vzporedno z ordinatno osjo (Oy os). Premica $y=0$ je enačba abscisne osi (Ox osi). No, da bi zgradili premico $y=x+1$, bomo našli dve točki, skozi katere bomo narisali to premico. Namesto $x$ lahko seveda zamenjate nekaj poljubnih vrednosti. Če na primer nadomestimo $x=10$, dobimo: $y=x+1=10+1=11$. Našli smo točko $(10;11)$, ki leži na premici $y=x+1$. Vendar je bolje poiskati tiste točke, v katerih premica $y=x+1$ seka premici $x=3$ in $y=0$. Zakaj je to bolje? Ker bomo ubili nekaj ptic na en mah: dobili bomo dve točki za konstrukcijo premice $y=x+1$ in hkrati ugotovili, v katerih točkah ta premica seka druge premice, ki omejujejo dano območje. Premica $y=x+1$ seka premico $x=3$ v točki $(3;4)$, premica $y=0$ pa seka v točki $(-1;0)$. Da ne bom obremenjeval poteka rešitve s pomožnimi pojasnili, bom vprašanje pridobitve teh dveh točk postavil v opombo.

Kako sta bili pridobljeni točki $(3;4)$ in $(-1;0)$? pokaži\skrij

Začnimo s presečišča premic $y=x+1$ in $x=3$. Koordinate želene točke pripadajo tako prvi kot drugi ravni črti, zato morate za iskanje neznanih koordinat rešiti sistem enačb:

$$ \levo \( \begin(poravnano) & y=x+1;\\ & x=3. \end(poravnano) \desno. $$

Rešitev takega sistema je trivialna: če nadomestimo $x=3$ v prvo enačbo, dobimo: $y=3+1=4$. Točka $(3;4)$ je želeno presečišče premic $y=x+1$ in $x=3$.

Zdaj pa poiščimo presečišče premic $y=x+1$ in $y=0$. Ponovno sestavimo in rešimo sistem enačb:

$$ \levo \( \begin(poravnano) & y=x+1;\\ & y=0. \end(poravnano) \desno. $$

Če nadomestimo $y=0$ v prvo enačbo, dobimo: $0=x+1$, $x=-1$. Točka $(-1;0)$ je želeno presečišče premic $y=x+1$ in $y=0$ (x-os).

Vse je pripravljeno za izdelavo risbe, ki bo videti takole:

Vprašanje opombe se zdi očitno, saj je na sliki vse vidno. Vendar je vredno zapomniti, da risba ne more služiti kot dokaz. Risba je zgolj ilustrativna.

Naše območje je bilo definirano z enačbami premice, ki so ga omejile. Očitno te črte določajo trikotnik, kajne? Ali pa ni povsem očitno? Ali pa nam je morda dano drugo območje, omejeno z enakimi črtami:

Seveda v pogoju piše, da je območje zaprto, zato prikazana slika ni pravilna. Da bi se izognili takšnim dvoumnostim, je bolje, da regije definiramo z neenakostmi. Ali nas zanima del ravnine, ki leži pod premico $y=x+1$? V redu, torej $y ≤ x+1$. Ali naj se naše območje nahaja nad črto $y=0$? Odlično, to pomeni $y ≥ 0$. Mimogrede, zadnji dve neenakosti lahko enostavno združimo v eno: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(poravnano) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(poravnano) \desno. $$

Te neenakosti definirajo regijo $D$ in jo definirajo nedvoumno, brez dvoumnosti. Toda kako nam to pomaga pri vprašanju na začetku zapisa? Tudi to bo pomagalo :) Preveriti moramo, ali točka $M_1(1;1)$ pripada območju $D$. Zamenjajmo $x=1$ in $y=1$ v sistem neenačb, ki določajo to regijo. Če sta obe neenakosti izpolnjeni, potem leži točka znotraj regije. Če vsaj ena od neenakosti ni izpolnjena, potem točka ne pripada regiji. Torej:

$$ \left \( \begin(poravnano) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(poravnano) \desno. \;\; \left \( \begin(poravnano) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(poravnano) \desno $$.

Veljavni sta obe neenakosti. Točka $M_1(1;1)$ pripada območju $D$.

Zdaj je na vrsti preučevanje obnašanja funkcije na meji regije, tj. pojdimo na. Začnimo z ravno črto $y=0$.

Premica $y=0$ (abscisna os) omejuje območje $D$ pod pogojem $-1 ≤ x ≤ 3$. Nadomestimo $y=0$ v dano funkcijo $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Funkcijo ene spremenljivke $x$, dobljeno kot rezultat substitucije, označimo kot $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Zdaj moramo za funkcijo $f_1(x)$ najti največjo in najmanjšo vrednost na intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Poiščimo odvod te funkcije in ga enačimo z nič:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Vrednost $x=2$ pripada segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$, zato bomo na seznam točk dodali tudi $M_2(2;0)$. Poleg tega izračunajmo vrednosti funkcije $z$ na koncih segmenta $-1 ≤ x ≤ 3$, tj. v točkah $M_3(-1;0)$ in $M_4(3;0)$. Mimogrede, če točka $M_2$ ne bi pripadala obravnavanemu segmentu, potem seveda ne bi bilo treba izračunati vrednosti funkcije $z$ v njej.

Torej, izračunajmo vrednosti funkcije $z$ v točkah $M_2$, $M_3$, $M_4$. Seveda lahko koordinate teh točk nadomestite v prvotni izraz $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Na primer, za točko $M_2$ dobimo:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Lahko pa izračune nekoliko poenostavimo. Da bi to naredili, si velja zapomniti, da imamo na segmentu $M_3M_4$ $z(x,y)=f_1(x)$. Bom podrobno zapisal:

\begin(poravnano) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \konec(poravnano)

Seveda tako podrobni zapisi običajno niso potrebni, v prihodnje pa bomo vse izračune zapisali na kratko:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Zdaj pa se obrnemo na ravno črto $x=3$. Ta premica omejuje območje $D$ pod pogojem $0 ≤ y ≤ 4$. V dano funkcijo $z$ nadomestimo $x=3$. Kot rezultat te zamenjave dobimo funkcijo $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Za funkcijo $f_2(y)$ moramo najti največjo in najmanjšo vrednost na intervalu $0 ≤ y ≤ 4$. Poiščimo odvod te funkcije in ga enačimo z nič:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Vrednost $y=3$ pripada segmentu $0 ≤ y ≤ 4$, zato bomo predhodno najdenim točkam dodali tudi $M_5(3;3)$. Poleg tega je potrebno izračunati vrednost funkcije $z$ v točkah na koncih segmenta $0 ≤ y ≤ 4$, tj. na točkah $M_4(3;0)$ in $M_6(3;4)$. V točki $M_4(3;0)$ smo že izračunali vrednost $z$. Izračunajmo vrednost funkcije $z$ v točkah $M_5$ in $M_6$. Naj vas spomnim, da imamo na segmentu $M_4M_6$ $z(x,y)=f_2(y)$, torej:

\begin(poravnano) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \konec(poravnano)

In končno, upoštevajte zadnjo mejo regije $D$, tj. ravna črta $y=x+1$. Ta premica omejuje območje $D$ pod pogojem $-1 ≤ x ≤ 3$. Če nadomestimo $y=x+1$ v funkcijo $z$, bomo imeli:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Spet imamo funkcijo ene spremenljivke $x$. In spet moramo najti največjo in najmanjšo vrednost te funkcije na intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Poiščimo odvod funkcije $f_(3)(x)$ in ga enačajmo na nič:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Vrednost $x=1$ pripada intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Če $x=1$, potem $y=x+1=2$. Dodajmo $M_7(1;2)$ na seznam točk in ugotovimo, kakšna je vrednost funkcije $z$ na tej točki. Točke na koncih odseka $-1 ≤ x ≤ 3$, tj. točki $M_3(-1;0)$ in $M_6(3;4)$ smo že obravnavali, v njih smo že našli vrednost funkcije.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Drugi korak rešitve je končan. Dobili smo sedem vrednosti:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Obrnimo se na. Če izberemo največje in najmanjše vrednosti iz številk, dobljenih v tretjem odstavku, bomo imeli:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$

Naloga je rešena, ostane le še, da zapišemo odgovor.

Odgovori: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Primer št. 2

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije $z=x^2+y^2-12x+16y$ v območju $x^2+y^2 ≤ 25$.

Najprej sestavimo risbo. Enačba $x^2+y^2=25$ (to je mejna črta danega območja) določa krog s središčem v izhodišču (tj. v točki $(0;0)$) in polmerom 5. Neenakost $x^2 +y^2 ≤ $25 izpolnjuje vse točke znotraj in na omenjenem krogu.

Ukrepali bomo v skladu s. Poiščimo delne odvode in ugotovimo kritične točke.

$$ \frac(\delni z)(\delni x)=2x-12; \frac(\delni z)(\delni y)=2y+16. $$

Ni točk, kjer najdeni delni odvodi ne obstajajo. Ugotovimo, v katerih točkah sta oba delna odvoda hkrati enaka nič, tj. poiščimo stacionarne točke.

$$ \left \( \begin(poravnano) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(poravnano) \desno. \;\; \left \( \begin(poravnano) & x =6;\\ & y=-8 \end(poravnano) \desno $$.

Dobili smo stacionarno točko $(6;-8)$. Vendar pa najdena točka ne pripada območju $D$. To je enostavno prikazati, ne da bi se zatekli k risbi. Preverimo, ali velja neenakost $x^2+y^2 ≤ 25$, ki določa našo regijo $D$. Če $x=6$, $y=-8$, potem $x^2+y^2=36+64=100$, tj. neenakost $x^2+y^2 ≤ 25$ ne velja. Sklep: točka $(6;-8)$ ne pripada območju $D$.

Torej znotraj območja $D$ ni kritičnih točk. Preidimo na... Preučiti moramo obnašanje funkcije na meji dane regije, tj. na krogu $x^2+y^2=25$. Seveda lahko $y$ izrazimo z $x$ in nato dobljeni izraz nadomestimo v našo funkcijo $z$. Iz enačbe kroga dobimo: $y=\sqrt(25-x^2)$ ali $y=-\sqrt(25-x^2)$. Če na primer zamenjamo $y=\sqrt(25-x^2)$ v dano funkcijo, bomo imeli:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Nadaljnja rešitev bo popolnoma enaka študiji obnašanja funkcije na meji regije v prejšnjem primeru št. 1. Vendar se mi zdi v tej situaciji bolj smiselno uporabiti Lagrangeova metoda. Zanimal nas bo samo prvi del te metode. Po uporabi prvega dela Lagrangeove metode bomo pridobili točke, v katerih bomo funkcijo $z$ preverjali za najmanjšo in največjo vrednost.

Sestavimo Lagrangeovo funkcijo:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Poiščemo parcialne odvode Lagrangeove funkcije in sestavimo ustrezen sistem enačb:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (poravnano) & 2x-12\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0 \;\; \levo \( \begin(poravnano) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( poravnano)\desno.$ $

Za rešitev tega sistema takoj poudarimo, da je $\lambda\neq -1$. Zakaj $\lambda\neq -1$? Poskusimo nadomestiti $\lambda=-1$ v prvo enačbo:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Nastalo protislovje $0=6$ pomeni, da je vrednost $\lambda=-1$ nesprejemljiva. Izhod: $\lambda\neq -1$. Izrazimo $x$ in $y$ z $\lambda$:

\begin(poravnano) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \konec(poravnano)

Mislim, da tukaj postane očitno, zakaj smo posebej določili pogoj $\lambda\neq -1$. To je bilo storjeno, da se izraz $1+\lambda$ brez motenj prilega imenovalcem. To pomeni, da se prepričamo, da je imenovalec $1+\lambda\neq 0$.

Nadomestimo dobljena izraza za $x$ in $y$ v tretjo enačbo sistema, tj. v $x^2+y^2=25$:

$$ \levo(\frac(6)(1+\lambda) \desno)^2+\levo(\frac(-8)(1+\lambda) \desno)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Iz dobljene enakosti sledi, da je $1+\lambda=2$ ali $1+\lambda=-2$. Zato imamo dve vrednosti parametra $\lambda$, in sicer: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. V skladu s tem dobimo dva para vrednosti $x$ in $y$:

\begin(poravnano) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \konec(poravnano)

Tako smo dobili dve točki možnega pogojnega ekstrema, tj. $M_1(3;-4)$ in $M_2(-3;4)$. Poiščimo vrednosti funkcije $z$ v točkah $M_1$ in $M_2$:

\begin(poravnano) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \konec(poravnano)

Od tistih, ki smo jih dobili v prvem in drugem koraku, moramo izbrati največjo in najmanjšo vrednost. Ampak v tem primeru je izbira majhna :) Imamo:

$$ z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Odgovori: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125 USD.

Lekcija na temo: "Iskanje največje in najmanjše vrednosti zvezne funkcije na segmentu"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, mnenj, želja! Vsa gradiva so bila preverjena s protivirusnim programom.

Priročniki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 10. razred iz 1C
Rešujemo naloge iz geometrije. Interaktivne konstrukcijske naloge za 7.-10
Rešujemo naloge iz geometrije. Interaktivne naloge za gradnjo v prostoru

Kaj bomo študirali:

Iskanje največje in najmanjše vrednosti iz grafa funkcije

Fantje, že smo našli največjo in najmanjšo vrednost funkcije. Ogledali smo si graf funkcije in sklepali, kje funkcija doseže največjo vrednost in kje najmanjšo.
Ponovimo:

Iz grafa naše funkcije vidimo, da največjo vrednost dosežemo v točki x= 1, ta je enaka 2. Najnižjo vrednost dosežemo v točki x= -1 in je enaka -2. Ta metoda je zelo enostavna za iskanje največjih in najmanjših vrednosti, vendar ni vedno mogoče narisati funkcije.

Iskanje največje in najmanjše vrednosti z uporabo izpeljanke

Fantje, kaj mislite, kako lahko najdete največjo in najmanjšo vrednost z uporabo izpeljanke?

Odgovor najdete v temi Ekstremi funkcije. Tam sva našla točki maksimuma in minimuma, mar nista izraza podobna? Vendar največje in najmanjše vrednosti ne smemo zamenjevati z največjo in najmanjšo vrednostjo funkcije; to sta različna pojma.

Predstavimo torej pravila:
a) Če je funkcija zvezna na intervalu, potem doseže največjo in najmanjšo vrednost na tem intervalu.
b) Funkcija lahko doseže največjo in najmanjšo vrednost tako na koncih segmentov kot znotraj njih. Oglejmo si to točko podrobneje.

Na sliki a funkcija doseže največjo in najmanjšo vrednost na koncih segmentov.
Na sliki b funkcija doseže največjo in najmanjšo vrednost znotraj segmenta. Na sliki c se najmanjša točka nahaja znotraj segmenta, največja točka pa je na koncu segmenta, v točki b.
c) Če so največje in najmanjše vrednosti dosežene znotraj segmenta, potem samo na stacionarnih ali kritičnih točkah.

Algoritem za iskanje največje in najmanjše vrednosti zvezne funkcije y= f(x) na odseku

• Poiščite odvod f"(x).
• Poiščite stacionarne in kritične točke znotraj segmenta.
• Izračunajte vrednost funkcije na stacionarnih in kritičnih točkah ter na f(a) in f(b). Izberite najmanjšo in največjo vrednost; to bosta točki najmanjše in največje vrednosti funkcije.

Največja in najmanjša vrednost funkcije na odprtem intervalu

Fantje, kako najdete največjo in najmanjšo vrednost funkcije na odprtem intervalu? Za to bomo uporabili pomemben izrek, ki je dokazan v tečaju višje matematike.

Izrek. Naj bo funkcija y= f(x) zvezna na intervalu x in ima znotraj tega intervala edinstveno stacionarno ali kritično točko x= x0, potem:
a) če je x= x0 maksimalna točka, potem je y maksimum. = f(x0).
b) če je x= x0 najmanjša točka, potem je y ime. = f(x0).

Primer

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije y= $\frac(x^3)(3)$ + 2x 2 + 4x - 5 na segmentu
a) [-9;-1], b) [-3;3], c) .
Rešitev: Poiščite odvod: y"= x 2 + 4x + 4.
Izpeljanka obstaja v celotnem področju definicije, potem moramo najti stacionarne točke.
y"= 0, pri x= -2.
Izvedli bomo nadaljnje izračune za zahtevane segmente.
a) Poiščite vrednosti funkcije na koncih segmenta in v stacionarni točki.
Potem y ime. = -122, pri x = -9; y maks. = y = -7$\frac(1)(3)$, pri čemer je x= -1.
b) Poiščite vrednosti funkcije na koncih segmenta in v stacionarni točki. Najvišje in najnižje vrednosti so dosežene na koncu segmenta.
Potem y ime. = -8, pri x= -3, y maks. = 34, pri x = 3.
c) Stacionarna točka ne pade na naš segment; poiščimo vrednosti na koncih segmenta.
Potem y ime. = 34, z x = 3, y maks. = 436, pri x = 9.

Primer

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije y= x 2 - 3x + 5 + |1-x| na segmentu.
Rešitev: razširimo modul in preoblikujemo našo funkcijo:
y= x 2 - 3x + 5 + 1 - x, za x ≤ 1.
y= x 2 - 3x + 5 - 1 + x, za x ≥ 1.

Potem bo naša funkcija dobila obliko:
\begin(equation*)f(x)= \begin(cases) x^2 - 4x + 6,\quad for\quad x ≤ 1 \\ x^2 - 2x + 4,\quad for\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) Poiščimo kritične točke: \begin(equation*)f"(x)= \begin(cases) 2x - 4,\quad for\quad x ≤ 1 \\ 2x - 2, \quad for\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) \begin(equation*)f"(x)=0,\quad for\quad x= \begin(cases) 2,\ quad for \quad x ≤ 1 \\ 1,\quad for\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) Torej, imamo dve stacionarni točki in ne pozabimo, da je naša funkcija sestavljena iz dveh funkcij za različne x.
Najdemo največjo in najmanjšo vrednost funkcije; izračunamo vrednosti funkcije na stacionarnih točkah in na koncih segmenta:
Odgovor: Funkcija doseže najmanjšo vrednost v stacionarni točki x= 1, y je najmanjša. = 3. Funkcija doseže največjo vrednost na koncu segmenta v točki x = 4, y max. = 12.

Primer

Poiščite največjo vrednost funkcije y= $\frac(3x)(x^2 + 3)$ na žarku: , b), c) [-4;7].
b) Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije y= x 2 - 6x + 8 + |x - 2| na segmentu [-1;5].
c) Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije y= $-2x-\frac(1)(2x)$ na žarku (0;+∞).

S praktičnega vidika je največje zanimanje uporaba odvoda za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije. S čim je to povezano? Maksimiziranje dobička, minimiziranje stroškov, določanje optimalne obremenitve opreme ... Z drugimi besedami, na številnih področjih življenja moramo reševati probleme optimizacije nekaterih parametrov. In to so naloge iskanja največje in najmanjše vrednosti funkcije.

Upoštevati je treba, da največjo in najmanjšo vrednost funkcije običajno iščemo na določenem intervalu X, ki je bodisi celotna domena funkcije bodisi del domene definicije. Sam interval X je lahko segment, odprt interval , neskončen interval.

V tem članku bomo govorili o iskanju največje in najmanjše vrednosti eksplicitno definirane funkcije ene spremenljivke y=f(x).

Navigacija po straneh.

Največja in najmanjša vrednost funkcije – definicije, ilustracije.

Oglejmo si na kratko glavne definicije.

Največja vrednost funkcije to za kogarkoli neenakost je res.

Najmanjša vrednost funkcije y=f(x) na intervalu X imenujemo taka vrednost to za kogarkoli neenakost je res.

Te definicije so intuitivne: največja (najmanjša) vrednost funkcije je največja (najmanjša) sprejeta vrednost na obravnavanem intervalu na abscisi.

Stacionarne točke– to so vrednosti argumenta, pri katerih odvod funkcije postane nič.

Zakaj potrebujemo stacionarne točke pri iskanju največjih in najmanjših vrednosti? Odgovor na to vprašanje daje Fermatov izrek. Iz tega izreka sledi, da če ima diferencibilna funkcija ekstrem (lokalni minimum ali lokalni maksimum) na neki točki, potem je ta točka stacionarna. Tako funkcija pogosto zavzame svojo največjo (najmanjšo) vrednost na intervalu X na eni od stacionarnih točk iz tega intervala.

Prav tako lahko funkcija pogosto prevzame svoje največje in najmanjše vrednosti v točkah, kjer prvi odvod te funkcije ne obstaja in je funkcija sama definirana.

Takoj odgovorimo na eno najpogostejših vprašanj na to temo: "Ali je vedno mogoče določiti največjo (najmanjšo) vrednost funkcije"? Ne ne vedno. Včasih meje intervala X sovpadajo z mejami domene definicije funkcije ali pa je interval X neskončen. In nekatere funkcije v neskončnosti in na mejah domene definicije lahko zavzamejo neskončno velike in neskončno majhne vrednosti. V teh primerih ni mogoče reči ničesar o največji in najmanjši vrednosti funkcije.

Za jasnost bomo podali grafično ilustracijo. Poglejte slike in marsikaj vam bo bolj jasno.

Na segmentu

Na prvi sliki funkcija zavzame največje (max y) in najmanjše (min y) vrednosti na stacionarnih točkah, ki se nahajajo znotraj segmenta [-6;6].

Razmislite o primeru, prikazanem na drugi sliki. Spremenimo segment v . V tem primeru je najmanjša vrednost funkcije dosežena v stacionarni točki, največja pa v točki z absciso, ki ustreza desni meji intervala.

Na sliki 3 so mejne točke odseka [-3;2] abscise točk, ki ustrezata največji in najmanjši vrednosti funkcije.

Na odprtem intervalu

Na četrti sliki funkcija zavzame največje (max y) in najmanjše (min y) vrednosti na stacionarnih točkah, ki se nahajajo znotraj odprtega intervala (-6;6).

Na intervalu ni mogoče sklepati o največji vrednosti.

V neskončnost

V primeru, predstavljenem na sedmi sliki, funkcija zavzame največjo vrednost (max y) v stacionarni točki z absciso x=1, najmanjšo vrednost (min y) pa doseže na desni meji intervala. Pri minus neskončnosti se vrednosti funkcije asimptotično približajo y=3.

V intervalu funkcija ne doseže niti najmanjše niti največje vrednosti. Ko se x=2 približuje z desne, se vrednosti funkcije nagibajo k minus neskončnosti (premica x=2 je navpična asimptota), in ko se abscisa nagiba k plus neskončnosti, se vrednosti funkcije asimptotično približujejo y=3. Grafična ilustracija tega primera je prikazana na sliki 8.

Algoritem za iskanje največje in najmanjše vrednosti zvezne funkcije na segmentu.

Napišimo algoritem, ki nam omogoča iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije na segmentu.

1. Poiščemo domeno definicije funkcije in preverimo, ali vsebuje celoten segment.
2. Poiščemo vse točke, v katerih prvi odvod ne obstaja in so vsebovane v segmentu (običajno so takšne točke v funkcijah z argumentom pod znakom modula in v potenčnih funkcijah z ulomkom-racionalnim eksponentom). Če teh točk ni, pojdite na naslednjo točko.
3. Določimo vse stacionarne točke, ki spadajo v segment. Da bi to naredili, ga izenačimo z nič, rešimo nastalo enačbo in izberemo ustrezne korenine. Če ni stacionarnih točk ali nobena od njih ne spada v segment, pojdite na naslednjo točko.
4. Vrednosti funkcije izračunamo na izbranih stacionarnih točkah (če obstajajo), na točkah, kjer prvi odvod ne obstaja (če obstaja), kot tudi na x=a in x=b.
5. Iz dobljenih vrednosti funkcije izberemo največjo in najmanjšo - to bo zahtevana največja oziroma najmanjša vrednost funkcije.

Analizirajmo algoritem za reševanje primera za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije na segmentu.

Primer.

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije

• na segmentu;
• na segmentu [-4;-1] .

rešitev.

Domena definicije funkcije je celotna množica realnih števil, z izjemo ničle, tj. Oba segmenta spadata v domeno definicije.

Poiščite odvod funkcije glede na:

Očitno je, da odvod funkcije obstaja na vseh točkah odsekov in [-4;-1].

Iz enačbe določimo stacionarne točke. Edini pravi koren je x=2. Ta stacionarna točka spada v prvi segment.

V prvem primeru izračunamo vrednosti funkcije na koncih segmenta in v stacionarni točki, to je za x=1, x=2 in x=4:

Zato je največja vrednost funkcije se doseže pri x=1 in najmanjši vrednosti – pri x=2.

V drugem primeru izračunamo vrednosti funkcije le na koncih segmenta [-4;-1] (ker ne vsebuje niti ene stacionarne točke):